Adams - a 19. századi angol csillagász és matematikus, aki széles körben foglalkozott az égi mechanikával. A bolygók eltérő pályájával fokozatosan numerikusan integrálnia kellett a rukh szintjét. A számítások minimalizálása érdekében Adams kidolgozta az egyik leggazdaságosabb módszert a differenciálegyenletek numerikus megoldására, amelyet most tovább fogunk tárgyalni.

Engedd el - a differenciálkiegyenlítés döntése. Erre a célra az egyenlőség a helye

A rács két pontja között integrálva a kapcsolat feltárul

.

Ebben a tekintetben nem lehetünk győztesek a győzelmi folyamatban lévő átmenet közvetítése nélkül -edik rácspont
-Ó, a funkció töredékei
számunkra nem látható. Az időnyerés érdekében ezt a függvényt megközelítőleg ki kell cserélni egy kiszámítható függvényre. Írjuk le, hogyan merül fel ez a probléma az Adams-módszerben.

A probléma numerikus megoldása során vigyük a fejlesztést a lényegre . Vizsgálataink eredményeként a következő értékeket tártuk fel: і
,
. Vegyünk egy rögzített egész számot
és interpolációs polinomot fogunk használni
-edik lépés, amely pontokon történik ,
jelentőség

,
.

Ez a Lagrange-képlet segítségével írható fel

,

de
alak speciális polinomjai

ahogy a harmadik részben már láttuk.

Az Adams-módszer fő gondolata abban rejlik, hogy a fejlesztéshez
módosítsa a képletet a típusra, lecserélve a benne lévő függvényt
interpolációs polinomhoz
, A betétek az előző számítások eredményein alapulnak. Ez egy visszatérő képletre redukálható

,

.

Nézzük meg közelebbről a Cauchy-feladat numerikus megoldásának diagramját annak legegyszerűbb formáiban
і
Ha a technikai nehézségek nem akadályozzák a módszer ötletének látásmódját. nál nél
a függvény közelítéséhez
a nullafokú polinom vikorista, azaz konstans

.

Ily módon a képlet átalakítható az Euler-módszer visszatérő képletévé

,

amely biztosítja az elsőrendű pontosságot. Ez az eredmény önmagában triviális. Ezt csak azért idéztük, hogy megmutassuk, hogy az Adams-módszer, valamint a Runge-Kutta metódus esetében a kimeneti pont az Euler-séma.

Térjünk át az opció további vizsgálatára
. Milyen módon közelítsük a függvényt
Az első szakasz polinomja, az értékelt függvények mögötti motiváció a vikorista két ponton
і
:

A képletbe beillesztve és az integrációt végrehajtva eltávolítjuk

.

Fontos megjegyezni az ismétlődő képlet sajátosságait. A hálófüggvény vázlatértékének bővítése
két előremenő pont értékeit kell tudni і
. Így a képlet csak egy másik pontról kezd működni. Számítsa ki a segítségével Ez nem lehetséges. Egy kiskereskedelmi probléma megoldásának értékét más módszerrel, például Runge-Kutta módszerrel kell kiszámítani.

Az ismétlődő képlet felírható kiskereskedelmi egyenlet formájában

.

A differenciálegyenlet közelítésének új megközelítését reméljük

Tegyük fel, hogy a függvény
Lehet, hogy a számunkra fontos területen, megszakítás nélkül váltogatjuk az érveket és más hasonlókat, hogy a probléma megoldódjon
trichy folyamatosan differenciál. Taylor elrendezésének rögzítése

A képletbe beillesztve eltávolítjuk

.

Értékelést írhatsz

,

de
- helyhez kötött, a harmadik mozgó funkciót nagyobb hangsúlyt fektetve
:

,
.

Úgy gondoljuk, hogy az Adams-módszer iránti tiszteletünk rendkívül előnyös
, Megközelíti a differenciálegyenletet eltérő pontossággal . Hasonlóan a Runge-Kutta módszerhez, ez is eltérő pontossági sorrendet biztosít a megoldás megtalálásához
ha pörkölt, mi a fontos , Ha a biztosítás nem szabványos, akkor más sorrendben kerül kiszámításra a pontosság.

A pontosabb diagramok készítésének folyamata a költségek töredékéért folytatható
. nál nél
a kapott séma harmadrendű pontosságú, azzal
- negyedik stb. A negyedrendű séma, akárcsak a Runge-Kutta módszernél, a legelterjedtebb, ezért röviden összefoglaljuk annak megállapításait és megbeszéléseit.

Hogyan írjunk egy harmadik fokozatú interpolációs polinomot
a weben négy pontról ,
,
,
és hajtsa végre az integrációt, akkor az ismétlődő képlet így fog kinézni:

Bemutatjuk ennek a képletnek egy másik rögzítési formáját az úgynevezett végső felosztásokon keresztül

Az első, második és harmadik felosztás nagyon hasonlít az első, második és harmadik hasonló funkcióra
. A képletek egyenértékűsége könnyen ellenőrizhető különbség nélkül. Az inode képlet kényelmesebb a számítási folyamat megszervezéséhez és a pontosság ellenőrzéséhez.

Az Adams-módszer sajátossága még erősebben nyilvánul meg a képletben, mint a képletben. Itt a chergovogo jelentésének szétválogatása céljából
tudnia kell a jelentését több ponton előre - ,
,
,
. Ily módon a képlet csak a negyedik ponttól kezd működni. Számítsa ki a segítségével ,,Ez nem lehetséges. Egy kiskereskedelmi probléma megoldásának jelentőségét más módszerrel, például Runge-Kutta módszerrel kell meghatározni.

Térjünk át a séma pontosságának megvitatására. Mi a funkciója
Folyamatosan keressük érveinket a számunkra fontos területen, hogy megváltoztassuk, így a probléma megoldódott
megszakítás nélkül ötször differenciálódik, akkor a differenciális kiegyenlítés negyedrendű pontossággal közelíti a differenciálkiegyenlítést. . Ennek az állításnak a bizonyítása ugyanúgy történik, mint az eltérő sorrendű sémák esetében, csak most az ilyen típusú elrendezésekben több tagot kell beépíteni. A közelítő kiegyenlítés negyedik rendű pontossága a megoldás visszanyerésének negyedik rendje
pörköltkor mik a csutkaértékek az Adams-módszerhez? ,,ugyanolyan pontossággal számítják ki. Fontos odafigyelni, és fontos, hogy a számítási folyamat kezdeti szakasza ne vezessen be olyan hibát, amely tönkreteszi az összes későbbi eredményt.

Zavdanya 5.

Oldjuk meg a Cauchy-problémát, mellékesen
krokkal
egy másik Adams-séma mögött és a negyedik sorrendben. Hasonlítsa össze az elemzés eredményeit egymással, a Runge-Kutta séma alapján végzett elemzés eredményeivel és a tanszék analitikai megoldásaival.

A felosztások eredményei a 2. táblázat negyedik és ötödik oszlopában láthatók. Nyilvánvalóan beállítás előtt a negyedik oszlopot a másik és a hathoz, az ötödik oszlopot pedig a harmadikhoz és a hatoshoz kell igazítani. Érdemes megjegyezni, hogy a hatodik bekezdésben a vizsgált probléma analitikus megoldását (53) adjuk meg, így a vele való összehasonlítás lehetővé teszi a legközelebbi megoldás pontosságának megítélését a Runge-Kutta séma és az Adams séma segítségével.

Az Adams-féle más pontosságú séma kidolgozása azzal kezdődik , Negyedik - s . jelentőség a negyedik bekezdésben, ,,Az ötödik oszlopban azonos sorrendben a Runge-Kutta konstrukció szerint biztosítottak, így a táblázatban a többi és a harmadik oszlop hasonló adatai mellett jelennek meg. Két módszer elemzési eredményeinek analitikai megoldásokkal való kiegyenlítése azt mutatja, hogy ezek pontossága megközelítőleg azonos.

Sémák összehasonlítása a negyedik pontossági renddel a Runge-Kutta és Adams módszerben a számítási folyamat szervezése szempontjából. Ahhoz, hogy egy órát keressen a Runge-Kutta módszerrel, ki kell értékelnie a függvényt
többször, de az Adams-módszerben csak egyszer. A három elülső pontnak van funkciója
már előre megszámolták, és nem kell újra számolni. Ez az Adams-módszer nagy előnye, amelyet különösen nagyra értékeltek a számítógépezés előtti korszakban.

Az Adams-módszer fő hátrányát már korábban megfogalmaztuk: amikor az első lépések lefagynak, akkor egy másik módszerrel kell dolgozni, például a Runge-Kutta módszerrel, és csak ezután lehet átváltani az Adams fejlesztésére. rendszer. Így a Cauchy-probléma Adams-módszerrel történő megoldására szolgáló programnak elemként kell tartalmaznia a Runge-Kutta módszer feladatmegoldó programját. cob színpad számítási folyamat.

Adams módszerének ezzel a sajátosságával egy másik probléma is társul. Differenciálegyenlet numerikus integrálásakor gyakran meg kell változtatni a küszöbértéket . A Runge-Kutta módszer nem okoz nehézséget, a bőrdarabkák az előzőtől függetlenül lebomlanak. Az Adams-módszernek más a helyzete. Itt vagy már az elejétől be kell programozni, hogy a vágás megváltoztatásával teljes legyen a hajtogatási képlet, majd a vágás bőrcseréje után Runge-Kutta módszerrel újra megrajzolja az első három pontot. Csak ezután válthat át a standard keretre az Adams-módszerrel. Ezek a hiányosságok oda vezetnek, hogy manapság a számítógépes alkalmazásoknál gyakran előnyt élvez a manuálisabb Runge-Kutta módszer.

Adams-módszer

Cauchy-probléma esetén keresse meg valamilyen módon (például Euler vagy Runge-Kutta módszerrel) a kívánt függvény három utolsó értékét

Számolható mennyiségek.

Az Adams-módszer lehetővé teszi, hogy egy függvénytáblázatból megtudja a probléma megoldását - a függvényt. A kivont táblázat négypontos folytatása az Adams-féle extrapolációs képlet alapján történik:

Ezután a finomítást Adams interpolációs képlettel hajtjuk végre:

Adams módszere könnyen kiterjeszthető rendszerekre különbségi szintek. Az Adams-módszer problémája ugyanolyan nagyságú, mint a Runge-Kutta módszerrel.

Differenciálegyenletek meghatározása kis paraméterrel a nemlineáris transzcendentális és algebrai egyenletek javítására

Állítsuk be a függvényt megszakítás-differenciálás nélkül. Szükséges egy nem lineáris vagy transzcendentális szemlélet kialakítása

A gyakorlatban a kutatás direkt módszerekkel nem valósítható meg, ezért leggyakrabban iteratív módszereket alkalmaznak. Az összes iteratív módszer a (31) alakú transzcendentális és algebrai problémák megoldására két csoportra osztható:

diszkrét megoldási sémák.

non-stop megoldási sémák.

A diszkrét megoldási sémákat gyakrabban vették figyelembe. Felhívjuk figyelmét, hogy a túlbiztosítási módszerek fő hátrányai a következők:

a gubacsok közötti idő és a gyökér eredete közötti intervallum;

folyamatosan alacsony likviditás;

semmit nem mondanak a (31) sor gyökétől a gyökébe való mozgás szabályairól olyan időben, mint a tizedesjegyük.

A (31) egyenlet megoldásának állandó sémája felállítása után a gyökkeresés folyamata a legmagasabb egyidejű differenciálegyenlet irányába halad.

Legyen értelmes és monoton a kampány végével és kezdetével. A gyökök korábbi felfedezése (31), amely az egyszerű iterációs módszer állandó analógja, határvonalnak tekinthető a Cauchy-probléma megoldásában.

mivel rés van köztük. Jelentőssége a (33) Cauchy-feladat megoldásán keresztül, - a (31) egyenlet megoldásán keresztül. Akkor felmerülhet az azonosság. A helyreállítási időpontok beírása és a számítás többi részéből való távozás (33).

Taylor-sorba rendezve a pont körül a lineáris tagok megtartásával és a (34) kifejezés származtatásait behelyettesítve az egyenletekben egy kifejezetten differenciálegyenlet található, aminek megoldása megjelenhet.

Bachimo, ami tökre lelki gyengeség, az vimoga, úgy, mint ebben a helyzetben, és hát. Tekintettel arra, hogy egyhangú, a fennmaradó szint bővíthető a teljes vizsgált területre. Így a nem megszakítható áramkörök mentális felállítása az egyszerű iterációk módszerével (33).

A folyamatos megoldású áramkörök nagyobb működési sebességet és nagyobb megoldási pontosságot kínálnak, mint a hasonló diszkrét áramkörök. De a gubacs elmék elavultságának problémája és a gyökérről a gyökérre való átmenet szabályainak hiánya, amikor a (31) egyenletnek több megoldása van, feltáratlanná válik.

Amint a (33) differenciálegyenletből és a (31) egyenletből látható, a fennmaradó rész bal oldali részét a másodlagos rész helyettesíti. A megoldott feladat (33) durva közelítéseit helyettesítik a végső feladattal (31). Ez nemcsak nagy számítási veszteséggel jár, hanem a gazdaság likviditásának csökkenésével is.

Írjuk át a rivnyannyát (31) a látványnál

de - kis paraméter.

A (31) feladatból a (37) feladatba való átmenet elméletileg prímizálódik, így az egyenletet kis paraméterrel (37) megoldó integrálgörbék a (31) egyenlet összes megoldásán átmennek. Az egyenlet gyökereinek korábbi felfedezése az egyszerű iterációk módszerének megszakítás nélküli szinguláris analógjának tekinthető, mint interfész a Koshya problémájának megoldásában.

mivel rés van köztük.

A jelölés végrehajtása során a jelöléshez hasonlóan kijelöljük, eltávolítjuk, hogy a megoldás megegyezzen (37) a nézőponttal:

Ebben az esetben tehát a szellemi képességet (36) megfosztják magától.

A klasszikus sémák módosítását eltávolítottuk, hogy ne hazudjanak a kezdetek fejében, és a megoldás pontosabbá váljon. A hatékonyság gyorsaságának bizonyítására elfogadható, hogy az iteratív módszerek alkalmazása nem ad pontos megoldást, és bevezetik a megoldás pontosságát. A klasszikus és módosított módszerekkel történő pontos megoldás megtalálásának mozzanatai jelentősek, mivel i. Vikori (35) és (39) megoldások esetén írjuk fel a forma egyenlőtlenségeit

Ebből egyértelmű, hogy i. Ezek a jelentésbeli különbségek, és ami a legfontosabb, a fejlett módosítási módszerekkel végzett műveleti sebesség sokkal nagyobb, mint a klasszikusoké.

Jelenleg Adams módszerei az egyik legígéretesebb numerikus integrációs módszer a Cauchy-probléma megoldására. Bebizonyosodott, hogy ha Adams gazdag numerikus módszereit alkalmazzák a Cauchy-probléma 12. rendű megoldására, a stabilitási tartomány megváltozik. A sorrend további növekedésével az ellenállás területe, valamint a módszer pontossága növekszik. Ezen túlmenően, a gazdag módszereknél ugyanolyan pontossággal az integráció egy lépésében, kevesebb differenciálegyenlet helyes részét kell kiszámítani, mint a Runge-Kutta módszereknél. Adams metódusainak előnye, hogy könnyen megváltoztathatják az integráció idejét és a metódus sorrendjét.

A gyakorlatban Adams kétféle módszerét használják széles körben – explicit és implicit. Az explicit módszerek Adams-Beshfort módszerként ismertek, az implicit módszerek Adams-Moulton módszerként ismertek.

Nézzük meg a Cauchy-probléma megoldásának numerikus módszereit

A legmagasabb feladat (2. 1) esetén egytagú módszerekkel az yn + 1 értékek csak az xn előremenő pontban tárolódnak az információban. Feltételezhető, hogy az xn, xn-1 ... xn-k frontpontokra vonatkozó információk felhasználásával nagyobb pontosság érhető el. Ez a gondolat a gazdag módszer alapja.

A legtöbb gazdag módszer az offenzív megközelítésen alapul. Ha a (2. 1) egyenletet pontosan az y (x) megoldásba helyezi, és az egyenletet a vágásba integrálja, akkor töröljük:

Ha a (2.2) képletben az f (x, y (x)) függvényt a P (x) interpolációs polinomra cseréljük, a közelítési módszer megszűnik.

A P (x) polinom kialakításához elfogadható, hogy yn, yn-1 ... yn-k van a legközelebb az xn, xn-1 ... xn-k pontokban lévő csúcshoz. Fontos, hogy az xi csomópontok egyenlően legyenek megrajzolva a h csomóponttal. Ekkor fi = f (xi, yi), (i = n, n-1 .. n-k) - є megközelítés f (x, y (x))-hoz az xn, xn-1 ... xn-k pontokban.

Mivel P (x) egy megfelelő interpolációs polinomi szakasz, k kielégíti az elmét

Ha ezt a polinomot explicit módon integráljuk, akkor a következő módszert elhagyjuk:

Ha k = 0, a P (x) polinom egy fn-nel egyenlő konstans, és a (2.4) képlet átalakul Euler elsődleges módszerévé.

Ha k = 1, a P (x) polinom egy lineáris függvény, amely átmegy az (xn-1, fn-1) és (xn, fn) pontokon, azaz.

Polinom integrálása xn-ből xn + 1-be, kéttagú módszerrel

amely vikoryst információ két xn és xn + 1 pontban.

Ha k = 2, akkor P (x) másodfokú polinom, az (xn-2, fn-2), (xn-1, fn-1) és (xn, fn) adatok interpolálva vannak. Megmutatható, hogy egy hasonló módszer úgy néz ki

Ha k = 3, akkor a második módszert a képlet adja meg

A k = 4 maєmo

Lényeges, hogy a (2.7) módszer háromlépéses, a (2.8) négylépcsős, a (2.9) pedig ötlépéses. A (2.6) - (2.9) képletek az Adams-Beshfort módszeren alapulnak. A (2.6) módszer pontossági sorrendje eltérő, ezért más sorrendű Adams-Beshfort módszernek nevezik. Hasonlóképpen a (2. 7), (2. 8) és (2. 9) módszereket a harmadik, negyedik és ötödrendű Adams-Beshfort metódusoknak nevezik.

Ennek a folyamatnak a folytatásával, egyre növekvő számú előremutató ponttal, valamint egy magasabb rendű interpolációs polinommal, az Adams-Beshfort módszert elutasítjuk, mint szükségszerűen magas rendűt.

A multi-crocal módszerek olyan nehézségeket okoznak, amelyek nem az egyszeri vágású módszerek megválasztásából adódnak. Ezek a nehéz dolgok ésszerűvé válnak, például az ötödik rendű Adams-Beshfort módszerekhez fordulnak (2.9).

A (2. 1) feladat y0 csutkaértéket kap, de n = 0-nál a (2. 9) képlethez az x-1, x-2, x-3, x-4 pontokban szükséges információ van, ami természetesen ugyanazon a napon. Ebből a helyzetből az elsődleges kiút abban rejlik, hogy bármilyen, azonos pontosságú egyszeri módszerre támaszkodunk, mint például a Runge-Kutta módszerre, amíg nem találunk elegendő értéket a többpontos módszer munkájához. Vagy használhatja az egylépéses módszert az első lépésben, a kétlépéses módszert a másikban, és így tovább, amíg az összes kezdőértéket el nem távolítja. Ebben az esetben elengedhetetlen, hogy a kiindulási értékeket ugyanolyan pontossággal számítsák ki, mint a maradék módszert. Egyes kiindulási módszerek kisebb pontosságúak lehetnek, kezdetben kevesebb idővel kell helyreállni és több köztes pontot kell kiválasztani.

A (2. 6) - (2. 9) metódusok megújítása az f (x, y) függvény P (x) interpolációs polinommal való helyettesítésén alapul. Nyilvánvaló, hogy a tétel a helyén van, ami az interpolációs polinom alapjához és egységéhez vezet. Ha az x0, x1 ... xn változók különbözőek, akkor bármely f0, f1 ... fn esetén van egyetlen P (x) polinomi szakasz, amely nem nagyobb n-nél, így P (xi) = fi, i = 0, 1, ..n.

Bár az interpolációs polinom egységes, számos módja van ennek a polinomnak a benyújtására. Leggyakrabban Lagrange-polinomokat használnak, de ezek is érthetetlennek tűnnek, mivel egy adathalmazhoz adathalmazt kell hozzáadni (vagy törölni bármelyikből). Ebben az esetben az interpolációs polinomnak van egy másik megnyilvánulása is. Newton-jelenség

A Pn + 1 (x) polinom alakba írható

Egy interpolációs polinom (2.11) formában történő bemutatása számos esetben különösen nehéz lehet a gyakorlatban.

Az Adams-Beshfort módszer a már ismert értékeket mutatja az xn, xn-1 ... xn-k pontokban. Interpolációs polinom használatakor kiválaszthatunk xn, xn, xn-1 ... xn-k pontokat. Ez az implicit m-lépéses módszerek osztályának köszönhető, amely Adams-Moulton módszerként ismert.

Ha k = 0, akkor P (x) - lineáris függvény Mit kell átmenni az (xn, fn) és (xn + 1, fn + 1) pontokon, és hasonló módszer

є az Adams-Moulton módszer más sorrendben.

Ha k = 1, 2, 3, a következő módszerek választhatók

harmadik, negyedik és ötödik közelítési rend. Összehasonlítás (2. 12) - (2. 15) Az yn + 1 értékének keresése implicit, így megvalósításukhoz iteratív módszerek alkalmazása szükséges.

A gyakorlatban fontos, hogy ne szigorúan a (2.12) - (2.15) egyenletekre hagyatkozzunk, hanem kifejezetten explicit és implicit formákat használjunk, amelyek az előrejelzés és korrekció módszeréhez vezetnek.

Például az Adams-módszer eltérő sorrendjéhez, vikoryst értékekhez, ahol r az iterációs szám, használhatjuk az r = 1 számítási sémáját:

Ezt a folyamatot PECE módszernek nevezik (P a prófétai képlet stagnálását jelenti, C - stagnálás javítja a képletet, E - az f függvény kiszámítása). A fennmaradó képlet hozzáadásával felgyorsíthatja a számítási folyamatot. Ezzel elérkeztünk az úgynevezett PEC-módszerhez.

Nézzünk egy másik módszert a rangok feloldására (2.12) - (2.15). A (2.12) - (2.15) képletek a nézetből átírhatók

de gn hely a méret szerint. Bebizonyosodott, hogy ha L a Lipshits konstans, akkor a (2.17) egyenletnek egyetlen megoldása van, amely egy további iteratív eljárással kapható meg.

de - elég.

A (2. 18) kifejezés iterációi a siker eléréséig folytatódnak. Ekkor az f függvény által kiszámított szám pontról pontra változik, és nagy számra is felmehet.

Másrészt, ha megváltoztatja a h értékét, akkor az erősítés fix számú iterációval érhető el. Ezt a módszert a gyengédségig történő korrekciónak nevezik.

Első pillantásra azt gondolhatja, hogy a nyilvánvaló gazdag módszer a legegyszerűbb módszer a számításokhoz. A gyakorlatban azonban ritkán alkalmaznak explicit módszereket. Az implicit Adams-Moulton módszer pontosabb, mint az explicit Adams-Beshfort módszer. Például az 5. rendű Adams-Moulton módszer számítási sémája így néz ki:

Adams-módszerekkel ötödrendűig használhatók az elsődleges differenciálértékek javítására, mivel nem igényelnek nagy pontosságot.

Akárcsak az Adams-Beshfort módszernél, az Adams-Moulton módszerrel ellentétben fontos szempontok közé tartozik az integrációs idő és a módszer sorrendjének optimális kombinációjának kiválasztása. Megjegyzendő, hogy a hatékony algoritmusok és programok létrehozásával a módszer javul, az integráció ideje csökken.

Bonyolultabb feladatokhoz szükség van Adams módszereinek magasabb rendű alkalmazására. A 2.1 táblázat mutatja az Adams-módszerek együtthatóértékeit. Az első sor a metódus sorrendjét mutatja; a másikban - a Ck együtthatók értékei a k ​​alárendelt sorrendben; a következő sorokban - az Adams-Beshfort és Adams-Moulton módszerek Bkj és Mkj szorzópárjai konzisztensek. Ezután a 2. 14. táblázat adatai szerint a kifejezésben szereplő együtthatók

mert a k-rendű Adams-Beshfort metódus megtalálható a kapcsolatból

és a k-edrendű Adams-Moulton módszerhez hasonló képletet használva

Az Adams prediktor-korrekciós módszer képletei a 6-tól a 14-ig így néznek ki:

• 6. sorrend:
• 7. sorrend:
• 8. sorrend:
• 9. sorrend:
• 10. sorrend:
• 11. sorrend:
• 12. sorrend:
• 13. sorrend:
• 14. sorrend:
• 15. sorrend:
• 16. sorrend:

A képleteket nagyobb valószínűséggel használják elsődleges differenciálegyenletek megoldásainak gyakorlati megfogalmazására vagy állandó integrációs idővel rendelkező elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerekre. Mivel az integrációs szint növelése során az integrációs idő megváltozik, ezért Adams módszereinél speciális technikák vannak az új adatok elhelyezésére az integrációs idő megváltoztatásakor.

nál nél S= 1 képlet (6.16) Látom

yakscho K= 2, elvetjük a számítási szabályt:

A gyakorlatban használja a (6.18) extrapolációs képletet, majd állítsa be a (6.23) képlet mögötti értéket. I ha a megadott érték eredménye nem haladja meg a megengedett rablást, akkor a H a tisztelet elfogadható .

Számítógépen történő bővítéshez a terminál-gyanta nézetben a (6.18) és (6.23) képlet nem manuális. Megjeleníthetők (6.21)

(6.24)

A megállapított képletekkel nagy pontosság érhető el. A rend tönkretételének bűze ~ Ról ről(H4), Ale a lopás értékelésére szolgáló képletek össze vannak hajtva. A küszöbön álló emberrablás Runge szabálya alapján értékelhető.

Fenék 6.2. Válasszon különbségi összehasonlítást a kukoricacsutkával történő vágáshoz Y(x= 0) = 1. Keresse meg pontosan az Adams-módszert (javítással). x4 , Az első három ponton használja a Runge Kutta módszert, és vegye ki a krokot.

Döntés. A függvény értékei az első négy pontban a táblázatból vehetők ki. 6.1 (div. Butt az elülső részben). Most világossá vált, hogy ezeken a pontokon elmentettük az első menet értékeit (div. Formulas (6.24)).

X4 = X3 + H= 0.15 + 0.05 = 0.2;

Az eredmények felgyorsítása érdekében ezen a ponton ki kell számítani a hasonlóság értékeit:

Most tisztázzuk az értékeket az interpolációs képlet segítségével (vagy lehet, hogy nem akarja, különben a módszer károsodása nagyobb lesz):

Tehát, mivel a függvény új jelentését kijavították, akkor obov'yazkovo A következő lépés a hozam értékének túlbecslése. Esetünkben az extrapolációs és interpolációs képletek különbségi modulusa kisebb, mint ε , Mi teszi lehetővé, hogy továbbra is ugyanazzal az összeggel számlázzon.

Élelmiszer önellenőrzéshez

· Fogalmazzuk meg a Cauchy-feladatot elsőrendű prímdifferenciálegyenletekhez.

· Melyek a differenciálegyenletek megoldásai: a) az általános matematikában, b) az alkalmazott matematikában?

· Milyen differenciálösszehasonlítási módszereket nevezünk egykroresnak, többkrórosnak? Irányítsa a fenekét.

· Az Euler, Runge-Kutta és Taylor sorozatok (nehézség, veszteség...) módszerével igazítsa össze, rendezze el az első és a második lépést.

· Hogyan értékeljük a zastovovannogo módszer megsemmisítését? Hogyan tudom megváltoztatni?

· Az egy- és dúsvérű módszerek kiegyenlítése a differenciális kapcsolatok kialakítására, bemutatva az első és a többi előnyeit és hátrányait.

· Mik az Adams-féle extrapolációs és interpolációs módszerek (képletek)?

· Használhatja: a) csak Adams extrapolációs módszereit,
b) csak interpoláció?

· A következő módszereket használhatja: a) multi-crocal módszerek egykrokális módszerek nélkül;
b) egyvágásos módszerek többszörös vágások nélkül?

· Ha a 27. lépésben az Adams-módszerrel végzett differenciálkiegyenlítés magas, akkor a küszöbértéket módosítani kell. Hogyan lehet pénzt keresni?

Még mindig ugyanaz a Cauchy-probléma áll előttünk.

f (1) (t)=F(t, f(t)), a£ t£ b, f(a)=f a.

Az egykoronás módszereknek vannak értékei f(tk+1) csak információnak számított az élen tk. Lehetségesnek tűnik a döntés pontosságának javítása azáltal, hogy több előrehaladott ponton felhasználjuk az információkat, amikor azok rendelkezésre állnak. Így találjuk magunkat a rich-croc-nak nevezett módszerekben. A probléma megfogalmazásának első pillantásától nyilvánvalóvá válik, hogy a kezdés pillanatában t=t a Csak egy csutka van, és ha úgy döntünk, hogy két, három vagy több frontális ponttal dolgozunk, nem világos, hogyan lehet megkülönböztetni egymást, kivéve az egyrétegű módszerek vikorizálását. Ez így megy; Egy „összetett” megoldási algoritmus így nézhet ki:

Az első lépésben az egylépéses módszerrel távolítson el egy másik pontot, a másiknál ​​távolítsa el a harmadikat a kétlépéses módszerrel, a harmadikban – a negyediket a további háromlépéses módszerrel stb., amíg a fő módszer, amely átkerül a győzteshez, van elég vezető pont.

Egy másik lehetőség, hogy a teljes kezdőponthalmaz ugyanazt az egylépéses módszert követi, például negyedrendű Runge-Kutta. A többkroros módszer töredékei pontosabbak, a kezdő egykroros módszerhez használjon nagyobb számú köztes pontot, így rövidebb idővel dolgozhat.

Sokféle algoritmus készíthető így. Vrahovoyuchi scho

f(tk +1)=f(tk)+ ,

numerikusan integrálható az integráljel alá részesedés joga ODU. Ha a téglalap módszert használjuk (az integrált függvény interpolációs polinomja konstans), az eredeti Euler-módszert elutasítjuk. Hogyan válasszunk ki 2 pontot és egy elsőrendű interpolációs polinomot

p(x)= ,

majd integráció a trapéz módszerrel tk előtt tk+1 adja meg a támadó algoritmust:

f(tk +1)=f(tk)+0.5h(3Fk-Fk -1).

Hasonlóképpen, három pont esetén a matematikailag másodfokú interpolálja az adat mögötti polinomot ( tk -2 , Fk -2), (tk -1 , Fk -1), (tk, Fk) І Simpson-módszer utáni integráció adja az algoritmust:

f(tk +1)=f(tk)+ (23Fk–16Fk -1 +5Fk -2).

4 pont esetén a polinom köbös lesz, és az integrálása a következőt adja:

f(tk +1)=f(tk)+ (55Fk–59Fk -1 +37Fk -2 –9Fk -3).

Elvileg sokáig lehetett volna minket így rágni.

A javasolt algoritmusok egy másik, harmadik és negyedrendű Adams-Bashforth metóduson alapulnak.

Formálisan használhatjuk az interpolációs polinomot N Már biztosított pontok vikoristovat és így tovább R Maybutnikh tk +1 , tk+2; a legegyszerűbb módon tárcsázza

tk +1 , tk, tk -1 ,…, tk -N .

Ebből adódik az úgynevezett Adams-Moulton módszerek osztálya. A négy lépésből álló opciónál adatokkal ( tk +1 , Fk +1), (tk, Fk), (tk -1 , Fk -1), (tk -2 , Fk-2) és algoritmusa:

f(tk +1)=f(tk)+ (9Fk +1 +19Fk–5Fk -1 +Fk -2).

Nyilvánvalóan lehetetlen napi adatokon alapuló elemzést végezni, így az Adams-algoritmusok összevonhatók az Adams-Bashforth és Adams-Moulton algoritmusok sorozatába, amelyek kizárják az előrejelzési és korrekciós módszereket. Például a negyedrendű előrejelzési és korrekciós módszer így néz ki: kezdetben Adams-Bashforth algoritmussal jósolják meg, számos „áthaladó” ponttal.

f(tk +1)=f(tk)+ (55Fk–59Fk -1 +37Fk -2 –9Fk -3).

Ekkor a számítások szerint az egyenlet jobb oldalának értékei közel vannak

Fk +1 =F(tk +1 , f(tk +1).

Én, nareshti, koriguemo f(tk+1) s vikoristannyam yogo közeli jelentősége

f(tk +1)=f(tk)+ (9Fk +1 +19Fk–5Fk -1 +Fk -2).

A leghatékonyabb számítógépes programok, amelyek lehetővé teszik a módszer időtartamának és sorrendjének megváltoztatását, a magasrendű Adams-módszereken alapulnak (10 felett). E programok használatából származó bizonyítékok azt mutatják, hogy a megvalósításuk eltérései nagyobb hatással lehetnek a módszerek pontosságára, kevésbé magukra a módszerek belső hatóságaira.