Kaksinumeroisessa lukujärjestelmässä on vain kaksi numeroa 0 ja 1. Toisin sanoen nämä kaksi ovat kaksinumeroisen lukujärjestelmän perusta. (Samanlainen kuin osajoukko 10 tens-järjestelmässä.)

Aloittaaksemme ymmärtämään numeroita kaksinumeroisessa numerojärjestelmässä, katsotaanpa ensin, kuinka numerot muodostuvat meille perustavanlaatuisessa kymmenennessä numerojärjestelmässä.

Kymmenilukujärjestelmässä numerot on järjestetty kymmeneen numeroon (0-9). Jos rivi saavuttaa luvun 9, uusi arvo (kymmeniä) otetaan käyttöön, ja ne nollataan ja rivi alkaa uudelleen. 19:n jälkeen kymmenien paikka kasvaa yhdellä, ja ykköset nollataan uudelleen. Ja niin edelleen. Jos kymmenet saavuttavat 9, ilmestyy kolmas luokka - sadat.

Kaksinumeroinen lukujärjestelmä on samanlainen kuin kymmenennen järjestelmän, paitsi että muodostetussa numerossa on vain kaksi numeroa: 0 ja 1. Heti kun numero saavuttaa rajansa (sen jälkeen yksi), ilmestyy uusi numero ja vanha. yksi on nollattu.

Yritetään päästä kaksoisjärjestelmään:
0 - ce nolla
1 - ei yksi (yksi rivien välissä)
10 - ei kaksi
11 - tse kolme (ja tse uusi raja)
100 - tse chotiri
101 - viisi
110-6
111 - s_m i jne.

Lukujen muuntaminen kaksinumeroisesta lukujärjestelmästä kymmeniksi

Ei ole tärkeää huomata, että kaksoisjärjestelmässä kaksoislukujen määrän odotetaan kasvavan nopeasti. Joten mitä akseli tarkoittaa: 10001001? Ihmisaivot, joita ei voida käsittää sellaiselle numeroiden kirjoittamiselle, eivät voi käsittää, kuinka paljon se on. Olisi huono idea muuntaa luvut kahdesta kymmeneen.

Kymmenijärjestelmässä luku voidaan esittää summamuodossa yksi, kymmenen, sata jne. esimerkiksi:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

On tärkeää ihailla tätä merkintää. Tässä numerot ovat 1, 4, 7 ja 6 - valitsemalla numerot, joista muodostuu numero 1476. Kaikki nämä numerot kerrotaan kymmenellä samalle tasolle. Kymmenen on kymmenien lukujärjestelmän osajoukko. Askel, johon kymmenen vähennetään, on luvun numero miinus yksi.

Vastaavasti voit myös jakaa luvun kahteen osaan. Nukahdat vain täällä 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Joten luku 10001001, joka perustuu 2:een, on samanlainen kuin 137, joka perustuu 10:een. Voit kirjoittaa sen näin:

10001001 2 = 137 10

Miksi kahden laskentajärjestelmän numerojärjestelmä on niin laaja?

Oikealla on, että kahden järjestelmän numerojärjestelmä on numeerisen tekniikan perusta. Ihon numero on syyllinen, mutta se näkyy jotenkin fyysisessä nenässä. Jos on olemassa kymmenien järjestelmä, on mahdollista luoda sellainen laite, joka voi olla olemassa kymmenessä maassa. Se on monimutkaista. On helpompi valmistaa fyysinen elementti, jota voidaan käyttää kahdessa vaiheessa (esimerkiksi sekä struma että ei kumpikaan struma). Tämä on yksi tärkeimmistä syistä, miksi kaksoisnumerojärjestelmää kunnioitetaan niin paljon.

Muunnetaan kymmenesosat kakkosiksi

Sinun on ehkä muutettava kymmenes luku kahdeksi. Yksi menetelmistä on jakaa kahdella ja muodostaa ylimääräisestä kaksinkertainen luku. Sinun on esimerkiksi poistettava toinen merkintä numerosta 77:

77/2 = 38 (1 ylimääräinen)
38/2 = 19 (0 ylijäämää)
19/2 = 9 (1 ylijäämä)
9/2 = 4 (1 ylimääräinen)
4/2 = 2 (0 ylijäämää)
2/2 = 1 (0 ylijäämää)
1/2 = 0 (1 ylimääräinen)

Keräämme ylijäämän kerralla, lopusta alkaen: 1001101. Tämä on numero 77 kaksoishakemuksessa. tarkistetaan uudelleen:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Katsotaanpa yhtä tietojenkäsittelytieteen tärkeimmistä aiheista -. Kouluohjelma avautuu loppumaan "vaatimaisesti", enemmän kuin kaikki, koska siihen on varattu vuosien puute. Tietoa tästä, erityisesti numeeristen järjestelmien muuntaminen, є obov'yazkovoy aivot onnistuneelle rakennukset ЄДІ ja astun toisen asteen tiedekuntiin ennen korkeakoulua. alempi raportoinnin sijoitus käsitteitä, kuten paikka- ja ei-paikkalukujärjestelmät, Näiden numerojärjestelmien sovellukset esitellään, säännöt kokonaisten kymmenlukujen kääntämiseen, oikein kymmeniä murto-osia ja kymmenien lukujen sekoittaminen mihin tahansa muuhun numeeriseen järjestelmään, lukujen muuntaminen mistä tahansa numerojärjestelmästä kymmeniksi, muuntaminen desimaali- ja heksadesimaalilukujärjestelmistä kaksoisnumerojärjestelmäksi. Tutkimuksen aikana suuri joukko aiheita keskittyy tähän aiheeseen. Niiden viisas valinta on yksi hakijoiden eduista. Tulossa: Tässä osiossa esitetään lähes kaikki jokaisesta aiheesta, teoreettisen raporttimateriaalin lisäksi Mahdolliset vaihtoehdot tehtäviä varten itsenäinen rokotus. Lisäksi sinulla on mahdollisuus tuoda tiedostot täysin kustannustehokkaasti tiedostojen isännöintipalvelusta. raportointipäätökset kuvaaviin legendoihin eri tavoilla oikean tyypin poistaminen.

Paikkanumerojärjestelmät.

Ei-paikallinen numerojärjestelmä- numeeriset järjestelmät, joissa merkitsevät luvut eivät kuulu niiden sijoittelun piiriin.

Ei-paikallinen numerojärjestelmä on esimerkiksi roomalainen ja numeroiden sijaan latinalaiset kirjaimet.

Tässä kirjain V tarkoittaa 5:tä sen sijainnista riippumatta. On kuitenkin helppo arvata, mitä roomalainen lukujärjestelmä haluaa, ja klassinen esimerkki ei-paikkamääräisestä lukujärjestelmästä ei ole täysin ei-paikannus, koska pienempi numero, joka tulee ennen suurempaa, on johdettu siitä:

Ammatilliset numeeriset järjestelmät.

Paikkanumerojärjestelmät- numeeriset järjestelmät, joissa merkittävät luvut ovat luvun kasvun paikalla.

Esimerkiksi, jos puhumme kymmenestä numerojärjestelmästä, niin numerossa 700 numero 7 tarkoittaa "seitsemänsataa", kun taas sama numero numerossa 71 tarkoittaa "seitsemää kymmentä" ja numerossa 7020 - "seitsemäntuhatta". ”.

iho paikkanumerojärjestelmä minulla on omani perusta. Korvikkeen avaruudessa valitaan luonnollinen luku, suurempi tai suurempi luku. Tässä numerojärjestelmässä käytetään paljon numeroita.

esimerkiksi:
• Dviykova- paikkanumerojärjestelmä, joka perustuu kantaan 2.
• Kvaternaari- paikkanumerojärjestelmä, joka perustuu kantaan 4.
• viisinkertainen- paikkanumerojärjestelmä, joka perustuu kantaan 5.
• Visimkova- 8:aan perustuva paikkanumerojärjestelmä.
• Shіstnadtsyatkova- 16:een perustuva paikkanumerojärjestelmä.

Opiskellakseen aihetta "Numeeriset järjestelmät" opiskelijan on tiedettävä desimaali-, kymmenes-, desimaali- ja heksadesimaalilukujen tyypit 16 10 asti:

Aateliston on tärkeää määrittää, kuinka numerot esiintyvät numeerisissa järjestelmissä. Voit arvata, mikä on pääkaupungissa, kuudestoista, kolmiosainen ja muut paikkanumerojärjestelmät kaikki lasketaan samalla tavalla kuin kymmenennessä järjestelmässämme:

Numeroon lisätään yksi ja uusi numero tulee näkyviin. Koska ykkösen numerosta tulee perinteinen lukujärjestelmän perusta, lisäämme kymmenien määrää yhdellä jne.

Tämä "yhden siirtyminen" on juuri sitä, mitä useimmat opiskelijat sanovat. Kaiken tekeminen on todella helppoa. Siirtymä laukeaa, jos purkaustaso on yhtä suuri numeerisen järjestelmän perusteet, Lisäämme kymmenien lukumäärää yhdellä. Itse asiassa vanhaa kunnon kymppijärjestelmää muistettaessa eksymme välittömästi arvoon ja tässä siirtymässä jopa kymmeniä ja esimerkiksi kaksikymmentä - eri puheita.

Osoittautuu, että älykkäillä tiedemiehillä on "oma menetelmänsä" (he harjoittelevat) täyttäessään esimerkiksi totuustaulukkoa, jonka ensimmäiset sarakkeet (muuttuvien arvot) täytetään itse asiassa kaksoisluvuilla. kasvavassa järjestyksessä.

Katsotaanpa takapuolen numeroita painojärjestelmä: Ensimmäiseen numeroon (0) asti lisätään 1, vähennetään 1. Sen jälkeen 1 lisätään 1:een, 2 vähennetään jne. 7. Jos lisäämme yhden 7:ään, vähennämme luvun lukujärjestelmän kannasta, jolloin se on 8. Sitten meidän on lisättävä kymmenien paikkaa yhdellä (vähennetään oktaali kymmenen - 10). Seuraavaksi ilmeisesti ovat luvut 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...

säänteli siirtoa numerojärjestelmästä toiseen.

1 Kokonaisten kymmenien lukujen muuntaminen mille tahansa muulle lukujärjestelmälle.

Numero on jaettava numerojärjestelmän uusi perusta. Divisioonan ensimmäinen ylijäämä on uuden numeron ensimmäinen nuorin numero. Jos osa jaosta on pienempi tai vanhempi kuin uusi kanta, se on jaettava uudelleen uuteen kantaan. Osaa on pureskeltava, kunnes uuden kehyksen yksityisyys on poistettu. Tämä on uuden numeron suurin numero (on muistettava, että esimerkiksi kuusitoistanumeroisessa järjestelmässä 9:n jälkeen on kirjaimia, joten 11 otettiin ylijäämäksi, sinun on kirjoitettava se muistiin B) .

Butt ("podil kutochkom"): Muunnetaan luku 173 10 numerojärjestelmäksi.

Näin ollen 173 10 = 255 8

2 Oikeiden kymmenmurtolukujen muuntaminen mihin tahansa muuhun lukujärjestelmään.

Luku on kerrottava numerojärjestelmän uudella kantalla. Kokonaiseksi osaksi muodostunut numero on uuden luvun ammutun osan suurin numero. Etuluvun poistamiseksi poistetun luvun murto-osa on kerrottava uudelleen lukujärjestelmän uudella kantaluvulla, kunnes siirtyminen koko osaan on saavutettu. Kertomista jatketaan, kunnes laukauksen murto-osa on yhtä suuri kuin nolla tai kunnes saavutamme määritetyn tarkkuuden ("... laske tarkasti, esim. kaksi merkkiä kooman jälkeen").

Esimerkki: Muunnetaan luku 0,65625 10 numerojärjestelmäksi.

Tietojenkäsittelytieteen kursseilla, niin koulussa kuin yliopistossakin, painotetaan erityisesti sellaista käsitettä kuin numerojärjestelmät. Yleensä opetettavana on useita käytännön oppitunteja. Päätavoitteena ei ole vain hallita peruskäsitteitä, oppia lukujärjestelmien tyyppejä, vaan myös tutustua kaksinkertaiseen, raskaaseen ja kuudestoista aritmetiikkaan.

Mitä tämä tarkoittaa?

Katsotaanpa peruskäsitteen merkitystä. Kuten käsikirja "Informatiikka" tarkoittaa, numerojärjestelmä on numerotietue, johon luodaan erityinen aakkoset tai erityinen numerosarja.

On tärkeää, että kun numeron merkitys muuttuu riippuen sen sijainnista numerossa, on olemassa kaksi: paikka- ja ei-paikkalukujärjestelmää.

Paikkajärjestelmissä numeroiden merkitys muuttuu samanaikaisesti niiden sijainnin kanssa numerossa. Joten jos otat luvun 234, niin siinä oleva numero 4 tarkoittaa ykkösiä, jos katsot numeroa 243, se tarkoittaa nyt kymmeniä, ei ykkösiä.

Ei-sijaintijärjestelmissä numeron merkitys on staattinen, riippumatta sen sijainnista numerossa. suurin kuuma peppu- pin-järjestelmä, jossa jokainen ihoyksikkö on nimetty lisäriskejä varten. Ei ole väliä mihin laitat tikun, numeron arvo muuttuu yhdellä.

ei-paikallinen järjestelmä

Seuraava koskee ei-paikkanumerojärjestelmää:

1. On vain yksi järjestelmä, jota pidetään yhtenä ensimmäisistä. Numeroiden sijasta hän käytti keppejä. Mitä enemmän niitä oli, sitä suurempi määrä oli. Voit nähdä esimerkin tällä tavalla kirjoitetuista numeroista elokuvissa, joissa ihmiset eksyvät mereen, mikä tarkoittaa joka päivä lovien tekemistä kiviin tai puihin.
2. roomalainen, jossa numeroiden sijaan latinalaiset kirjaimet korvattiin. Vikoristovyuchi їх, voit kirjoittaa minkä tahansa numeron. Tällä arvolla se laskettiin lisäsummalle ja lukujen erotukselle, josta luku muodostettiin. Jos vasemmalla oleva luku oli pienempi kuin numero, vasen numero laskettiin oikealta, ja jos oikealla oleva luku oli pienempi kuin vanhat luvut, niiden arvot laskettiin yhteen. Esimerkiksi numero 11 kirjoitettiin XI:ksi ja 9 - IX.
3. Kirjaimet, joissa numerot on merkitty samassa aakkosessa sekä kielillä että kielillä. Yksi niistä on slovenian järjestelmä, jossa kirjainten sarja ei ole vain foneettinen, vaan myös numeerisesti merkittävä.
4. Jokaisessa vikorissa oli vain kaksi tallennustarkoitusta - kiilat ja nuolet.
5. Egypti kehitti myös erityisiä symboleja numeroiden osoittamiseen. Kun kirjoitat kozhenien lukumäärää, symboli toistetaan enintään yhdeksän kertaa.

asemajärjestelmät

Tietotieteen paikkalukujärjestelmiä arvostetaan suuresti. Heidän edessään on seuraava:

• binääri;
• oktaali;
• kymmenen;
• heksadesimaali;
• shestdesyatkova, vikorystuvana rahunkutunnilla (esimerkiksi khvilinissä - 60 sekuntia, khvilinissä - 60 khviliniä).

Jokaisella niistä on omat aakkoset kirjoittamista varten, käännössäännöt ja aritmeettisten operaatioiden monimutkaisuus.

kymmenen järjestelmää

Tämä järjestelmä on meille tärkein. Se käyttää numeroita 0-9 numeroiden kirjoittamiseen. Hajua kutsutaan myös arabiaksi. Numeron sijainnista riippuen se voi edustaa eri arvoja - ykkösiä, kymmeniä, satoja, tuhansia tai miljoonia. Harjoittelemme laskutoimituksia kaikkialla ja tunnemme lukujen aritmeettisia operaatioita koskevat perussäännöt.

Twin-järjestelmä

Yksi tietotieteen tärkeimmistä numeerisista järjestelmistä on dviykova. Tämän yksinkertaisuuden ansiosta tietokone voi suorittaa hankalia laskelmia useita kertoja, vähemmän kuin kymmenennessä järjestelmässä.

Numeroiden tallentamiseen käytetään vain kahta numeroa - 0 ja 1. Tässä tapauksessa numeron 0 tai 1 kohdassa sen arvo muuttuu.

Alusta alkaen kaikki tarvittavat tiedot kerättiin itse tietokoneelle. Tässä tapauksessa yksi tarkoitti lisäjännitteen kautta lähetettävän signaalin läsnäoloa ja nolla sen puuttumista.

Visemkova järjestelmä

Toinen suosittu tietokoneen numeerinen järjestelmä, joka koostuu numeroista 0-7. Se perustui pääasiassa digitaalisiin laitteisiin liittyvään tietoon. Muun ajan sitä kuitenkin eletään paljon harvemmin, koska se on korvattu heksadesimaalilukujärjestelmällä.

Kaksikymmentä -järjestelmä

Suurten lukujen ilmoittaminen kaksoisjärjestelmässä ihmisille on monimutkainen prosessi. Joogolle anteeksianto bula rozroblena Vikoristovuetsya siellä zazvichay in sähköinen vuosipäivä, Laskimet. Tässä järjestelmässä kymmenjärjestelmästä kakkosjärjestelmään koko lukua ei muunneta, vaan jokainen numero siirretään lopulliseen nollien ja ykkösten joukkoon kaksikkojärjestelmässä. Muuntaminen kahdesta kymmeneen järjestelmästä suoritetaan samalla tavalla. Jokainen numero, jota edustaa nelinumeroinen nollien ja ykkönen joukko, muunnetaan kymmenien lukujärjestelmän numeroiksi. Periaatteessa ei ole mitään monimutkaista.

Tämän osan numeroiden kanssa työskentelyä varten on taulukko numeerisista järjestelmistä, jossa ilmoitetaan numeroiden ja niiden kaksoiskoodin välinen suhde.

kuusitoista järjestelmä

Tällä hetkellä kuusitoista numerojärjestelmä on tulossa yhä suositummaksi ohjelmoidussa tietojenkäsittelyssä. Se ei sisällä vain numeroita 0-9, vaan myös sarjan latinalaisia ​​kirjaimia - A, B, C, D, E, F.

Tässä tapauksessa jokaisella kirjaimella on oma merkityksensä, joten A = 10, B = 11, C = 12 ja niin edelleen. Ihon numeroa edustaa neljän merkin sarja: 001F.

Numeroiden käännös: kymmenistä kakkosiin

Käännös numerojärjestelmissä noudattaa yksinkertaisia ​​sääntöjä. Yleisin on muuntaminen kakkosista kymmenien järjestelmään ja niin edelleen.

Kymmenijärjestelmän luvun muuntamiseksi kakkosjärjestelmäksi on välttämätöntä jakaa se johdonmukaisesti lukujärjestelmän kantaluvulla, eli luvulla kahdella. Tässä tapauksessa ylimääräinen ihoalue on korjattava. Joten se jatkuu, kunnes divisioonan ylijäämä on vähintään yksi yksikkö. Suorita laskelmat mahdollisimman nopeasti. Sitten, kun ylimäärä on poistettu jaosta, ne lisätään riville käänteisessä järjestyksessä.

Muunnetaan esimerkiksi luku 9 kahdeksi järjestelmäksi:

Jaa 9:llä, koska lukua ei voida jakaa ilman jäännöstä, niin otamme luvun 8, jäännös on 9 - 1 = 1.

Kun 8 on jaettu kahdella, vähennetään 4. Tiedän, että jako on yogo, koska luku on jaollinen ilman jäännöstä - se vähennetään ylijäämään 4 - 4 = 0.

Suoritamme saman operaation 2:lla. Vähennämme ylijäämästä 0.

Tämän seurauksena meillä on 1.

Riippumatta osakantalukujärjestelmästä lukujen siirtäminen kymmenistä mihin tahansa muuhun tapahtuu periaatteen mukaan jakaa luku paikkajärjestelmän perusteella.

Numeroiden käännös: kahdesta kymmeneen

Luvut i on helppo muuntaa kahdesta kymmenlukujärjestelmään. Kenelle riittää, että tietää säännöt numeroiden lisäämisestä vaiheisiin. Tässä tapauksessa vaiheessa kaksi.

Algoritmi siirtoennakkoille: jokainen kaksoisluvun koodin numero on kerrottava kahdella, ja kaksi ensimmäistä ovat m-1-vaiheessa, toinen - m-2 ja niin edelleen, missä m on numeroiden lukumäärä koodissa. Laske sitten yhteen laskennan tulokset vähentämällä kokonaisluku.

Koululaisille tämä algoritmi voidaan selittää yksinkertaisemmin:

Tähkälle otamme ja kirjoitamme ihon numeron kerrottuna kahdella ja lisäämme sitten askeleen kaksi lopusta alkaen nollasta. Sitten lasketaan sama luku.

Katsomme esimerkin vuoksi aiemmin poistamaamme numeroa 1001, muunnamme sen kymmeniksi ja tarkistamme samalla laskelmien oikeellisuuden.

Katso tuleva sijoitus:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Ennen kuin suoritat tämän tehtävän, tarkista taulukko manuaalisesti kahden askelin. On tärkeää muuttaa laskennan suorittamiseen tarvittavien tuntien määrää.

Muita käännösvaihtoehtoja

Joissakin tapauksissa siirto voi tapahtua kahden ja kuudennentoista numerojärjestelmän välillä, kaksi ja kuusitoista. Tässä tilanteessa voit käyttää erityisiä taulukoita tai ajaa laskinohjelmaa tietokoneellasi valitsemalla välilehdeltä "Ohjelmoija".

aritmeettiset operaatiot

Riippumatta siitä, millä tavalla numero esitetään, on mahdollista suorittaa peruslaskelmat puolestamme. Tämä voidaan jakaa ja kertoa, lisätä ja lisätä valitsemaasi numerojärjestelmään. Tietysti jokaisella niistä on omat säännöt.

Erota siis kaksoisjärjestelmälle oma taulukko iholeikkauksia varten. Samoja taulukoita käytetään muissa paikkajärjestelmissä.

Niiden oppiminen ei ole vaikeaa - riittää, että rentoudut ja pidät ne käden ulottuvilla. Voit myös nopeasti käyttää laskinta tietokoneellasi.

Yksi tietotieteen tärkeimmistä aiheista on numerojärjestelmä. Kun tiedät lukujen siirtämiseen järjestelmästä toiseen tarkoitettujen algoritmien ymmärtämisen arvon, voit varmistaa, että voit kehittää monimutkaisia ​​aiheita, kuten algoritmisointia ja ohjelmointia, ja voit kirjoittaa ensimmäisen ohjelman itsenäisesti.

kunnioitus 1

Historiallinen tosiasia on, että Pythagoraan sanat sammuivat: "Kaikki on numero", mikä vahvisti numeroiden tärkeää roolia ihmisten käytännön toiminnassa. SISÄÄN jokapäiväinen elämä Ihomme kohtaa lukemattomia numeroita, kuten autonumerot, puhelinnumerot, hinnat kaupoissa, perheen budjetin koko jne. Numerot ja numerot ovat kaikkialla meitä varten.

Ihmiset pitivät aina muistiinpanoja ja kirjoittivat muistiin numeroita, vanhaan aikaan. He myös tallensivat muutaman niistä eri tavalla, samaan aikaan eri sääntöjen mukaan. Numerot esitettiin yhdellä tai useammalla symbolilla, joita kutsutaan numeroiksi.

arvo 1

määrä- tämä on symboli, jota käytetään kirjoitettaessa numeroa.

Aluksi luvut vastasivat näitä eriä, ikään kuin ne olisivat ylivakuutuksia. Kirjoittamisen myötä ne yhdistettiin esineiksi ja konsepti ilmestyi luonnollinen luku. Murtoluvut ilmestyivät, kun ihmisten tarpeet alkoivat nousta volyymeissä, eikä volyymiyksiköitä (standardeja) aina sijoitettu kokonaismäärään volyymeihin. Historiallisesti lukujen käsite liittyy yleensä matematiikan kehitykseen, mutta nykyään matematiikan lisäksi myös tietojenkäsittelytieteen peruskäsitteet ovat tärkeitä.

Vicenza 2

määrä- tämä on sama arvo.

Numerot lasketaan yhteen erityissääntöjen mukaan. Näillä säännöillä määrättiin kansojen joukkomurhat ihmiskunnan eri kehitysvaiheissa. Nykyään niitä kutsutaan numeerisiksi järjestelmiksi.

pappi 3

Numerojärjestelmä- tämä on kokonaisuus tekniikoista ja säännöistä numeroiden esittämiseksi digitaalisilla merkeillä.

Additiivinen ja kertova lukujärjestelmä

Numeerinen järjestelmä ymmärretään selvemmin sisältäväksi lait, joiden mukaan numeroita luetaan ja kirjoitetaan ja joilla toiminnot kirjoitetaan niiden päälle. Kenelle on tärkeää tietää tyyppi numerojärjestelmät. Tyyppi erottuu lisäaineі kertova lukujärjestelmä.

varten lisäaine On tyypillistä, että jokaisella numerolla on oma merkityksensä, numeron lukemiseksi on tarpeen laskea yhteen kaikki valittujen numeroiden merkitykset. esimerkiksi:

XXXXVI $ = 10 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 = 46 $

Toiselle tyypille On ominaista, että luvulla voi olla erilaisia ​​merkityksiä riippuen luvun kasvupaikasta.

Malyunok 1.

(Roglyfit järjestyksessä: $2$, $1000$, $4$, $100$, $2$, $10$, $5$)

Tässä merkinnässä hieroglyfiä $ "2" $ käytetään kahdesti, ja jokaisessa tapauksessa se saa eri arvot: $ "2000" $ ja $ "20" $.

$2\cdot tuhat + 4\cdot 100 + 2\cdot 10 + 5 = 2425 $

Additiivista ("lisäaine") järjestelmää varten on tiedettävä kaikki numerot-symbolit ja niiden merkitykset (kymmeniä on jopa 4-5) sekä tallennusjärjestys. Esimerkiksi latinalaisessa merkinnässä, jos pienempi numero kirjoitetaan ennen suurempaa, se suoritetaan erikseen, ja jos sen jälkeen, lisätään:

IV $ = 5-1 = 4 $

Paikka- ja ei-paikkalukujärjestelmät

Kaiken tyyppiset numerojärjestelmät on jaettu:

sijainti;

ei-asentoinen.

Ei-paikallinen numerojärjestelmä ilmestyi kauan ennen paikkoja. Loput puolestaan ​​​​on tulosta ei-sijaintilukujärjestelmien dramaattisesta historiallisesta kehityksestä.

Ei-sijaintijärjestelmissä numerosi eivät ole niiden sijainnin kanssa numerossa. Joten esimerkiksi roomalaisessa järjestelmässä numero numerossa $ XXI $ (kaksikymmentäyksi) ja numero $ X $ molemmissa paikoissa on yhtä suuri kuin $ 10 $.

kunnioitus 2

Huomattava merkki ei-sijaintinumerojärjestelmästä on numeron $ 0 $ läsnäolo siinä. Kun kehitettiin aritmeettisten operaatioiden sääntöjä numeroiden kanssa, tuli tarpeelliseksi ottaa käyttöön symboli $ “0” $, josta on tullut suuri merkitys monimutkaisimmissa numeroiden esittämistavoissa. Jo $ 0 $ esiintyminen symbolijoukossa, kuten numeroissa, osoittaa paikkalukujärjestelmien alkuperän, jossa kunkin numeron arvo osoittaa sen paikan numeroa edustavassa numerosarjassa.

Esimerkiksi 56 dollarin kirjoittaminen tarkoittaa, että tämä luku voidaan muuntaa 6 dollarin ykkösiksi ja 5 dollarin kymmeniksi. Jos muutat numeroiden paikkaa, voit vähentää toisen luvun - $65$, joka sisältää $6$kymmeniä ja $5$ykkösiä. 5 dollarin luku on muuttunut 10 dollarilla ja 6 dollarin luku 10 dollarilla.

Missä tahansa asemanumerojärjestelmässä luku esitetään polynomina. Esimerkiksi kymmenes luku $4367 $ näkyy polynomina:

4367 $ = 4000 + 300 + 60 + 7 = 4\cdot 103 + 3\cdot 102 + 6\cdot 101 + 7\cdot 100 $,

missä $10$ on kymmenien järjestelmän kanta.

kunnioitus 3

Minkä tahansa paikkajärjestelmän tärkeä ominaisuus on sen perusta, joka on useita erilaisia ​​merkkejä tai symboleja, joita käytetään numeroiden näytössä tässä järjestelmässä. Järjestelmäkehystä käytetään kuvaamaan sen erityispiirteitä.

Paikkanumerojärjestelmät ovat:

viconavchi (perustuu kahdelle numerolle $ 0 $ ja $ 1 $);

oktaali (korvauksessa on numeroita, jotka vaihtelevat 0 dollarista 7 dollariin);

kymmeniä (korvauksessa on numeroita, jotka vaihtelevat 0 dollarista 9 dollariin);

heksadesimaali (sisältää numerot välillä $ 0 $ - $ 9 $ ja kirjaimet $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ F $);

Pyatirkova (korvauksessa on numeroita, jotka vaihtelevat 0 dollarista 4 dollariin, tällä hetkellä Kiinassa);

dvenadtsyatkova (vanhentunut, vikorivovalsya on tähkä $ XX sata dollaria).

Perustuen kaksoisnumerojärjestelmä Kaiken laskentatekniikan robotti on aktivoitu, joten numero $0 tarkoittaa signaalin läsnäoloa, joten se on "pois käytöstä", ja $1 tarkoittaa, että signaali on päällä, joten se on päällä.

Visimkovaі heksadesimaalilukujärjestelmä Käytetään myös tietojenkäsittelytekniikassa (esimerkiksi tiedonsiirron järjestämiseen tietokoneen välillä).

Kymmenen numerojärjestelmä Ymmärrämme jokapäiväisessä elämässä, että "arabialainen" laskentajärjestelmämme perustuu lukuihin, jotka vaihtelevat välillä $ 0 - $ 9.

Näiden numeroiden esiintymisen historia on melko hämmentävä. On selvää, että haju oli heti ilmeinen muinaisille tähtitieteilijöille ja heidän täsmällisille petoksilleen.

Ilmeisesti Babylonian numerojärjestelmässä on merkki, joka osoittaa puuttuvia rivejä. Pid $ II $ sata eKr Kreikkalaiset tähtitieteilijät tulivat tietoisiksi näistä varotoimista. Hajuista on tullut vikorystuvat Annan sinulle järjestelmän kokonaislukuja ei kuitenkaan esitetä kiiloilla, kuten babylonialaiset, vaan aakkosjärjestyksessä (murtoluvut Babylonin sukupuolitestilukujärjestelmässä). Kreikkalaiset tähtitieteilijät edustivat nollasijaa symbolilla $ “0” $ (kreikan sanan Ouden ensimmäinen kirjain - ei mitään).

vaihteessa $ II $ i $ VI $ sata n.e. Intialaiset tähtitieteilijät löysivät kreikkalaisen kuusikymmenjärjestelmän ja kuvan pyöreästä kreikkalaisesta nollasta. Intiaanit yhdistivät kreikkalaisen numeroinnin periaatteet kiinalaiseen kymmenkertojärjestelmään. Tämän myötä he alkoivat merkitä numeroita yhdellä merkillä, kuten oli tapana muinaisessa intialaisessa brahmi-numeraatiossa, josta tuli viimeinen vaihe luodussa kymmenlukujärjestelmässä.

Arabialaiset tutkijat omaksuivat intialaisten matemaatikoiden ihmeellisen työn, ja Al-Khorezm kirjoitti yhdeksännellä vuosisadalla kirjan "Rakhunkin intialainen mysteeri", joka kuvaa kymmenen paikkalukujärjestelmää. Yksinkertaiset ja manuaaliset säännöt paikkajärjestelmään tallennettujen suurten lukujen lisäämiseksi ja poimimiseksi tekivät siitä jopa suositun eurooppalaisten kauppiaiden keskuudessa.

1200-luvulla. Juan Sevillasta käänsi kirjan "Intian mystery of Rahunka" latinaksi, ja intialainen Rahunku-järjestelmä levisi laajasti ympäri Eurooppaa. Ja Al-Khorezmin työn fragmentit kirjoitettiin arabiaksi, sitten intialaiselle numerointille annettiin väärä nimi Euroopassa - "Arabska". Arabit itse kutsuvat numeroita Intialaiseksi ja aritmetiikkaa, joka perustuu kymmenenteen järjestelmään - Intian telineeseen.

"Arabialaisten" numeroiden kirjoittaminen on muuttunut vuosia. Kirjoitus, jota vikorisoimme, perustettiin $ XVI $ vuosisatoja.

Malyunok 2.

Dosit oli aiemmin laajalti vikoroitu kahdentoista numerojärjestelmä. Se näytti ihottumalta hänen sormissaan. Rakhunok johdettiin käden isolla sormella ja muiden neljän sormen vikoristisilla sormilla: yhteensä 12 dollaria.

kunnioitus 4

Tämän järjestelmän elementtejä käytetään nykyään Englannissa sisääntulojärjestelmässä (1 dollari jalka = 12 dollaria tuumaa) ja pennyjärjestelmässä (1 dollari shilling = 12 dollaria penniä). Twelve-numerojärjestelmän elementtejä esiintyy usein jokapäiväisessä elämässä: tee- ja pöytäsarjat 12 dollaria per henkilö.

numerot sisään Englanti 1$–12$ näet nimesi, ja nämä numerot ovat varastossa:

Malyunok 3.

Numeroille 13 dollarista 19 dollariin - rivien lopussa on $ teini $. Esimerkiksi $15$ - $fiveteen$.

kunnioitus 5

Paikkanumerojärjestelmien tärkein etu on kyky kirjoittaa suuria lukuja pienellä määrällä numeroita sekä yksinkertaistaa aritmeettisten toimintojen laskemista numeroilla.

Tulla sisään

Arkipäiväiset ihmiset ovat jatkuvasti jumissa numeroiden kanssa: opettelemme bussien ja puhelinten numerot ulkoa kaupassa

Tuemme monipuolisia ostoksia, pidämme perheen budjettimme ruplissa ja kopeikoissa (ruplan sadasosissa) jne. Numerot, numerot. Haju on kaikkialla kanssamme.

Numeroiden käsite on peruskäsite sekä matematiikassa että tietojenkäsittelytieteessä. Nykyään, aivan 1900-luvun lopulla, ihmiset käyttävät pääasiassa kymmenien lukujärjestelmää numeroiden tallentamiseen. Mikä on numeerinen järjestelmä?

Numerojärjestelmä on tapa tallentaa (esittää) numeroita.

Aiemmin olemassa olleet ja tällä hetkellä käytössä olevat erilaiset numeeriset järjestelmät on jaettu kahteen ryhmään: paikannus- ja ei-positiojärjestelmä. Kaikkein perusteellisimmat ovat paikkalukujärjestelmät, järjestelmät numeroiden tallentamiseen, joissa kunkin numeron osuus luvun arvosta on sen sijainnissa (paikassa) numeroa edustavassa numerosarjassa. Esimerkiksi kymmenjärjestelmämme on paikannus: numerossa 34 numero 3 osoittaa kymmenien lukumäärän ja "lisää" luvun 30 arvoon, ja numerossa 304 sama numero 3 osoittaa satojen määrän ja " lisää" luvun 300 arvoon.

Numeerisia järjestelmiä, joissa jokainen numero edustaa arvoa, joka ei kuulu sen paikkaan luvun tallennuksessa, kutsutaan ei-positiaalisiksi.

Paikkalukujärjestelmät ovat tulosta ei-paikkalukujärjestelmien dramaattisesta historiallisesta kehityksestä.

1. Numeeristen järjestelmien historia

• Yksinumerojärjestelmä

Tarve kirjoittaa numeroita muistiin ilmestyi kauan sitten, kun vain ihmiset alkoivat ansaita rahaa. Monissa esineissä, esimerkiksi lampaissa, oli jälkiä tai kolhuja missä tahansa kovassa pinnassa: kivissä, savessa, puussa (paperi oli vielä pidempi ja kauempana ennen kuin se löydettiin). Tämän tietueen ihopotilailla oli yksi riski. Arkeologit ovat löytäneet tällaisia ​​"tietueita" kulttuurisfäärien kaivauksissa, jotka juontavat juurensa paleoliittikaudelle (10 - 11 tuhatta eKr.).

Muinaiset kutsuivat tätä tapaa kirjata numerot yhdeksi ("tikku") numerojärjestelmäksi. Numeroiden kirjoittamiseen oli vain yksi merkki - "tikku". Jokainen numero tällaisessa numeerisessa järjestelmässä merkittiin toisella rivillä, joka oli taitettu tikuksi, jonka numerot on perinteisesti merkitty numeroiksi.

Tällaisen numeroiden kirjoittamisjärjestelmän epäjohdonmukaisuus sekä rajallisuus ja johdonmukaisuus ovat ilmeisiä: mitä suurempi numero vaaditaan, sitä pidempi rivi per tikku. Kun kirjoitat suurta numeroa, on helppo katua sitä, että on ostanut paljon tikkuja tai esimerkiksi jättänyt ne valmiiksi.

Voit huomauttaa, että asioiden helpottamiseksi ihmiset alkoivat ryhmitellä esineitä 3, 5, 10 osaan. Ja tallennettaessa käytettiin merkkejä, samanlaisia ​​​​kuin monien esineiden ryhmiä. Luonnollisesti käsien sormet vääntyivät päiväunien aikana, joten merkit 5-10 kappaleen (yksikön) esineryhmän osoittamiseksi ilmestyivät ensin. Siten otettiin käyttöön enemmän manuaalisia järjestelmiä numeroiden tallentamiseen.

• Muinaisen egyptiläisen kymmenen ei-sijaintilukujärjestelmä

Muinaisessa egyptiläisessä numerojärjestelmässä, joka juontaa juurensa kolmannen vuosituhannen toiselle puoliskolle eKr., erityisiä numeroita käytettiin edustamaan numeroita 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Egyptin numeerisen järjestelmän numerot kirjoitettiin numeroiden yhdistelmänä, jossa jokainen niistä toistettiin enintään yhdeksän kertaa.

Butt. Muinaiset egyptiläiset kirjoittivat luvun 345 seuraavasti:

Malyunok 1 Numeroiden tallentaminen muinaisen egyptiläisen numerojärjestelmän avulla

Numeroiden merkitys muinaisessa egyptiläisessä numerojärjestelmässä:

Malyunok 2 Odinitsya

Malyunok 3 Kymmeniä

Malyunok 4 Sata

Malyunok 5 tuhatta

Malyunok 6 Kymmeniä tuhansia

Malyunok 7 Satoja tuhansia

Sekä nuijan että muinaisen egyptiläisen numerojärjestelmän perustana on yksinkertainen taittoperiaateNumeron merkitys on sama kuin merkintään osallistuvien numeroiden merkitys. He tuovat nyt muinaisen egyptiläisen numerojärjestelmän kymmenennelle ei-sijaintitasolle.

• Babylonian (kuusikymmentä) numerojärjestelmä

Tämän numeerisen järjestelmän luvut koostuivat kahden tyyppisistä merkeistä: suorasta kiilasta (kuva 8), joka osoittaa yksiköitä, makaavasta kiilasta (kuva 9) - osoittaa kymmeniä.

Malyunok 8 Suora kiila

Malyunok 9 Makaava kiila

Tällä tavalla numero 32 kirjoitettiin näin:

Malyunok 10 Numeron 32 tallentaminen Babylonian Sixty -numerojärjestelmään

Numero 60 merkittiin jälleen samalla merkillä (pieni 8), joka on 1. Numerot 3600 = 60 merkittiin samalla merkillä 2 , 216000 = 60 3 Ja kaikki muut asteet ovat 60. Siksi Babylonin numeerinen järjestelmä antoi nimen Sixty.

Numeron arvon määrittämiseksi oli tarpeen näyttää numero jaettuna oikealta vasemmalle. Uusien merkkien ("numeroiden") ryhmien piirtäminen ehdotti päästöjen piirtämistä:

Malyunok 11 Rozbivannya numerossa

Numeroiden arvot asetettiin varaston "numeroiden" arvojen taakse, paitsi että skin forward -kategorian "numerot" tarkoittivat 60 kertaa enemmän kuin samat "numerot" etukategoriassa.

Babylonialaiset kirjoittivat kaikki luvut 1:stä 59:ään kymmenenteen ei-sijaintijärjestelmään ja luvun kokonaisuutena - 60:een perustuvaan paikkajärjestelmään.

Numeroiden kirjaaminen babylonialaisten keskuudessa oli epäselvää, koska nollan merkitsemiseksi ei ollut "numeroa". Numeron 92 kirjoittaminen ei voi tarkoittaa vain 92 = 60 + 32, vaan myös 3632 = 3600 + 32 = 602 + 32 jne. Erikoistarkoituksiinluvun itseisarvoTarvittiin lisätietoja. Vuosien mittaan babylonialaiset ottivat käyttöön erikoissymbolin (malyunok 12) numerolle, josta puuttuu kuusikymmentäluvun paikka, mikä osoittaa meille tutussa kymmenennessä järjestelmässä numeron 0 esiintymisen numeromerkinnässä. Tätä symbolia ei kuitenkaan asetettu numeron loppuun, joten tämä symboli ei ole ymmärryksemme mukaan nolla.

Malyunok 12 Symboli puuttuvan kuudennenkymmenennen paikan osoittamiseen

Siten numero 3632 piti nyt kirjoittaa näin:

Malyunok 13 Kirjoita numero 3632

Babylonialaiset eivät koskaan unohtaneet kertotaulukkoa, koska se oli käytännössä mahdotonta. Haiseja laskettaessa käytettiin valmiita kertotauluja.

Sixty Babylonian järjestelmä on ensimmäinen meille tunnettu numerojärjestelmä, joka perustuu sijaintiperiaatteeseen. Babylonin järjestelmällä oli suuri rooli matematiikan ja tähtitieteen kehityksessä, ja se on säilynyt tähän päivään asti. Jaamme siis vuoden edelleen 60 kertaan ja ajan 60 sekuntiin. Täsmälleen samalla tavalla, perimällä babylonialaisten takapuolen, ympärysmitta on jaettu 360 osaan (astetta).

• Roomalainen lukujärjestelmä

Esimerkki ei-paikkaisesta lukujärjestelmästä, joka on säilynyt tähän päivään asti, voi toimia lukujärjestelmänä, joka perustettiin yli kaksi ja puoli tuhatta vuotta sitten muinaisessa Roomassa.

Roomalainen numerojärjestelmä perustuu merkkeihin I (yksi sormi) numerolle 1, V (avoin kämmen) numerolle 5, X (kaksi taitettua kämmentä) numerolle 10 sekä erityisiin merkkeihin numeroille 50, 100, 500 ja 1000.

Lopun neljän numeron toimeksiannot tulivat pian tunnetuksi merkittävinä muutoksina. Nyt oletetaan, että numeron 100 Mav ensimmäinen merkki näyttää kolmen merkin joukolta venäläisen Z-kirjaimen symbolissa ja numerolla 50 se näyttää Z-kirjaimen yläpuoliskolta, joka myöhemmin muutettiin merkki L:

Malyunok 14 Numeron 100 muunnos

Numeroiden 100, 500 ja 1000 esittämiseksi alettiin käyttää yleisten latinalaisten sanojen ensimmäisiä kirjaimia (Centum sata, Demimille puolituhatta, Mille tuhatta).

Numeron kirjoittamiseen roomalaiset käyttivät paitsi yhteenlaskua myös avainnumeroiden erottamista. Tämän myötä sääntö pysähtyi.

Isompaa vastapäätä olevan ihon pienemmän merkin merkitys on johdettu suuremman merkin merkityksestä.

Esimerkiksi merkintä IX edustaa numeroa 9 ja merkintä XI edustaa numeroa 11. Kymmenes numero 28 esitetään seuraavasti:

XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.

Kymmenennellä numerolla 99 on seuraava ilmentymä:

Malyunok 15 numero 99

Sellaisia, jotka uusia lukuja kirjoitettaessa avainnumerot eivät välttämättä vain laske yhteen, vaan ne voidaan jopa laskea yhteen, joten viimeisellä roomalaisilla numeroilla kirjoittaminen lisää yksikkönumeron. On selvää, että vakiintuneen säännön mukaisesti numero 1995 voidaan kirjoittaa esimerkiksi seuraavassa järjestyksessä:

MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,

MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5

MVM = 1000 + (1000 - 5),

MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) ja niin edelleen.

Roomalaisten numeroiden kirjoittamiselle ei edelleenkään ole yhtenäisiä sääntöjä, mutta niille on ehdotettu kansainvälisen standardin käyttöönottoa.

Nykyään roomalaisilla numeroilla on tarpeen kirjoittaa yhteen numeroon enintään kolme kertaa. Tässä telineessä on taulukko, jota voit käyttää manuaalisesti numeroiden määrittämiseen roomalaisin numeroin:

Taulukko 1 Roomalaisten numeroiden taulukko

He ovat käyttäneet roomalaisia ​​numeroita pitkään. Vielä 200 vuotta sitten liikepapereissa numerot kirjoitettiin roomalaisilla numeroilla (arabialaisten numeroiden uskottiin olevan helppo jakaa osiin).

Tällä hetkellä roomalainen numerojärjestelmä ei pysähdy seuraavien vikojen vuoksi:

• Nimetty vuosisata (XV vuosisata jne.), kiviä. e. (MCMLXXVII jne.) І kuukautta päivämääriä syötettäessä (esim. 1. V. 1975).
• Järjestysnumeroiden merkinnät.
• Samankaltaisten pienten tilausten nimitykset, kolme suurta: yIV, yV jne.
• Kemiallisten alkuaineiden valenssin nimitys.
  • Slovenian numerojärjestelmä

Tämä numerointi luotiin samanaikaisesti slovenialaisen aakkosjärjestelmän kanssa kreikkalaisten Chen-veljesten Cyril (Kostyantin) ja Methodius 9-luvulla slaavien pyhien kirjojen luetteloimiseksi. Tämä numeroiden kirjoitustapa on laajentunut suuresti, koska siinä on vähän samankaltaisuutta kreikkalaisen numerokirjoituksen kanssa.

Taulukko 2 Slovakian numerojärjestelmä

On tärkeää huomata, että "a":n jälkeen on kirjain "c" eikä "b" slovenian aakkosten seurauksena, joten käytetään vain kreikkalaisten aakkosten kaltaisia ​​kirjaimia. 1600-luvulle asti tämä numeroiden tallennusmuoto oli virallinen nykyisen Venäjän, Valko-Venäjän, Ukrainan, Bulgarian, Ugorshchinan, Serbian ja Kroatian alueella. Tähän päivään asti tätä numerointia käytetään ortodoksisissa kirkkokirjoissa.

• Mayojen numerojärjestelmä

Tätä järjestelmää käytettiin kalenterijakeluissa. Mayat käyttivät ei-sijaintijärjestelmää, joka oli samanlainen kuin muinainen egyptiläinen. Tämän järjestelmän selittävät maya-luvut itse, jotka voidaan tulkita 19 ensimmäisen luonnollisen luvun talletukseksi viisinkertaisessa ei-paikkalukujärjestelmässä. Babylonian heksadesimaalilukujärjestelmässä on samanlainen vicoristanian varastonumeroiden periaate.

Maya-numerot koostuivat nollasta (kilpikonnan merkki) ja 19 muistinumerosta. Nämä numerot muodostettiin yhden merkin (piste) ja viiden merkin (vaakaviiva) perusteella. Esimerkiksi luku, joka edustaa numeroa 19, kirjoitettiin useana pisteenä vaakasuoralle riville kolmen vaakaviivan yläpuolelle.

Malyunok 16 Mayan numerojärjestelmä

Numerot, jotka ovat yli 19, kirjoitettiin sijaintiperiaatteen mukaisesti alhaalta ylös vaiheiden 20 taakse. Esimerkki:

32 kirjoitettiin jakki (1) (12) = 1 × 20 + 12

429 jakki (1) (1) (9) = 1 × 400 + 1 × 20 + 9

4805 jakki (12) (0) (5) = 12 × 400 + 0 × 20 + 5

Numeroiden 1-19 tallentamiseen käytettiin myös jumalien kuvia. Tällaisia ​​hahmoja käytettiin harvoin, sillä ne säilyivät muutamissa monumentaalisissa steleissä.

Paikkalukujärjestelmä käyttää nollapohjaista arvoa tyhjien purkausten osoittamiseen. Ensimmäinen päivämäärä, joka tuli meille nollalla (Stele 2:ssa Chiapa de Corsossa, Chiapasissa), on päivätty 36 eKr. e. Ensimmäinen paikkalukujärjestelmä Euraasiassa, luotu muinaisessa Babylonissa 2000 eaa. Eli nollan alku ei ole pieni, mutta vuosien mittaan nollan merkkiä käytettiin vain luvun välinumeroissa, mikä johti moniselitteiseen lukujen kirjaamiseen. Ei-sijaintijärjestelmässä muinaisten nollakansojen määrä ei yleensä ole pieni.

Maya-kalenterin "Borg Rakhunkussa" oli toisenlainen 20-joen numerojärjestelmä, jossa muut rivit saattoivat sisältää vain numeroita 0-17, minkä jälkeen yksi lisättiin kolmanteen joukkoon. Siten yksi kolmannesta kategoriasta tarkoitti 400 ja 18 × 20 = 360, mikä on lähellä unisen perheen päivien määrää.

• Arabialaisten numeroiden historia

Tämä on laajin saatavilla oleva numerointi nykyään. Nimi "Arabi" ei ole täysin totta, jotkut halusivat tuoda sen Eurooppaan arabimaista, mutta se ei silti ollut siellä kotoisin. Viite Isänmaan numerointi - Intia.

Intian eri alueilla oli erilainen numerointijärjestelmä, mutta jossain vaiheessa oli yksi niiden väliltä. Sen numerot muistuttavat muinaisen intialaisen kielen päänumeroiden tähkäkirjaimia - sanskritia, josta Devanagari-aakkoset ovat peräisin.

Aluksi numerot 1, 2, 3, ... 9, 10, 20, 30, ..., 90, 100, 1000 esitettiin merkeillä; Muut numerot kirjoitettiin niistä. Sen lisäksi otettiin käyttöön erityinen merkki - paksu täplä tai nippu tyhjän vuodon lisäämiseksi; Ja "Devanagarin" numerointi muutettiin tavalliseksi kymmenjärjestelmäksi. Vielä ei tiedetä, miten ja tapahtuuko tällainen siirtymä. 800-luvun puoliväliin asti paikkanumerointi oli laajalti käytössä. Samaan aikaan se tunkeutuu naapurialueille: Indokiina, Kiina, Tiibet, Keski-Aasia.

Merkittävä rooli intialaisen numeroinnin leviämisessä arabimaissa oli cerivismilla, jonka Muhammad Al Khorezmi loi 800-luvun alussa. Vono siirrettiin Länsi-Eurooppa latinan kielellä 1100-luvulla. 1200-luvulla intialainen numerointi tuli tärkeämmäksi Italiassa. Muissa maissa se laajenee 1500-luvulle asti. Eurooppalaiset, jotka ottivat käyttöön arabien numeroinnin, kutsuivat heitä "arabiaksi". Tätä historiallisesti väärää nimeä selitetään.

Arabian kieli sisältää sanan "digit" (arabiaksi "sifr"), joka tarkoittaa kirjaimellisesti "tyhjää paikkaa" (käännös sanskritin sanasta "sunya", jolla on sama merkitys). Tätä sanaa käytettiin nimeämään tyhjän purkauksen merkki, ja tämä merkitys säilyi 1700-luvulle asti, vaikka 1400-luvulla ilmestyi latinalainen termi "nolla" (nullum - ei mitään).

Intialaisten numeroiden muoto on kokenut useita muutoksia. Muoto, jota nyt viljelemme, vakiintui 1500-luvulla.

• Nollan historia

Nolla on eri asia. Ensinnäkin nolla on numero, koska sitä käytetään ilmaisemaan tyhjää purkausta; toisella tavalla nolla on ei-ensisijainen luku, koska on mahdotonta jakaa nollalla ja kun se kerrotaan nollalla, luvusta tulee nolla; Kolmanneksi taittamiseen ja taittamiseen vaaditaan nolla, muuten, kuinka paljon on vähennettävä 5 viidestä?

Nollaa käytettiin ensimmäisen kerran muinaisessa babylonialaisessa numerojärjestelmässä merkitsemään puuttuvia numeroita numeroissa, ja he myös kirjoittivat numeroita, kuten 1 ja 60, eri tavalla, koska he eivät laittaneet nollaa luvun loppuun. Järjestelmässämme nolla tarkoittaa välilyönnin roolia tekstissä.

Nollan muodon alkuperä voidaan lukea suuren kreikkalaisen tähtitieteilijän Ptolemaioksen ansioksi, sillä hänen avaruuden merkin paikkaa koskevissa teksteissä kreikkalainen kirjain omikroni jopa ennustaa nykyisen nollan merkin. Ale Ptolemaios vikorista nolla samassa mielessä kuin babylonialaiset.

Seinäkirjoituksiin Intiassa 800-luvulla jKr. Ensin nollasymboli ilmestyy numeron loppuun. Ensinnäkin, ota nykyisen nollamerkin merkitys. Intialaiset matemaatikot itse löysivät nollan kaikissa kolmessa mielessä. Esimerkiksi intialainen matemaatikko Brahmagupta 700-luvulla jKr. aktiivisesti tulossa negatiivisten lukujen ja nollalukujen vikoristiksi. Ale vin vahvisti, että nollalla jaollinen luku on nolla, mikä on pohjimmiltaan vitsi ja todellinen matemaattinen kerskaus, joka johti intialaisten matemaatikoiden toiseen ihmeelliseen paljastukseen. Ja 1100-luvulla toinen intialainen matemaatikko Bhaskara yritti ymmärtää, mitä tapahtuisi, kun se jaetaan nollalla. Hän kirjoittaa: "Määrästä jaettuna nollalla tulee murto-osa, jonka merkitsijä on yhtä suuri kuin nolla. Tätä murto-osaa kutsutaan epäjohdonmukaisuudeksi."

Leonardo Fibonacci kutsuu teoksessaan "Liber abaci" (1202) merkkiä 0 arabiaksi zephirum. Sana zephirum on arabiankielinen sana as-sifr, joka on samanlainen kuin intialainen sana sunya, eli tyhjä, joka toimii nollan nimenä. Sana zephirum tulee ranskan sanasta zero ja italian sanasta zero. Toisaalta arabian sanasta as-sifr syntyi venäjänkielinen sana numero. 1600-luvun puoliväliin asti tätä sanaa käytettiin nimenomaan osoittamaan nolla. Latinalainen sana nullus (ei mitään) otettiin käyttöön merkitsemään nollaa 1500-luvulla.

Nolla ei ole ainutlaatuinen merkki. Zero on puhtaasti abstrakti käsite, yksi suurimmista ihmisten ulottuvuuksista. Luonnossa ei ole mitään, mikä olisi meille liikaa. Ilman nollaa pärjäät helposti laskelmissasi, mutta numeroita on mahdotonta kirjoittaa tarkasti muistiin. Lisäksi nolla on kaikkien muiden lukujen vastakohta ja symboloi loputonta valoa. Ja koska "kaikki on numeroita", mikään ei ole kaikkea!

• Ei-paikannuslukujärjestelmän puutteet

Ei-paikkanumerojärjestelmässä on useita puutteita:

1. On jatkuva tarve ottaa käyttöön uusia merkkejä suurten numeroiden tallentamiseksi.

2. On mahdotonta esittää murto- ja negatiivisia lukuja.

3. Aritmeettisten operaatioiden rakentaminen on vaikeaa, koska algoritmit eivät tue niiden laskentaa. Zokrema, kaikilla kansoilla, joilla oli numeeriset järjestelmät, oli menetelmiä sormikehitykseen, ja kreikkalaisilla oli parantava pistetaulu telineemme kuvassa.

Ale, käytämme edelleen arkikielessä ei-sijaintilukujärjestelmän elementtejä, esimerkiksi sanomme sata, ei kymmenen kymmenen, tuhat, miljoona, miljardi, biljoona.

2. Binäärilukujärjestelmä.

Tässä järjestelmässä on kaksi numeroa - 0 ja 1. Erityinen rooli tässä on 2. askeleen numerolla: 2, 4, 8 jne. Itse luvun oikea numero näyttää ykkösten määrän, etenevä numero kaksiosien lukumäärän, etenevä numero näyttää neljän määrän jne. Kaksoislukujärjestelmän avulla voit koodata minkä tahansa luonnollisen luvun - edustamaan sitä nollien ja ykkösten sarjana. Kaksoisnäkymässä voit kuvitella paitsi numeroita myös muita tietoja: tekstejä, kuvia, elokuvia ja äänitallenteita. Insinöörit arvostavat kaksoiskoodausta, koska se on helppo toteuttaa teknisesti. Teknisen toteutuksen kannalta yksinkertaisimpia ovat kaksiasentoiset elementit, esimerkiksi sähkömagneettinen rele, transistorikytkin.

• Kaksoisnumerojärjestelmän historia

Insinöörit ja matemaatikot perustivat spekulaationsa kahden aseman periaatteeseen - laskennallisen tekniikan elementtien luonteeseen.

Otetaan esimerkiksi kaksisuuntainen mielialahäiriö elektroninen liite-diodi. Voi olla vain kaksi tilannetta: joko suorittaa sähkövirtaus - "avautuminen" tai olla suorittamatta samaa - "sulkeminen". Entä laukaisin? Siellä on myös kaksi vakaata asentoa. Sama periaate pätee elementtien ulkoamiseen.

Mikset käyttäisi samaa kaksinumeroista numerojärjestelmää? Siinä on vain kaksi numeroa: 0 ja 1. Ja tämä on kätevä elektronisen koneen parissa työskentelemiseen. Ja uusia autoja alettiin käyttää avuksi 0 ja 1.

Älä ajattele, että kaksoisjärjestelmä on elektronisten koneiden tulos. Ei, hän on paljon vanhempi. Ihmisiä tuplamääränä on ollut jo pitkään. Se oli erityisen suosittu 1500-luvun lopusta 1800-luvun alkuun.

Leibniz teki kaksijärjestelmäjärjestelmästä yksinkertaisen, manuaalisen ja kauniin. Vin sanoi, että "laskeminen lisäämällä kaksi ... on tieteen perustavanlaatuista ja synnyttää uusia ideoita ... Kun luvut pelkistetään yksinkertaisimpiin tähkeihin, kuten 0 ja 1, ilmestyy ihmeellinen järjestys."

"Dyadisen järjestelmän" kunniaksi - näin dyadista järjestelmää silloin kutsuttiin - mitali tyrmättiin. Se näytti taulukon numeroilla ja yksinkertaisilla toimilla niiden kanssa. Mitalin reunalla oli viiva, jossa oli teksti: "Jotta eroon kaikesta, päästä eroon yhdestä."

Formula 1 Tietojen määrä lyönteinä

• Muunnos kahdesta kymmeneksi numerojärjestelmäksi

Tehtävä kääntää numerot kaksinumeroisesta järjestelmästä kymmeniksi syntyy useimmiten silloinkin, kun laskutoimitukset käännetään tai tietokone laskee arvot suurempiin kymmeniin numeroihin. Algoritmi kahden luvun muuntamiseksi kymmeniksi on melko yksinkertainen (kutsutaan joskus korvausalgoritmiksi):

Kaksoisluvun kääntämiseksi kymmeneksi tämä luku on esitettävä kaksoisnumerojärjestelmän korvaamisen lisävaiheiden summana kaksoisluvun paikoissa olevilla lisänumeroilla.

Esimerkiksi kaksoisluku 10110110 on muutettava kymmeneksi. Tässä numerossa on 8 numeroa ja 8 numeroa (numerot lasketaan nollasta alimman bitin osoittamalla tavalla). Ilmeisesti jo tuntemamme säännön mukaan voimme kuvitella sen vaiheiden summana, joka perustuu kahteen:

10110110 2 = (1 2 7) + (0 2 6) + (1 2 5) + (1 2 4) + (0 2 3) + (1 2 2) + (1 2 1 ) + (0 2 0) = 128 + 32 + 16 + 4 + 2 = 182 10

Elektroniikassa laitteita, jotka läpikäyvät samanlaisen muutoksen, kutsutaan dekooderi (Dekooderi, englantilainen dekooderi).

dekooderi Tämä piiri muuntaa tuloihin syötettävän kaksoiskoodin signaaliksi yhdessä lähdöistä niin, että dekooderi tulkitsee kaksoiskoodissa olevan luvun, joka edustaa sen loogista numeroa lähdössä, jonka numero vastaa kymmenesosaa. .

• Muunnos kahdesta kuuteentoista numerojärjestelmään

Heksadesimaaliluku sisältää 4 bittiä tietoa.

Siksi koko kaksinumeroisen luvun muuntamiseksi kuusitoistanumeroiseksi luvuksi on tarpeen jakaa se nelinumeroisiin ryhmiin (muistikirjat) alkaen oikealta, ja jos jäljellä olevassa vasemmassa ryhmässä on vähemmän kuin neljä numeroa, lisää ne vasempaan nollaan. Jos haluat muuntaa kahden murtoluvun (säännöllisen murtoluvun) kuudenneksitoista luvuksi, sinun on jaettava se muistikirjan oikealla puolella ja jos jäljellä olevassa oikeassa ryhmässä on vähemmän kuin neljä numeroa, sinun on lisättävä oikealle nollia.

Sitten sinun on muutettava ihoryhmä heksadesimaaliluvuksi käyttämällä aiemmin laadittua taulukkoa olemassa olevien ihotyyppien ja heksadesimaalilukujen tyypeistä.

Taulukko 3 Taulukko heksadesimaaliluvuista ja valmistelevista muistivihkoista

• Muunnos dvukkovysta visimkov-lukujärjestelmään

Kaksoisluvun muuntaminen asteikkojärjestelmään on yksinkertaista, jota varten tarvitset:

1. Jaa kaksinumeroinen luku kolmoiksi (3 kaksinumeroisen numeron ryhmiin), alkaen nuorimmista numeroista. Jos jäljellä oleva kolmikko (vanhempi numero) sisältää vähemmän kuin kolme numeroa, lisää enintään kolme nollaa.
   1. Kirjoita kaksoisluvun ihokolmikon alle oktaaliluvun vastaava numero oheisesta taulukosta.

Taulukko 4 Taulukko merkitsevistä luvuista ja valmistelevista kolmioista

3. Oktaalilukujärjestelmä

Numerojärjestelmä on 8:aan perustuva paikkanumerojärjestelmä. Numeroiden tallentamiseksi numerojärjestelmään lisätään 8 numeroa nollasta seitsemään (0,1,2,3,4,5,6,7).

Tila: oktaalijärjestelmää luokkaa kaksi ja kuusitoista käytetään digitaalisessa elektroniikassa ja tietotekniikassa, mutta nykyään se on harvoin pysähtynyt (aiemmin sitä käytettiin matalan tason ohjelmoinnissa, kohokuvioitu heksadesimaali).

Oktaalijärjestelmän laaja käyttö elektronisessa laskentatekniikassa selittyy sillä, että sille on ominaista helppo siirto kaksoisjärjestelmään ja takaisin käyttämällä yksinkertaista taulukkoa, jossa kaikki oktaalijärjestelmän numerot 0-7 on edustettuna ja vanhemman kolmosten näkymät (taulukko 4).

• Oktaalilukujärjestelmän historia

Historia: oktaalijärjestelmän vika liittyy tähän sormien tekniikkaan, jos se ei vaikuta sormiin, vaan niiden välisiin tiloihin (kaikkiin).

Vuonna 1716 Ruotsin kuningas Kaarle XII tilasi kuuluisan ruotsalaisen filosofin Emanuel Swedenborgin kehittämään numeerisen järjestelmän, joka perustui 64:ään 10:n sijasta. Kuitenkin Swedenborg ymmärsi, että heikomman älykkyyden omaaville ihmisille alempi kuningas käytti tällaista järjestelmää. Numero tulee olemaan erittäin tärkeä ja lausuttuasi sen laatikossa korvaa numero 8. Järjestelmä hajosi, mutta Kaarle XII:n kuolema vuonna 1718 esti sen käyttöönoton laittomana käyttöönoton, mutta Swedenborgin teosta ei julkaistu.

• Muunnos asteikosta kymmeneslukujärjestelmään

Nousevan luvun kääntämiseksi kymmeneksi, tämä luku on esitettävä oktaalilukujärjestelmän korvaamisen lisävaiheiden summana laskevan luvun numeroiden vastaavilla numeroilla. [ 24]

Esimerkiksi luku 2357 on muutettava kymmeniksi. Tässä numerossa on 4 numeroa ja 4 numeroa (numerot lasketaan nollasta, joka ilmaistaan ​​alimmalla bitillä). Ilmeisesti jo tuntemamme säännön mukaan voimme kuvitella sen vaiheiden summana, joka perustuu 8:aan:

23578 = (2 83) + (3 82) + (5 81) + (7 80) = 2 512 + 3 64 + 5 8 + 7 1 = 126 310

• Muunnos desimaalijärjestelmästä kaksoisnumerojärjestelmään

Jotta voit siirtyä painavasta järjestelmästä kaksinumeroiseen järjestelmään, sinun on muutettava luvun ihonumero kolmen pienemmän numeron ryhmäksi (taulukko 4).

• Muunnos asteikosta heksadesimaalilukujärjestelmään

Siirtyäksesi kuudestoista järjestelmään kaksinkertaiseen järjestelmään, sinun on muutettava luvun ihonumero kolminumeroiseksi ryhmäksi tetradissa (taulukko 3).

3. Heksadesimaalilukujärjestelmä

Paikkalukujärjestelmä kokonaislukukantaluvulla 16.

Käytä heksadesimaalilukuja määrittääksesi kymmeniä numeroita 0–9 ja latinalaisia ​​kirjaimia A–F määrittääksesi numerot välillä 1010–1510, sitten (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A , B, C, D, E, F).

Matalan tason ohjelmoinnissa ja tietokonedokumentaatiossa laajalti tunnustettu, nykyaikaisissa tietokoneissa muistin vähimmäisyksikkö on 8-bittinen tavu, jonka arvo on kirjoitettava manuaalisesti kahdella heksadesimaalinumerolla.

Unicode-standardissa merkin numero kirjoitetaan yleensä heksadesimaalimuodossa käyttäen vähintään 4 numeroa (tarvittaessa nollien alussa).

Kuudestoista väri edustaa värin kolmea komponenttia (R, G ja B) heksadesimaalimuodossa.

• Heksadesimaalilukujärjestelmän historia

Kuudennentoista numerojärjestelmän esitteli amerikkalainen IBM. Käytetään laajasti IBM-tietokoneiden ohjelmoinnissa. Vähimmäisosoite (tietokonekomponenttien välillä siirrettävän) tiedon yksikkö on tavu, joka yleensä laskee yhteen enintään 8 bittiä (englanninkielinen bitin binäärinumero, binäärinumero, kaksoisjärjestelmän numero) ja kaksi tavua, sitten 16 bittiä, lisää. ylös b konesana (komento). Siten komentojen tallentamiseksi sinun on käytettävä manuaalisesti perusjärjestelmään 16 perustuvaa järjestelmää.

• Muunnos kuudentoista numerojärjestelmästä kahdeksi

Algoritmi numeroiden kääntämiseksi heksadesimaalilukujärjestelmästä kakkoslukujärjestelmään on yksinkertainen. On vain tarpeen korvata heksadesimaaliluvun jokainen numero sen vastineella kaksinumeroisessa numerojärjestelmässä (positiivisten lukujen tapauksessa). Merkittävää on vain se, että jälkien kuudestoista numero korvataan kahdella, jolloin saadaan enintään 4 numeroa (kohti suurempia numeroita).

• Muunnos kuudestoista numerojärjestelmästä kymmeneksi

Heksadesimaaliluvun muuntamiseksi kymmeneksi tämä luku on esitettävä heksadesimaalilukujärjestelmän lisäaskeleiden summana vastaaviksi numeroiksi heksadesimaaliluvun numeroissa.

Esimerkiksi F45ED23C:n kuudestoista luku on muutettava kymmeneksi. Tässä numerossa on 8 numeroa ja 8 numeroa (muistaa, että numerot lasketaan nollasta, joka on vähiten merkitsevä bitti). Vakiintuneen säännön mukaisesti voimme kuvitella sen vaiheiden summana, joka perustuu 16:een:

F45ED23C 16 = (15 16 7) + (4 16 6) + (5 16 5) + (14 16 4) + (13 16 3) + (2 16 2) + (3 16 1) + (12 16 0) = 4099854908 10

• Muunnos heksadesimaaliluvusta desimaalilukujärjestelmäksi

Kun käännät lukuja heksadesimaalilukujärjestelmästä desimaalilukujärjestelmään, muunna heksadesimaaliluku ensin kahdeksi, jaa se sitten kolmioiksi, alkaen matalasta bitistä ja korvaa kolmikot kaksoisbitillä. niillä ja niiden vastaavilla painovoimajärjestelmässä ( Taulukko 4).

visnovok

Useimmissa osissa maailmaa he eivät välitä siitä, mitä he sanovat siellä eri kieliä, Mutta kunnioita sitä, "arabiaksi".

Tällaista ei enää koskaan tapahtunut. Viiden sataan vuoteen mitään tällaista ei ole koskaan mainittu Euroopan tutkimuksessa, puhumattakaan Afrikasta tai Amerikasta.

Ale tim peräti monet ihmiset kirjoittivat saman asian muistiin. Jokaisella kansalla oli oma voimansa, tai Susidassa oli järjestelmä numeroiden tallentamiseen. Jotkut käyttivät kirjaimia, toiset - merkkejä, toiset - stensiilejä. Jotkut onnistuivat paremmin, toiset eivät niin paljon.

Tällä hetkellä käytämme erilaisia ​​kansojen numerointijärjestelmiä, ilman että olemme yllättyneitä siitä, että kymmenennellä numerointijärjestelmällä on monia etuja muihin verrattuna.

Babylonian kuusikymmentälukujärjestelmää tutkitaan edelleen tähtitieteessä. Tämä jälki on säilynyt tähän päivään asti. Me mittaamme edelleen tunnin kuudellakymmenellä sekunnissa, kuudenkymmenen sekunnin vuodessa, ja se myös pysähtyy geometriassa kutin sukupuuttoon.

Roomalaista ei-paikkalukujärjestelmää käytämme osoittamaan kappaleita, osia ja erityisesti kemiassa.

Tietotekniikalla on kaksoisjärjestelmä. Vain kahden luvun 0 ja 1 yhdistelmä perustuu siihen, miten se toimii, koska sillä on kaksi vakaata tilaa: matala tai korkea jännite, ei virtausta, magnetoitu tai EI magnetoitu. Ihmisille kaksinumeroinen luku järjestelmä ei ole yksinkertainen - Koska koodin kirjoittaminen oli vaivalloista ja numeroiden muuntaminen kaksinumeroisesta järjestelmästä kymmenesosaksi ja takaisin ei ole niin helppoa, he alkoivat käyttää asteikko- ja kuudestoista numerojärjestelmää.

lista pienistä

luettelotaulukko

kaavat

Luettelo kirjallisuudesta ja kirjallisuudesta

1. Berman N.G. "Rakhunok ja numero." OGIZ Gostekhizdat Moskova 1947 r_k.
2. Brugsch G. Kaikki Egyptistä M:. Hengellisen liiton yhdistys "Golden Age", 2000. 627 s.
3. Vigodsky M. Ya. Aritmetiikka ja algebra in Muinaiseen maailmaan M.: Nauka, 1967.
4. Van der Waerden herättää tieteen. Matematiikka muinainen Egypti, Babylon ja Kreikka / Trans. 3 Gol. minä N. Veselovski. M., 1959. 456 s.
5. G.I. Glaser. Matematiikan historia koulussa. M.: Koulutus, 1964, 376 s.
6. Bosova L. L. Informatiikka: Käsikirja 6. luokalle
7. Fomin S.V. Numerojärjestelmät, M.: Nauka 2010
8. Kaikki numerointi- ja numerojärjestelmät (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm)
9. Matemaattinen tietosanakirja. M.: "Kiva. Encyclopedia", 1988. s. 847
10. Talakh V.N., Kuprieenko S.A. Amerikka on ensimmäinen. Dzherela mayojen, tieteen (Astecs) ja inkojen historian kanssa
11. Talakh V.M. Johdatus mayojen hieroglyfikirjoitukseen
12. A.P. Yushkevich, Matematiikan historia, osa 1, 1970
13. minä J. Depman, Historia of Aritmetic, 1965
14. L.Z. Shautsukova, "Tietokonetekniikan perusteet ravitsemuksessa ja ravitsemuksessa", Tieteellinen keskus "El-Fa", Nalchik, 1994
15. A. Kostinsky, V. Gubailovsky, kolminkertainen nolla(http://www.svoboda.org/programs/sc/2004/sc.011304.asp)
16. 2007-2014 "Tietokoneen historia" (http://chernykh.net/content/view/50/105/)
17. Tietokone Tiede. Peruskurssi. /Toim. S.V. Simonovich. - Pietari, 2000
18. Zaretska I.T., Kolodyazhny B.G., Gurzhiy A.M., Sokolov O.Yu. Tietokone Tiede: Päällikkö Pos_bnik 10 11 luokalle toisen asteen koulut. K.: Forum, 2001. 496 s.
19. GlavSprav 2009 2014 ( http://edu.glavsprav.ru/info/nepozicionnyje-sistemy-schisleniya/)
20. Tietokone Tiede. Tietokone teknologia. Tietokonetekniikat. / Käsikirja toim. O.I. Pushkar. - Vidavnichy-keskus "Akatemia", Kiova, - 2001 r
21. Ensisijainen hakuteos "EOM:n ja järjestelmien aritmeettiset perusteet". Osa 1. Numerojärjestelmät
22. O. Efimova, V. Morozova, N. Ugrinovich "Tietokonetekniikan kurssi" lukion perusoppikirja
23. Kagan B.M. Elektroniset laskentakoneet ja -järjestelmät M.: Vishcha School, 1985
24. Mayorov S.A., Kirilov V.V., Pribluda A.A., Introduction to microEOM, L.: Mashinobuduvannya, 1988.
25. Fomin S.V. Numerojärjestelmät, M.: Nauka, 1987
26. Vigodsky M.Ya. Perusmatematiikan neuvonantaja, M.: Osavaltion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden yliopisto, 1956.
27. Matemaattinen tietosanakirja. M: "Radyansk Encyclopedia" 1985.
28. Shauman A. M. Konearitmeettisen perusteet. Leningrad, Leningradin yliopisto. 1979r.
29. Voroshchuk A. N. Digitaalisten tietokoneiden ja ohjelmoinnin perusteet. M: "Tiede" 1978.
30. Rolych Ch. N. View 2-16, Minsk, "Vishcha school", 1981 r.