Hogyan lehet kiegyenlíteni a határokat érintővel. Az első szörnyű határ: ismeretek alkalmazása, tervezési és jelentési döntések

A fenti cikkből megtudhatja, mi a különbség, és mit kell enni – de ez NAGYON fontos. Miért? Lehet, hogy nem érted meg, hogy az ilyen vezetők képesek sikeresen leküzdeni őket, lehet, hogy egyáltalán nem érted, hogy ennyire hasonlítanak egymásra, és a „nagy ötösben” találják őket. Ha nem érti, hogy van ekkora különbség, akkor nehéz lesz gyakorlati feladatokat teljesíteni. Továbbá nem fogunk habozni, hogy megismerkedjünk a döntés tervének jelentésével és a tervezéssel kapcsolatos ajánlásaimmal. Minden információ egyszerű és hozzáférhető formában jelenik meg.

Ehhez a leckéhez a következő módszertani anyagokra lesz szükségünk: csoda határaiі trigonometrikus képletek. Az oldalon megtalálod őket. A képzési kézikönyvek kidolgozásának legjobb módja sokkal egyszerűbb, mivel gyakran offline módban használatosak.

Mik a csodás, csodás határok? Ezeknek az adatoknak a csodája abban rejlik, hogy a híres matematikusok legnagyobb elméi dolgozták ki őket, és nem kell mindenkinek szenvednie a trigonometrikus függvények, logaritmusok és lépések halmainak szörnyű határaitól. Majd ha megtudjuk köztünk, kész eredményekből profitálhatunk, amiket elméletileg elértünk.

Csodák töredéke van köztük, de a gyakorlatban a részidős hallgatók körében az esetek 95%-ában két csoda történik: A határ első szörnyetege, A határ újabb szörnyetege. Megjegyzendő, hogy ezek a nevek történetileg alakultak ki, és ha például „az első csodálatos határról” beszélünk, akkor tiszteletet érdemelnek ez alatt az egész dal alatt, és nem valamiféle, a határ sztéléjából vett hétköznapi megközelítést. .

A határ első szörnyetege

Nézzük a határokat: (a szokásos „heh” betű helyett a görög „alfa” betűt fogom használni, az anyag bemutatása szempontjából célszerűbb).

Szabályunk szerint a tudás között (div. Stattu Között. alkalmazza az elméjét) Próbáljunk meg nullát beszúrni a függvénybe: a számgenerátorban van nulla (nulla szinusza egyenlő nullával), a jelzőben nyilván ugyanaz a nulla. Így a jelentéktelenség látszatától lenyugodunk, hiszen szerencsére nem kell ajtót nyitni. A matematikai elemzés során beszámolunk arról, hogy:

A dán matematikai tényt ún Első Csodaország. Nem fogok elemző bizonyítást adni a határokról, hanem ebből geometriai érzék Nézzük a leckét erről végtelenül kicsi funkciók.

gyakran be gyakorlati ügyek A funkciók más módon bővíthetők anélkül, hogy bármit is megváltoztatnánk:

- ugyanaz az első szörnyhatár.

De önállóan átrendezheti a számot és a jelet! Ha a nézet határa adott, akkor azt ugyanabban a nézetben kell megjeleníteni, anélkül, hogy bármit átrendeznénk.

A gyakorlatban a paraméter hatóköre nem csak változtatható függvényt foglalhat magában, hanem elemi függvényt, komplex függvényt is. Ennél udvariasabb, ezért nullára ugrott.

alkalmaz:
, , ,

Itt,,, , És minden zümmög - az első csoda a határok között stagnál.

A támadórekord tengelye pedig az eretnekség:

Miért? Mert egy polinom nem megy fel nulláig, hanem ötig.

A beszéd előtt, aludni kell, és miért vannak az ősi határok ? A válasz a lecke végén található.

A gyakorlatban nem minden olyan sima, és előfordulhat, hogy a tanuló nem tud eligazodni a szabad határon, és megszabadulni egy enyhe folttól. Hááát... sorokat írok, és eszembe jutott egy nagyon fontos gondolat - elvégre az „ingyenes” matematikai számítások és képletek a diagramon jobbak, mint a memorizálás, ami felbecsülhetetlen segítséget adhat az edzőteremben, ha a táplálkozás korlátozott іж "kettő" és "három", és az olvasó adhat a hallgatónak valamilyen egyszerű feladatot, vagy hozhat a legegyszerűbb példát ("talán még tudja mit?!").

Térjünk át a gyakorlati alkalmazásokra:

fenék 1

ismeri a határokat

Ahogy rámutatunk arra, hogy szinusz van közöttünk, azonnal el kell gondolkodnunk az első csodálatos föld stagnálásának lehetőségén.

Először is próbáljunk meg 0-t tenni a határjel alatti sorba (mindenképpen igyekszünk ezen gondolkodni):

Nos, a megjelenésünkben jelentéktelenségünk van, obov'yazkovo kifejezetten formalizált határozatban. A határjel alatti viráz hasonló az első csodahatárhoz, de egyáltalán nem olyan, mint a szinusz alatt, hanem a jelben.

Az ilyen helyzetekben az első csodát köztünk önállóan, győztesen és darabonként kell megszervezni. A gondolkodásmód a következő lehet: „van egy sinusunk, ami azt jelenti, hogy a jelet is el kell távolítanunk.”
És nagyon könnyű félénknek lenni:

Ebben az esetben a banner mérete 7-tel növekszik, és ugyanarra a számra oszlik. Most kaptunk egy feljegyzést egy ismert személytől.
Az elkészült koronaokirat kézben történő elkészítése után az első szörnyű szegélyt egyszerű birkával meg kell jelölni:

Mi történt? Lényegében a bekarikázott kifejezés eggyé vált, és megjelent a teremtésben:

Most már csak néhányan vesztették el a képességüket, hogy kipróbálják a háromfelületes felvételt:

Aki elfelejtette a nagyszámú felszíni felvétel megbocsátását, kérem frissítse a mellékletben található anyagot Forró képletek iskolai matematika kurzusokhoz .

Kész. Maradék bizonyítékok:

Ha nem akarja eltorzítani az ikonokat az olajbogyóval, akkor a következőképpen dönthet:

“

Vikoristovuyemo az első szörny határ

“

fenék 2

ismeri a határokat

Ismét tudom a különbségek és a szinusz között. Próbáljunk meg nullát beszúrni a számba és aláírni:

Igaz, van bennünk jelentéktelenség, és ezért meg kell próbálnunk megszervezni az első csodálatos határt. Osztályban Között. alkalmazza az elméjét Láttuk azt a szabályt, hogy ha jelentéktelenségünk van, akkor a számot és az előjelet szorzókra kell osztani. Itt - ugyanez, lépésenként képzelhetjük el a gazdagságot (többszörös):

Az elülső fenékhez hasonlóan az Olivier is meghúzza a csodás határokat (kettő van), és jelezték, hogy a bűz egyre csökken:

Vlasna, kész a vallomás:

Ugyanakkor nem foglalkozom rejtélyekkel a Paintben, arra gondolok, hogyan kell helyesen döntést hozni a csatornában - már megértette.

fenék 3

ismeri a határokat

A határjel alatti kifejezésbe nullát viszünk be:

A jelentéktelenséget levetkőzték, fel kell fedni. Ha van érintő a kettő között, akkor az ismert trigonometrikus képlet segítségével szinuszra és koszinuszra alakítható (mielőtt a kotangenssel ez megközelítőleg megegyezik, lásd Módszertani anyag Forró trigonometrikus képletek az oldalon Matematikai képletek, táblázatok és kutatási anyagok).

Ebben a részben:

A nulla koszinusza egyenlő eggyel, és ez könnyen kiszámítható (ne felejtse el megjegyezni, hogy nem egyenlő eggyel):

Ily módon, mivel a koszinusz között van egy szorzó, akkor ezt – durván szólva – eggyé kell alakítani, ahogy az a teremtésben ismeretes.

Itt minden egyszerűbbnek bizonyult, szorzások és osztások nélkül. Az első szörnyű határ eggyé alakul, és megjelenik a teremtésben:

Ennek eredményeként az inkonzisztencia megszűnik, és így is történik.

fenék 4

ismeri a határokat

Próbáljunk meg egy nullát beszúrni a számba, és írjuk alá:

A szabálytalanság megszűnik (a nulla koszinusza, mint emlékszünk, az ősiek)

Vikoriszt trigonometrikus képlete. Írd fel! A fagyasztott tápszerek között úgy érzem, hogy egyre sűrűbben feszülnek.

A határ ikonhoz állandó szorzók tartoznak:

Megszervezzük az első csoda határt:

Itt csak egy csodálatos határ van, amely eggyé alakul és ismert a teremtésben:

Ébresszük fel a három felületet:

A tényleges értékek között jól látható, hogy a pragne szinusza nullára csökken:

fenék 5

ismeri a határokat

Ez a popsi jobban összehajtható, próbáld meg egyedül kitalálni:

Ezek a határok az 1. csodára vezethetők vissza a változás pótlásának módjai között, erről kicsit később olvashatsz a cikkben közötti módszerek.

A határ újabb szörnyetege

A matematikai elemzés elmélete azt mutatja, hogy:

Dánia ténynek nevezhető egy másik csodálatos föld.

Dovidka: - ez egy irracionális szám.

Paraméterként nemcsak változtatható függvényként, hanem komplexként is működhet. Sokkal fontosabb, hogy a következetlenségig ugorjon.

fenék 6

ismeri a határokat

Ha a határ jele egy lépésben van, ez az első jele annak, hogy meg kell próbálnia egy újabb csodálatos határt felállítani.

Először is próbáljunk meg végtelenül nagy számot beletenni a leckében tárgyalt kifejezésbe, hogy melyik alapelvet követjük Között. alkalmazza az elméjét.

Nem számít, hogy mikor Felteszek egy lépést, és a showman megteszi , Vagyis az elme jelentéktelensége:

A jelentéktelenség adott és feltárul egy másik csodálatos ország segítsége mögött. De mint gyakran megtörténik, egy másik csodálatos határ nem egy fekete szegéllyel ellátott tányéron fekszik, és azt egyénileg kell megszervezni. Azonnal törölhető: ebben az alkalmazásban van egy paraméter, ami azt jelenti, hogy azt is rendszereznünk kell a kijelzőn. Amihez lépésben tesszük, és hogy a kifejezés ne változzon, lépésben tesszük:

A szerződés megkötése után a dokumentumot kézzel állítják össze, oválisan, amely a következőket jelképezi:

Szinte minden készen van, az ijesztő lépést aranyos levélké alakították át:

Ebben az esetben maga a határ ikon kerül a kijelzőre:

fenék 7

ismeri a határokat

Tisztelet! E típus között nagyon gyakran előfordul, légy gyengéd, nagyon fontos, hogy tiszteletben tartsuk ezt a fenekét.

Próbáljunk meg végtelenül nagy számot tenni a határjel alatt álló kifejezésbe:

Ennek eredményeként a jelentéktelenséget tagadják. De a másik szörnyeteg a határok között a jelentéktelenségig stagnál. Mi ez a félénk? A lépések újratervezése szükséges. Fogalmazzunk úgy: a znamennikünkben ez azt jelenti, hogy a számszakosztályunkon is szükség van a szervezésre.

Az első csoda úgy néz ki, mint a következő lépés: lim x → 0 sin x x = 1.

A gyakorlati alkalmazásokban gyakran előfordulnak az első csodaél hibridjei: lim x → 0 sin k · x k · x = 1, ahol k valós együttható.

Magyarázzuk el: lim x → 0 sin (k x) k x = üres t = k x i z x → 0 kövesse t → 0 = lim t → 0 sin (t) t = 1.

Az első csodaország örökségei:

1. lim x → 0 x sin x = lim x → 0 = 1 sin x x = 1 1 = 1

1. lim x → 0 k x sin k x = lim x → 0 1 sin (k x) k x = 1 1 = 1

A kívánt eredmény könnyen elérhető a L'Hopital szabály alkalmazásával vagy a végtelenül kicsi függvények cseréjével.

Vessünk egy pillantást a növény cselekvéseire, hogy az első csodahatár szerint határokat találjunk; Damo jelentés leírása a határozatról.

fenék 1

A határt ki kell számítani, nem L'opital-szabályt használva: lim x → 0 sin (3 x) 2 x.

Döntés

Jelentése:

lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0

Mi bachimo, scho a nulla osztva nullával jelentéktelensége. Az ellenőrzési módszer beállításához lépjen vissza az inkonzisztenciák táblázatához. A szinusz és az érvelés összefüggése utal az első csodarégió vikorjára, de a csutka számára a vírus oldható. Szorozzuk meg a tört számát és előjelét 3-mal, és vonjuk ki:

lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0 = lim x → 0 3 x sin (3 x) 3 x (2 x) = lim x → 0 sin (3 x) 3 x 3 x 2 x = = lim x → 0 3 2 × sin (3 x) 3 x

Az első csodaélről származó bizonyítékokon spirálozva a következőket tehetjük: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 1.

Aztán eljutunk az eredményhez:

lim x → 0 3 2 × sin (3 x) 3 x = 3 2 × 1 = 3 2

bizonyíték: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 3 2.

fenék 2

Ismerni kell a lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 határt.

Döntés

Helyettesíthető és helyettesíthető értékek:

lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 1 - cos (2 0) 3 0 2 = 1 - 1 0 = 0 0

Teljesen lényegtelen nullát nullával osztani. Hozzuk létre újra a számtörőt trigonometriai képletekkel:

lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2

Bachimo, ami itt most lehetséges, az az első csodálatos föld stagnálása:

lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2 = lim x → 0 2 3 sin x x sin x x = 2 3 1 1 = 2 3

bizonyíték: lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 2 3.

fenék 3

A lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x között kell számolni.

Döntés

Jelentése:

lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = a r c sin (4 0) 3 0 = 0 0

Teljesen lényegtelen nullát nullával osztani. Cseréljünk:

arc sin (4 x) = t ⇒ sin (ív sin (4 x)) = sin (t) 4 x = sin (t) ⇒ x = 1 4 sin (t) lim x → 0 (ív sin (4 x)) ) = arc sin (4 0) = 0, ami azt jelenti, hogy t → 0 mint x → 0.

Ebben a helyzetben a változtatás cseréje után a következőképpen néz ki:

lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 0 0 = lim t → 0 t 3 1 4 sin (t) = = lim t → 0 4 3 t sin t = 4 3 1 = 4 3

bizonyíték: lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 4 3.

A statisztikai anyag jobb megértése érdekében kérjük, ismételje meg az anyagot a következő témákkal: „Interfészek, fő jelentősége, a felfedezés alkalmazásai, kutatások és megoldások.”

Ha szívességet jelölt meg a szövegben, kérjük, nézze meg, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűket

Az első szörnyű határt féltékenységnek nevezik:

\ Begin (egyenlet) \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ sin \ alfa) (\ alfa) = 1 \ end (egyenlet)

Tehát mivel $ \ alfa \ -tól (0) $-ig lehetséges $ \ sin \ alfa \ - (0) $, úgy tűnik, hogy a határok közötti első csoda felfedi a $ \frac (0) (0) alak jelentéktelenségét. $. Úgy tűnik, az (1) képletben a $ \ alfa $ változó cseréje a szinusz jele alatt és az előjelben tetszőleges kifejezésre osztható, vagy ha két elme egyetért:

1. Az előjelben szereplő i szinusz jel alatti virázok azonnal nullára mennek, ekkor $\frac (0) (0)$ alakban jelentéktelenség van.
2. A szinuszjel alatti és az előjelben lévő kifejezések kombinálódnak.

Az első csodálatos ország örökségei is gyakran szóba kerülnek:

\ Begin (egyenlet) \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ tg \ alfa) (\ alpha) = 1 \ end (egyenlet) \ kezdődik (egyenlet) \ lim _ (\ alfa \ to () 0) )\frac (\arcsin\alpha) (\alpha) = 1\end (egyenlet)\begin (egyenlet)\lim_(\alpha \to (0))\frac (\arctg\alpha) (\alpha ) = 1\end (egyenlet)

Ezen az oldalon tizenegy pályázat található. A kitöltött képletek hozzárendelésének 1. számú példája (2) - (4). Alkalmazza a 2., 3., 4. és 5. sz., hogy bosszút álljon a döntésekért jelentési megjegyzésekkel. A 6-10. számú csikkeket gyakorlatilag kommentár nélkül döntötték el, mivel a jelentésmagyarázat az elülső csikkekben hangzott el. Ha kiválasztja, a következő trigonometrikus képletek jelennek meg, amelyek megtalálhatók.

Tiszteletben tartom, hogy a trigonometrikus függvények jelenléte a $ \frac (0) (0) $ jelentéktelenségének megvásárlásakor nem feltétlenül jelenti az első csodálatos terület kötelező stagnálását. Néha eleged van az egyszerű trigonometrikus számításokból, például elképesztő...

1. fenék

Hozza ki a következőt: $\lim_(\alpha \to (0))\frac (\tg\alpha) (\alpha) = 1$, $\lim_(\alpha \to (0))\frac (\arcsin \alpha) (\alpha) = 1$, $\lim_(\alpha\to (0))\frac (\arctg\alpha) (\alpha) = 1$.

a) Tehát mivel $ \ tg \ alfa = \ frac (\ sin \ alfa) (\ cos \ alfa) $, akkor:

$$\lim_(\alpha \to (0))\frac (\tg (\alpha)) (\alpha) = \left | \frac(0)(0)\right| =\Lim_(\alpha \to (0))\frac (\sin (\alpha)) (\alpha \cos (\alpha))$$

Tehát mint $\lim_(\alpha \to (0))\cos (0) = 1 $i$\lim_(\alpha \to (0))\frac (\sin\alpha) (\alpha) = 1 $ , akkor:

$$\lim _(\alpha \to (0))\frac (\sin (\alpha)) (\alpha \cos (\alpha))=\frac (\displaystyle \lim _(\alpha \to (0) ))\frac (\sin (\alpha)) (\alpha)) (\displaystyle \lim _(\alpha \to (0))\cos (\alpha))=\frac (1) (1)=1 .$$

b) Fontos a $ \ alpha = \ sin (y) $ helyettesítése. Ha $ \ sin (0) = 0 $, akkor úgy gondolja, hogy $ \ alfa \ - (0) $, akkor $ y \ - (0) $. Ezenkívül van egy kör a nulla körül, amelyben $ \ arcsin \ alfa = \ arcsin (\ sin (y)) = y $, tehát:

$$\lim_(\alpha \to (0))\frac (\arcsin \alpha) (\alpha) = \left | \frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to (0))\frac (y) (\sin(y)) =\lim_(y\to (0))\frac (1) (\frac (\sin(y)) ( y)) = \frac (1) (\displaystyle \lim_(y\to (0))\frac (\sin (y)) (y))=\frac (1)(1) = 1. $$

Féltékenység $\lim_(\alpha\to (0))\frac (\arcsin\alpha) (\alpha) = 1$ hozott.

c) Fontos a $ \ alpha = \ tg (y) $ helyettesítése. Ha $ \ tg (0) = 0 $, akkor úgy gondolja, hogy a $ \ alfa \ - (0) $ i $ y \ - (0) $ egyenértékűek. Ezenkívül van egy nulla körüli kör, amelyben $ \ arctg \ alpha = \ arctg \ tg (y)) = y $, tehát az a) pont eredményei alapján:

$$\lim_(\alpha \to (0))\frac (\arctg \alpha) (\alpha) = \left | \frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to (0))\frac (y) (\tg (y)) =\lim_(y\to (0))\frac (1) (\frac (\tg (y)) ( y)) = \frac (1) (\displaystyle \lim_(y\to (0))\frac (\tg (y)) (y))=\frac (1)(1)=1.$$

Féltékenység $\lim_(\alpha\to (0))\frac (\arctg\alpha) (\alpha) = 1$ hozott.

A buzgóság a), b), c) gyakran vikorizálja az első szörnyű határok sorrendjét.

2. fenék

Számítása $\lim_(x\to (2))\frac (\sin\left (\frac (x^2-4) (x + 7)\right)) (\frac (x^2-4) ( x + 7)) $.

Tehát mint $\lim_(x\to (2))\frac (x^2-4)(x+7) =\frac(2^2-4)(2+7)=0$i$\lim_( x \ to (2)) \ sin \ left (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ right) = \ sin (0) = 0 $, akkor mind a numerikus, mind a tört jelzője azonnal eléri a nullát, akkor itt jobbra állunk a $\frac (0) (0) $ forma jelentéktelensége miatt, akkor viconno. Ezenkívül egyértelmű, hogy a szinusz jel alatti és a jelben lévő kifejezések hasonlóak (akkor az i-t írják):

Nos, megsértődött az eszem, újrabiztosították a gubacs oldalát, Vikonians. Ez azt jelenti, hogy a képlet sűríthető, majd $ \ Lim_ (x \ to (2)) \ frac (\ sin \ left (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ right)) (\ frac (x^2-4)(x+7)) = 1 USD.

Megerősítés: $\Lim_(x\to (2))\frac (\sin\left(\frac (x^2-4)(x+7)\right)) (\frac (x^2-4) (x +7)) = 1 $.

3. fenék

Ismerje $\lim_(x\to (0))\frac (\sin (9x)) (x)$.

Mivel $ \ lim_ (x \ to (0)) \ sin (9x) = 0 $ i $ \ lim_ (x \ to (0)) x = 0 $, ezért joggal feltételezhetjük, hogy a $ \ frac (0 ) (0) $, tobto viconano. A szinuszjel alatti és az előjelben lévő kifejezések azonban nem konvergálnak. Itt testre kell szabnia a szalaghirdetés kifejezését a kívánt alakra. 9x$ kell, hogy megjelenjen a bannerben, akkor tudjuk kezelni. Valójában nem látjuk a 9$-os szorzót a znamennikben, amit nem is olyan könnyű beírni – elég megszorozni a znamennikben lévő szorzót 9$-ral. Természetesen a 9 dollárral való szorzás kompenzálásához azonnal el kell osztanunk 9 dollárral, és osztanunk kell:

$$\lim_(x\to (0))\frac (\sin (9x)) (x) = \left | \frac(0)(0)\right| =\Lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) = 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x)) (9x) $$

Most a jelben és a szinuszjelben lévő kifejezések összefolytak. Obidva umovi dlya mezhі $\lim_(x\to (0))\frac (\sin (9x)) (9x) $ vikonanі. Otje, $\lim_(x\to (0))\frac (\sin (9x)) (9x) = 1 $. Ez pedig azt jelenti, hogy:

$9\lim_(x\to (0))\frac (\sin (9x)) (9x) = 9\cdot (1) = 9. $$

Megerősítés: $\Lim_(x\to (0))\frac (\sin (9x)) (x) = 9 $.

4. fenék

Tudja: $\lim_(x\to (0))\frac (\sin (5x)) (\tg (8x)) $.

Tehát mivel $\lim_(x\to (0))\sin (5x) = 0$ i$\lim_(x\to (0))\tg (8x) = 0$, akkor itt joggal feltételezhetjük, hogy $ \frac(0)(0)$. Az első csodaország alakja azonban megsemmisült. A számláló, aki bosszút áll $ \ sin (5x) $-on, nyilvánvaló az $ 5x $ jelében. Ebben a helyzetben a legegyszerűbb elosztani a számot $5x$-tal, és azonnal megszorozni $5x$-ral. Ezenkívül hasonló műveletet hajthatunk végre az előjel használatával, $\tg(8x)$ szorozva és elosztva $8x$-val:

$$\lim_(x\to (0))\frac (\sin (5x)) (\tg (8x)) = \left | \frac(0)(0)\right| =\Lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) ) $$

Ha $ x $ i-vel lerövidítjük a $ \frac (5) (8) $ állandót a határjelhez, eltávolítjuk:

$$\lim_(x\to (0))\frac (\frac (\sin (5x)) (5x)\cdot (5x)) (\frac (\tg (8x)) (8x)\ cdot (8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Kérjük, vegye figyelembe, hogy $\lim_(x\to (0))\frac (\sin (5x)) (5x) $ teljesen elégedett az első csodaország előnyeivel. A vydshukannya $\lim_(x\to (0))\frac (\tg (8x)) (8x)$ esetén a zastosov képlet a következő:

$$\frac (5) (8)\cdot\lim_(x\to (0))\frac (\frac (\sin (5x)) (5x)) (\frac (\tg (8x)) (8x )) = \frac (5) (8)\cdot \frac (\displaystyle \lim_(x\to (0))\frac (\sin (5x)) (5x)) (\displaystyle \lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Megerősítés: $\Lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x)) =\frac(5)(8)$.

5. fenék

Tudja: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Tehát mint $\lim_(x\to (0)) (\cos (5x) - \cos ^3 (5x)) = 1-1 = 0 $ (azt hiszem $\cos (0) = 1 $) i $ \ lim_ (x \ to (0)) x ^ 2 = 0 $, akkor joggal vehetjük fel a $ \ frac (0) (0) $ alakot. Ahhoz azonban, hogy az első csodát megszilárdítsuk a nyomok között, meg kell oldanunk a koszinuszot a számegyenletben, áttérve szinuszokra (a képlet megfogalmazásához) vagy érintőkre (a képlet megfogalmazásához). A fejlesztés a következő átalakításokkal valósítható meg:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x) =\cos(5x)\cdot\left(1\cos^2(5x)\right)$$$$\cos(5x)-\cos^ 3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1\cos^2(5x)\jobbra)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x). $$

Térjünk a határra:

$$\lim_(x\to (0))\frac (\cos (5x) - \cos ^3 (5x)) (x^2) = \left | \frac(0)(0)\right| =\Lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac (\sin^2 (5x)) (x^2)\jobbra)$$

A Drib $ \frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) $ már közel van ahhoz a formához, amely az első csodaélnél várható. A törteket a $\frac (\sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) $ törttel együtt használjuk, felfelé haladva az első csodahatárig (variál, ami a számkönyvben és a bűnösség szinusza alatt van) :

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Térjünk rá arra a határra, amelyet megnéztünk:

$$\lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right)=\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac (\sin(5x))(5x)\right)^2\right) =\\=25\cdot\lim_(x\to ( 0))\cos (5x)\cdot\lim_(x\to (0))\left(\frac (\sin (5x)) (5x)\jobbra)^2 = 25\cdot (1)\cdot ( 1^2) = 25. $$

Megerősítés: $\Lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2) = 25 USD.

6. számú készlet

Keresse meg a $\lim_(x\to (0))\frac (1\cos (6x)) (1\cos (2x)) $ határt.

Tehát mivel $\lim_(x\to (0)) (1\cos (6x)) = 0 $ i $\lim_(x\to (0)) (1\cos (2x)) = 0 $, akkor mi Jobb oldalon lehet a $\frac (0) (0) $ nem szignifikanciájától. Lépjünk túl az első csodaországon. Ebből a célból térjünk át a koszinuszokról a szinuszokra. Tehát mivel $1\cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$, akkor:

$1\cos(6x) = 2\sin^2(3x); \; 1\cos(2x) = 2\sin^2(x). $$

Az orrmelléküregek megadott határára haladva, matematikailag:

$$\lim_(x\to (0))\frac (1\cos (6x)) (1\cos (2x)) = \left | \frac(0)(0)\right| =\Lim_(x\to (0))\frac (2\sin^2(3x)) (2\sin^2(x)) =\lim_(x\to (0))\frac (\sin^ 2 (3x)) (\sin^2(x)) =\\=\lim_(x\to (0))\frac (\frac (\sin^2(3x)) ((3x)^2)\ cdot (3x)^2) (\frac (\sin^2(x)) (x^2)\cdot (x^2)) =\lim_(x\to (0))\frac (\left(\) frac (\sin (3x)) (3x)\jobbra)^2\cdot (9x^2)) (\left (\frac (\sin (x)) (x)\jobbra)^2\cdot (x^ 2)) = 9\cdot\frac (\displaystyle \lim_(x\to (0))\left(\frac (\sin (3x))(3x)\right)^2) (\displaystyle \lim_(x) \to (0)) \left (\frac (\sin (x)) (x)\right)^2) = 9 \cdot \frac (1^2)(1^2) = 9. $$

Megerősítés: $\Lim_(x\to(0))\frac(1\cos(6x)) (1\cos(2x)) = 9$.

7. számú készlet

Számítsa ki $\lim_(x\to (0))\frac (\cos (\alpha (x)) - \cos (\beta (x))) (x^2)$ között az agy $\alpha\neq \ béta $.

A jelentés magyarázata korábban elhangzott, de itt egyszerűen az a jelentősége, hogy ismét a $\frac (0) (0) $ nyilvánvaló jelentéktelensége. Térjünk át a koszinuszokról a szinuszokra, vikorista képletre

$$\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\frac (\alpha +\beta) (2)\cdot\sin\frac (\alpha-\beta) (2). $$

A Vikorist képlete adott és eltávolítható:

$$\lim_(x\to (0))\frac (\cos (\alpha (x)) - \cos (\beta (x))) (x^2) = \left | \frac(0)(0)\right | =\Lim_(x\to (0))\frac (-2\sin\frac (\alpha (x)+\beta (x)) (2)\cdot\sin\frac (\alpha (x)-\ béta (x) (2)) (x^2) = \\ = -2 \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin \ balra (x \ cdot \ frac (\ alfa + \) béta ) (2) \ jobbra) \ cdot \ sin \ balra (x \ cdot \ frac (\ alfa- \ béta) (2) \ jobbra)) (x^2) = -2 \ cdot \ lim_ (x \ to ( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha +\beta)(2)\right)) (x)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot) \frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\=-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left) (x\cdot\frac (\alpha +\beta) (2)\right)) (x\cdot\frac (\alpha +\beta) (2))\cdot\frac (\alpha +\beta) (2 )\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta) (2)\right)) (x\cdot\frac (\alpha-\beta) (2))\cdot\ frac (\alpha-\beta) (2)\right)=\\=-\frac ((\alpha +\beta)\cdot (\alpha-\beta)) (2)\lim_(x\to (0) ))\frac (\sin\left(x\cdot\frac (\alpha +\beta) (2)\right)) (x\cdot\frac (\alpha +\beta) (2))\cdot\lim_ (x\to (0))\frac (\sin\left (x\cdot\frac (\alpha-\beta) (2)\right)) (x\cdot\frac (\alpha-\beta) (2 )) = - \frac (\alpha ^2 \beta ^2) (2) \cdot (1) \cdot (1) = \frac (\beta ^2 \alpha ^2) (2). $$

Megerősítés: $\Lim_(x\to (0))\frac (\cos (\alpha (x)) - \cos (\beta (x))) (x^2) = \frac (\beta ^2\alpha ^2)(2)$.

fenék #8

Keresse meg a $\lim_(x\to (0))\frac (\tg (x) - \sin (x)) (x^3)$ határt.

Tehát mint $\lim_(x\to (0)) (\tg (x) - \sin (x)) = 0 $ (hadd találjam ki, hogy $\sin (0) = \tg (0) = 0 $) i $ \ lim_ (x \ to (0)) x ^ 3 = 0 $, akkor itt joggal mondhatjuk, hogy a $ \frac (0) (0) $ lényegtelen. Sírjunk a soron következő renddel:

$$\lim_(x\to (0))\frac (\tg (x) - \sin (x)) (x^3) = \left | \frac(0)(0)\right| =\Lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac (\sin(x)\cdot\left(\frac (1) (\cos (x)) - 1\jobbra)) (x^3) = \lim_(x\to (0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\=\lim_(x\to(0))\ frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_ (x\to (0))\left (\frac (\sin (x)) (x)\cdot \left (\frac (\sin\frac (x) (2)) (\frac (x) ( 2 ))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right)=\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) =\frac(1)(2). $$

Megerősítés: $\Lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3) =\frac(1)(2)$.

9. számú készlet

Keresse meg a $\lim_(x\to (3))\frac (1\cos (x-3)) ((x-3)\tg\frac (x-3) (2)) $ határt.

Tehát mint $\lim_(x\to (3)) (1\cos (x-3)) = 0 $i$\lim_(x\to (3)) (x-3)\tg\frac (x - 3) (2) = 0 $, akkor a $ \frac (0) (0) $ alak egyértelműen lényegtelen. Mielőtt folytatná a nyitást, kézzel cserélje ki a változót úgy, hogy az új változó nullára kerüljön (megjegyzendő, hogy a képletekben a változás $\alpha\-0$). A legegyszerűbb módja a $ t = x-3 $ változás megadása. Azonban a későbbi változtatások egyszerűsége érdekében (ez az előny az alábbi döntés során megjegyezhető) a következő helyettesítést kell végrehajtania: $ t = \frac (x-3) (2) $. Úgy értem, sajnálom, hogy helyettesítem a stagnálást ebben a helyzetben, csak egy újabb helyettesítéssel, hogy kevesebbet dolgozhassak a törtekkel. Tehát mivel $ x \ -tól (3) $-ig, majd $ t \ -től (0) $-ig.

$$\lim_(x\to (3))\frac (1\cos (x-3)) ((x-3)\tg\frac (x-3) (2)) = \left | \frac(0)(0)\right| =\Bal | \begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2); \\&t\to (0)\end (igazítva)\jobbra | =\Lim_(t\to(0))\frac(1\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2t ) (2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to (0))\frac (\sin^2t)(t\cdot\tg(t)) =\\=\lim_(t\to (0))\frac (\sin^2t) (t\cdot\frac (\sin(t)) (\cos(t))) =\lim_(t\to (0))\frac (\sin( t)\cos(t))(t)=\lim_(t\to(0))\left(\frac (\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right)=\lim_ (t\to (0))\frac (\sin (t)) (t)\cdot\lim_(t\to (0))\cos (t) = 1\cdot (1) = 1. $$

Megerősítés: $\Lim_(x\to (3))\frac (1\cos (x-3)) ((x-3)\tg\frac (x-3) (2)) = 1 $.

10. fenék

Keresse meg a $\lim_(x\to\frac (\pi) (2))\frac (1\sin (x)) határt (\left (\frac (\pi) (2)-x\right)^2 ) $.

Jobbról tudom a $\frac (0) (0) $ jelentéktelenségéből. Mielőtt továbbmenne a nyitáshoz, kézzel cserélje ki a változót úgy, hogy az új változó nullára kerüljön (vegye figyelembe, hogy a képletekben a változás $\alpha\to (0)$). A legegyszerűbb módja a változás megadása: $ t = \frac (\ pi) (2) -x $. Tehát mivel $ x \ to \ frac (\ pi) (2) $, majd $ t \ to (0) $:

$$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2)= \bal | \frac(0)(0)\right| =\Bal | \begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x; \\&t\to (0)\end (igazítva)\jobbra | =\Lim_(t\to(0))\frac(1\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) )\frac (1\cos(t)) (t^2) =\\=\lim_(t\to (0))\frac (2\sin^2\frac (t) (2)) (t^ 2) = 2\lim_(t\to (0))\frac (\sin^2\frac (t)(2)) (t^2) = 2\lim_(t\to (0))\frac ( \sin^2\frac(t)(2)) (\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to(0) )\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2=\frac(1)(2)\cdot(1^2)= \frac(1)(2). $$

Megerősítés: $\Lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2)= \frac(1)(2)$.

készlet 11. sz

Keresse meg a $\lim_(x\to\frac (\pi) (2))\frac (1\sin(x)) (\cos ^2x)$, $\lim_(x\to\frac (2) közötti határt \pi ) (3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Ebben az időszakban nem lesz lehetőségünk átlépni az első szörnyhatárt. Állítsa vissza a tiszteletet: mind az első helyen, mind a másik helyen a jelenlévők között trigonometrikus függvényekés számok. Leggyakrabban az ilyen csikkekben könnyű találni egy vonalat, amelyet a határ jele alá húznak. Ebben az esetben a találgatás után a különböző tényezők egyszerűsége, lerövidítése jelentéktelenséget jelent. Ezt a példát egy céllal vezetem be: megmutatni, hogy a trigonometrikus függvények határjel alatti jelenléte egyáltalán nem jelenti feltétlenül az első csodálatos él stagnálását.

Tehát yak $\lim_(x\to \frac (\pi) (2)) (1\sin (x)) = 0 $ (találd ki, mi $\sin \frac (\pi) (2) = 1 $) і $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ cos ^ 2x = 0 $ (azt hiszem, $ \ cos \ frac (\ pi) (2) = 0 $), akkor a jobbra $\frac (0) (0) $ formában. Ez azonban egyáltalán nem jelenti azt, hogy meg kell hódítanunk az első szörnyű határt. A jelentéktelenség feltárásához adja hozzá a $\cos ^2x = 1\sin ^2x$ értéket:

$$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1\sin(x))(\cos^2x)=\left| \frac(0)(0)\right| =\Lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1\sin(x))(1\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac (1\sin(x)) ((1\sin(x)) (1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac (\pi) (2))\frac ( 1) (1 + \sin (x)) = \frac (1) (1 + 1) = \frac (1) (2). $$

Hasonló módszert alkalmaznak Demidovich felszabadításánál (475. sz.). Nos, van egy másik határ, akkor, mint ennek a szakasznak az elülső részein, a $\frac (0) (0) $ alakban jelentéktelenek vagyunk. Miért őt hibáztatja? Vaughn a hibás azért, hogy $ \ tg \ frac (2 \ pi) (3) = - \ sqrt (3) $ i $ 2 \ cos \ frac (2 \ pi) (3) = - 1 $. Vikorisztov jelentései a kifejezések számbeli és előjelben való átalakításának módszerén alapulnak. Cselekedeteink meta: írd fel az összeget a számkönyvbe és a nap végén a jelkönyvbe. Mielőtt beszélne, leggyakrabban egy hasonló típusnál a csere kézi cseréje történik oly módon, hogy az új csere nullára csökken (oszt., Például 9. vagy 10. példa ezen az oldalon). Ebben az esetben azonban nincs értelme az értelmet helyettesíteni, de szükség esetén a $ t = x- \ frac (2 \ pi) (3) $ változás pótlása nehezen kivitelezhető.

$$\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\jobbra )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3)) (2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\=\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))) (- 4\sin\frac(x+\ frac (2\pi) (3)) (2) \sin \frac (x-\frac (2\pi) (3)) (2)) = \lim_(x\to \frac (2\pi) ( 3 ))\frac (\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right)) (- 4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3)) (2 )\ sin\frac (x-\frac (2\pi) (3)) (2)\cos (x)\cos\frac (2\pi) (3)) =\\ =\lim_(x\to \frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi) (3) )) (2)) (- 4\sin\frac (x+\frac (2\pi) (3)) (2)\sin\frac (x-\frac (2\pi) (3)) (2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\ frac (2) \pi) (3)) (2)) (- 2\sin\frac (x + \frac (2\pi) (3)) (2)\cos (x)\cos\frac (2\ pi) ( 3)) = \\ = frac (1) (- 2 \ cdot \ frac (\ sqrt (3)) (2) \ cdot \ left (- \ frac (1) (2) \ right) \ cdot\left( -\frac(1)(2)\jobbra)) =-\frac(4)(\Sqrt(3)). $$

Mint tudják, nem volt esélyünk átlépni az első szörnyhatárt. Természetesen sok pénzt lehet keresni (lásd lentebb), de nincs rá szükség.

Milyen döntések születnek az első csodaország győztes országaiban? mutat\csatol

Amikor az első csodaél vikorisztánját elutasítják:

$$\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac (\sin\left(x-\frac (2\pi)(3)\right)) (- 4\sin\frac (x +\frac (2\pi) (3)) (2)\sin\frac (x-\frac (2\pi) (3)) (2)\cos (x)\cos\frac (2\) pi ) (3)) = \\ = lim_(x\to \frac (2\pi) (3)) \left (\frac (\sin \left (x-\frac (2\pi) (3))) jobbra)) (x-\frac (2\pi) (3)) \cdot \frac (1) (\frac (\sin \frac (x-\frac (2\pi) (3)) (2) ) (\frac (x-\frac (2\pi) (3)) (2)))\cdot\frac (1) (- 2\sin\frac (x+\frac (2\pi) (3)) ( 2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3)) \ jobbra) = 1 \ cdot (1) \ cdot \ frac (1) (- 2 \ cdot \ frac (\ sqrt ( 3)) ) (2) \cdot \left (- \frac (1) (2) \right) \cdot \left (- \frac (1) (2) \jobbra)) = - \frac (4) (\ sqrt( 3)). $$

Megerősítés: $\Lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$,$\lim_(x) \to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt(3) )) $.

Az első csodahatárt gyakran használják szinusz, arcszinusz, érintő, arctangens kiszámítására, valamint a nulla jelentéktelen értékeinek megtalálására és a nullával való osztásra.

Képlet

Az első csodaél képlete így néz ki: $$\lim_(\alpha\to 0)\frac (\sin\alpha) (\alpha) = 1$$

Megjegyezzük, hogy amikor a $ \ alpha \ to 0 $ kijön a $ \ sin \ alfa \ to 0 $ értékből, akkor nullák vannak a számban és az előjelben. Ily módon az első csodarégió képletére van szükség a $ \frac (0) (0) $ jelentéktelenségének feltárásához.

A képlet megfogalmazásához két gondolatot kell megmosni:

1. A szinuszban és a frakció szalagcímében található vírusokat elkerüljük
2. Vyslovlyuvannya, hogyan álljunk a szinuszba, és verjük le a lövés zászlóját nullára

Tisztelet! $ \ Lim_ (x \ to 0) \ frac (\ sin (2x ^ 2 + 1)) (2x ^ 2 + 1) \ neq 1 $ Bár a szinusz alatti kifejezés az előjelben van, prote $ 2x ^ 2 + 1 = 1 $, $ x \ -nál 0 $. Ha nem ismeri a barátja eszét, LEHET zastosovat a képletet!

örökségek

Ritka, hogy tiszta első csodaszép szegélyt kaphatsz, amibe azonnal be tudna rögzíteni egy ajánlót. A gyakorlatban minden kicsit bonyolultabbnak tűnik, de az ilyen epizódokhoz hasznos lenne tudni az első csodaország következményeit. Így könnyen kiszámíthatja a szükséges határokat.

$$\lim_(\alpha \to 0)\frac (\alpha) (\sin \alpha) = 1 $$

$$\lim_(\alpha \to 0)\frac (\sin (a\alpha)) (\sin (b\alpha)) = \frac (a) (b)$$

$$\lim_(\alpha \to 0)\frac (tg\alpha) (\alpha) = 1 $$

$$\lim_(\alpha \to 0)\frac (\arcsin \alpha) (\alpha) = 1 $$

$$\lim_(\alpha \to 0)\frac (arctg\alpha) (\alpha) = 1 $$

alkalmazza az elméjét

Vessünk egy pillantást a határok első csodájára, amelyet a trigonometrikus függvények és a jelentéktelenség közötti számításnál alkalmazunk $\bigg [\frac (0) (0)\bigg]$

A cikkben: „Az első szörnyű határ, a kioldás feneke” kifejtették azokat a problémákat, amelyekben az adott képlet és annak öröklődései teljesen vikorisztikusak.