Euler-funktion merkitykset. Rivnannya Euler matematiikasta

Eulerin funktio on funktio, joka vertaa luonnollisten lukujen määrää pienempiä kuin m ja keskenään yksinkertaisia m. Osoittautuu, että numero 1 on keskenään yksinkertainen kaikkien luonnollisten lukujen (ja yhden) kanssa. Euler-funktio on merkitty pähkinäkirjaimella φ .

m

Muotoillaan seuraavat tehtävät.

zavdannya 1. Hei a 1 , a 2 , a 3, ... ne kaikki ovat yhden tyyppisiä yksinkertaisia ​​lukujen kertoimia m. Etsi näiden lukujen lukumäärä, jotka eivät ole jaollisia yhdellä luvuista a 1 , a 2 , a 3 , ... .

lisää asuntola Saattaa olla lähestyvä ilme:

zavdannya 2. Hei a 1 , a 2 , a 3, ... ovat keskenään alkulukuja, jotka ovat kertoimia m. Etsi kaikkien niiden lukujen lukumäärä, jotka eivät ole jaollisia millään luvuista a 1 , a 2 , a 3 , ... .

Otetaan luonnollisten lukujen sarja ylöspäin m:

Heidän lukumääränsä on vanhempi. Kaikki rivin (1) numerot ovat mukana. sitten hävitä

Niiden määrä on ikivanha.

Nämä luvut voidaan visualisoida ka 2, de k kulkee luonnollisten lukujen läpi

.

(3)

Jotta ka 2 tilastoa ei ole jaettu a 1 välttämätön ja riittävä kÄLÄ jaa a 1 (koska a 1 i a 2 ovat keskenään alkulukuja). On tarpeen tietää, kuinka monta numeroa sarjassa (1) on jaollinen a 1 ja sammuta ne riviltä (3). jakaantua a 1. osa m jakaantua a 1 , m jakaantua a 2 i m jakaantua a 1 a 2 (a 1 , a 2 syötä kerrannaisina m m, Noudatimme myös lisäkaavaa (2). riviltä A 1 sinun on poistettava käytöstä numerot, jotka ovat jaollisia a 1. Ne, jotka kostivat m numeron voi poistaa

A 2. Näemme kauempana A 2 numeroa, jotka ovat jaollisia a 3. Sarjassa (1) ei ole lukuja, jotka olisivat jaollisia a 3 eikä jaettuna a 1 i a 2 .

Sarjan (1) numerot, jotka ovat jaollisia a 3 hyökkäystä:

Jotta ka 3 EI jaettuna a 1 i a 2 tarpeellista ja riittävää kÄLÄ jaa a 1 i a 2 (koska a 3 i a 1 ja myös a 3 i a 2 numeroa ovat keskenään alkulukuja). On tarpeen tietää, kuinka monta numeroa sarjassa (1) on jaollinen a 1 i a 2 ja kytke päälle rivillä (6). jakaantua a 1 i a 2, kyllä m jakaantua a 1 , m jakaantua a 2 i m jakaantua a 1 a 2 a 3 (a 1 , a 2 , a 3 syötä kerrannaisina m). Päivämäärän mukainen toimeksianto on sama kuin päivämäärän mukainen toimeksianto m, Kuten olisimme etsineet apua (5). Näiden numeroiden lukumäärä sarjassa (6), koska ne eivät ole jaollisia a 1 ei päällä a 2 (tai näiden numeroiden lukumäärä sarjassa (1), joka on jaollinen a 3 eikä sitä saa jakaa a 1, ei päällä a 2):

Merkittävästi persoonattomia numeroita näistä numeroista A 3. Kehräämme tällä tavalla, asetamme numeron A i näistä numeroista sarjassa (1), koska ne eivät ole jaollisia a 1 , a 2 , ..., a minä yksi

.

(7)

Vähensimme näiden lukujen lukumäärän sarjasta (1), koska niitä ei ole jaettu numeroiksi a 1 , a 2 , ..., a i. Lukujen kaavan pienentäminen a 1 , a 2 , ..., a minä, a i+1, de a i + 1 sisältyy myös kertoimena m ja keskenään yksinkertaisia a 1 , a 2 , ..., a i.

Tietää näiden numeroiden lukumäärä sarjassa (1), joka ei ole jaollinen a 1 , a 2 , ..., a i + 1, on välttämätöntä, että persoonallisuus (7) sammuttaa kerrannaisuudet a i + 1. Sarjassa (1) ei ole lukuja, jotka eivät olisi jaollisia a 1 , a 2 , ..., a minä olen jakanut a i+1.

Kaikki luvut sarjassa (1), jotka ovat jaollisia a i + 1, eteenpäin:

lukuja, jotka eivät ole jaollisia a 1 , a 2 , ..., a minä sitten

Olemme edenneet lausetta:

lause 1. yakscho a 1 , a 2 , ..., a q, kaikki erot ovat keskenään yksinkertaisia ​​numeroita, jotka syötetään ennen m, Se on niiden lukujen määrä, jotka eivät ole jaollisia yhdellä luvuista a 1, a 2 , ..., a q olen peräkkäin m yksi:

on osoitettu kaavalla (8).

Se on selvää. m Onko luku jaollinen jollakin varastoon sisältyvällä yksinkertaisella kertoimella mє annamme anteeksi toisillemme

. Lauseen 1 lisäksi voimme vahvistaa tämän lauseen. a 2 , a Kaava on löydetty ja se voidaan kirjoittaa uudelleen eri muotoon. Yaksho a 1, m 3, ... kaikki erilaiset yksinkertaiset luvut, jotka sisältyvät kertoimiin

, Tuo Tällaisia ​​lukuja on 24, kun sitä tarkastellaan, 90 = 2 · 3 2 · 5φ(m)

me tiedämme a 1 , a 2 , a Valmis. yakscho m 1 i 3, ... on olemassa yksinkertaisia ​​numeroita, jotka menevät varastoon 1 , 3, ... on olemassa yksinkertaisia ​​numeroita, jotka menevät varastoon 2 , 3, ... on olemassa yksinkertaisia ​​numeroita, jotka menevät varastoon b m 2, ... on olemassa yksinkertaisia ​​numeroita, jotka menevät varastoon

2 siis m 1 m 2, kyllä m 1 i m On olemassa erilaisia ​​​​yksinkertaisia ​​​​numeroita, jotka menevät varastoon

2 toistensa alkulukua, jotta haju ei viipyy unisten velallisten päällä. m 1 m Ymmärrän kyllä. m Olipa kyseessä yksinkertainen numero TV:n syöttämiseen m 2 .

2 voidaan yhdistää numeroon rivillä (9), koska tämä on yksinkertainen luku, joka voidaan sisällyttää kertoimeksi tai m 1 m 1 tai sisään

Tässä numerojärjestyksessä sarja (9) edustaa kaikkien sarjaan sisältyvien alkulukujen persoonallisuutta.

2. sama

Toisella puolella

Tämä lause pätee mille tahansa määrälle yhdisteitä, koska kaikki yhdisteet ovat keskenään alkulukuja. m.

Se on selvää.

zavdannya 3. luvut ovat keskenään alkulukuja m Tulevaisuudessa on suurempi asuntola: λ Annettu sarja (10) ja on tarpeen tietää näiden numeroiden lukumäärä missä sarjassa suurin nukkuja, ja λ m = nλ m.

, Tobto

Jotta λ є yksi numeroista suurin nukkujaі On selvää, että numerot löytyvät numeroiden keskeltä oli suurin numeroiden tappaja kі kλ rivissä (11), se on välttämätöntä ja riittävää k n

Anna meille anteeksi numeroina. No siksi

hyväksyy arvon

ja rivi on vedetty. Hei m Katsotaanpa takapuolta. m peppu

= 90. rikoskumppaneita

loukkaava:

Riemannin zeta-funktio on yksi puhtaan matematiikan tunnetuimmista kaavoista, joka liittyy kuuluisaan ratkaisemattomaan matemaattiseen ongelmaan - Riemannin hypoteesiin. Zeta-funktiolaskurilla voit laskea arvot argumenteille, jotka ovat nollan ja 1:n välillä.

Historiallinen tausta

Sarja, hylännyt nimensä, on jo todennut, että kiele, joka on jaettu kahteen, kolmeen tai useampaan osaan, tuottaa ääniä, jotka tuovat matemaattista harmoniaa. Mitä suurempi harmonisen sarjan jäsenten lukumäärä on, sitä suurempi merkitys. Tiukasti matemaattisesti sanottuna tämä tarkoittaa, että sarja eroaa ja menee suoraan äärettömyyteen.

Kuuluisa matemaatikko Leonard Euler työskenteli harmonisten sarjan kanssa ja kehitti kaavan sekvenssin tietyn määrän termien summan laskemiseksi. Työprosessi on juuttunut toiseen järjestykseen, joka tunnettiin muinaisista ajoista, mutta nykyään kantaa Eulerin nimeä. Euler-sarjan osa bannereissa koostuu neliöistä, ja sarjan ensimmäiset termit näyttävät tältä:

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 ... 1 / n 2

Yllättäen kuitenkin, kun sarjan termien määrä on kasvanut, lausekkeiden summa lähestyy asymptoottisesti samaa arvoa. Joten sarja konvergoi ja sen arvo on yhtä suuri kuin vakio, joka on suhteellinen (Pi 2) / 6 tai 1,64488. Kuinka laittaa kuutioita bannereihin:

1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 ... 1 / n 3

sitten sarja suppenee jälleen, kunnes se saavuttaa arvon 1.20205. SISÄÄN Zagalom näyttää Voimme ilmaista staattisen sarjan zeta-funktiona muodossa:

Z(s) = 1 + 1/2 s + 1/3 s + 1/4 s + 1/5 s

Suuremmilla askelilla ja sarjan termien lukumäärällä funktion arvo pienenee yhdeksi ja yli 30 askeleilla Z (s) = 1, joten tällainen sarja suppenee. Sarjan arvon laskeminen kohdassa 0> s> 1 osoittaa, että kaikissa näissä tapauksissa funktiolla on erilaiset arvot ja sarjan ehtojen summa kasvaa jatkuvasti äärettömyyteen asti, ja siksi sarja poikkeaa.

Harmonisessa sarjassa näytetään edellisen yksikön taso ja sarja myös poikkeaa. Kuitenkin, jos vain s saa arvon, joka on suurempi kuin yksi, sarja konvergoi. Jos se on vähemmän, olemme eri mieltä. On selvää, että harmoninen sarja sijaitsee tiukasti lähentymisen rajalla.

Riemannin zeta-funktio

Euler työskenteli monissa vaiheissa, mutta Bernhard Riemann laajensi toimintovalikoimaansa toiminnassa ja kompleksiluvut. Kompleksinen analyysi osoittaa, että zeta-funktiossa on ääretön määrä nollia, joten s:n arvoja on ääretön määrä, jolle Z(s) = 0. Kaikki ei-triviaalit nollat ​​ovat kompleksilukuja muotoa a + bi, missä minä - yksitellen. Online-laskimemme avulla voit käyttää vain aktiivisia argumentteja, joten Z(s):n arvo on aina suurempi kuin nolla.

Esimerkiksi Z (2) = (Pi 2) / 6, ja tämän tuloksen on kehittänyt Euler itse. Kaikki parillisten argumenttien funktiot perustuvat numeroon Pi, mutta parittomien lukujen rakenne on taitettu niin, että tulos esitetään suljetussa muodossa.

Riemmannin hypoteesi

Leonard Euler tutki funktiota Z (s) alkulukujen jakoa koskevalla lauseella. Riemann esitteli tämän toiminnon myös väitöskirjatyössään. Tämä on yksinkertainen menetelmä, jonka avulla voit valita useita alkulukuja (jaettuna yhdellä ja yhdellä), jotka osuvat sarjaan oikealle rajalle. Työn edetessä Riemann ymmärsi, että kaikilla ei-triviaalisilla (eli monimutkaisilla) nolla-zeta-funktioilla on tehollinen osa, joka on yhtä suuri kuin 1/2. Vcheniy ei koskaan pystynyt esittämään todistetta tälle väitteelle, joka tunnissa muuttui puhtaan matematiikan pyhäksi maljaksi.

Suvoren todistus Riemannin hypoteesista lupaa valaista alkulukujen jakoa, josta on käyty matemaattista kiistaa muinaisista ajoista lähtien. Nykyään yli kaksi miljardia zeta-funktion ei-triviaalista nollaa on ratkaistu, ja niitä voidaan tehokkaasti laajentaa rivillä x = 1/2. Kuitenkin teoria jakamattomien lukujen jaosta tai Riemannin hypoteesi eivät ole tällä hetkellä sallittuja.

Laskimellamme voit laskea Z (s) arvot mille tahansa aktiiviselle s:lle. Voit valita väitteen tavoitteet ja murto-osat, positiiviset ja negatiiviset arvot. Tätä tarkoitusta varten positiiviset s-arvot tuottavat aina tuloksia, jotka ovat lähellä tai yhtä suuria. Arvoja 0> s> 1 kasvatetaan aina, kunnes zeta-funktio saa eri arvoja. Negatiiviset arvot laajenevat:

1 + 1 s + 2 s + 3 s + 4 s ...

On selvää, että kaikilla negatiivisilla s-arvoilla sarja poikkeaa ja muuttuu jyrkästi epäjohdonmukaisuudeksi. Katsotaanpa Z(s)-arvon numeerisia sovelluksia.

soveltaa laskelmaa

Tarkistamme laskelmamme. Vikoriohjelmassa on laskelmissa 20 tuhatta jäsentä peräkkäin. Z:n (s) arvolla on laskuria käytettäessä positiivisia argumentteja, jotka ovat suurempia kuin yksi:

• jossa s = 1 virats Z (s) = 10,48;
• at s = 1,5 virats Z (s) = 2,59;
• at s = 5 viraz Z (s) = 1,03.

Zeta-funktion arvot 0> s> 1:lle määritetään:

• at s = 0,9 viraz Z (s) = 17,49.
• at s = 0,5 virats Z (s) = 281,37;
• at s = 0,1 viraz Z (s) = 8 253,59.

Z(s):n arvo s:lle voidaan määrittää<0:

• at s = -0,5 viraz Z (s) = 1 885 547.
• jossa s = -1 virats Z (s) = 199 999 000;
• jossa s = -3 viraz Z (s) = 39 996 000 100 000 010;

Ilmeisesti s:n pienellä muutoksella yksiköstä suurempaan suuntaan funktio alkaa kasvaa ja laskee sitten tasaisesti arvoon Z (s) = 1. Kun argumentti vaihdetaan yhdestä pienempään suuntaan, funktio ottaa kaikki suuret ja suuret arvot Tämä on totta ja johtaa suoraan epäjohdonmukaisuuteen.

visnovok

Riemannin zeta-funktio ja siihen liittyvä hypoteesi ovat yksi modernin matematiikan suosituimmista avoimista ongelmista, jonka huipulta on kiistelty jo yli 150 vuotta. Riemannin hypoteesin todistus antoi matemaatikoille mahdollisuuden tehdä suuri läpimurto lukuteoriassa, mikä epäilemättä johtaisi tieteellisen yhteistyön vielä suurempiin läpimurtoihin.

Umova

Numeroteorialla on Euler-funktio$ Latex \ varphi (n) $ - lukujen määrä, jotka ovat pienempiä kuin $ lateksi n $ ja sen keskinäinen alkuluku. Ilmeisesti kaksi lukua ovat keskenään alkulukuja, koska niillä ei ole enempää kuin yksi vastine.

Laajennamme Euler-funktion ymmärrystä riveihin. Olkoon $ lateksi s $ tyhjä rivi aakkosten yläpuolella ($ lateksi a $ .. $ lateksi z $), ja $ lateksi k $ on täysin positiivinen luku. Sitten $ lateksi s \ cdot k $ toiselle riville $ lateksi t = \ aliviiva (s \ circ s \ circ \ ldots \ circ s) _ (\ teksti (k)) $ (ketjutus $ lateksi s $ itse $ lateksi k $ kertaa). Tässä tilanteessa sanomme, että rivi $ lateksi s $ - velallinen rivit $ lateksi t $. Esimerkiksi "ab" on osa riviä "ababab".

Kaksi ei-tyhjää riviä $ lateksi s $ i $ lateksi t $ kutsutaan anteeksi toisilleen, Ei ole selvää, että siellä on rivi $ lateksi u $ siten, että hän on velallinen sekä $ lateksi s $ että $ lateksi t $. Tämä on Eulerin funktio $ lateksi \ varphi (s) $ riville $ lateksi s $ arvojen takana - ei-tyhjien rivien määrä samalla aakkosella ($ lateksi a $ .. $ lateksi z $), pienempi $ lateksi s $ lisäksi, ja molemminpuolisesti olen pahoillani hänestä.

Syötä tiedot

Syöttötiedostolle annetaan rivi $ latex s $ välillä $ latex 1 $ - $ latex 10 ^ 5 $ merkkiä, joka koostuu pienistä latinalaisista kirjaimista.

Viikonlopun päivämäärät

Avaa $ lateksi \ varphi (s) $ arvot ja näytä yksi numero - alaosastosi ylijäämä on $ lateksi 1000000007 (10 ^ 9 + 7) $.

Päätös

Ilmeisesti jos rivillä $ lateksi s $ dovzhini $ latex n $ ei ole velkoja, niin mikä tahansa dovzhini-rivi on pienempi, alempi $ lateksi n $, on keskenään yksinkertainen $ lateksin s $ kanssa. Sitten voit hyödyntää kaikkien mahdollisten rivien lukumäärää $ latex 1 $ - $ latex n-1 $ mukaan lukien. Tietylle $ lateksille k $ on useita rivejä, jotka ovat erittäin kalliita $ lateksia 26 ^ k $. Sitten kaikkien mahdollisten rivien $ lateksi m $ lukumäärä $ lateksi 1 $ - $ lateksi n-1 $ lasketaan seuraavalla kaavalla: $ lateksi m = \ summa \ rajat_ (k = 1) ^ (n-1 ) 26 ^ k $.

Katsotaanpa nyt tilannetta, jos rikoskumppaneita on peräkkäin. Rivin $ latex s $ fragmentit tällä tavalla on useiden uusien pienimmän rivien ketjutus, löydämme tämän alijonon itse, joka on rivin $ latex s $ minimaalinen (lyhin) jakaja. Mihin käytämme etuliitetoimintoa. Vaughn kiertää vektorin $ latex pi $ arvon kaikille rivin $ latex s $ alimerkkijonoille, jotka ovat etuliiteitä $ latex s $, jossa arvo on sen rivin etuliitteen maksimiarvo, joka menee sen päätteen kanssa. Vektorin $ latex pi $ kaksi $ lateksia n-1 $ ovat arvoltaan puolet rivin $ latex s $ suurimmasta etuliitteestä, ja rivin $ lateksi s $ "palat" menetettyinä edustavat minimaalista osaa.

Olen menettänyt rivien laskemisen, mikä ei ole molemminpuolisesti yksinkertaista $ latex s $:n kanssa. Anna mennä k - dowzhina on minimaalinen rikoskumppani $ lateksi s $. Silloin $ latex s $ ei anna toisilleen anteeksi kaikkia rivejä ja tämän kumppanin ketjuja. Niiden määrän palauttamiseksi riittää jakaa tähkärivin tuotto k:lla, muuten vastaus on yksi vähemmän, koska tässä kaavassa itse rivi $ lateksi s $, kuten voimakas velallinen.

Tehtävän jäännösvasteen vuoksi on mahdotonta nostaa useita rivejä, jotka eivät ole keskenään yksinkertaisia ​​$ latex s $:lla.

appiukko

Ohjelman koodi

Ja merkitykset ovat luonnollisten lukujen persoonallisuudessa.

Kuten merkityksestä tulee, laskemiseksi on tarpeen selvittää kaikki numerot alkaen ja tarkistaa, mitä täällä tapahtuu, ja sitten selvittää, kuinka monta numeroa esiintyi yhdessä. Tämä menettely on melkoinen vaikeaa, Siksi laskentatarkoituksiin käytetään muita menetelmiä, jotka perustuvat tiettyyn Eulerin funktion tehoon.

Oikeanpuoleisessa taulukossa on Euler-funktion 99 ensimmäistä arvoa. Analysoimalla tietoja voit huomata, että merkitys ei ylitä, ja täsmälleen yksi asia on yksinkertainen. Tällä tavalla, jos piirrät suoran viivan koordinaatteihin, arvot ovat joko tällä suoralla tai sen alapuolella. Lisäksi katsomalla kaaviota, osoittamalla tilastojen yläreunaa ja taulukon arvoja, voit olettaa, että nollan kautta kulkee suora viiva, joka leikkaa alla olevat arvot. Osoittautuu kuitenkin, että tällaista suoraa ei ole olemassa. Sitten, jos emme piirtäneet suoraa viivaa, tulee aina luonnollinen luku, joka on suoran alapuolella. yksi vielä sellaisella erikoisuudella grafiikka, on näyttöä tietyistä suorista viivoista, jotka keskittävät Euler-funktion arvot. Joten esimerkiksi siellä, missä merkitys de simple sijaitsee, se näyttää olevan suora, suunnilleen samanlainen kuin missä de simple merkitys on.

Euler-funktion käyttäytyminen näkyy selvemmin osiossa.

Euler-funktion moninkertaisuus

Yksi Eulerin funktion päävoimista on moninkertaisuus. Tämän voiman perusti Euler ja se on muotoiltu näin: niille, jotka keskenään alkuluvutі

todiste moninkertaisuudesta

Euler-funktion multiplicatiivisuuden todistamiseksi tarvitaan lisälause.

Nyt voimme viimeistellä perusasiat.

Euler-funktio alkulukuna

jakki viplyvaet merkityksestä. On selvää, että jos se on yksinkertainen, niin kaikki pienemmät luvut ovat keskenään yksinkertaisia, ja niitä on yhtä monta.

Laskeaksesi Euler-funktion alkulukuasteena, käytä seuraavaa kaavaa:

Kateus on sidottu tulevaan järjestykseen. Arvostamme lukujen lukumäärää välillä ja jotka eivät ole keskenään yksinkertaisia. Kaikki tuoksut ovat ilmeisesti tämän moninkertaisia: tällaisia ​​lukuja on niin monia, joten on niin monia lukuja, jotka ovat keskenään alkulukuja yhdelle.

Euler-funktio luonnollisena lukuna

Riittävän luonnollisen laskenta perustuu Euler-funktion kertoimiin, ilmaistuna ja myös aritmeettisen peruslauseen kanssa. Riittävän luonnollisen luvun tapauksessa arvo esitetään muodossa:

de - vain numero Ja se käy läpi kaikki merkitykset, jotka osallistuvat jaotteluun yksinkertaisiin kertoimiin.

Valmis

de - suurin nukkuja Tämä voima on moninkertaisuuden luonnollinen muoto.

Todiste säännöllisestä multiplicatiivisuudesta

Olkoon niin, zagal-ilmaisussa, ja siksi voit kirjoittaa:

Tässä ensimmäiset jakajat ovat myös jakajia, ja loput laajentajat ovat myös jakajia.

Euler-funktion ja kaavan monikertaisuuden vuoksi

de - yksinkertainen, jättäen pois:

Ensimmäinen rivi on kirjoitettu toiseen - ja kolmas voidaan nähdä, kuten Tom:

Toimii laskeuman ympärillä:

Eulerin lause

Useimmiten käytännössä valta on voittoisa, vakiintunut Euler :

mitä minä anteeksi toisilleen.
Tämä voima, kuten he kutsuvat sitä Eulerin lause, Piiskat alkaen Lagrangen lause ja se, että φ ( m) Muinaisen järjestyksen mukaisesti kiertävien elementtien ryhmät soi vidrahuvan modulo m.
Kuinka Eulerin lauseen seuraukset voidaan peruuttaa Fermatin pieni lause. Kenelle on välttämätöntä ottaa enemmän, vaan yksinkertaisesti. todi:

Jäljellä oleva kaava on tietää pysähtyneisyys eri yksinkertaisuustestejä.

muut viranomaiset

Ottaen huomioon Eulerin luoman esityksen, on vaikea laittaa linnoitusta oikealle jalalle:

Voidaanko luonnollista lukua käyttää katsomaan Euler-funktion arvoa sen vastineista:

Kaikkien tätä pienempien lukujen ja sen keskinäisen alkuluvun summa ilmaistaan ​​Euler-funktiolla:

persoonaton merkitys

Euler-funktion kerroinarvon rakenteen tutkiminen taittotehtävien ohella. Tässä on esitetty joitakin tällä alalla saavutettuja tuloksia.

Todistus (Eulerin funktio ottaa vähemmän kuin yhden arvon, kun n> 2)

On selvää, että se ei vain ole kaveri ja se on kaveri. Innokkuudesta syntyy lujuus.

Operatiivisen analyysin tehtävänä on usein löytää argumentin arvo perustuen funktion tiettyyn arvoon tai toisin sanoen löytää tietty arvo paluutoiminto. Sama vaatimus voidaan asettaa Euler-funktiolle. Äiti tarvitsee kuitenkin kunnioitusta

Tämä vaatii erityisiä analyysimenetelmiä. Esikuvan tutkimiseen käytetään seuraavaa lausetta:

lauseen todiste

Ilmeisesti toisaalta, samoin kuin toiselta puolelta, kuitenkin toisaalta

Tämä lause osoittaa, että elementin prototyyppi on lopulta persoonaton. Se tarjoaa myös käytännöllisen tavan löytää prototyyppi. Kenelle sitä tarvitaan?

Voi käydä ilmi, että ilmoitetulla aikavälillä ei ole sellaista numeroa, että tässä tapauksessa prototyyppi on tyhjä.
Varto huomioi, että laskemista varten on tiedettävä avautumassa yksinkertaisesti kertoimia, mutta suurille laskennallisesti taitettava zavdannyam Sitten sinun on laskettava Euler-funktio, joka on myös erittäin vaikeaa suurille luvuille. Tämä on prototyypin tarkoitus yleisesti - laskennallisesti monimutkainen toimii.

Esimerkki 1 (Prototyypin laskeminen)

Tunnemme 4:n prototyypin. Osa 4 on luvut 1, 2 ja 4. Lisäämällä yksi kerrallaan kuhunkin, vähennämme 2, 3, 5 - yksinkertaiset luvut. laskettava

Saadaksesi tietää prototyypin 4, katso vain numeroita 5-15. Käsiteltyämme välilehdet poistamme:

Sovellus 2 (kaikki parilliset luvut eivät ole Euler-funktioita)

En tiedä esimerkiksi sellaista numeroa, joka:

Itse asiassa luvut 14 ovat 1, 2, 7 ja 14. Kun on lisätty yksi kerrallaan, vähennetään 2, 3, 8, 15. Näistä vain kaksi ensimmäistä numeroa ovat yksinkertaisia. Tom

Kun olet käynyt läpi kaikki numerot 15:stä 42:een, on vaikea määrittää uudelleen mitä

asymptoottinen suhde

yksinkertaisimmat epätasa-arvot

Osa φ ( kλ) h kλ

Viimeisten arvojen asettaminen

Summien asymptotiikka

Eulerin funktiojärjestys

Linkit muihin toimintoihin

Möbius-funktio

Dirichlet-sarja

Lambert sarja

Suurin nukkuja

Käytä lisäyksiä

Euler-funktio RSA:ssa

Perustuu vuonna 1978 kehitettyyn algoritmiin Ronald Rivest , Adi Shamirі Leonard Adleman luotiin ensimmäinen salausjärjestelmä salaisella avaimella, joka poisti tekijöiden nimet ensimmäisistä kirjaimista - järjestelmä RSA. Tämän järjestelmän vakaus määräytyy sen taittuvuuden perusteella jakaa kerrannaisiksi koko kλ- Järjestetään numerot. Avainrooli RSA-algoritmissa on Euler-funktiolla, jonka teho sallii salausjärjestelmä yksityisellä avaimella.

Vedon tekemisvaiheessa salaisista ja yksityisistä avaimista se lasketaan

missä minä - yksinkertainen. Sitten valitaan satunnaiset luvut niin, että

Sitten viesti salataan vastaanottajan yksityisellä avaimella:

Tämän jälkeen vain salaisen avaimen omistaja voi purkaa viestin salauksen

Jäljellä olevan kovettumisen oikeellisuus perustuu Eulerin lauseі Kiinalainen lause ylijäämästä.

Oikea salauksen purku on saavutettu

Johtuen numeroiden valinnasta avaimen luontivaiheessa

Eulerin lauseen takia

Päinvastaisessa tapauksessa voi olla äitejä, jotka ovat naimisissa keskenään, mutta salauksen purku osoittautuu silti oikeaksi. Siirrytään kiinalaiseen lauseeseen ylijäämistä:

Sellaisen identiteetin korvaaminen

Noh,

Porttielementin laskenta

Euler-funktiolla voidaan laskea kerrotun elementin modulo ja itse:

Butt (kauluselementin laskenta)

Tiedämme, että tämä on numero

On selvää, että niitä ei ole enempää kuin yksi, jolle luku on alkuluku

Hänen on helppo seurata nopeasti vision ehdottamaa kaavaa:

On helppo ymmärtää väärin mikä on totta

Kunnioitus 1 (laskennan monimutkaisuuden arviointi)

Zagalnyi vypadkussa rahan arvon laskemiseen Euklidinen algoritmi shvidshe, nizh vikoristannya Eulerin lauseesta, niin laskennan bittitaittoisuus Euklidisen algoritmin takana on järjestys samalla kun Eulerin lauseen mukainen laskenta riippuu bittitoimintojen järjestyksestä, mutta jos on selvää, että se on jaettu yksinkertaisiin kertoimiin, laskennan monimutkaisuutta voidaan muuttaa. , vikoryst-algoritmit nopeaan vaiheisiin pelkistämiseen: Montgomeryn algoritmi tai algoritmi "neliöi ja kerro".

Kunnioitus 2 (päätöspäivien lukumäärä kertaa (a, n) ≠ 1)

On kuin elementti ei saavuta käännekohtaa, muuten se on ilmeisesti kateutta

Luonnollisten lukujen moninkertaisuuteen ei ole ratkaisua.
Valmis. Rehellisesti sanottuna se on hyväksyttävää

Ja ratkaisu on selvä. Todi suurimman rikolliskauppiaan palkinnoista

tämän voi kirjoittaa:

tai varastojen uudelleenryhmittelyn jälkeen,

Vasemmalla on luku, joka on kokonaan vähennetty nollasta, mikä tarkoittaa, että oikealla on luku, joka on vähennetty kokonaan nollasta, joten se on välttämätöntä

Mitä järkeä on sanoa jotain pahaa?

Lineaarinen tasoitusratkaisu

Porttielementin laskentamenetelmää voidaan käyttää korkeimman tason saavuttamiseen

Butt (lineaarinen tasoitusratkaisu)

Katsotaanpa tasoitusta

Joten kuinka voimme nopeasti laskea kaavan:

Korvaamalla määritämme sen uudelleen

Kunnioitus (ei sama päätös tai päätösten lukumäärä suhteessa (a, n) ≠ 1)

Itse asiassa ratkaisua ei ehkä ole tai ratkaisua ei voi olla. Kuinka helppoa se on kaatua, vaakatasossa

Luonnollisten lukujen moninkertaisuuteen ei ole ratkaisua. Samaan aikaan on sisäänkirjautuminen

on kaksi päätöstä

Ylijäämän laskeminen jakokohtaisesti

Euler-funktioiden avulla voit laskea ylijäämät suurten lukujen jaosta.

Esimerkki 1 (kymmenennen numeron loput kolme numeroa)

Tiedämme loput kolme numeroa numeron kymmenestä merkinnästä

kielletty

Siirtyminen nyt moduulista moduuliin:

No, numeron kymmenes ennätys päättyy

Butt 2 (ylimääräinen jako 1001:llä)

Tiedämme ylijäämän jaosta On helppo oppia mitä

Siksi, kun on kiihdytetty Eulerin ja tasa-arvon multiplikatiivisia funktioita

kielletty

Renkaiden kertovan ryhmän järjestyksen tunteminen

Moninkertainen ryhmä renkaita modulo tiivistää tyylikäs vidrahuvan.
Butt. Ilmanvaihtojärjestelmä on rakennettu moduulin 14 mukaan ja se koostuu seuraavista ilmanvaihtoluokista:

Lisäyksiä ryhmäteoriaan

määrä luoda elementtejä V loppu syklinen ryhmä yksi. Zokrema, multiplikatiivisena ryhmänä soi vidrahuvan modulo є syklinen ryhmä - joka on mahdollista vain, jos - yksinkertainen pariton, - luonnollinen, - silloin se on ryhmän generaattorit ( ensimmäiset juuret modulo).
Butt. Ryhmää tarkastellaan generaattorin sovelluksessa: i

tuntematon ravinto

Lemairen omaisuus

Ilmeisesti se on yksinkertaista, sitten 1932 Lemaire ( Englanti) Kysyttyään ruoasta, mikä on numero, jonka jälleenmyyjä Lemer muodostaa, kun tarkastellaan yhtäläistä

kokonaan. Pystyin kertomaan, että mustasukkaisuuden seurauksena se on joko yksinkertaista tai se on seitsemän tai useamman eri alkuluvun luomista. Myöhemmin saatiin muita vahvoja vahvistuksia. Niinpä 1980-luvulla Cohen ja Hagis -tiimi osoitti, että monet yksinkertaiset kauppiaat voidaan jakaa ja jakaa. 1970-luvulla Lieuwens totesi, että jotain muuta ja Wall 1980-luvulla totesi, että jotain muuta