Geometrijske figurice. Ubrzana piramída

Razumjeti piramídi

Poslovna vrijednost 1

Geometrijski lik, odobren bagatokutnikom i točkom, ali ne da leži blizu trga, nego da osveti bagatokutnik;

Bagatokutnik, od kojeg je piramida presavijena, naziva se baza piramide, kada se triciti uklone iz točke - bočnih rubova piramide, stranice trike su stranice piramide, a stražnje za svi triciti su poanta.

Vidi píramíd

Ugar iz brojnih koliba u podnožju piramide može se nazvati tricit, chotirikutny tanak (slika 2).

Malunok 2.

Druga vrsta piratstva je ispravno piratstvo.

Uvedeno da je donijelo moć ispravnog piratstva.

Teorem 1

Fasete ispravne piramide bez napora su tricikli s jednom nogom, kao i vi sami.

Isporučeno.

Jasno vidljivo $ n- $ povratno putovanje do vrha $ S $ $ h = SO $. Opisana blizu baze kolona (slika 4).

Malunok 4.

Tricikl $ SOA $ je jasno vidljiv. Prema Pitagorinom teoremu,

Očito, dobra je ideja imati rebro. Otzhe, svi osnovni bridovi su jednaki sebi, tako da su svi osnovni bridovi tricikl tricikl... Donio ti, kako je smrad u meni. Oskilki je osnova ispravan bagatokutnik, zatim osnova svih narodnih rubova istih. Otzhe, svi bichní rubovi ceste za III poznati ívnosti trikutnikív.

Teorem je dovršen.

Sada je uvedena i vrijednost koja je povezana s razumijevanjem ispravnog piratstva.

Poslovna vrijednost 3

Apotem pravog piratstva naziva se visina biches of the world.

Očito, iza teorema, sva apotema istoga je istinita.

Teorem 2

Površina bičeske površine je ispravna po prvi put za početak kao i na perimetru baze apotema.

Isporučeno.

Neka je strana osnove $ n- $ označena s $ a $, a apotem s $ d $. Otzhe, područje bične granice ceste

Dakle, kako su, prema Teoremu 1, sve bične strane jednake, onda

Teorem je dovršen.

Druga vrsta piratstva je pojačano piratstvo.

Poslovna vrijednost 4

Čim se kroz zvychaynu pirema nacrtati kvadrat paralelan s í̈s bazom, a zatim stajati, uspostavljen između cijelog područja i područja baze, naziva se skraćeno piratstvo (slika 5).

Malyunok 5. Piratstvo je povećano

Bočne strane krnjeg trapeza.

Teorem 3

Područje bičeske površine ispravnog stadija razvoja počinje čim je sumi spreman za apotemu.

Isporučeno.

Stranice korijena $ n- $ označene su s $ a \ í \ b $, a apotema s $ d $. Otzhe, područje bične granice ceste

Oskílki sve bíchní strane i rívní, dakle

Teorem je dovršen.

Zavdannya stražnjica

zadnjica 1

Znati površinu bičeske površine povećane škakljive piramide, kao da je nacrtana s desne strane baze 4 i apotema 5 putem puta preko područja, tako da prolazi kroz sredinu linija bichy lica.

Odluka.

Prema teoremu o srednjoj liniji, možemo reći da je gornja baza povećanog prometa $ 4 \ cdot \ frac (1) (2) = 2 $, a apotema $ 5 \ cdot \ frac (1) (2) = 2,5 $.

Todi, prema teoremu 3,

Zavdannya

Odluka.

U podnožju pirida je ravno rezan trikutnik. Središte kolca opisano na oko pravokutni tricikl lezi na yogo hipotenuzi. Približno, AB = 10 cm, AO = 5 cm.

Oscilacije visine ON = 12 cm, zatim veličine rebara AN i NB
AN 2 = AO 2 + ON 2
AN 2 = 5 2 + 12 2
AN = √169
AN = 13

Oskílki vidimo vrijednost AO = OB = 5 cm í vrijednost jedne od nogu baze (8 cm), zatim visinu, spuštenu na hipotenuzu, dorívnuvatime
CB 2 = CO 2 + OB 2
64 = CO2 + 25
CO2 = 39
CO = √39

Očigledno, veličina CN ruba miruje
CN 2 = CO 2 + NO 2
CN 2 = 39 + 144
CN = √183

Pogled: 13, 13 , √183

Zavdannya

Odluka.
Znamo za formulu:
V = 1/3 Sh

Površina osnove poznata je po formuli za površinu pravokutnog tricikla:
S = ab / 2 = 8 * 6/2 = 24
zvijezde
V = 1/3 * 24 * 10 = 80 cm 3.

Píramídoyu nazvati bagathedron, jedno od lica bagatokutnika ( temelj ), a svi rubovi su triciti od gornjeg vrha ( mnoga lica ) (slika 15). Piramida da se zove ispravan kao osnova ê ispravan bagatokutnik í vrh piratskog projekta do središta osnove (slika 16). Trikutna piramida, na kojoj se nazivaju sva rebra ryvnya tetraedrom .

Bočno rebro píramídi se nazvati stranom bichesky strane, ali ne postavljati temelje Visotoyu zove se od vrha prema području baze. Jaka rebra su pravilna u sredini, sva rebra su u rebrima. Visina bičeske strane ispravne piramide, povučene od vrha, naziva se apothemoy . Dijagonalno ponavljanje da se zove pereríz píramídi područje, ali prolaze kroz dva bíchní rebra, tako da se ne preklapaju jedan rub.

Ravna bicho površina piramídi se naziva zbroj površina bičnih faseta. Ravna površina nazvati zbroj površina oba bichnyh rubova i podnesaka.

Teoremi

1. Ako su sva rebra ravna u podnožju, tada se vrh baze projicira na središte kočića opisane baze.

2. Ako u sredini svih rebara više nema rubova, tada se vrh pozornice projicira na središte udjela opisane baze.

3. Ako je u sredini svih rubova kvadrata do površine baze, tada se vrh pozornice projicira u središte kolca upisanog u bazu.

Za izračun novčanog iznosa vrijedi sljedeća formula:

de V- obsyag;

S glavni- temeljna površina;

H- Visota píramídi.

Za ispravne formule:

de str- perimetar baze;

h a- Apotema;

H- Visota;

S re

S bik

S glavni- temeljna površina;

V- About'êm ispravan píramídi.

Po naviknutoj piramidi naziva se dio piramide, položen između baze iste površine, paralelno s bazom piramide (slika 17). Ispravno skraćivanje nazivati ​​dijelom ispravne piramide, položenom između baze iste površine, paralelno s bazom piramide.

Pidstavi zr_zanoy piramidi - podbn_ bagatokutniki. Bichni lica - Trapezija. Visotoyu pojačano piratstvo nazvati osnovama. Dijagonalno povećano piratstvo se naziva kao rezultat toga što je na vrhu, ali ne i lagati u isto lice. Dijagonalno ponavljanje nazvati pereríz povećanog područja piramídi, ali prolaze kroz dva bichní rebra, ali se ne preklapaju s jednim rubom.

Za bolje razumijevanje vrijede sljedeće formule:

(4)

de S 1 , S 2 - područja gornje i donje baze;

S re- Površina površine;

S bik- Područje bične površine;

H- Visota;

V- O `` zrízanoy píramídi.

Za ispravno pojačanje piratstva, formula je:

de str 1 , str 2 - perimetar baza;

h a- Apotema ispravnog skraćenog piratstva.

dionica 1. Na ispravnoj trokutastoj piramidi dvostrani kut kada se vrata isporučuju 60 º. Znati tangentu kute na petu bočnog rebra na područje baze.

Odluka. Zrobimo crtež (sl. 18).

Piramida je točna, međutim, temelji se na jednakostraničnom triciklu i svim zajedničkim stranicama jednakostraničnog tricikla. Dvostrani kut u podnožju - tse kut nakhilu bichoi ruba piratstva do područja baze. Linearni kut bit će kut a mízh s dvije okomice: i. Vrh projekta píramídi je u središtu tricikla (središte opisanog kolca i upisani kolac u triciklu ABC). Kut nahilu bočno rebro (npr SB) - tse kut između samog ruba i projekcije na površinu baze. Za rebro SB cim kutom bude kut SBD... Poznavanje tangente potrebno je za plemenitost kateta TAKOі OB... Nekhay dovzhina vidrizka BD vrata 3 a... Krapkoyu Oko vidrizok BD podijeljen na dijelove: TAKO: Poznato je:

Pogled:

dionica 2. Da biste znali o ispravnom razvoju chotirikutnoy piramide, kao i dijagonalne osnove, visina je cm i cm, a visina 4 cm.

Odluka. Za spoznaju rasta stope rasta brzina je visoka po formuli (4). Da biste poznavali područja osnova, morate poznavati stranice kvadrata, kao i dijagonalu. Dostavljene strane su jednake 2 cm i 8 cm, što znači da su dostavljene površine i dostavljeni svi podaci u formulu, izračunati kao rezultat izračuna:

Pogled: 112 cm 3.

dionica 3. Znati površinu bikonline fasete ispravne tricitne pojačane piramide čije su stranice temelja 10 cm x 4 cm, a visina piratstva 2 cm.

Odluka. Zrobimo crtež (sl. 19).

Bichna granica crkve gusarske ê u ravnostranom trapezu. Za nabrajanje površine trapeza potrebna je plemenitost baze. Neka se da za um, da se izgubi zbog nečuvenog oduzimanja moći. Znamo od de A 1 E okomito na točku A 1 za područje donje baze, A 1 D- Okomita z A 1 na KAO. A 1 E= 2 dive, krhotine cijene píramídi. Za znakhodzhennya DE Zrobimo dodatkovo mališane, pogled odozgo se jasno vidi (sl. 20). Speck Oko- projekcija središta gornje i donje baze. ulomci (div. sl. 20) sa strane u redu- radijus upisan u kolac OM- Radijus upisan u broj:

MK = DE.

Iza Pyfagorovog teorema

Područje bichnoy lica:

Pogled:

dionica 4. U podnožju pirimide leži rivnobok trapez, čija je osnova aі b (a> b). Koža bichna ruba je izrađena s površinom baze j... Upoznajte područje nove površine piratstva.

Odluka. Zrobimo crtež (sl. 21). Površina cijele površine piramide SABCD dorivnyu sumy područje i trapezia područje ABCD.

Skoristaêmosya na firmu, gdje je rub ruba jednak površini baze, tada je vrh dizajniran u središtu upisane baze kruga. Speck Oko- Projekcija vrha S na temelju píramídi. Trikutnik TRAVNJAKê ortogonalna projekcija tricikla CSD na području baze. Za teorem o površini ortogonalne projekcije ravne figure možemo napraviti:

Slično í znači S takvim rangom, zavdannya je odzvonila do poznatog područja trapeza. ABCD... Zamislite trapez ABCD okremo (sl. 22). Speck Oko- Središte upisano u trapez kolca.

Dakle, kako je u trapezij moguće unijeti broj, onda, prema Pifagorinom teoremu,

Bagatogranik, kod kojeg je jedna strana bagatokutnik, a sva druga lica trikutnici s vanjskog vrha, zove se piruda.

Zovu se citrični tricikli, od kojih su neko vrijeme presavijeni bichi rubovi, i bagatokutnik, scho izgubivši - osnovu píramídi.

Osnova paramide je geometrijski lik - n-kutnik. Za takvo vrijeme zovu n-vugilni.

Trikutnu píramída, sva rebra poput ryvní, zovem tetraedar.

Rebra piramídi, koja ne leže do baze, nazivaju se bichnimi, i njih pozadinska točka- tse vrh píramídi. Ínshí rebra píramídi poziv strane zaspati.

Zovem Piramidu ispravan, kao u njenoj osnovi je položiti ispravan bagatokutnik, a sva rebra su jednaka sebi.

Idite od vrha piratstva do područja baze koju želite pozvati zviždi píramídi. Moguće je reći da se visina pirida ê edrizok, okomita na bazu, nalazi na vrhu pirudina i na površini baze.

Za sljedeće formule:

1) S pov = S bik + S glavni, de

S povny - površina površine piramide;

S bik - površina bične površine, tobto. zbroj površina zajedničkih bridova piramide;

S glavni - područje baze piramídi.

2) V = 1/3 S osnovni N, de

V - obsyag píramidi;

H je visina piratstva.

Za pravo maê mísce:

S bik = 1/2 P glavni h, de

P glavni - perimetar baze piramide;

h - dovzhina apofemi, tobto dovzina visine bichesky strane, spuštena s vrha piratstva.

Dio piramídi, položen između dva kvadrata - ravne osnove i malog kvadrata, povučen paralelno s bazom, naziva se povećano piratstvo.

Osnova piratstva i transformacije paralelnog područja tzv pod, ispod povećano piratstvo. Ínshí fasete ime bichnimi... Pojavljuju se između područja baza se nazivaju zviždi povećano piratstvo. Rebra, koja se ne uklapaju, nazivaju se bichnimi.

Osim toga, osnova je povećana piratstva podbní n-kutniki... Ako je osnova zdravog piratstva ispravni bagatokutniki, a sva se rebra međusobno razlikuju, onda je ovo ime ispravan.

Za najnaprednije piratstvo Mogu se naći sljedeće formule:

1) S crveno = S bik + S 1 + S 2, de

S povny - površina površine;

S bik - površina bične površine, tobto. zbroj površina biches of bichy lica povećane piratstva, kao što je trapez;

S 1, S 2 - osnovne površine;

2) V = 1/3 (S 1 + S 2 + √ (S 1 S 2)) H, de

V - obsyag povećanog piratstva;

H - visina pojačane piramide.

Za ispraviti i ojačati piratstvo također maêmo:

S bik = 1/2 (P 1 + P 2) h, de

P 1, P 2 - perimetar baza;

h - apotema (visina bichi fasete, scho ê trapez).

Lako je vidjeti sliku zgrade za produženo vrijeme.

Zavdannya 1.

Pri povećanju visine u tri točke, koje iznosi 10, stranice iste baze nalaze se na 27, 29 i 52. Prije svega, volumen povećanja okvira, koji je obod osnove od cesta 72.

Odluka.

Proširivo na ABCA 1 B 1 C 1, na slici beba 1.

1. Osyag zdravog piratstva može dobiti znanje iza formule

V = 1/3H

S = √ (p (p - a) (p - b) (p - c)),

od problemu su date tri strane trikutnika.

Mahmo: p 1 = (27 + 29 + 52) / 2 = 54.

S 1 = √ (54 (54 - 27) (54 - 29) (54 - 52)) = √ (54 27 25 2) = 270.

2. Píramída je ojačana, a sada u temeljima postoje bagatokutniki. Naš vipad ima tricikl ABC do tricikla A 1 B 1 C 1. Osim toga, izvedba funkcije može biti poznata kao izvedba perimetra tricikla, što se može promatrati, a izvedba ovih područja bit će slična kvadratu izvedbe. U ovom rangu, maêmo:

S 1 / S 2 = (P 1) 2 / (P 2) 2 = 108 2/72 2 = 9/4. Zvijezde S 2 = 4S 1/9 = 4 270/9 = 120.

Također, V = 1/3 10 (270 + 120 + √ (270 120)) = 1900.

Pogled: 1900.

Zavdanja 2.

Na trikuspidnoj kralježnici, kroz rub gornje baze, povlači se područje paralelno s protoležnim rubom. U svakom pojedinom pitanju postoji promjena u razvoju zdravog stanja, kao i s obje strane i prije nego što se prihvati u omjeru 1:2?

Odluka.

Prikazuje ABCA 1 B 1 Z 1 - povećano piratstvo, na slici Mali. 2.

Dakle, kao u bazama bočne strane, uvodi se jak 1: 2, zatim se površine baza uvode u jak 1: 4 (trocikl ABC je proširen na tricikl A 1 B 1 C 1).

Todi obsyag usshenoi piramidi dorivnyu:

V = 1 / 3 h (S 1 + S 2 + √ (S 1 S 2)) = 1 / 3 h (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 h S 2, de S 2 - Površina gornja baza, h - Visota.

Ale obsyag nagrade ADEA 1 B 1 C 1 postaju V 1 = S 2 h í, off,

V 2 = V - V 1 = 7/3 h S 2 - h S 2 = 4/3 h S 2.

Isto, V2: V1 = 3:4.

Pogled: 3:4.

Zavdanja 3.

Stranice temelja ispravne chotirikutnoy pojačane piramide su 2 i 1, a visina je 3. Kroz točku presjeka dijagonala piramide, paralelno s osnovama piramide, povučen je kvadrat koji produžuje piramidu u dva dijela. Upoznajte njegu kože za njih.

Odluka.

Proširivi zaslon ABCDA 1 B 1 Z 1 D 1, prikazan na Mali. 3.

Što znači, O 1 O 2 = x, toodi OO₂ = O 1 O - O 1 O 2 = 3 - x.

Tricikl B 1 Pro 2 D 1 í Tricikl BO 2 D:

rez B 1 Pro 2 D 1 cestovni rez 2 D jak vertikalni;

izrez BDO 2 vrata-usjek D 1 B 1 O 2 i rez O 2 BD cestovni usjek B 1 D 1 O 2 jaka poprečno leže na B 1 D 1 || BD i neki B₁D i BD₁ su prikladni.

Otzhe, tricikl B 1 Pro 2 D 1 do tricikl VO 2 D í maê mísce vídnoshennya strana:

B1D 1 / BD = O 1 O 2 / OO 2 ili 1/2 = x / (x - 3), zvijezde x = 1.

Lako čitljiv tricikl B 1 D 1 i tricikl LO 2 B: rez B - zagalny, kao i ê par jednostranih rezova na B 1 D 1 || LM, otzhe, tricikl B 1 D 1 U podibny na tricikl LO 2 B, zvijezde B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, tobto.

LO 2 = 2/3 B 1 D 1, LN = 4/3 B 1 D 1.

Todi S KLMN = 16/9 S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Iz istog je V 1 = 1/3 2 (4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 1 (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Pogled: 152/27; 37/27.

stranica, s velikom količinom privatnog kopiranja materijala posilannya na pershoderelo obov'yazkov.

í sa zajedničkim prostorom, yaka je paralelna s njenom bazom.

Drugim riječima: povećano vrijeme- tse tachy bogata strana, poput izjava píramída i íí̈ peretin, paralelno s bazom.

Peretin, koji je, paralelno, baza piratstva podijeljena na 2 dijela. Chastin píramídi mízh í̈í̈ na temelju toga peretin - tse povećano vrijeme.

Tsei pererez za povećanu gozbu da postane jedan od početka gozbe.

Uvesti osnove povećanog piratstva ê visinom povećanog piratstva.

Ubrzani píramída bude ispravan ako je pirama, iz koje je boolean obrubljen, vjerojatno je točan.

Visina trapeza bichesa ispravna apothemoy ispraviti i ojačati piratstvo.

Snaga povećane snage.

1. Koža je bichna lice ispravne transformirane piramide u jednakostranim trapezima iste veličine.

2. Osigurajte mladima mali bagatokootniki.

3. Bichni rebra ispravne stope rasta jednaki su istoj vrijednosti i jednom dizanju u odnosu na osnovu piratstva.

4. Bichni aspekti povećanog piratstva trapezijama.

5. Dvostrani kuti s bichy rebrima pravilne, zdrave veličine.

6. Vínoshennya područje baza: S 2 / S 1 = k 2.

Formule za povećanje piratstva.

Za dobar provod:

Oko 1/3 količine prometa h (OS) za zbroj površine gornje baze S 1 (a B C D E), donja baza pojačane piramide S 2 (A B C D E) taj prosječni proporcionalni među njima.

O piramidi:

de S 1, S 2- površine za prodaju,

h- Visota živahnog piratstva.

Bichnoy površina dorívnyu sumy područja bichi aspekta povećanog piramídi.

Za ispravno pojačanje piramide:

Ispravna vizija piramide- patuljasti, što je iskaz ispravne piramide i njen peretin, koji je paralelan s bazom.

Je li površina bicheskye površine ispravna? Dobutku sumi perimetar í̈ baze í apothemi.

de S 1, S 2- površine za prodaju,

φ - Dvostrani kut bilya od osnove piramide.

CH je visina povećanog piratstva, P 1і P 2- perimetri temelja, S 1і S 2- maidans pídstav, S bik- ravna bichesky površina, S re- Ravna površina:

Peretin píramídi područje, paralelno s bazom.

Peretin duž područja, kao paralelno s íí̈ pídstaví (okomita visina) pod-polaže visinu i bíchní rebra píramídi na proporcionalne duljine.

Peretin s kvadratom, poput paralelnog s bazom (okomit na bazu) - bagatokutnik, koji je podijeljen na bazu

Područja pererezíva, paralelna s bazom piramide, nose se kao kvadrati vrhova piramide.