Не можна описати кулю навколо. Опис алгебри гармонії

Тема "Різні завдання на багатогранники, циліндр, конус і куля" є однією з найскладніших в курсі геометрії 11 класу. Перед тим, як вирішувати геометричні завдання, зазвичай вивчають відповідні розділи теорії, на які посилаються під час вирішення завдань. У підручнику С.Атанасяна та ін. на цю тему (стор. 138) можна знайти лише визначення багатогранника, описаного біля сфери, багатогранника, вписаного в сферу, сфери, вписаної в багатогранник, та сфери, описаної біля багатогранника. У методичних рекомендаціях до цього підручника (див. книгу "Вивчення геометрії в 10-11-х класах" С.М.Саакяна і В.Ф.Бутузова, стор.159) сказано, які комбінації тіл розглядаються при вирішенні завдань № 629-646 , і звертається увага, що “при вирішенні тієї чи іншої завдання передусім потрібно домогтися, щоб учні добре представляли взаємне розташування зазначених у умов тіл”. Далі наводиться вирішення завдань №638(а) та №640.

Враховуючи все вище сказане, і те, що найважчими для учнів є завдання на комбінацію кулі з іншими тілами, необхідно систематизувати відповідні теоретичні положення та повідомити їх учнів.

Визначення.

1. Куля називається вписаною в багатогранник, а багатогранник описаним біля кулі, якщо поверхня кулі стосується всіх граней багатогранника.

2. Куля називається описаною біля багатогранника, а багатогранник вписаним у кулю, якщо поверхня кулі проходить через усі вершини багатогранника.

3. Куля називається вписаною в циліндр, усічений конус (конус), а циліндр, усічений конус (конус) - описаним біля кулі, якщо поверхня кулі стосується підстав (основи) і всіх утворюють циліндра, усіченого конуса (конуса).

(З цього визначення випливає, що в будь-який осьовий переріз цих тіл може бути вписано коло великого кола кулі).

4. Куля називається описаною біля циліндра, усіченого конуса (конуса), якщо кола основ (коло основи і вершина) належать поверхні кулі.

(З цього визначення випливає, що біля будь-якого осьового перерізу цих тіл може бути описано коло більшого кола кулі).

Загальні зауваження щодо положення центру кулі.

1. Центр кулі, вписаної в багатогранник, лежить у точці перетину бісекторних площин всіх двогранних кутів багатогранника. Він розташований лише всередині багатогранника.

2. Центр кулі, описаної біля багатогранника, лежить у точці перетину площин, перпендикулярних всім ребрам багатогранника і проходять через їх середини. Він може бути розташований усередині, на поверхні та поза багатогранником.

Комбінація кулі із призмою.

1. Куля, вписана в пряму призму.

Теорема 1. Кулю можна вписати в пряму призму в тому і тільки в тому випадку, якщо в основу призми можна вписати коло, а висота призми дорівнює діаметру цього кола.

Наслідок 1.Центр кулі, вписаної в пряму призму, лежить у середині висоти призми, що проходить через центр кола, вписаного в основу.

Наслідок 2.Кулю, зокрема, можна вписати у прямі: трикутну, правильну, чотирикутну (у якої суми протилежних сторін основи рівні між собою) за умови Н = 2r, де Н – висота призми, r – радіус кола, вписаного в основу.

2. Куля, описана біля призми.

Теорема 2. Кулю можна описати біля призми в тому і тільки в тому випадку, якщо призма пряма і біля її основи можна описати коло.

Наслідок 1. Центр кулі, описаної біля прямої призми, лежить на середині висоти призми, проведеної через центр кола, описаного біля основи.

Наслідок 2.Кулю, зокрема, можна описати: біля прямої трикутної призми, біля правильної призми, прямокутного паралелепіпеда, біля прямої чотирикутної призми, у якої сума протилежних кутів основи дорівнює 180 градусів.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі із призмою можна запропонувати завдання № 632, 633, 634, 637(а), 639(а,б).

Комбінація кулі із пірамідою.

1. Куля, описана біля піраміди.

Теорема 3. Біля піраміди можна описати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо біля її основи можна описати коло.

Наслідок 1.Центр кулі, описаної біля піраміди, лежить у точці перетину прямої, перпендикулярної основи піраміди, що проходить через центр кола, описаної біля цієї основи, і площині, перпендикулярній будь-якому бічному ребру, проведеної через середину цього ребра.

Наслідок 2.Якщо бічні ребра піраміди рівні між собою (або одно нахилені до площини основи), то біля такої піраміди можна описати кулю. бічного ребра та висоти.

Наслідок 3.Кулю, зокрема, можна описати: біля трикутної піраміди, біля правильної піраміди, біля чотирикутної піраміди, у якої сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів.

2. Куля, вписана в піраміду.

Теорема 4. Якщо бічні грані піраміди однаково нахилені до основи, то таку піраміду можна вписати кулю.

Наслідок 1.Центр кулі, вписаної в піраміду, у якої бічні грані однаково нахилені до основи, лежить у точці перетину висоти піраміди з бісектрисою лінійного кута будь-якого двогранного кута на підставі піраміди, стороною якого служить висота бічної грані, проведена з вершини піраміди.

Наслідок 2.У правильну піраміду можна вписати шар.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі з пірамідою можна запропонувати завдання № 635, 637(б), 638, 639(в),640, 641.

Комбінація кулі з усіченою пірамідою.

1. Куля, описана при правильній зрізаної піраміди.

Теорема 5. Біля будь-якої правильної зрізаної піраміди можна описати кулю. (Ця умова є достатньою, але не є необхідною)

2. Куля, вписана в правильну усічену піраміду.

Теорема 6. У правильну зрізану піраміду можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо апофема піраміди дорівнює сумі апофем основ.

На комбінацію кулі з усіченою пірамідою в підручнику Л.С.Атанасяна є лише одне завдання (№ 636).

Комбінація кулі з круглими тілами.

Теорема 7. Біля циліндра, зрізаного конуса (прямих кругових), конуса можна описати кулю.

Теорема 8. У циліндр (прямий круговий) можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо рівномірний циліндр.

Теорема 9. У будь-який конус (прямий круговий) можна вписати кулю.

Теорема 10. У зрізаний конус (прямий круговий) можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо його утворює дорівнює сумі радіусів основ.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі із круглими тілами можна запропонувати завдання № 642, 643, 644, 645, 646.

Для успішного вивчення матеріалу цієї теми необхідно включати у хід уроків усні завдання:

1. Ребро куба дорівнює а. Знайти радіуси куль: вписаного в куб і описаного біля нього. (r = a/2, R = a3).

2. Чи можна описати сферу (кулю) близько: а) куба; б) прямокутного паралелепіпеда; в) похилого паралелепіпеда, в основі якого лежить прямокутник; г) прямого паралелепіпеда; д) похилого паралелепіпеда? (а) так; б) так; в) ні; г) ні; д) ні)

3. Чи справедливе твердження, що біля будь-якої трикутної піраміди можна описати сферу? (Так)

4. Чи можна описати сферу біля будь-якої чотирикутної піраміди? (Ні, не біля кожної чотирикутної піраміди)

5. Які властивості має піраміда, щоб біля неї можна було описати сферу? (У її основі має лежати багатокутник, біля якого можна описати коло)

6. У сферу вписана піраміда, бічне ребро якої перпендикулярно до основи. Як знайти центр сфери? (Центр сфери – точка перетину двох геометричних місць точок в просторі. Перше – перпендикуляр, проведений до площини основи піраміди, через центр кола, описаного біля нього. Друге – площина перпендикулярна даному бічному ребру і проведена через його середину)

7. За яких умов можна описати сферу біля призми, на основі якої – трапеція? (По-перше, призма має бути прямою, і, по-друге, трапеція має бути рівнобедреною, щоб біля неї можна було описати коло)

8. Яким умовам має задовольняти призма, щоб у неї можна було описати сферу? (Призма має бути прямою, і її основою повинен бути багатокутник, біля якого можна описати коло)

9. Біля трикутної призми описана сфера, центр якої лежить поза призмою. Який трикутник є основою призми? (Тупокутний трикутник)

10. Чи можна описати сферу біля похилої призми? (Ні, не можна)

11. За якої умови центр сфери, описаної біля прямої трикутної призми, буде на одній із бічних граней призми? (В основі лежить прямокутний трикутник)

12. Основа піраміди – рівнобедрена трапеція. Ортогональна проекція вершини піраміди на площину основи – точка, розташована поза трапецією. Чи можна при такій трапеції описати сферу? (Так, можна. Те, що ортогональна проекція вершини піраміди розташована поза її основою, не має значення. Важливо, що в основі піраміди лежить рівнобедрена трапеція – багатокутник, біля якого можна описати коло)

13. При правильної піраміди описана сфера. Як розташований її центр щодо елементів піраміди? (Центр сфери знаходиться на перпендикулярі, проведеному до площини основи через його центр)

14. За якої умови центр сфери, описаної біля прямої трикутної призми, лежить: а) усередині призми; б) поза призмою? (В основі призми: а) гострокутний трикутник; б) тупокутний трикутник)

15. Біля прямокутного паралелепіпеда, ребра якого дорівнюють 1 дм, 2 дм та 2 дм, описана сфера. Обчисліть радіус сфери. (1,5 дм)

16. У який зрізаний конус можна вписати сферу? (У усічений конус, в осьовий переріз якого можна вписати коло. Осьовим перетином конуса є рівнобедрена трапеція, сума її підстав повинна дорівнювати сумі її бічних сторін. Інакше кажучи, у конуса сума радіусів підстав повинна дорівнювати твірної)

17. У усічений конус вписано сферу. Під яким кутом утворююча конуса видно з центру сфери? (90 градусів)

18. Яка властивість повинна мати пряму призму, щоб у неї можна було вписати сферу? (По-перше, в основі прямої призми повинен лежати багатокутник, в який можна вписати коло, і, по-друге, висота призми повинна дорівнювати діаметру вписаного в основу кола)

19. Наведіть приклад піраміди, куди не можна вписати сферу? (Наприклад, чотирикутна піраміда, в основі якої лежить прямокутник або паралелограм)

20. В основі прямої призми лежить ромб. Чи можна до цієї призму вписати сферу? (Ні, не можна, тому що біля ромба в загальному випадку не можна описати коло)

21. За якої умови у пряму трикутну призму можна вписати сферу? (Якщо висота призми вдвічі більша за радіус кола, вписаного в основу)

22. За якої умови у правильну чотирикутну усічену піраміду можна вписати сферу? (Якщо перетином даної піраміди площиною, що проходить через середину сторони основи перпендикулярно до неї, є рівнобедрена трапеція, в яку можна вписати коло)

23. У трикутну усічену піраміду вписано сферу. Яка точка піраміди є осередком сфери? (Центр вписаної в цю піраміду сфери знаходиться на перетині трьох біссектральних площин кутів, утворених бічними гранями піраміди з основою)

24. Чи можна описати сферу біля циліндра прямого кругового? (Так можна)

25. Чи можна описати сферу біля конуса, усіченого конуса (прямих кругових)? (Так, можна, в обох випадках)

26. У будь-який циліндр можна вписати сферу? Якими властивостями повинен мати циліндр, щоб у нього можна було вписати сферу? (Ні, не у всякий: осьовий переріз циліндра має бути квадратом)

27. Чи можна в будь-який конус вписати сферу? Як визначити положення центру сфери, вписаної у конус? (Так, у всякий. Центр вписаної сфери знаходиться на перетині висоти конуса і бісектриси кута нахилу, що утворює до площини основи)

Автор вважає, що з трьох уроків, які відводяться за плануванням на тему “Різні завдання на багатогранники, циліндр, конус та кулю”, два уроки доцільно відвести на вирішення задач на комбінацію кулі з іншими тілами. Теореми, наведені вище, через недостатню кількість часу під час уроків доводити не рекомендується. Можна запропонувати учням, які володіють достатніми для цього навичками, довести їх, вказавши (за смиренням вчителя) перебіг чи план доказу.

Коли задачі дана вписана в кулю піраміда, при її вирішенні буде корисна наступна теоретична інформація.

Якщо піраміда вписана в кулю, всі її вершини лежать на поверхні цієї кулі (на сфері), відповідно, відстані від центру кулі до вершин рівні радіусу кулі.

Кожна грань вписаної в кулю піраміди є вписаним у деяке коло багатокутником. Основи перпендикулярів, опущених із центру кулі на площині граней, є центрами цих описаних кіл. Таким чином, центр описаної біля піраміди кулі - точка перетину перпендикулярів до граней піраміди, проведених через центри описаних біля граней кіл.

Частіше центр описаної біля піраміди кулі розглядають як точку перетину перпендикуляра, проведеного до основи через центр описаного біля основи кола, і серединного перпендикуляра до бокового ребра (серединний перпендикуляр лежить у площині, що проходить через це бічне ребро і перший перпендикуляр (проведений до основи). біля основи піраміди не можна описати коло, то ця піраміда не може бути вписана в кулю.

Центр описаної біля піраміди кулі може лежати всередині піраміди, на поверхні піраміди (на бічній грані, на підставі), і поза пірамідою. Якщо в задачі не сказано, де саме лежить центр описаної кулі, бажано розглянути, як можуть вплинути на рішення різні варіанти його розташування.

Біля будь-якої правильної піраміди можна описати кулю. Його центр - точка перетину прямої, що містить висоту піраміди, та серединного перпендикуляра до бокового ребра.

При вирішенні завдань на вписану в кулю піраміду найчастіше розглядають деякі трикутники.

Почнемо із трикутника SO1C. Він рівнобедрений, оскільки дві сторони рівні як радіуси кулі: SO1=O1С=R. Отже, O1F — його висота, медіана та бісектриса.

Прямокутні трикутники SOC і SFO1 подібні до гострого кута S. Звідси

SO = H - висота піраміди, SC = b - довжина бічного ребра, SF = b / 2, SO1 = R, OC = r - радіус кола, описаної біля основи піраміди.

У прямокутному трикутнику OO1C г гіпотенуза O1C=R, катети OC=r, OO1=H-R. За теоремою Піфагора:

Якщо продовжити висоту SO, дістанемо діаметр SM. Трикутник SCM — прямокутний (оскільки вписаний кут SCM спирається на діаметр). У ньому OC – висота, проведена до гіпотенузи, SO та OM – проекції катетів SC та CM на гіпотенузу. За властивостями прямокутного трикутника,

Біля піраміди можна описати кулю тоді і лише тоді, коли біля її основи можна описати коло.

Щоб побудувати центр Про цю кулю, потрібно:

1. Знайти центр О, кола, описаного біля основи.

2. Через точку Про провести пряму, перпендикулярну площині основи.

3. Через середину будь-якого бічного ребра піраміди провести площину, перпендикулярну до цього ребра.

4. Знайти точку Про перетину побудованих прямої та площини.

Частковий випадок: бічні ребра піраміди рівні. Тоді:

кулю описати можна;

центр Про кулі лежить на висоті піраміди;

Де – радіус описаної кулі; - бічне ребро; Н – висота піраміди.

5.2. Куля та призма

Біля призми можна описати кулю тоді і лише тоді, коли призма пряма і біля її основи можна описати коло.

Центром кулі служить середина відрізка, що з'єднує центри описаних біля основ кіл.

де - радіус описаної кулі; - радіус описаної біля основи кола; Н – висота призми.

5.3. Куля та циліндр

Біля циліндра шар можна описати завжди. Центром кулі служить центр симетрії осьового перерізу циліндра.

5.4. Куля та конус

Біля конуса шар можна описати завжди. Центром кулі; служить центр кола, описаного біля осьового перерізу конуса.

КУЛЯ, ОПИСАНИЙ БІЛЯ ЦИЛІНДРУ І КОНУСА називається (а), якщо вершина конуса лежить на поверхні кулі, а основа конуса перетином кулі. Біля прямого кругового конуса завжди можна описати шар Центр описаного біля конуса кулі лежить на висоті конуса. Центр описаної біля конуса кулі може перебувати і всередині, і поза конусом, а також збігатися з центром основи.

називається), якщо основи циліндра є перерізами кулі. (а Біля прямого кругового циліндра можна описати. Центр описаної біля циліндра кулі лежить на висоті циліндра.

Центр кола, описаного біля трикутника, є точкою перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Центр кола описаного біля трикутника може знаходитися поза трикутником. Для правильного чотирикутника: R = сторона; R – радіус вписаного кола

№645. Циліндр вписаний у сферу. Знайти відношення площі повної поверхні циліндра до площі сфери, якщо висота циліндра дорівнює діаметру основи. R R Дано: сфера з центром О, вписаний циліндр, h=2 R Знайти: R Аналіз умов: R 1. Sсфери= 2. Сповненої поверхні циліндра = 3. h=2 R Відповідь.

Вітаю! У цій статті ми з вами розглянемо завдання із кулями. Вірніше тут буде комбінація тіл: куля або іншими словами циліндр описаний біля кулі (що одне й теж) і куб вписаний у кулю.

На блозі вже розглянуто групу завдань з кулями, . У поданих завданнях мова піде про знаходження об'єму та площу поверхні зазначених тіл.які потрібно знати!

Формула об'єму кулі:

Формула площі поверхні кулі:

Формула об'єму циліндра:

Формула площі поверхні циліндра:

Детальніше про площу бічної поверхні циліндра:

Вона являє собою «скручений» в циліндр прямокутник одна сторона якого дорівнює довжині кола основи - це 2ПіR, інша сторона дорівнює висоті циліндра - це н.

Що варто відзначити стосовно поданих завдань?

1. Якщо кулю вписано в циліндр, то вони мають загальний радіус.

2. Висота циліндра описаного біля кулі дорівнює двом його радіусам (або діаметру).

3. Якщо куб вписаний у кулю, то діагональ цього куба дорівнює діаметру кулі.

245348. Циліндр описаний біля кулі. Об'єм циліндра дорівнює 33. Знайдіть об'єм кулі.

Формула об'єму кулі:

Необхідно знайти радіус кулі.

У кулі та у циліндра загальний радіус. Основа циліндра це коло з радіусом R, висота циліндра дорівнює двом радіусам. Значить об'єм циліндра обчислюється за такою формулою: