Differentiaali, joka vastaa 3. sovellusjärjestystä. Kissan antama erovertailu- ja päätösjärjestys

Differentiaalitasaus korkeimman luokan

Korkeampien tilausten erotustasojen pääterminologia (DU VP).

Rivnyannaya-näkymä, de n >1 (2)

kutsutaan korkeamman asteen differentiaalisiksi yhtälöiksi, ts. n- järjestys.

Alueellinen valvonta-alue, n- järjestyksessä on alue.

Tällä kurssilla tarkastellaan hyökkäystyyppien kaukosäätimiä:

Osasto Koshy DU VP:

Annetaan sille DU,
ja korvat n/a: numerot.

On tarpeen tietää ei-jaksoton n kertaa differentioiva funktio
:

1)
є tämän kaukosäätimen päätökset päälle, ts.
;

2) täyttää tehtävän, tähkän mielet:.

Erilaista kauko-ohjainta varten ongelman ratkaisun geometrinen tulkinta on välitön: löytyy integraalikäyrä, joka kulkee pisteen läpi. (x 0 , y 0 ) Ja mitä tarkoittaa puhua suoraan leikkauskertoimelle? k = y 0 ́ .

Perustuksen ja ykseyden lause(Kaukosäätimen Cauchyn ongelman ratkaisu (2)):

Yakshcho 1)
keskeytyksettä (kokonaisuutena (n+1) argumentit) alalla
; 2)
keskeytyksettä (kaikki argumentit
) B siis ! kaukosäätimen Cauchyn ongelman ratkaisu, joka tyydyttää tähkämielille annetun tehtävän: .

Aluetta kutsutaan DU-yksikön alueeksi.

Zagalne rіshennya DU VP (2) – n -parametrinen toiminto,
, de
- johdonmukaisempi, koska se täyttää seuraavat edut:

1)

- kauko-ohjaimen (2) käyttö;

2) n/s yhtenäisyyden alue!
:
tyydyttää tähkämielten tehtävän.

kunnioittaminen.

spіvidnoshenya näkymä
Ohjausjärjestelmän (2) salaista ratkaisua ei implisiittisesti kutsuttaisi integraaliintegraalilla DU.

Yksityinen päätös DU (2) poistu tästä oikeudellisesta päätöksestä tietyllä merkityksellä .

Kaukosäätimen VP integrointi.

Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöitä ei yleensä voida määrittää tarkoilla analyyttisilla menetelmillä.

Ilmeisesti on olemassa samanlainen DUVP, joka sallii alemman kertaluvun ja on pelkistetty kvadratuuriksi. Taulukoitamme tasotyypit ja tapoja vähentää niitä järjestyksessä.

DU VP, joka mahdollistaa pienemmän tilauksen

Yhden funktion merkitykset:

toiminto
kutsutaan samalla nimellä muutoksen jälkeen
, yakscho


missä tahansa tärkeän toiminnon alueella
;

- yhtenäisyysjärjestys.

Esimerkiksi funktio on homogeeninen 2. asteen kanssa
, Tobto.

peppu 1:

Löydä paras ratkaisu kaukosäätimellesi
.

DU 3. kerta, ei ulkona, älä kosta nimenomaisesti
. Integroimme yhtälön kolme kertaa peräkkäin.

,

- täydellinen ratkaisu kauko-ohjaukseen.

peppu 2:

Tarkista kaukosäätimen Cauchyn ongelma
klo

.

DU eri järjestyksessä, ei ulkopuolella, älä kosta nimenomaisesti .

korvaaminen
Ja se marssii
Pienennä kaukosäätimen järjestystä yhdellä.

. He ottivat pois ensimmäisen järjestyksen ohjausjärjestelmän - Bernoullin uskollisuuden. Parhaan tasapainon saavuttamiseksi käytämme Bernoulli-korvausta:

,

Ja laitetaan se yhtälöön.

Tässä vaiheessa Koshyn tehtävä on todennäköisesti tasavertaisille
:
.

- ensimmäisen asteen suhde vesivahvistettuihin muutoksiin.

Jäljelle jäänyt innostus annetaan tähkän mielelle:

todiste:
- ratkaisu Cauchyn ongelmaan, joka miellyttää tähkän mieliä.

Peppu 3:

Virishity DU.

- Toisen asteen DE, ei ulkoisesti, ei korvaa ilmeistä muutosta, ja siksi sallii järjestyksen pienentämisen yhdellä lisäkorvauksen tai
.

mustasukkaisuus hylätään
(mennään
).

- Ensimmäisen asteen ohjausyksiköt on erotettu vuorottelevista ohjausyksiköistä. Erotetaan ne.

- kaukosäätimen integroitu kaukosäädin.

peppu 4:

Virishity DU.

Rivnyanya
Tarkoissa asioissa on kilpailua. tehokas,
.

Integroidaan vasen ja oikea puoli päälle, ts.
tai
- kaukosäätimen integroitu kaukosäädin.

Poistimme muuttujista 1. asteen DE, ts.:

Esimerkki5
Tarkista Cauchyn ongelma kohteelle

klo.
DU 4. asteen, nepvne, älä kosta nimenomaisesti
. Huomattuamme, että vertailu on tarkat tapaukset, hylkäämme
,
tai muuten
. Varajäsenet Cob-kirkossa:
. kaukosäädin voidaan irrottaa

todiste:
3. tilaus ensimmäinen näkymä (jakotaulukko). Integroidaan se kolme kertaa, ja ihointegraation jälkeen tuomme tähkäaivot tasolle:

- lähtökaukosäätimen ongelman ratkaiseminen.:

peppu 6

Päästä mustasukkaisuus valloilleen.
- Toisen asteen DU, ulkopuolella, kosto yhtenäisyys anteliaasti
. korvaaminen
alentaa kilpailun järjestystä. Kenelle tuokaamme mustasukkaisuus pintaan , Viikonloppusuhteen loukkaavien osien erottaminen . Erotan toiminnon:

.

s
і
alustojen kanssa
kaukosäätimessä:

. Ensimmäisen asteen vertailu muuttujien kanssa.
Vrahovoyuchi scho
, Kaukosäädin voidaan hylätä joko

- kattavampi ratkaisu lähtökaukosäätimeen.

Teoria korkeimman luokan lineaarisista differentiaalitasoista.

Perusterminologia. - NLDU

Sitä kutsutaan kauko-ohjaimen jatkuvuusväliksi (3).

Esitelty (henkinen) differentiaalioperaattori :nnen asteen

Kun tämä toiminto aktivoidaan, se peruuntuu

Eli lineaarisen ohjausjärjestelmän vasen osa järjestyksessä.

Seuraaja, jonka LDU voidaan kirjoittaa

Operaattorin lineaarinen auktoriteetti
:

1) - aditiivisuuden voima

2)
- numero - yhtenäisyyden voima

Auktoriteetti on helppo todentaa, koska nämä toiminnot ovat samanlaisia ​​kuin auktoriteetit (samankaltaisten loppusumma on sama kuin samankaltaisten lopullinen määrä; vakiokerroin voidaan pitää eroavan merkkinä).

Että.
- linjaoperaattori.

Katsotaanpa LDU:n Cauchyn ongelman ratkaisun ravintoa ja yhtenäisyyttä
.

Sallittu LDU shodo
: ,
, - keskeytyksetön väli.

Toiminto on keskeytymätön päivittäisellä alalla
alueella keskeytyksettä

Myös yhtenäisyyden alue, jossa Kosha LDU:n (3) tehtävä voidaan ratkaista ja makaa vasta pisteen valinnan jälkeen
, Kaikki muut argumenttien merkitykset
toimintoja
Voitte olla onnellisia veljiä.

OLDU:n Zagalnan teoria.

- keskeytyksetön intervalli.

OLDU:n pääviranomaiset:

1. Aditiivisuuden voima

(
- päätös OLDU (4)
(
- päätös OLDU (4) on).

Tuotu sinulle:

- päätös OLDU (4) on

- päätös OLDU (4) on

sitten

2. Yhdenmukaisuuden voima

(- päätös OLDU (4) on) (
(- numerokenttä))

- päätös OLDU (4) on.

Se tehdään samalla tavalla.

Additiivisuuden ja homogeenisuuden voimat ovat nimeltään lineaariset viranomaiset OLDU (4).

tutkinta:

(
- päätös OLDU (4) on) (

- päätös OLDU (4) on).

3. (- OLDU:n (4) kompleksiarvoinen ratkaisu päällä) (
- OLDU:n (4) kanteenkelpoiset ja merkittävät päätökset).

Tuotu sinulle:

Jos OLDU:n (4) ratkaisu on päällä, niin kun se korvataan yhtäläisiksi, niiden identiteetti palautetaan, ts.
.

Operaattorin lineaarisuudesta johtuen jäljellä olevan yhtälön vasen osa voidaan kirjoittaa seuraavasti:
.

Tämä tarkoittaa, että eli - OLDU:n (4) kanteenkelpoinen-merkittävä päätös.

OLDU:n tulevat hallituksen päätökset liittyvät käsitteisiin " lineaarinen asema”.

Funktioiden loppujärjestelmän lineaarisen sijainnin merkitys

Kuten käy ilmi, funktiojärjestelmää kutsutaan lineaarisesti riippuvaiseksi ei-triviaali numeroiden valinta
siten, että lineaarinen yhdistelmä
toiminto
Nämä luvut ovat myös nolla, ts.
.n, mikä on väärin. lause on todistettu.differentiaali Rivnyanyasuurintilauksia(4 vuotta...

Ensisijaiset differentiaaliyhtälöt kutsutaan taajuuskorjaukseksi, joka yhdistää riippumattoman muuttuvan, tuntemattoman muutoksen funktion ja eri kertaluvun erotuksen (tai differentiaalin).

Differentiaalisen vertailun järjestys Kutsutaan seniorimarssin järjestys, joka tapahtuu uudessa.

Myös erotasa-arvoja yksityisten kanssa. Tavoitteena on linkittää itsenäiset muutokset näiden muutosten tuntemattomaan toimintaan ja niiden yksityiseen toimintaan samoilla muutoksilla. Ale katsomme vain primaariset differentiaaliset yhtäläisyydet Ja siksi yksinkertaisuuden vuoksi jätämme pois sanan "hätätilanne".

Käytä differentiaalimittauksia:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Rivnyannya (1) - neljäs järjestys, Rivnyannya (2) - kolmas kertaluokka, Rivnyannya (3) ja (4) - toinen järjestys, Rivnyannya (5) - ensimmäinen järjestys.

differentiaalinen tasaus n Toisessa järjestyksessä ei ole pakollista sijoittaa selkeää funktiota, kaikki ne ovat samanlaisia ​​ensimmäisestä n- järjestys ja itsenäinen muutos. Kenelläkään ei voi selvästi olla tarvittavia toimintatapoja, toimintoa, jota ei voi muuttaa.

Esimerkiksi yhtälössä (1) ei selvästikään ole samanlaisia ​​kolmanteen ja muita järjestyksiä eikä funktioita; rivissä (2) - marssi eri järjestyksessä ja funktiona; rivnyannassa (4) - itsenäinen muutos; listalla (5) - funktiot. Vain yhtä suuressa (3):ssa on selvästi kaikki samat funktiot, eikä funktiota voi muuttaa.

Päätökset erojen kohdistamisesta jokaista funktiota kutsutaan y = f(x), Kun se korvataan yhtäläisiksi, siitä tulee identtinen.

Prosessia, jolla löydetään ratkaisu differentiaaliseen kohdistukseen, kutsutaan liittäminen.

Peppu 1. Etsi ratkaisu differentiaaliyhtälöön.

Päätös.

Kirjataan seremonia ylös näkyessä. Ratkaisu perustuu samaan toimintoon. Tähkäfunktio, kuten integraaliluvusta voidaan nähdä, on ensisijainen, ts. Tse i є ratkaisu tähän differentiaaliyhtälöön . Vaihto uuteen C

, Ratkaisemme päätöserot. Ymmärsimme, että on olemassa persoonaton päätös ensimmäisen asteen differentiaalisesta tasauksesta. n Erikoisratkaisut tasauspyörästön kohdistamiseen n Tätä päätöstä kutsutaan järjestykseen, ja se ilmaistaan ​​selvästi tuntemattomalla funktiolla ja kostolla

itsenäinen, tyytyväinen, paikallaan oleva, ts.

Ratkaisu differentiaalien kohdistukseen sovelluksessa 1 on epäsuora. Yksityiset päätökset differentiaalista tasaamisesta

Tätä kutsutaan ratkaisuksi, jossa tiettyjen numeeristen arvojen odotetaan olevan melko vakioita. Peppu 2. .

Löydä lisää ratkaisuja differentiaalitasaukseen ja yksityisyysratkaisuihin

,

.

Päätös.

Integroidaan yhtälön loukkaavat osat yhtä monta kertaa kuin edellinen differentiaaliyhtälön järjestys.

Tämän seurauksena meiltä evättiin salainen päätös -

.

Jos differentiaalikohdistuksen lisäksi mielen tähkä annetaan ulkonäöltään, niin tämä tehtävä on ns. Koshyn aarteisiin . Virallinen päätös on lisätä arvot ja löytää arvot riittävästi. . Vaihto uuteen, Ja sitten päätös tehdään yksityisesti, kun arvo löytyy . Vaihto uuteen. Tämä on ratkaisu Cauchyn ongelmaan.

Peppu 3. Täydennä Cauchyn tehtävä differentiaaliyhtälölle pykälää 1 ajatellen.

Päätös. y = 3, x Seisoo takapihalla, jolla on päätetty merkitys tähkämielestä

= 1. pakkomielle

Kirjoitamme Cauchyn ongelman ratkaisun tähän ensimmäisen asteen differentiaalivertailuun:

Korkeiden erotustasojen tapauksessa yksinkertaisimmissa tapauksissa vaaditaan hyviä taitoja samanlaisten, myös monimutkaisten, toimintojen integroinnissa ja käytössä. Tämä näkyy pakaroissa. Peppu 4.

Tutustu tarkempiin ratkaisuihin tasauspyörästön kohdistamiseen.

.

Päätös.

Kunnioitus on kirjoitettu sellaiseen muotoon, että loukkaavat osat voidaan integroida välittömästi. Integrointimenetelmä määritetään korvaamalla muuttuja (substituutio). Tule sitten. täytyy ottaa x dx Ja nyt - kunnioitamme - olemme varovaisia, ettemme noudata taittofunktion erottelusääntöjä, koskaі є taittotoiminto ("omena" - vityag

neliöjuuri

muutoin samat lyhennetään "yhden ystävän" tasolle ja "jauheliha" on itse juurella): x Tiedämme integraalin:

.

Pyöritään muutokseen asti

, Ottrimo: x Tämä on täydellinen ratkaisu tähän ensimmäisen vaiheen erotustasoon.

. Auttaaksesi ratkaisemaan tämän ongelman, älä unohda (niille, joilla on) tietoa mittasuhteista koulusta. Sellainen loukkaava perse.

Jos haluat ymmärtää paremmin tämän artikkelin sisältöä, voit lukea:

Katsotaanpa homogeenista kolmannen asteen differentiaaliyhtälöiden järjestelmää
,
Tässä x (t), y (t), z (t) ovat funktioita välille (a, b) ja ij (i, j = 1, 2, 3) ovat puhelukuja.

Kirjoitetaan lähtöjärjestelmä matriisimuotoon
,
Tässä x (t), y (t), z (t) ovat funktioita välille (a, b) ja ij (i, j = 1, 2, 3) ovat puhelukuja. de

Tulostusjärjestelmän ratkaisua vitsaillaan

, C 1, C 2, C 3 - vakio. Perusratkaisujärjestelmän tuntemiseksi on tarpeen määrittää ns. ominaisyhtälö Seremonia

algebrallinen taso

kolmas kertaluokka, joten juuria on 3. Milloin mahdolliset hyökkäykset ovat:
1. Juuri (voimamerkityksiä) tehokas ja erilainen.
=

3. Juuri (voimakas merkitys) toiminta. Yksi juurista on useita.

Ymmärtääksemme, kuinka käsitellä tämäntyyppisiä jaksoja, tarvitsemme:
Lause 1.
Olkoon se - pareittain eri tehoarvomatriisi A ja - niihin liittyvät tehovektorit. sitten

perustaa perustavanlaatuinen järjestelmä ja ratkaisu tulosjärjestelmään.

kunnioittaminen .
Olkoon se - tehollinen tehomatriisi A (ominaisen taajuuskorjauksen tehollinen juuri), - vastaava tehovektori.
= - matriisin A kompleksiset tehoarvot, - lopullinen - tehovektori. sitten

(Re - aktiivinen osa, Im - ilmeinen)
perustaa perustavanlaatuinen järjestelmä ja ratkaisu tulosjärjestelmään. (Tobto i = katsoi kerralla)

Lause 3.
Nehai on monikertaisuustason 2 juuri. Tällöin lähtöjärjestelmällä on mielessään 2 lineaarisesti riippumatonta ratkaisua
,
de, - stationaariset vektorit. Koska monikertaisuus on 3, mielessä on 3 lineaarisesti riippumatonta ratkaisua
.
Vektorit löydetään korvaamalla ratkaisut (*) ja (**) tulosjärjestelmään.
Ymmärtääksesi paremmin menetelmän löytää ratkaisu muodossa (*) ja (**), katso useita tyypillisiä sovelluksia alla.

Katsotaanpa nyt ihoa tarkemmin kuvatuista jaksoista.

1. Algoritmi kolmannen asteen differentiaaliyhtälöiden homogeenisten järjestelmien ratkaisemiseksi ominaisyhtälöiden eri aktiivisissa juurissa.
järjestelmän perusteella

1) On tyypillinen taso

- 9roots uskonnon aktiiviset ja erilaiset voimamerkityt).
2) Kyllä

3) Kyllä
- matriisin A tehovektori, joka osoittaa, että - on järjestelmän ratkaisu

4) Kyllä
- matriisin A tehovektori, joka osoittaa, että - on järjestelmän ratkaisu

5)

luoda perustavanlaatuinen ratkaisujärjestelmä. Seuraavaksi kirjoitetaan tulosjärjestelmän piilotettu ratkaisu muotoon
,
tässä C 1, C 2, C 3 ovat melko vakioita,
,
tai koordinaattinäkymässä

Katsotaanpa joukko peppuja:
Peppu 1.




2) Tunnettu


3) Tunnettu


4) Vektorifunktiot



tai koordinaattimerkinnällä

Tätä kutsutaan ratkaisuksi, jossa tiettyjen numeeristen arvojen odotetaan olevan melko vakioita.

1) Kokoonpantavat ja irrotettavat ominaisuudet:

2) Tunnettu


3) Tunnettu


4) Tunnettu


5) Vektorifunktiot

perustaa perusjärjestelmän. Salainen päätös saattaa näyttää

tai koordinaattimerkinnällä

2. Algoritmi kolmannen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden homogeenisten järjestelmien ratkaisemiseksi ominaisyhtälöiden erilaisissa kompleksisesti johdetuissa juurissa.


- aktiivinen juuri,

2) Kyllä

3) Teemme

- matriisin A tehovektori, joka osoittaa, että se täyttää järjestelmän

Tässä Re - aktiivinen osa
Osa on ilmeinen
4) luoda perustavanlaatuinen ratkaisujärjestelmä. Seuraavaksi kirjoitamme ylös tulostusjärjestelmän salaisen ratkaisun:
, de
Z1, Z2, Z3 ovat melko vakioita.

Peppu 1.

1) Yhdistettävät ja irrotettavat ominaisuudet

2) Teemme

3) Teemme
, de

Ensimmäinen taso lyhennetään 2:lla. Sitten toiselle tasolle lisätään ensimmäinen kerrottuna 2i:llä ja kolmannelta tasolta lisätään Perov kerrottuna 2:lla.

kaukana

Noh,

4) - perusratkaisujen järjestelmä. Kirjataan ylös tulosjärjestelmän lopullinen ratkaisu:

Tätä kutsutaan ratkaisuksi, jossa tiettyjen numeeristen arvojen odotetaan olevan melko vakioita.

1) Yhdistelmä ja dissosioituva ominaisuustaso


2) Teemme

(Sitä me katsomme kerralla), missä

Toinen arvo kerrotaan (1-i) ja vähennetään kahdella.


Noh,

3)
Tulostusjärjestelmän kulissien takana oleva ratkaisu

. Huomattuamme, että vertailu on tarkat tapaukset, hylkäämme

2. Algoritmi kolmantena kertaluvun homogeenisten differentiaaliyhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi ominaisyhtälön juurien kerrannaisina.
Yhdistettävät ja koskemattomat ominaisuudet

On kaksi mahdollista skenaariota:

Katsotaanpa seuraavaa: a) 1), de

- matriisin A tehovektori, joka osoittaa, että se täyttää järjestelmän

2) Lauseen 3 pohjalta seuraa, että muodossa on kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua
,
de, - stationaariset vektorit. Otetaan ne.
3) - perusratkaisujen järjestelmä. Seuraavaksi kirjoitamme ylös tulostusjärjestelmän salaisen ratkaisun:

Katsotaanpa kohtaa b):
1) Lauseen 3 tukeutuminen, mikä tarkoittaa, että muodossa on kolme lineaarisesti riippumatonta ratkaisua
,
de,, - stationaariset vektorit. Otetaan ne.
2) - perusratkaisujen järjestelmä. Seuraavaksi tallennetaan tulosjärjestelmän taustalla oleva ratkaisu.

Ymmärtääksemme paremmin, kuinka ongelma ratkaistaan ​​(*), tarkastellaan useita tyypillisiä sovelluksia.

Peppu 1.

Ominaisuusyhtälö on taitettava ja koskematon:

Se on sääli a)
1) Teemme
, de

Toiselta tasolta huomautamme:

? Kolmas rivi on samanlainen kuin toinen, ja se voidaan kiertää. Ensinnäkin huomautamme toisillemme:

2) = 1 (2:n monikerta)
Tällä juurella T.3:n mukaan voidaan katsoa olevan kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua.
Yritetään selvittää kaikki lineaarisesti riippumattomat ratkaisut, jotka näyttävät olevan ratkaistu
.
Tällainen vektori ratkaistaan ​​vain, jos se on tehovektori, joka osoittaa = 1, niin
, tai
, Toinen ja kolmas rivi ovat samankaltaisia ​​kuin ensimmäinen, ja ne hylätään.

Järjestelmä pienennettiin yhdelle tasolle. No, on olemassa esimerkiksi kaksi suurta tuntematonta. Kyllä, alkuarvo on 1, 0; silloin arvot ovat 0, 1. Seuraavat päätökset voidaan hylätä:
.
Noh, .
3) - perusratkaisujen järjestelmä. Unohdin kirjoittaa tulosjärjestelmän salaisen ratkaisun:
. .. Tällä tavalla tässä järjestelmässä on vain yksi ratkaisu Alaasemien X 3 muotoon: Lisätään kolmas rivi (toinen on samanlainen kuin toinen). Järjestelmä on hullu (voi olla ratkaisu) riippumatta siitä, mitä. Olkoon z = 1.
. Huomattuamme, että vertailu on tarkat tapaukset, hylkäämme

Kenelle se on välttämätöntä:

; (5.22)

. (5.23)

Jäljelle jäävä tulos antaa Umovalle arvon 3> 0. Umova Δ 2> 0, 0> 0, 1> 0 ja 3> 0, voidaan päätellä vain arvolla 2> 0.

Kolmannen asteen kateudelle ei kuitenkaan enää riitä kaikkien tunnusomaisen mustasukkaisuuden kertoimien positiivisuus. On myös tarpeen muodostaa laulusuhde kertoimien a 1 a 2 > a 0 a 3 välille.

4. Kunnioitus neljännelle järjestykselle

Kuten rei'itetty aine, se voidaan poistaa niin, että neljännen kertaluvun tasaamiseksi kaikkien kertoimien positiivisuuden lisäksi jälki on tuotava mieleen

Algebrallisia kriteerejä, mukaan lukien Hurwitz-kriteerit, on hyvin vähän, ja ne, jotka korkean tason tasoille voidaan tehdä mahdollisimman lyhyessä ajassa yhteenveto automaattisen säätelyn vakaudesta tai epävakaudesta. Aina kun järjestelmä on epävakaa, kriteeri ei anna näyttöä tarpeesta muuttaa järjestelmän parametreja, jotta se olisi vakaa. Tämä tilanne johti siihen, että etsittiin muita, insinöörikäytännössä hyödyllisempiä kriteerejä.

5.3. Mihailovin kestävyyskriteeri

Katsotaan ominaisviivan (5.7) vasenta puolta, joka on karakteristinen polynomi

Tämän polynomin substituutiot ovat puhtaasti eksplisiittisiä arvoja p = j, missä  edustaa värähtelyjen rajataajuutta, joka on samanlainen kuin ominaisratkaisun puhtaasti eksplisiittinen juuri. Tältä osin hylkäämme ominaisen kompleksin

de puheen osa tapahtuu kaverit taajuus askel

ja se on ilmeistä - pariton taajuusaskel

E

Pieni

(Kuva 5.4).

Käytännössä Mihailov-käyrä tulee olemaan pisteissä, ja eri taajuuden i arvot määritetään kaavoilla (5.28), (5.29) ja lasketaan U () ja V (). Erittelyjen tulokset on koottu taulukkoon. 5.1.

Taulukko 5.1

Pobudova-käyrä Mihailov

Tämä taulukko näyttää itse käyrän (kuva 5.4).

On merkittävää, miksi vektorin D (j) kierto on välttämätön, kun taajuutta muutetaan nollasta äärettömään. Tätä tarkoitusta varten kirjoitetaan lajille ominaispolynomi

de  1 - n - ominaisarvon juuri.

Ominaisuusvektori voidaan sitten esittää yksinkertaisessa muodossa: Kaaren iho on kompleksiluku. Myös D (j) on tuote kompleksiluvut

. Kerrottaessa kompleksilukujen argumentit lisätään. Siksi vektorin D (j) käännös on yhtä suuri kuin vierekkäisten liitosten (5.31) kierrosten summa, kun taajuus muuttuu nollasta äärettömään Merkittävästi iho dodanok in (5.31) okremo. Katsotaanpa sitä, jotta pääset alkuun erilaisia ​​näkemyksiä

1. Olkoon mikä tahansa juuri, esimerkiksi  1, є sanallinen ja negatiivinen , Eli  1 = - 1. Kerroin lausekkeessa (5.31), joka ilmaistaan ​​juurilla, matime viglyad ( 1 + j). Kompleksitasossa on tämän vektorin hodografi, kun taajuus muuttuu nollasta äärettömään (kuva 5.5, A). Pre = 0 puheosa U =  1 ja imaginaarinen V = 0. Tämän ilmaisee piste A, joka sijaitsee toiminta-akselilla. Kuten ennenkin, vektori muuttuu niin paljon, että sen aineellinen osa on yhtä suuri kuin  ja V =  (kaavion piste B). Kun taajuus kasvaa epäjohdonmukaisuuden pisteeseen, vektori menee epäjohdonmukaisuuteen ja vektorin pää pysyy pystysuoralla suoralla koko tunnin ajan, joka kulkee pisteen A kautta, ja vektori pyörii vuosinuolta vasten.

Pieni

5.5. puheen juuri

Tuloksena oleva vektorin  1 käännös = + ( / 2). 2. Juuretaan nyt  1 є sanallista ja positiivista , Eli  1 = +  1 .Tämä on sama kerroin kohdassa (5.31), joka ilmaistaan ​​juurimatime vilyadilla (- 1 + j). Samanlaiset rutiinit (kuva 5.5, b

) Osoita, että tuloksena oleva käännös on  1 = - ( / 2). Miinusmerkki osoittaa, että vektori pyörii vuosinuolen takana. 3. Anna kaksi sidottua juuria, esimerkiksi  2 і 3, є monimutkainen negatiivinen toimintaosa

, Eli  2; 3 = - ± j. Vastaavasti lausekkeen (5.31) vastineet, joita nämä reunat osoittavat, ovat muodossa (-j + j) ( + j + j). A Kun  = 0, kahden vektorin tähkäpaikat on merkitty pisteillä A 1 ja A 2 (kuva 5.6,

). Ensimmäistä vektoria tulee kiertää toimintaakselia pitkin vuosipäivänuolen takana suuntaan, joka on yhtä suuri kuin arctg ( / ), ja toista vektoria - samalla polulla vuosipäivänuolta vastapäätä. Asteittain nollasta epäjohdonmukaisuuteen kasvatettaessa molempien vektorien päät kasvavat epäjohdonmukaisuuksiin ja niiden väliset vektorit suuttuvat ilmeisen painon vuoksi.

Tuloksena oleva leikkaus ensimmäisen vektorin kiertoon on  2 = ( / 2) + . Tuloksena oleva leikkaus toisen vektorin kiertoon 3 = ( / 2) -. Luomista vastaava vektori (-j + j) ( + j + j) pyörii kulman verran 2 +  3 = 2 / 2 = .

Pieni 5.6. monimutkaiset juuret 4. Anna sen mennä

monimutkaiset juuret voivat muodostaa positiivisen osan puhetta , Eli  1 = +  1 .Tämä on sama kerroin kohdassa (5.31), joka ilmaistaan ​​juurimatime vilyadilla (- 1 + j). Samanlaiset rutiinit (kuva 5.5,, Eli  2; 3 = +  ± j.

Tällä tavalla, koska ominaisarvo on juurten äiti, jolla on positiivinen aktiivinen osa, niin riippumatta juuri (puhe tai kompleksi) se on samanlainen kuin käännösten summa, sana -f ( / 2). Ja kaikki loput (n - f) on ominaistason juuri, joka voi olla negatiivisia puheosia, jotka osoittavat käännösten summan, taso + (n - f) ( / 2). Tämän seurauksena vektorin D (j) käänteinen pyörimissuunta, kun taajuutta muutetaan nollasta epäjohdonmukaisuuteen kaavan (5.32) takana, on seuraava:

 = (n - f) ( / 2) -f ( / 2) = n ( / 2) -f . (5.33)

Tämä ilmaus osoittaa yhteyden Mihailov-käyrän muodon ja tyypillisen strassikiven juurien puheosien merkkien välillä. Vuonna 1936 A.V. Mikhailov muotoili edistyneen vakauskriteerin minkä tahansa luokan lineaarisille järjestelmille.

N:nnen kertaluvun järjestelmän stabiilisuuden kannalta on välttämätöntä ja riittävää, että vektori D (j  ), joka kuvaa Mihailov-käyrää muuttuessaan  nollasta äärettömään nurkan takana  = n (  / 2).

Tämä kaava seuraa suoraan lausekkeesta (5.33). Järjestelmän vakauden vuoksi on välttämätöntä, että kaikki juuret sijaitsevat vasemmassa tasossa. Tähti osoittaa vektorin vaaditun resultanttikäännöksen.

Mihailovin vastustuskriteeri on muotoiltu seuraavasti: lineaarisen ACS:n vakauden kannalta on välttämätöntä ja riittävää, että Mikhailov-hodografi, kun taajuutta muutetaan nollasta äärettömään, alkaa positiiviselta pinnalta eikä kuormita koordinaattien origoa siirtämällä peräkkäin neliöitä Ja kompleksissa tasossa, missä järjestyksessä on järjestelmän ominaistason polynomi.

Noin

Pieni

osoitti, että stabiilien järjestelmien Mikhailov-käyrä ottaa aina tasaisen spiraalin muodon ja menee lopussa äärettömyyteen siinä kompleksialueen neliössä, jonka luku on ominaistason edellinen taso (kuva 5.7). Emme voi kulkea enempää kuin Mihailov-käyrän kvadranttien lukumäärän. Siksi järjestelmän epävakaus johtuu siitä, että Mihailov-käyrässä kvadranttien kulkusekvenssi tuhoutuu, minkä seurauksena vektorin D (j) käänne näyttää pienemmältä kuin n ( / 2) (Kuva 5.8).

Vakaa Mihailov-käyräjärjestelmä ohita peräkkäin kompleksisen tason n kvadranttia.

Kaikkien kolmen tyyppisten vastuskoordinoiden olemassaolo voidaan määrittää Mikhailov-käyrän mukaan nykyisen järjestyksen mukaan. Jos on vastarinta ensimmäinen tyyppi

5.8. epävakaa ATS eri tyyppiä (Colival interstitial stability) ominaisyhtälön vasen osa, eli karakteristinen polynomi, menee nollaan korvattaessa p = j 0

D (j 0) = X ( 0) + Y ( 0) = 0. (5.34)

Tähdet näyttävät kaksi yhtäläisyyttä: X ( 0) = 0; Y ( 0) = 0. Tämä tarkoittaa, että Mihailov-käyrän piste  =  0 uppoaa koordinaattien tähkäksi (kuva 5.9, käyrä 2). Tässä tapauksessa arvo  0 on järjestelmän vaimentamattomien värähtelyjen taajuus.

Kestävyyden johdosta kolmas tyyppi (Kehittämätön juuri) Mihailov-käyrän pää ulottuu (kuva 5.9, käyrä 3) kvadrantista toiseen äärettömän läpi. Tässä vaiheessa ominaispolynomin (5.7) kerroin 0 kulkee nollaarvojen läpi, jolloin etumerkki plussasta miinukseen muuttuu.

Korkeamman asteen primääridifferentiaaliyhtälöiden (DE) päätyypit on harkittu uudelleen, mikä mahdollistaa ratkaisut. Esittelee lyhyesti niiden kehittämismenetelmiä. Ilmoitettu lähetetty sivulle, lisäysmenetelmiä ja puskuja kuvaava raportti.

Div. myös: Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöt
Lineaariset differentiaaliyhtälöt ensimmäisen asteen yksityisissä samankaltaisuuksissa

Korkeampien tilausten erotustasot, jotka mahdollistavat alhaisemman tilauksen

Kilpailu, jota keskeytymättömät integraatiot kunnioittavat

Katsotaanpa tätä eri tavalla:
.
Integroitu n kertaa.
;
;
Ja niin edelleen.
.
Joten voit käyttää vain kaavaa: Div. Eriarvoisuus, jota kaikki kunnioittavat

integraatio >>>

Rivnyannya, joka ei ole kostaa vanhentunut jäte ilmeisen näköinen
Korvaus pienennetään alempaan kertaluokkaan, joka on yhtä suuri. Tässä on katselutoiminto.

Div. Korkeampien tilausten erotustasot, jotta toiminto ei eksplisiittisessä muodossa menisi väärin>>>

.
Rivnyannya, se ei ole kostaa itsenäistä muutosta x ilmeisessä ulkonäössä
.
On tärkeää, että tämä on toiminto. sitten
Samanlainen muille vaelluksille. Tämän seurauksena sijoitusjärjestys pienenee yhdellä.

Div. Korkeampien tilausten erotustasot, jotta ilmeisen ulkonäön muutosta ei korvata>>>

Rivnyannya, ainutlaatuinen y, y ', y' ', ...
,
Korkeimman varmuuden vuoksi tehdään vaihto
.
de - function vid. sitten
Sama voidaan tehdä samalla tavalla. Tämän seurauksena sijoitusjärjestys pienenee yhdellä.

Div. Samat toiminnot ja samanlaiset korkeampien tilausten erotustasot>>>

Korkeampien tilausten lineaariset erotasot Katsotaanpa:
(1) ,
n:nnen kertaluvun lineaarinen homogeeninen differentiaaliyhtälö
(2) ,
de - pysyvämpi. Toiminnot itse toteuttavat perusratkaisujen järjestelmän.
Perusteellinen järjestelmäratkaisu n:nnen kertaluvun lineaarinen homogeeninen yhtälö - tämän yhtälön n lineaarisesti riippumattoman päätöksen määrä.

Korkeampien tilausten lineaariset erotasot n:nnen kertaluvun lineaarinen epähomogeeninen differentiaaliyhtälö:
.
Olkoon sen yksityinen (vaikka se olisikin) tämän suhteen päätös. Sitten salainen päätös näyttää tältä:
,
de - zagalne saman tason liuos (1).

Lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla ja niihin pelkistyvät

Lineaarinen homogeeninen vertailu vakiokertoimilla

Muodonmukainen:
(3) .
Tässä ovat aktiiviset numerot. Tämän järjestelmän taustalla olevan ratkaisun tuntemiseksi meidän on tiedettävä n lineaarisesti riippumatonta päätöstä, jotka vaikuttavat perustavanlaatuiseen päätösjärjestelmään. Sitten salainen ratkaisu määritetään kaavalla (2):
(2) .

Päätös näyttää olevan näköpiirissä. kielletty tyypillisesti kateellinen:
(4) .

Seremonian mukaan erilaiset juuret, Sitten perusjärjestelmä näyttää tältä:
.

Kuinka kärsiä monimutkainen juuri
,
Tämä on juuren juuri. Nämä kaksi edustavat pohjimmiltaan ratkaisuja, jotka sisältyvät perusjärjestelmään monimutkaisten ratkaisujen sijaan.

juuren kerrannaiset kerrannaisuudet osoittavat lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja:.

Useita monimutkaisia ​​juuria Moninkertaisuudet ja niihin liittyvät monimutkaiset arvot viittaavat lineaarisesti itsenäisiin päätöksiin:
.

Lineaariset heterogeeniset viivat, joissa on erityinen heterogeeninen osa

Korkeampien tilausten lineaariset erotasot kateutta mielelle
,
asteiden s de -polynomit 1 On 2 ; - rauhallisesti.

Tällä hetkellä etsimme monimutkaisempaa ratkaisua samalle yhtälölle (3). Mikä luonnehtii sitä kateudeksi (4) älä ota kostoa juureen, Sitten löydämme yksityisemmän ratkaisun näkymästä:
,
Tässä x (t), y (t), z (t) ovat funktioita välille (a, b) ja ij (i, j = 1, 2, 3) ovat puhelukuja.
;
;
s - useimmat s-kirjaimella 1 On 2 .

Mikä luonnehtii sitä kateudeksi (4) on juuri moninaisuus, niin löydämme yksityisemmän ratkaisun näkymästä:
.

Tämän jälkeen salainen päätös otetaan pois:
.

Lineaarinen heterogeeninen vertailu vakiokertoimilla

On kolme mahdollista tapaa saavuttaa tämä.

1) Bernoullin menetelmä.
Alusta alkaen tiedämme, onko nollasta ratkaisu samalle tasolle
.
Jatketaan sitten korvaamista
,
de - toimi muuttuvana x:nä. On olemassa selkeä differentiaaliyhtälö u:lle, jotta vain samat tulokset u:sta sijoitettaisiin x:ää pitkin. Päättämällä korvauksen voimme poistaa tason n - 1 - ensimmäinen tilaus.

2) Tulos suoran korvausmenetelmän käytöstä.
luodaan korvaus
,
de - yksi tyypillisen rіvnyannyan (4) juurista. Tämän seurauksena lineaarinen heterogeeninen suhde vakiojärjestyskertoimien kanssa eliminoituu. Pysähtämällä johdonmukaisesti tällaista korvaamista, nostamme tason ensimmäisen asteen tasolle.

3) Lagrangen menetelmä stationaaristen vakioiden vaihteluun.
Tällä menetelmällä on sama validiteettitaso (3). Tämä päätös näyttää tältä:
(2) .
Lisäksi on tärkeää, että pysyvät funktiot ovat muuttujan x alaisia. Lopullinen päätös näyttää siis tältä:
,
de - tuntemattomat toiminnot. Korvaamalla yhtäläisyydet lähdössä ja päällekkäin vaihtoteot, voimme selvästi nähdä yhtäläisyydet, joista voit tietää funktion tyypin.

Eulerin Rivne

Se voidaan pelkistää lineaariseksi yhtälöksi vakiokertoimilla korvaamalla:
.
Eulerin ongelman ratkaisemiseksi ei kuitenkaan ole tarvetta tehdä tällaista vaihtoa. Voit heti etsiä ulkonäöltään samantasoisia ratkaisuja
.
Tämän seurauksena samat säännöt hylätään kuin tasaus vakiokertoimilla, joissa on tarpeen korvata muuttuja.

Wikorystanin kirjallisuus:
V.V. Stepanov, Differentiaaliopintojen kurssi, “LKV”, 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Suuren matematiikan kirjojen kokoelma, "Lan", 2003.