Підпростору лінійного простору. властивості

лінійним простором називається безліч L , В якому визначені операції додавання і множення на число, тобто для кожної пари елементів a, bL існує певний cL , Який називається їхньою сумою, і для будь-якого елемента aL і будь-якого числа R існує bL званий твором  на a. Елементи лінійного простору називаються векторами . Операції додавання і множення на число задовольняють наступним аксіомам.

Аксіоми додавання:  a, b, c  L

a + b = b + a -коммутативность

(A + b) + c = a + (b + c) -асоціативність

У просторі існує такий елемент, який називається нуль-вектор і позначається 0 , Який в сумі з будь-яким aз L дає цей же елемент a,тобто  0L:  a L 0 + a = a.

для будь-якого aз L існує протилежний елемент , що позначається -a, Такий що (-A) + a = 0

( a L  (-a)  L: (-A) + a = 0)

Наслідки з аксіом додавання:

1. Нуль-вектор единственен, тобто якщо хоча б для одного a L справедливо, що b + a = a, то b = 0.

2. Для будь-якого вектора aL протилежний елемент единственен, тобто b + a = 0  b = (-a)

Аксіоми множення:  ,   R  a, b  L

 (a) = ()a

(A + b) =a +b -дистрибутивность (по векторах)

(+)a =a +a -дистрибутивность (по числам)

1a = a

Наслідки з аксіом множення:  a L    R

 0 = 0

0 a = 0

(-a) = (-1) a
^

2.1 Приклади лінійних просторів

2. Звичайні вектори в тривимірному просторі R 3 з операціями додавання "за правилом паралелограма" і множенням-розтягуванням. Передбачається, що почала всіх векторів знаходяться на початку координат, нуль-вектор  це вектор, який і закінчується на початку координат

3. Многочленом ступеня n від однієї змінної 1 називається функція

P n ( x ) =  n x +  n-1 x n n-1 + ... +  1 x +  0 причому  n  0

Безліч многочленів, ступеня не вище n, зі звичайними операціями додавання і множення на число, утворюють лінійний простір. Відзначимо, що безліч многочленів, ступеня n, лінійного простору не утворюють. Справа в тому, що сума двох многочленів ступеня, наприклад, 3 може виявитися многочленом ступеня 2 (наприклад, ( x 3 + 3) + (– x 3 – 2x 2 + 7) = – 2x 2 + 10 - многочлен ступеня 2). Однак, операція додавання многочленів може знизити ступінь, але не підвищити її, тому безліч многочленів, ступеня не вище n, замкнуто щодо складання (тобто сума двох многочленів, ступеня не вище n, - завжди многочлен, ступеня не вище n) і утворює лінійний простір.
^

2.2 Розмірність, базис, координати.

Система 2 векторів називається лінійно залежною , Якщо існує нетривіальна лінійна комбінація цих векторів, що дорівнює 0 . Іншими словами, якщо існують такі n чисел  R, що не всі вони дорівнюють нулю, і лінійна комбінація векторів з коефіцієнтами дорівнює нуль-вектору:

В іншому випадку вектори називаються лінійно незалежними . Іншими словами - вектори називаються лінійно незалежними , якщо
з  1 e 1 +  2 e 2 + …+  n e n = 0 слід  1 =  2 = …=  n = 0, тобто якщо будь-яка лінійна комбінація цих векторів, що дорівнює нуль-вектору, є очевидною.

розкладанням вектора aпо системі векторів ( e i) Називається уявлення aу вигляді лінійної комбінації векторів ( e i). Іншими словами, розкласти вектор aпо векторах ( e i) Означає знайти такі числа  i, щоб

a = 1 e 1 +  2 e 2 + …  k e k

Зауважимо, що визначення незалежності векторів можна надати таку форму: вектори незалежні, тоді і тільки тоді, коли розкладання 0 по ним єдино.

Лінійне простір називається конечномірні , Якщо існує таке ціле n, що всі незалежні системи векторів в цьому просторі містять не більше n елементів.

розмірністю конечномерного лінійного простору L називається максимально можливе число лінійно незалежних векторів (позначається dim L або dim L ). Іншими словами, лінійний простір називається n-мірним , Якщо:

1. в просторі існує незалежна система, Що складається з n векторів;

2. будь-яка система, що складається з n +1 вектора, лінійно залежна.

базисом лінійного простору L nназивається будь-яка незалежна система векторів, число елементів якої дорівнює розмірності простору.

Теорема 1.Будь-яку незалежну систему векторів можна доповнити до базису. Тобто, якщо система  L kнезалежна і містить векторів менше, ніж розмірність простору (n  L k, Що об'єднана сукупність векторів ( e 1 ,e 2 ,... e n, f 1 ,f 2 ,... f k-n) незалежна, містить k векторів і, отже, утворює базис L k. ▄ Таким чином, у всякому лінійному просторі є багато (насправді - нескінченно багато) базисів.

Система векторів називається повної , Якщо будь-який aL можна розкласти по векторах системи (можливо розкладання не єдиний).

Навпаки, розкладання будь-якого вектора по незалежній системі завжди єдино (але не завжди існує). Тобто

теорема 2Розкладання будь-якого вектора по базису лінійного простору завждиіснує і єдино. Тобто, базис є незалежною і повною системою. Коефіцієнти  i розкладання вектора по базису ( e i) називаються координатами вектора в базисі ( e i }.▄

Всі координати нуль-вектора дорівнюють 0 в будь-якому базисі.

2.3 Приклади

2. Простір K n стовпців висоти n має розмірність n. Стандартний базис в просторі стовпців утворюють вектори - це стовпці, у яких на i-ій позиції стоять одиниці, а інші елементи нулі:

Дійсно, легко бачити, що будь-який стовпець розкладається по системі векторів єдиним чином, а саме:, тобто, коефіцієнти розкладання по для будь-якого стовпчика просто рівні відповідних елементів цього стовпчика.

3. Простір многочленів, ступеня не вище n, має розмірність n + 1. Стандартний базис в цьому просторі:

(). Справді, з визначення многочлена ступеня n очевидно, що будь-який многочлен, ступеня не вище n, однозначно представляється у вигляді лінійної комбінації векторів, причому коефіцієнтами лінійної комбінації є просто коефіцієнти многочлена (якщо ступінь багаточлена k менше n, то останні n-kкоефіцієнтів рівні 0).
^

2.4 Ізоморфізм лінійних просторів

Легко перевірити, що підсумовування векторів в L n призводить до підсумовування відповідних координат в базисі; значить сумі векторів в L n відповідає при нашому відповідно сума відповідних стовпців в K n ; аналогічне правило має місце і для множення на число.

Взаємно однозначна відповідність між елементами двох просторів зі збереженням введених в цих просторах операцій називається ізоморфізм . Ізоморфізм, як і рівність, властивість Транзитивне (перехідний): якщо простір L n ізоморфно K n , А простір K n ізоморфно деякому простору M n , То і L n ізоморфно M n .

Теорема 3.Будь-яке лінійне простір розмірності n ізоморфно K n, отже, в силу транзитивності, все лінійні простори розмірності n ізоморфні один одному. ▄

Ізоморфні об'єкти з точки зору математики є по суті лише різними "втіленнями" (реалізаціями) одного об'єкта, і будь-який факт, доведений для деякого простору, справедливий і для будь-якого іншого простору, изоморфного першому.

2.5 Підпростори

M 

очевидно, 0 M , якщо M - підпростір L , Тобто, нуль-вектор належить будь-якому підпросторі 5.

Кожне підпростір лінійного простору саме є лінійним простором. безліч ( 0 ) Є подпространством (всі аксіоми лінійного простору виконані, якщо простір складається з єдиного елемента - нуль-вектора) 6.

Кожне лінійне простір містить два тривіальних підпростору: сам простір і нульове підпростір ( 0 ); інші підпростору називаються нетривіальними .

Перетин двох підпросторів є подпространством. Об'єднання двох підпросторів подпространством, взагалі кажучи, не є, наприклад, об'єднання двох прямих, що проходять через початок координат, не містить суми векторів, що належать різним прямим (така сума лежить між прямими) 7.

Нехай, n L k . Тоді множина всіх лінійних комбінацій цих векторів, тобто безліч всіх векторів виду

a =  1 f 1 +  2 f 2 + …  n f n

Утворює n-мірне підпростір G {f 1 , f 2 ,... f n), яке називається лінійною оболонкою векторів ( f 1 , f 2 ,... f n).

Теорема 4.Базис будь-якого підпростору може бути доповнений до базису всього простору. Тобто нехай M n L k підпростір, розмірності n - базис в M n . тоді в L k існує такий набір векторів  L k , Що система векторів ( f 1 , f 2 ... f n , g 1 , g 2 , ... g k-n) 8 лінійно незалежна і містить k елементів, отже, утворює базис. ▄
^

2.6 Приклади підпросторів.

2. У просторі стовпців K 3 стовпці виду, тобто стовпці, у яких третя координата дорівнює 0, утворюють підпростір, очевидно изоморфное простору K 2 стовпців, висоти 2.

3. У просторі P n многочленів, ступеня не вище n, многочлени, ступеня не вище 2-х, утворюють тривимірнепідпростір (у них по три коефіцієнта).

4. У тривимірному просторі P 2 многочленів, ступеня не вище 2, многочлени, які звертаються в 0 в заданій точці х 0, утворюють двовимірне підпростір (доведіть!).

5. Завдання.В просторі K 4 безліч М складається з стовпців, координати яких задовольняють умові 1 2 + 2 + 3 = 0 (*). Доведіть, що М тривимірне підпростір K 4 .

Рішення. Доведемо, що М підпростір. Дійсно, нехай а М , b М , Значить, а 1 2а 2 + а 3 = 0, b 1 2b 2 + b 3 = 0. Але за правилом додавання векторів ( а + b) i= а i+ b i. Звідси випливає, що якщо для векторів аі bумова (*) виконано, то і для а + bця умова виконана. Так само ясно, що якщо для стовпця аумова (*) виконано, то воно виконано і для стовпця а.І, нарешті, нуль-вектор безлічі М належить. Таким чином доведено, що М підпростір. Доведемо, що воно трехмерно. Відзначимо що будь-який вектор а М в силу умови (*) має координати (**). нехай m 1 = , m 2 =, A h 4 =. Покажемо, що система векторів ( m 1 , m 2 , h 4 ) Утворює базис в М . Складемо лінійну комбінацію 1 m 1 + 2 m 2 +h 4 = З довільними коефіцієнтами. Очевидно, що будь-який вектор аз М (Див. (**)) розкладається по набору ( m 1 , m 2 , h 4 ); для цього достатньо вибрати в якості коефіцієнтів розкладання координати вектора 1 = а 1, 2 = а 2, 4 = а 4 .Зокрема, єдиною лінійною комбінацією векторів m 1 , m 2 , h 4 , Що дорівнює нуль-вектору, є комбінація з нульовими коефіцієнтами: 1 = 0, 2 = 0, 4 = 0. З єдиності розкладання нуль-вектора випливає, що ( m 1 , m 2 , h 4 ) Незалежна система векторів. А з того факту, що всякий а М розкладається по системі ( m 1 , m 2 , h 4 ), Випливає, що ця система повна. Повна і незалежна система утворює базис в підпросторі М . Так як цей базис містить три вектора, то М тривимірне підпростір.

http://matworld.ru/linear-algebra/linear-space/linear-subspace.php

нехай Lі M- два підпростору простору R.

Сума L+Mназивається множина векторів x + y, де x∈Lі y∈M. Очевидно, що будь-яка лінійна комбінація векторів з L + Mналежить L + M, отже L + Mє подпространством простору R(Може збігатися з простором R).

перетином L∩Mпідпросторів Lі Mназивається множина векторів, що належать одночасно підпростір Lі M(Може складатися тільки з нульового вектора).

Теорема 6.1.Сума размерностей довільних підпросторів Lі Mконечномерного лінійного простору Rдорівнює розмірності суми цих підпросторів і розмірності перетину цих підпросторів:

dim L + dim M = dim (L + M) + dim (L∩M).

Доведення. позначимо F = L + Mі G = L∩M. нехай G g-мірним підпростір. Виберемо в ньому базис. Так як G⊂Lі G⊂M, Отже базис Gможна доповнити до базису Lі до базису M. Нехай базис підпростору Lі нехай базис підпростору M. Покажемо, що вектори

належить подпространству G = L∩M. З іншого боку вектор vможна уявити лінійною комбінацією базисних векторів підпростору G:

В силу лінійної незалежності базису підпростору Lмаємо:

лінійно незалежні. Але будь-який вектор zз F(За визначенням суми підпросторів) можна уявити сумою x + y, де x∈L, y∈M. В свою чергу xпредставляється лінійною комбінацією векторів а y- лінійною комбінацією векторів. Отже вектори (6.10) породжують підпростір F. Отримали, що вектори (6.10) утворюють базис F = L + M.

Вивчаючи базиси підпросторів Lі Mі базис підпростору F = L + M(6.10), маємо: dim L = g + l, dim M = g + m, dim (L + M) = g + l + m. отже:

dim L + dim M-dim (L∩M) = dim (L + M). ■

2 Власне вектори і власні значення лінійного оператора.

http://www.studfiles.ru/preview/6144691/page:4/

Вектор Х ≠ 0 називають власним векторомлінійного оператора з матрицею А, якщо знайдеться таке чіслоl, що АХ = LХ.

При цьому число lназивают власним значеннямоператора (матриці А), відповідним вектору х.

Іншими словами, власний вектор - це такий вектор, який під дією лінійного оператора переходить в колінеарний вектор, тобто просто множиться на деяке число. На відміну від нього, невласні вектори перетворюються складніше.

Запишемо визначення власного вектора у вигляді системи рівнянь:

Перенесемо всі складові в ліву частину:

Останню систему можна записати в матричній формі наступним чином:

(А - l Е) Х = О

Отримана система завжди має нульове рішення Х = О. Такі системи, в яких всі вільні члени дорівнюють нулю, називають однорідними. Якщо матриця такої системи - квадратна, і її визначник не дорівнює нулю, то за формулами Крамера ми завжди отримаємо єдине рішення - нульове. Можна довести, що система має ненульові рішення тоді і тільки тоді, коли визначник цієї матриці дорівнює нулю, тобто

| А - l Е | = = 0

Це рівняння з невідомим lназивают характеристичним рівнянням(характеристичним многочленом) Матриці А (лінійного оператора).

Можна довести, що характеристичний многочлен лінійного оператора не залежить від вибору базису.

Наприклад, знайдемо власні значення і власні вектори лінійного оператора, заданого матрицею А =.

Для цього складемо характеристичне рівняння | А - l Е | = = (1 -l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l- 35; Д = 4 + 140 = 144; власні значеніяl 1 = (2 - 12) / 2 = -5; l 2 = (2 + 12) / 2 = 7.

Щоб знайти власні вектори, вирішуємо дві системи рівнянь

(А + 5Е) Х = О

(А - 7 Е) Х = О

Для першої з них розширена матриця набуде вигляду

,

звідки х 2 = с, х 1 + (2/3) з = 0; х 1 = - (2/3) с, тобто Х (1) = (- (2/3) с; с).

Для другої з них розширена матриця набуде вигляду

,

звідки х 2 = з 1, х 1 - (2/3) з 1 = 0; х 1 = (2/3) з 1, тобто Х (2) = ((2/3) з 1; з 1).

Таким чином, власними векторами цього лінійного оператора є все вектора виду (- (2/3) с; с) з власним значенням (-5) і все вектора виду ((2/3) з 1; з 1) з власним значенням 7 .

Можна довести, що матриця оператора А в базисі, що складається з його власних векторів, є діагональної і має вигляд:

,

де l i - власні значення цієї матриці.

Вірно і зворотне: якщо матриця А в деякому базисі є діагональною, то всі вектори цього базису будуть власними векторами цієї матриці.

Також можна довести, що якщо лінійний оператор має n попарно різних власних значень, то відповідні їм власні вектори лінійно незалежні, а матриця цього оператора у відповідному базисі має діагональний вигляд.

Пояснимо це на попередньому прикладі. Візьмемо довільні ненульові значення з і з 1, але такі, щоб вектори Х (1) і Х (2) були лінійно незалежними, тобто утворили б базис. Наприклад, нехай з = з 1 = 3, тоді Х (1) = (-2; 3), Х (2) = (2; 3). Переконаємося в лінійної незалежності цих векторів:

12 ≠ 0. У цьому новому базисі матриця А прийме вид А * =.

Щоб переконатися в цьому, скористаємося формулою А * = С -1 АС. Спочатку знайдемо С -1.

З 1 = ;

Екзаменаційний білет № 11

1. Перехід до нового базсу в лінійному просторі. Матриця переходу.

http://www.studfiles.ru/preview/6144772/page:3/

Перехід до нового базису

Пуртов в просторі R є два базиси: старий e l, e 2, ... e n і новий e l *, e 2 *, ... e n *. Будь-вектор нового базису можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів старого базису:

Перехід від старого базису до нового можна задати матрицею переходу

Відзначимо, що коефіцієнти розмноження нових базисних векторів по старому базису утворюють стовпці, а не рядки цієї матриці.

Матриця А - неособлива, так як в противному випадку її стовпці (а отже, і базисні вектори) виявилися б лінійно залежними. Отже, вона має зворотну матрицю А -1.

Нехай вектор Х має координати (х l, х 2, ... х n) щодо старого базису і координати (х l *, х 2 *, ... х n *) щодо нового базису, тобто Х = x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n = x l * e l * + x 2 * e 2 * + ... + x n * e n *.

Підставами в це рівняння значення e l *, e 2 *, ... e n * з попередньої системи:

xlel + x 2 e 2 + ... + xnen = xl * (a 11 el + a 12 e 2 + ... + a 1n en) + x 2 * (a 21 el + a 22 e 2 + ... + + a 2n en) + ... + xn * (a n1 el + a n2 e 2 + ... + a nn en)

0 = el (xl * a 11 + x 2 * a 21 + ... + xn * a n1 - xl) + e 2 (xl * a 12 + x 2 * a 22 + ... + xn * a n2 - x 2) + + ... + en (xl * a 1n + x 2 * a 2n + ... + xn * a nn - xn)

В силу лінійної незалежності векторів e l, e 2, ... e n все коефіцієнти при них в останньому рівнянні повинні дорівнювати нулю. Звідси:

або в матричної формі

Помножимо обидві частини на А -1, отримаємо:

Наприклад, нехай в базисі el, e 2, e 3 задані вектора а 1 = (1, 1, 0), а 2 = (1, -1, 1), а 3 = (-3, 5, -6) иb = (4; -4; 5). Показати, що вектори а l, а 2, а 3 теж утворюють базис і висловити в цьому базисі векторb.

Покажемо, що вектора а l, а 2, а 3 лінійно незалежні. Для цього переконаємося в тому, що ранг складеної з них матриці дорівнює трьом:

Відзначимо, що вихідна матриця являє собою не що інше, як матрицю переходу А. Справді, зв'язок між базисами e l, e 2, e 3 і а l, а 2, а 3 можна виразити системою:

Обчислимо А -1.

= 6 + 0 - 3 – 0 – 5 + 6 = 4

Т. е. В базисі а l, а 2, а 3 векторb = (0,5; 2; 0,5).

2 Довжина вектора і кут між векторами в евклідовому просторі.

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=evklidovy-prostranstva

Визначення. лінійним просторомнад числовим полем Доназивається безліч R елементів, які будемо називати векторами і позначати ,, і так далі, якщо:

З цих аксіом випливає, що:

лінійні оболонки

Визначення.лінійною оболонкоюсімейства векторів називається безліч їх всіляких лінійних комбінацій в лінійному просторі L.

Легко перевірити, що лінійна оболонка є лінійним простором в L.

лінійну оболонку також називають подпространством, натягнутим на векториілі породженим векторами семействаЕе можна визначити ще як перетин всіх підпросторів в L, Що містять всі рангомсімейства векторів називається розмірність його лінійної оболонки.

Перше характеристичне властивість базису: його лінійна оболонка збігається з усімL.

підпростору

Визначення. Лінійне підпростір або векторне підпростір- це непорожня безліч K лінійного простору L таке, що K саме є лінійним простором по відношенню до певних в L дій додавання і множення на скаляр. Безліч всіх підпростір позначають як Lat ( L ) . Щоб підмножина було подпространством, необхідно і достатньо, щоб

Останні два твердження еквівалентні наступного:

Зокрема, простір, що складається з одного елемента є подпространством будь-якого простору; будь-який простір є саме собі подпространством. Підпростору, що не збігаються з цими двома, називають власнимиабо нетривіальними.

властивості підпросторів

У функціональному аналізі в нескінченновимірних просторах особливо виділяють замкнуті підпростори.

Лінійна залежність векторів

Визначення.Сімейство векторів називається лінійно незалежним, Якщо ніяка нетривіальна лінійна комбінація не дорівнює нулю, тобто з

слід, що все = 0. В іншому випадку воно називається лінійно залежним. Лінійна незалежність сімейства означає, що нульовий вектор однозначно представляється у вигляді лінійної комбінації елементів сімейства.Тоді будь-який інший вектор має або єдиною уявлення, або жодного. Дійсно, порівнюючи два уявлення

Звідси слідує друге характеристичне властивість базису: його елементи лінійно незалежні.Визначення цих двох властивостей рівносильно початкового визначення базису.

Зауважимо, що сімейство векторів лінійно незалежно тоді і тільки тоді, коли воно утворює базис своєї лінійної оболонки.

Сімейство свідомо лінійно залежно, якщо серед векторовесть нульовий або два однакових.

Лемма 1.Сімейство векторів лінійно залежно тоді і тільки тоді, коли хоча б один з векторовявляется лінійною комбінацією інших.

Доведення.

Якщо і

Навпаки, якщо, то

Лемма 2.лінійно залежно, то є лінійною комбінацією.

Доведення.

Якщо не всерівно, то обов'язково, інакше ми отримали б нетривіальну залежність междуПоетому

Лінійним (векторних)простором називається безліч V довільних елементів, які називаються векторами, в якому визначені операції додавання векторів і множення вектора на число, тобто будь-яким двом векторам \ mathbf (u) і (\ mathbf (v)) поставлений у відповідність вектор \ Mathbf (u) + \ mathbf (v), Званий сумою векторів \ mathbf (u) і (\ mathbf (v)), будь-якого вектору (\ mathbf (v)) і будь-якого числа \ lambda з поля дійсних чисел \ mathbb (R) поставлений у відповідність вектор \ Lambda \ mathbf (v), Званий твором вектора \ mathbf (v) на число \ lambda; так що виконуються наступні умови:

1. \ Mathbf (u) + \ mathbf (v) = \ mathbf (v) + \ mathbf (u) \, ~ \ forall \ mathbf (u), \ mathbf (v) \ in V(Коммутативность складання);
2. \ Mathbf (u) + (\ mathbf (v) + \ mathbf (w)) = (\ mathbf (u) + \ mathbf (v)) + \ mathbf (w) \, ~ \ forall \ mathbf (u), \ mathbf (v), \ mathbf (w) \ in V(Асоціативність додавання);
3. існує такий елемент \ mathbf (o) \ in V, званий нульовим вектором, що \ Mathbf (v) + \ mathbf (o) = \ mathbf (v) \, ~ \ forall \ mathbf (v) \ in V;
4. для кожного вектора (\ mathbf (v)) існує такий вектор, званий протилежним вектору \ mathbf (v), що \ Mathbf (v) + (- \ mathbf (v)) = \ mathbf (o);
5. \ Lambda (\ mathbf (u) + \ mathbf (v)) = \ lambda \ mathbf (u) + \ lambda \ mathbf (v) \, ~ \ forall \ mathbf (u), \ mathbf (v) \ in V , ~ \ forall \ lambda \ in \ mathbb (R);
6. (\ Lambda + \ mu) \ mathbf (v) = \ lambda \ mathbf (v) + \ mu \ mathbf (v) \, ~ \ forall \ mathbf (v) \ in V, ~ \ forall \ lambda, \ mu \ in \ mathbb (R);
7. \ Lambda (\ mu \ mathbf (v)) = (\ lambda \ mu) \ mathbf (v) \, ~ \ forall \ mathbf (v) \ in V, ~ \ forall \ lambda, \ mu \ in \ mathbb ( R);
8. 1 \ cdot \ mathbf (v) = \ mathbf (v) \, ~ \ forall \ mathbf (v) \ in V.

Умови 1-8 називаються аксіомами лінійного простору. Знак рівності, поставлений між векторами, означає, що в лівій і правій частинахрівності представлений один і той же елемент безлічі V, такі вектори називаються рівними.

У визначенні лінійного простору операція множення вектора на число введена для дійсних чисел. Таке простір називають лінійним простором над полем дійсних (речових) чисел, Або, коротше, речовим лінійним простором. Якщо у визначенні замість поля \ mathbb (R) дійсних чисел взяти поле комплексних чисел\ Mathbb (C), то отримаємо лінійне простір над полем комплексних чисел, Або, коротше, комплексне лінійне простір. Як числового поля можна вибрати і поле \ mathbb (Q) раціональних чисел, при цьому отримаємо лінійне простір над полем раціональних чисел. Далі, якщо не визначено інше, будуть розглядатися речові лінійні простори. У деяких випадках для стислості будемо говорити про простір, опускаючи слово лінійне, так як всі простори, що розглядаються нижче - лінійні.

зауваження 8.1

1. Аксіоми 1-4 показують, що лінійний простір є комутативність групою щодо операції додавання.

2. Аксіоми 5 і 6 визначають дистрибутивность операції множення вектора на число по відношенню до операції додавання векторів (аксіома 5) або до операції додавання чисел (аксіома 6). Аксіома 7, іноді звана законом асоціативності множення на число, висловлює зв'язок двох різних операцій: множення вектора на число і множення чисел. Властивість, яке визначається аксіомою 8, називається унітарність операції множення вектора на число.

3. Лінійне простір - це непорожня безліч, так як обов'язково містить нульовий вектор.

4. Операції додавання векторів і множення вектора на число називаються лінійними операціями над векторами.

5. Різницею векторів \ mathbf (u) і \ mathbf (v) називається сума вектора \ mathbf (u) з протилежним вектором (- \ mathbf (v)) і позначається: \ Mathbf (u) - \ mathbf (v) = \ mathbf (u) + (- \ mathbf (v)).

6. Два ненульових вектора \ mathbf (u) і \ mathbf (v) називаються колінеарними (пропорційними), якщо існує таке число \ lambda, що \ Mathbf (v) = \ lambda \ mathbf (u). Поняття коллинеарности поширюється на будь-яке кінцеве число векторів. Нульовий вектор \ mathbf (o) вважається колінеарну з будь-яким вектором.

Наслідки аксіом лінійного простору

1. У лінійному просторі існує єдиний нульовий вектор.

2. У лінійному просторі для будь-якого вектора \ mathbf (v) \ in V існує єдиний протилежний вектор (- \ mathbf (v)) \ in V.

3. Твір довільного вектора простору на число нуль одно нульового вектору, тобто 0 \ cdot \ mathbf (v) = \ mathbf (o) \, ~ \ forall \ mathbf (v) \ in V.

4. Твір нульового вектора на будь-яке число одно нульового вектору, тобто для будь-якого числа \ lambda.

5. Вектор, протилежний даному вектору, дорівнює добутку даного вектора на число (-1), тобто (- \ mathbf (v)) = (- 1) \ mathbf (v) \, ~ \ forall \ mathbf (v) \ in V.

6. У виразах вигляду \ Mathbf (a + b + \ ldots + z)(Сума кінцевого числа векторів) або \ Alpha \ cdot \ beta \ cdot \ ldots \ cdot \ omega \ cdot \ mathbf (v)(Твір вектора на кінцеве число множників) можна розставляти дужки в будь-якому порядку, або взагалі не вказувати.

Доведемо, наприклад, перші два властивості. Единственность нульового вектора. Якщо \ mathbf (o) і \ mathbf (o) "- два нульових вектора, то по аксіомі 3 отримуємо два рівності: \ Mathbf (o) "+ \ mathbf (o) = \ mathbf (o)"або \ Mathbf (o) + \ mathbf (o) "= \ mathbf (o), Ліві частини яких рівні по аксіомі 1. Отже, рівні і праві частини, тобто \ Mathbf (o) = \ mathbf (o) ". Единственность протилежної вектора. Якщо вектор \ mathbf (v) \ in V має два протилежних вектора (- \ mathbf (v)) і (- \ mathbf (v)) ", то по аксіом 2, 3,4 отримуємо їх рівність:

(- \ mathbf (v)) "= (- \ mathbf (v))" + \ underbrace (\ mathbf (v) + (- \ mathbf (v))) _ (\ mathbf (o)) = \ underbrace ( (- \ mathbf (v)) "+ \ mathbf (v)) _ (\ mathbf (o)) + (- \ mathbf (v)) = (- \ mathbf (v)).

Решта властивості доводяться аналогічно.

Приклади лінійних просторів

1. Позначимо \ (\ mathbf (o) \) - безліч, що містить один нульовий вектор, з операціями \ Mathbf (o) + \ mathbf (o) = \ mathbf (o)і \ Lambda \ mathbf (o) = \ mathbf (o). Для зазначених операцій аксіоми 1-8 виконуються. Отже, безліч \ (\ mathbf (o) \) є лінійним простором над будь-яким числовим полем. Це лінійне простір називається нульовим.

2. Позначимо V_1, \, V_2, \, V_3 - безлічі векторів (спрямованих відрізків) на прямій, на площині, в просторі відповідно зі звичайними операціями додавання векторів і множення векторів на число. Виконання аксіом 1-8 лінійного простору випливає з курсу елементарної геометрії. Отже, безлічі V_1, \, V_2, \, V_3 є речовими лінійними просторами. Замість вільних векторів можна розглянути відповідні безлічі радіус-векторів. Наприклад, безліч векторів на площині, що мають спільний початок, тобто відкладених від однієї фіксованої точки площини, є речовим лінійним простором. Безліч радіус-векторів одиничної довжини не утворює лінійний простір, так як для будь-якого з цих векторів сума \ Mathbf (v) + \ mathbf (v)не належить він розглядався безлічі.

3. Позначимо \ mathbb (R) ^ n - безліч матриць-стовпців розмірів n \ times1 з операціями додавання матриць і множення матриць на число. Аксіоми 1-8 лінійного простору для цієї множини виконуються. Нульовим вектором в цій множині служить нульовий стовпець o = \ begin (pmatrix) 0 & \ cdots & 0 \ end (pmatrix) ^ T. Отже, безліч \ mathbb (R) ^ n є речовим лінійним простором. Аналогічно, безліч \ mathbb (C) ^ n стовпців розмірів n \ times1 з комплексними елементами є комплексним лінійним простором. Безліч матриць-стовпців з невід'ємними дійсними елементами, навпаки, не є лінійним простором, так як не містить протилежних векторів.

4. Позначимо \ (Ax = o \) - безліч рішень однорідної системи Ax = o лінійних алгебраїчних рівняньз і невідомими (де A - дійсна матриця системи), що розглядається як безліч стовпців розмірів n \ times1 з операціями додавання матриць і множення матриць на число. Зауважимо, що ці операції дійсно визначені на множині \ (Ax = o \). З властивості 1 рішень однорідної системи (див. Розд. 5.5) випливає, що сума двох рішень однорідної системи і твір її рішення на число також є рішеннями однорідної системи, тобто належать множині \ (Ax = o \). Аксіоми лінійного простору для стовпців виконуються (див. Пункт 3 в прикладах лінійних просторів). Тому безліч рішень однорідної системи є речовим лінійним простором.

Безліч \ (Ax = b \) рішень неоднорідної системи Ax = b, ~ b \ ne o, навпаки, не є лінійним простором, хоча б тому, що не містить нульового елемента (x = o не є рішенням неоднорідної системи).

5. Позначимо M_ (m \ times n) - безліч матриць розмірів m \ times n з операціями додавання матриць і множення матриць на число. Аксіоми 1-8 лінійного простору для цієї множини виконуються. Нульовим вектором є нульова матриця O відповідних розмірів. Отже, безліч M_ (m \ times n) є лінійним простором.

6. Позначимо P (\ mathbb (C)) - безліч многочленів однієї змінної з комплексними коефіцієнтами. Операції додавання багато членів і множення многочлена на число, що розглядається як многочлен нульової ступеня, визначені і задовольняють аксіомам 1-8 (зокрема, нульовим вектором є многочлен, тотожне рівний нулю). Тому безліч P (\ mathbb (C)) є лінійним простором над полем комплексних чисел. Безліч P (\ mathbb (R)) многочленів з дійсними коефіцієнтами також є лінійним простором (але, зрозуміло, над полем дійсних чисел). Безліч P_n (\ mathbb (R)) многочленів ступеня не вище, ніж n, з дійсними коефіцієнтами також є речовим лінійним простором. Зауважимо, що операція додавання багато членів визначена на цій множині, так як ступінь суми многочленів не перевищує ступенів доданків.

Безліч многочленів ступеня n не є лінійним простором, так як сума таких многочленів може виявитися многочленом меншою мірою, що не належить він розглядався безлічі. Безліч всіх многочленів ступеня не вище, ніж л, з позитивними коефіцієнтами також не є лінійним простором, оскільки при множенні такого многочлена на негативне число отримаємо многочлен, що не належить цій множині.

7. Позначимо C (\ mathbb (R)) - безліч дійсних функцій, визначених і безперервних на \ mathbb (R). Сума (f + g) функцій f, gі твір \ lambda f функції f на дійсне число \ lambda визначаються рівностями:

(F + g) (x) = f (x) + g (x), \ quad (\ lambda f) (x) = \ lambda \ cdot f (x)для всіх x \ in \ mathbb (R)

Ці операції дійсно визначені на C (\ mathbb (R)), так як сума безперервних функцій і твір неперервної функції на число є безперервними функціями, тобто елементами C (\ mathbb (R)). Перевіримо виконання аксіом лінійного простору. З коммутативности складання дійсних чисел слід справедливість рівності f (x) + g (x) = g (x) + f (x)для будь-якого x \ in \ mathbb (R). З цього f + g = g + f, тобто аксіома 1 виконується. Аксіома 2 слід аналогічно з асоціативності складання. Нульовим вектором служить функція o (x), тотожно рівна нулю, яка, зрозуміло, є безперервною. Для будь-якої функції f виконується рівність f (x) + o (x) = f (x), тобто справедлива аксіома 3. Протилежним вектором для вектора f буде функція (-f) (x) = - f (x). Тоді f + (- f) = o (аксіома 4 виконується). Аксіоми 5, 6 слідують з дистрибутивности операцій додавання і множення дійсних чисел, а аксіома 7 - з асоціативності множення чисел. Остання аксіома виконується, так як множення на одиницю не змінює функцію: 1 \ cdot f (x) = f (x) для будь-якого x \ in \ mathbb (R), тобто 1 \ cdot f = f. Таким чином, розглядається безліч C (\ mathbb (R)) з введеними операціями є речовим лінійним простором. Аналогічно доводиться, що C ^ 1 (\ mathbb (R)), C ^ 2 (\ mathbb (R)), \ ldots, C ^ m (\ mathbb (R))- безлічі функцій, що мають безперервні похідні першого, второго.і т.д. порядків відповідно, також є лінійними просторами.

Позначимо - безліч тригонометричних Двочленні (часто ти \ omega \ ne0) з дійсними коефіцієнтами, тобто безліч функцій виду f (t) = a \ sin \ omega t + b \ cos \ omega t, де a \ in \ mathbb (R), ~ b \ in \ mathbb (R). Сума таких Двочленні і про винищення двочлена на дійсне число є тригонометричним Двочленні. Аксіоми лінійного простору для даної безлічі виконуються (так як T _ (\ omega) (\ mathbb (R)) \ subset C (\ mathbb (R))). Тому безліч T _ (\ omega) (\ mathbb (R))зі звичайними для функцій операціями додавання і множення на число є речовим лінійним простором. Нульовим елементом служить двочлен o (t) = 0 \ cdot \ sin \ omega t + 0 \ cdot \ cos \ omega t, Тотожне рівний нулю.

Безліч дійсних функцій, визначених і монотонних на \ mathbb (R), не є лінійним простором, так як різниця двох монотонних функцій може виявитися немонотонної функцією.

8. Позначимо \ mathbb (R) ^ X - безліч дійсних функцій, визначених на множині X, з операціями:

(F + g) (x) = f (x) + g (x), \ quad (\ lambda f) (x) = \ lambda \ cdot f (x) \ quad \ forall x \ in X

Воно є речовим лінійним пространтвом (доказ таке ж, як в попередньому прикладі). При цьому безліч X може бути вибрано довільно. Зокрема, якщо X = \ (1,2, \ ldots, n \), То f (X) - впорядкований набір чисел f_1, f_2, \ ldots, f_n, де f_i = f (i), ~ i = 1, \ ldots, nТакий набір можна вважати матрицею-стовпцем розмірів n \ times1, тобто безліч \ Mathbb (R) ^ (\ (1,2, \ ldots, n \))збігається з безліччю \ mathbb (R) ^ n (див. пункт 3 прикладів лінійних просторів). Якщо X = \ mathbb (N) (нагадаємо, що \ mathbb (N) - безліч натуральних чисел), то отримуємо лінійне простір \ Mathbb (R) ^ (\ mathbb (N))- безліч числових послідовностей \ (F (i) \) _ (i = 1) ^ (\ infty). Зокрема, безліч сходяться числових послідовностей також утворює лінійний простір, так як сума двох збіжних послідовностей сходиться, і при множенні всіх членів сходящейся послідовності на число отримуємо сходящуюся послідовність. Навпаки, безліч розбіжних послідовностей не є лінійним простором, так як, наприклад, сума розходяться послідовностей може мати межу.

9. Позначимо \ mathbb (R) ^ (+) - безліч позитивних дійсних чисел, в якому сума a \ oplus b і твір \ lambda \ ast a (позначення в цьому прикладі відрізняються від звичайних) визначені рівностями: a \ oplus b = ab, ~ \ lambda \ ast a = a ^ (\ lambda), Іншими словами, сума елементів розуміється як твір чисел, а множення елемента на число - як зведення в ступінь. Обидві операції дійсно визначені на множині \ mathbb (R) ^ (+), так як твір позитивних чисел є позитивне число і будь-яка дійсна ступінь позитивного числа є позитивне число. Перевіримо справедливість аксіом. рівності

a \ oplus b = ab = ba = b \ oplus a, \ quad a \ oplus (b \ oplus c) = a (bc) = (ab) c = (a \ oplus b) \ oplus c

показують, що аксіоми 1, 2 виконуються. Нульовим вектором даного безлічі є одиниця, так як a \ oplus1 = a \ cdot1 = a, Тобто o = 1. Протилежним для a вектором є вектор \ frac (1) (a), який визначений, так як a \ ne o. Справді, a \ oplus \ frac (1) (a) = a \ cdot \ frac (1) (a) = 1 = o. Перевіримо виконання аксіом 5, 6,7,8:

\ Begin (gathered) \ mathsf (5)) \ quad \ lambda \ ast (a \ oplus b) = (a \ cdot b) ^ (\ lambda) = a ^ (\ lambda) \ cdot b ^ (\ lambda) = \ lambda \ ast a \ oplus \ lambda \ ast b \,; \ hfill \\ \ mathsf (6)) \ quad (\ lambda + \ mu) \ ast a = a ^ (\ lambda + \ mu) = a ^ ( \ lambda) \ cdot a ^ (\ mu) = \ lambda \ ast a \ oplus \ mu \ ast a \,; \ hfill \\ \ mathsf (7)) \ quad \ lambda \ ast (\ mu \ ast a) = (a ^ (\ mu)) ^ (\ lambda) = a ^ (\ lambda \ mu) = (\ lambda \ cdot \ mu) \ ast a \,; \ hfill \\ \ mathsf (8)) \ quad 1 \ ast a = a ^ 1 = a \,. \ hfill \ end (gathered)

10. Нехай V - речовий лінійний простір. Розглянемо безліч певних на V лінійних скалярних функцій, тобто функцій f \ colon V \ to \ mathbb (R), Які приймають дійсні значення і задовольняють умовам:

f (\ mathbf (u) + \ mathbf (v)) = f (u) + f (v) ~~ \ forall u, v \ in V(Адитивність);

f (\ lambda v) = \ lambda \ cdot f (v) ~~ \ forall v \ in V, ~ \ forall \ lambda \ in \ mathbb (R)(Однорідність).

Лінійні операції над лінійними функціями задаються також, як в пункті 8 прикладів лінійних просторів. Сума f + g і твір \ lambda \ cdot f визначаються рівностями:

(F + g) (v) = f (v) + g (v) \ quad \ forall v \ in V; \ qquad (\ lambda f) (v) = \ lambda f (v) \ quad \ forall v \ in V, ~ \ forall \ lambda \ in \ mathbb (R).

Виконання аксіом лінійного простору підтверджується також, як в пункті 8. Тому безліч лінійних функцій, Визначених на лінійному просторі V, є лінійним простором. Це простір називається зв'язаним до простору V і позначається V ^ (\ ast). Його елементи називають ковекторов.

Наприклад, безліч лінійних форм n змінних, що розглядаються як безліч скалярних функцій векторного аргументу, є лінійним простором, зв'язаних до простору \ mathbb (R) ^ n.

Якщо помітили помилку, друкарську помилку або є пропозиції, напишіть в коментарях.

Нехай і - підпростору лінійного простору.

перетином підпросторів і називається безліч векторів, кожен з яких належить і одночасно, тобто перетин підпросторів визначається як звичайне перетин двох множин.

Алгебраїчною сумою підпросторів і називається безліч векторів виду, де. Алгебраїчна сума (коротше просто сума) підпросторів позначається

Подання вектора у вигляді, де, називається розкладанням вектора no підпростір і.

зауваження 8.8

1. Перетин підпросторів є подпространством. Тому поняття розмірності, базису і т.п. застосовуються до перетину.

2. Сума підпросторів є подпространством. Тому поняття розмірності, базису і т.п. застосовуються до сум.

Дійсно, потрібно показати замкнутість лінійних операцій в множині. Нехай два вектора і належать сумі, тобто кожен з них розкладається по підпростору:

Знайдемо суму:. Так як, а, то. Отже, безліч замкнуто по відношенню до операції додавання. Знайдемо твір:. Так як, a, то. Отже, безліч замкнуто по відношенню до операції множення на число. Таким чином, - лінійне підпростір.

3. Операція перетину визначена на множині всіх підпросторів лінійного простору. Вона є комутативність і асоціативної. Перетин будь-якого сімейства підпросторів V є лінійним подпространством, причому дужки у виразі - можна розставляти довільно або взагалі не ставити.

4. Мінімальним лінійним подпространством , Що містить підмножина конечномерного лінійного простору, називається перетин всіх підпросторів, що містять, тобто . Якщо, то вказане перетин збігається з нульовим подпространством, оскільки воно міститься в будь-якому з підпросторів. Якщо - лінійне підпростір, то вказане перетин збігається з, оскільки міститься в кожному з пересічних підпросторів (і є одним з них:).

Мінімальна властивість лінійної оболонки: лінійна оболонка будь-якої підмножини конечномерного лінійного простору є мінімальним лінійним подпространством, що містить , Тобто .

Дійсно, позначимо . Треба довести рівність двох множин:. Так як (див. Пункт 6 зауважень 8.7), то. Доведемо включення. Довільний елемент має вигляд, де. Нехай - будь підпростір, що містить. Воно містить всі вектори і будь-яку їх лінійну комбінацію (див. Пункт 7 зауважень 8.7), зокрема, вектор. Тому вектор належить будь-якому підпросторі, який містить. Значить, належить перетинанню таких підпросторів. Таким чином, . З двох включень і треба рівність.

5. Операція складання підпросторів визначена на множині всіх підпросторів лінійного простору. Вона є комутативність і асоціативної. Тому в сумах кінцевого числа підпросторів дужки можна розставляти довільно або взагалі не ставити.

6. Можна визначити об'єднання підпросторів і як безліч векторів, кожен з яких належить простору або простору (або обом підпростір). Однак, об'єднання підпросторів в загальному випадку не є подпространством (воно буде подпространством тільки при додатковому умови або).

7. Сума підпросторів збігається з лінійною оболонкою їх об'єднання. Дійсно, включення випливає з визначення. Будь-який елемент безлічі має вигляд, тобто являє собою лінійну комбінацію двох векторів з безлічі. Доведемо протилежне включення. Будь-який елемент має вигляд , Де. Розіб'ємо цю суму на дві, відносячи до першої сумі всі складові, у яких. Решта складові складуть другу суму:

Перша сума - це деякий вектор, друга сума - це деякий вектор. Отже,. Значить,. Отримані два включення говорять про рівність розглянутих множин.

Теорема 8.4 про розмірності суми підпросторів. якщо і підпростору конечномерного лінійного простору , То розмірність суми підпросторів дорівнює сумі їх розмірностей без розмірності їх перетину (формула Грассмана ):

Справді, нехай - базис перетину. Доповнимо його впорядкованим набором векторів до базису підпростору і впорядкованим набором векторів до базису підпростору. Таке доповнення можливо по теоремі 8.2. Із зазначених трьох наборів векторів складемо впорядкований набір векторів. Покажемо, що ці вектори є утворюють простору. Дійсно, будь-який вектор цього простору представляється у вигляді лінійної комбінації векторів з упорядкованого набору

Отже,. Доведемо, що утворюють лінійно незалежні і тому вони є базисом простору. Дійсно, складемо лінійну комбінацію цих векторів і прирівняємо її нульового вектору:

Перші дві суми позначимо - це деякий вектор з, останню суму позначимо - це деякий вектор з. Рівність (8.14): означає, що вектор належить також і простору. Значить,. Розкладаючи цей вектор за базисом, знаходимо . З огляду на розкладання цього вектора в (8.14), отримуємо

Остання рівність можна розглядати, як розкладання нульового вектора по базису підпростору. Всі коефіцієнти такого розкладу нульові: і. Підставляючи в (8.14), отримуємо. Це можливо тільки в тривіальному випадку і, так як система векторів лінійно незалежна (це базис підпростору). Таким чином, рівність (8.14) виконується тільки в тривіальному випадку, коли всі коефіцієнти дорівнюють нулю одночасно. Отже, сукупність векторів лінійно незалежна, тобто є базисом простору. Підрахуємо розмірність суми підпросторів:

що і потрібно було довести.

Приклад 8.6.У просторі радіус-векторів із загальним початком в точці задані підпростору: і - три безлічі радіус-векторів, що належать пересічних в точці прямим і відповідно; і - два безлічі радіус-векторів, що належать пересічних площинах і відповідно; пряма, при належить площині, пряма належить площині, площині і перетинаються по прямій (рис. 8.2). Знайти суми і перетину кожних двох із зазначених п'яти підпросторів.

Рішення. Знайдемо суму. Складаючи два вектора, що належать і відповідно, отримуємо вектор, що належить площині. На оборот, будь-який вектор (див. Рис.8.2), що належить, можна представити у вигляді, побудувавши проекції і вектора на прямі і відповідно. Значить, будь-який радіус-вектор площини розкладається по підпростору і, тобто . Аналогічно отримуємо, що, а - безліч радіус-векторів, що належать площині, що проходить через прямі і.

Знайдемо суму. Будь-вектор простору можна розкласти по підпростору і. Справді, через кінець радіус-вектора проводимо пряму, паралельну прямій (див. Рис. 8.2), тобто будуємо проекцію вектора на площину. Потім на відкладаємо вектор так, щоб. Отже,. Так як, то. Аналогічно отримуємо, що. Решта суми знаходяться просто:. Зауважимо, що.

Використовуючи теорему 8.4, перевіримо, наприклад, рівність по розмірності. Підставляючи і в формулу Грассмана, отримуємо, що і слід було очікувати, так як.

Перетину підпросторів знаходимо по рис. 8.2, як перетин геометричних фігур:

де - нульовий радіус-вектор.

Пряма сума підпросторів. Критерії прямої суми.