Геометрични фигури. Пирамидата е съкратена

Разберете пирамидата

Назначаване 1

Геометрична фигура, украсена с багажокутник и връх, който не трябва да лежи близо до апартамента, за да отмъсти за този бугабу, се нарича пирамида (фиг. 1).

Багатокутникът, от който е сгъната пирамидата, се нарича основата на пирамидата, която, когато е свързана с точката, трикутниците са повърхностите на пирамидата, страните на трикутниците са страните на пирамидата, а точката, която е най-важна за всички трикутници, е върхът на пирамидата.

Вижте пирамидата

Угарът, под формата на малко количество кутиви в основата на пирамидата її, може да се нарече трикутна, чотирикутна тънко (фиг. 2).

Бебе 2.

Още един вид пирамиди - пирамидата е правилна.

Нека представим, че привеждаме сила в правилната пирамида.

Теорема 1

Мустаци на bichni лица на правилни пирамиди с rіvnofemoral трикота, yakі rіvnі помежду си.

Привеждане.

Нека разгледаме обикновената $n-$оглавена пирамида с връх $S$ на извивката $h=SO$. Нека опишем с няколко думи основата на колото (фиг. 4).

Бебе 4.

Нека да разгледаме трикутника $SOA$. За Питагоровата теорема вземаме

Очевидно е, че е толкова важно да си bіchne ребро. Otzhe, всички bіchnі ребра са равни помежду си, така че всички bіchnі лица rіvnoфеморални трикота. Да кажем, че миришат помежду си. Основата oskіlki е правилният bagatokutnik, тогава основите на всички bіchnih лица са равни помежду си. Otzhe, всички bіchnі vіchnі bіchnі vіdіvnyuyut за III знак на равнодушието на trikutnikіv.

Теоремата е завършена.

Нека представим сега едно такова назначение, обвързано с разбирането за правилната пирамида.

Назначаване 3

Апотемът на дясната пирамида се нарича височина на ръба на bіchnoi.

Очевидно е, че зад теоремата всички апотеми са равни помежду си.

Теорема 2

Площта на квадрата върху повърхността на правилната пирамида е показана като добуток по периметъра на основата на апотемата.

Привеждане.

Показателно е, че страната на основата на $n-$ грубата пирамида през $a$ и апотемата през $d$. Otzhe, площадът на bіchnoi ръба на dorivnyuє

И така, според теорема 1 всички страни са равни

Теоремата е завършена.

Друг вид пирамида е пресечена пирамида.

Назначаване 4

Ако начертаете равнина през голямата пирамида, успоредна на нейната основа, след което застанете, разположена между тази равнина, тази равнина на основата се нарича пресечена пирамида (фиг. 5).

Малюнок 5

Страничните лица на пресечената пирамида са трапецовидни.

Теорема 3

Площта на квадрата на повърхността на дясно изглеждащата пирамида е показана като sumi sumi nap_perimeter_v, обосноваваща апотема.

Привеждане.

Показателно е, че страните на основите на $n-$vugіlnoї пирамида през $a\ і \ b$ са ясни, а апотемата през $d$. Otzhe, площадът на bіchnoi ръба на dorivnyuє

Oskіlki vsі bіchnі страни rіvnі, тогава

Теоремата е завършена.

дупето на мениджъра

дупе 1

Познайте площта на квадрата на повърхността на пресечена трико пирамида, тъй като тя е отрязана от правилната пирамида от страната на основата 4 и апотема 5 с път с равнина, който минава през средната линия на лица на бръмбари.

Решение.

Съгласно теоремата за средната линия се взема предвид, че горната основа на пресечената пирамида е $4\cdot \frac(1)(2)=2$, а апотемата е $5\cdot \frac(1) (2)=2,5$.

След това, следвайки теорема 3, вземаме

мениджър

Решение.

Пирамидата се основава на праворазрезен трикутник. Центърът на залога, описан по-горе трико с права кройкалегнете върху йога хипотенуза. Видповидно, АВ = 10 см, АО = 5 см.

Височина на Oskіlki ON \u003d 12 см, след това размерът на ребрата AN и NB е повече
AN 2 = AO 2 + ON 2
AN 2 = 5 2 + 12 2
AN = √169
AN=13

Oskіlki ни vіdoma стойност AO = OB = 5 cm и стойността на един от краката на основата (8 cm), след това височината, спусната до хипотенузата, повече
CB2 = CO2 + OB2
64 = CO2 + 25
CO2 = 39
CO = √39

Ясно е, че стойността на ръба CN е правилна
CN 2 \u003d CO 2 + NO 2
CN 2 = 39 + 144
CN = √183

Видповид: 13, 13 , √183

мениджър

Решение.
Обемът на пирамидата е известен по формулата:
V = 1/3 Sh

Площта на основата е известна по формулата за площта на квадрата на правоъгълно трико:
S = ab / 2 = 8 * 6 / 2 = 24
звезди
V = 1/3 * 24 * 10 \u003d 80 см 3.

пирамиданаречен bagatokutnik, едно от лицата на един вид bagatokutnik ( фондацията ), а всички останали лица са трикутници с шипов връх ( бични фасети ) (фиг. 15). Пирамидата се нарича правилно її основата е правилният багажокутник и върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата (фиг. 16). Трикутна пирамида, която има равни ребра, се нарича тетраедър .

Странично ребропирамидата се нарича страната на bіchnoi фасет, така че основата не може да бъде положена Високо пирамидите се наричат ​​от върха до дъното на основата. Мустаците на ребрата са правилни, пирамидите са равни помежду си, всички странични ръбове са равни, равни и бедрени. Височината на bіchnі vanі на правилната пирамида, изтеглена от върха, се нарича апотема . Диагонално оребряване Нарича се периметър на пирамидата като плоска, която минава през две бични ребра, така че едното лице да не се припокрива.

Площта на буковата повърхностпирамидите се наричат ​​сбор от площите на горчичните лица. Напълно равна повърхност се нарича сбор от площта на ​​usіh bіchnyh лица и основания.

Теореми

1. Що се отнася до пирамидата, всички ребра са равни на равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на кола на описаната основа.

2. Тъй като в пирамидата всички ребра са равни, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на кола на описаната основа.

3. Както в пирамидата, всички лица са чети на равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на вписан в основата кол.

За изчисляване на задължителното мито на достатъчната пирамида, формулата е:

де V- Закълни се;

S основно- основна площ;

Х- Височината на пирамидата.

За правилната пирамида, правилните формули:

де стр- периметърът на основата;

з а- Апотема;

Х- Висота;

S подновяване

S bik

S основно- основна площ;

V- За правилната пирамида.

пресечена пирамидачаст от пирамидата се нарича, положена между основата и същата плоска, успоредна на основата на пирамидата (фиг. 17). Правилна пресечена пирамида част от дясната пирамида се нарича, положена между основата и същата плоска, успоредна на основата на пирамидата.

Изпращане zrіzanoї pyramіdі – podіbnі bagatokutniki. Бични фасети - Трапец. Високо пресечената пирамида се нарича mіzh її основи. по диагонал пресечена пирамида се нарича vіdrіzok, scho z'ednuє її върхове, които не лежат в един фасет. Диагонално оребряване Нарича се периметър на пресечена пирамида като плоска, която преминава през две бични ребра, така че едното лице да не се припокрива.

За пресечена пирамида формулите са валидни:

(4)

де С 1 , С 2 - области на горната и долната основа;

S подновяване- Площ;

S bik- Площ на бичная повърхност;

Х- Висота;

V- Обемът на вижданата пирамида.

За правилната пресечена пирамида правилната формула е:

де стр 1 , стр 2 - периметър на основите;

з а- Апотем на правилната пресечена пирамида.

пример 1.Правилната пирамида трикут има двустранен кут с настройка 60 º. Познайте допирателната на среза на страничния ръб към основната площ.

Решение.Чертеж Zrobimo (фиг. 18).

Тогава пирамидата е правилна в основата на едностранното трико и всички странични лица на равното и равнобедното трико. Двулицеви кут в основата - tse kut nahil bіchnoї vіchnі vіramіdi до равнината на основата. Линейният разрез ще бъде изрязан амежду два перпендикуляра: i. Върхът на пирамидата е проектиран в центъра на трико (центърът на описания кол и вписаният кол в трикота ABC). Кут нахил странично ребро (напр SB) - tse kut mіzh от самия ръб и йога проекция върху равнината на основата. За ребро SBцим кутом буде кут SBD. За да се знае допирателната, е необходимо да се познават катетите ТАКАі OB. Хайде dozhina vіdrіzka BDдоривню 3 а. Крапка професионалист vіdrіzok BDразделят на части: i Z известен ТАКА: Ние знаем:

Внушение:

дупе 2.Да знаете за правилната визия на пирамидата с форма на chotiric, както и диагоналите и основите на сградата, cm и cm, а височината е 4 cm.

Решение.За да разберем обема на видимата пирамида, го ускоряваме с формулата (4). За да се знаят площите на основите, е необходимо да се знаят страните на квадратите-основи, като се знаят техните диагонали. Страните на подставата са равни по размер 2 см и 8 см.

Внушение: 112 см3.

пример 3.Намерете площта на квадрата на квадрата на правилната трикотажна пресечена пирамида, страните на основите са 10 cm и 4 cm, а височината на пирамидата е 2 cm.

Решение.Чертеж Zrobimo (фиг. 19).

Бичната линия на пирамидата е равностранен трапец. За да се изчисли площта на трапеца, е необходимо да се знае основата и височината. Заместител, даден на ума, обзет от невидимата височина. Ние знаем от де А 1 Еперпендикулярно от точка А 1 върху долната основна площ, А 1 д- Перпендикулярно h А 1 на AC. А 1 Е= 2 divs, oskіlki tse височината на пирамидата За znakhodzhennya DE zrobimo dodatkovo малките, на които е изобразен изгледът на звяра (фиг. 20). Крапка професионалист- проекция на центровете на горната и долната основа. отломки (разд. фиг. 20) и от долната страна Добре- радиусът е вписан в дръжката ОМ- Радиус, въведен в число:

MK=DE.

Зад теоремата на Питагор

Площ на бичния фасет:

Внушение:

дупе 4.В основата на пирамидата лежи равностранен трапец, чиято основа аі б (а> б). Кожата на bіchna ръб установява плоскостта на основата на piramidi kut равна j. Познайте площта на повърхността на пирамидата.

Решение.Чертеж Zrobimo (фиг. 21). Обща площ на пирамидата SABCDобщата площ и площта на трапеца ABCD.

Щом се достигне твърдостта, ако страните на пирамидата са равни на плоскостта на основата, тогава върхът се проектира в центъра на вписаната основа на окръжността. Крапка професионалист- Проекция на върховете Сна основата на пирамидата. Трикутник СОДє ортогонална проекция на трикутник CSDкъм основната площ. За теоремата за площта на ортогоналната проекция на плоска фигура вземаме:

По същия начин, имам предвид В този ранг лидерът беше издигнат до знака на квадрата на трапеца. ABCD. Представете си трапец ABCDОкремо (фиг. 22). Крапка професионалист- Центърът е вписан в трапеца на кладата.

Така че, ако можете да поставите colo в трапец, тогава или Z, според Питагоровата теорема, можете

Багатоедърът, който има една от лицата - bagatokutnik, и всички останали лица - trikutniki от увенчания връх, се нарича пирамида.

Ци трикутниците, от които е сгъната пирамидата, се наричат bіchnymi лица, и багажокутникът, който закъса - основапирамиди.

В основата на пирамидата е геометрична фигура - n-kutnik. По това време пирамидата се нарича повече n-кръг.

Трикутну пирамида, всички ребра са равни, обадете се тетраедър.

Наричат ​​се ребрата на пирамидата, които не се припокриват с основата бични, а их гореща точка– ce връхпирамиди. Други ребра на пирамидата трябва да бъдат наречени попълване на партиите.

Назовете пирамидата правилно, така че правилният bagatokutnik лежи в основата и всички странични ребра са равни помежду си.

Изправете се от върха на пирамидата до плоската основа, наречена къдриципирамиди. Може да се каже, че височината на пирамидата е вертикална, перпендикулярна на основата, чиито краища са на върха на пирамидата и върху плоската основа.

За каквато и да е пирамидата, има такива формули:

1) S surf = S bik + S main, де

S povniy - площта на повната повърхност на пирамидата;

S bіk - област bіchnoї surfnі, tobto. сумата от площта на страните на пирамидата;

S main - площта на основата на пирамидата.

2) V = 1/3 S главен N, де

V - обсяг пирамида;

H - височината на пирамидата.

За правилни пирамидиможе да постави:

S bik \u003d 1/2 P главен h, де

P main - периметърът на основата на пирамидата;

h - dozhina apothemi, тоест дужината на височината на bіchnoi фасета, спусната от върха на пирамидата.

Част от пирамидата, положена между две равнини - плоската на основата и плоската на основата, успоредна на основата, се нарича пресечена пирамида.

Основата на пирамидата и периметърът на пирамидата се наричат ​​успоредна равнина недостатъчни служителипресечена пирамида. Назовете други лица бични. Vіdstan mіzh нарича апартаментите на основите къдриципресечена пирамида. Наричат ​​се ребрата, които не лежат върху подпорите бични.

В допълнение, основите на пресечена пирамида подобни n-резачки. Тъй като основите на голямата пирамида са правилните багети и всички странични ребра са равни помежду си, тогава такава голяма пирамида се нарича правилно.

За доста пресечена пирамидаможе да има следните формули:

1) S rep = S bik + S 1 + S 2, де

S povny - зона povnoї сърф;

S bіk - област bіchnoї surfnі, tobto. сумата от площта на горчичните лица на пресечена пирамида, като трапец;

S 1, S 2 - площи на основите;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 S 2))H, де

V - obsyag пресечена пирамида;

H - височина на пресечена пирамида.

За правилна пресечена пирамидатака че може би:

S bik \u003d 1/2 (P 1 + P 2) h,де

P 1 , P 2 - периметърни бази;

h - апотема (височина на ръба на bіchnoї, shcho є trapezіy).

Нека да разгледаме главата на пресечена пирамида.

Задача 1.

Триъгълната пресечена пирамида има височина, която е 10, страните на същите основи са 27, 29 и 52. Изберете обема на пресечената пирамида, тъй като периметърът на другата основа е 72.

Решение.

Съкратената пирамида ABCA 1 B 1 C 1, изобразена на бебе 1.

1. Obyag zrіzanoї piramidi може да бъде знание зад формулата

V \u003d 1 / 3H (S 1 + S 2 + √ (S 1 S 2)), de S 1 - площта на една от подстанциите, можете да знаете за формулата на Херон

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

защото на задачата са дадени три страни на трико.

Maemo: p 1 = (27 + 29 + 52) / 2 = 54.

S 1 = √ (54 (54 - 27) (54 - 29) (54 - 52)) \u003d √ (54 27 25 2) = 270.

2. Пирамидата е пресечена и след това, в основите, лежат като буболечки. В нашия случай трико ABC е подобно на трико A 1 B 1 C 1. В допълнение, коефициентът на сходство може да бъде известен като съотношението на периметрите на трикота, които се разглеждат, а съотношението на техните площи ще бъде подобно на квадрата на коефициента. В този ред може би:

S 1 / S 2 = (P 1) 2 / (P 2) 2 = 108 2 / 72 2 \u003d 9/4. Звезди S 2 = 4S 1 / 9 = 4 270/9 \u003d 120.

Също така, V = 1/3 10 (270 + 120 + √ (270 120)) = 1900.

Дата: 1900 г.

Задача 2.

При триъгълния изглед на пирамидата, през страната на горната основа, е начертана равнина, успоредна на противолажното странично ребро. За кого vіdnoshennі vіdnoshenі vіdnosіvsya vіznag zіzanoї pyramіdі, yakshcho vіdpovіdnіі страни pіdstav vіdnosіtsya като 1:2?

Решение.

Нека разгледаме ABCA 1 B 1 Z 1 - съкратена пирамида, изобразена на Мал 2.

Тъй като в основите страните се виждат като 1: 2, тогава площите на основите се виждат като 1: 4 (трико ABC е подобно на трико A 1 B 1 C 1).

Todі obsyag съкратен pіramіdi dorіvnyuє:

V \u003d 1/3h (S 1 + S 2 + √ (S 1 S 2)) = 1/3h (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 h S 2, de S 2 - Площ на горната основа, h - Височина.

Ale obsyag призма ADEA 1 B 1 C 1 става V 1 = S 2 h i, тогава,

V 2 = V - V 1 = 7/3 h S 2 - h S 2 = 4/3 h S 2.

Също така, V2: V1 = 3:4.

Присъда: 3:4.

Задача 3.

Страните на основите на правилната пресечена пирамида са 2 и 1, а височината е 3. През точката на напречната греда на диагоналите на пирамидата, успоредна на основите на пирамидата, е начертана плоскост, която разделя пирамидата на две части. Научете за грижата за кожата от тях.

Решение.

Пирамидата ABCDA 1 В 1 З 1 D 1, показана на Мал 3.

Значително O 1 O 2 \u003d x, след това OO₂ \u003d O 1 O - O 1 O 2 \u003d 3 - x.

Нека да разгледаме трико V 1 Pro 2 D 1 и трикут VO 2 D:

рязане B 1 Pro 2 D 1 старо изрязване 2 D като вертикално;

изрежете BDO 2 добър разрез D 1 B 1 O 2 i отрежете O 2 ВD старо изрязване B 1 D 1 O 2 обичам да лежи един до друг при B 1 D 1 || Вероятни са BD и обикновените B₁D и ​​BD₁.

Otzhe, trikutnik B 1 Pro 2 D 1 подобен на trikutnik VO 2 D и може да бъде от същата страна:

B1D 1 / BD = O 1 O 2 / O 2 или 1/2 = x / (x - 3), звезди x \u003d 1.

Могат да се видят трико B 1 D 1 и трико LO 2 B: kut B е горещ, а също и двойка едностранни kutіv при B 1 D 1 || LM, по-късно, трико B 1 D 1 Подобно на трико LO 2 B, звезди B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, тогава.

LO 2 = 2/3 B 1 D 1, LN = 4/3 B 1 D 1.

Тогава S KLMN = 16/9 S A 1 B 1 C 1 D 1 \u003d 16/9.

Също така, V 1 = 1/3 2 (4 + 16/9 + 8/3) \u003d 152/27.

V 2 = 1/3 1 (16/9 + 1 + 4/3) \u003d 37/27.

Видповид: 152/27; 37/27.

сайт, с пълно или частно копие на материала, изпратено до оригинала obov'yazkove.

и sіchnoy плосък, yak успоредно на ее основата.

С други думи: пресечена пирамида- това е толкова богато лице, което представлява пирамида и її перетина, успоредна на основата.

Перетин, който успоредно с основата на пирамидата разделя пирамидата на 2 части. Част от пирамидата между основата и перетина - це пресечена пирамида.

Този разрез за пресечена пирамида е една от подстанциите на пирамидата.

Разходете се между основите на пресечена пирамида височината на пресечена пирамида.

Пирамидата ще бъде съкратена правилноако пирамидата, за която е отнета, също е била правилна.

Височината на трапецовиден фасет на правилната пресечена пирамида апотемаправилна пресечена пирамида.

Силата на пресечена пирамида.

1. Кожата на bіchna ръба на правилните zrіzanoї пирамиди с равностранни трапеции със същия размер.

2. Представете огромните пирамиди с подобни бъгове.

3. Ребрата на дясно изглеждащата пирамида могат да бъдат еднакви по размер и едно изтъркано по дължина до основата на пирамидата.

4. Bіchnі vіchnі vіchіchenої pyramіdі є trapezіyami.

5. Двулицеви кути със странични ребра на пирамида с правилен вид могат да бъдат равни по размер.

6. Премахване на площта на основите: S 2 /S 1 = k 2.

Формули за пресечена пирамида.

За красива пирамида:

Обемът на пресечена пирамида е 1/3 от височината з (операционна система) до общата площ на горната основа S1 (а б В Г Д), долната основа на пресечената пирамида S2 (А Б В Г Д) това средно пропорционално между тях.

Обем на пирамидата:

де S1, S2- квадратен подстав,

з- Височина на вижданата пирамида.

Квадратна повърхност dorіvnyuє общи площи на bіchnyh лица на пресечена пирамида.

За правилната пресечена пирамида:

Правилният изглед на пирамидата- багатоедър, който се състои от правилна пирамида и її перетина, която е успоредна на основата.

Дали квадратите на bіchnі повърхност на правилно пресечена pіrаmіdі dоrіvnyuє? dobutku sumi perimeters її основи и апотема.

де S1, S2- квадратен подстав,

φ - Двулицев разрез на основата на пирамидата.

CHе висока пресечена пирамида, P1і P2- периметрите на основите, S1і S2- maidans pіdstav, S bik- площта на бично повърхността, S подновяване- Плоска повърхност:

Перетин пирамида с плоска, успоредна на основата.

Перетинът на пирамидата е плосък, така че успоредно с подпорите (перпендикулярно на височината) височината на вертикалните ребра на пирамидата върху пропорционалните ребра.

Перетинът на пирамидата е плосък, тъй като е успореден на нейната основа (перпендикулярно на височината) - това е bagatokutnik, който е подобен на основата на пирамидата, с който коефициент на сходство на тези bagatokutnik_v vіdpovіdaє vіdnoshennia їх vіdstanі vіd piramіdі.

Квадратите на периметрите, сякаш успоредни на основата на пирамидата, изглеждат като квадрати на техните прозорци в изгледа на върха на пирамидата.