Дрібу математиці - число, що складається з однієї або декількох частин (часток) одиниці. Дроби є частиною поля раціональних чисел. За способом запису дроби поділяються на 2 формати: звичайнівиду та десяткові .
Чисельник дробу- Число, що показує кількість взятих часток (знаходиться у верхній частині дробу - над межею). Знаменник дробу- Число, що показує, на скільки частин розділена одиниця (знаходиться під рисою - в нижній частині). , У свою чергу діляться на: правильніі неправильні, змішаніі складовітісно пов'язані з одиницями виміру. 1 метр містить 100 см. Що означає, що 1 м розділений на 100 рівних часток. Таким чином, 1 см = 1/100 м (один сантиметр дорівнює одній сотій метра).
або 3/5 (три п'яті), тут 3 - чисельник, 5 - знаменник. Якщо чисельник менший за знаменник, то дрібок менше одиниці і називається правильною:
Якщо чисельник дорівнює знаменнику, дріб дорівнює одиниці. Якщо чисельник більший за знаменник, дріб більше одиниці. В обох останніх випадках дріб називається неправильною:
Щоб виділити найбільше ціле число, що міститься в неправильному дробі, потрібно розділити чисельник на знаменник. Якщо поділ виконується без залишку, то взятий неправильний дріб дорівнює приватному:
Якщо поділ виконується із залишком, то (неповне) приватне дає ціле число, що шукається, залишок же стає чисельником дробової частини; знаменник дробової частини залишається тим самим.
Число, що містить цілу та дробову частини, називається змішаним. Дробова частина змішаного числаможливо і неправильним дробом. Тоді можна з дрібної частини виділити найбільше ціле число і уявити змішане число в такому вигляді, щоб дрібна частина стала правильним дробом (або зовсім зникла).
УРОК № 86 ПРАВИЛЬНІ І НЕПРАВИЛЬНІ ДРОБИ (П. 25)
17.08.2014 3391 0Цілі:навчити визначати правильні та неправильні дроби, порівнювати їх з одиницею.
Обладнання:сигнальні картки кожного учня; плакат для усних вправ та підбиття підсумку уроку.
Хід уроку
I. Усні вправи.
1. № 883 (а, б).
2. Скільки хвилин за годину? Яку частину години становить 1 хв; 7 хв; 15 хв.
3. Виконати дії (плакат).
2. Вчитель пропонує учням побачити, у чому «особливість» дробів; підводить учнів до думки, що в першому дробі чисельник менший за знаменник, а в другому і третьому дробі чисельник дорівнює і більше знаменника.
3. Дається визначення правильного та неправильного дробів.
4. Порівнюють дроби з одиницею.
ІІІ. Закріплення.
1. Робота із сигнальними картками.
Якщо твердження є правильним, учні показують картку зеленого кольору, якщо неправильно – червоного кольору.
2. № 976, 975, 973.
3. Самостійно № 995, 997(а).
IV. Підсумок уроку.
1. Відповісти на запитання:
а) Який дріб називають правильним, який неправильним?
б) Чи може правильний дріб бути більшим, ніж 1?
в) Чи завжди неправильний дріб більший, ніж 1?
2. «А ну, зрозумій!».
На малюнку зображено дві групи ліній. Чим відрізняються лінії однієї групи від ліній іншої?
Відповідь:лінії першої групи самоперетинаються, а лінії другої групи – без точок самоперетину.
V. Домашнє завдання: п. 25; № 999, 1001, 820 (в, г), повторити п. 13, 14. правильний дрібі неправильний дріб.
З дробами ми стикаємося у житті набагато раніше, ніж починається їх вивчення у школі. Якщо розрізати ціле яблуко навпіл, ми отримаємо частину фрукта - ½. Розріжемо ще раз – буде ¼. Це і є дроби. І все, начебто, просто. Для дорослої людини. Для дитини ж (а цю тему починають вивчати наприкінці молодшої школи) абстрактні математичні поняття ще лякаюче незрозумілі, і викладач має доступно пояснити, що таке правильний дріб і неправильний, звичайний і десятковий, які операції можна з ними здійснювати і, головне, для чого все це потрібне.
Які бувають дроби
Знайомство з новою темою у школі починається із звичайних дробів. Їх легко впізнати по горизонтальній рисі, що розділяє два числа – зверху та знизу. Верхнє називається чисельником, нижнє – знаменником. Існує і малий варіант написання неправильних і правильних звичайних дробів - через косу межу, наприклад: ½, 4/9, 384/183. Такий варіант використовується, коли висота рядка обмежена і немає можливості застосувати двоповерхову форму запису. Чому? Та тому що вона зручніша. Трохи згодом ми в цьому переконаємося.
Крім звичайних, існують також десяткові дроби. Розрізнити їх дуже просто: якщо в одному випадку використовується горизонтальна або похила риса, то в іншому - кома, що розділяє послідовності цифр. Подивимося приклад: 2,9; 163,34; 1,953. Ми навмисно скористалися крапкою з комою як роздільник, щоб розмежувати числа. Перше буде читатися так: «дві цілих, дев'ять десятих».
Нові поняття
Повернемося до звичайних дробів. Вони бувають двох видів.
Визначення правильного дробу звучить наступним чином: це такий дріб, чисельник якого менший за знаменник. Чому це важливо? Зараз побачимо!
У вас є кілька яблук, поділених на половинки. Усього – 5 частин. Як ви скажете: у вас «два з половиною» чи «п'ять других» яблука? Звичайно, перший варіант звучить більш природно, і при розмові з друзями ми скористаємося ним. А ось якщо потрібно порахувати, скільки фруктів дістанеться кожному, якщо в компанії п'ять осіб, ми запишемо число 5/2 і розділимо його на 5 - з точки зору математики це буде наочніше.
Отже, для найменування правильних і неправильних дробів правило таке: якщо дроби можна виділити цілу частину (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), вона є неправильною. Якщо цього не можна зробити, як у випадку з ½, 13/16, 9/10, вона буде правильною.
Основна властивість дробу
Якщо чисельник і знаменник дробу одночасно помножити чи розділити одне й те число, її величина не зміниться. Уявіть: торт нарізали на 4 рівні частини і дали вам одну. Такий самий торт порізали на вісім частин і дали вам дві. Чи не все одно? Адже ¼ і 2/8 - це одне й те саме!
Скорочення
Автори завдань та прикладів у підручниках з математики найчастіше прагнуть заплутати учнів, пропонуючи громіздкі в написанні дроби, які насправді можна скоротити. Ось приклад правильного дробу: 167/334, який, начебто, виглядає дуже «страшно». Але насправді ми можемо записати його як ½. Число 334 ділиться на 167 без залишку - зробивши таку операцію, ми отримаємо 2.
Змішані числа
Неправильний дріб можна подати у формі змішаного числа. Це коли ціла частина винесена вперед і записана лише на рівні горизонтальної межі. Фактично вираз набуває вигляду суми: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 тощо.
Щоб винести цілу частину, потрібно розділити чисельник на знаменник. Залишок від поділу записати зверху, над межею, а цілу частину - перед виразом. Таким чином, ми отримуємо дві структурні частини: цілі одиниці + правильний дріб.
Можна здійснити і зворотну операцію - при цьому потрібно цілу частину помножити на знаменник і додати отримане значення чисельнику. Нічого складного.
Множення та розподіл
Як не дивно, множити дроби простіше, ніж складати. Усього-то і потрібно - продовжити горизонтальну межу: (2/3) * (3/5) = 2 * 3 / 3 * 5 = 2 / 5.
З поділом теж все просто: потрібно перемножити дроби навхрест: (7/8) / (14/15) = 7 * 15 / 8 * 14 = 15 / 16.
Складання дробів
Що робити, якщо потрібно здійснити додавання або в знаменнику у них різні числа? Вчинити так само, як з множенням, не вийде - тут слід розуміти визначення правильного дробу та його сутність. Потрібно привести доданки до спільного знаменника, тобто в нижній частині обох дробів мають бути однакові числа.
Щоб це здійснити, слід скористатися основною властивістю дробу: помножити обидві частини на те саме число. Наприклад, 2/5 + 1/10 = (2 * 2) / (5 * 2) + 1 / 10 = 5 / 10 =?
Як вибрати, до якого знаменника приводити доданки? Це має бути мінімальне число, кратне обом числам, що стоять у знаменниках дробів: для 1/3 та 1/9 це буде 9; для ½ і 1/7 - 14, тому що меншого значення, що ділиться без залишку на 2 і 7, не існує.
Використання
Навіщо потрібні неправильні дроби? Адже набагато зручніше відразу виділити цілу частину, отримати змішане число - і кінець! Виявляється, якщо потрібно виконати множення або поділ двох дробів, вигідніше скористатися саме неправильними.
Візьмемо наступний приклад: (2+3/17)/(37/68).
Здавалося б, скоротити зовсім нічого. Але що, якщо записати результат додавання у перших дужках у вигляді неправильного дробу? Подивіться: (37/17) / (37/68)
Тепер все стає на свої місця! Запишемо приклад таким чином, щоб усе стало очевидним: (37*68) / (17*37).
Скоротимо 37 у чисельнику та знаменнику і, нарешті, розділимо верхню та нижню частини на 17. Ви ж пам'ятаєте основне правило для правильного та неправильного дробу? Ми можемо множити та ділити їх на будь-яке число, якщо робимо це одночасно для чисельника та знаменника.
Отже, отримуємо відповідь: 4. Приклад виглядав складним, а відповідь містить лише одну цифру. У математиці часто відбувається. Головне - не боятися і дотримуватися простих правил.
Поширені помилки
При здійсненні учень може легко зробити одну з популярних помилок. Зазвичай вони відбуваються через неуважність, а іноді через те, що вивчений матеріал ще не відклався в голові як слід.
Нерідко сума чисел, що стоїть у чисельнику, викликає бажання скоротити окремі її компоненти. Допустимо, у прикладі: (13 + 2) / 13, написаному без дужок (з горизонтальною рисою), багато учнів з недосвідченості закреслюють 13 зверху та знизу. Але так робити не можна в жодному разі, адже це груба помилка! Якби замість додавання стояв знак множення, ми отримали б у відповіді число 2. Але при здійсненні додавання жодні операції з одним із доданків не дозволені, тільки з усією сумою цілком.
Ще хлопці часто помиляються при розподілі дробів. Візьмемо два правильні нескоротні дроби і розділимо один на одного: (5/6)/(25/33). Учень може переплутати і записати результуючий вираз як (5*25)/(6*33). Але так вийшло б при множенні, а в нашому випадку все буде трохи інакше: (5*33) / (6*25). Скорочуємо те, що можливо, та у відповіді побачимо 11/10. Неправильний дріб, що вийшов, запишемо як десятковий - 1,1.
Дужки
Пам'ятайте, що у будь-яких математичних висловлюваннях порядок дій визначається пріоритетом знаків операцій та наявністю дужок. За інших рівних відлік черговості виконання дій відбувається зліва направо. Це актуально і для дробів – вираз у чисельнику чи знаменнику розраховується строго за цим правилом.
Адже це результат поділу одного числа на інше. Якщо вони не діляться націло, виходить дріб - от і все.
Як записати дріб на комп'ютері
Оскільки стандартні засоби не завжди дозволяють створити дріб, що складається з двох «ярусів», учні часом йдуть на різні хитрощі. Наприклад, копіюють чисельники та знаменники у графічний редактор «Пейнт» і склеюють їх воєдино, малюючи між ними горизонтальну лінію. Звичайно, є простіший варіант, який, до речі, надає і масу додаткових можливостей, які стануть корисними вам у майбутньому.
Відкрийте "Майкрософт Ворд". Одна з панелей у верхній частині екрана має назву «Вставка» - натисніть її. Справа, в тій стороні, де розташовані значки закриття та згортання вікна, є кнопка Формула. Це саме те, що нам потрібне!
Якщо ви скористаєтеся цією функцією, на екрані з'явиться прямокутна область, в якій можна використовувати будь-які математичні знаки, які відсутні на клавіатурі, а також писати дроби у класичному вигляді. Тобто розділяючи чисельник і знаменник горизонтальною межею. Ви навіть можете здивуватися, що такий правильний дріб настільки легко записати.
Вивчайте математику
Якщо ви навчаєтесь у 5-6 класі, то вже скоро знання математики (у тому числі - вміння працювати з дробами!) знадобиться у багатьох шкільних предметах. Практично у будь-якій задачі з фізики, при вимірюванні маси речовин у хімії, геометрії та тригонометрії без дробів ніяк не обійтися. Вже скоро ви навчитеся обчислювати все в умі, навіть не записуючи вирази на папері, але з'являтимуться все більш складні приклади. Тому вивчіть, що таке правильний дріб і як з ним працювати, не відставайте за навчальною програмою, своєчасно робіть домашні завдання, і тоді ви досягнете успіху.
Звичайні дроби поділяються на \textit(правильні) та \textit(неправильні) дроби. Такий поділ заснований на порівнянні чисельника та знаменника.
Правильні дроби
Правильним дробомназивається звичайна дріб $\frac(m)(n)$, у якої чисельник менший за знаменник, тобто. $m
Приклад 1
Наприклад, дроби $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ є правильними, так як у кожній з них чисельник менший за знаменник, що відповідає визначенню правильного дробу.
Існує визначення правильного дробу, що базується на порівнянні дробу з одиницею.
правильною, якщо вона менше одиниці:
Приклад 2
Наприклад, звичайний дріб $\frac(6)(13)$ є правильним, т.к. виконується умова $\frac(6)(13)
Неправильні дроби
Неправильним дробомназивається звичайна дріб $\frac(m)(n)$, у якої чисельник більший або дорівнює знаменнику, тобто. $m\ge n$.
Приклад 3
Наприклад, дроби $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ є неправильними, так як у кожній з них чисельник більший або дорівнює знаменнику, що відповідає визначенню неправильного дробу.
Дамо визначення неправильного дробу, що базується на його порівнянні з одиницею.
Звичайний дріб $\frac(m)(n)$ є неправильноюякщо вона дорівнює або більше одиниці:
\[\frac(m)(n)\ge 1\]
Приклад 4
Наприклад, звичайний дріб $\frac(21)(4)$ є неправильним, т.к. виконується умова $\frac(21)(4) >1$;
звичайна дріб $\frac(8)(8)$ є неправильною, т.к. виконується умова $ frac (8) (8) = 1 $.
Розглянемо докладніше поняття неправильного дробу.
Візьмемо для прикладу неправильний дріб $\frac(7)(7)$. Значення цього дробу - взяли сім часток предмета, який поділений на сім однакових часток. Таким чином, із семи часток, які є в наявності, можна скласти весь предмет. Тобто. неправильний дріб $\frac(7)(7)$ описує цілий предмет і $\frac(7)(7)=1$. Отже, неправильні дроби, у яких чисельник дорівнює знаменнику, описують один цілий предмет і такий дріб може замінити на натуральне число $1$.
$\frac(5)(2)$ -- досить очевидно, що з цих п'яти других часток можна скласти $2$ цілих предмета (один цілий предмет будуть становити $2$ частки, а для складання двох цілих предметів потрібні $2+2=4$ частки) і залишається одна друга частка. Тобто, неправильний дріб $\frac(5)(2)$ описує $2$ предмета і $\frac(1)(2)$ частку цього предмета.
$\frac(21)(7)$ -- з двадцяти однієї сьомих часток можна скласти $3$ цілих предмета ($3$ предмета по $7$ часток у кожному). Тобто. дріб $\frac(21)(7)$ визначає $3$ цілих предмета.
З розглянутих прикладів можна зробити наступний висновок: неправильний дріб можна замінити на натуральне число, якщо чисельник націло ділиться на знаменник (наприклад, $\frac(7)(7)=1$ і $\frac(21)(7)=3$) , або сумою натурального числа і правильного дробу, якщо чисельник націло не ділиться на знаменник (наприклад, $ \ frac (5) (2) = 2 + frac (1) (2) $). Тому такі дроби і називаються неправильними.
Визначення 1
Процес представлення неправильного дробу у вигляді суми натурального числа та правильного дробу (наприклад, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) називається виділенням цілої частини з неправильного дробу.
Працюючи з неправильними дробами простежується тісний зв'язок з-поміж них і змішаними числами.
Неправильний дріб часто записується у вигляді змішаного числа - числа, що складається з цілої та дробової частини.
Щоб записати неправильний дріб як змішаного числа, необхідно розділити чисельник на знаменник із залишком. Приватне складатиме цілу частину змішаного числа, залишок - чисельник дробової частини, а дільник - знаменник дробової частини.
Приклад 5
Записати неправильний дріб $\frac(37)(12)$ у вигляді змішаного числа.
Рішення.
Розділимо чисельник на знаменник із залишком:
\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (залишок\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]
Відповідь.$ frac (37) (12) = 3 frac (1) (12) $.
Щоб записати змішане число у вигляді неправильного дробу, необхідно знаменник помножити на цілу частину числа, до твору, що вийшло, додати чисельник дробової частини та записати отриману суму в чисельник дробу. Знаменник неправильного дробу дорівнюватиме знаменнику дробової частини змішаного числа.
Приклад 6
Записати змішане число $5\frac(3)(7)$ у вигляді неправильного дробу.
Рішення.
Відповідь.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.
Складання змішаного числа та правильного дробу
Додавання змішаного числа$a\frac(b)(c)$ та правильного дробу$\frac(d)(e)$ виконує додаванням до даного дробу дробової частини даного змішаного числа:
Приклад 7
Виконати додавання правильного дробу $\frac(4)(15)$ і змішаного числа $3\frac(2)(5)$.
Рішення.
Скористаємося формулою додавання змішаного числа та правильного дробу:
\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ left(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+frac(4)(15)right)=3+frac(6+4)(15)=3+frac(10)( 15) \]
За ознакою розподілу на число \ textit (5) можна визначити, що дріб $ \ frac (10) (15) $ - скоротний. Виконаємо скорочення та знайдемо результат додавання:
Отже, результатом додавання правильного дробу $\frac(4)(15)$ і змішаного числа $3\frac(2)(5)$ буде $3\frac(2)(3)$.
Відповідь:$3\frac(2)(3)$
Складання змішаного числа та неправильного дробу
Складання неправильного дробу та змішаного числазводять до додавання двох змішаних чисел, для чого достатньо виділити цілу частину з неправильного дробу.
Приклад 8
Обчислити суму змішаного числа $6\frac(2)(15)$ і неправильного дробу $\frac(13)(5)$.
Рішення.
Спочатку виділимо цілу частину з неправильного дробу $\frac(13)(5)$:
Відповідь:$8\frac(11)(15)$.
