trigonometrikus forma összetett szám
terv
1. Komplex számok geometriai ábrázolása.
2. Komplex számok trigonometrikus jelölése.
3. Művelet komplex számokra trigonometrikus formában.
Komplex számok geometriai ábrázolása.
a) A komplex számokat a sík pontjai ábrázolják a következő szabály szerint: a + kettős = M ( a ; b ) (1. ábra).
Malyunok 1
b) Egy komplex szám ábrázolható vektorral, amely egy pontban lehet fülPro és ebben a pontban ér véget (2. ábra).
csajok 2
7. példa: Keressen pontokat, amelyek komplex számokat képviselnek:1; - én ; - 1 + én ; 2 – 3 én (3. ábra).
csajok 3
Komplex számok trigonometrikus jelölése.
összetett számz = a + kettős kérhet segítséget sugar - vektor koordinátákkal( a ; b ) (4. ábra).
csajok 4
időpont egyeztetés . dozhina vektor , amely egy komplex számot jelölz , Ezt a szám modulusának nevezik, és hozzá van rendelve vagyr .
Bármilyen komplex számraz jóga modulr = | z | egyértelműen kiemelkedik a képletből .
időpont egyeztetés . A kuta értéke a pozitív közvetlen közvetlen tengely és a vektor között , amely egy komplex számot jelöl, az adott komplex szám argumentumának nevezzük, és hozzá van rendelveDE rg z vagyφ .
Komplex szám argumentumz = 0 nincs időpont. Komplex szám argumentumz≠ 0 - az érték gazdagon szignifikáns, és a végső pontossággal kerül meghatározásra2πk (K = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , dearg z - az argumentum smut értéke, tedd a szóközbe(-π; π] , azután-π < arg z ≤ π (Más szóval, az argumentum fejértékeként vegye azt az értéket, amelynek lennie kell .
Qiu formula atr =1 gyakran De Moivre képletének nevezik:
(Cos φ + i sin φ) n = Cos (nφ) + i sin (nφ), n N .
11. példa Számítsa ki(1 + én ) 100 .
Írjunk fel egy komplex számot1 + én trigonometrikus formában.
a = 1, b = 1 .
cos φ = , Sin φ = , φ = .
(1+i) 100 = [ (kötözősaláta + vétkezem )] 100 = ( ) 100 (kötözősaláta 100+ i bűn 100) = = 2 50 (Cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (Cos π + i sin π) = - 2 50 .
4) Vityag négyzetgyök komplex számból.
A komplex szám négyzetgyökének megtanulásának órájaa + kettős két ingadozás van:
yakschob
> kb
, azután 
;
Дії algebrai formában írt komplex számok felett
A z = komplex szám algebrai alakja(a,b).
z = a + kettős.
Aritmetikai műveletek komplex számokkal z 1 = a 1 +b 1 énі z 2 = a 2 +b 2 én, Algebrai formában rögzített, zdіysnyuyutsya ilyen rangot.
1. Komplex számok összege (költsége).
z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙ i,
tehát az összeadás (összeadás) az adott hasonló tagokhoz polinomok összeadásának szabálya alá tartozik.
2. Tvіr komplex számok
z 1 z 2 = (a 1 ∙ a 2 -b 1 b 2) + (a 1 b 2 +a 2 b 1)∙ i,
hogy a szorzás a polinomok univerzális szorzási szabálya szerint történjen, annak biztosítása érdekében én 2 = 1.
3. Rozpodіl két komplex számot zdіysnyuєtsya követve az előrehaladási szabályt:
, (z 2 ≠ 0),
úgy, hogy az osztó osztását megszorozzuk az osztó számmal.
A komplex számok mértékének csökkentését támadó rang jellemzi:
Ezt könnyű megmutatni
alkalmaz.
1. Ismerje meg a komplex számok összegét z 1 = 2 – énі z 2 = – 4 + 3én.
z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙ i)+ (–4 + 3én) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) én = –2+2én.
2. Ismerje meg a komplex számok számát z 1 = 2 – 3énі z 2 = –4 + 5én.
= (2 – 3én) ∙ (–4 + 5én) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3én)+ 2∙5én– 3én ∙ 5i = 7+22én.
3. Ismerje meg privátban z dátum szerint z 1 = 3 - 2 be z 2 = 3 – én.
z= .
4. Virishiti egyenlő:, xі y Î R.
(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3én.
A komplex számok egyenlősége miatt lehetséges:
csillagok x=–1 , y= 4.
5. Számolja ki: én 2 ,én 3 ,én 4 ,én 5 ,én 6 ,én -1 , i -2 .
6. Számolj, yakscho.
.
7. Számítsa ki a visszatérési számot z=3-én.
Komplex számok trigonometrikus formában
összetett terület a síkot derékszögű koordinátákkal ( x, y), ami egy bőrpont koordinátákkal ( a, b) Komplex számmal ellátva z = a + bi. Amikor minden abszcisszát hívunk deisnoy vіssyu, És minden ordináta - nyilvánvaló. Ugyanaz a bőr komplex szám a+bi geometriailag pontként ábrázolva a síkon A (a, b) Abo vektor.
Otze, a pont helyzete DE(І, otzhe, komplex szám z) Beállíthatja a | vektor hosszát | = r i kutom j, Utvorim vektor | | pozitív közvetlen cselekvési tengellyel. A vektor völgyét ún komplex szám modulusa jelzem | z | = r, A kut j hívott komplex szám argumentumés jelezze j = argz.
Egyértelmű, hogy | z| ³ 0 і | z | = 0 Û z= 0.
3 ábra. 2 mutatja, mit.
Egy komplex szám argumentuma kétértelmű, de pontosan 2-ig pk, kÎ Z.
3 ábra. 2 az is világos, hogy az z = a + biі j = argz, azután
kötözősaláta j =, bűn j =, tg j=.
yakscho zОRі z> 0, akkor argz = 0 +2pk;
yakscho z ОRі z< 0, akkor argz = p + 2pk;
yakscho z= 0,argz nincs időpont.
Az argumentum fejértéke a 0 értékhez van rendelve £argz 2 GBP p,
vagy -o£ arg z £ p.
alkalmaz:
1. Ismerje meg a komplex számok modulusát z 1 = 4 – 3énі z 2 = –2–2én.
2. Jelentősége a régió összetett területén, amit az elmék kérdeznek:
1) | z | = 5; 2) | z| 6 GBP; 3) | z – (2+én) | 3 GBP; 4) £6 | z – én| 7 GBP.
Megoldások és javaslatok:
1) | z| = 5 Û Û - a tét igazítása 5 і sugárral a középponttól a koordináták csutkájához.
2) Colo 6-os sugarú, középpontjában a koordináták csutkája.
3) Colo 3-as sugarú középponttal a pontban z0 = 2 + én.
4) Kilce, 6-os és 7-es sugarú karókkal körülvéve, középponttal a pontban z 0 = én.
3. Keresse meg a számok modulját és argumentumát: 1); 2).
1) ; de = 1, b = Þ 
,
Þ j 1 = 
.
2) z 2 = –2 – 2én; a =–2, b=-2 Þ 
,
.
Vkazіvka: a hozzárendelt fej argumentumával gyorsítsa fel az összetett síkot.
Ebben az értelemben: z 1 = .
2) 
, r 2 =
1, j2 =, 
.
3) 
, r 3 = 1, j 3 =, 
.
4) , r 4 = 1, j 4 =, 
.
KOMPLEX SZÁMOK XI
256. § Komplex számok trigonometrikus alakja
Legyen komplex szám a + bi vіdpovіdaє vektor OA> 3 koordináta ( a, b ) (Oszt. 332. ábra).
Jelentősen a vektor hossza szempontjából r , És kut, milyen bor készít téged x , keresztben φ . A szinusz és a koszinusz alkalmazásában:
a / r = cos φ , b / r = bűn φ .
Tom de = r kötözősaláta φ , b = r bűn φ . Az Ale ilyen módon egy komplex szám a + bi a látványnál írhatod:
a + bi = r kötözősaláta φ + ir bűn φ = r (kötözősaláta φ + én bűn φ ).
Mint látszik, a második vektor négyzete egyenlő a koordinátáinak négyzetösszegével. Tom r 2 = a 2 + b 2, csillagok r = √a 2 + b 2
Otzhe, komplex szám legyen a + bi el tudod képzelni :
a + bi = r (kötözősaláta φ + én bűn φ ), (1)
de r = √a 2 + b 2 és kut φ kitűnjön az elméből:
A komplex számok írásának ezt a formáját ún trigonometrikus.
szám r (1) képletet nevezzük modult, A kut φ - érv, összetett szám a + bi .
Mi az a komplex szám a + bi nem egyenlő nullával, akkor a jóga modulusa pozitív; jól a + bi = 0, akkor a = b = 0, majd r = 0.
Bármely komplex szám modulusa egyértelműen hozzá van rendelve.
Mi az a komplex szám a + bi nem éri el a nullát, akkor a yogo argumentumot a (2) képletek határozzák meg egyértelműen kuta pontos, 2 többszöröse π . Jakscso a + bi = 0, akkor a = b = 0. r = 0. Az (1) képletből könnyen megérthető, hogy mi van az argumentumban φ ebben a vipadkában vibrati lehet be-yaki kut: adzhe be-yak-kal φ
0 (cos φ + én bűn φ ) = 0.
Ezért a nulla argumentum nem érvényes.
Komplex számmodulus r inodi jelent | z |, és az arg z . Nézzünk néhány példát a trigonometrikus formájú komplex számokra.
Csikk. egy. 1 + én .
ismeri a modult r érvelek φ melyik szám.
r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .
Atyám, bűn φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, csillagok φ = π / 4 + 2nπ .
ilyen módon,
1 + én = √ 2 ,
de P - legyen egész szám. Válasszon a végtelen számú érték közül egy komplex szám argumentumához, válassza ki azokat, amelyek 0 és 2 közé illeszkednek π . Ebben a vipadban ilyen értékek vannak π / 4. Tom
1 + én = √ 2 (cos π / 4 + én bűn π / 4)
2. példaÍrjon trigonometrikus formában egy komplex számot! √ 3 - én . talán:
r = √ 3 + 1 = 2 cos φ = √ 3/2, sin φ = - 1 / 2
Ez kuta pontos, 2 többszöröse π , φ = 11 / 6 π ; otzhe,
√ 3 - én = 2 (cos 11/6 π + én bűn 11/6 π ).
fenék 3Írjon trigonometrikus formában egy komplex számot! én.
összetett szám én vіdpovіdaє vektor OA>, amely az A pont tengelyénél végződik nál nél az 1. ordinátával (333. ábra). Egy ilyen vektor hossza jó 1, és kut, milyen vin jön létre a v_syu abszcisszából, jó π / 2. Tom
én = cos π / 2 + én bűn π / 2 .
4. példaÍrd fel trigonometrikus alakban a 3-as komplex számot!
A 3-as komplex számnak van vektora OA > x abszcissza 3 (334. ábra).
Egy ilyen vektor hossza 3, a kut pedig, amely az abszcisszát hozza létre, 0.
3 = 3 (cos 0 + én bűn 0),
5. példaÍrd trigonometrikus formában a -5 komplex számot!
Komplex, -5 számú vodpovidaє vektor OA> amely a tengely pontjában végződik x az abszcisszával -5 (335. ábra). Egy ilyen vektor hossza jó 5, és kut, milyen vin jön létre az abszcisszából, jó π . Tom
5 = 5 (cos π + én bűn π ).
jobb
2047. Adott komplex számok trigonometrikus formában, moduljaik és argumentumaik jelölésével:
1) 2 + 2√3 én , 4) 12én - 5; 7).3én ;
2) √3 + én ; 5) 25; 8) -2én ;
3) 6 - 6én ; 6) - 4; 9) 3én - 4.
2049
1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;
2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;
3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,
10) 0 < φ < π / 2 .
2049 r і - r ?
2050. Chi lehet egy komplex szám argumentuma egy óra buti kuti φ і - φ ?
Az adott komplex számokat trigonometrikus formában fejezzük ki, jelölve azok moduljait és argumentumait:
2051 *. 1 + cos α + én bűn α . 2054 *. 2 (cos 20° - én sin 20°).
2052 *. bűn φ + én kötözősaláta φ . 2055*. 3 (-cos 15°- én sin 15°).
Nézzünk meg egy végtelen (algebrai) formában megadott komplex számot:
A 3. ábra egy komplex számot mutat z. A koordinátaszám a derékszögű koordinátarendszerben ( a, b). A bűn és a cos funkciójából, bármi legyen is a kuta, a következő:
A nevezési lap ún trigonometrikus komplex szám jelölése.
A (2) egyenlet négyzetesen és hajtva:
 .
|
 | (4) |
r-dovzhina sugár-vektor egy komplex szám z komplex szám modulusának nevezzük, és |-vel jelöljük z|. nyilván | z| ≥0 és | z| = 0 akkor is, ha csak z=0.
A pont poláris metszetének értéke megfelel a komplex számnak z, tobto kuta φ , melyik szám argumentuma és hozzá van rendelve argz. Ezt tiszteletben tartjuk argz több értelme kevesebb at z≠ 0. A 0 komplex szám argumentuma nem értelmes.
A komplex szám argumentuma kétértelmű. yakscho φ akkor egy komplex szám argumentuma φ +2pk, k= 0,1, ... szintén egy komplex szám argumentuma, tehát cos ( φ +2pk) = Cos φ , Bűn ( φ +2pk) = Bűn φ .
Komplex szám redukálása algebrai formáról trigonometrikusra
Legyen a komplex szám algebrai formában ábrázolva: z=a+bi. Mutasd meg a számot trigonometrikus formában! A komplex szám modulusát kiszámítjuk: 
. felsorolható érv φ
komplex szám s viraziv 
vagy. A kivont értéket beszúrjuk egyenlőbe (3).
Példa 1. Mutasson fel egy komplex számot z= 1 trigonometrikus formában.
Megoldás. összetett szám z= 1 a következőképpen ábrázolható: z=1+0én 
φ
= 1/1. Május a csillagok φ
= 0. A modul értékét és a (3) argumentumát behelyettesítve a következőt vesszük: z= 1 (cos0 + én sin0).
Vidpovid. z= 1 (cos0 + én sin0).
2. példa: Mutasson fel egy komplex számot z = i trigonometrikus formában.
Megoldás. összetett szám z = iígy tudod megmutatni: z=0+1én. Kiszámoljuk a szám modulusát: 
. Számítsuk ki a th szám argumentumát: cos φ
= 0/1. Május a csillagok φ
=π
/ 2. A modul értékét és az argumentumot behelyettesítve a (3)-ban, a következőt vesszük: 
.
Vidpovid. .
Példa 3. Mutasson fel egy komplex számot z=4+3én trigonometrikus formában.
Megoldás. Kiszámoljuk a szám modulusát: 
. Számítsuk ki a th szám argumentumát: cos φ
= 4/5. Május a csillagok φ
= Arccos(4/5). A modul értékét és az argumentumot behelyettesítve a (3)-ban, a következőket vesszük:
Vidpovid. , de φ = Arccos(4/5).
Komplex számok szorzása trigonometrikus jelöléssel
z 1 =r 1 (cos φ 1 +én bűn φ 1) i z 2 =r 2 (cos φ 2 +én bűn φ 2). A qi számok szorzása:
tobto modul komplex számokat hoz létre.
Vidpovid. 
.
Rozpodіl komplex számok trigonometrikus jelöléssel
Adja meg a komplex számok feladatát! z 1 =r 1 (cos φ 1 +én bűn φ 1) i z 2 =r 2 (cos φ 2 +én bűn φ 2) és menjünk z 2 ≠ 0, akkor r 2 ≠ 0. megszámlálható z 1 /z 2:
Vidpovid. 
.
A szorzás és a távolság geometriai érzékelése
A 4. ábrán látható kis kép a komplex számok szorzását mutatja z 1 i z 2. Z (6) és (7) ordibálás, mit csinálsz, hogy jobb legyen z 1 z 2, szükség van a pont vektor sugarára z 1 fordulat anti-Godinnikov nyilak a vágáson φ 2 és nyújtsd be | z 2 | alkalommal (0z 2-nél |
 |
Nézzük, most megoldottuk a komplex számot z 1 z 2 on z 1 (4. ábra). A (8) képletből azt látjuk, hogy a következő szám modulusa egyenlő a szám modulusában lévő részecskékkel z 1 z 2 modulszámonként z 1, és az argumentum régebbi: φ 2 =φ −φ 1. Ennek eredményeként vonjon ki egy számot z 2 .
3.1. poláris koordináták
Gyakran zastosovuetsya a lakásban poláris koordináta-rendszer . Vaughn hozzá van rendelve, mivel az O pont adott, ahogy nevezik pólus, kimegyek a sarkokból promin (nekünk minden Ox) - polaritás. Az M pont helyzetét két szám rögzíti: sugár (vagy sugár-vektor), és vágja φ-t a poláris vektor közé. Kut φ-t nevezzük poláris kutom; vimiryuєtsya radiánban és vіdrakhovuєtsya az évellenes nyíl sarki tengelyében.
A pont helyzetét a polárkoordináta-rendszerben egy rendezett számpár (r; φ) adja meg. Az oszlopon r = 0és φ nincs definiálva. Az összes többi pontra r > 0és φ pontosan 2π további többszöröséig van hozzárendelve. Minden (r; φ) i (r 1; φ 1) számpárra egy és ugyanaz a pont van beállítva, yakscho.
Téglalap alakú koordinátarendszerhez xOy Derékszögű koordináták a pontok könnyen elforgathatók її poláris koordinátán keresztül haladó sorrendben:
3.2. Komplex szám geometriai értelmezése
Vessünk egy pillantást a derékszögű derékszögű koordinátarendszerre xOy.
Bármely z = (a, b) komplex számhoz hozzá kell rendelni a sík egy pontját koordinátákkal ( x, y), De az x = a koordináta, azaz a komplex szám valós része, az y = bi koordináta pedig az explicit része.
A terület, ahol a pontok összetett számok, egy összetett terület.
Kis komplex számon z = (a, b) pont M (x, y).
Menedzser.Mutasd tovább Koordináta sík komplex számok:
3.3. Komplex szám trigonometrikus alakja
A síkon lévő komplex szám koordinálhatja a pontokat M(x; y). Kivel:
Komplex szám felírása 
- komplex szám trigonometrikus alakja.
Az r számot hívják modult
összetett szám z jelzem. Modul – ismeretlen érvényes szám. számára 
.
A modul egyenlő nullával páros és csak akkor, ha z = 0, akkor a = b = 0.
A φ számot hívják érv z és jelezze. A z argumentum kétértelműen van hozzárendelve, mivel i a poláris koordináta a poláris koordinátarendszerben, és a legpontosabban 2π többszöröséig.
Ekkor elfogadjuk:, de φ - az argumentum legkisebb értéke. Nyilván mit
.
Nagyobb elmélyítés esetén további φ * argumentumot vezetnek be, úgy, hogy
fenék 1. Keresse meg egy komplex szám trigonometrikus alakját!
Megoldás. 1) Fontos modul:;
2) viccesen φ: 
;
3) trigonometrikus forma: 
2. példa Ismerje meg a komplex számok algebrai alakját 
.
Itt az érték hozzáadásához trigonometrikus függvényekés formálja újra a virazt:
3. példa Ismerje a komplex szám modulusát és argumentumát;
1) 
;
2); φ - 4 negyedben:
3.4. Di komplex számokkal trigonometrikus formában
· Hozzáadás és visszavonás könnyebben társaloghatunk komplex számokkal algebrai formában:
· többes szám- ügyetlen trigonometrikus transzformációk segítségével megmutathatja szorzáskor a számok moduljait megszorozzuk, és az argumentumokat összeadjuk: ;
