Trigonometrikus függvények arcsin. Képzés az integrál trigonometrikus függvények megértéséhez algebra órán

lecke 32-33. Zvorotny trigonometrikus függvények

meta: Tekintse meg a trigonometrikus függvényeket és felhasználásukat trigonometrikus egyenletek megoldásainak írásához.

I. Bevezetés a témákba és a leckékbe

II. Új anyag fejlesztése

1. Kapu trigonometrikus függvények

Ennek a kinézete a támadás fenekéről tekinthető.

fenék 1

Virishimo féltékenység: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.

a) Az ordináta tengelyen hozzáadjuk az 1/2 és értéket x 1 і x2, azoknak bűn x = 1/2. Ha x1 + x2 = π, csillagok x2 = π - x 1 . A trigonometrikus függvények értéktáblázatából megtaláljuk az x1 = π / 6 értéket, majdSzámítsuk ki a szinuszfüggvény periodicitását, és írjuk fel ennek az egyenletnek a magasságát:de k ∈ Z.

b) Nyilvánvaló, hogy a megoldási algoritmus egyenlő bűn x = a ugyanaz, mint az előző bekezdésben szereplő i. Nyilvánvaló, hogy most az a értéket az ordináta tengelye mentén ábrázoljuk. Valahogy ki kell jelölni a cut x1-et. Házi készítésű ilyen kut jelöljön ki egy szimbólumot arcsin A. Ennek a feladatnak a megoldása az űrlapba írható leEz a két képlet egybe kombinálható: most

Hasonló módon más trigonometrikus függvényeket is bevezetünk.

Gyakran ki kell számítani a kut értékét a trigonometrikus függvény ismert értékeiből. Egy ilyen feladat igen jelentős – elengedhetetlen, hogy a trigonometrikus függvények és az azonos érték között ne legyen különbség. Ezért a trigonometrikus függvények monotonitása miatt a határértékek egyértelmű értéke érdekében bevezetünk ilyen fordított trigonometrikus függvényeket.

Az a szám arcsinusza (arcsin , Valamilyen szinusz, i.e.

a szám ív koszinusza a(arccos a) - ilyen vágás és z intervallum, valami ősi a koszinusz, i.e.

egy szám arktangense a(arctg a) - ilyen vágás és résérintő hasonló a, azaz.tg a = a.

a szám arckotangense a(arcctg a) - ilyen vágás és z intervallum (0; π), egy bizonyos relatív a kotangens, azaz. ctg a = a.

fenék 2

tudjuk:

Ha megnézzük a kapu trigonometrikus függvényeinek jelentését, megjegyezzük:

fenék 3

megszámlálható

Engedd el a kut a = arcsin 3/5, majd a sorrend szerint sin a = 3/5 i . Hé, tudnom kell kötözősaláta A. A vikorista és alapvetően trigonometrikus identitás elutasítva:Garantált, hogy i cos a ≥ 0. Nos,

Nézzünk meg néhány tipikus alkalmazást a trigonometrikus függvények jelentésével és alaphatványaival kapcsolatban.

fenék 4

Ismerjük a funkció jelentőségének területét

A függvény hozzárendeléséhez szükséges az egyenlőtlenségek megszüntetésemint egyenértékű az egyenlőtlenségek rendszerévelAz első bizonytalanság és intervallum megoldásai x∈ (-∞; + ∞), másik - ezt a szakadékot és megoldások az egyenlőtlenségek rendszerére, tehát a hozzárendelt funkció területére

fenék 5

Ismerjük a funkcióváltás területét

Nézzük meg a függvény viselkedését z = 2x - x2 (oszt. Malyunok).

Nyilvánvaló, hogy z ∈ (-∞; 1]. Megnézzük, mi az érv z az arccotangens függvény a kijelölt intervallumokban változik, a táblázat adataiból jól látható, hogyIly módon a változási terület

fenék 6

Nézzük meg, hogy az y = függvény arctg x párosítatlan. HellóEkkor tg a = x vagy x = - tg a = tg (- a), és Otzhe, - a = arctg x vagy abo a = - arctg X. Ily módon, bachimo, schoazaz y (x) nem párosított függvény.

fenék 7

Az összes kapu trigonometrikus függvényen keresztül látható

Helló Magától értetődően Todi So yak

lépjünk be a kut-ba Szóval jak Hogy

ahhoz hasonló і

Otje,

fenék 8

Nézzük meg az y = függvény grafikonját cos(arcsin x).

Jelentősen a = arcsin x, akkor Vrahuєmo, akkor x = sin a y y = cos a, azaz X 2 + Y2 = 1, i-t x-re cseréltem (x∈ [-1; 1]) і у (у ≥ 0). Az y = függvény ábrázolásához cos(arcsin x) є majdnem.

fenék 9

Nézzük meg az y = függvény grafikonját arccos (cos x).

Tehát mi a cos függvény x a [-1; 1], akkor az y függvényt a teljes numerikus tengelyhez rendeljük, és egy szakaszra változtatjuk. Tiszteljük anyánkat, tehát = arccos (cos x) = X vágásonként; A függvény páros és periodikus 2π periódussal. Ha megnézzük, mi a kormány feladata cos x Most már könnyű betartani az ütemtervet.

A vörösség jelentős hatásai:

fenék 10

Ismerjük a legkevésbé és legfontosabb funkciókat jelentős akkor Törölje a funkciót Ez a funkció a minimum z = π / 4, és ugyanabban az irányban A legfontosabb funkciókat a ponton érik el z = -π / 2, és itt Ilyen módon i

fenék 11

rendkívül féltékeny

Bocsánat, micsoda Akkor a féltékenység így néz ki:különben csillagok A következőt eltávolítjuk az arctangensből:

2. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásai

Az 1. ponthoz hasonlóan a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásait is levezetheti.

fenék 12

rendkívül féltékeny

Mivel a szinuszfüggvény nem párosított, ezért egyenlőnek írjuk a megjelenéstEz a döntés:ismerjük a csillagokat

fenék 13

rendkívül féltékeny

A megadott képlet alapján írjuk fel a megoldást:és tudjuk

Kedvesen, ugyanazokban a tartományokban (a = 0; ± 1), a legmagasabb szintekkel sin x = a і cos x = és egyszerűbb és kényelmesebb nem a rejtett képleteket használni, hanem egyetlen szám alapján felírni a megoldást:

szintre sin x = 1 döntés

szintre sin x = 0 döntés x = π k;

mert Rivny sin x = -1 Rivny

a rivnyannya cos x = 1 döntés x = 2π k;

r_vnyanyya cos x = 0 rіshennya esetén

a Rivnyanya cos x = -1 Rivnyanya esetében

fenék 14

rendkívül féltékeny

Mint ebben az alkalmazásban okremy vipadok egyenlő, akkor a következő képlettel írjuk fel a megoldást:ismerjük a csillagokat

III. Vezérlő adagolás (elülső előtolás)

1. Adjon jelentést és mutassa be a trigonometrikus függvények alaphatványait!

2. Rajzolja meg a burkolt trigonometrikus függvények grafikonjait!

3. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásai.

IV. Csúnya az osztályban

15. § 3. a, b) pontja; 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18. (a, b); 19 (c); 21;

16. § 4. a, b) pontja; 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

17. § 3. a, b) pontja; 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10. (a, c).

V. Zavdannya haza előtt

15. § 3. pont c, d) pontja; 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;

16. § 4. pont c, d) pontja; 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

17. § 3. pont c, d) pontja; 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. kreativ munka

1. Keresse meg azt a területet, amelyhez a funkció hozzá van rendelve:

Típusok:

2. Keresse meg a függvényérték területet:

Típusok:

3. Ábrázolja a függvényt:

VII. Beküldött leckék

Kapu trigonometrikus függvények- ce arcsine, arccosine, arctangens és arccotangens.

Mostantól vessünk egy pillantást.

arcszinusz Vagy mondhatod, mi ez a vágás, mi az az osztás, aminek a szinusza az a számhoz kapcsolódik.

ív koszinusz számok és számnak hívják, tehát

arctangens számok és számnak hívják, tehát

arccotangens számok és számnak hívják, tehát

Beszéljünk több számunkra új funkcióról - trigonometrikus kapukról.

Ne feledje, már kommunikáltunk.

Például az aritmetika négyzetgyök az a számból olyan ismeretlen szám, melynek négyzete ősi a.

A b szám logaritmusa a-ban egyben a c szám is, amely

Ezzel

Megértjük, hogy a matematikusoknak miért kellett új függvényeket „feltalálniuk”. Például a megoldás egyenlő, és nem írhatnánk fel őket a speciális aritmetikai négyzetgyök szimbólum nélkül.

A logaritmus fogalma szükségessé vált egy megoldás felírásához, például egy ilyen egyenlethez: Ennek az egyenletnek a megoldása irracionális szám.

Ugyanez a helyzet a trigonometrikus egyenletekkel is. Például egyenlőek akarunk lenni

Nyilvánvaló, hogy ez a megoldás a trigonometrikus szám azon pontjainak felel meg, amelyek ordinátája régebbi, és egyértelmű, hogy a szinusz értékei nincsenek táblázatba foglalva. Hogyan írjunk le egy döntést?

Itt nem nélkülözhető egy új függvény, amely egy adott a szám szinuszának értékét jelzi. Szóval már mindenki sejtette. Ez az arcszinusz.

Hová tegyük, az előző szinusza egy negyed arcszinusza. Ez pedig azt jelenti, hogy társunk megoldássorozata, hasonlóan a trigonometrikus gyűrű megfelelő pontjához, az

És féltékenységünk újabb döntéseinek sorozata – ez

További részletek a trigonometrikus egyenletek megoldásáról -.

Elvesztette értelmét - ideje jelezni a kijelölt arcszinusznál, hogy mi történik, mit kell vágni?

A jobb oldalon például végtelenül gazdag mennyiségű kuti található, melynek sine ősi. Ki kell választanunk közülük egyet. Kiválasztjuk, hogy melyiket fektetjük le az asztalra.

Vessen egy pillantást a trigonometrikus colóra. Észre fogja venni, hogy a bőrön lévő vágáson a rózsa a sinus azonos értékét jelzi, és csak egyet. És mellesleg a szakaszból származó szinusz bármely értékét szakaszonként egy érték jelzi. Ez azt jelenti, hogy egy szakaszhoz olyan funkciót lehet hozzárendelni, amely maximum értéktől fogad el

Ismételjük meg még egyszer a következőket:

Egy szám arcszinuszát számnak nevezzük , és akkor mi van

Megnevezés: Az arcszinusz területe osztás, az érték területe osztás.

Megjegyezheti a „jobb oldalon lakik az arcszinusz” kifejezést. Ne felejtsük el, hogy nem csak a jobb oldalon, hanem az oldalon is.

Készen állunk a funkció ütemezésére

Mint korábban, az x értékek a vízszintes tengely mentén, az y értékek a függőleges tengely mentén vannak jelölve.

A töredékek tehát x a -1 és 1 közötti tartományba esnek.

Ez azt jelenti, hogy az y = arcsin x = szakasz függvény tartománya

Azt mondták nekünk, hogy innunk kell. Ez azt jelenti, hogy az y = arcsin x függvény értékterülete egy szakasz.

Vegye figyelembe, hogy az y = arcsinx függvény grafikonja teljes egészében az i vonalakkal körülvett területen található

Mint mindig egy ismeretlen függvény napi beosztásánál, lássuk a táblázatban.

A jelentésen túl a nulla arcszinusza ugyanaz a szám a szakaszból, amelynek szinusza egyenlő nullával. Mi ez a szám? - Megértem, hogy ez nulla.

Hasonlóképpen, az egyik arcszinusza ugyanaz, mint egy egységé, és bármely más egység szinusza. Magától értetődően

Folytatás: - ez ugyanaz a szám a szakaszból, bármely másik szinusza. Ez az

Jövő függvény grafikonja

teljesítmény funkció

1. Elsődleges terület

2. Jelentősségi terület

3., akkor ez a függvény nincs párosítva. Ez a grafikon a koordináták alapján szimmetrikus.

4. A függvény monoton módon növekszik. A legkisebb értéket, egyenlő -, akkor éri el, és a legnagyobb értéket, egyenlő, at

5. Mi a jó a függvénygrafikonokban? Nem veszi észre, hogy „egy sablonba vannak beépítve” – akárcsak egy függvény jogai és egy függvény grafikonja, vagy mint egy megjelenítési és logaritmikus függvény grafikonjai?

Tudasd velünk, hogy az eredeti szinuszokat használtuk egy kis töredék megjelenítésére a korábbiakból, majd függőlegesen felvillantottuk - és ezzel az arcszinuszos gráfot ábrázoltuk.

Azok, amelyek ezen az intervallumon a függvényhez az argumentum értékei, akkor az arcszinuszhoz a függvények értékei lesznek. Ez így megy! A szinusz és az arszinusz pedig kölcsönösen megfordítható függvények. A kölcsönösen fordított függvénypárok egyéb alkalmazásai közé tartozik a és, valamint a megjelenítési és logaritmikus függvények.

Nyilvánvaló, hogy a kölcsönösen burkolt függvények grafikonjai szimmetrikusak és egyenesek

Hasonlóan fontos, hogy a Csak függvénynek legyen egy szakasza, amely megfelel a koszinusza értékének, és ha ismerjük a koszinuszát, akkor biztosan tudhatjuk a koszinusz értékét. Menjünk egy kört

Az a szám ív koszinuszát számnak nevezzük , És akkor mi van?

Könnyű megjegyezni: „a fenevad ív koszinusza él”, és nem csak a vadállat, hanem egy életen át

Megnevezés: Az ív koszinusz területe osztás Az érték területe osztás

Nyilván az a lényeg, hogy egy új skinen csak egyszer veszik fel a koszinusz értékét. Más szavakkal, a koszinusz bőrértékét -1 és 1 között intervallumonként egy érték jelzi

Az ív koszinusz sem nem párosított, sem párosítatlan funkció. Ezután kiemelhetjük a nyilvánvalóbb összefüggést:

Készítsünk függvénygrafikont

Olyan funkciómegosztásra van szükségünk, hogy az egyhangú legyen, hogy a bőr pontosan egyszer vegye fel a jelentését.

Válasszuk ki a vidrezokat. Ekkor a függvény monoton csökken, így a szorzók és egymás közötti megfelelés egyedi. Az x bőrértékét megerősíti az y értéke. Ebben a szakaszban a főfüggvényt koszinuszba csomagoljuk, majd az y = arccosx függvényt.

Emlékezzen a táblázatra az arc koszinusz értékek használatával.

Az x szám ív koszinusza, amely az intervallum, az y szám lesz, amely az intervallum, tehát

Ez azt jelenti, töredékek;

Szóval jak;

Szóval jak,

Szóval jak,

Ív koszinusz gráf tengelye:

teljesítmény funkció

1. Elsődleges terület

2. Jelentősségi terület

ezt a funkciót alig várom- nincs se páros, se páratlan.

4. A függvény szigorúan csökkenő. Az y = arccosx függvény a legnagyobb értéket, egyenlő nullával at, és a legkisebb értéket, amely nullával egyenlő, a következőt veszi fel.

5. A függvények kölcsönösen kölcsönösek.

Lépések - arctangens és arccotangens.

Egy szám arktangense a szám , És akkor mi van?

Időpont egyeztetés:. Az arctangens értékterület az intervallum, az értékterület az intervallum.

Miért tartalmazzák a jelzett arctangensek a végeket és az intervallumokat - pontokat? Fontos, hogy ezeken a pontokon az érintőnek ne legyen értéke. Nem tudom az a számot, egyenlő az érintővel legyen bármelyik ilyen mulatozó.

Készítsük el az arctangens grafikonját. Az értékek alapján az x szám arctangense az az y szám, amely az intervallumba esik, így

Az már világos, hogy lesz menetrend. Az arctangens töredékek az arctangens függvényei, így ezt így tehetjük meg:

A függvénygráf olyan részét választjuk ki, hogy x és y kapcsolata kölcsönösen egyértelmű legyen. Ez alatt az intervallum alatt a függvény maximum értéket vesz fel

akkor return függvény, Ekkor a függvény, a terület lesz a teljes számsor, legfeljebb és az érték területe az intervallum

jelenti,

jelenti,

jelenti,

De mi lesz az x páratlanul nagy értékeivel? Más szóval, hogyan hajtja végre ezt a funkciót?

Meg tudjuk adni a saját táplálékunkat: az intervallumban melyik szám esetében az érintő egyenes a végtelenhez? - Magától értetődően

Ez azt jelenti, hogy végtelenül nagy x érték esetén az arctangens gráf megközelíti a vízszintes aszimptotát

Hasonlóképpen, ahogy az arctangens gráf közeledik a vízszintes aszimptotához, ahogy növekszik mínusz inkonzisztenciáig

A kicsinek - függvénygrafikon

teljesítmény funkció

1. Elsődleges terület

2. Jelentősségi terület

3. A funkció nincs párosítva.

4. A funkció szigorúan növekszik.

6. A függvények kölcsönösen reverzibilisek – különösen, ha a függvényt összefüggőnek tekintjük

Hasonlóképpen jelentős az arckotangens függvény és annak grafikonja is.

Az a szám arckotangensét számnak nevezzük , És akkor mi van?

Függvénygrafikon:

teljesítmény funkció

1. Elsődleges terület

2. Jelentősségi terület

3. Funkció - más módon, nem párosított és nem párosított.

4. A függvény szigorúan csökkenő.

5. Egyenes vonalak - a függvény vízszintes aszimptotái.

6. A függvények kölcsönösen kölcsönösek, ezért nézze meg a rést

Ebben a cikkben a trigonometria olyan fontos fogalmait fogjuk megvizsgálni, mint az arcszinusz, az arkkoszinusz, az arctangens és az arckotangens. Ismerhetjük a számok értékeit (kuti), ha ismerjük a trigonometrikus függvények adatait; Ez az a feladat, ami elvezet minket a kapufunkciókhoz.

Az alábbiakban nem csak a főbbek jelentőségét és a mögöttes jelentéseket engedjük megérteni, hanem bemutatjuk a szabályokat is, hogy egyértelmű legyen, mit is képviselnek. Végül megpróbáljuk összekapcsolni az arccotangens, arctangens, arccosine és arcsine fogalmát az egységes kotangens fogalmaival.

Fő cél

Az összes új fogalom - arcszinusz, arkoszinusz, arctangens és arckotangens - számokban és számokban egyaránt látható. Korábban már beszéltünk ugyanarról a közvetlen függvényektől való függésről (szinusz, koszinusz stb.) Nézzük meg egymás mellett a támadást.

Arcsine és egyéb kapufunkciók, mint pl

Tegyük fel, hogy van egy szinuszunk, amely egyenlő 1 2-vel. Ezt az alfa betű jelképezi.

Nos, sin α = 1 2. Ugyanaz a szinuszérték létezhet korlátlan számú vágás esetén: α = (- 1) k · 30 ° + 180 ° · k (α = (- 1) k · π / 6 + π · k) , ahol k ∈ Z. Ezért további gondolkodást kell bevezetnünk. Legyen az alfa legalább - 90 és legfeljebb 90 fok (tehát (radiánban lesz egy szakasz [- π 2, π 2]),). Ilyen helyzetben a buzgóságunk α = 1 2 lehetővé teszi, hogy tisztábban definiáljuk a vágott alfa-t: ilyen elmékben csak egy vágás lesz - 30 fok (π 6 radián).

Az adott egyenletből kiindulva előállíthatunk egy olyan képletet, amelyben az alfa számítható tetszőleges számra a ∈ [- 1, 1] és elme - 90 ° ≤ α ≤ 90 °. Ez az a szám arcszinusza.

Fogalmazzuk meg a főbb jelentéseket.

érték 1

• arcszinusz- ez a funkció bűn. Adott a szám esetén a won egy 90-90 fokos határérték, a megfelelő a szám sine.
• ív koszinusz- függvény, megfordítható koszinusz. Az a - számhoz van egy olyan érték, amelynek cos-ja hasonló az a-hoz, és amely 0 és 180 fok közötti tartományban van.
• arctangens- trigonometrikus függvény, reverzibilis érintő. Adott számra a u 1 cent, amelynek értéke a - 90 és 90 fok közötti tartományban van, amelynek érintője egyenlő a-val.
• arccotangens az a számok is 0 és 190 fok között vannak, amelyek kotangense hasonló a-hoz.

Feltehetően: így az a r c sin 0, 3 bejegyzés bármi mást jelent, mint a 0, 3 szinuszát; a r c cos 0, 7 - koszinusz 0, 7 és így tovább.

A trigonometrikus függvények írásához az a r c sin, a r c cos, a r c t g і a r c c t g formájú aláírásokat használjuk. Egy részük a hordozókban van, különösen a csendesek, amelyeken tárolva vannak angol, Az arctangens és az arctangens néhány más jelentését is beállíthatja - a r c tan és a r c c o t. A bűz ugyanazt jelenti, de ha nincs szélesebb, akkor nem fogunk vele foglalkozni.

Ez az állítás rövidebb és szimbolikusabb formában is megfogalmazható:

Vicenza 2

• arcsin az a számok mínusz egytől egyig є kut з sin α = egy érték - 90 ° ≤ α ≤ 90 ° (- π 2 ≤ α ≤ π 2)
• arccos az a számok mínusz egytől egyig є kut 3 cos = egy érték 0 ° ≤ α ≤ 180 ° (0 ≤ α ≤ π)
• arctg tetszőleges szám lehet a є kut z t g α = a méret - 90 °< α < 90 ° (− π 2 < α < π 2)
• arctg tetszőleges szám a є kut z c t g α = a 0 ° nagyságú< α < 180 ° (0 < α < π)

Kérjük, vegye figyelembe, hogy az arcsin és arccos értékeiben a tartomány mínusz egytől plusz egyig terjed, és két másik függvény esetében ez lehet egy szám is. Kiderül, hogy a 3-as ívszinusz kisebb belépés, és még a három sem fér bele a kijelölt tartományba. Ezenkívül az a r c sin 5, a r c cos - 7, a r c sin - 3, 7 2 3 és minden más olyan érték, amely túllépi a szükséges küszöböt, sőt a szinusz és a koszinusz nem több, mint egy vagy kevesebb Inus egy . Az arctangens és az arckotangens esetében nincs ilyen probléma, számukra bármilyen effektív szám megfelel, beleértve a nullát stb.

fenék 1

Most nézzük meg a számok forgatófüggvényeinek alkalmazásait. A csutkához arcszint veszünk. Ebből az alapértékből kiderül, hogy π 3 a 3 2 szám arcszinusza, tehát (ebben az esetben α = 3 2 és α = π 3).

A 3 2 egy olyan szám, amely kisebb egynél és több mínusz egynél, és ahol π 3 - π 2 és π 2 és sin π 3 = 3 2 között van.

fenék 2

Más alkalmazásokban a r c sin a r c sin (- 1) = - 90 °, a r c sin (0, 5) = π 6, a r c sin (- 2 + 2) = - π 4 alakban van felírva. π 10 esetén, nem tehet mást, mint a r c sin 1, 2, tehát sin (π 10) ≠ 1 2.

fenék 3

Vegyük ezt a példát: sin 270 fok - mínusz egy, de ezzel a megfordítással ez helytelen: vágás 270 - NEM arcszinusz - 1, tehát egy r c sin esedékes, de legfeljebb 90 fok. A 270 fokos kör nem a kívánt szám arcszinusza, így a szükséges tartományon kívül esik.

fenék 4

Ismerjük más kapufunkciók alkalmazását. Tehát ahol 0 radián = arccosine 1, akkor a r c cos 1 = 0. Itt az összes arkkoszinusz érték lecsökken, a szükséges szakasz száma, ahol a megadott érték nulla és pi között van, és cos 0 = 1. Vágás π 2 - nulla ív koszinusza: a r c cos 0 = π 2.

fenék 5

Az arctangens értékei alapján az érték a r c t g (- 1) = - π 4 vagy a r c t g (- 1) = - 45 °. A gyök arctangense háromszor 60 fok (π 3 rad). Ezért létrehozhat egy olyan képletet, amelyben a r c c t g 0 = π 2, mivel π 2 a 0 és π i c t g (π 2) = 0 keretein belül van.

Ha jobban meg szeretné érteni ezt a megközelítést a trigonometrikus függvények kiszámítása előtt, javasoljuk Kochetkov asszisztensét (1. rész, 260-278. oldal)

Az Arcsine és egyéb kapuk számként funkcionálnak

Ebben az esetben, mivel a nyelvi problémában mondjuk egy sarok szinuszáról beszélünk, logikus, hogy az arcszinuszát sarokként vesszük. Ha például ki kell számítanunk egy valós szám koszinuszát, akkor fontos, hogy egy másik nézőpontot vegyünk, és a visszatérési függvényeket számként tekintsük. Más megközelítést alkalmazva kissé átfogalmazhatja a jelentést:

satu 3

• arcszinuszés є éneklő mennyiség, t ∈ [- π 2, π 2], valamilyen a szinusza.
• ív koszinusz az a ∈ [- 1, 1] szám megegyezik a t ∈ [0, π] számmal, valamilyen a relatív koszinuszával.
• arctangens számok a ∈ (- ∞, + ∞) - t ∈ (- π 2, π 2) számok is, amelyek érintője hasonló az a-hoz.
• arccotangens az a ∈ (- ∞, + ∞) és a t ∈ (0, π) számokat is, amelyek kotangense hasonló a-hoz.

Az ilyen megfogalmazások a legtöbb jelenlegi matematikatanárra jellemzőek.

fenék 6

Melyik pályát érdemes választani? Hogyan lehet jobban megérteni az arcszinusz és más függvények szóként, és ha igen, mint szám jelentését? Ez összefüggésben érthető. Mondjuk, a r c sin a - 11 °, akkor ennyi. Ha felírjuk a π - a r c t g a alakot, akkor mindenre egyszerűen a kihalások száma radiánban. A képlet egyszerűen a r c sin, a r c c t g i in. Számok és jelentések hozzáadása nélkül szabadon választhatunk bármilyen megközelítést.

A számok átjárófüggvényei geometriailag világosabban kimutathatók: ha különböznek is, de egy széken ábrázolhatók. Könnyű pénzt keresni, hiszen nem felejtette el a főbb közvetlen funkciók alapvető jelentőségét.

Hogy mire van szükségünk, azt már többször tudjuk. Ezek az ívek, amelyek a fő áramköröket összekötik egymással, jelzik a kapufunkciók nagyságát.

Például vegyük azt az ívet, amely az a dal arcszinuszát illusztrálja. Rajzoljunk egy szinuszvonalat, és jelöljünk rajta egy pontot az a értékre. Ezekről a pontokról most az abszcisz tengelyére kell lépnie (nagyon pozitív irányba). Nagyon különleges időnk van, ami különleges módon fog megtörténni. Az a szám arcszinusza a kör ívének a ponttól a koordinátákig terjedő része. Nyilvánvalóan két megközelítés létezik a függvények megtekintésére: számként és számként. A vágás, amely az ívhez kapcsolódik, az első megközelítésen belüli arcszinusz illusztrációja, az ív galambja pedig enyhén kifejezve a másikon belüli arcszinust szemlélteti.

Most íveket rajzolunk, amelyek más kapufüggvényeket illusztrálnak számunkra. A másik diagramon a bűzt kék vonalak jelzik. Nézze meg, hogyan ábrázolhatja grafikusan az a r c sin, a r c cos, a r c t g, a r c c t g fogalmakat egy bizonyos a számra (nagyobb tartományokban):

Visnovok: mi az ívfüggvény

Azonnal megfogalmazhatjuk: tetszőleges a a ∈ [- 1, 1] számra kiszámolhatjuk az értékeket - arcszinusz és arkkoszinusz, valamint minden valós számra - az arctangens és az arccotangens. Ez a nézőpont lehetővé teszi az argumentum számértékei és a függvény konkrét értéke közötti beállítást.

Csodálkozhatunk az a r c sin, a r c cos, a r c t g i a r c c t g, valamint a számok és értékek fogalmain. Ha számoknak vesszük őket, akkor numerikus függvényeken alapulnak: a bőrértéket a szám képviseli.

Feltehetően: mindezek a fogalmak megegyeznek a trigonometrikus függvények fordítottjával. A név egyértelmű: az arcszinusz a szinusz, az arccosine a koszinusz, az arctangens az érintő, az arckotangens a kotangens. Ezért egy másik elnevezésük kibővült - az arcfunkció.

Ha szívességet jelölt meg a szövegben, kérjük, nézze meg, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűket

Kapu trigonometrikus függvények(Körfüggvények, ívfüggvények) - matematikai függvények, például konverziós trigonometrikus függvényekkel.

Előtte 6 funkciót adhat hozzá:

• arcszinusz(Kijelölés: arcsin x; arcsin x- tse kut, bűn melyik a régebbi x),
• ív koszinusz(Kijelölés: arccos x; arccos x- tse kut, valamiféle koszinusz x stb),
• arctangens(Kijelölés: arctan x különben arctan x),
• arccotangens(Kijelölés: arcctg x különben arccot ​​​​x különben arccotan x),
• íves(Kijelölés: arcsec x),
• arccosecant(Kijelölés: arccosec x különben arccsc x).

arcszinusz (y = arcsin x) - return függvény ig bűn (x = sin y . Más szóval, hátat fordít az övéi jelentésének bűn.

ív koszinusz (y = arccos x) - return függvény ig kötözősaláta (x = cos y kötözősaláta.

arctangens (y = arctan x) - return függvény ig tg (x = barna y), Mekkora az érték területe és az érték szorzása . Más szóval, hátat fordít az övéi jelentésének tg.

arccotangens (y = arcctg x) - return függvény ig ctg (x = cotg y), Mi az értékterület és az érték szorzata. Más szóval, hátat fordít az övéi jelentésének ctg.

arcsec- arcsekant, megfordítja a szekáns jelentését.

arccosec- arccosecant, elforgatja ennek a koszekánsnak az értékét.

Ha a visszatérő trigonometrikus függvényt nem a kijelölt ponton mérjük, akkor értékei nem jelennek meg az altáblázatban. funkciókat arcsecі arccosec nincsenek hozzárendelve a (-1,1) szakaszhoz, de arcsinі arccos A számok csak szekciónként [-1,1] jelennek meg.

A visszatérési trigonometrikus függvény nevét az „arc-” előtag hozzáadásával határozzuk meg (a latin. ív minket- ív). Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a fordított trigonometrikus függvény geometriai értékei az ív hosszához kapcsolódnak egyetlen karóhoz (vagy ahhoz, amely ezt az ívet alátámasztja), amely megfelel ennek vagy annak a vágásnak.

Mások a külföldi szakirodalomban, mint például a tudományos/mérnöki számológépekben, úgy vannak megjelölve bűn -1, cos -1 az arcszinusz, arkoszinusz stb. esetében nem fontos, hogy teljesen precízek legyünk, mert nyilvánvaló különbség van aközött, hogy a függvények egy lépésre redukálódnak −1 (« −1 "(Mínusz az első lépés) jelzi a funkciót x = f -1 (y), Kapu funkció y = f(x)).

Alapvető összefüggések a fordított trigonometrikus függvények között.

Itt fontos időközönként tiszteletet tanúsítani bizonyos igazságos formulák iránt.

Képletek, amelyek az átjáró trigonometrikus függvényeihez kapcsolódnak.

Lényeges, hogy a becsomagolt trigonometrikus függvények értéke át legyen Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot ​​​​xés gondosan kiválasztott: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot ​​​​x fő jelentéseikhez, akkor a köztük lévő kapcsolatokat olyan kapcsolatok fejezik ki.

Függvény, megfordítható koszinusz

Az y = cos x függvény értékterülete (div. 2. ábra) egy szakasz. Az időszak alatt a függvény folyamatos és monoton csökken.

Kicsi 2

Ez azt jelenti, hogy a szakaszhoz rendelt függvény az y = cos x függvény fordítottja. Ezt a visszatérési függvényt arccosine-nak nevezzük, és y = arccos x-nek nevezzük.

időpont egyeztetés

Az a szám ív koszinusza, yakscho | a | 1, hívja a vágást, amelynek koszinuszát a vágásba helyezzük; yogo jelent arccos a.

Ilyen módon az arccos a kut, ami a következő két elme számára tetszik: сos (arccos a) = a, | a | 1; 0? arccos a? R.

Például arccos, így cos i; arccos, olyan mint a cosi.

Az y = arccos x függvény (3. ábra) egy szakaszhoz van rendelve, értékének területe a szakasz. Egy szakaszon az y = arccos x függvény nem folytonos és monoton p-ről 0-ra csökken (az y = cos x töredékek folytonos és monoton csökkenő függvények egy szakaszon); a vágás végén eléri szélső értékeit: arccos (-1) = р, arccos 1 = 0. Jelentős, hogy arccos 0 =. Az y = arccos x függvény grafikonja (div. 3. ábra) szimmetrikus az y = cos x függvény y = x egyenes grafikonjára.

Kicsi 3

Mutassuk meg, mit jelent a féltékenység: arccos (-x) = р-arccos x.

Igaz, hogy az értékek mögött 0 van? arccos x? R. A maradék részegyenlőtlenség minden részét megszorozva (-1)-gyel, eltávolíthatjuk a - p? arccos x? 0. Ha a maradék egyenlőtlenség minden részéhez hozzáadjuk p-t, tudjuk, hogy 0? p-arccos x? R.

Így az arccos (-x) és a p - arccos x jelentése ugyanabba a szakaszba tartozik. Mivel a koszinusz monoton csökken a szakaszban, akkor nem lehet két különböző oldal, amely a koszinusszal egyformán oszcillál. Ismerjük az arccos (-x) és p-arccos x koszinuszát. A cos (arccos x) = - x értékekhez, a megadott képletekhez és az értékekhez a következőket tehetjük: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Nos, a kuti koszinuszai egyenlőek, ami a szakadékot és magát a kuti-t jelenti.

Funkció, sinus vese

Nézzük meg az y = sin x függvényt (6. ábra), mint a [-р / 2; p / 2] növekvő, folyamatos és a [-1; 1]. Tehát a vágáshoz [- r / 2; r / 2] a függvény hozzá van rendelve, a visszatérési függvény y = sin x.

Kicsi 6

Ezt a visszatérési függvényt arcszinusznak nevezzük, és y = arcsin x-nek nevezzük. Bemutatjuk az a szám arcszinuszának értékét.

Az a szám arcszinusza, amelyet metszetnek (vagy ívnek) neveznek, az ősi a szám szinusza, amely a [-р / 2; p/2]; yogo jelentése arcsin a.

Ily módon arcsin a є kut, ami a nemzedék elméjének tetszik: sin (arcsin a) = a, | a | 1. sz.; -p/2? arcsin mi? p / 2. Például mivel a sin i [- p / 2; p/2]; arcsin, tehát sin = i [- p / 2; p/2].

Az y = arcsin x függvény (7. ábra) a [- 1; 1], az értékek területe a [-р / 2; p/2]. Vágáshoz [- 1; 1] az y = arcsin x függvény nem folytonos és monoton módon növekszik -p / 2-től p / 2-ig (ez abból adódik, hogy az y = sin x függvény a [-p / 2; p / 2] szakaszban nem folytonos és monoton nő). A won a legnagyobb értéket x = 1 esetén veszi fel: arcsin 1 = p / 2, és a legkisebb értéket x = -1 esetén: arcsin (-1) = -p / 2. x = 0 esetén a függvény egyenlő nullával: arcsin 0 = 0.

Mutassuk meg, hogy az y = arcsin x függvény párosítatlan, akkor arcsin (-x) = - arcsin x bármire x [ - 1; 1].

Hatékonyan az okok miatt a yakscho | x | ? 1, maєmo: - r/2? arcsin x? ? r / 2. Ily módon vágja le az arcsin (-x) i - arcsin x egy és ugyanabban a szakaszban fekszik [ - r/2; p/2].

Ismerjük a sinus tsich-et kutіv: sin (arcsin (-x)) = - x (az értékekhez); Mivel az y = sin x függvény párosítatlan, ezért sin (-arcsin x) = - sin (arcsin x) = - x. Nos, a cutives melléküregeinek egyedül kell feküdniük, és a [-p / 2; p / 2], egyenlő, ami egyenlőt és önmagukat jelenti, majd arcsin (-x) = - arcsin x. Ez azt jelenti, hogy az y = arcsin x függvény nincs párosítva. Az y = arcsin x függvény grafikonja szimmetrikus a koordinátákkal.

Mutassuk meg, hogy arcsin (sin x) = x bármilyen x esetén [-p / 2; p/2].

Helyes, az -r / 2 értékekre? arcsin (sin x)? p / 2, és az elme mögött - p / 2? x? p / 2. Ez azt jelenti, hogy x és arcsin (sin x) az y = sin x függvény monotonitási intervallumán belül van. Mivel az ilyen kuti melléküregei egyenlőek, maguk a bordák egyenlőek. Ismerjük ezeknek a kutinak a szinuszát: kuta x esetén sin x, kuta arcsin (sin x) esetén sin (arcsin (sin x)) = sin x. Kivettük, hogy a vágás szinusza egyenlő, akkor, és a vágás egyenlő, akkor arcsin (sin x) = x. .

Kicsi 7

Kicsi 8

Az arcsin (sin | x |) függvény grafikonját a modulhoz társított kezdeti transzformációkkal kapjuk meg az y = arcsin (sin x) gráfból (a 8. ábrán szaggatott vonallal látható). Az y = arcsin (sin | x- / 4 |) grafikon a / 4-en lévő új bontásból jön ki jobbra az abszcisz tengely mentén (a 8. ábrán folyamatos vonallal ábrázolva)

Funkció, visszatérési érintő

Az y = tg x függvény az összes számértéket felveszi a kettő között: E (tg x) =. Ebben az időszakban folyamatos és monoton nő. Ez azt jelenti, hogy az intervallumon egy függvény van definiálva, az y = tan x visszatérési függvénye. Ezt a visszatérési függvényt arctangensnek nevezzük, és y = arctan x.

Egy szám arctangensét interspace-nek nevezzük, amelynek érintője hasonló a-hoz. Ily módon arctg a є kut, ami örömet okoz a következő elméknek: tg (arctg a) = a і 0? arctg a? R.

Ezért bármilyen x szám is legyen, az y = arctan x függvénynek (9. ábra) mindig ugyanaz az értéke lesz feltüntetve.

Nyilvánvaló, hogy D (arctg x) =, E (arctg x) =.

Az y = arctg x függvény növekszik, az y = tan x függvény pedig növekszik az idő múlásával. Nem számít, hogy arctg (-x) = - arctgx, mivel az arctangens egy párosítatlan függvény.

Kicsi 9

Az y = arctg x függvény grafikonja szimmetrikus az y = tg x függvény grafikonjával vízszintesen egyenes y = x, az y = arctg x grafikonja átmegy a koordináták fülén (arctg 0 = 0 esetén) és szimmetrikus a koordináták fülére (mint egy párosítatlan függvény ї grafikonja).

Megállapítható, hogy arctg (tg x) = x, ahol x.

Funkció, kapu Kotangens

Az y = ctg x függvény az intervallum összes numerikus értékét felveszi. Értékeinek tartománya elkerülhető az összes aktív szám törlésével. Eközben az y = ctg x függvény folytonos és monoton növekszik. Ez azt jelenti, hogy ezen az intervallumon a függvény hozzá van rendelve, az y = ctg x függvény visszatérése. A függvényt, a visszatérési kotangenst arccotangensnek nevezzük, és y = arcctg x-nek nevezzük.

Az a szám arckotangensét kutnak nevezzük, ami egy rést helyez el, melynek kotangense hasonló a-hoz.

Ily módon arcctg a є kut, ami a következő elméket kedveli: ctg (arcctg a) = a i 0? arcctg a? R.

A fordított függvény értékéből és az arctangens értékéből D (arcctg x) =, E (arcctg x) =. Az arccotangens egy lecsengő függvény, így az y = ctg x függvény az intervallumban csökken.

Az y = arcctg x függvény grafikonja nem mozdítja el az egész Oh-t, mivel y> 0 R. x = 0-nál y = arcctg 0 =.

Az y = arcctg x kép per baba függvény grafikonja 11.

Kicsi 11

Lényeges, hogy x minden aktív értékére igaz az azonosság: arcctg (-x) = р-arcctg x.