Так одиничний відрізок і його десята, сота і так далі частини дозволяють нам потрапити в точки координатної прямої, яким будуть відповідати кінцеві десяткові дроби (як у попередньому прикладі). Однак на координатній прямій існують точки, в які ми не можемо потрапити, але до яких ми можемо підійти як завгодно близько, використовую все менші і менші до нескінченно малої частки одиничного відрізка. Цим точкам відповідають нескінченні періодичні та неперіодичні десяткові дроби. Наведемо кілька прикладів. Однією з таких точок координатної прямої відповідає число 3,711711711…=3,(711) . Щоб підійти до цієї точки потрібно відкласти 3 одиничні відрізки, 7 його десятих часток, 1 соту частку, 1 тисячну, 7 десятитисячних часток, 1 стотисячну, 1 мільйонну частку одиничного відрізка і так далі. А ще одній точці координатної прямої відповідає пі (π = 3,141592 ...).
Оскільки елементами безлічі дійсних чисел є всі числа, які можна записати у вигляді кінцевих і нескінченних десяткових дробів, то вся вищевикладена в цьому пункті інформація дозволяє стверджувати, що кожній точці координатної прямої ми поставили у відповідність конкретне дійсне число, при цьому зрозуміло, що різним точкам відповідають різні дійсні числа.
Також досить очевидно, що ця відповідність є взаємно однозначною. Тобто, ми можемо вказаній точці на координатній прямій поставити у відповідність дійсне число, але ми також можемо за цим дійсним числом вказати конкретну точку на координатній прямій, якій відповідає дане дійсне число. Для цього нам доведеться відкласти від початку відліку в потрібному напрямку певну кількість одиничних відрізків, а також десятих, сотих і так далі часток одиничного відрізка. Наприклад, числу 703,405 відповідає точка на координатній прямій, в яку з початку відліку можна потрапити, відклавши в позитивному напрямку 703 одиничних відрізка, 4 відрізки, що становлять десяту частку одиничного, і 5 відрізків, що становлять тисячну частку одиничного.
Отже, кожній точці на координатній прямій відповідає дійсне число, і кожне дійсне число має місце у вигляді точки на координатній прямій. Ось чому координатну пряму часто називають числовий прямий.
Координати точок на координатній прямій
Число, що відповідає точці на координатній прямій, називається координатою цієї точки.
У попередньому пункті ми сказали, що кожному дійсному числу відповідає єдина точка на координатній прямій, тому координата точки однозначно визначає положення цієї точки на координатній прямій. Іншими словами, координата точки однозначно задає цю точку на координатній прямій. З іншого боку, кожній точці на координатній прямій відповідає єдине дійсне число – координата цієї точки.
Залишилося сказати лише про прийняті позначення. Координату точки записують у круглих дужках праворуч від літери, якою позначена точка. Наприклад, якщо точка М має координату -6 можна записати М(-6) , а запис виду означає, що точка М на координатній прямий має координату .
Список літератури.
- Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика: підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
- Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.
- Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
Координата точки – це її «адресу» на числовому промені, а числовий промінь – це «місто», в якому живуть числа і будь-яке число можна знайти за адресою.
Більше уроків на сайті
Згадаймо, що таке – натуральний ряд. Це – всі числа, які можна використовувати для рахунку предметів, що стоять строго по порядку, один за одним, тобто в ряд. Починається цей ряд чисел з 1 і продовжується до нескінченності з рівними проміжками між сусідніми числами. Додамо 1 - і отримаємо наступне число, ще 1 - і знову. І, хоч би яке число з цього ряду ми не взяли, на 1 справа і на 1 зліва від нього є сусідні натуральні числа. Виняток становить лише число 1: наступне його натуральне число є, а попереднього – немає. 1 - найменше натуральне число.
Є одна геометрична фігура, яка має дуже багато спільного із натуральним рядом. Дивлячись на тему уроку, записану на дошці, неважко здогадатися, що ця постать промінь. І справді, початок промінь має, а ось кінця – ні. І можна було б продовжувати і продовжувати його, та ось тільки зошит чи дошка просто закінчаться, і нікуди більше продовжувати.
Використовуючи ці подібні властивості, співвіднесемо разом натуральний ряд чисел та геометричну фігуру – промінь.
Невипадково на початку променя залишено порожнє місце: поруч із натуральними числами має бути записано і добре знайоме тобі число 0. Тепер кожне натуральне число, що у натуральному ряду, має на промені двох сусідів – меншого і більшого. Здійснивши від нуля лише один крок +1, можна отримати число 1, а зробивши наступний крок +1 – число 2 … Крокуючи так далі, ми можемо по черзі отримати всі натуральні числа. Ось у такому вигляді промінь, представлений на дошці, називається координатний промінь. Можна сказати і простіше – числовим променем. На ньому є найменше число – число 0, яке називається початком відліку , кожне наступне число віддаленого від попереднього на однакову відстань, а найбільшого числа немає, як немає кінця ні в променя, ні в натурального ряду. Підкреслю ще раз, що відстань між початком відліку та наступним за ним числом 1 така сама, як і між будь-якими іншими двома сусідніми числами числового променя. Ця відстань називається одиничним відрізком . Щоб відзначити такому промені будь-яке число, потрібно відкласти від початку відліку рівно стільки ж одиничних відрізків.
Наприклад, щоб відзначити на промені число 5 відкладаємо від початку відліку 5 одиничних відрізків. Щоб відзначити на промені число 14 відкладаємо від нуля 14 одиничних відрізків.
Як ти можеш бачити в цих прикладах, на різних кресленнях поодинокі відрізки можуть бути різними(), але на одному промені всі поодинокі відрізки() рівні між собою(). (Можливо, на картинках буде зміна слайдів, що підтверджує паузи)
Як тобі відомо, на геометричних кресленнях прийнято давати назви точкам великими літерами латинського алфавіту. Застосуємо це правило до креслення на дошці. Кожен координатний промінь має початкову точку, на числовому промені цієї точки відповідає число 0, а називати цю точку прийнято буквою О. Крім того, відзначимо кілька точок у місцях, відповідних якимось числам цього променя. Тепер кожна точка променя має свою певну адресу. А(3), … (5-6 точок на обох променях). Число, що відповідає точці на промені (так звана адреса точки), називається координатою точки. А сам промінь – координатний промінь. Координатний промінь, чи числовий – сенс від цього змінюється.
Виконаємо завдання – відзначимо на числовому промені точки за їх координатами. Раджу тобі виконувати це завдання самостійно у зошиті. М(3), Т(10), У(7).
Для цього спочатку побудуємо координатний промінь. Тобто -промінь, початок якого - точка О (0). Тепер потрібно вибрати одиничний відрізок. Його треба саме вибратитак, щоб усі необхідні точки помістилися на кресленні. Найбільша координата зараз 10. Якщо розмістити початок променя в 1-2 клітинках від лівого краю сторінки, його можна буде продовжити більш, ніж 10см. Тоді візьмемо одиничний відрізок 1см, відзначимо його на промені, і на 10см від початку променя відстоїть число 10. Цьому числу відповідає точка Т. (…)
А от якщо потрібно відзначити на координатному промені точку Н (15), потрібно вибрати інший одиничний відрізок. Адже так, як у попередньому прикладі, вже не вийде, бо у зошиті не поміститься промінь необхідної видимої довжини. Можна вибрати одиничний відрізок довжиною 1 клітинку, і від нуля до потрібної точки відрахувати 15 клітин.
Променем називається частина прямої, яка має початок і не має кінця (промінь сонця, промінь світла від ліхтарика). Розгляньте малюнок та визначте, які фігури зображені, чим вони схожі, чим відрізняються, як їх можна назвати. http://bit.ly/2DusaQv
На малюнку зображені частини прямої, які мають початок і не мають кінця, це промені, які можна назвати про ікс.
- один промінь позначений великими літерами ОХ, а назві другого одна літера велика, а друга маленька Ох;
- перший промінь чистенький, а другий схожий на лінійку, тому що на ньому відзначені числа;
- на другому промені відзначено букву Е, а під нею число 1;
- на правому кінці цього променя є стрілочка;
- можливо, його можна назвати числовий промінь.
Другий промінь можна назвати числовим променем Ох:
- Про - початок відліку та має координату нуль;
- записується О (0); читається точка З координатою нуль;
- прийнято під точкою, позначеною літерою писати цифру нуль (0);
- відрізок ОЕ - одиничний відрізок;
- точка Е має координату 1 (на кресленні зазначено штрихом);
- записується Е(1); читається точка Е з координатою один;
- стрілочка на правому кінці променя вказує напрямок, у якому ведеться відлік;
- ми запровадили нові поняття координати, отже, промінь можна назвати координатним;
- Так як на промені відкладаються координати різних точок, то і праворуч пишемо в назві променя маленьку літеру х.
Побудова координатного променя
Ми розкрили поняття координатного променя та термінологію, пов'язану з ним, отже, маємо навчитися його будувати:
- будуємо промінь та позначаємо Ох;
- вказуємо стрілочкою напрямок;
- відзначаємо цифрою 0 початок відліку;
- відзначаємо одиничний відрізок ОЕ (він може бути різної довжини);
- відзначаємо координату точки Е цифрою 1;
- інші точки один від одного будуть знаходитися на однаковій відстані, але їх не прийнято наносити на координатний промінь, щоб не захаращувати креслення.
Для наочного уявлення чисел прийнято використовувати координатний промінь, у якому числа розташовуються порядку зростання зліва направо. Таким чином число, розташоване правіше завжди більше числа, розташованого ліворуч на прямій.
Побудова координатного променя починається з точки, яка називається початком координат. З цієї точки праворуч проводимо промінь і малюємо на його кінці стрілку праворуч. Точка має координату 0. Від неї на промені відкладається одиничний відрізок, кінець якого має координату 1. Від кінця одиничного відрізка відкладаємо rot один рівний йому по довжині, на кінці якого ставимо координату 2 і т. д.
РОЗДІЛ 1
РАХУНОК, ВИМІРЮВАННЯ ТА ЧИСЛА
§ 3. КООРДИНАТНИЙ ПРОМІНЬ
Запишемо натуральний ряд чисел:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; ...
Число 1 поставимо у відповідність відрізок будь-якої довжини (рис. 41). Вважатимемо цей відрізок одиничним відрізком. Його довжина дорівнює 1 од. Тоді числу 2 відповідає відрізок, вдвічі більше одиничний відрізок, числу 3 - втричі більше одиничного відрізок і т. д. Взагалі, кожному натуральному числу n буде відповідати відрізок, який в n разів більше за одиничний відрізок.
На промені ОХ від його початку послідовно відкладемо одиничний відрізок (мал. 42), потім відрізок, що відповідає числу 2, числу 3 і т. д.
Чи можна на промені відкласти найдовший відрізок, який відповідає натуральному числу? Ні.
Розмістимо натуральний ряд чисел біля точок на промені ОХ так, як показано на малюнку 43. Наприкінці зображення поставимо стрілку. Вона, як і, як і крапки у запису натурального ряду, показує, що у цьому напрямі натуральні числа зростають нескінченно. Вважають, що стрілка вказує напрямок відліку, а на початку променя відповідає число 0.
Подивіться на малюнок 43. Ви бачите, що будь-які дві сусідні точки на промені ОХ є кінцями відрізка, що дорівнює одиничному відрізку. Дійсно: 2 - 1 = 1 (од.), ..., 7 - 6 = 1 (од.), ... Це означає, що на промені ОХ введена шкала, тобто вказано початок відліку, напрямок відліку та поділ. Ціна поділу складає 1 од. і дорівнює довжині вибраного одиничного відрізка. Для зручності кінці поділу на такій шкалі будемо зображати рисками (рис. 44).
Промінь, у якому введена шкала, називається координатним променем.
Координатний промінь є прикладом нескінченної шкали.
На малюнку 45 точці D відповідає число 5 координатному промені ОХ. Це число називають координатою точки D.
Коротко записують: D(5). Читають: "Точка D з координатою 5".
Що вказує координата точки D на координатному промені ОХ? Кількість одиничних відрізків містить відрізок OD або, що те ж, відстань від точки D до початку координатного променя ОХ.
Зверніть увагу:
1) кожній точці на координатному промені відповідає єдина координата;
2) що більше координати точки, то більша відстань від неї до початку координатного променя.
Завдання. Знайдіть відстань між точками А(2) та В(7).
Зверніть увагу:
щоб знайти відстань між двома точками за їх координатами, потрібно від більшої координати відняти меншу координату.
У такий спосіб нерідко діють на практиці. На малюнку 46 ви бачите, як знаходять довжину ключа за допомогою лінійки з відламаними краями.
Лінійка з поділками із вашого приладдя (рис. 47) є прикладом кінцевої шкали. На ній ціна великого поділу дорівнює 1 см, а малого – 1 мм.
Вам доводилося зустрічати інші шкали: термометр для вимірювання температури повітря (рис. 48); спідометр, що показує швидкість автомобіля (рис. 49); годинник зі стрілками (рис. 50).
Чи є годинник на малюнку 51 прикладом шкали? Ні. На ньому немає поділів.
Дізнайтесь більше
1. Слово "шкала" походить від італійського scala, що означає "сходинки" або "лінійка",
2. Однією з перших шкал вважають сонячний годинник (рис. 52). Це розташований на рівній поверхні циферблат, на контурі якого розміщується 12 штрихів (за кількістю знаків зодіаку), а в центрі вертикальний стрижень. Слідом за Сонцем, переміщалося небосхилу, переміщалася і тінь від стрижня, показуючи час. Основним недоліком сонячного годинника було те, що він «працював» лише вдень і тільки в сонячний час.
ВИРІШИТЕ ЗАВДАННЯ
50. На малюнку 53 назвіть:
1) початок координатного променя;
2) відрізок, що відповідає одиничному відрізку;
3) координати точок В, З, D .
81.За показниками термометра для вимірювання температури повітря на малюнку 54, а-в встановіть, якою була температура повітря протягом дня.
82. Назвіть координати трьох точок, розташованих на координатному промені правіше точки А(5), і координати трьох точок, що лежать ліворуч від цієї точки.
83. За показниками спідометра на малюнку 55 а-в встановіть, з якою швидкістю рухався автомобіль.
84. Накресліть координатний промінь. За одиничний відрізок прийміть довжину однієї клітини зошита. Позначте на цьому промені точки А(0), В(2), С(5), D(8), К(9), Е(12). Назвіть усі отримані відрізки та знайдіть їх довжини.
85. Накресліть координатний промінь. За одиничний відрізок прийміть довжину однієї клітини зошита. Позначте на цьому промені точки М(1), N(4), F(6), К(7), L(10), P(11). Назвіть усі отримані відрізки та знайдіть їх довжини.
86. Накресліть координатний промінь, одиничний відрізок якого дорівнює трьом клітинкам зошита. Позначте на цьому промені точки М(1), N(3), К(4), L(5).
87. Накресліть координатний промінь, одиничний відрізок якого дорівнює 1 см. Позначте на цьому промені точки А(0), В(2), C(3), D(5).
88. Визначте координати точок, зображених на малюнку 56.
89. Визначте координати точок, зображених на малюнку 57.
90. Позначте одиничний відрізок та визначте координати точок, зображених на малюнку 58.
91. Позначте одиничний відрізок та визначте координати точок, зображених на малюнку 59.
92. Запишіть координати точок, що знаходяться на відстані;
1) 2 од. від точки А(6); 3) 3 од. від точки З(2);
2) 4 од. від точки (9); 4) 5 од. від точки N(12).
93. Запишіть координати точок, що знаходяться на відстані:
1) 1 од. від точки М(7); 2) 8 од. від точки К(8).
94. Знайдіть відстань між точками:
1) А(4) та B (9); 2)С(2) i D 12); 3) М(23) та N (45).
95. Знайдіть відстань між точками:
1) A (6) і N (11); 2)В(14) та М(20); 3) С(34) та K(52).
96. Накресліть у зошиті відрізок довжиною 14 см. Над одним його кінцем поставте число 0, а над другим - 14. Розділіть відрізок на 7 рівних частин і позначте їх точками. Вкажіть числа, які відповідають цим точкам.
97. На координатному промені (рис. 60) позначені числа 1 та а. Перемалюйте малюнок у зошит і за допомогою циркуля позначте на цьому промені точки, що відповідають числам а+1; а - 1; а + 2; 2а.
98. Коник скаче вздовж координатного променя поперемінно: на 6 од. праворуч та на 4 од. зліва. Чи зможе він за кілька стрибків із точки з координатою 2 потрапити до точки: 1) з координатою 10; 2) із координатою 11? Відповідь поясніть.
99. Равлик за день піднімається на 4 м вгору, а за ніч спускається на 2 м вниз. За скільки днів вона підніметься на вершину дерева, висота якого 10 м?
ЗАСТОСУВАЙТЕ НА ПРАКТИЦІ
100. Кінцеві пункти автобусного маршруту – А та Б. Якщо їхати від А до Б, то зупинка «Школа» – четверта, а якщо їхати від Б до А, то зупинка «Школа» – дев'ята. Скільки зупинок на автобусному маршруті?
ЗАВДАННЯ НА ПОВТОРЕННЯ
102. Обчисліть усно:
1)18+17; 2)25 - 12; 3)9∙9; 4)30:2;
16 + 9; 81 - 41; 7∙11; 44:4.
103. Обчисліть:
1) 950: 25 + 960: 60; 2) (4528 - 4239) : 17 - 12.
104. Знайдіть два числа на циферблаті годинника, якщо:
1) числа розташовані навпроти один одного та їх сума дорівнює 12;
2) числа розташовані поруч один з одним та їх сума дорівнює 9.
105. Складіть задачу за таким виразом: 2 ∙ 150 + 3 ∙ 475.
§ 1 Координатний промінь
У цьому уроці Ви навчитеся будувати координатний промінь, а також визначати координати точок на ньому.
Щоб побудувати координатний промінь, нам спочатку знадобиться, звичайно ж, сам промінь.
Позначимо його OX, точка O – початок променя.
Забігаючи наперед, скажемо, що точку O називають початком відліку координатного променя.
Промінь можна зображати у будь-якому напрямі, проте у багатьох випадках промінь проводять горизонтально і праворуч від початку.
Отже, накреслимо промінь ОХ горизонтально ліворуч і позначимо його напрямок стрілкою. Зазначимо на промені точку Е.
Над початком променя (точкою) напишемо 0, над точкою Е - цифру 1.
Відрізок ОЕ називають одиничним.
Так, крок за кроком, відкладаючи поодинокі відрізки, отримаємо нескінченну шкалу.
Числа 0, 1, 2 називають координатами точок О, Е та А. Пишуть точка О та в дужках вказують її координату нуль - О(о), точка Е та у дужках її координата один - Е(1), точка А та у дужках її координата два - А(2).
Таким чином, для побудови координатного променя необхідно:
1. накреслити промінь ОХ горизонтально ліворуч і позначити його напрямок стрілкою, над точкою O написати число 0;
2. Необхідно поставити так званий одиничний відрізок. Для цього на промені потрібно відзначити якусь точку, відмінну від точки O (на цьому місці прийнято ставити не точку, а штрих), і над штрихом записати число 1;
3. на промені від кінця одиничного відрізка треба відкласти ще один відрізок, рівний одиничному і теж поставити штрих, далі від кінця цього відрізка потрібно відкласти ще один одиничний відрізок, також відзначити штрихом і так далі;
4. щоб координатний промінь набув закінченого вигляду, залишилося записати над штрихами зліва направо числа з натурального ряду чисел: 2, 3, 4 і так далі.
§ 2 Визначення координат точки
Давайте виконаємо завдання:
На координатному промені слід зазначити такі точки: точку М з координатою 1, точку Р з координатою 3 і точку А з координатою 7.
Побудуємо координатний промінь з початком у точці О. Одиничний відрізок цього променя виберемо 1 см, тобто 2 клітини (через 2 клітини від нуля поставимо штрих і число 1, далі ще через дві клітини - штрих і число 2; потім 3; 4; 5) 6; 7 і так далі).
Точка М буде розташована правіше нуля на дві клітини, точка Р буде розташована правіше нуля на 6 клітин, так як 3 помножити на 2, буде 6, і точка А - правіше нуля на 14 клітин, так як 7 помножити на 2, вийде 14.
Наступне завдання:
Знайдіть та запишіть координати точок А; В; і З зазначених на даному координатному промені
Даний координатний промінь має одиничний відрізок, що дорівнює одній клітині, означає координата точки А дорівнює 4, координата точки дорівнює 8, координата точки С дорівнює 12.
Підіб'ємо підсумок, промінь ОХ з початком відліку в точці О, на якому вказані одиничний відрізок і напрямок, називають координатним променем. Координатний промінь є нічим іншим, як нескінченну шкалу.
Число, яке відповідає точці координатного променя, називається координатою цієї точки.
Наприклад: А й у дужках 3.
Читають: точка А з координатою 3.
Слід зазначити, що дуже часто координатний промінь зображують променем з початком у точці O, і відкладають від початку єдиний одиничний відрізок, над кінцями якого записують числа 0 і 1. У цьому випадку мається на увазі, що ми при необхідності можемо легко продовжити побудову шкали, послідовно відкладаючи поодинокі відрізки на промені.
Таким чином, у цьому уроці Ви навчилися будувати координатний промінь, а також визначати координати точок, які розташовані на координатному промені.
Список використаної литературы:
- Математика 5 клас. Віленкін Н.Я., Жохов В.І. та ін. 31-е вид., Стер. - М: 2013.
- Дидактичні матеріали з математики 5 клас. Автор - Попов М.А. - 2013.
- Обчислюємо без помилок. Роботи із самоперевіркою з математики 5-6 класи. Автор - Мінаєва С.С. - 2014.
- Дидактичні матеріали з математики 5 клас. Автори: Дорофєєв Г.В., Кузнєцова Л.В. - 2010.
- Контрольні та самостійні роботи з математики 5 клас. Автори – Попов М.А. – 2012.
- Математика. 5 клас: навч. для учнів загальноосвіт. установ/І. І. Зубарєва, А. Г. Мордкович. - 9-е вид., Стер. – К.: Мнемозіна, 2009.
