Щоб зрозуміти, як обчислювати НОК, слід визначитися в першу чергу зі значенням терміна "кратне".
Кратним числу А називають таке натуральне число, яке без залишку ділиться на А. Так, числами кратними 5 можна вважати 15, 20, 25 і так далі.
Подільників конкретного числа може бути обмежена кількість, а ось кратних безліч.
Спільне кратне натуральних чисел - число, яке ділиться на них без залишку.
Як знайти найменше спільне кратне чисел
Найменше спільне кратне (НОК) чисел (двох, трьох або більше) - це найменше натурально число, яке ділиться на всі ці числа без остачі.
Щоб знайти НОК, можна використовувати кілька способів.
Для невеликих чисел зручно виписати в рядок всі кратні цих чисел до тих пір, поки серед них не знайдеться загальне. Кратні позначають в запису великою літероюК.
Наприклад, кратні числа 4 можна записати так:
К (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
К (6) = (12, 18, 24, ...)
Так, можна побачити, що найменшим спільним кратним чисел 4 і 6 є число 24. Цей запис виконують наступним чином:
НОК (4, 6) = 24
Якщо числа великі, знайти спільне кратне трьох і більше чисел, то краще використовувати інший спосіб обчислення НОК.
Для виконання завдання необхідно розкласти запропоновані числа на прості множники.
Спочатку потрібно виписати в рядок розкладання найбільшого з чисел, а під ним - інших.
У розкладанні кожного числа може бути присутнім різна кількість множників.
Наприклад, розкладемо на прості множники числа 50 і 20.
У розкладанні меншого числа слід підкреслити множники, які відсутні в розкладанні першого найбільшого числа, а потім їх додати до нього. У представленому прикладі не вистачає двійки.
Тепер можна обчислити найменше спільне кратне 20 і 50.
НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Так, твір простих множників більшого числа і множників другого числа, які не ввійшли в розкладання більшої, буде найменшим спільним кратним.
Щоб знайти НОК трьох чисел і більше, слід їх все розкласти на прості множники, як і в попередньому випадку.
Як приклад можна знайти найменше спільне кратне чисел 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Так, в розкладання більшої кількості на множники не ввійшли тільки дві двійки з розкладання шістнадцяти (одна є в розкладанні двадцяти чотирьох).
Таким чином, їх потрібно додати до розкладання більшої кількості.
НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Існують окремі випадки визначення найменшого спільного кратного. Так, якщо одне з чисел можна поділити без залишку на інше, щось більше з цих чисел і буде найменшим спільним кратним.
Наприклад, НОК дванадцяти і двадцяти чотирьох буде двадцять чотири.
Якщо необхідно знайти найменше спільне кратне взаємно простих чисел, Які не мають однакових подільників, то їх НОК буде дорівнювати їх твору.
Наприклад, НОК (10, 11) = 110.
Кратне число - це число, яке ділиться на дане число без залишку. Найменше спільне кратне (НОК) групи чисел - це найменше число, яке ділиться без залишку на кожне число групи. Щоб знайти найменше спільне кратне, потрібно знайти прості множники даних чисел. Також НОК можна обчислити за допомогою ряду інших методів, які застосовуються до груп з двох і більше чисел.
кроки
Ряд кратних чисел
- Наприклад, знайдіть найменше спільне кратне чисел 5 і 8. Це невеликі числа, тому можна використовувати даний метод.
-
Кратне число - це число, яке ділиться на дане число без залишку. Кратні числа можна подивитися в таблиці множення ..
- Наприклад, числами, які кратні 5, є: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
-
Запишіть ряд чисел, які кратні першого числа.Зробіть це під кратними числами першого числа, щоб порівняти два ряди чисел.
- Наприклад, числами, які кратні 8, є: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, і 64.
-
Знайдіть найменше число, яке присутнє в обох рядах кратних чисел.Можливо, вам доведеться написати довгі ряди кратних чисел, щоб знайти загальне число. Найменше число, яке присутнє в обох рядах кратних чисел, є найменшим спільним кратним.
- Наприклад, найменшим числом, яке присутнє в рядах кратних чисел 5 і 8, є число 40. Тому 40 - це найменше спільне кратне чисел 5 і 8.
Розклад на прості множники
-
Подивіться на дані числа.Описаний тут метод краще застосовувати, коли дано два числа, кожне з яких більше 10. Якщо дані менші числа, скористайтеся іншим методом.
- Наприклад, знайдіть найменше спільне кратне чисел 20 і 84. Кожне з чисел більше 10, тому можна використовувати даний метод.
-
Розкладіть на прості множники перше число.Тобто потрібно знайти такі прості числа, при перемножуванні яких вийде дане число. Знайшовши прості множники, запишіть їх у вигляді рівності.
Розкладіть на прості множники друге число.Зробіть це так само, як ви розкладали на множники перше число, тобто знайдіть такі прості числа, при перемножуванні яких вийде дане число.
Запишіть множники, загальні для обох чисел.Запишіть такі множники у вигляді операції множення. У міру записи кожного множника закреслюйте його в обох висловах (вираження, які описують розкладання чисел на прості множники).
До операції множення додайте залишилися множники.Це множники, що не закреслені в обох висловах, тобто множники, які не є загальними для обох чисел.
Обчисліть найменше спільне кратне.Для цього перемножте числа в записаної операції множення.
Знаходження загальних дільників
- Наприклад, знайдіть найменше спільне кратне чисел 18 і 30. Число 18 напишіть в першому рядку і другому стовпці, а число 30 напишіть в першому рядку і третьому стовпці.
Намалюйте сітку як для гри в хрестики-нулики.Така сітка являє собою дві паралельні прямі, які перетинаються (під прямим кутом) з іншими двома паралельними прямими. Таким чином, вийдуть три рядки і три стовпці (сітка дуже схожа на значок #). Перше число напишіть в першому рядку і другому стовпці. Друге число напишіть в першому рядку і третьому стовпці.
-
Знайдіть дільник, загальний для обох чисел.Запишіть його в першому рядку і першому стовпці. Краще шукати прості подільники, але це не є обов'язковою умовою.
- Наприклад, 18 і 30 - це парні числа, тому їх спільним дільником буде число 2. Таким чином, напишіть 2 в першому рядку і першому стовпці.
-
Розділіть кожне число на перший дільник.Кожне приватне запишіть під відповідним числом. Приватне - це результат ділення двох чисел.
Знайдіть дільник, загальний для обох приватних.Якщо такого дільника немає, пропустіть два наступні кроки. В іншому випадку дільник запишіть у другому рядку і першому стовпці.
- Наприклад, 9 і 15 діляться на 3, тому запишіть 3 у другому рядку і першому стовпці.
-
Розділіть кожне приватне на другий дільник.Кожен результат ділення запишіть під відповідним приватним.
Якщо потрібно, доповніть сітку додатковими осередками.Повторюйте описані дії до тих пір, поки у приватних НЕ буде загального дільника.
Обведіть кружками числа в першому стовпці і останньому рядку сітки.Потім виділені числа запишіть у вигляді операції множення.
Подивіться на дані числа.Описаний тут метод краще застосовувати, коли дано два числа, кожне з яких менше 10. Якщо дані великі числа, скористайтеся іншим методом.
алгоритм Евкліда
Запам'ятайте термінологію, пов'язану з операцією поділу.Ділене - це число, яке ділять. Дільник - це число, на яке ділять. Приватне - це результат ділення двох чисел. Залишок - це число, що залишилося при розподілі двох чисел.
Запишіть вираз, яке описує операцію ділення із залишком.вираз: ділене = дільник × приватне + залишок (\ displaystyle (\ text (ділене)) = (\ text (дільник)) \ times (\ text (приватне)) + (\ text (залишок))). Цей вислів буде використано, щоб записати алгоритм Евкліда і знайти найбільший спільний дільник двох чисел.
Більша з двох чисел розглядайте як діленого.Менше з двох чисел вважайте дільником. Для цих чисел запишіть вираз, яке описує операцію ділення із залишком.
Перший дільник перетворите в нове ділене.Залишок використовуйте в якості нового подільника. Для цих чисел запишіть вираз, яке описує операцію ділення із залишком.
Розглянемо три способи знаходження найменшого спільного кратного.
Знаходження шляхом розкладання на множники
Перший спосіб полягає в знаходженні найменшого спільного кратного шляхом розкладання даних чисел на прості множники.
Припустимо, нам потрібно знайти НОК чисел: 99, 30 і 28. Для цього розкладемо кожне з цих чисел на прості множники:
Щоб шукане число ділилося на 99, на 30 і на 28, необхідно і достатньо, щоб в нього входили всі прості множники цих подільників. Для цього нам необхідно взяти все прості множники цих чисел найбільшою зустрічається ступеня і перемножити їх між собою:
2 + 2 • 3 2 × 5 · 7 · 11 = 13 860
Таким чином, НОК (99, 30, 28) = 13 860. Ніяке інше число менше 13 860 не ділиться без остачі на 99, на 30 і на 28.
Щоб знайти найменше спільне кратне даних чисел, потрібно розкласти їх на прості множники, потім взяти кожен простий множник з найбільшим показником ступеня, з яким він зустрічається, і перемножити ці множники між собою.
Так як взаємно прості числа не мають спільних простих множників, то їх найменше спільне кратне дорівнює добутку цих чисел. Наприклад, три числа: 20, 49 і 33 - взаємно прості. Тому
НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32 340.
Таким же чином треба діяти, коли відшукується найменше спільне кратне різних простих чисел. Наприклад, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.
Знаходження шляхом підбору
Другий спосіб полягає в знаходженні найменшого спільного кратного шляхом підбору.
Приклад 1. Коли найбільше з даних чисел ділиться без остачі на інші дані числа, то НОК цих чисел дорівнює більшому із них. Наприклад, дано чотири числа: 60, 30, 10 і 6. Кожне з них ділиться без остачі на 60, отже:
НОК (60, 30, 10, 6) = 60
В інших випадках, щоб знайти найменше спільне кратне використовується наступний порядок дій:
- Визначаємо найбільше число з даних чисел.
- Далі знаходимо числа, кратні найбільшому числу, множачи його на натуральні числа в порядку їх зростання і перевіряючи діляться чи на отримане твір інші дані числа.
Приклад 2. Дано три числа 24, 3 і 18. Визначаємо найбільше з них - це число 24. Далі знаходимо числа кратні 24, перевіряючи чи ділиться кожне з них на 18 і на 3:
24 · 1 = 24 - ділиться на 3, але не ділиться на 18.
24 · 2 = 48 - ділиться на 3, але не ділиться на 18.
24 · 3 = 72 - ділиться на 3 і на 18.
Таким чином, НОК (24, 3, 18) = 72.
Знаходження шляхом послідовного знаходження НОК
Третій спосіб полягає в знаходженні найменшого спільного кратного шляхом послідовного знаходження НОК.
НОК двох даних чисел дорівнює добутку цих чисел, поділеного на їх найбільший спільний дільник.
Приклад 1. Знайдемо НСК двох даних чисел: 12 і 8. Визначаємо їх найбільший спільний дільник: НСД (12, 8) = 4. Перемножуємо дані числа:
Ділимо твір на їх НСД:
Таким чином, НОК (12, 8) = 24.
Щоб знайти НОК трьох і більше чисел використовується наступний порядок дій:
- Спочатку знаходять НОК якихось двох з даних чисел.
- Потім, НОК знайденого найменшого спільного кратного і третього даного числа.
- Потім, НОК отриманого найменшого спільного кратного і четвертого числа і т. Д.
- Таким чином пошук НОК триває до тих пір, поки є числа.
Приклад 2. Знайдемо НОК трьох даних чисел: 12, 8 і 9. НОК чисел 12 і 8 ми вже знайшли в попередньому прикладі (це число 24). Залишилося знайти найменше спільне кратне числа 24 і третього даного числа - 9. Визначаємо їх найбільший спільний дільник: НСД (24, 9) = 3. Перемножуємо НОК з числом 9:
Ділимо твір на їх НСД:
Таким чином, НОК (12, 8, 9) = 72.
Представлений нижче матеріал є логічним продовженням теорії зі статті під заголовком НОК - найменше спільне кратне, визначення, приклади, зв'язок між НОК і НОД. Тут ми поговоримо про знаходження найменшого спільного кратного (НОК), І особливу увагу приділимо рішенням прикладів. Спочатку покажемо, як обчислюється НСК двох чисел через НСД цих чисел. Далі розглянемо знаходження найменшого спільного кратного за допомогою розкладання чисел на прості множники. Після цього зупинимося на знаходженні НОК трьох і більшої кількості чисел, а також приділимо увагу обчисленню НОК негативних чисел.
Навігація по сторінці.
Обчислення найменшого спільного кратного (НОК) через НСД
Один із способів знаходження найменшого спільного кратного заснований на зв'язку між НОК і НОД. Існуюча зв'язок між НОК і НОД дозволяє обчислювати найменше спільне кратне двох цілих позитивних чисел через відомий найбільший спільний дільник. Відповідна формула має вигляд НОК (a, b) = a · b: НСД (a, b) . Розглянемо приклади знаходження НОК за наведеною формулою.
Приклад.
Знайдіть найменше спільне кратне двох чисел 126 і 70.
Рішення.
У цьому прикладі a = 126, b = 70. Скористаємося зв'язком НОК з НСД, що виражається формулою НОК (a, b) = a · b: НСД (a, b). Тобто, спочатку ми маємо знайти найбільший спільний дільник чисел 70 і 126, після чого ми зможемо обчислити НОК цих чисел по записаної формулою.
Знайдемо НСД (126, 70), використовуючи алгоритм Евкліда: 126 = 70 · 1 + 56, 70 = 56 · 1 + 14, 56 = 14 · 4, отже, НОД (126, 70) = 14.
Тепер знаходимо необхідну найменше спільне кратне: НОК (126, 70) = 126 · 70: НСД (126, 70) = 126 · 70: 14 = 630.
відповідь:
НОК (126, 70) = 630.
Приклад.
Чому дорівнює НОК (68, 34)?
Рішення.
Так як 68 ділиться без остачі на 34, то НСД (68, 34) = 34. Тепер обчислюємо найменше спільне кратне: НОК (68, 34) = 68 · 34: НСД (68, 34) = 68 · 34: 34 = 68.
відповідь:
НОК (68, 34) = 68.
Зауважимо, що попередній приклад підходить під таке правило знаходження НОК для цілих позитивні чисел a і b: якщо число a ділиться на b, то найменше спільне кратне цих чисел дорівнює a.
Знаходження НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники
Інший спосіб знаходження найменшого спільного кратного базується на розкладанні чисел на прості множники. Якщо скласти твір з усіх простих множників даних чисел, після чого з цього твору виключити всі загальні прості множники, присутні в розкладах даних чисел, то отриманий добуток дорівнюватиме найменшого спільного кратного даних чисел.
Озвучене правило знаходження НОК випливає з рівності НОК (a, b) = a · b: НСД (a, b). Дійсно, твір чисел a і b дорівнює добутку всіх множників, що беруть участь в розкладах чисел a і b. У свою чергу НСД (a, b) дорівнює добутку всіх простих множників, одночасно присутніх в розкладах чисел a і b (про що написано в розділі знаходження НСД за допомогою розкладання чисел на прості множники).
Наведемо приклад. Нехай ми знаємо, що 75 = 3 · 5 · 5 і 210 = 2 · 3 · 5 · 7. Складемо твір з усіх множників даних розкладів: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7. Тепер з цього твору виключимо всі прості множники, присутні і в розкладанні числа 75 і в розкладанні числа 210 (такими множителями є 3 і 5), тоді твір набуде вигляду 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Значення цього твору одно найменшого спільного кратного чисел 75 і 210, тобто, НОК (75, 210) = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1 050.
Приклад.
Розклавши числа 441 і 700 на прості множники, знайдіть найменше спільне кратне цих чисел.
Рішення.
Розкладемо числа 441 і 700 на прості множники:
Отримуємо 441 = 3 · 3 · 7 · 7 і 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7.
Тепер складемо твір з усіх множників, що беруть участь в розкладах даних чисел: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. Виключимо з цього твору всі прості множники, одночасно присутні в обох розкладах (такий множник тільки один - це число 7): 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7. Таким чином, НОК (441, 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100.
відповідь:
НОК (441, 700) = 44 100.
Правило знаходження НОК з використанням розкладання чисел на прості множники можна сформулювати трохи інакше. Якщо до множників з розкладання числа a додати відсутні множники з розкладання числа b, то значення отриманого твори дорівнюватиме найменшого спільного кратного чисел a і b.
Для прикладу візьмемо все ті ж числа 75 і 210, їх розкладання на прості множники такі: 75 = 3 · 5 · 5 і 210 = 2 · 3 · 5 · 7. До множників 3, 5 і 5 з розкладання числа 75 додаємо відсутні множники 2 і 7 з розкладання числа 210, отримуємо твір 2 · 3 · 5 · 5 · 7, значення якого дорівнює НОК (75, 210).
Приклад.
Знайдіть найменше спільне кратне чисел 84 і 648.
Рішення.
Отримуємо спочатку розкладання чисел 84 і 648 на прості множники. Вони мають вигляд 84 = 2 · 2 · 3 · 7 і 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3. До множників 2, 2, 3 і 7 з розкладання числа 84 додаємо відсутні множники 2, 3, 3 і 3 з розкладання числа 648, отримуємо твір 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7, що дорівнює 4 536 . Таким чином, шукане найменше спільне кратне чисел 84 і 648 одно 4 536.
відповідь:
НОК (84, 648) = 4 536.
Знаходження НОК трьох і більшої кількості чисел
Найменше спільне кратне трьох і більшої кількості чисел може бути знайдено через послідовне знаходження НСК двох чисел. Нагадаємо відповідну теорему, що дає спосіб знаходження НОК трьох і більшої кількості чисел.
Теорема.
Нехай дано цілі позитивні числа a 1, a 2, ..., ak, найменше спільне кратне mk цих чисел знаходиться при послідовному обчисленні m 2 = НОК (a 1, a 2), m 3 = НОК (m 2, a 3), ... , mk = НОК (mk-1, ak).
Розглянемо застосування цієї теореми на прикладі знаходження найменшого спільного кратного чотирьох чисел.
Приклад.
Знайдіть НОК чотирьох чисел 140, 9, 54 і 250.
Рішення.
У цьому прикладі a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
спочатку знаходимо m 2 = НОК (a 1, a 2) = НОК (140, 9). Для цього за алгоритмом Евкліда визначаємо НСД (140, 9), маємо 140 = 9 · 15 + 5, 9 = 5 · 1 + 4, 5 = 4 · 1 + 1, 4 = 1 · 4, отже, НОД (140, 9) = 1, звідки НОК (140, 9) = 140 · 9: НСД (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1 260. Тобто, m 2 = 1 260.
тепер знаходимо m 3 = НОК (m 2, a 3) = НОК (1 260, 54). Обчислимо його через НСД (1 260, 54), який також визначимо за алгоритмом Евкліда 1 260 = 54 · 23 + 18, 54 = 18 · 3. Тоді НОД (1 260, 54) = 18, звідки НОК (1 260, 54) = 1 260 · 54: НОД (1 260, 54) = 1 260 · 54: 18 = 3 780. Тобто, m 3 = 3 780.
залишилося знайти m 4 = НОК (m 3, a 4) = НОК (3 780, 250). Для цього знаходимо НСД (3 780, 250) за алгоритмом Евкліда: 3 780 = 250 · 15 + 30, 250 = 30 · 8 + 10, 30 = 10 · 3. Отже, НСД (3 780, 250) = 10, звідки НОК (3 780, 250) = 3 780 · 250: НСД (3 780, 250) = 3 780 · 250: 10 = 94 500. Тобто, m 4 = 94 500.
Таким чином, найменше спільне кратне вихідних чотирьох чисел дорівнює 94 500.
відповідь:
НОК (140, 9, 54, 250) = 94 500.
У багатьох випадках найменше спільне кратне трьох і більшої кількості чисел зручно знаходити з використанням розкладів даних чисел на прості множники. При цьому слід дотримуватися наступного правила. Найменше спільне кратне кількох чисел дорівнює добутку, яке складається так: до всіх множників з розкладання першого числа додаються відсутні множники з розкладання другого числа, до отриманих множників додаються відсутні множники з розкладання третього числа і так далі.
Розглянемо приклад знаходження найменшого спільного кратного з використанням розкладання чисел на прості множники.
Приклад.
Знайдіть найменше спільне кратне п'яти чисел 84, 6, 48, 7, 143.
Рішення.
Спочатку отримуємо розкладання даних чисел на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7, 6 = 2 · 3, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 7 (7 - просте число, воно збігається зі своїм розкладом на прості множники) і 143 = 11 · 13.
Для знаходження НОК даних чисел до множників першого числа 84 (ними є 2, 2, 3 і 7) потрібно додати відсутні множники з розкладання другого числа 6. Розкладання числа 6 не містить саме ті множників, так як і 2 і 3 вже присутні в розкладанні першого числа 84. Далі до множників 2, 2, 3 і 7 додаємо відсутні множники 2 і 2 з розкладання третього числа 48, отримуємо набір множників 2, 2, 2, 2, 3 і 7. До цього набору на наступному кроці не доведеться додавати множників, так як 7 вже міститься в ньому. Нарешті, до множників 2, 2, 2, 2, 3 і 7 додаємо відсутні множники 11 і 13 з розкладання числа 143. Отримуємо твір 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13, яке дорівнює 48 048.
