Умножете матрица по вектор онлайн. Възпроизвеждане на квадратна матрица чрез матрица

Това е една от най-обширните операции с матрици. Матрицата, както изглежда след умножението, се нарича създаване на матрици.

Матрицата на Dobootcom А м × нна матрицата B n × кматрица См × ктака че елементът на матрицата ° С, какво да знаете в ити ред j-ом стовпци, тобто елемент c ijсумата от творчески елементи ити ред на матрицата Ана видими елементи jта колона на матрицата Б.

процес множество матрицивъзможно е само на пръв поглед, ако броят на колоните в първата матрица е равен на броя на редовете в другата матрица.

дупето:
Можете ли да умножите матрица по матрица?

m =н, Otzhe, можеш да умножиш тези матрици.

Ако помните матриците като мисии, тогава с такива матрици вече няма да можете да се размножавате.

м≠ нв такъв ранг е невъзможно да се спечели множественото число:

Често можете да завършите задачата с трик, ако преподавате умножете матрици, множество такива свидетели е невъзможно.

Уважавайте, че понякога можете да умножавате матрици и така, и така. Например, за матрици, i може да се умножи MN, така че I множествено число Н.М.

Tse не е твърде сгъваем. Множеството матрици са по-лесни за разбиране при конкретни акции, т.к Само назначените могат да се объркат много.

Нека започнем с най-простия пример:

Необходимо е да се умножи по . Нека първо представим формулата за тази випадка:

- Тук върховенството на закона е добро.

Умножете по .

Формулата за тази випадка: .

Матрично умножение и резултат:

В резултат на това се получава т.нар. нулева матрица.

Още по-важно е да запомните, че „правилото за пренареждане на мястото на добавките“ не работи тук, MN≠ НМ. Том, вироблючи операция за умножение на матрицаим по всяко време не е възможно да ги променяте с мисии.

Сега нека да разгледаме матричното умножение от третия ред:

умножете на .

Формулата е подобна на най-малката:

Матрични решения: .

За да се умножат едни и същи матрици, само за да се замени друга матрица, се взема просто число. Как можете да познаете, така че умножаването е по-лесно за отгатване.

Пример за умножаване на матрица по число:

Всичко тук имаше смисъл – за да умножете матрицата по числонеобходимо е да се облече елементът на матрицата и последователно да се умножи по посочения номер. В тази випадка - с 3.

Още едно кафяво дупе:

- матрично умножение върху дробно число.

Можем да ви покажем тези, които не са необходими за работа:

Когато матрица се умножи по число, не е необходимо да добавяте число към матрицата, така че в първия ред само да се сгъва по-далеч от матрицата, по различен начин, това опростява повторната проверка на решение на деловодителя.

Още повече, че не е необходимо да разширявате скинния елемент на матрицата с -7:

.

Какво варто да расте в тази випадка - тсе да добавиш минус към матрицата:

.

Yakby е вашият задник, ако всички елементи на матрицата бяха разделени на 7 без излишък, тогава би било възможно (и необходимо!) да се добави.

За това приложение е възможно и се изисква да се умножат всички елементи на матрицата по ½, т.к кожният елемент на матрицата се дели на 2 без излишък.

Забележка: теоретично висшата математика няма гимназиално разбиране за "podіl". Вместо фразата „не добавяйте към това“ винаги можете да кажете „умножете по повече“. Тобто подил - це okremy vipadokмножествено число.

Допълнителни матрици (C = AB) - операция само за разширяване на матрици A и B, за които броят на колоните в матрица A е равен на броя на редовете в матрицата:

C ∟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

дупе 1

Матрични данни:

• A = a (i j) разширение m × n;
• B = b (i j) разширено p × n

Матрица C , елементи c i j се изчисляват по следната формула:

c i j = a i 1 x b 1 j + a i 2 x b 2 j +. . . + a i p × b p j, i = 1,. . . m, j = 1,. . . м

дупе 2

Нека изчислим AB = BA:

A = 1 2 1 0 1 2 , B = 1 0 0 1 1 1

Решения, използващи правило за умножение на матрици:

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

Намерени са Tvіr AB и BA, но има матрици с различни разширения: AB не е близо до BA.

Силата на множество матрици

Мощност на множество матрици:

• (А В) С = А (В С) – асоциативност на матрично умножение;
• A (B + C) \u003d A B + AC - разпределително умножение;
• (A + B) C \u003d AC + B C - разпределителен множител;
• λ (AB) = (λ A) B

Мощност на заден ход #1: (AB) C = A (BC):

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .

дупе 2

Посетете отново мощност #2: A (B+C) = AB+AC:

A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

AB + AC \u003d 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58 .

Tvir тройна матрица

Трите матрици на Dobutok A B се изчисляват по два начина:

• знам AB i умножавам по C: (AB) C;
• в противен случай знайте реда BC и след това умножете A (BC).

Умножете матриците по два начина:

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Алгоритъм сам:

• знам dobutok 2 матрици;
• Нека да научим отново добуток на 2 матрици.

едно). AB \u003d 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 = 4 (-28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126 ) = 2 - 6 - 6 21

2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Използваме формула ABC \u003d (AB) C:

едно). B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12

2). A B C \u003d (A B) C = 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 = 4 (-10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (-12) = 2 0 0 3

Съвпадение: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Умножаване на матрица по число

Добавянето на матрицата A с числото k - същата матрица B = A k със същия размер, взето от изходното умножение върху дадения брой на всички її елементи:

b i , j = k × a i , j

Силата на умножаване на матрица по число:

• 1 × A = A
• 0 × A = нулева матрица
• k(A + B) = kA + kB
• (k + n) A = k A + n A
• (k×n)×A = k(n×A)

Знаем допълнителната матрица A = 4 2 9 0 на 5.

5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Възпроизвеждане на матрица чрез вектор

За да се знае допълнителната матрица и вектор, е необходимо да се умножи според правилото "ред на колона":

• ако умножите матрица по вектор-ред, броят на редовете в матрицата може да се увеличи с броя на редовете във вектор-ред;
• резултатът от умножаването на вектор-стоупца е просто вектор-стоупец:

A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a mnb 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a n × bna 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × bn ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ am 1 × b 1 + am 2 × b 2 + ⋯ + amn × bn = c 1 c 2 ⋯ c 1 m

• Ако умножите матрицата по вектора ред, тогава матрицата е виновна както за вектора колона, така и за броя на колоните се дължи на броя на колоните във вектора на реда:

A B = a a ⋯ a bb ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × bna 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × bn ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an × b 1 an × b 2 ⋯ an × bn = c 11 c 12 ⋯ c 1 nc 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ cn 1 cn 2 ⋯ cnn

дупе 5

Знаем допълнителната матрица A и векторната колона B:

AB \u003d 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (-1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

дупе 6

Знаем допълнителната матрица A и вектора ред B:

A = 3 2 0 - 1, B = 1 1 0 2

A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (-1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Индикация: A B \u003d - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Как запомнихте извинението в текста, бъдете любезни, вижте го и натиснете Ctrl + Enter

В тази тема ще бъдат разгледани такива операции, като добавяне на тази входна матрица, умножение на матрица по число, умножение на матрица по матрица, транспониране на матрица. Usі znachennya, scho vikoristovuyutsya на ts_y страна, взети от предните теми.

Сгъване на тази визуална матрица.

Сумата от $A+B$ матрици $A_(m\times n)=(a_(ij))$ и $B_(m\times n)=(b_(ij))$ е матрицата $C_(m\ пъти n) =(c_(ij))$, където $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ за всички $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1 ,n) $.

Въведете подобно обозначение за различни матрици:

Цената на $AB$ матрици $A_(m\times n)=(a_(ij))$ и $B_(m\times n)=(b_(ij))$ е матрицата $C_(m\times n) )=( c_(ij))$, de $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ за всички $i=\overline(1,m)$ и $j=\overline(1,n )$.

Обяснение преди публикацията $i=\overline(1,m)$: show\hook

Записът "$i=\overline(1,m)$" означава, че параметърът $i$ се променя от 1 на m. Например, нотацията $i=\overline(1,5)$ се отнася до тези, че параметърът $i$ приема стойност 1, 2, 3, 4, 5.

Моля, обърнете внимание на факта, че операциите по добавяне и упражняване са предназначени само за матрици със същия размер. Vzagali, добавяне и vіdnіmannya матрици - операции, ясни интуитивно, по-лоша воня, всъщност това е по-малко сумиране или по-очевидни елементи.

Дупе №1

Дадени са три матрици:

$$ A=\left(\begin(масив) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(масив) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \-5 & 4 \end(array) \right). $$

Чи можеш ли да знаеш матрицата $A+F$? Познайте матриците $C$ и $D$, т.е. $C=A+B$ и $D=A-B$.

Матрица $A$ за почистване на 2 реда и 3 колони (с други думи, разширението на матрицата $A$ е $2\ пъти 3$), и матрица $F$ за почистване на 2 реда и 2 реда. Разширенията на матриците $A$ и $F$ не избягат, така че можем да ги добавим заедно. операцията $A+F$ за тези матрици не е присвоена.

Нека матриците $A$ и $B$ се разширят, така че. данните на матрицата трябва да са равни на броя на редовете и stovptsiv, ще се изисква операцията за добавяне към тях.

$$ C=A+B=\left(\begin(масив) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+ ( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(масив) \вдясно) $$

Знаем матрицата $D=A-B$:

$$ D=AB=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25) ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(масив) \вдясно) $$

Видповид: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Умножаване на матрица по число.

Допълнителната матрица $A_(m\times n)=(a_(ij))$ за числото $\alpha$ е матрицата $B_(m\times n)=(b_(ij))$, където $b_( ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ за всички $i=\overline(1,m)$ и $j=\overline(1,n)$.

Привидно по-просто, умножете матрицата по числото - означава умножете скин елемента на дадената матрица по цялото число.

Дупе №2

Дадена е матрица: $ A = \ left (\ начало (масив) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Познайте матрици $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ i $ - A $.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( масив) (ccc) 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (масив) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(масив) \вдясно) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \край(масив)\вдясно). $$

Нотацията $-A$ е кратка нотация за $-1\cdot A$. Така че, за да знаете $-A$, трябва да умножите всички елементи на матрицата $A$ по (-1). По същество това означава, че знакът на всички елементи в матрицата $A$ се променя на удължаване:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ ляв(\begin(масив) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(масив) \вдясно) $$

Видповид: $3\cdot A=\left(\begin(масив) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(масив) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(масив) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Dobutok две матрици.

Целта на тези операции е тромава и на пръв поглед неразумна. Ще ви кажа в задната част на главата по-сериозна среща и след това ще докладваме какво означава това и как да се справите с него.

Подмножеството на матрицата $A_(m\times n)=(a_(ij))$ върху матрицата $B_(n\times k)=(b_(ij))$ е матрицата $C_(m\times k )=(c_( ij))$, за елемент на кожата $c_(ij)$ елементи i-тиредове от матрица $A$ върху елементи от j-та колона на матрица $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \; \; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Умножението на матриците на Покроков е взето от дупето. Моля, имайте предвид обаче, че не всички матрици могат да бъдат умножени. Ако искаме да умножим матрицата $A$ по матрицата $B$, тогава трябва да се отдръпнем, така че броят на колоните в матрицата $A$ е равен на броя на редовете в матрицата $B$ (такива матрици често се наричат моляженими). Например, матрицата $A_(5\times 4)$ (матрицата има 5 реда и 4 реда), не може да се умножи по матрицата $F_(9\times 8)$ (9 реда и 8 реда), числото на редовете на $A матрицата $ не е равно на броя на редовете в матрицата $ F $, това е всичко. $4\neq 9$. И умножението на матрицата $A_(5\times 4)$ по матрицата $B_(4\times 9)$ е възможно, но броят на колоните в матрицата $A$ е по-голям от броя от редове в $B$ матрицата. В този случай резултатът от умножаването на матриците $A_(5\times 4)$ и $B_(4\times 9)$ ще бъде матрицата $C_(5\times 9)$, която ще покрива 5 реда и 9 колони:

Дупе №3

Дадена е матрица: $ A = \ left ( \ начало (масив) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ край (масив) \вдясно)$ i $ B=\left(\begin(масив) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(масив) \вдясно ) $. Познайте матрицата $C = A\cdot B$.

Редът на величината е важен за разширяването на матрицата $C$. Ако матрицата $A$ е $3\times 4$, а $B$ е $4\times 2$, тогава матрицата $C$ е $3\times 2$:

След това, в резултат на добавянето на матриците $A$ и $B$, ние последователно вземаме матрицата $C$, която се състои от три реда и две колони: $ C = \ left ( \ begin (масив) ( cc) c_ (11) & c_ ( 12) \c_(21) & c_(22) \c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Освен значението на елементите на повикването, можете да разгледате предната тема: "Матрици. Вижте матрицата. Основни термини", на кочана на която е обяснено значението на елементите на матрицата. Нашата мета е да знаем стойностите на всички елементи в $C$ матрицата.

Нека разгледаме елемента $c_(11)$. За да вземем елемента $c_(11)$, е необходимо да се знае сумата от създаването на елементите на първия ред на матрицата $A$ и първата колона на матрицата $B$:

За да познаете елемента $c_(11)$, е необходимо да умножите елементите на първия ред на матрицата $A$ по вторите елементи на първата колона на матрицата $B$, след това. първият елемент е първият, другият е другият, третият е третият, четвъртият е четвъртият. Очаква се оттегляне на резултатите:

$$ c_(11)=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $$

Продължаваме с решението и знаем $c_(12)$. За което се случва да умножите елементите на първия ред на матрицата $A$ и другия ред на матрицата $B$:

Подобно на предната, може би:

$$ c_(12)=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $$

Намерени са всички елементи от първия ред на матрицата $C$. Нека преминем към друг ред, който стартира елемента $c_(21)$. За да разберете това, умножете елементите на друг ред от матрицата $A$ и първата колона на матрицата $B$:

$$ c_(21)=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23. $$

Напредващият елемент $c_(22)$ е известен чрез умножаване на елементите на друг ред от матрицата $A$ по елементите на втория ред на друг ред от матрицата $B$:

$$ c_(22)=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $$

За да знаете $c_(31)$, умножете елементите на третия ред на матрицата $A$ по елементите на първата колона на матрицата $B$:

$$ c_(31)=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8. $$

Първо, стойността на елемента $c_(32)$ трябва да се умножи по елементите на третия ред на матрицата $A$ по другите елементи на друга колона на матрицата $B$:

$$ c_(32)=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $$

Всички елементи на матрицата $C$ са намерени, не е достатъчно да се запише, че $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \- -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( масив) \вдясно)$ . Або, пак ще пиша още:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(масив) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(масив) \вдясно)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Видповид: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Преди речта, често няма смисъл да се отчита значението на елемента на кожата в матрицата-резултат. За матрици, чийто брой е малък, можете да го намерите така:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \- -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6cdot(4)+3cdot(-6) & 6cdot(9)+3cdot(90) ) \\ -17\cdot (4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) ( cc) 6 & 324 \- -56 & -333 \end(array) \right) $$

Моля, обърнете внимание, че умножението на матриците е некомутативно. Tse означава, че в дивата природа вападка $A\cdot B\neq B\cdot A$. Само за определени типове матрици, как се назовава пермутационен(в противен случай пътуване до работното място), разликата е $Acdot B = Bcdot A$. Самата некомутативност на умножението е необходимо да се покаже как умножаваме, като умножаваме това чи и друга матрица: отдясно чи е зло. Например, фразата „умножете частта на нарушение на паритета $3EF=Y$ по матрицата $A$ е дясна“ означава, че е необходимо да се вземе следната четност: $(3E-F)\dot A= Y\cdot A$.

Матрицата $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, за елементи, т.е. $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Привидно по-просто, за да вземем транспонираната матрица $A^T$, е необходимо външната матрица $A$ да замени колоните с двойни редове следвайки този принцип: първи ред - става първи ред; buv another row - стои друг ред; бъде третият ред - станете третата стъпка и т.н. Например, ние знаем транспонираната матрица към матрицата $A_(3\times 5)$:

Ясно е, че тъй като външната матрица е малка $3\по 5$, транспонираната матрица е $5\по 3$.

Действителни характеристики на операциите с матрици.

Тук е предадено, че $ alpha $, $ beta $ са десетични числа, а $ A $, $ B $, $ C $ са матрици. За първите chotirioh авторитети, след като посочи името, reshta може да бъде наречена по аналогия с първата chotirma.

Назначаване. Dobootcom две матрици Аі Внаречена матрица У, елементът се променя на повторната линия ити ред та jти етап и-ти ред на матрицата Ана отделни (по ред) елементи jта колона на матрицата В.

Защо е формулата на матричния елемент ° С:

Матрица телевизия Ана матрицата Вбъде назначен АБ.

пример 1.Познайте tvir две матрици Аі Б, като

,

.

Решение. Zruchne znahodzhennya създаване на две матрици Аі Взапишете го като на фиг. 2:

На диаграмата стрелките показват елементите на определен ред от матрицата Авърху елемента на матрицата Втрябва да се умножи, за да се премахнат матричните елементи Уи цветните линии на матричния елемент ° С z'ednani vіdpovіdnі матрични елементи Аі Б, create, които се добавят за избор на матричния елемент ° С.

В резултат на това се вземат елементи от допълнителни матрици:

Сега имаме всичко, за да запишем две матрици:

.

Dobutok две матрици АБима по-малко смисъл в този случай, ако броят на колоните на матрицата А zbіgaєtsya с броя на редовете в матрицата В.

Тази важна функция ще бъде по-лесна за запомняне, тъй като по-често се ускорява с такива напомняния:

Дано има още един важна характеристикасъздайте матрици за броя на редовете и колоните:

Творението има матрица АБброят на редовете в матрицата е равен на броя на редовете в матрицата А, а броят на колоните е равен на броя на колоните в матрицата В .

дупе 2.Намерете броя на редовете и колоните на матрицата ° С yak е създаването на две матрици Аі Бпредстоящи разширения:

а) 2 X 10 и 10 X 5;

б) 10 X 2 и 2 X 5;

пример 3.Познайте матрицата на doboot Аі Б, като:

.

А Б- 2. Отже, разширяването на матрицата ° С = АБ- 2 X 2.

Преброими матрични елементи ° С = АБ.

Намерени tvir матрици: .

Възможно е преобразуване на варианта на числата и други подобни задачи калкулаторите създават матрица онлайн .

Пример 5.Познайте матрицата на doboot Аі Б, като:

.

Решение. Броят на редовете в матрицата А- 2, броят на колоните в матрицата Б ° С = АБ- 2 X 1.

Преброими матрични елементи ° С = АБ.

Допълнителни матрици се записват в изгледа на матрицата-стойка: .

Възможно е преобразуване на варианта на числата и други подобни задачи калкулаторите създават матрица онлайн .

Пример 6.Познайте матрицата на doboot Аі Б, като:

.

Решение. Броят на редовете в матрицата А- 3, броят на колоните в матрицата Б- 3. Отже, разширяването на матрицата ° С = АБ- 3X3.

Преброими матрични елементи ° С = АБ.

Познаване на twir матрици: .

Възможно е преобразуване на варианта на числата и други подобни задачи калкулаторите създават матрица онлайн .

Пример 7.Познайте матрицата на doboot Аі Б, като:

.

Решение. Броят на редовете в матрицата А- 1, броят на колоните в матрицата Б- 1. Отже, разширяването на матрицата ° С = АБ- 1 X 1.

Матричен елемент е изброим ° С = АБ.

Допълнителна матрица є матрица z един елемент: .

Възможно е преобразуване на варианта на числата и други подобни задачи калкулаторите създават матрица онлайн .

Софтуерната реализация на две матрици в C ++ беше избрана за най-важната статия в блока "Компютри и програмиране".

Връзките на матрицата в стъпките са показани като умножение на матрицата по същата матрица. И така, как dobutok матрица іsnuє іlki іlki іlі, іn номер stoptsіv і в първата матрица zbіgaєtsya z число ryadіkі в друга ії матрица, zvodіk іn stupіnі ії аlki квадратни матрици. н-и стъпката на матрицата е начин за умножаване на матрицата върху себе си нпъти:

Пример 8.Дадена матрица. Зная А² това А³ .

Запознайте се с допълнителните матрици сами и след това разгледайте решението

Пример 9.Дадена матрица

Намерете разширението на дадената матрица и транспонираната матрица, разширението на транспонираната матрица и дадената матрица.

Мощност 1. Tvіr be-подобни матрици на една матрица E в същия ред като дясната, и zlіva, zbіgaєtsya с матрица A, tobto. AE = EA = A.

С други думи, ролята на единичната матрица при умножаването на матрици е същата като ролята на единичните при умножаването на числата.

дупе 10.Примирете се със справедливостта като качество 1, умеете да създавате матрици

върху една матрица, дясна и лява.

Решение. Oskіlki матрица Аза да отмъсти за три думи, тогава е необходимо да се знае истината AE, де

-
една по една матрица от трети порядък. Ние познаваме елементите на сътворението У = AE :

Излез шо AE = А .

Сега знаем твир EA, де Е- Една по една матрицата е от различен ред, така че матрицата A е два реда. Ние познаваме елементите на сътворението У = EA :

Датската методическа помощ ще ви помогне да научите как да печелите dії с матрици: събиране (премахване) на матрици, транспониране на матрици, умножение на матрици, значение на основната матрица. Целият материал на излаганията е в проста и достъпна форма, направен е по същия начин, в такъв ранг неподготвеният човек може да се научи да пише с матрици. За самоконтрол и самопроверка можете да използвате матричния калкулатор >>> безплатно.

Опитвам се да минимизирам теоретичните подклаузи, ако можете да обясните „на пръсти“ тези ненаучни термини. Любителите на основната теория, бъдете мили, не се занимавайте с критика, нашата задача е научете как да се научите да използвате матрици.

За повърхностна подготовка по темата (кой "гори") - интензивен pdf-курс Matrix, vyznachnik тази зала!

Матрицата е правоъгълна таблица, независимо дали е елементи. В якоста елементиможем да разгледаме числата, това са числовите матрици. ЕЛЕМЕНТ- Tse термин. Терминът трябва да се помни, вината често са драскани, аз не използвам за тази визия с удебелен шрифт.

Обозначаване:матриците звучат с страхотни латински букви

дупето:Нека да разгледаме матрицата две по три:

Тази матрица се състои от шест елементи:

Всички числа (елементи) в средата на матрицата можете да намерите сами, така че не можете да намерите нищо за нея:

Това е просто таблица (набор) от числа!

Значи сме си вкъщи не пренареждайтеномер, който не е посочен в обясненията. Номерът на кожата има собствено място на гниене и е невъзможно да ги разбъркате!

Матрицата се разглежда, тя има два реда:

и три стълба:

СТАНДАРТ: ако говорим за разширяване на матрицата, тогава на кочанпосочете броя на редовете, а след това - броя на колоните. Малко по малко те подредиха матрицата „две по три“ с четки.

Ако броят на редовете и колоните на матрицата е ​​zbіgaєtsya, тогава матрицата се нарича квадрат, например: - матрица три по три.

Както в матрица един ред или един ред, такива матрици също се наричат вектори.

Ние наистина знаем матриците от училищата, нека да разгледаме например точка с координати "iks" и "igrok": . Всъщност координатите на точката са записани в матрица едно по две. Преди речта оста за вас е пример, защо редът на числата може да бъде значим: i - това са две различни точки от равнината.

Сега да продължим безпроблемно към сватбата DIY от матрици:

1) Дия първа. Вината на минуса от матрицата (въвеждане на минус в матрицата).

Нека се обърнем към нашата матрица . Както си спомняте, моята матрица има твърде много отрицателни числа. Още по-неудобно е с поглед на драскача на различните с матрицата, удобно е да напишеш минусовите бележки, тази просто изглежда грозна в дизайна.

Ние обвиняваме минуса за интер-матриците, променяйки знака на елемента SKIN на матрицата:

На нула, както знаете, знакът не се променя, нула - вино и нула в Африка.

Зворотно дупе: . Гледам снизходително.

Въвеждаме минус към матрицата, променяйки знака на елемента SKIN на матрицата:

Е, ос, богато симпатичен veyshlo. Аз, naygolovnіshe, ще бъде ПО-ЛЕСНО да победим матрицата. Защото е толкова математически народни прикмета: колкото повече минуси - толкова повече мошеници и помилвания.

2) Диа приятел. Умножаване на матрица по число.

дупето:

Това е просто, за да умножите матрицата по число, имате нужда КожаУмножете елемента от матрицата по цялото число. При когото падна - на тройка.

Още едно кафяво дупе:

– матрично умножение по дриб

На задната част на главата гледаме тези, които са робити НЕ Е ЗАДЪЛЖИТЕЛНО:

Добавянето на повече към матрицата НЕ СЕ ИЗИСКВА, първо, по-лесно е да се отдалечи с матрицата, по различен начин е по-лесно да се провери повторно решението от vikladach (особено, тъй като - Остатъчна заявка).

Тим повече, НЕ Е ЗАДЪЛЖИТЕЛНОделикатност на кожния елемент на матрицата с минус sіm:

Три статистики Математика за манекени или защо иначе, помним това десетични дробис които всички останали математици се опитват да бъдат уникални.

Едно нещо баган robiti във вашето приложение - tse добавете минус към матрицата:

И от якби ВСИЧКОматричните елементи бяха разделени на 7 без излишък, Тогава можете (и трябва!) Boulo b podіlit.

дупето:

В коя посока мога да НЕОБХОДИМОумножете всички елементи на матрицата по , така че всички числа на матрицата да се разделят на 2 без излишък.

Забележка: теоретично висшата математика няма гимназиално разбиране за "podіl". Вместо фразата „не добавяйте към това“ винаги можете да кажете „умножете по повече“. Tobto podіl - tse okremia vpadok множествено число.

3) Дия трета. Матрично транспониране.

За транспониране на матрицата е необходимо да се напишат редове в колоните на транспонираната матрица.

дупето:

Транспониране на матрица

Тук има само един ред и според правилото е необходимо да го запишете в колоната:

е транспонираната матрица.

Транспонираната матрица е обозначена с индекс на горен индекс и щрих с дясната страна в планините.

Покрийте дупето:

Транспониране на матрица

На гърба пренаписваме първия ред на първата стъпка:

Нека пренапишем още един ред в друг ред:

І, nareshti, пренаписвам третия ред при третия сток:

Готов. Привидно, транспонирането означава завъртане на матрицата настрани.

4) Дия четвърта. Матрица на сбора (продажба на дребно)..

Сборът от матрици diya е неудобен.
НЕ ВСИЧКИ МАТРИЦИ МОГАТ ДА СЕ СГЪВАТ. За vykonannya сгъваеми (vіdnіmannya) матрици е необходимо вонята на булките да бъде еднаква ЗА ROZMIROM.

Например, ако е дадена матрица "две по две", тогава можете да я добавите само към матрицата "две по две" и по всякакъв друг начин!

дупето:

Сгънете матриците і

За да сгънете матриците, е необходимо да сгънете необходимите им елементи:

За различни матрици правилото е подобно, необходимо е да се знае разликата между различните елементи.

дупето:

Познайте разликата на матриците ,

И как да опростите това дупе, за да не се изгубите? Не се колебайте да добавите минусите, за които ще добавим минус към матрицата:

Забележка: теоретично няма такова нещо като гимназиално разбиране на математиката. Вместо фразата "каквото и да видите" винаги можете да кажете "да добавите отрицателно число". Tobto vіdnimannya - tse okremy vipadok сгънат.

5) Дия п'ята. Възпроизвеждане на матрици.

Какви матрици могат да бъдат умножени?

Така че матрицата може да бъде умножена по матрицата според нуждите, така че броят на колоните в матрицата да е равен на броя на редовете в матрицата.

дупето:
Можете ли да умножите матрица по матрица?

Отново можете да умножите тези матрици.

И от същата матрица пренаредете мисиите, тогава по този начин умножението вече е невъзможно!

Отже, виконати множествено число е невъзможно:

Не е толкова рядко да се видят задачите с подхода, ако ученикът бъде насърчен да умножи матриците, чието умножение е очевидно невъзможно.

Плъзнете, за да посочите, че редица променливи могат да умножат матрици і така, і така.
Например, за матрици, i може да се умножи, така че умножих