Випадкові величини дискретного типу та формули для їх розігрування. Моделювання випадкових подій Розіграти п'ять можливих значень безперервної випадкової величини

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА ММ-03

РОЗІГРУВАННЯ ДИСКРЕТНИХ І НЕПРЕРИВНИХ СВ

Мета роботи: вивчення та програмна реалізація методів розігрування дискретних та безперервних СВ

ПИТАННЯ ДЛЯ ВИВЧЕННЯ ЗА КОНСПЕКТОМ ЛЕКЦІЙ:

1. Дискретні випадкові величини та його характеристики.

2. Розігрування повної групи випадкових подій.

3. Розігрування безперервної випадкової величини шляхом зворотної функції.

4. Вибір випадкового напряму у просторі.

5. Стандартний нормальний розподіл та його перерахунок для заданих параметрів.

6. Метод полярних координат для розігрування нормального розподілу.

ЗАВДАННЯ 1. Сформулювати (письмово) правило розігрування значень дискретної СВ, закон розподілу якої заданий у вигляді таблиці. Скласти підпрограму-функцію для розігрування значень СВ з використанням БСВ, що отримуються від підпрограми ДСЛ. Розіграти 50 значень СВ та вивести їх на екран.

Де N – номер варіанта.

ЗАВДАННЯ 2.Дано функцію щільності розподілу f(x) безперервної випадкової величини X.

У звіті записати формули та обчислення наступних величин:

а) константу нормування;

Б) функцію розподілу F(x);

У) математичне очікування M(X);

Г) дисперсію D(X);

Д) формулу для розігрування значень СВ методом зворотної функції.

Скласти підпрограму-функцію для розігрування заданої СВ та отримати 1000 значень цієї СВ.

Побудувати гістограму розподілу отриманих чисел за 20 відрізками.

ЗАВДАННЯ 3.Скласти процедуру, що дозволяє розіграти параметри випадкового спрямування у просторі. Розіграти 100 випадкових напрямків у просторі.

Використовувати вбудований датчик псевдовипадкових чисел.

Письмовий звіт щодо лабораторної роботи повинен містити:

1) Назва та мета роботи, групу, прізвище та номер варіанта студента;

2) За кожним завданням: - умова, - необхідні формули та математичні перетворення, - ім'я програмного файлу, що реалізує алгоритм, що використовується, - результати обчислень.

Налагоджені програмні файли здаються разом із письмовим звітом.

ДОДАТОК

Варіанти густини розподілу безперервної СВ

Нехай, наприклад, маємо завдання отримати ряд значень дискретної випадкової величини Xз розподілом

де - Можливі значення випадкової величини Х, розташовані у спадному порядку; - Імовірності цих значень,

Для вирішення цього завдання уявімо (див. приклад на початку глави), що одиничний квадрат, площа якого S o =l, розділений на kмайданчиків, розміри яких S 1 , S 2 ,… , S k задані в частках одиниці та рівні відповідно до ймовірностей p 1 , p 2 , ..., p k .Виберемо в одиничному квадраті Nвипадкових, рівномірно розподілених точок, кожна з яких задана координатами (х, у),являють собою значення випадкових величин Xі Y,рівномірно розподілених в інтервалі від 0 до 1 .

Якщо i-я точка (i = 1, 2, ..., N)потрапила до якоїсь j-ю майданчик, то вважатимемо, що ми набули значення X,рівне , тобто. х i = ξ j. Якщо i+1-я точка потрапила в якусь ζ - ю площадку, то вважатимемо, що ми набули значення X,рівне j j ,тобто. х i +1 = ξ j. І так далі.

У межі при досить великій Nрозподіл отриманих значень X (х 1 х 2 ,…, x n)буде сходитися ймовірно до заданого розподілу. Це з очевидністю випливає з того, що внаслідок рівномірного розподілу випадкових точок у площі одиничного квадрата кількість попадань у кожний майданчик при N → ∞зі визначатиметься її розмірами, у свою чергу рівними ймовірності j-го значення випадкової величини

У цьому випадку двовимірні координати (х, у)використовувалися лише з'ясування аналогії та спільності алгоритму методу Монте-Карло під час вирішення різних завдань. Загалом для вирішення завдання розіграшу дискретної випадкової величини достатньо мати одну числову вісь.

Підготовка до розіграшу при цьому полягає в тому, що на числовій осі У(рис. 9.2) відкладається інтервал від 0 до 1 , (), який розбивається, починаючи від нуля, на kінтервалів довжиною, що дорівнює відповідно p 1, p 2,. . ., p k .Отримані інтервали нумеруються цифрами j= 1, 2, 3, . .., k.

Сам розіграш полягає у наступному. Якимось способом, наприклад з таблиці випадкових чисел, рівномірно розподілених (див.

Малюнок 9.2. Ймовірності значень випадкової величини на числовій осі

розд. 9.4) в інтервалі від 0 до 1, послідовно зчитуються значення a i . (i = 1, 2, ..., N). Потім на осі Увизначається в який інтервал на осі У потрапляє задане значення точки, тобто де у j = a i.

Якщо точка а iпотрапляє в інтервал із номером j, то вважається, що це значення х i = ξ j . , і т.д.

Розігрування дискретної випадкової величини, що складається з багатьох випробувань, зазвичай проводиться на ЕОМ. При цьому значення випадкової величини аможуть бути отримані різними шляхами (див. Розд. 9.4).

Нехай розподіл випадкової величини, що розігрується, задано в пам'яті машини у вигляді табл. 9.1.

Таблиця 9.1

Розподіл дискретної випадкової величини

У цій таблиці i- Порядковий номер значень випадкової величини X;- Значення випадкової величини, розташовані в спадному порядку; р i- ймовірність значень; - Забезпеченість значень.

Розігрування здійснюється за наступною схемою (рис. 9.3). Задається номер члена ряду ( i=1, 2, ..., д).Потім за таблицею випадкових чисел знаходиться a i, далі a jпорівнюється зі значеннями забезпеченості Р j(j= 1, 2, . ..,..., k- 1) і якщо , то i-му члену моделюється ряду присвоюється значення. Потім перевіряється i = n, і якщо рівність виконується, тобто отримані всі пзначень, то розіграш припиняється, якщо ні, то iзбільшується на 1 та весь розрахунок, починаючи з 2-го оператора (див. рис. 9.3), повторюється.

Упорядкувати малюнок

Мал. 9.3. Блок-схема розіграшу низки значень дискретної випадкової величини.

Позначимо рівномірно розподілену СВ інтервалі (0, 1) через R, та її можливі значення (випадкові числа) - r j .

Розіб'ємо інтервал )