5. Az alkalmazott statisztika főbb problémái - adatok leírása, hipotézisek értékelése és igazolása

Az értékelések lehetősége, megváltoztathatatlansága és hatékonysága

Hogyan fejleszthetjük értékelési módszereinket egymás között? Az értékelés olyan mutatók alapján történik, mint az értékelési módszerek, mint például a megvalósíthatóság, a kiszorításmentesség, a hatékonyság stb.

Nézzük a θ becslést nθ numerikus paraméter, értéke: n= 1, 2, ... Pontszám θ n hívott lehetséges, A mintavételi mennyiség korlátlan növekedése mellett lehetséges a valószínűség szempontjából a becsült θ paraméter értékéig konvergálni. Nyilvánvalóan világosabban mondták. θ statisztika nє a θ paraméter további becslésével csak akkor, ha bármely ε pozitív számra érvényes a határreláció

3. fenék. A nagy számok törvényéből az következik, hogy θ n= Є egyszerű becsléssel θ = M(X)(Csebisev tétele mellett a diszperzió alapja is átkerült D(x); azonban, mint Dov A.Ya. Khinchin, hogy meghódítsa a gyenge elmét - a matematikai tudatosság alapja M(X)).

4. fenék. Mindegyik a normál felosztás paramétereinek kiértékelése felett van feltüntetve, és lehetséges.

Általánosságban elmondható, hogy a statisztikai módszerekben elemzett paraméterek összes (ritka hibákkal) becslése megoldódik, és nem lehetséges.

fenék 5. Így ez összhangban van V. I. tételével. Glivenko, az alosztály empirikus funkciója Fn(x) є az ellátási eredmények felosztásának funkciójának kiegészítő értékelése F(x).

A nyomelemzés új módszereinek kidolgozásakor fontos először ellenőrizni a javasolt módszerek megvalósíthatóságát.

Egy másik fontos dolog az értékelések ereje - Elmozdulás. θ torzítatlan becslése n- a θ paraméter becslésekor a becsült paraméter minden megfelelő értékének matematikai becslése: M(θ n) = θ.

6. fenék. Ezekből az indukciókból több eredmény születik elfogulatlan paraméterbecslésekből m і σ 2 normál nemű. Oskolki M () = M ( m** ) = m, Ezután a minta mediánja és a variációs sorozat szélső tagjainak fele összege m** - a matematikai értékelés megoldatlan értékelései is m normál nemű. azonban

ez az értékelés s 2 i ( σ 2) ** nem tartalmaz lehetséges szórási becsléseket σ 2 normál nemű.

Értékelések bármilyen kapcsolathoz M(θ n) = Θ helytelen, eltolásoknak nevezzük. Ebben az esetben a θ matematikai becslései közötti különbség nés a θ paraméterrel becsüljük meg, akkor M(θ n) - θ, torzított becsléseknek nevezzük.

7. fenék.Értékelésre s 2, ahogy a fent említett dolog kiderül, ősi

M(s 2) - σ 2 = - σ 2/n.

zsuv értékelések s 2 pragna 0 at n → ∞.

Meghívjuk azt a becslést, amelynél az értéket 0-ra toljuk, ha az értéket a végtelenbe választjuk aszimptotikusan elfogulatlan. A 7. ábra mutatja, hogy mi az értékelés s 2 є aszimptotikusan elfogulatlan.

Szinte minden paraméterbecslés, amelyet a döntéshozatal statisztikai módszereiben használnak, vagy elfogulatlan, vagy aszimptotikusan torzítatlan. Torzítatlan becslések esetén a becslés pontosságának mutatója a szórás – minél kisebb az eltérés, annál jobb a becslés. Az elmozdulásbecsléseknél a pontosság mutatója a becslés négyzetének matematikai számítása M(θ n- θ) 2. A matematikai számítás és diszperzió fő hatványaiból következően,

Ekkor a becslés négyzetének matematikai számítása a becslés és a négyzet és az elmozdulás szórásának összege.

A döntéshozatali statisztikai módszerekkel számított paraméterbecslések jelentős többségénél a szórása 1 / nagyságrendű. n, És az elmozdulás nem több, mint 1 / n, de n- Obsyag vibirki. Az ilyen becslésekért nagyszerűen n a másik jobb oldali kiegészítés (3) még kicsi, megegyezik az elsővel, és a hasonlóság méltányos számukra

de h- egy szám, amelyet a θ becslések számítási módszere határoz meg nés a becsült θ paraméter valódi értékei.

A becslési módszer harmadik fontos ereje az értékelés szórtságához kapcsolódik - hatékonyság. A hatékony becslő olyan torzítatlan becslő, amely egy adott paraméter összes lehetséges torzítatlan becslése közül a legkisebb szórással rendelkezik.

Bebizonyosodott, hogy a hatékony paraméterbecslések m і σ 2 normál nemű. Ugyanakkor a rezgő medián esetében igazságos határkorreláció van

Más szóval, a minta medián hatékonysága az effektív paraméterbecslés szórásának aránya m Ennek a paraméternek a torzítatlan becslésének varianciája nagy n esetén közel 0,637. Mivel a minta mediánja a normálosztás matematikai értékelésében ugyanilyen alacsony hatékonyságú, a vikorista számtani átlag kerül meghatározásra.

A hatékonyság fogalmát az elfogulatlan becslésekhez vezetjük be, amelyekre M(θ n) = Θ a θ paraméter összes lehetséges értékére. Ha nincs bizonytalanság, akkor megadhat becsléseket, ahol az ilyen θ kisebb szórással és átlagos eltérési négyzettel, kevésbé hatékony.

8. fenék. Vessünk egy pillantást a matematikai értékelés „értékelésére”. m 1 ≡ 0. Todi D(m 1 ) = 0, akkor mindig kisebb a szórás D() Hatékony értékelések. A telek középső négyzetének matematikai meghatározása d n(m 1 ) = m 2 , Tobto at maєmo d n(m 1 ) < d n(). Nyilvánvaló azonban, hogy a statisztika m 1 ≡ 0 vakon nézni a matematikai ismeretek értékelését m.

9. fenék. A nagy popsit J. Hodges amerikai matematikus vizsgálta meg:

Rájöttem, hogy Tn- lehetséges a matematikai számítás aszimptotikusan torzítatlan becslése m, Ebben az esetben nem fontos számolni,

A fennmaradó képlet azt mutatja, hogy mikor m≠ 0 értékelés Tn nem vastagabb (ha a keverék középső négyzete mentén igazodik d n), És mikor m= 0 - bizonyos szempontból szebb.

A legtöbb θ becslés fontos n, Vykoristovannyh a statisztikai módszerekben, aszimptotikusan normálisak, akkor rájuk a következő határviszonyok érvényesek:

akármilyen okból x, de F(x)- egy szabványos normálosztás függvénye 0 matematikai tartománnyal és 1-es diszperzióval. Ez azt jelenti, hogy nagy kiválasztás (gyakorlatilag - néhány tíz vagy több száz megfigyelés) esetén a becslések felosztása teljesen le van írva. Matematikai becsléseik és diszperzióik, és a becslések intenzitása - a telkek átlagos négyzeteinek értékei d n(θ n).

7. témakör. Paraméterek statisztikai becslései egy felosztásban: pont- és intervallumbecslések

A statisztikai módszerek értelme abban rejlik, hogy egy korlátozott terület kiválasztása után a legtöbb tekintetben Általános népesség, Az ítélet teljes erején alapul.

Természetesen a lakossági felmérés mintavétellel történő felváltása számos tápértéket generál:

1. Melyik világban reprezentálja a minta az általános sokaság erejét, azaz melyik világban reprezentatív a minta az általános sokasághoz viszonyítva?

2. Milyen információkat adhatnak a mintavételi paraméterek az általános sokaság paramétereinek értékeiről?

3. Megerősíthető, hogy az általános sokaságból kinyerhető statisztikai jellemzők (átlagértékek, szórás vagy bármilyen más hasonló érték) megegyeznek az általános sokaságból kinyerhető jellemzőkkel.

Az ellenőrzés azt mutatja, hogy az azonos általános sokaságból származó különböző mintákra vett paraméterek értékeit nem feltétlenül kell elkerülni. A mintavételi paraméterek számértékeit a mintavételi módszer lefedi, és nem szoros statisztikai értékelés ezeknek a paramétereknek az értéke az általános sokaságban. A statisztikai értékelés a megfigyelt jelenségek sokfélesége miatt lehetővé teszi, hogy csak a közeli értékeket távolítsuk el.

Jegyzet. Szigorúan véve a statisztikában a becslés egy becsült paraméter kiszámításának szabálya, a becslés, azaz a becslés végrehajtása pedig egy ahhoz közeli érték megadását jelenti.

a becslések eltérőek pontі intervallumbecslések.

A felosztási paraméterek pontbecslése

Helló x 1, x 2, ..., x n- vibіrka obsyagu n az általános népességből osztódási funkcióval F(x).

Ennek a mintának a numerikus jellemzőit ún vibirkovymi (empirikus) numerikus jellemzők.

Lényeges, hogy a minta numerikus jellemzői egy adott minta jellemzői, és nem az általános sokaság egy részének jellemzői. Ezek a jellemzők azonban felhasználhatók a populáció paramétereinek becslésére.

pont hívjunk statisztikai becslést, amelyet egyetlen számmal mérnek.

A pontbecslést az jellemzi hatóság: Változatlanság, egyszerűség és hatékonyság.

kitelepítetlen pontbecslésnek nevezzük, valamilyen matematikai értékelése a becsült paraméterhez viszonyítva minden mintavétel esetén.

A pontbecslést ún lehetséges , Kötetlen fokozott kiválasztási kötelezettség esetén ( n® ¥) a valószínűség szempontjából a paraméter valódi értékéhez, majd az általános sokaság becsült paraméterének valós értékéhez fog konvergálni.

hatékony hívjon egy pontbecslést, mint (adott mintára n) A lehető legkisebb szórással rendelkezik, ami garantálja a legkisebb eltérést a mintabecslésben ugyanazon populációs becsléshez képest.

A matematikai statisztika megmutatja, hogy lehetséges az általános átlag és a mintaátlag torzítatlan becslése:

de x i- választási lehetőségek, n i- frekvenciaváltozat x i, - obsyag vibіrki.

Elfogulatlan általános varianciabecslő a minta diszperziójának korrigálására szolgálnak

,

Nagyobb képlet .

értékelés s 2 általános variancia esetén is lehetséges, de nem hatékony. Normál eloszlásban azonban „tünetmentesen hatékony”, míg növekedéssel n a szórás lehető legkisebbre állítása elkerülhetetlenül megközelíti az egyet.

Nos, mivel adott a válogatás az alosztályból F(x) Vipadkova érték x ismeretlen matematikai számításokkal Aés variancia s 2, akkor ezen paraméterek értékének kiszámításához jogunk van a következő képleteket használni:

A pontbecslések korlátozottak, de kis odafigyeléssel a minták jelentősen eltérhetnek a becsült paraméterektől. Ezért a paraméter és becslése közötti hasonlóság bizonyítékának kiküszöbölése érdekében úgynevezett intervallumbecsléseket vezetnek be a matematikai statisztikákba.

Megbízhatósági intervallum

Mivel az eredmények statisztikai elemzésénél nem csak az ismeretlen θ paraméter pontbecslését kell ismerni, hanem a becslés pontosságát is jellemezni kell, így egy konfidenciaintervallumot találunk.

Megbízhatósági intervallum- ez az az intervallum, amelyben egy adott megbízhatóság mögött a teljes sokaság egy ismeretlen paramétere található.

megbízhatóság- annak bizonyossága, hogy az általános sokaság egy ismeretlen paraméterének a konfidencia intervallumon belül kell lennie.

A konfidenciaintervallum értéke az intervallumbecslés pontosságát jellemzi, és a mintavételtől és a megbízhatóságtól függ. Nagy igénybevétel esetén a választást meg kell erősíteni. Az intervallum megváltozik (növekszik a pontosság), és ha eléri a pontosságot, bízzon benne 1 percig. Az intervallum növekszik (a pontosság változik) A megbízhatósági sorrendben a p-t gyakran használják a gyakorlatban az α = 1 - p szignifikanciaszint meghatározására.

Kérjük, fogadja el a p = 0,95 vagy (redshe) 0,99 értéket. Ez a megbízhatóság elegendőnek bizonyult ahhoz, hogy a kiválasztott mintamutatók alapján az általános paraméterekről megalapozott ítéletet lehessen alkotni.

A matematikai számítás konfidencia intervalluma így néz ki: de S - szórás, - kritikusabb, mint a hallgatói felosztás (Divis Addendum 1 a 7. témakörhöz)

Vibirka jellemzői. lehetséges,

A kurzus elején olyan fogalmakat vettek figyelembe, mint a klasszikus és a statisztikai érvényesség.

Ahogy a klasszikus homoviralitás egy elméleti jellemző, amely részletezés nélkül mérhető, a statisztikai homoviralitás csak kísérleti eredmények alapján határozható meg. Nagyobb számú nyomnál az érték W(A) a nemzetköziség értékeléseként szolgálhat P(A). Fejezd be Buffon és Pearson klasszikus vizsgálatait. Hasonló analógiákat folytathatunk tovább. Például az elméleti jellemzőkre M(x) egy ilyen hasonlat lenne - számtani átlaga:

= i f i / n ,

diszperzióhoz D(x) empirikus analógja lenne statisztikai variancia:

S 2 (X) = (Xi - ) 2 f i/n .

Empirikus jellemzők, S 2 (X) ,W(A) є paraméterbecslések M(x) ,D(x) ,P(A) . Ezekben az esetekben, amikor az empirikus jellemzőket nagy számú nyom alapján határozzák meg, ezek elméleti paraméterek szerinti kiválasztása nem vezet megfelelő engedményekhez a vizsgálatban, de ezekben az esetekben, ha a nyomok száma korlátozott. , a csere során keletkezett sérülés teljes lesz. Így az elméleti paraméterek becslésén alapuló empirikus jellemzőknek három előnye van:

A bűnösség értékelése hasznos, elfogulatlan és hatékony lesz.

Egy becslést leegyszerűsítettnek nevezünk, ha a becsült paraméter változásának mértéke egy kis pozitív számnál kisebb mértékben megközelíti a nem kötött nagyobb számot. n, akkor

P(|- | < ) = 1

de - a lakosság valódi paramétere,

/ - ennek a paraméternek az értékelése. A különféle numerikus paraméterekre vonatkozó legtöbb becslés összhangban van ezekkel a lehetőségekkel. Azonban nem lehet megúszni csak egy embert. Szükséges, hogy a bűz továbbra is megmaradjon, és ne távolodjon el.

A becslést torzítatlannak nevezzük, mert a becslés értéke matematikailag hasonló a becsült paraméterhez:

M ( / ) = .

A szisztematikus értékelés lehetséges és elfogulatlan becslésére példa a számtani átlag:

M() = .

A lehetséges és elfogult értékelés példája az

diszperzió:

M ( S 2 (X)) = [ (N-1)/n ] D(x) .

Az elméleti variancia torzítatlan becslése D(x) empirikus varianciát igényel S 2 (X) szorozva n/(n - 1) , Tobto

S 2 (X) = (Xi - ) 2 f i/n n/(n - 1) = (Xi - ) 2 f i / (n - 1) .

Célszerű ezt a korrekciót elvégezni, amikor a szóródás becslését számoljuk ezekben a variációkban, ha n< 30 .

Lehetséges elfogulatlan becslések készíthetők. Például egy normál részszakasz diszperziós középpontjának becsléséhez a számtani átlag sorrendjében, a mediánt vehetjük . A medián megegyezik a csoport középpontjának elfogulatlan lehetséges becslésével. Két lehetséges torzítatlan becslés esetén ugyanarra a paraméterre, természetes, hogy a kisebb szórással rendelkező becslés érvényesül.

taka Azt a becslést, amelynél a legkisebb a szórás a becsült paraméterhez képest, hatékonynak nevezzük. Például két becslésből a normál osztás diszperziós középpontja M(x) hatékony értékelés, nem , Tehát mivel a diszperzió kisebb, mint a diszperzió . Ezeknek a becsléseknek a hatékonysága a nagy választáson megközelítőleg megegyezik a következőkkel: D()/D= 2/ = 0,6366.

A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy az általános sokaság felosztásának középpontját (úgynevezett 0-nak nevezzük) a következővel jelöljük ki ugyanolyan pontossággal n óvintézkedéseknél, mint 0,6366-nál n ügyelve a számtani átlagra.

4.4. A mintaeszközök és diszperziók ereje.

1. Ha nagy a kiválasztás, akkor a nagy számok törvénye alapján az egyhez közeli fokszámmal megerősíthető, hogy a számtani közép és diszperzió S 2 mindig szórakozni fog egy kicsit M(x) і D(x ), Tobto

M(x) ,S 2 (x) D (x ), I diszperzió D() , Ki ne látogatott volna el a választásokra n, vagy nagy lenne a választék száma.

4. Ha diszperzió D(x ), az általános lakosság nem ismert, ezért a nagyok számára fontos n Kis csökkentés nagyobb biztonságával a mintaátlagok szórása hasonló módon számítható ki:

D() = S 2 (X)/n,

de S 2 (X) = (Xi - ) 2 f i/n - nagy minta diszperziója.

Viznachennya.A Vipadkova értéket ún értékelés Egy ismeretlen paraméter, mivel a kísérleti sorozat eredményeiben talált véletlen érték értéke a paraméter legközelebbi értékének tekinthető, így az ekvivalencia igazságos.

Csikk. Mivel egy ismeretlen paraméterrel összefüggésben egy adott cselekvés bekövetkezésének megbízhatóságát láthatjuk, ezért ennek a paraméternek a becslése a hatás előfordulási gyakorisága független kísérletekben (oszt. Statisztikailag meghatározott megbízhatóság és Bernoulli-tétel).

Csikk. Ne feledkezzünk meg az értékekről sem Ekkor azonban új matematikai megértés jöhet szóba. Ezért a számtani átlag szolgálhat az ilyen változó mennyiségek formális matematikai számításának jelentőségének becsléseként. tsikh vipadkovyh mennyiségben. Udvariasan összegezzük az általunk vizsgált helyzetet és az elkövetkezendőket

csikk. A számtani átlag egy adott paraméter becsléseként szolgál. eredmények ennek a paraméternek független módosítása (Csebisev csodálatos tétele).

A szoros egyenlőség középső vikorisztánjával beszél valamiről pontbecslés láthatatlan paraméter.

talán ugyanúgy Intervallum értékelés láthatatlan paraméter. Annak érdekében, hogy elmagyarázzuk, miről is van szó, vessünk egy pillantást a jelenlegi koncepcióra.

Viznachennya.Elegendő időközönként ún megbízható időközönként; Magát a mennyiséget nevezzük ebben a formában határvonal választás.

Viznachennya.Azt a bizonyosságot, hogy a becsült paraméter ismeretlen értékét egy konfidenciaintervallum fedi, nevezzük megbízhatóság.

Ily módon, mint – paraméterbecslés , Azt

- megbízható megbízhatóság (feltételezzük, hogy az értékelés є megszakítás nélkül vipadkovoy érték).

Az intervallum kiértékelés például egy adott mintahatárra számított megbízhatóságból áll.

Az intervallumértékelés feladatának megoldása a vikorisztikus értékelés felosztási törvényének jelentőségéhez kapcsolódik. .

Nézzük most az értékelések erejét.

Viznachennya.A paraméterbecslést ún elfogulatlan, Mivel a becslés értéke matematikailag jobban összefügg a becsült paraméterrel, akkor

Viznachennya.A paraméterbecslést ún lehetséges, Az elégedettség kedvéért a kapcsolat határára kerül

Más szavakkal, egy paraméter becslése akkor lehetséges, ha ez a becslés érvényessége konvergál egy adott paraméterhez. (Egyértelmű, hogy az ilyen jellegű alkalmazásokat Bernoulli és Chebisev tételei biztosítják, 6.2. szakasz.)

Viznachennya.Egy adott paraméter torzítatlan becslését hívjuk hatékony, Mivel ez rendelkezik a legkisebb szórással az adott téma kiválasztásához talált elfogulatlan becslések között.

Csikk. rész az érvényesség elfogulatlan, megvalósítható és hatékony értékelésének szükségessége ezeket az ötleteket . Tisztelet, a bizonytalanság erejét és a gyakoriság lehetőségét korábban tulajdonképpen más kontextusban vettük figyelembe. Valójában a frekvencia megváltoztathatatlansága – a féltékenység – a binomiális eloszlású változó értékének egyik hatványa (div. § 3.3). A gyakoriság valószínűségét Bernoulli tétele erősíti meg (6.2. szakasz).

csikk. Határozott számú független és mégis felosztott változóérték számtani átlaga ezen változóértékek formális matematikai értékelésének elfogulatlan és lehetséges becslése. Valójában a mozdulatlanság 5 matematikai számítás ereje (3.3. szakasz). A hasonlóságot Csebisev tétele is megerősíti (Iv. 6.2. §).

1. Fogalmak az általános sokaság paramétereinek értékelésével kapcsolatban. Az értékelések ereje: megváltoztathatatlanság, egyszerűség, hatékonyság.

Fogalmazzuk meg a paraméterek becslésének problémáját formális formában . Osszuk el X jeleit – az általános totalitást – a ver-tey függvénye (diszkrét SV X esetén) vagy a ver-tii erőssége határozza meg.
(Folyamatos SV X esetén), amely ismeretlen paraméterre állítható . Például a λ paraméter a Poisson-osztásban vagy az i paraméterek
a normál osztástörvényhez stb.

A paraméter kiszámításához Úgy tűnik, nem lehet nyomon követni az általános populáció minden elemét. Tehát a paraméterről Megpróbáljuk megítélni az alapján a kiválasztás alapján, amely összeadja az (opciók) értékét.
. Ezeket az értékeket n független változó érték privát értékének (realizációjának) tekinthetjük
A bőr ugyanazt az osztódási törvényt követi, mint maga a CB.

időpont egyeztetés . értékelés paraméter hívja meg a CB X feletti ellátás eredményeinek tetszőleges függvényét (más néven statisztika), amely segít a paraméter értékének megítélésében :

.

töredékek
- véletlenszerű értékek, majd a becslés (A kiértékelt paraméter miatt - egy nem eső, determinisztikus érték) és egy nem eső érték, amely az SV X és az n szám osztásának törvényében rejlik.

A nyomok értékelésének pontosságát nem egyedi értékek alapján kell megítélni, hanem az érték nagy léptékű tesztelés során történő felosztásával, majd az értékelés mintafelosztásával.

Mi a jelentősége az értékelésnek? koncentrálni a paraméter valódi értékére , Ekkor az értékelés mintavételi szakaszának tömegének nagy része a becsült paraméter egy kis részében koncentrálódik , Akkor nagy bizalommal veheti figyelembe, hogy az értékelés paramétertől függően változik kis mennyiséggel kevesebb. Ezért számít közel volt , Nyilvánvalóan nagyságrendi csökkenést kell elérni shodo , Amint azt például a becsült paraméterből származó becslés négyzetének matematikai számítása fejezi ki
, Lehetett kisebb. Ez a fő elme, akinek meg kell elégednie a „legjobb” értékeléssel.

Az értékelések ereje.

időpont egyeztetés . értékelés paraméter hívott elfogulatlan, Mivel matematikailag hasonló a becsült paraméterhez, akkor
.

egy másik esetben az értékelést ún kiszorított.

Mivel a féltékenység nem ér véget, akkor az értékelés , Különböző kijelölések közül választva, középen vagy az értéktől függően (yaksho
, Abo alábecsüli a jógót (yaksho
). A Vimoga elégtelensége garantálja a szisztematikus korrekciók hiányát az értékelés során.

Azonban a végén mintatérfogat n
, A becslések torzítása érdekében
, ale
, Ez az értékelés hívott aszimptotikusan elfogulatlan.

időpont egyeztetés . értékelés paraméter hívott lehetséges, Mivel eleget tesz a nagy számok törvényének, ezért a becsült paraméterhez konvergál:

, Abo.

Ha több lehetséges becslés van, akkor valószínűleg megnő a mintavételi teher, ami azt jelenti, hogy az értékelés kopási értékei rendkívül alacsonyak lesznek. Ezért a gyakorlati érzék túlmutat a lehetséges értékeléseken. Ha lehetséges az értékelés, akkor gyakorlatilag biztos, hogy a nagy n
.

Mi az értékelés? paraméter є elfogulatlan és ї szóródás
mint n → ∞, akkor a becslés Lehetséges. Ez egyértelműen Csebisev nyugtalanságát tükrözi:

.

időpont egyeztetés . elfogulatlan becslés paraméter hozzá van rendelve hatékony, Mert ennek van a legkisebb szórása az összes lehetséges torzítatlan paraméterbecslés között , Egy és ugyanazon obsyag n kiválasztására számítva.

Az Ön számára készült töredékek nem fogják eltenni az értékeléseket
є її diszperzió , Ez az a legfelsőbb hatóságoknak Mit jelent az értékelés súlyossága?

Az értékelés hatékonyságát a következők határozzák meg: .

de і - ez összhangban van a becslések effektív adatainak szórásával. Minél közelebb van az 1-hez, annál hatékonyabb az értékelés. Ha e → 1, mint n → ∞, akkor egy ilyen becslést aszimptotikusan hatékonynak nevezünk.