Trigonometriset funktiot arcsin. Algebran oppituntien integraalitrigonometristen funktioiden muodostus

Oppitunnit 32-33. Zvorotny trigonometriset funktiot

meta: Katso trigonometriset funktiot ja niiden käyttö ratkaisujen kirjoittamiseen trigonometrisiin yhtälöihin.

I. Johdatus aiheisiin ja oppitunteihin

II. Uuden materiaalin kehittäminen

1. Portin trigonometriset funktiot

Tämän ilmettä voidaan ajatella hyökkäyksen takapuolelta.

peppu 1

Virishimo mustasukkaisuus: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.

a) Ordinaattiselle akselille lisätään arvo 1/2 ja x 1 і x2, niille synti x = 1/2. Kun x1 + x2 = π, tähdet x2 = π - x 1 . Trigonometristen funktioiden arvotaulukosta löydämme arvon x1 = π / 6, sittenLasketaan sinifunktion jaksollisuus ja kirjoitetaan tämän yhtälön korkeus:de k ∈ Z.

b) On selvää, että ratkaisualgoritmi on yhtä suuri synti x = a on sama kuin i edellisessä kappaleessa. Ilmeisesti nyt arvo a piirretään pitkin ordinaatta-akselia. On tarpeen jotenkin nimetä leikkaus x1. Kotitekoinen tällainen kut nimetä symboli arcsin A. Tämän tehtävän ratkaisu voidaan kirjoittaa lomakkeeseenNämä kaksi kaavaa voidaan yhdistää yhdeksi: tällä hetkellä

Samalla tavalla otetaan käyttöön muita trigonometrisiä funktioita.

Usein on tarpeen laskea kut:n arvo tunnetuista trigonometrisen funktion arvoista. Tällainen tehtävä on erittäin merkittävä - on tärkeää, että trigonometristen funktioiden ja saman arvon välillä ei ole eroja. Siksi trigonometristen funktioiden monotonisuuden vuoksi otamme käyttöön sellaiset käänteiset trigonometriset funktiot raja-arvojen yksiselitteisen arvon vuoksi.

Arksini luvusta a (arcsin , Jonkinlainen sini, ts.

luvun kaarikosini a(arccos a) - sellainen leikkaus ja z-väli, jonkin muinaisen a:n kosini, ts.

luvun arktangentti a(arctg a) - tällainen leikkaus ja rakotangentti on samanlainen kuin a, ts.tg a = a.

luvun arkotangentti a(arcctg a) - sellainen leikkaus ja z-väli (0; π), tietyn suhteellisen a kotangentti, ts. ctg a = a.

peppu 2

me tiedämme:

Tarkasteltaessa portin trigonometristen funktioiden merkitystä, huomaamme:

peppu 3

laskettava

Anna mennä kut a = arcsin 3/5, sitten tilauksen mukaan sin a = 3/5 i . Hei, minun täytyy tietää cos A. Vikoristinen ja pohjimmiltaan trigonometrinen identiteetti hylätään:On taattu, että i cos a ≥ 0. No,

Katsotaanpa useita tyypillisiä sovelluksia, jotka liittyvät trigonometristen funktioiden merkityksiin ja perusvaltoihin.

peppu 4

Tunnemme toiminnon merkityksen

Jotta funktio voidaan osoittaa, on epätasa-arvo eliminoitavavastaa epätasa-arvojärjestelmääEnsimmäisen epävarmuuden ja intervallien x ratkaisut∈ (-∞; + ∞), toinen - tämä aukko ja ratkaisuja epätasa-arvojärjestelmään ja siten osoitetun toiminnon alueelle

peppu 5

Tunnemme toiminnan muutoksen alueen

Katsotaanpa funktion käyttäytymistä z = 2x - x2 (jak. Malyunok).

On selvää, että z ∈ (-∞; 1]. Tarkastellaan mitä argumentti on z arkotangenttifunktio muuttuu määrätyillä aikaväleillä, taulukon tiedoista on selvää, ettäTällä tavalla muutosalue

peppu 6

Katsotaan, että funktio y = arctg x pariton. HeiSitten tg a = x tai x = - tg a = tg (- a), ja Otzhe, - a = arctg x tai abo a = - arctg X. Tällä tavalla, bachimo, schoeli y (x) on pariton funktio.

peppu 7

Näkyy kaikkien portin trigonometristen toimintojen kautta

Hei Ilmeisesti Todi niin jakki

mennään kut:iin Niin jakki Että

samanlainen kuin se і

Otje,

peppu 8

Katsotaan funktion y = kuvaajaa cos(arcsin x).

Merkittävästi a = arcsin x siis Vrahumo, sitten x = sin a y y = cos a, eli X 2 + Y2 = 1, i vaihdettu x:llä (x∈ [-1; 1]) і у (у ≥ 0). Piirrä funktio y = cos (arcsin x) є melkein.

peppu 9

Katsotaan funktion y = kuvaajaa arccos (cos x).

Joten mikä on funktio cos x muuttuu osioon [-1; 1], funktio y määrätään koko numeeriselle akselille ja muutetaan osaksi. Kunnioitakaamme äitejämme, joten me = arccos (cos x) = X per leikkaus; Funktio on parillinen ja jaksollinen jaksolla 2π. Katsotaan, mikä on hallituksen tehtävä cos x Nyt on helppo pitää aikataulua.

Merkittäviä punoituksen toiminnot:

peppu 10

Tiedämme vähiten ja tärkeimmät toiminnot merkittävä sitten Peruuta toiminto Tämä toiminto on minimi z = π / 4, ja samaan suuntaan Tärkeimmät toiminnot saavutetaan pisteessä z = -π / 2, ja tässä Tällä tavalla i

peppu 11

äärimmäisen kateellinen

Anteeksi, mitä Sitten kateus näyttää tältä:tai muuten tähdet Arktangentista poistetaan seuraava:

2. Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisut

Kuten perä 1, voit johtaa ratkaisuja yksinkertaisimpiin trigonometrisiin yhtälöihin.

peppu 12

äärimmäisen kateellinen

Koska sinifunktio on pariton, kirjoitamme ulkonäöltään yhtä suurenTämä päätös:me tunnemme tähdet

peppu 13

äärimmäisen kateellinen

Annetun kaavan mukaan kirjoitamme ratkaisun:ja me tiedämme

Sydämellisesti, samoilla alueilla (a = 0; ± 1) korkeimmilla tasoilla sin x = a і cos x = ja on yksinkertaisempaa ja kätevämpää käyttää ei piilotettuja kaavoja, vaan kirjoittaa ratkaisu yhden luvun perusteella:

tasolle sin x = 1 päätös

tasolle sin x = 0 päätös x = π k;

Rivny sin x = -1 Rivny

joukkueelle rivnyannya cos x = 1 päätös x = 2π k;

r_vnyannya cos x = 0 rіshennya

Rivnyanyalle cos x = -1 Rivnyanya

peppu 14

äärimmäisen kateellinen

Kuten tässä sovelluksessa okremy vipadok yhtä suuri, kirjoitamme ratkaisun seuraavalla kaavalla:me tunnemme tähdet

III. Ohjaussyöttö (etusyöttö)

1. Anna merkitys ja esittele trigonometristen funktioiden perusvoimat.

2. Piirrä kaavioita rivitetyistä trigonometrisista funktioista.

3. Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisut.

IV. Pahuus luokassa

§ 15, nro 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, nro 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, nro 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Zavdannya ennen kotia

§ 15, nro 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;

§ 16, nro 4 (c, d); 7 (b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, nro 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (g); 10 (b, d).

VI. luovaa työtä

1. Etsi alue, jolle toiminto on määritetty:

Tyypit:

2. Etsi funktion arvoalue:

Tyypit:

3. Piirrä funktio:

VII. Lähetetyt oppitunnit

Portin trigonometriset funktiot- ce arcsine, arccosine, arctangent ja arccotangent.

Tästä eteenpäin katsotaan.

arcsininen Tai voit sanoa, mikä tämä leikkaus on, mikä on jako, jonka sini liittyy numeroon a.

kaari kosini numeroita ja sitä kutsutaan numeroksi, joten

arctangentti numeroita ja sitä kutsutaan numeroksi, joten

arccotangentti numeroita ja sitä kutsutaan numeroksi, joten

Puhutaanpa useista meille uusista toiminnoista - trigonometrisista porteista.

Muista, että olemme jo olleet yhteydessä.

Esimerkiksi aritmetiikka neliöjuuri luvusta a on sellainen tuntematon luku, jonka neliö on muinainen a.

Luvun b logaritmi a:n suhteen on myös luku c, joka

Tämän kanssa

Ymmärrämme, miksi matemaatikot joutuivat "keksimään" uusia funktioita. Esimerkiksi ratkaisu on yhtä suuri, emmekä voisi kirjoittaa niitä ilman erityistä aritmeettista neliöjuuren symbolia.

Logaritmin käsite tuli välttämättömäksi ratkaisun kirjoittamiseen, esimerkiksi tällainen yhtälö: Tämän yhtälön ratkaisu on irrationaaliluku.

Sama pätee trigonometristen yhtälöiden kanssa. Haluamme esimerkiksi olla tasa-arvoisia

On selvää, että tämä ratkaisu vastaa trigonometrisen luvun pisteitä, joiden ordinaatit ovat vanhempia, ja on selvää, että sinin arvoja ei ole taulukoitu. Kuinka päätös kirjoittaa?

Täällä et tule toimeen ilman uutta funktiota, joka ilmaisee tietyn luvun a sinin arvon. Joten kaikki arvasivat sen jo. Tämä on arcsini.

Mihin se laitetaan, edellisen sini on neljänneksen arsini. Ja tämä tarkoittaa, että vertaisemme ratkaisusarja, joka on samanlainen kuin trigonometrisen renkaan oikea piste, on

Ja toinen sarja kateutemme päätöksiä - tämä

Lisätietoja trigonometristen yhtälöiden ratkaisusta -.

Se on menettänyt merkityksensä - on aika osoittaa nimetylle arcsinille, mitä tapahtuu, mitä pitäisi leikata?

Oikealla on esimerkiksi äärettömän runsas määrä kutia, jonka sine on ikivanha. Meidän on valittava yksi niistä. Valitsemme sen, joka makaa pöydällä.

Katso trigonometrinen kolo. Huomaat, että ihon leikkauksessa ruusu osoittaa saman poskiontelon arvon ja vain yhden. Ja muuten, mikä tahansa osan sinin arvo on merkitty yhdellä arvolla jaksoa kohti. Tämä tarkoittaa, että osalle voidaan määrittää toiminto, joka hyväksyy arvot aina -

Toistetaan seuraava vielä kerran:

Luvun arcsiniä kutsutaan luvuksi , mitä sitten

Nimitys: Arsinin pinta-ala on jako. Arvon pinta-ala on jako.

Voit oppia ulkoa lauseen "arsiini asuu oikealla". Älkäämme unohtako, että se ei ole vain oikealla, vaan myös sivulla.

Olemme valmiita suunnittelemaan tilaisuuden

Kuten aiemmin, x-arvot on merkitty vaaka-akselilla ja y-arvot pystyakselilla.

Fragmentit x ovat siis -1:n ja 1:n välillä.

Tämä tarkoittaa, että funktion alue y = arcsin x = section

Meille kerrottiin, että meidän pitäisi juoda. Tämä tarkoittaa, että funktion y = arcsin x arvoalue on leikkaus.

Huomaa, että funktion y = arcsinx kuvaaja sijaitsee kokonaan alueella, jota ympäröivät viivat i

Kuten aina tuntemattoman toiminnon päivittäisessä aikataulussa, katsotaanpa taulukosta.

Merkityksen lisäksi nollan arcsini on sama luku leikkauksesta, jonka sini on yhtä suuri kuin nolla. Mikä tämä numero on? - Ymmärrän, että tämä on nolla.

Vastaavasti yhden arsini on sama luku kuin yksikön, minkä tahansa muun yksikön sini. Ilmeisesti

Jatkuu: - tämä on sama luku jaksosta, minkä tahansa muun sini. Se siitä

Tulevaisuuden funktiokaavio

tehotoiminto

1. Ensisijainen alue

2. Merkitysalue

3., tämän toiminnon pariliitos on poistettu. Tämä kuvaaja on symmetrinen koordinaattien perusteella.

4. Funktio kasvaa monotonisesti. Pienin arvo, yhtä suuri -, saavutetaan klo, ja suurin arvo, yhtä suuri, saavutetaan

5. Mitä hienoa funktiokaavioissa on? Etkö ymmärrä, että ne on "rakennettu yhdeksi malliksi" - aivan kuten oikeanpuoleiset funktiot ja funktion kaavio tai kuten näytön ja logaritmisen funktioiden kaaviot?

Kerro meille, että käytimme alkuperäisiä sinusoideja visualisoimme pienen fragmentin aikaisemmasta, ja sitten välähtimme sen pystysuunnassa - ja piirrämme arcsinigraafia.

Ne, jotka tämän välin funktiolle ovat argumentin arvot, niin arcsinille tulee funktioiden arvot. Näin se menee! Ja sini ja arcsini ovat keskenään käännettäviä funktioita. Muita keskenään käänteisten funktioparien sovelluksia ovat ja sekä näyttö- ja logaritmiset funktiot.

On selvää, että keskenään kiedottujen funktioiden kuvaajat ovat symmetrisiä ja suoria viivoja

Samoin On tärkeää, että Ainoa-funktiolla on osa, joka vastaa sen kosinin arvoa, ja jos tunnemme kosinin, voimme varmasti tietää kosinin arvon. Mennään ajelulle

Luvun a kaarikosiniä kutsutaan luvuksi , Mitä sitten?

Se on helppo muistaa: "pedon kaarikossini elää", eikä vain peto, vaan koko eliniän

Nimitys: Kaaren kosinin pinta-ala on jako. Arvon pinta-ala on jako

Ilmeisesti asia on, että uudella skinillä kosinin arvo otetaan vain kerran. Toisin sanoen kosinin iho-arvo, -1 - 1, ilmaistaan ​​yhdellä arvolla intervallia kohden

Kaarikosini ei ole paritettu eikä pariton toiminto. Sitten voimme korostaa ilmeisempää suhdetta:

Luodaan funktiokaavio

Tarvitsemme sellaisen toimintojaon, joka on yksitoikkoinen, jotta iho saa merkityksensä tasan kerran.

Valitaan vidrezok. Tällöin funktio pienenee monotonisesti, jolloin kertojien ja toistensa välinen vastaavuus on ainutlaatuinen. X:n skin-arvon vahvistaa sen y:n arvo. Tässä osiossa pääfunktio kierretään kosiniksi, sitten funktio y = arccosx.

Muista taulukko käyttämällä kaarikosinin arvoja.

Luvun x, joka on väli, kaarikosini on luku y, joka on väli, joten

Tämä tarkoittaa fragmentteja;

Joten jakki;

Niin jakki,

Niin jakki,

Kaarikosinikaavion akseli:

tehotoiminto

1. Ensisijainen alue

2. Merkitysalue

tämä toiminto Odotan sitä- ei ole pareja eikä paritonta.

4. Funktio on tiukasti laskeva. Funktio y = arccosx saa suurimman arvon, joka on yhtä suuri kuin nolla, at ja pienimmän arvon, joka on yhtä suuri kuin nolla, ottaa

5. Funktiot ovat keskenään vastavuoroisia.

Vaiheet - arctangentti ja arkotangentti.

Luvun arktangentti on luku , Mitä sitten?

Nimittäminen:. Arktangentin arvoalue on väli, arvoalue on intervalli.

Miksi osoitetut arctangentit sisältävät päät ja välit - pisteet? On tärkeää, että tangentilla näissä kohdissa ei ole arvoja. En tiedä numeroa a, yhtä suuri kuin tangentti olla joku näistä juhlijoista.

Luodaan arktangentin kuvaaja. Arvojen perusteella luvun x arktangentti on luku y, joka osuu väliin siten, että

On jo selvää, että aikataulu tulee olemaan. Arktangentin fragmentit ovat arktangentin funktio, joten voimme tehdä sen seuraavasti:

Valitaan sellainen osa funktiokaaviosta, että x:n ja y:n välinen suhde on keskenään yksiselitteinen. Tänä aikana toiminto ottaa arvoja enintään

sitten paluutoiminto, Silloin funktio, alue, on koko lukurivi, asti ja arvon alue on väli

tarkoittaa,

tarkoittaa,

tarkoittaa,

Mutta mitä tapahtuu x:n verrattoman suurille arvoille? Toisin sanoen, miten suoritat tämän toiminnon?

Voimme toimittaa omaa ruokaamme: minkä luvun välissä tangentti on suoraan äärettömään? - Ilmeisesti

Tämä tarkoittaa, että äärettömän suurille x:n arvoille arktangenttikaavio lähestyy vaakasuuntaista asymptoottia

Vastaavasti, kun arctangenttikaavio lähestyy vaakasuuntaista asymptoottia, kun se kasvaa miinus epäjohdonmukaisuuteen

Pienelle - funktiokaavio

tehotoiminto

1. Ensisijainen alue

2. Merkitysalue

3. Toiminnon pariliitos on poistettu.

4. Toiminto kasvaa voimakkaasti.

6. Toiminnot ovat toistensa käänteisiä - varsinkin jos funktion katsotaan olevan toisiinsa yhteydessä

Samoin arkotangenttifunktio ja sen kuvaaja ovat merkittäviä.

Luvun a arkotangenttia kutsutaan luvuksi , Mitä sitten?

Funktiokaavio:

tehotoiminto

1. Ensisijainen alue

2. Merkitysalue

3. Toiminto - eri tavalla se ei ole paritettu eikä pariton.

4. Funktio on tiukasti laskeva.

5. Suorat viivat - tämän funktion vaakasuuntaiset asymptootit.

6. Funktiot ovat vastavuoroisia, joten katso aukkoa

Tässä artikkelissa tarkastellaan sellaisia ​​tärkeitä trigonometrian käsitteitä kuin arkkisini, arkosiini, arktangentti ja arkotangentti. Voimme tietää numeroiden arvot (kuti), jos tiedämme trigonometristen funktioiden tiedot; Tämä on juuri se tehtävä, joka johtaa meidät porttitoimintoihin.

Alla emme vain anna sinun ymmärtää tärkeimpien merkityksiä ja taustalla olevia merkityksiä, vaan esittelemme myös säännöt, jotta on selvää, mitä ne edustavat. Lopuksi yritämme yhdistää käsitteet arkkotangentti, arktosiini, arkosiini ja arkosiini unitaarisen kotangentin käsitteisiin.

Päätarkoitus

Kaikki uudet käsitteet - arcsini, arkosiini, arktangentti ja arkotangentti - voidaan nähdä sekä numeroina että numeroina. Aiemmin puhuimme jo samasta riippuvuudesta suorista funktioista (sini, kosini jne.). Katsotaanpa rikosta vierekkäin.

Arcsine ja muut porttitoiminnot, kuten

Oletetaan, että meillä on sini, joka on yhtä suuri kuin 1 2. Sitä symboloi kirjain alfa.

No, sin α = 1 2. Sama sinin arvo voi olla rajattomalla määrällä cutiveja: α = (- 1) k · 30 ° + 180 ° · k (α = (- 1) k · π / 6 + π · k) , missä k ∈ Z. Siksi meidän on otettava käyttöön lisäajattelua. Olkoon alfa vähintään - 90 ja enintään 90 astetta (siis (radiaaneina tulee leikkaus [- π 2, π 2]),). Tällaisessa tilanteessa intohimomme syntimme α = 1 2 antaa meille mahdollisuuden määritellä leikkausalfa selvemmin: sellaisissa mielissä on vain yksi leikkaus - 30 astetta (π 6 radiaania).

Annetusta yhtälöstä voidaan luoda kaava, jossa alfa lasketaan mille tahansa luvulle a ∈ [- 1, 1] ja mielelle - 90 ° ≤ α ≤ 90 °. Tämä on luvun a arsini.

Muotoilkaamme tärkeimmät merkitykset.

arvo 1

• arcsininen- tämä toiminto on synti. Tietylle luvulle a, won on raja - 90 - 90 astetta, vastaavan luvun a sin.
• arkosiini- funktio, käännettävä kosini. Numerolle a - on sellainen arvo, jonka cos on samanlainen kuin a ja joka on välillä 0 - 180 astetta.
• arctangentti- trigonometrinen funktio, käännettävä tangentti. Tietylle luvulle a u 1 sentti, jonka arvo on välillä -90 - 90 astetta, jonka tangentti on yhtä suuri kuin a.
• arccotangentti luvut a ovat myös välillä 0 - 190 astetta, jonka kotangentti on samanlainen kuin a.

Oletettavasti: näin ollen merkintä a r c sin 0, 3 tarkoittaa mitä tahansa muuta kuin luvun 0, 3 siniä; a r c cos 0, 7 - leikattu kosinilla 0, 7 ja niin edelleen.

Trigonometristen funktioiden kirjoittamiseen käytetään muodon a r c sin, a r c cos, a r c t g і a r c c t g allekirjoituksia. Jotkut niistä ovat telineissä, erityisesti hiljaiset, joita säilytetään Englanti, Arktangentille ja arctangentille on mahdollista asettaa muutamia muita merkityksiä - a r c tan ja a r c c o t. Haju tarkoittaa samaa, mutta jos meillä ei ole sitä leveämpää, emme vaivaudu siihen.

Tämä lausunto voidaan muotoilla lyhyemmässä ja symbolisemmassa muodossa:

Vicenza 2

• arcsin luvut a välillä miinus yhdestä yhteen є kut з sin α = arvo - 90 ° ≤ α ≤ 90 ° (- π 2 ≤ α ≤ π 2)
• arccos luvut a välillä miinus yhdestä yhteen є kut 3 cos = arvo 0 ° ≤ α ≤ 180 ° (0 ≤ α ≤ π)
• arctg olla mikä tahansa luku a є kut z t g α = a koko - 90 °< α < 90 ° (− π 2 < α < π 2)
• arctg olla mikä tahansa luku a є kut z c t g α = a, jonka suuruus on 0 °< α < 180 ° (0 < α < π)

Huomaa, että arcsinin ja arccosin arvoissa alue on miinus yksi plus yksi ja kahdelle muulle funktiolle se voi olla numero. Osoittautuu, että 3:n kaarisini on pieni tulo, eikä edes kolme mahdu määrätylle alueelle. Myös merkinnät a r c sin 5, a r c cos - 7, a r c sin - 3, 7 2 3 ja kaikki muut arvot, jotka ylittävät tarvitsemamme kynnyksen, ja jopa sini ja kosini eivät ole enempää kuin yksi tai vähemmän Inus yksi . Arkitangentin ja arkotangentin tapauksessa tällaista ongelmaa ei ole, niille sopii mikä tahansa tehokas luku, mukaan lukien nolla ja niin edelleen.

peppu 1

Katsotaan nyt lukujen kääntöfunktioiden sovelluksia. Tähkäksi otamme arcsiinin. Tästä perusarvosta käy ilmi, että π 3 on luvun 3 2 arsini, eli (tässä tapauksessa α = 3 2 ja α = π 3).

3 2 on luku, joka on pienempi kuin yksi ja suurempi kuin miinus yksi ja jossa π 3 on välillä - π 2 - π 2 ja sin π 3 = 3 2.

peppu 2

Muissa sovelluksissa a r c sin kirjoitetaan muodossa a r c sin (- 1) = - 90 °, a r c sin (0, 5) = π 6, a r c sin (- 2 + 2) = - π 4. Kun π 10, et voi muuta kuin a r c sin 1, 2, joten sin (π 10) ≠ 1 2.

peppu 3

Otetaan tämä esimerkki: sin 270 astetta - miinus yksi, mutta tällä käänteellä se on väärin: leikataan 270 - EI arcsini - 1, joten r c sin johtuu, mutta enintään 90 astetta. 270 asteen ympyrä ei ole vaaditun luvun arsini, joten se on vaaditun alueen ulkopuolella.

peppu 4

Tunnemme muiden porttitoimintojen sovellukset. Joten missä 0 radiaania = arkosiini 1, niin a r c cos 1 = 0. Tässä pienennetään kaikki arkosiiniarvot, vaaditun osan numero, jossa annettu arvo on nollan ja pi:n välillä ja cos 0 = 1. Leikkaa π 2 - nollan kaarikosini: a r c cos 0 = π 2.

peppu 5

Arktangentin arvojen perusteella arvo on a r c t g (- 1) = - π 4 tai a r c t g (- 1) = - 45 °. Juuren arktangentti on kolme kertaa 60 astetta (π 3 rad). Siksi voit luoda kaavan, jolla a r c c t g 0 = π 2, koska π 2 on välillä 0 - π i c t g (π 2) = 0.

Jos haluat ymmärtää tätä lähestymistapaa paremmin ennen trigonometristen funktioiden laskemista, suosittelemme Kochetkovin avustajaa (osa 1, sivut 260-278)

Arcsine ja muut portit toimivat numeroina

Tässä tapauksessa, koska kielen ongelmassa puhutaan vaikkapa kulman sinistä, niin on loogista ottaa sen arcsini kulmaksi. Jos meidän on esimerkiksi laskettava reaaliluvun kosini, on tärkeää ottaa erilainen näkökulma ja tarkastella paluufunktioita lukuina. Jos käytät erilaista lähestymistapaa, voit muotoilla merkityksen hieman uudelleen:

pappi 3

• arcsininen ja є laulusuure, t ∈ [- π 2, π 2], jonkinlaisen a:n sini.
• arkosiini luku a ∈ [- 1, 1] on yhtä suuri kuin luku t ∈ [0, π], jonkin suhteellisen a:n kosini.
• arctangentti luvut a ∈ (- ∞, + ∞) - myös luku t ∈ (- π 2, π 2), joiden tangentti on samanlainen kuin a.
• arccotangentti luvut a ∈ (- ∞, + ∞) ja myös luku t ∈ (0, π), joiden kotangentti on samanlainen kuin a.

Tällaiset muotoilut ovat tyypillisiä useimmille nykyisille matematiikan opettajille.

peppu 6

Mikä kappale kannattaa valita? Miten ymmärrät paremmin arcsinin ja muiden funktioiden merkityksen sanana ja jos niin numerona? Tämä voidaan ymmärtää kontekstissa. Sanotaan, että a r c sin a - 11 °, niin siinä se. Jos kirjoitetaan muoto π - a r c t g a, niin se on kaikessa yksinkertaisesti ekstinktioiden lukumäärä radiaaneina. Kaava on yksinkertaisesti a r c sin, a r c c t g i in. Lisäämättä numeroita ja merkityksiä, voimme vapaasti valita haluamamme lähestymistavan.

Numeroiden yhdyskäytäväfunktiot voidaan osoittaa selkeämmin geometrisesti: vaikka ne olisivat erilaisia, ne voidaan kuvata tuolilla. Rahan ansaitseminen on helppoa, koska et ole unohtanut suorien päätoimintojen perusmerkitystä.

Mitä tarvitsemme, tiedämme jo useammin kuin kerran. Nämä kaaret, jotka yhdistävät pääpiirit toisiinsa, osoittavat porttitoimintojen suuruudet.

Otetaan esimerkiksi kaari, joka havainnollistaa kappaleen a arcsiniä. Piirretään sinusviiva ja osoitetaan sille piste arvolle a. Näistä kohdista sinun on nyt siirryttävä abski-akselille (erittäin positiiviseen suuntaan). Meillä on hyvin erityinen aika, joka tapahtuu erityisellä tavalla. Luvun a arksini on osa ympyrän kaaresta pisteestä koordinaatteihin. Toimintojen tarkastelussa on selvästi kaksi lähestymistapaa: numerona ja numerona. Leikkaus, joka liittyy kaareen, on havainnollistava kaarsinia ensimmäisessä lähestymisvaiheessa, ja kaaren kyyhkynen, hieman ilmaistuna, havainnollistaa arksinistä toisen sisällä.

Nyt piirrämme kaaria, jotka kuvaavat meille muita portin toimintoja. Toisessa kaaviossa hajut on merkitty sinisillä viivoilla. Katso, kuinka voit esittää graafisesti käsitteet a r c sin, a r c cos, a r c t g, a r c c t g tietylle luvulle a (suuremmilla alueilla):

Visnovok: mikä on kaarifunktio

Voimme muotoilla sen välittömästi: mille tahansa luvulle a a ∈ [- 1, 1] voimme laskea arvot - arsini ja arkosiini, ja jokaiselle reaaliluvulle - arktangentti ja arkotangentti. Tämän näkökulman avulla voit asettaa argumentin numeeristen arvojen ja funktion tietyn arvon välillä.

Voimme ihmetellä käsitteitä r c sin, a r c cos, a r c t g i a r c c t g sekä lukuja ja arvoja. Jos otamme ne numeroina, ne perustuvat numeerisiin funktioihin: skin-arvoa edustaa numero.

Oletettavasti: kaikki nämä käsitteet ovat samoja kuin trigonometristen funktioiden käänteinen. Nimi on selvä: arkosiini on sinin vastakohta, arkosiini on kosinin vastakohta, arctangentti on tangentti, arkotangentti on kotangentti. Siksi heille on laajennettu toinen nimi - kaarifunktio.

Jos olet merkinnyt palveluksen tekstissä, katso se ja paina Ctrl + Enter

Portin trigonometriset funktiot(Ympyräfunktiot, kaarifunktiot) - matemaattiset funktiot, kuten käännös trigonometrisiin funktioihin.

Ennen niitä voit lisätä 6 toimintoa:

• arcsininen(Nimitys: arcsin x; arcsin x- tse kut, synti kumpi on vanhempi x),
• arkosiini(Nimitys: arccos x; arccos x- tse kut, jonkinlainen kosini x ja niin edelleen),
• arctangentti(Nimitys: arctan x tai muuten arctan x),
• arccotangentti(Nimitys: arcctg x tai muuten arccot ​​​​x tai muuten arccotan x),
• kaarimainen(Nimitys: arcsec x),
• arccosecant(Nimitys: arccosec x tai muuten arccsc x).

arcsininen (y = arcsin x) - paluufunktio asti synti (x = sin y . Toisin sanoen hän kääntää selkänsä omalle merkitykselleen synti.

arkosiini (y = arccos x) - paluufunktio asti cos (x = cos y cos.

arctangentti (y = arctan x) - paluufunktio asti tg (x = ruskea y), Mikä on arvon ja arvon kerroinalue . Toisin sanoen hän kääntää selkänsä omalle merkitykselleen tg.

arccotangentti (y = arcctg x) - paluufunktio asti ctg (x = cotg y), Mikä on arvoalue ja arvo kerrotaan. Toisin sanoen hän kääntää selkänsä omalle merkitykselleen ctg.

arcsec- arcsekantti, kääntää sekantin merkityksen.

arccosec- arccosecant, kiertää tämän kosekantin arvoa.

Jos paluutrigonometristä funktiota ei mitata määrätyssä pisteessä, sen arvot eivät näy alataulukossa. toimintoja arcsecі arccosec ei ole määritetty osioon (-1,1), mutta arcsinі arccos Numerot näytetään vain osioittain [-1,1].

Palautettavan trigonometrisen funktion nimi määritetään lisäämällä etuliite "kaari-" (latinan kielestä. kaari meille- kaari). Tämä johtuu siitä, että käänteisen trigonometrisen funktion geometriset arvot liittyvät kaaren pituuteen yksittäiseen pylvääseen (tai tähän kaariin), joka vastaa tätä tai sitä leikkausta.

Muut ulkomaisessa kirjallisuudessa, kuten tieteellisissä/tekniikan alan laskimissa, on nimetty synti -1, cos -1 arkosiinille, arkosiinille jne. ei ole tärkeää olla täysin tarkka, koska funktioiden välillä on selvä ero, kun funktiot pelkistetään askeleeksi −1 (« −1 "(miinus ensimmäinen askel) osoittaa toiminnon x = f -1 (y), Porttitoiminto y = f(x)).

Käänteisten trigonometristen funktioiden perussuhteet.

Tässä on tärkeää osoittaa kunnioitusta tietyin reiluja kaavoja kohtaan.

Kaavat, jotka liittyvät yhdyskäytävän trigonometrisiin funktioihin.

On merkittävää, että se on käärittyjen trigonometristen funktioiden arvo Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot ​​x ja huolella valittu: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot ​​​​x niiden päämerkityksille, silloin niiden väliset yhteydet ilmaistaan ​​sellaisilla suhteilla.

Funktio, käännettävä kosini

Funktion y = cos x (jako kuva 2) arvoalue on leikkaus. Jakson aikana toiminto on jatkuva ja monotonisesti laskeva.

Pieni 2

Tämä tarkoittaa, että jaksolle määritetty funktio on funktion y = cos x käänteinen. Tätä paluufunktiota kutsutaan arkosiiniksi ja sen nimi on y = arccos x.

nimittäminen

Luvun a kaarikosini, yakscho | a | 1, kutsu leikkausta, jonka kosini sijoitetaan leikkaukseen; yogo tarkoittaa arccos a.

Tällä tavalla arccos a on kut, mikä miellyttää kahta seuraavaa mieltä: сos (arccos a) = a, | a | 1; 0? arccos a? R.

Esimerkiksi arccos, so as cos i; arccos, kuten cosi.

Funktio y = arccos x (kuva 3) on määritetty osalle, sen arvon alue on leikkaus. Jaksolla funktio y = arccos x on epäjatkuva ja pienenee monotonisesti p:stä 0:aan (fragmentit y = cos x ovat jatkuvia ja monotonisesti pieneneviä funktioita segmentillä); leikkauksen päissä se saavuttaa ääriarvonsa: arccos (-1) = р, arccos 1 = 0. Merkittävää on, että arccos 0 =. Funktion y = arccos x kaavio (jako kuva 3) on symmetrinen funktion y = cos x kaavion kanssa, suora y = x.

Pieni 3

Osoitetaan mitä mustasukkaisuus tarkoittaa arccos (-x) = р-arccos x.

Onko totta, että arvojen takana on 0? arccos x? R. Kertomalla (-1) kaikki osat jäljellä olevasta epätasa-arvosta, voimme poistaa - p? arccos x? 0. Lisäämällä p kaikkiin jäljellä olevan epäyhtälön osiin tiedämme, että 0? p-arccos x? R.

Siten arccos (-x) ja p - arccos x merkitykset kuuluvat samaan osaan. Kun kosini pienenee monotonisesti segmentissä, ei voi olla kahta erilaista puolta, jotka värähtelevät yhtä paljon kosinin kanssa. Tunnemme arccos (-x) ja p-arccos x kosinit. Arvoille cos (arccos x) = - x, annetuille kaavoille ja arvoille voimme: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. No, kutin kosinit ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa rotkoa ja itse kutia.

Toiminta, munuaisontelo

Katsotaan funktiota y = sin x (kuva 6), kuten kohdassa [-р / 2; p / 2] on kasvava, jatkuva ja ottaa arvot osiosta [-1; 1]. Joten leikkaukselle [- r / 2; r / 2] funktio on määritetty, paluufunktio on y = sin x.

Pieni 6

Tätä paluufunktiota kutsutaan arcsiniksi ja sen nimi on y = arcsin x. Esittelemme luvun a arsinin arvon.

Luvun a arsini, jota kutsutaan leikkaukseksi (tai kaareksi), muinaisen luvun a sini, joka kuuluu osaan [-р / 2; p/2]; joogo tarkoittaa arcsin a.

Tällä tavalla arcsin a є kut, mikä miellyttää sukupolven mieliä: sin (arcsin a) = a, | a | nro 1; -p/2? arcsin vai? p / 2. Esimerkiksi koska sin i [- p / 2; p/2]; arcsin, joten sin = i [- p / 2; p/2].

Funktio y = arcsin x (kuva 7) on määritetty jaksolle [- 1; 1], arvojen alue on osiossa [-р / 2; p/2]. Leikkausta varten [- 1; 1] funktio y = arcsin x on epäjatkuva ja kasvaa monotonisesti arvosta -p / 2 arvoon p / 2 (tämä johtuu siitä, että funktio y = sin x kohdassa [-p / 2; p / 2] on epäjatkuva ja kasvaa monotonisesti). Voitto saa suurimman arvon kohdassa x = 1: arcsin 1 = p / 2 ja pienimmän arvon kohdalla x = -1: arcsin (-1) = -p / 2. Kun x = 0, funktio on yhtä suuri kuin nolla: arcsin 0 = 0.

Osoitetaan, että funktio y = arcsin x on pariton, jolloin arcsin (-x) = - arcsin x mille tahansa x:lle [ - 1; 1].

Tehokkaasti syistä yakscho | x | ? 1, maєmo: - r/2? arcsin x? ? r / 2. Leikkaa tällä tavalla arcsin (-x) i - arcsin x sijaitsevat yhdessä ja samassa osassa [ - r/2; p/2].

Tunnemme sinus tsichin kutіv: sin (arcsin (-x)) = - x (arvoille); Koska funktio y = sin x on pariton, niin sin (-arcsin x) = - sin (arcsin x) = - x. No, kynsien poskionteloiden on oltava yksin ja myös välillä [-p / 2; p / 2], on yhtä kuin, mikä tarkoittaa yhtä kuin itseään, sitten arcsin (-x) = - arcsin x. Tämä tarkoittaa, että funktio y = arcsin x on pariton. Funktion y = arcsin x kuvaaja on symmetrinen koordinaattien kanssa.

Osoitetaan, että arcsin (sin x) = x mille tahansa x:lle [-p / 2; p/2].

Oikein, arvoille -r / 2? arcsin (sin x)? p / 2, ja mielen takana - p / 2? x? p / 2. Tämä tarkoittaa, että x ja arcsin (sin x) ovat samalla funktion y = sin x monotonisuusvälillä. Koska tällaisten kutin poskiontelot ovat yhtä suuret, itse kylkiluut ovat yhtä suuret. Tiedämme näiden kuttien sinit: kuta x:lle se on sin x, kuta arcsinille (sin x) se on sin (arcsin (sin x)) = sin x. Otettiin pois, että leikkauksen sini on yhtä suuri, ja leikkaus on yhtä suuri, niin arcsin (sin x) = x. .

Pieni 7

Pieni 8

Funktion arcsin (sin | x |) kuvaaja saadaan moduuliin liittyvillä alkumuunnoksilla graafista y = arcsin (sin x) (esitetty katkoviivana kuvassa 8). Kaavio y = arcsin (sin | x- / 4 |) tulee ulos uudesta jaottelusta / 4:stä oikealle abskis-akselia pitkin (kuvattu jatkuvalla viivalla kuvassa 8)

Funktio, paluutangentti

Funktio y = tg x ottaa kaikki numeeriset arvot siltä väliltä: E (tg x) =. Tänä aikana se on jatkuvaa ja kasvaa yksitoikkoisesti. Tämä tarkoittaa, että välille on määritelty funktio, y = tan x paluufunktio. Tätä paluufunktiota kutsutaan arctangentiksi ja sen nimi on y = arctan x.

Luvun arktangenttia kutsutaan väliavaruudeksi, jonka tangentti on samanlainen kuin a. Tällä tavalla arctg a є kut, mikä miellyttää seuraavia mielipiteitä: tg (arctg a) = a і 0? arctg a? R.

Siksi riippumatta luvusta x funktion y = arctan x (kuva 9) sama arvo näytetään aina.

Ilmeisesti D (arctg x) =, E (arctg x) =.

Funktio y = arctg x kasvaa ja funktio y = tan x kasvaa ajan myötä. Ei ole väliä, että arctg (-x) = - arctgx, koska arctangentti on pariton funktio.

Pieni 9

Funktion y = arctg x kuvaaja on symmetrinen funktion y = tg kuvaajalle x on vaakasuorassa suorassa y = x, y = arctg x kuvaaja kulkee koordinaattikorvan läpi (jos arctg 0 = 0) ja on symmetrinen koordinaattien korvaan nähden (kuten parittoman funktion kaavio ї).

Voidaan sanoa, että arctg (tg x) = x, missä x.

Toiminto, portti Kotangentti

Funktio y = ctg x ottaa kaikki välin numeeriset arvot. Sen arvojen vaihteluväli vältetään poistamalla kaikki aktiiviset numerot. Sillä välin funktio y = ctg x on jatkuva ja kasvaa monotonisesti. Tämä tarkoittaa, että tälle intervallille osoitetaan funktio, funktion palautus y = ctg x. Funktiota, paluukotangenttia, kutsutaan arkotangentiksi ja sen nimi on y = arcctg x.

Luvun a arkotangenttia kutsutaan kutiksi, joka asettaa aukon, jonka kotangentti on samanlainen kuin a.

Tällä tavalla arcctg a є kut, mikä miellyttää seuraavia mielipiteitä: ctg (arcctg a) = a i 0? arcctg a? R.

Käänteisfunktion arvosta ja arktangentin arvosta saadaan D (arcctg x) =, E (arcctg x) =. Arkotangentti on vaimeneva funktio, joten funktio y = ctg x pienenee välissä.

Funktion y = arcctg x kuvaaja ei liikuta koko Ohta, koska y> 0 R. Kohdassa x = 0 y = arcctg 0 =.

Kaavio funktiosta y = arcctg x kuvaa per vauva 11.

Pieni 11

On tärkeää, että kaikille x:n aktiivisille arvoille identiteetti on tosi: arcctg (-x) = р-arcctg x.