Kuinka tasapainottaa rajat tangentilla. Ensimmäinen hirviömäinen raja: tiedon soveltaminen, suunnittelu ja raportointipäätökset

Yllä olevasta artikkelista saat selville, mikä ero on ja mitä syödä - mutta se on ERITTÄIN tärkeää. Miksi? Et ehkä ymmärrä, että tällaiset johtajat pystyvät voittamaan ne menestyksekkäästi, et ehkä ymmärrä ollenkaan, että he ovat niin samankaltaisia ​​ja löytää heidät "viidosta". Jos et ymmärrä tällaisen eron olemassaoloa, käytännön tehtävien suorittaminen on vaikeaa. Emme myöskään epäröi perehtyä päätöksen suunnittelun merkitykseen ja suunnitteluehdotuksiini. Kaikki tiedot esitetään yksinkertaisessa ja helposti saatavilla olevassa muodossa.

Ja tätä oppituntia varten tarvitsemme seuraavat metodologiset materiaalit: ihme rajatі trigonometriset kaavat. Löydät ne sivulta. Paras tapa kehittää koulutusoppaita on paljon helpompaa, koska niitä käytetään usein offline-tilassa.

Mitkä ovat ihmeelliset, ihmeelliset rajat? Näiden tietojen ihme piilee siinä tosiasiassa, että ne ovat kuuluisien matemaatikoiden suurimmat mielet kehittäneet, eikä jokaisen ihmisen tarvitse kärsiä trigonometristen funktioiden, logaritmien ja askelmien kauheista rajoista. Sitten, jos selvitämme keskenämme, voimme hyötyä valmiista tuloksista, jotka on saavutettu teoreettisesti.

Niiden välillä on sirpale ihmeitä, mutta käytännössä osa-aikaisten opiskelijoiden keskuudessa 95 prosentissa tapauksista on kaksi ihmettä: Ensimmäinen hirviö rajalla, Toinen rajan hirviö. On huomattava, että nämä nimet ovat historiallisesti muotoiltuja, ja jos esimerkiksi puhumme "ensimmäisestä ihmeellisesta rajasta", niin ne ansaitsevat kunnioituksen koko tämän laulun alla, eivätkä jonkinlaista satunnaista lähestymistapaa, joka on otettu rajan terästä. .

Ensimmäinen hirviö rajalla

Katsotaanpa rajoja: (tavanomaisen "heh" -kirjaimen sijaan käytän kreikkalaista "alfa" -kirjainta, helpommin materiaalin esittämisen näkökulmasta).

Sääntömme mukaan tieto välillä (jak. Stattu Välillä. soveltaa mieltäsi) Yritetään lisätä funktioon nolla: numerogeneraattorissa meillä on nolla (nollan sini on yhtä suuri kuin nolla), merkitsijässä ilmeisesti sama nolla. Tällä tavalla rauhoittumme merkityksettömyyden vaikutuksesta, koska onneksi ovea ei tarvitse avata. Matemaattisen analyysin aikana on raportoitu, että:

Tanskalaista matemaattista tosiasiaa kutsutaan Ensimmäinen ihmemaa. En tarjoa analyyttistä näyttöä rajoista, mutta tästä geometrinen tunne Katsotaanpa oppituntia aiheesta äärettömän pieniä toimintoja.

usein sisään käytännön asioita toimintoja voidaan laajentaa eri tavalla muuttamatta mitään:

- sama ensimmäinen hirviön raja.

Mutta voit itsenäisesti järjestää numeron ja merkin uudelleen! Jos näkymän raja on annettu, se on näytettävä samassa näkymässä ilman, että mitään järjestetään uudelleen.

Käytännössä parametrin laajuus voi sisältää muunnettavan funktion lisäksi myös perusfunktion, kompleksisen funktion. Se on kohteliaampaa, joten hän hyppäsi nollaan.

Käytä:
, , ,

Tässä,,, , Ja kaikki surina - ensimmäinen ihme rajojen välillä on pysähtynyt.

Ja hyökkäyksen ennätyksen akseli on harhaoppi:

Miksi? Koska polynomi ei nouse nollaan, se nousee viiteen.

Ennen puhetta, ruokaa unille, ja miksi ovat muinaiset rajat ? Vastaus löytyy oppitunnin lopusta.

Käytännössä kaikki ei ole niin sujuvaa, eikä opiskelija välttämättä pysty navigoimaan vapaalla rajalla ja pääsemään eroon pienestä tahrasta. Hmmm... kirjoitan riviä, ja mieleeni tuli erittäin tärkeä ajatus - loppujen lopuksi "ilmaiset" matemaattiset laskelmat ja kaavat kaaviossa ovat parempia kuin ulkoa opiskelu, joka voi antaa korvaamatonta apua kuntosalilla, jos ravitsemus on rajoitettu іж "kaksi" ja "kolme", ​​ja lukija voi antaa opiskelijalle jonkinlaisen yksinkertaisen tehtävän tai antaa yksinkertaisimman esimerkin ("ehkä hän vielä tietää mitä?!").

Siirrytään tarkastelemaan käytännön sovelluksia:

peppu 1

tietää rajat

Kun huomautamme, että välillämme on sinus, meidän on heti mietittävä ensimmäisen upean maan pysähtymismahdollisuutta.

Ensinnäkin yritetään laittaa 0 rajamerkin alla olevalle riville (yritetään ehdottomasti ajatella sitä):

No, meillä on ulkonäöltään merkityksetön, obov'yazkovo nimenomaisesti virallisessa päätöksessä. Rajamerkin alla oleva viraz on samanlainen kuin ensimmäinen ihmeraja, mutta se ei ole ollenkaan kuin sinin alla, vaan merkissä.

Tällaisissa tilanteissa ensimmäinen ihme meidän välillämme on järjestettävä itsenäisesti, voitokkaasti ja hajanaisesti. Ajattelutapa voi olla seuraava: "meillä on sinus, mikä tarkoittaa, että meidän on myös poistettava merkki."
Ja on todella helppoa olla arka:

Tässä tapauksessa bannerin koko kasvaa 7:llä ja jaetaan samaan numeroon. Nyt olemme saaneet viestin tutulta henkilöltä.
Kun valmis kruunukirja on laadittu kädessä, ensimmäinen hirviömäinen raja tulee merkitä yksinkertaisella lampaalla:

Mitä tapahtui? Pohjimmiltaan ympyröity ilmaisu muuttui yhdeksi ja ilmestyi luomiseen:

Nyt vain harvat ovat menettäneet mahdollisuuden kokeilla kolmen pinnan laukausta:

Joka on unohtanut suuren määrän pintalaukauksia anteeksiantamuksen, päivitä liitteen materiaali Kuumat kaavat koulujen matematiikan kursseille .

Valmis. Jäljellä olevat todisteet:

Jos et halua vääristää kuvakkeita oliiveilla, voit tehdä päätöksen seuraavasti:

“

Vikoristovuyemo ensimmäinen hirviön raja

“

peppu 2

tietää rajat

Tiedän taas erojen ja poskiontelon välillä. Yritetään lisätä nolla numeroon ja allekirjoittaa:

On totta, meillä on merkityksettömiä, ja siksi meidän on yritettävä järjestää ensimmäinen ihmeellinen raja. Luokassa Välillä. soveltaa mieltäsi Näimme säännön, että jos meillä on merkityksettömyyttä, meidän on jaettava numero ja etumerkki kertoimiin. Tässä - sama, voimme kuvitella portaittain varallisuuden (useita):

Etuosan tapaan Olivier vetää ihmeelliset rajat (niitä on kaksi), ja on ilmoitettu, että haju vähenee yhteen:

Vlasna, tunnustus on valmis:

Samanaikaisesti en osallistu Paintin mysteereihin, ajattelen kuinka tehdä päätös viemäriin oikein - olet jo ymmärtänyt.

peppu 3

tietää rajat

Lisäämme nollan rajamerkin alla olevaan lausekkeeseen:

Merkittömyys on riisuttu pois, ja se on tarpeen paljastaa. Jos näiden kahden välillä on tangentti, se voidaan muuntaa siniksi ja kosiniksi käyttämällä tunnettua trigonometrista kaavaa (ennen puhumista, kotangentin kanssa se on suunnilleen sama, katso Metodologinen materiaali Kuuma trigonometriset kaavat sivulla Matemaattiset kaavat, taulukot ja tutkimusmateriaalit).

Tässä osiossa:

Nollan kosini on yhtä suuri kuin yksi, ja tämä on helppo laskea (älä unohda huomata, että se ei ole yhtä suuri kuin yksi):

Tällä tavalla, koska kosinin välillä on kerroin, niin tämä karkeasti sanottuna on muutettava yhdeksi, kuten luomisessa tiedetään.

Täällä kaikki osoittautui yksinkertaisemmiksi, ilman kertomuksia tai jakoja. Ensimmäinen hirviömäinen raja muuttuu yhdeksi ja ilmestyy luomisessa:

Tämän seurauksena epäjohdonmukaisuus eliminoituu, ja niin se tapahtuu.

peppu 4

tietää rajat

Yritetään lisätä nolla numeroon ja allekirjoittaa:

Epäsäännöllisyys poistetaan (nollan kosini, kuten muistamme, muinaiset)

Vikoristin trigonometrinen kaava. Ota muistiin! Jäädytettyjen kaavojen välissä tuntuu, että ne tiukenevat entistä useammin.

Rajakuvakkeelle hyvitetään vakiokertoimet:

Järjestämme ensimmäisen ihmerajan:

Tässä meillä on vain yksi ihmeellinen raja, joka muuttuu yhdeksi ja tunnetaan luomisessa:

Herätetään kolme pintaa:

Todellisten arvojen välillä on selvää, että pragnen sini pienenee nollaan:

peppu 5

tietää rajat

Tämä peppu on taitettavampi, yritä selvittää se itse:

Nämä rajat voidaan jäljittää ensimmäiseen ihmeeseen muutoksen korvaamistapojen välillä, voit lukea siitä hieman myöhemmin artikkelista Menetelmät välillä.

Toinen rajan hirviö

Matemaattisen analyysin teoriassa osoitetaan, että:

Tanska on nimettävä tosiasia toinen ihana maa.

Dovidka: - Tämä on irrationaalinen luku.

Parametrina se voi toimia paitsi muuttuvana, myös monimutkaisena funktiona. Se on tärkeämpää, jotta hän hyppää epäjohdonmukaisuuden pisteeseen.

peppu 6

tietää rajat

Jos rajan merkki on askelmassa, tämä on ensimmäinen merkki siitä, että sinun on yritettävä asettaa toinen upea raja.

Ensinnäkin yritetään laittaa äärettömän suuri luku oppitunnilla käsiteltyyn lausekkeeseen, mitä periaatetta noudatetaan Välillä. soveltaa mieltäsi.

Ei ole väliä huomata, että milloin Minä nostan askeleen, ja showman tekee sen , Eli mielen merkityksettömyys:

Merkittömyys annetaan ja paljastuu toisen ihmemaan avulla. Mutta kuten usein tapahtuu, toinen upea raja ei ole mustalla reunuksella varustetulla lautasella, ja se on järjestettävä erikseen. Voit poistaa sen heti: tässä sovelluksessa on parametri, mikä tarkoittaa, että meidän on myös järjestettävä se näytössä. Jolle laitamme sen vaiheeseen, ja jotta lauseke ei muutu, laitamme sen vaiheeseen:

Sopimuksen päätyttyä asiakirja laaditaan käsin, jossa on soikea symboli:

Melkein kaikki on valmista, pelottava askel on muutettu söpöksi kirjeeksi:

Tässä tapauksessa itse rajakuvake siirretään näyttöön:

peppu 7

tietää rajat

Kunnioittaminen! Tämän tyypin välillä on hyvin usein, ole lempeä, on erittäin tärkeää kunnioittaa tätä takapuolta.

Yritetään laittaa äärettömän suuri luku rajamerkin alla olevaan lausekkeeseen:

Tämän seurauksena merkityksettömyys kielletään. Mutta toinen hirviö rajojen välillä on pysähtynyt merkityksettömyyteen asti. Mikä se on arka? On tarpeen suunnitella vaiheet uudelleen. Sanotaanpa näin: znamennikissämme se tarkoittaa, että myös numeroosastollamme on järjestyksen tarve.

Ensimmäinen ihme näyttää seuraavalta askeleelta: lim x → 0 sin x x = 1.

Käytännön sovelluksissa on usein ensimmäisen ihmereunan hybridejä: lim x → 0 sin k · x k · x = 1, missä k on todellinen kerroin.

Selitetään: lim x → 0 sin (k x) k x = tyhjä t = k x i z x → 0 seuraa t → 0 = lim t → 0 sin (t) t = 1.

Ensimmäisen ihmemaan perimät:

1. lim x → 0 x sin x = lim x → 0 = 1 sin x x = 1 1 = 1

1. lim x → 0 k x sin k x = lim x → 0 1 sin (k x) k x = 1 1 = 1

Halutut tulokset voidaan saavuttaa helposti soveltamalla L'Hopitalin sääntöä tai korvaamalla äärettömän pieniä funktioita.

Katsotaanpa kasvin toimia rajojen löytämiseksi ensimmäisen ihmerajan mukaan; Damon raportin kuvaus päätöksestä.

peppu 1

On tarpeen laskea raja ilman L'Opitalin sääntöä: lim x → 0 sin (3 x) 2 x.

Päätös

Merkityksiä:

lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0

Mi bachimo, scho nolla jaettuna nollalla. Siirry takaisin epäjohdonmukaisuuksien taulukkoon määrittääksesi vahvistusmenetelmän. Sinin ja sen argumentin yhteys antaa meille vihjeen ensimmäisen ihmealueen vicorista, mutta tähkälle virus on liukeneva. Kerro murtoluvun luku ja etumerkki 3 x ja vähennä:

lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0 = lim x → 0 3 x sin (3 x) 3 x (2 x) = lim x → 0 sin (3 x) 3 x 3 x 2 x = = lim x → 0 3 2 × sin (3 x) 3 x

Ensimmäisen ihmeen reunan todisteiden kierteellä voimme: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 1.

Sitten päästään tulokseen:

lim x → 0 3 2 × sin (3 x) 3 x = 3 2 × 1 = 3 2

todiste: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 3 2.

peppu 2

On tarpeen tietää raja lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2.

Päätös

Korvattavat ja korvattavat arvot:

lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 1 - cos (2 0) 3 0 2 = 1 - 1 0 = 0 0

On täysin merkityksetöntä jakaa nolla nollalla. Luodaan numeronmurskaaja uudelleen trigonometriakaavojen avulla:

lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2

Bachimo, tässä on nyt mahdollista ensimmäisen upean maan pysähtyminen:

lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2 = lim x → 0 2 3 sin x x sin x x = 2 3 1 1 = 2 3

todiste: lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 2 3.

peppu 3

On tarpeen laskea välillä lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x.

Päätös

Merkityksiä:

lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = a r c sin (4 0) 3 0 = 0 0

On täysin merkityksetöntä jakaa nolla nollalla. Tehdään korvaava:

arc sin (4 x) = t ⇒ sin (kaari sin (4 x)) = sin (t) 4 x = sin (t) ⇒ x = 1 4 sin (t) lim x → 0 (kaari sin (4 x) ) = arcsin (4 0) = 0, mikä tarkoittaa t → 0 x → 0.

Tässä tilanteessa muutoksen vaihtamisen jälkeen se näyttää tältä:

lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 0 0 = raja t → 0 t 3 1 4 sin (t) = = raja t → 0 4 3 t sin t = 4 3 1 = 4 3

todiste: lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 4 3.

Tilastomateriaalin ymmärtämiseksi paremmin toista aineisto seuraavilla aiheilla: "Rajapinnat, päämerkitys, löydön sovellukset, tutkimus ja ratkaisut."

Jos olet merkinnyt palveluksen tekstissä, katso se ja paina Ctrl + Enter

Ensimmäistä hirviömäistä rajaa kutsutaan kateudeksi:

\ Alku (yhtälö) \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ sin \ alfa) (\ alpha) = 1 \ end (yhtälö)

Joten koska $ \ alfa \ - (0) $ on mahdollinen $ \ sin \ alfa \ - (0) $, näyttää siltä, ​​​​että ensimmäinen ihme rajojen välillä paljastaa muodon $ \frac (0) (0) merkityksettömyyden. $. Ilmeisesti kaavassa (1) muuttujan $ \ alfa $ korvaaminen sinin merkin alla ja etumerkissä voidaan jakaa mihin tahansa lausekkeeseen, tai jos kaksi mieltä olisivat samaa mieltä:

1. Etumerkin sinimerkin i alla olevat viraasit menevät heti nollaan, sitten on merkityksettömiä muodossa $\frac (0) (0)$.
2. Sinimerkin alla ja etumerkissä olevat lausekkeet yhdistetään.

Usein keskustellaan myös ensimmäisen ihmeellisen maan perinnöistä:

\ Begin (yhtälö) \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ tg \ alpha) (\ alpha) = 1 \ end (yhtälö) \ aloita (yhtälö) \ lim _ (\ alpha \ to () 0) )\frac (\arcsin\alpha) (\alpha) = 1\end (yhtälö)\begin (yhtälö)\lim_(\alpha \to (0))\frac (\arctg\alpha) (\alpha ) = 1\end (yhtälö)

Tällä sivulla on yksitoista hakemusta. Esimerkki nro 1 suoritettujen kaavojen (2) - (4) tehtävistä. Hae nro 2, nro 3, nro 4 ja nro 5 kostaaksesi päätökset raportin kommenteilla. Taput nro 6-10 päätettiin käytännössä ilman kommentteja, koska raporttiselitys annettiin etupepuissa. Kun se on valittu, näytetään seuraavat trigonometriset kaavat, jotka löytyvät.

Kunnioitan, että trigonometristen funktioiden läsnäolo $ \frac (0) (0) $:n merkityksettömyyden ostossa ei välttämättä tarkoita ensimmäisen ihmeellisen maan pakollista pysähtymistä. Joskus kyllästyy yksinkertaisiin trigonometrisiin laskelmiin, esimerkiksi uskomattomiin...

peppu #1

Tuo $\lim_(\alpha \to (0))\frac (\tg\alpha) (\alpha) = 1$, $\lim_(\alpha \to (0))\frac (\arcsin \alpha) (\alpha) = 1$, $\lim_(\alpha\to (0))\frac (\arctg\alpha) (\alpha) = 1$.

a) Joten koska $ \ tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alfa) (\ cos \ alfa) $, niin:

$$\lim_(\alpha \to (0))\frac (\tg (\alpha)) (\alpha) = \left | \frac(0)(0)\right| =\Lim_(\alpha \to (0))\frac (\sin (\alpha)) (\alpha \cos (\alpha))$$

Joten kuten $\lim_(\alpha \to (0))\cos (0) = 1 $i$\lim_(\alpha \to (0))\frac (\sin\alpha) (\alpha) = 1 $ , sitten:

$$\lim _(\alpha \to (0))\frac (\sin (\alpha)) (\alpha \cos (\alpha))=\frac (\displaystyle \lim _(\alpha \to (0) ))\frac (\sin (\alpha)) (\alpha)) (\displaystyle \lim _(\alpha \to (0))\cos (\alpha))=\frac (1) (1)=1 .$$

b) On tärkeää korvata $ \ alpha = \ sin (y) $. Jos $ \ sin (0) = 0 $, ajattele $ \ alfa \ to (0) $ voimme $ y \ to (0) $. Lisäksi nollan ympärillä on ympyrä, jossa $ \ arcsin \ alpha = \ arcsin (\ sin (y)) = y $, joten:

$$\lim_(\alpha \to (0))\frac (\arcsin \alpha) (\alpha) = \left | \frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to (0))\frac (y) (\sin(y)) =\lim_(y\to (0))\frac (1) (\frac (\sin(y)) ( y)) = \frac (1) (\displaystyle \lim_(y\to (0))\frac (\sin (y)) (y))=\frac (1) (1) = 1. $$

Kateus $\lim_(\alpha\to (0))\frac (\arcsin\alpha) (\alpha) = 1$ tuotu.

c) On tärkeää korvata $ \ alpha = \ tg (y) $. Jos $ \ tg (0) = 0 $, ajattele $ \ alfa \ - (0) $ i $ y \ to (0) $ vastaavina. Lisäksi nollan ympärillä on ympyrä, jossa $ \ arctg \ alpha = \ arctg \ tg (y)) = y $, joten pisteen a tulosten perusteella teemme:

$$\lim_(\alpha \to (0))\frac (\arctg \alpha) (\alpha) = \left | \frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to (0))\frac (y) (\tg (y)) =\lim_(y\to (0))\frac (1) (\frac (\tg (y)) ( y)) = \frac (1) (\displaystyle \lim_(y\to (0))\frac (\tg (y)) (y))=\frac (1) (1)=1.$$

Kateus $\lim_(\alpha\to (0))\frac (\arctg\alpha) (\alpha) = 1$ tuotu.

Innokkuus a), b), c) vikoroi usein ensimmäisten hirviömäisten rajojen järjestystä.

peppu #2

Laske välillä $\lim_(x\to (2))\frac (\sin\left (\frac (x^2-4) (x + 7)\right)) (\frac (x^2-4) ( x + 7)) $.

Joten kuten $\lim_(x\to (2))\frac (x^2-4)(x+7) =\frac(2^2-4)(2+7)=0$i$\lim_( x \ to (2)) \ sin \ vasen (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ right) = \ sin (0) = 0 $, niin murtoluvun numeerikko ja merkitsijä saavuttaa heti nollan, niin tässä olemme oikealla muodon $\frac (0) (0) $ merkityksettömyyden vuoksi, silloin se on viconno. Lisäksi on selvää, että sinimerkin alla ja merkissä olevat ilmaisut ovat samanlaisia ​​(silloin i kirjoitetaan):

No, loukkasi mieltäni, he vakuuttivat jälleen tähkän puolen, Vikonians. Tämä tarkoittaa, että kaava voidaan tiivistää, sitten $ \ Lim_ (x \ to (2)) \ frac (\ sin \ left (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ right)) (\ frac (x^2-4)(x+7)) = 1 $.

Vahvistus: $\Lim_(x\to (2))\frac (\sin\left(\frac (x^2-4)(x+7)\right)) (\frac (x^2-4) (x +7)) = 1 $.

peppu #3

Tunne $\lim_(x\to (0))\frac (\sin (9x)) (x)$.

Koska $ \ lim_ (x \ to (0)) \ sin (9x) = 0 $ i $ \ lim_ (x \ to (0)) x = 0 $, voimme perustellusti olettaa, että muoto $ \ frac (0 ) (0) $, tobto viconano. Sinimerkin alla ja merkissä olevat lausekkeet eivät kuitenkaan lähenty. Tässä sinun on mukautettava bannerin lauseke haluttuun muotoon. Tarvitsemme $9x$ näkyväksi bannerissa, niin voimme käsitellä sitä. Itse asiassa emme näe $9$:n kerrointa znamennikissä, jota ei ole niin helppo syöttää - kerro znamennikissä oleva kerroin 9$:lla. Luonnollisesti kompensoidaksemme kertolaskua 9 dollarilla, meidän on välittömästi jaettava 9 dollarilla ja jaettava:

$$\lim_(x\to (0))\frac (\sin (9x)) (x) = \left | \frac(0)(0)\right| =\Lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) = 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x)) (9x) $$

Nyt merkin ja sinimerkin alla olevat lausekkeet ovat lähentyneet. Obidva umovi dlya mezhі $\lim_(x\to (0))\frac (\sin (9x)) (9x) $ vikonanі. Otje, $\lim_(x\to (0))\frac (\sin (9x)) (9x) = 1 $. Ja tämä tarkoittaa, että:

$ 9\lim_(x\to (0))\frac (\sin (9x)) (9x) = 9\cdot (1) = 9. $$

Vahvistus: $\Lim_(x\to (0))\frac (\sin (9x)) (x) = 9 $.

peppu #4

Tiedä $\lim_(x\to (0))\frac (\sin (5x)) (\tg (8x)) $.

Joten koska $\lim_(x\to (0))\sin (5x) = 0$ i$\lim_(x\to (0))\tg (8x) = 0$, niin tässä voidaan perustellusti olettaa, että $ \frac(0)(0)$. Ensimmäisen ihmemaan muoto on kuitenkin tuhoutunut. Osoittaja, joka kostaa $ \ sin (5x) $, näkyy selvästi $ 5x $ merkissä. Tässä tilanteessa on helpointa jakaa luku $5x$:lla ja kertoa se välittömästi $5x$:lla. Lisäksi voimme suorittaa samanlaisen toimenpiteen käyttämällä etumerkkiä, kertomalla ja jakamalla $\tg(8x)$ $8x$:lla:

$$\lim_(x\to (0))\frac (\sin (5x)) (\tg (8x)) = \left | \frac(0)(0)\right| =\Lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) ) $$

Lyhentämällä $ x $ i rajamerkin vakiota $ \frac (5) (8) $, poistamme:

$$\lim_(x\to (0))\frac (\frac (\sin (5x)) (5x)\cdot (5x)) (\frac (\tg (8x)) (8x)\ cdot (8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Huomaa, että $\lim_(x\to (0))\frac (\sin (5x)) (5x) $ on täysin tyytyväinen ensimmäisen ihmemaan etuihin. vydshukannyalle $\lim_(x\to (0))\frac (\tg (8x)) (8x)$ zastosov-kaava on:

$$\frac (5) (8)\cdot\lim_(x\to (0))\frac (\frac (\sin (5x)) (5x)) (\frac (\tg (8x)) (8x )) =\frac (5) (8)\cdot \frac (\displaystyle \lim_(x\to (0))\frac (\sin (5x)) (5x)) (\displaystyle \lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Vahvistus: $\Lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x)) =\frac(5)(8)$.

peppu #5

Tunne $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Joten kuten $\lim_(x\to (0)) (\cos (5x) - \cos ^3 (5x)) = 1-1 = 0 $ (kaikki $\cos (0) = 1 $) i $ \ lim_ (x \ to (0)) x ^ 2 = 0 $, niin voimme perustellusti olettaa muotoa $ \ frac (0) (0) $. Ensimmäisen ihmeen yhdistämiseksi jälkien väliin meidän on kuitenkin ratkaistava kosini lukuyhtälössä siirtymällä sineihin (jolloin muotoillaan kaava) tai tangenteihin (ja sitten muotoillaan kaava). Kehitystä voidaan saada aikaan seuraavilla muutoksilla:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x) =\cos(5x)\cdot\left(1\cos^2(5x)\oikea)$$$$\cos(5x)-\cos^ 3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1\cos^2(5x)\oikea)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x). $$

Käännytään rajaan:

$$\lim_(x\to (0))\frac (\cos (5x) - \cos ^3 (5x)) (x^2) = \left | \frac(0)(0)\right| =\Lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac (\sin^2 (5x)) (x^2)\oikea)$$

Drib $ \frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) $ on jo lähellä samaa muotoa kuin ensimmäiselle ihmereunalle odotetaan. Murtolukuja käytetään murto-osan $\frac (\sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) $ kanssa, siirtyen ensimmäiseen ihmerajaan (vary, joka on numerokirjassa ja syyllisyyden sinin alla) :

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Käännytään rajaan, jota tarkastelimme:

$$\lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right)=\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac (\sin(5x))(5x)\right)^2\oikea) =\\=25\cdot\lim_(x\to ( 0))\cos (5x)\cdot\lim_(x\to (0))\left(\frac (\sin (5x)) (5x)\oikea)^2 = 25\cdot (1)\cdot ( 1^2) = 25. $$

Vahvistus: $\Lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2) = 25 dollaria.

varasto nro 6

Etsi raja $\lim_(x\to (0))\frac (1\cos (6x)) (1\cos (2x)) $.

Joten koska $\lim_(x\to (0)) (1\cos (6x)) = 0 $ i $\lim_(x\to (0)) (1\cos (2x)) = 0 $, sitten mi Saattaa olla oikealla $\frac (0) (0) $ ei-merkittävyydestä. Mennään yli ensimmäisen ihmemaan. Tätä tarkoitusta varten siirrytään kosinuksista sineihin. Joten koska $1\cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$, niin:

$$1\cos(6x) = 2\sin^2(3x); \; 1\cos(2x) = 2\sin^2(x). $$

Siirtyminen annettuun poskionteloiden rajaan matemaattisesti:

$$\lim_(x\to (0))\frac (1\cos (6x)) (1\cos (2x)) = \left | \frac(0)(0)\right| =\Lim_(x\to (0))\frac (2\sin^2(3x)) (2\sin^2(x)) =\lim_(x\to (0))\frac (\sin^ 2 (3x)) (\sin^2(x)) =\\=\lim_(x\to (0))\frac (\frac (\sin^2(3x)) ((3x)^2)\ cdot (3x)^2) (\frac (\sin^2(x)) (x^2)\cdot (x^2)) =\lim_(x\to (0))\frac (\left(\) frac (\sin (3x)) (3x)\oikea)^2\cdot (9x^2)) (\left (\frac (\sin (x)) (x)\oikea)^2\cdot (x^ 2)) = 9\cdot\frac (\displaystyle \lim_(x\to (0))\left(\frac (\sin (3x))(3x)\right)^2) (\displaystyle \lim_(x) \to (0)) \vasemmalle (\frac (\sin (x)) (x)\oikealle)^2) = 9 \cdot \frac (1^2)(1^2) = 9. $$

Vahvistus: $\Lim_(x\to(0))\frac(1\cos(6x)) (1\cos(2x)) = 9$.

varasto nro 7

Laske välillä $\lim_(x\to (0))\frac (\cos (\alpha (x)) - \cos (\beta (x))) (x^2)$ aivoille $\alpha\neq \ beta$.

Raportin selitys on annettu aiemmin, mutta tässä on yksinkertaisesti merkittävää, että taas ilmeinen merkityksettömyys $\frac (0) (0) $. Siirrytään kosinuksista sineihin, vikoristiseen kaavaan

$$\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\frac (\alpha +\beta) (2)\cdot\sin\frac (\alpha-\beta) (2). $$

Vikoristin kaava on annettu ja se voidaan poistaa:

$$\lim_(x\to (0))\frac (\cos (\alpha (x)) - \cos (\beta (x))) (x^2) = \left | \frac(0)(0)\oikea | =\Lim_(x\to (0))\frac (-2\sin\frac (\alpha (x)+\beta (x)) (2)\cdot\sin\frac (\alpha (x)-\ beta (x)) (2)) (x^2) = \\ = -2 \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ alpha + \) beta ) (2) \ oikea) \ cdot \ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ alfa- \ beta) (2) \ right)) (x^2) = -2 \ cdot \ lim_ (x \ to ( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha +\beta)(2)\right)) (x)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot) \frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\=-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left) (x\cdot\frac (\alpha +\beta) (2)\oikea)) (x\cdot\frac (\alpha +\beta) (2))\cdot\frac (\alpha +\beta) (2 )\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta) (2)\right)) (x\cdot\frac (\alpha-\beta) (2))\cdot\ frac (\alpha-\beta) (2)\right)=\\=-\frac ((\alpha +\beta)\cdot (\alpha-\beta)) (2)\lim_(x\to (0) ))\frac (\sin\left(x\cdot\frac (\alpha +\beta) (2)\oikea)) (x\cdot\frac (\alpha +\beta) (2))\cdot\lim_ (x\to (0))\frac (\sin\left (x\cdot\frac (\alpha-\beta) (2)\right)) (x\cdot\frac (\alpha-\beta) (2 )) = - \frac (\alpha ^2 \beta ^2) (2) \cdot (1) \cdot (1) = \frac (\beta ^2 \alpha ^2) (2). $$

Vahvistus: $\Lim_(x\to (0))\frac (\cos (\alpha (x)) - \cos (\beta (x))) (x^2) = \frac (\beta ^2\alpha ^2)(2)$.

peppu #8

Etsi raja $\lim_(x\to (0))\frac (\tg (x) - \sin (x)) (x^3)$.

Joten kuten $\lim_(x\to (0)) (\tg (x) - \sin (x)) = 0 $ (anna minun arvata, että $\sin (0) = \tg (0) = 0 $) i $ \ lim_ (x \ to (0)) x ^ 3 = 0 $, niin tässä voidaan perustellusti sanoa, että $ \frac (0) (0) $ on merkityksetön. Itketään tulevan tilauksen kanssa:

$$\lim_(x\to (0))\frac (\tg (x) - \sin (x)) (x^3) = \left | \frac(0)(0)\right| =\Lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac (\sin(x)\cdot\left(\frac (1) (\cos (x)) - 1\oikea)) (x^3) = \lim_(x\to (0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1\cos(x)\oikea))(x^3\cdot\cos(x))=\\=\lim_(x\to(0))\ frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_ (x\to (0))\vasen (\frac (\sin (x)) (x)\cdot \left (\frac (\sin\frac (x) (2)) (\frac (x) ( 2 ))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right)=\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) =\frac(1)(2). $$

Vahvistus: $\Lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3) =\frac(1)(2)$.

varasto nro 9

Etsi raja $\lim_(x\to (3))\frac (1\cos (x-3)) ((x-3)\tg\frac (x-3) (2)) $.

Joten kuten $\lim_(x\to (3)) (1\cos (x-3)) = 0 $i$\lim_(x\to (3)) (x-3)\tg\frac (x - 3) (2) = 0 $, silloin muoto $ \frac (0) (0) $ on selvästi merkityksetön. Ennen kuin siirryt avaukseen, vaihda muuttuja manuaalisesti siten, että uusi muuttuja menee nollaan (huomaa, että kaavoissa muutos on $\alpha\to 0$). Helpoin tapa on syöttää muutos $ t = x-3 $. Kuitenkin yksinkertaisuuden vuoksi myöhemmissä muutoksissa (tämä etu voidaan huomata alla olevan päätöksen yhteydessä), sinun tulee tehdä seuraava korvaus: $ t = \frac (x-3) (2) $. Tarkoitan, olen pahoillani korvaamaan pysähtyneisyyden tässä tilanteessa, vain uudella korvauksella, jotta voin työskennellä vähemmän murtolukujen kanssa. Joten koska $ x \ arvoon (3) $, sitten $ t \ arvoon (0) $.

$$\lim_(x\to (3))\frac (1\cos (x-3)) ((x-3)\tg\frac (x-3) (2)) = \left | \frac(0)(0)\right| =\Vasen | \begin(tasattu)&t=\frac(x-3)(2); \\&t\to (0)\loppu (tasattu)\oikea | =\Lim_(t\to(0))\frac(1\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2t ) (2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to (0))\frac (\sin^2t)(t\cdot\tg(t)) =\\=\lim_(t\to (0))\frac (\sin^2t) (t\cdot\frac (\sin(t)) (\cos(t))) =\lim_(t\to (0))\frac (\sin( t)\cos(t))(t)=\lim_(t\to(0))\left(\frac (\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right)=\lim_ (t\to (0))\frac (\sin (t)) (t)\cdot\lim_(t\to (0))\cos (t) = 1\cdot (1) = 1. $$

Vahvistus: $\Lim_(x\to (3))\frac (1\cos (x-3)) ((x-3)\tg\frac (x-3) (2)) = 1 $.

peppu #10

Etsi raja $\lim_(x\to\frac (\pi) (2))\frac (1\sin (x)) (\left (\frac (\pi) (2)-x\right)^2 ) $.

Tiedän oikealta $\frac (0) (0) $ merkityksettömyydestä. Ennen kuin jatkat avaukseen, vaihda muuttuja manuaalisesti siten, että uusi muuttuja menee nollaan (huomaa, että kaavoissa muutos on $\alpha\to (0)$). Helpoin tapa on syöttää muutos $ t = \frac (\ pi) (2) -x $. Joten koska $ x \ arvoon \ frac (\ pi) (2) $, sitten $ t \ arvoon (0) $:

$$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2)= \vasen | \frac(0)(0)\right| =\Vasen | \begin(tasattu)&t=\frac(\pi)(2)-x; \\&t\to (0)\loppu (tasattu)\oikea | =\Lim_(t\to(0))\frac(1\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) )\frac (1\cos(t)) (t^2) =\\=\lim_(t\to (0))\frac (2\sin^2\frac (t) (2)) (t^ 2) = 2\lim_(t\to (0))\frac (\sin^2\frac (t)(2)) (t^2) = 2\lim_(t\to (0))\frac ( \sin^2\frac(t)(2)) (\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to(0) )\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2=\frac(1)(2)\cdot(1^2)= \frac(1)(2). $$

Vahvistus: $\Lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2)= \frac(1)(2)$.

varasto nro 11

Etsi raja $\lim_(x\to\frac (\pi) (2))\frac (1\sin(x)) (\cos ^2x)$, $\lim_(x\to\frac (2) \pi ) (3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Tänä aikana meillä ei ole mahdollisuutta ylittää ensimmäistä hirviön rajaa. Palauta kunnioitus: ensinnäkin ja toisaalta läsnä olevien välillä trigonometriset funktiot ja numerot. Useimmiten tällaisissa peppuissa on helppo löytää viiva, joka on vedetty rajamerkin alle. Tässä tapauksessa arvauksen jälkeen eri tekijöiden yksinkertaisuus ja lyhentäminen merkitsee merkityksettömyyttä. Esitän tämän esimerkin yhdellä tarkoituksella: osoittaa, että trigonometristen funktioiden läsnäolo rajan merkin alla ei välttämättä tarkoita ensimmäisen ihmeellisen reunan pysähtymistä.

Joten jakki $\lim_(x\to \frac (\pi) (2)) (1\sin (x)) = 0 $ (arvaa mikä $\sin \frac (\pi) (2) = 1 $) і $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ cos ^ 2x = 0 $ (Luulen, että $ \ cos \ frac (\ pi) (2) = 0 $), niin olemme suoraan muodossa $\frac (0) (0) $. Tämä ei kuitenkaan tarkoita ollenkaan, että meidän pitäisi valloittaa ensimmäinen hirviömäinen raja. Voit paljastaa merkityksettömyyden lisäämällä arvon $\cos ^2x = 1\sin ^2x$:

$$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1\sin(x))(\cos^2x)=\left| \frac(0)(0)\right| =\Lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1\sin(x))(1\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac (1\sin(x)) ((1\sin(x)) (1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac (\pi) (2))\frac ( 1) (1 + \sin (x)) = \frac (1) (1 + 1) = \frac (1) (2). $$

Samanlaista menetelmää käytetään Demidovichin vapautuksessa (nro 475). No, on toinenkin raja, niin kuten tämän osion etupuolella, voimme olla merkityksettömiä muodossa $\frac (0) (0) $. Miksi hän syyttää häntä? Vaughn on syyllinen siihen, että $ \ tg \ frac (2 \ pi) (3) = - \ sqrt (3) $ i $ 2 \ cos \ frac (2 \ pi) (3) = - 1 $. Vikoristovin merkitykset perustuvat luvun ja merkin lausekkeiden muuntamismenetelmään. Toimintamme meta: kirjoita summa numerokirjaan ja viittomakirjaan päivän päätteeksi. Ennen puhumista, useimmiten samantyyppisen tyypin tapauksessa vaihdon manuaalinen vaihto suoritetaan siten, että uusi vaihto putoaa nollaan (jako, esim. esimerkit nro 9 tai nro 10 tästä sivu). Tässä tapauksessa ei kuitenkaan ole järkeä korvata merkitystä, mutta tarvittaessa muutoksen $ t = x- \ frac (2 \ pi) (3) $ korvaaminen on vaikeaa.

$$\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\oikea )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3)) (2\cdot\left(\) cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\oikea))=\\=\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))) (- 4\sin\frac(x+\ frac (2\pi) (3)) (2) \sin \frac (x-\frac (2\pi) (3)) (2)) = \lim_(x\to \frac (2\pi) ( 3 ))\frac (\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right)) (- 4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3)) (2 )\ sin\frac (x-\frac (2\pi) (3)) (2)\cos (x)\cos\frac (2\pi) (3)) =\\ =\lim_(x\to \frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi) (3) )) (2)) (- 4\sin\frac (x+\frac (2\pi) (3)) (2)\sin\frac (x-\frac (2\pi) (3)) (2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\ frac (2) \pi) (3)) (2)) (- 2\sin\frac (x + \frac (2\pi) (3)) (2)\cos (x)\cos\frac (2\ pi) ( 3)) = \\ = frac (1) (- 2 \ cdot \ frac (\ sqrt (3)) (2) \ cdot \ left (- \ frac (1) (2) \ right) \ cdot\left( -\frac(1)(2)\oikea)) =-\frac(4)(\Sqrt(3)). $$

Kuten tiedät, meillä ei ollut mahdollisuutta ylittää ensimmäistä hirviön rajaa. Tietenkin voit ansaita paljon rahaa (katso huomautus alla), mutta sille ei ole tarvetta.

Millaisia ​​päätöksiä ensimmäisen ihmemaan voittomaissa tehdään? näytä\liitä

Kun ensimmäisen ihmereunan vikoristani hylätään:

$$\lim_(x\to\frac (2\pi) (3))\frac (\sin\left (x-\frac (2\pi) (3)\oikea)) (- 4\sin\frac (x +\frac (2\pi) (3)) (2)\sin\frac (x-\frac (2\pi) (3)) (2)\cos (x)\cos\frac (2\) pi ) (3)) = \\ = lim_(x\to \frac (2\pi) (3)) \left (\frac (\sin \left (x-\frac (2\pi) (3)) \ oikea)) (x-\frac (2\pi) (3)) \cdot \frac (1) (\frac (\sin \frac (x-\frac (2\pi) (3)) (2) ) (\frac (x-\frac (2\pi) (3)) (2)))\cdot\frac (1) (- 2\sin\frac (x+\frac (2\pi) (3)) ( 2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3)) \ oikea) = 1 \ cdot (1) \ cdot \ frac (1) (- 2 \ cdot \ frac (\ sqrt ( 3)) ) (2) \cdot \left (- \frac (1) (2) \right) \cdot \left (- \frac (1) (2) \right)) = - \frac (4) (\ sqrt( 3)). $$

Vahvistus: $\Lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$,$\lim_(x) \to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt(3) )) $.

Ensimmäistä ihmerajaa käytetään usein laskettaessa sinin, arsinin, tangentin, arktangentin välillä ja etsimään merkityksettömiä nolla-arvoja ja jakamaan nollalla.

Kaava

Ensimmäisen ihmereunan kaava näyttää tältä: $$\lim_(\alpha\to 0)\frac (\sin\alpha) (\alpha) = 1$$

Huomaa, että kun $ \ alpha \ to 0 $ tulee ulos $ \ sin \ alfa \ to 0 $, niin numerossa ja etumerkissä on nollia. Tällä tavalla tarvitaan ensimmäisen ihmealueen kaava paljastamaan $ \frac (0) (0) $ merkityksettömyydet.

Kaavan muotoilemiseksi on tarpeen pestä kaksi mieltä:

1. Virukset, jotka sijaitsevat poskiontelossa ja fraktion bannerissa, vältetään
2. Vyslovlyuvannya, kuinka seistä poskiontelossa ja lyödä laukauksen lippu nollaan

Kunnioittaminen! $ \ Lim_ (x \ to 0) \ frac (\ sin (2x ^ 2 + 1)) (2x ^ 2 + 1) \ neq 1 $ Vaikka sinin alla oleva lauseke on merkissä, prote $ 2x ^ 2 + 1 = 1 $, $ x \ - 0 $. Jos et tiedä ystäväsi mieltä, voit zastosovat kaavan!

perinnöistä

On harvinaista, että saat puhtaan ensimmäisen ihmerajan, johon voit heti tallentaa suosittelun. Käytännössä kaikki näyttää hieman monimutkaisemmalta, mutta tällaisille jaksoille olisi hyödyllistä tietää ensimmäisen ihmemaan seuraukset. Näin voit helposti laskea tarvittavat rajat.

$$\lim_(\alpha \to 0)\frac (\alpha) (\sin \alpha) = 1 $$

$$\lim_(\alpha \to 0)\frac (\sin (a\alpha)) (\sin (b\alpha)) = \frac (a) (b)$$

$$\lim_(\alpha \to 0)\frac (tg\alpha) (\alpha) = 1 $$

$$\lim_(\alpha \to 0)\frac (\arcsin \alpha) (\alpha) = 1 $$

$$\lim_(\alpha \to 0)\frac (arctg\alpha) (\alpha) = 1 $$

soveltaa mieltäsi

Katsotaanpa ensimmäistä rajojen ihmettä, jota sovelletaan trigonometristen funktioiden ja merkityksettömyyden välillä $\bigg [\frac (0) (0)\bigg]$

Artikkelissa: "Ensimmäinen hirviömäinen raja, purkamisen takapuoli" selitettiin ongelmista, joissa annettu kaava ja sen periytykset ovat täysin vikoristisia.