Ismered a csodálatos legendát a gabonákról? sakk lányok?
A legenda a szemekről a Shah doshtsya
Ha a sahok megalkotója (egy Sessa nevű régi indiai matematikus) megmutatta a borát az ország uralkodójának, akkor annyira megtisztelte a gra, hogy megadta a borásznak a városválasztás jogát. A bölcs megkérte a királyt, hogy fizessen neki egy búzaszemet az első lábért, kettőt a másikért, és így tovább a harmadikért stb., minden lábhoz adva néhány szem búzát. Az uralkodó, aki nem értett a matematikához, gyorsan úgy döntött, hogy a bortermés ilyen alacsony becslését szem előtt tartja, és megparancsolta a pénztárosnak, hogy várja meg, mennyi gabonára van szüksége a borásznak. Ha azonban egy bizonyos idő elteltével a szemétszedő még mindig nem tudta megtermékenyíteni, hogy hány szemre van szükség, megerősítjük és megmondjuk, mi az oka ennek a késedelemnek. A kincstárnok megmutatta neki a hulladékot, és azt mondta, hogy nem lehet fizetni.A király csodálkozva hallotta a vén szavait.
Mondd ezt a mohó számot – mondta.
18 kvintimillió 446 kvadrillió 744 billió 73 milliárd 709 millió 551 ezer 615, ó Uram!
Ha elfogadod, hogy egy szem búza 0,065 grammot nyom, akkor a raktárban lévő búza össztömege 1200 billió tonna, ami meghaladja az emberiség teljes története során begyűjtött teljes búzatermést!
időpont egyeztetés
Geometriai progresszió- számsor ( a haladás tagjai), Minden skin lépésben a szám a másiktól kezdve a szám előző szorzásából jön ki ( a haladás jele):
Például az 1, 2, 4, 8, 16, ... sorozat geometriai ()
Geometriai progresszió
A geometriai haladás zászlaja
A geometriai progresszió jellemző ereje
For title = "(! LANG: QuickLaTeX.com rendereli" height="15" width="48" style="vertical-align: -1px;">!}!}
A sorozat geometriai, és csak akkor van feltüntetve, ha bármely n> 1 esetén a következetesebb összefüggés van feltüntetve.
Zokrema, geometriai progresszió pozitív tagokkal, helyes:
A geometriai progresszió n-edik tagjának képlete
A geometriai progresszió n első tagjának összege
(Hát akkor)
Végtelenül csökkenő geometriai progresszió
Amikor a geometriai progressziót nevezzük végtelenül hanyatló . Ezt a végtelenül csökkenő geometriai progressziót i számnak nevezzük
alkalmazza azt
fenék 1.
Sorozat () - geometriai progresszió.
Tudja meg, mit
Döntés:
A képlet függvényében:
2. példa
Keresse meg a geometriai progresszió jelét (), amelyben
Mentális erő kell a sorozáshoz.
harmonikus sorozat
tétel a sorozat szükséges szellemi kapacitásáról.
Ha egy sorozat konvergál, akkor ennek a sorozatnak az ellentétes tagjainak sorozatai egyenlők nullával:
. (1.11)
Egy másik megfogalmazás. Ahhoz, hogy a sorozatok konvergáljanak, szükséges (de nem elég!), hogy a sorozat ellentétes tagjainak sorozata elérje a nullát.
Tisztelet. Néha a következetesség kedvéért kihagyják a „szekvencia” szót, és azt mondják: „a sorozat első tagja között van egy relatív nulla”. Ugyanez vonatkozik a magánösszegek sorozatára („magánösszegek között”).
tétel bizonyítása. A sorozat nyilvánvaló tagja látható (1.10):
.
A mosdó mögött összefolyik a sor, nos, 
Nyilvánvaló, hogy 
, Mert Pі P-1 ugrás a végtelenbe egyik napról a másikra 
. Ismerjük a sorozat rejtett tagjainak sorrendjét:
Tisztelet. A seb nincs szilárdan rögzítve. Az elmét tetsző sorozatot (1.11) nem könnyű elkerülni. Ezért szükséges az (1.11) jel, de nem elégséges jele a sorozat hasonlóságának.
fenék 1. harmonikus sorozat. Vessünk egy pillantást a sorra
(1.12)
Ezt a sorozatot harmonikusnak nevezzük, mert az első tag bőre a másiktól kezdve a vele szomszédos tagok középső harmonikusa:
.
például: 
 |
|
1.3.1. ábra 1.3.2
A harmonikus sorozat utolsó tagja kielégíti a sorozat szükséges mentalitását (1.11): 
(1.3.1. ábra). Később azonban (az integrál Cauchy-jel segítségével) kiderül, hogy ez a sorozat divergál, így összegében ősi inkonzisztenciák vannak. Az 1.3.2. ábra azt mutatja, hogy a részösszegek nagyobb számokkal elkerülhetetlenül növekednek.
vizsgálat. A szükséges elmék közül számos a szétválás maradék jele sor: jakscso 
vagy ha nem, akkor a sorozat szétválik.
Befejezett. Akkor az útmutató számára elfogadható 
(Vagy nem alszik), de a sorozat összefolyik. Ez összhangban van azzal a tétellel, hogy a frontális tagok közötti sorozat szükséges mentális kapacitása elérheti a nullát: 
. Protirichchya.
2. fenék. Kövesse a titkos tagok sorozatát 
.
A Dánia sor így néz ki: 
Ismerjük a sor frontális tagjának határait:
. Könnyű eltérni ettől a bizonyítéktól.
Geometriai progressziójú alkotások sorozata
Nézzünk egy sor hajtást geometriai progressziójú tagokkal. Nyilvánvaló, hogy a geometriai progresszió olyan numerikus sorozat, amelynek minden tagja, egy másikból kiindulva, egyenlő az előzővel, megszorozva ugyanazzal a számmal, nem egyenlő nullával, és ennek a progressziónak az előjelének nevezzük. A geometriai progresszió így néz ki:
egy sor hajtás її taggal:
Az ilyen sorozatokat geometriai progressziónak nevezik, de néha konzisztenciája miatt egyszerűen geometriai progressziónak nevezik. A „geometrikus” progresszió elnevezés tagadta azt a tényt, hogy a tag bőre egy másikból kiindulva ősi geometriai átlag szomszédos tagjai:
, vagy 
.
Tétel. Redők sorozata geometriai progressziójú tagokkal
eltér a 
konvergálok, és at 
összeg sorban
Befejezett. A sorozat vezető tagja, akárcsak a geometriai progresszió vezető tagja, így néz ki: 
.
1) Akkor igen 
, Mert ebben a veszteségben végtelenül nagy nagyságrend rejlik.
2) Ha egy sorozatot különböző módon hajtanak végre, az különböző típusokhoz vezet.
nál nél 
;
Az állandók közötti töredékek régebbiek, mint maguk az állandók. A mentális tétel maradványai 
, A sorozat vezető tagja nem egyenesen a nullához.
nál nél 
; nincs határ.
Ilyen módon ne habozzon agyra van szükség sorok száma:
.
Ozhe, sorozat (1.13) eltér.
3) Jakscso 
, Ekkor a progressziót végtelenül csökkenőnek nevezzük. Az iskolában ez egyértelmű n-a magánösszeg sorozatban (1.13) a következő módon ábrázolható:
Tudjuk a sor összegét. Így amikor 
(rendkívül kis érték), akkor
.
Ily módon a 
sorozat (1.13) konvergál és egyenlő
. (1.16)
Ez a végtelenül hanyatló geometriai haladás összege.
Fenék 1º.
|
=2.
Ennek az összegnek a becslése után megpróbáljuk meghatározni, hogy mennyi ennek az összegnek az értéke.
Látható, hogy a részösszegek sorozata a 2-es számig terjed (1.4.1. ábra).
És most hozzuk fel. Gyorsan kijelenthetjük, hogy ez a sorozat egy hajtogatás sorozata, geometriai progressziójú tagokkal, de 
. A végtelenül hanyatló geometriai haladás összege
.
Fenék 2º.
.
Ugyanígy számítják ki. Az elülső fenék előtti sor sok tagjának töredéke mínusz előjelet mutat, majd kiderült, hogy a mennyiség kevesebb.
Fenék 3º.
Ez egy geometriai sorozat, de 
> 1. Egy ilyen sorozat eltér.
A szomszédos sorok ereje
Nézzünk két konvergens sort:
, (1.17)
. (1.18)
1. Az a sorozat, amelyik kivonja két egymáshoz közeledő sorozat hajtásainak tagjait, szintén konvergál, és összege egyenlő a kimeneti sorozat algebrájának összegével, akkor
. (1.19)
Befejezett. Adja össze az (1.17) és (1.18) sorozatok részösszegeit:
A pénzösszeg mögötti töredékek sorban összefolynak, és a következő privát összegek között jelennek meg:
, 
.
Adjuk hozzá a részösszeget az (1.19) sorozathoz, és keressük meg a határokat:
Csikk.
;
.
Tisztelet. Nem igaz, hogy a sor bal oldalán álló sor (1.19) nem követi a sorok konvergenciáját. Például a nézett sor 4 konvergál, és összege 1; zagalnyy tagja ennek a sorozatnak a szavak átalakításokat a szempontból:
.
Nos, a sorozat vizuálisan leírható:
.
Most nézzük meg okremo sorok:
Ezek a sorok eltérnek, akárcsak harmonikus sorok. Ily módon a sorozat algebrai összegének ritkasága miatt nyoma sincs az összeadások ritkulásának.
2. Amikor az összes tag sorban összejön S szorozzuk meg egy és ugyanazzal a számmal h, Ekkor az ellentétes sorozatok is konvergálnak és összegeznek cS:
. (1.20)
A bizonyítás hasonló az első hatványhoz (hogy azt önállóan hozzuk).
Csikk.z = 10000;
Nehezen közeledik a sor, mert az összegek véget érnek.
Ily módon a konvergens sorozatokat tagonként összeadhatjuk, kivonhatjuk és szorozhatjuk egy állandó szorzóval.
3. Tétel a sorozat több első tagjának kiválasztásáról.
Egy sorozat több első tagjának hozzáadása (vagy kiegészítése) nem járul hozzá a sorozat sokszínűségéhez vagy sokszínűségéhez. Más szóval, amikor egy sorozat konvergál
majd konvergál és sorozat
. (1.22)
(Az Ale összege eltérő lehet). És egyébként, ha az (1.22) sorozat konvergál, akkor az (1.21) sorozat is konvergál.
Tisztelet 1. A matematikában a „kelka” kifejezés „végszámot” jelent, tehát lehet 2, 100, 10, 100 és több is.
Tisztelet 2. Ebből az erőből adódik, hogy számos titkos tag létezik, és az intimitás értelmében egyenértékűek. Például a harmonikus sor tartalmazza a halal tagot, a sorok pedig a halal tagokat és 
- harmonikus is.
4. Hátsó sor. A jógó erő. Amikor az elsőket sorban dobják k tagok, akkor egy új címsor jelenik meg túl sok után k- th tagja.
Viznachennya. k- a hátsó sor
sornak nevezik
(1.23),
adatok eltávolítása az elsőről k a kilépési sor tagjai.
index k azt jelenti, hogy hány első tagot dobtak a sorból. Ilyen módon
stb.
|
, Tekintettel az előző tételre, ahol a végtelenbe ugrott P. A bőrterületen „kevesebb” adalékanyag található (sőt, számtalan mennyiségben van belőlük a bőrben). Azt is mondhatjuk, hogy a dinamika itt a sor elején van, és nem a végén. 
A sor többletét a sor összegének és részösszegének különbségeként is kiszámíthatjuk (1.5.1. ábra):
. (1.24)
|
. A nyomok sorának értéke: 
.
Todi az (1.24)-től sikolt:
Feltételeztük, hogy a sorozatok konvergenciatöbblete végtelenül kicsi 
, Majd ha a sorozat tagjainak számát egyenesen a végtelenhez adjuk. Ez látható a Malyunki 1.5.1 és 1.5.2 verzióiból.
Tisztelet. A sorozat adott számú tagjának elvesztésére vonatkozó tétel a következőképpen fogalmazható meg: ahhoz, hogy egy sorozat konvergáljon, szükséges és elegendő, hogy többlete megközelítse a nullát.
§ 1.6. Pozitív sorozat
Nézzük meg a sort az ismeretlen tagokkal
Ezeket a sorokat fogjuk hívni pozitív jelek. Nézzük meg a részösszegek sorozatát a pozitív sorozatban (1.26). Ennek a sorozatnak a viselkedése különösen egyszerű: az érték monoton nő a növekedéssel n, Tobto. (Mert egy ismeretlen szám éri a bőrfelületet.)
Weierstrass tétele szerint a konvergencia sorozata monoton (i. oszt. félév, első év). Ebből kiindulva fogalmazzuk meg zagalny kritérium A rangok összekapcsolása további tagokkal.
tétel(Az előjel-pozitív sorozatok hasonlóságának lényeges kritériuma). Ahhoz, hogy egy pozitív sorozat konvergáljon, szükséges és elegendő, hogy részösszegeinek sorozatát szétválasztjuk.
A sorozat összekapcsolásának jelentése sejthető: a sorozatot összekapcsoltnak nevezzük, mert elindul M> 0 akkor minek 
(1.6.1. ábra). Pozitív sorozatokhoz 
, És beszélhetünk a fenevad határairól, amelyet alul a nulla határol.
Befejezett. 1) Szükségszerűség. Hagyja, hogy az (1.26) sorozat konvergáljon, a részösszegek sorozata lehet közöttük, így konvergálnak. A hasonló sorozat konvergenciájáról szóló tétel szerint, ha konvergál, akkor a sorozat korlátos Þ korlátos.
2) Elérhetőség. Lehatárolható az (1.26) sorban a részösszegek sorrendje.
Oskilki, Tobto monoton. A monoton határokra vonatkozó Weierstrass-tétel szerint az (1.26) sorozat konvergál.
8. TÉMA LAVI
SZÁM SOROZAT
1. A számsorok alapvető ismerete.
2. Geometriai folyamatok sorozata.
3. A szomszédos rangok főbb tekintélyei. Hátsó sor.
4. Szükség van a konzisztencia jelére a számsorokban.
5. Harmónia sor.
A matematikai elemzés egyik legfontosabb eszköze. Sorozatok segítségével keresse meg a függvények, integrálok és megoldások legközelebbi értékeit különbségi szintek. A mellékletekben megjelenő összes táblázat sorokba rendeződik.
A numerikus és funkcionális sorozatok elmélete a 17. és 18. században kezdett kialakulni. Ezekben a napokban napi pontos meghatározások születtek a matematikai elemzés alapvető megértéséhez. Alacsony, költségüktől és szétesésüktől függetlenül tiszteletben tartották a zsarolás lehetőségét, mint egy egyszerű zacskót. Bár ezt az összeget „tagjai személytelenségével” tiszteletben tartották, úgy kezelték, mintha egy bizonyos (végső) számú dodankból állna. Ez egy órás önelégültséghez vezetett a számításokban, amelyek a matematika tudomány jelenlegi állása szerint nem voltak egyértelműek.
Az egynél kisebb előjelű végtelen geometriai progresszió fogalma már régóta kialakult (Arkhimédész).
A harmonikus sorozat felosztását 1650-ben az olasz Mengu rítus, majd szigorúbban Jacob és Mikola Bernoulli testvérek határozták meg. Az állapotsorok Newtonban (1665) jelentek meg, aki megmutatta, hogy bármilyen funkció azonosítására használhatók. A sorozatelmélet további fejlesztését Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Bolzano, Cauchy, Weierstrass, Riemann és sok más kiemelkedő matematikus adta bőségesen.
E fejlemények egy része kétségtelenül Newton - Taylor bevezetésének és tanításának köszönhető, aki 1715-ben adta ki fő művét, „A kiterjesztés, közvetlen és visszafordítás módszerét”. Ebben a könyvben Taylor először egy sor további elemző funkciót vázol fel. Végül ez a statikus sorozat egy „híd” lett, amely lehetővé tette számunkra, hogy a racionális funkciók területéről a transzcendentális funkciók fejlesztése felé mozduljunk el.
A matematikához való alapvetően jelentős hozzájárulást azonban nem ismerték fel azonnal. 1742-ben megírta Colin Maclaurin híres „Treatise on Fluxions” című művét, amelyben Maclaurin új módon rajzolta meg a viselnivalók sorozatát, és jelezte, hogy ez a sorozat a „Növekedés módszere” része. Miután számos funkcióval megmutatta Maclaurinnak, hogy ennek a sorozatnak a stagnálása nagymértékben leegyszerűsíti a hozzárendelt funkciót, ez a sorozat, és így a Taylor sorozat is, nagy népszerűségnek örvendett.
A Taylor-sorozat jelentősége még jobban megnőtt, amikor 1772-ben Lagrange minden differenciálszámítás alapjává tette. Értékeljük, hogy a kiterjesztett függvények elmélete összhangban van a differenciálszámítás vonatkozó elveivel, beleértve a végtelenül kicsiket és a kettő közötti függvényeket is.
Táplálkozás 1. A számsorok alapfogalmai
Maga a megszakítás nélküli sorozat koncepciója lényegében elvileg nem új. A megszakítás nélküli sorozat csak egy numerikus sorozat egyedi formája. Ennek az új formának azonban van néhány sajátossága, ami egyértelműbbé teszi a sorok stagnálását.
Legyen végtelen számsorozat
a 1, a 2, ..., a n, ...
O.1.1. Viraz elme
(1)
hívott számozható egymás mellett vagy csak díj
Az a 1, a 2, ..., a n, ... számokat hívjuk tagjai a, És az a n számot a további n számmal hívjuk a sorozat legsötétebb tagja (1).
Az (1) sor fontos, mert az a n sor vezető tagja, a kifejezések az n szám függvényei:
a n = f(n), n = 1,2, ...
fenék 1. Egy sor piszkos tag úgy néz ki
O.1.2. Az (1) sor első n tagjának összegét nevezzük n-a magánösszeg sor i-t S n jelöli, akkor
S n = a 1 + a 2 + ... + a n.
Nézzük meg az (1) sorban lévő részösszegek sorrendjét:
S 1 = a 1, S 2 = a 1 + a 2, ......., S n = a 1 + a 2 + ... + a n, ...... (2)
O.1.3. Az (1) sort hívják konvergens, Amint az S véghatár a (2) részösszegeinek sorozata, akkor . Ebben az esetben az S számot hívják sorban (1).
regisztrálj:
Az O.1.3 értékéből látszik, hogy az összeg nem feltétlenül egyértelmű. Ez a fő oka a végösszegek végtelen sorozatának fontosságának: minden végződő számhalmaznak elkerülhetetlenül van összege, „a végtelen számok hajtogatása korántsem mindig lehetséges”.
Nem értem, különben az (1) sort hívják válás. Ilyen szumi sorozat nem létezik.
csikk 2.
1.
sor 
konvergálnak, és az összeg S = 0.
2.
sor 
nem értek egyet, csak úgy 
Táplálkozás 2. Geometriai progresszió sorozata
O.2.1. Redők sorozata geometriai progresszió tagjaival, majd nézetsorozat
, A¹0, (3)
