A 3. alkalmazási sorrendnek megfelelő különbség. A különbségi összehasonlítás és döntés sorrendje, a kat

Differenciálkiegyenlítés legmagasabb rendű

A magasabb rendű különbözeti szintek fő terminológiája (DU VP).

Rivnyannaya kilátás, de n >1 (2)

magasabb rendű differenciálegyenlőségnek nevezzük, azaz. n-edik sorrend.

Távirányító terület, n-a sorrend a régió.

Ezen a tanfolyamon a támadástípusok távirányítóit tekintjük át:

Koshy DU osztály alelnöke:

Legyen megadva DU,
és fülek n/a: számok.

Ismerni kell a nem szakaszos n-szeres differenciáló függvényt
:

1)
є döntései ennek a távirányítónak a bekapcsolásakor, azaz
;

2) kielégíti a feladatot, a csutka elméjét:.

Más sorrendű távirányító esetén a probléma megoldásának geometriai értelmezése azonnali: találunk egy integrálgörbét, amely áthalad a ponton. (x 0 , y 0 ) És mit jelent közvetlenül beszélni a vágási együtthatóval? k = y 0 ́ .

Alapozás és egység tétele(A távirányító Cauchy-probléma megoldása (2)):

Jakscso 1)
megszakítás nélkül (a teljességre (n+1) érvek) a területen
; 2)
megszakítás nélkül (az érvek összességéhez
) B, akkor ! a távirányító Cauchy-probléma megoldása, amely kielégíti a gubacsok adott feladatát: .

A területet a DU egység területének nevezik.

Zagalne rishennya DU alelnök (2) – n -paraméteres funkció,
, de
- következetesebb, mivel kielégíti a következő előnyöket:

1)

- a távirányító (2) bekapcsolása;

2) n/s egységterület!
:
kielégíti a gubacs elmék feladatát.

tisztelet.

spіvidnoshenya kilátás
, Implicit módon a vezérlőrendszer titkos megoldása (2) nem hívható meg az integrál integrállal DU.

Magán döntés DU (2), hogy konkrét jelentéssel kerüljön ki ebből a jogi döntésből .

VP távirányító integrálása.

A magasabb rendű differenciálegyenletek általában nem határozhatók meg precíz analitikai módszerekkel.

Nyilvánvalóan létezik egy hasonló típusú DUVP, amely alacsonyabb sorrendet tesz lehetővé, és négyzetre redukálódik. Sorrendben táblázatba foglaljuk a szintek típusait és csökkentésének módjait.

DU VP, amely alacsonyabb sorrendet tesz lehetővé

Egyetlen függvény jelentése:

funkció
a változás után ugyanúgy hívják
, yakscho


a jelentős funkció területének bármely pontján
;

- egységességi sorrend.

Például a függvény homogén a 2. renddel
, Tobto.

fenék 1:

Találja meg a legjobb megoldást távirányítójához
.

DU 3. rend, nem kívül, ne állj bosszút kifejezetten
. Az egyenletet egymás után háromszor integráljuk.

,

- komplett megoldás a távirányítóhoz.

fenék 2:

Ellenőrizze a távirányító Cauchy-problémáját
nál nél

.

Más rendű DU, nem kívülről, ne állj kifejezetten bosszút .

helyettesítés
És menetel
Csökkentse a távirányító sorrendjét eggyel.

. Elvették az első rend vezérlőrendszerét - Bernoulli hűségét. A legjobb egyensúly érdekében a Bernoulli-helyettesítést használjuk:

,

És összehasonlíthatjuk.

Ebben a szakaszban Koshy feladata valószínűleg az egyenrangúaké lesz
:
.

- elsőrendű kapcsolat a vízzel megerősített változásokkal.

A maradék lelkesedés a gubacs elméjébe adatik:

bizonyíték:
- megoldás Cauchy problémájára, ami a csutka elméjét tetszetős.

3. fenék:

Virishity DU.

- A 2. rendű DE, külsőleg nem, nem pótolja a nyilvánvaló változást, ezért lehetővé teszi a sorrend eggyel történő csökkentését további helyettesítés, ill.
.

a féltékenységet elutasítják
(Gyerünk
).

- Az elsőrendű vezérlőegységek el vannak választva a váltakozóktól. Válasszuk szét őket.

- a távirányító integrált távirányítója.

fenék 4:

Virishity DU.

Rivnyannya
Pontos ügyekben rivalizálás van. hatékony,
.

Integráljuk át a bal és a jobb oldalt, pl.
vagy A változók közül eltávolítottuk az 1. rendű DE-t, azaz.
- a távirányító integrált távirányítója.

Példa5:

Ellenőrizze a Cauchy-problémát a következőnél
nál nél.

DU 4. rend, nem kint, ne állj kifejezetten bosszút
. Figyelembe véve, hogy az összehasonlítás pontos esetekben történik, elutasítjuk
különben
,
. Póttagok a Cob templomban:
. távirányító eltávolítható
3. rendű első nézet (oszt. táblázat). Integráljuk háromszor, és a bőrintegráció után bevezetjük a csőagyat a szintbe:

bizonyíték:
- a kimeneti távirányító doboz problémájának megoldása.

fenék 6:

Engedd szabadjára a féltékenységet.

- DU 2. rendű, külső, bosszú egyformaság nagyvonalúan
. helyettesítés
csökkentse a rivalizálás sorrendjét. Kiért hozzuk felszínre a féltékenységet
, A kilépési kapcsolat sértő részeinek szétválasztása . Megkülönböztetem a funkciót p:

.

alapokkal
і
távirányítóban:
. 1. rendű összehasonlítás változókkal.

Vrahovoyuchi scho
, A távirányító is elutasítható
- átfogóbb megoldás a kimeneti távirányítóhoz.

A legmagasabb rendű lineáris differenciálszintek elmélete.

Alapvető terminológia.

- NLDU - th order, de - nem megszakítható funkciók bármikor.

Ezt a távirányító folytonossági intervallumának (3) nevezik.

Bevezetett (mentális) differenciáloperátor a th-edik rendű

Ha ez a funkció be van kapcsolva, akkor törlődik

Vagyis a lineáris vezérlőrendszer bal oldali része a sorrendben.

Az utód, akinek az LDU-ját lehet írni

Az üzemeltető lineáris jogosultsága
:

1) - az aditivitás ereje

2)
- szám - az egységesség ereje

A jogosultságok könnyen ellenőrizhetők, mivel ezek a funkciók hasonlóak a tekintélyek funkcióihoz (a hasonlók végösszege megegyezik a hasonlók végösszegével; az utolsó előjelének vehetjük a konstans szorzót).

Hogy.
- vonalkezelő.

Nézzük meg az LDU Cauchy-probléma megoldásának táplálkozását és egységét
.

Megengedett LDU shodo
: ,
, - megszakítás nélküli intervallum.

A funkció a területen megszakítás nélkül, naponta
megszakítás nélkül a területen

Továbbá az egység területe, amelyben a Kosha LDU (3) feladata csak egy pont kiválasztása után oldható meg és fekszik
, Az érvek minden egyéb jelentése
funkciókat
Boldog testvérek lehettek.

Az OLDU Zagalna elmélete.

- megszakítás nélküli intervallum.

Az OLDU főbb tekintélyei:

1. Az aditivitás ereje

(
- OLDU (4) határozat
(
- OLDU határozat (4) be).

Elhozta neked:

- határozat OLDU (4) on

- határozat OLDU (4) on

akkor

2. Az egységesség ereje

(- OLDU (4) határozat) (
(- numerikus mező))

- határozat OLDU (4) on.

Hasonló módon történik majd.

Az additív és homogenitás hatványait ún lineáris tekintélyek OLDU (4).

vizsgálat:

(
- OLDU (4) határozat a) (

- OLDU határozat (4) be).

3. (- OLDU (4) komplex értékű megoldása be) (
- az OLDU meghozható és jelentős döntései (4) on).

Elhozta neked:

Ha az OLDU (4) megoldása be van kapcsolva, akkor egyenlőre cserélve visszaáll az azonosságuk, azaz.
.

Az operátor linearitása miatt a maradék egyenlőség bal oldali része a következőképpen írható fel:
.

Ez azt jelenti, hogy, azaz - az OLDU (4) kereshető-értelmes döntése a.

Az OLDU közelgő kormányhatározatai a koncepciókhoz kapcsolódnak " lineáris pozíció”.

A függvények végrendszerének lineáris helyzetének jelentősége

A függvényrendszert lineárisan függőnek nevezzük, mint kiderül nem triviális számok tárcsázása
úgy, hogy a lineáris kombináció
funkció
Ezek a számok is egyenlők nullával, azaz.
.n, ami hibás. a tétel bebizonyított.differenciál Rivnyannyalegnagyobbparancsokat(4 év...

Elsődleges differenciálegyenlőség kiegyenlítésnek nevezzük, amely a változás független változtatható, ismeretlen függvényét és a különböző rendű különbségeket (vagy differenciálokat) kapcsolja össze.

A differenciális összehasonlítás sorrendje A szenior menet rendjét hívják, mely az újban fog megtörténni.

Különböző egyenlőségek is léteznek a magánszemélyekkel. A cél az, hogy a független változásokat összekapcsolják ezeknek a változásoknak az ismeretlen funkciójával és az ugyanazon a változásokkal kapcsolatos privát tevékenységükkel. Ale csak megnézzük elsődleges differenciálegyenlőség Ezért az egyszerűség kedvéért elhagyjuk a „vészhelyzet” szót.

Differenciálmérés alkalmazása:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Rivnyannya (1) - a negyedik sorrend, Rivnyannya (2) - a harmadik sorrend, Rivnyannya (3) és (4) - egy másik sorrend, Rivnyannya (5) - az első sorrend.

differenciálkiegyenlítés n A második sorrendben nem kötelező egyértelmű funkciót elhelyezni, mindegyik hasonló az elsőtől azig n- rend és független változás. Senki sem rendelkezhet egyértelműen a szükséges működési eljárásokkal, olyan funkcióval, amelyet nem lehet megváltoztatni.

Például az (1) egyenletben egyértelműen nincsenek hasonló harmadik és egyéb rendek, valamint függvények; sorban (2) - más sorrendben és funkcióban menetel; in rivnyanna (4) - független változás; rangban (5) - függvények. Csak egyenlő (3)-ban vannak egyértelműen ugyanazok a függvények, és a függvény nem változtatható.

Döntések a differenciálszabályozásról minden függvény meghívva van y = f(x), Ha egyenlőre cseréljük, azonossá válik.

A differenciáligazítás megoldásának folyamatát ún integráció.

1. fenék. Keresse meg a differenciálegyenlet megoldását!

Döntés. A látványnál írjuk fel a szertartást. A megoldás ugyanazon a funkción alapul. A cob függvény, amint az integrálszámból is látható, az elsődleges, azaz.

Tse i є megoldása ennek a differenciálegyenletnek . Változás Újban C, A döntési különbségeket megoldjuk. Megértettük, hogy van egy személytelen döntés az elsőrendű differenciálkiegyenlítésről.

Különleges megoldások a differenciálmű beállítására n Ezt a döntést rendnek nevezik, amelyet egy ismeretlen funkció és a bosszú egyértelműen kifejez n független, elégedett, álló, i.e.

A differenciáligazítás megoldása az 1. alkalmazásban közvetett.

A differenciálkiegyenlítés magándöntései Ezt olyan megoldásnak nevezzük, amelyben a meghatározott számértékek meglehetősen állandóak.

2. fenék. További megoldások a differenciálkiegyenlítéshez és adatvédelmi megoldásokhoz .

Döntés. Integráljuk az egyenlet sértő részeit annyiszor, mint a differenciálegyenlet előző sorrendje.

,

.

Ennek eredményeként megtagadtak tőlünk egy titkos döntést -

Ez a differenciálegyenlet harmadrendű.

Most már a legjobb elmével tudjuk a döntést. Amelyeknél lehetőség van az értékük megfelelő együttható helyettesítésére és elutasítására

.

Ha a differenciáligazítás mellett az elme csutka megjelenésében is adott, akkor ezt a feladatot ún. Koshy kincseihez . A hivatalos döntés az értékek beszúrása és az értékek megfelelő megtalálása. C, És akkor a döntést privátban hozzák meg, amikor megtalálják az értéket C. Ez a megoldás Cauchy problémájára.

3. fenék. Fejezze be a Cauchy-problémát a differenciálegyenlethez az 1. pont szem előtt tartásával.

Döntés. Áll a hátsó udvarban, határozott jelentőséggel a csutka elméjéből y = 3, x= 1. Megszállott

Leírjuk a Cauchy-probléma megoldását ehhez az elsőrendű differenciálösszehasonlításhoz:

Magas differenciálszintek esetén a legegyszerűbb esetekben a hasonló, ezen belül az összetett funkciók integrálásának és használatának jó készsége szükséges. Ez látható a fenéken.

4. fenék. További részletes megoldások a differenciálszabályozáshoz.

Döntés. Az áhítat olyan formában van megírva, hogy azonnal integrálható legyen a sértő részek.

.

Az integrálás módját a változó cseréjével (helyettesítés) határozzuk meg. Akkor gyerünk.

venni kell dxÉs most - tisztelet - ügyelünk arra, hogy ne tartsuk be a hajtogatási függvény megkülönböztetésének szabályait, hiszen xі є összecsukható funkció ("alma" - vityag négyzetgyök egyébként ugyanazok az „egy barát” szintjére redukálódnak, és a „darált hús” maga a gyökér):

Ismerjük az integrált:

Megfordulás a változásig x, Ottrimo:

.

Ez egy teljes megoldás az első szakasz ezen differenciálszintjére.

A differenciálegyenletek megoldásához nem csak a felsőfokú matematika haladó ágairól kezdőkre lesz szükség, hanem az általános vagy iskolai matematikából kezdőkre is. Mint már említettük, egy differenciálegyenletben, bármilyen sorrendben, nem lehet független változó, akkor változó x. A probléma megoldása érdekében ne felejtse el (azok számára, akik rendelkeznek) az arányokkal kapcsolatos ismereteket az iskolából. Olyan támadó fenék.

Nézzünk meg egy homogén harmadrendű differenciálegyenlet-rendszert

Itt x (t), y (t), z (t) az (a, b) intervallum függvényei, az ij (i, j = 1, 2, 3) pedig beszédszámok.

Írjuk fel a kimeneti rendszert mátrix formában
,
de

A kimeneti rendszer megoldását viccelni fogják
,
de , C 1, C 2, C 3 - állandóbb.

A megoldások alapvető rendszerének megismeréséhez meg kell határozni az úgynevezett karakterisztikus egyenletet

Ceremónia algebrai szint harmadrendű, tehát 3 gyökér van. Mikor lehetséges a támadás:

1. Gyökér (hatalom jelentése) hatékony és különböző.

2. A középső gyökerek (erős jelentések) komplexen összefüggenek, ne felejtsük el
- aktív gyökér
=

3. Gyökér (erős jelentésű) cselekvés. Az egyik gyökér többszörös.

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan kell kezelni az ilyen típusú epizódokat, a következőkre van szükségünk:
1. tétel.
Legyen ez - páronként különböző teljesítményértékű A mátrix, és - kapcsolódó teljesítményvektorok. akkor

létrehoz egy alapvető rendszert és megoldást a kimeneti rendszerre.

tisztelet .
Legyen ez - az A hatásos erős mátrix (a karakterisztikus kiegyenlítés effektív gyöke), - a megfelelő teljesítményvektor.
= - az A mátrix komplex teljesítményértékei, - meggyőző - teljesítményvektor. akkor

(Re - aktív rész, Im - nyilvánvaló)
létrehoz egy alapvető rendszert és megoldást a kimeneti rendszerre. (Tobto i = egyszerre nézett)

3. tétel.
Nehai a multiplicitás karakterisztikus szintje 2. Ekkor a kimeneti rendszer 2 lineárisan független megoldást tart szem előtt.
,
de, - stacionárius vektorok. Mivel a multiplicitás 3, ezért 3 lineárisan független megoldás van szem előtt
.
A vektorokat úgy találjuk meg, hogy a (*) és (**) megoldásokat behelyettesítjük a kimeneti rendszerbe.
A (*) és (**) formában lévő megoldás megtalálásának módszerének jobb megértéséhez tekintse meg az alábbi tipikus alkalmazásokat.

Most nézzük meg közelebbről a bőrt a leírt epizódokból.

1. Algoritmus homogén harmadrendű differenciálegyenlet-rendszerek megoldására karakterisztikus egyenletek különböző aktív gyökeiben.
adott a rendszernek

1) Van egy jellemző szint

- a 9roots vallás aktív és különböző hatalmi jelentései).
2) Megtesszük, igen

3) Megtesszük, igen
- az A mátrix hatványvektora, amely azt jelzi, hogy - legyen a rendszer megoldása

4) Megtesszük, igen
- az A mátrix hatványvektora, amely azt jelzi, hogy - legyen a rendszer megoldása

5)

hozzon létre egy alapvető megoldási rendszert. Ezután a kimeneti rendszer rejtett megoldását írjuk le az űrlapba
,
itt C 1, C 2, C 3 - meglehetősen állandó,
,
vagy koordináta nézetben

Nézzünk meg egy csomó csikket:
1. fenék.




2) Ismert


3) Ismert


4) Vektorfüggvények



vagy koordináta jelöléssel

2. fenék.

1) Összeállítható és leválasztható jellemzők:

2) Ismert


3) Ismert


4) Ismert


5) Vektorfüggvények

létrehozza az alaprendszert. A titkos döntés kinézhet

vagy koordináta jelöléssel

2. Algoritmus homogén harmadrendű differenciálegyenlet-rendszerek megoldására karakterisztikus egyenletek különböző komplex-eredetű gyökereiben.


- aktív gyökér,

2) Megtesszük, igen

3) Megtesszük

- az A mátrix teljesítményvektora, amely azt jelzi, hogy kielégíti a rendszert

Itt Re - aktív rész
Im - egy rész nyilvánvaló
4) hozzon létre egy alapvető megoldási rendszert. Ezután felírjuk a kimeneti rendszer titkos megoldását:
, de
A Z 1, Z 2, Z 3 tartósabb.

1. fenék.

1) Összeállítható és leválasztható jellemzők

2) Megtesszük

3) Megtesszük
, de

Az első szint 2-vel lerövidül, majd a másik szinthez hozzáadjuk az elsőt 2i-vel szorozva, a harmadik szintről pedig a Perovot, 2-vel szorozva.

messze

Nos, hát,

4) - alapvető megoldási rendszer. Írjuk fel a kimeneti rendszer végső megoldását:

2. fenék.

1) Összetett és disszociálható jellemző szint


2) Megtesszük

(ezt nézzük egyszerre), hol

A másik értéket megszorozzuk (1-i) és csökkentjük 2-vel.


Nos, hát,

3)
A kimeneti rendszer kulisszák mögötti megoldása

különben

2. Algoritmus harmadrendű homogén differenciálegyenlet-rendszerek megoldására a karakterisztikus egyenlet gyökeinek többszörösében.
Összeállítható és megfoghatatlan jellemzők

Két lehetséges forgatókönyv lehetséges:

Nézzük a következőket: a) 1), de

- az A mátrix teljesítményvektora, amely azt jelzi, hogy kielégíti a rendszert

2) A 3. Tételre támaszkodva ebből az következik, hogy két lineárisan független megoldás van a formában
,
de, - stacionárius vektorok. Vegyük őket.
3) - alapvető megoldási rendszer. Ezután felírjuk a kimeneti rendszer titkos megoldását:

Vessünk egy pillantást a b) pontra.
1) A 3. Tételre támaszkodva, ami azt jelenti, hogy három lineárisan független megoldás van a formában
,
de,, - stacionárius vektorok. Vegyük őket.
2) - alapvető megoldási rendszer. Ezután rögzítjük a kimeneti rendszer mögöttes megoldását.

A probléma (*) megoldásának jobb megértése érdekében nézzünk meg néhány tipikus alkalmazást.

1. fenék.

A karakterisztikus egyenlet összecsukható és megfoghatatlan:

kár a)
1) Megtesszük
, de

Egy másik szintről először láthatjuk:

? A harmadik sor hasonló a másikhoz, csavarható. Először is megjegyezzük egymásnak:

2) = 1 (2 szorzata)
Ennek a gyöknek a T.3 szerint két lineárisan független megoldása lehet.
Próbáljuk meg kideríteni az összes megoldottnak tűnő lineárisan független megoldást
.
Egy ilyen vektor csak akkor lesz megoldva, ha egy olyan hatványvektor, amely = 1-et jelez, akkor
, vagy
, A másik és a harmadik sor hasonló az elsőhöz, eldobja őket.

A rendszer egy szintre csökkent. Nos, van például két nagy ismeretlen. Kezdjük az 1, 0 értékekkel; akkor az értékek 0, 1. A következő döntések elutasíthatók:
.
Nos, hát, .
3) - alapvető megoldási rendszer. Elfelejtettem leírni a kimeneti rendszer titkos megoldását:
. .. Ily módon ebben a rendszerben csak egy megoldás létezik az X 3 alállomások formájára: A harmadik sor fel van emelve (az egyik hasonló a másikhoz). A rendszer őrült (lehet, hogy megoldás) bármi is legyen. Legyen z = 1.
különben

Kinek szükséges:

; (5.22)

. (5.23)

A fennmaradó következmény Umova 3> 0-t ad. Umova Δ 2> 0, 0> 0, 1> 0 és 3> 0 esetén csak 2> 0-val lehet következtetni.

A harmadrendű féltékenységhez azonban már nem elegendő a jellemző féltékenység összes együtthatójának pozitivitása. Az a 1 a 2 > a 0 a 3 együtthatók között is énekviszonyt kell kialakítani.

4. A negyedik rend tisztelete

Mint egy perforált anyag, eltávolítható, hogy a negyedrendű egyenlőséghez az összes együttható pozitivitása mellett a nyomot is eszünkbe kell vinni

Nagyon kevés algebrai kritérium létezik, köztük a Hurwitz-kritériumok, és olyanok, amelyek magas rendű szintek esetén a legrövidebb időn belül bizonyítékot szerezhetnek az automatarendszer megfelelő szabályozásában stabilak vagy instabilakról. Ha a rendszer instabil, a kritérium nem bizonyítja, hogy a rendszer paramétereit módosítani kell a stabilitás érdekében. Ez a helyzet a mérnöki gyakorlatban hasznosabb kritériumok kereséséhez vezetett.

5.3. Mihajlov tartóssági kritériuma

Nézzük meg a karakterisztikus egyenes bal oldalát (5.7), ami egy karakterisztikus polinom

A helyettesítések ebben a polinomban tisztán explicit értékek p = j, ahol  a rezgések határfrekvenciáját jelenti, amely hasonló a karakterisztikus megoldás tisztán explicit gyökéhez. E tekintetben elvetjük a jellegzetes komplexumot

de beszéd rész fog zajlani srácok frekvencia lépés

és nyilvánvaló – párosítatlan frekvencialépés

E

Kicsi 5.4. Mihajlov hodográfja

A gyakorlatban a Mihajlov-görbe pontokban lesz, és a i frekvencia különböző értékeit az (5.28), (5.29) képletekkel határozzák meg, és U () és V () segítségével számítják ki. A bontások eredményeit a táblázat foglalja össze. 5.1.

5.1. táblázat

Pobudova görbe Mihajlov

Ez a táblázat magát a görbét mutatja (5.4. ábra).

Lényeges, hogy miért van szükség a D (j) vektor elforgatására, amikor a frekvenciát nulláról végtelenre változtatjuk. Ehhez írjuk fel a faj karakterisztikus polinomját

de  1 - n - a jellemző érték gyöke.

A karakterisztikus vektort ezután egyszerű formában ábrázolhatjuk:

Az ív bőre összetett szám. Ezenkívül D (j) a szorzat komplex számok. Szorzáskor a komplex számok argumentumai összeadódnak. Ezért a D vektor (j) eredő fordulata egyenlő lesz a szomszédos kötések (5.31) forgási fordulatainak összegével, amikor a frekvencia nulláról végtelenre változik

Jelentősen a bőr dodanok in (5.31) okremo. A kezdéshez vessünk egy pillantást rá különböző nézetek Koreniv.

1. Legyen bármilyen gyök, például  1, є verbális és negatív , Vagyis 1 = - 1. Az (5.31) kifejezésben szereplő szorzó, amelyet a gyök, matime viglyad ( 1 + j) jelez. Ennek a vektornak a hodográfja lesz a komplex síkon, amikor a frekvencia nulláról végtelenre változik (5.5. ábra, A). Pre = 0 beszédrész U =  1, és képzeletbeli V = 0. Ezt jelzi az A pont, amely a cselekvési tengelyen fekszik. Ahogy korábban, a vektor annyit fog változni, hogy anyagi része  lesz, és V =  (a grafikon B pontja). Amikor a frekvencia az inkonzisztencia pontjáig növekszik, a vektor inkonzisztenciába megy, és a vektor vége az egész órán át a függőleges egyenesen marad, amely áthalad az A ponton, és a vektor az év nyíllal szemben forog.

Kicsi 5.5. beszédgyök

Az  1 = + ( / 2) vektor eredő fordulata.

2. Most gyökérezzük  1 є verbális és pozitív , Azaz  1 = +  1 . Ez ugyanaz a szorzó az (5.31)-ben, amit a matime vilyad gyök (- 1 + j) jelez. Hasonló rutinok (5.5. ábra, b) Mutassuk meg, hogy a kapott fordulat  1 = - ( / 2) lesz. A mínusz jel azt jelzi, hogy a vektor az évnyil mögött forog.

3. Adjon meg két kötött gyökeret, például  2 і 3, є komplex negatív cselekvési résszel , Azaz 2; 3 = - ± j. Hasonlóképpen, az (5.31) kifejezés megfelelői, amelyeket ezek az élek jeleznek, (-j + j) ( + j + j) formában lesznek.

 = 0-nál a két vektor cob pozícióját az A 1 és A 2 pontok jelölik (5.6. ábra, A). Az első vektort az évforduló nyíl mögötti cselekvési tengely mentén kell elforgatni az arctg ( / ) irányába, a másik vektort pedig ugyanazon az úton, amely az évfordulós nyíllal szemben van. A nulláról az inkonzisztenciára való fokozatos növekedéssel mindkét vektor vége inkonzisztenciába megy fel, és a közöttük lévő vektorok nyilvánvaló súllyal haragszanak.

A kapott vágás az első vektor elforgatására  2 = ( / 2) + . Egy másik vektor eredményül kapott fordulata 3 = ( / 2) -. A létrehozásnak megfelelő (-j + j) vektor ( + j + j) szöget forog 2 +  3 = 2 / 2 = .

Kicsi 5.6. összetett gyökerek

4. Engedd el Az összetett gyökerek a beszéd pozitív részét képezhetik , Azaz 2; 3 = +  ± j.

A gyakorlat lebonyolítása hasonló a korábban tárgyalthoz (5.6. ábra, b), Levesszük a kapott forgássarkot 2 +  3 = -2 / 2 = -.

Ily módon, mivel a karakterisztikus érték a pozitív aktív résszel rendelkező gyökerek anyja lesz, akkor függetlenül attól, hogy milyen gyökről (beszédről vagy komplexről) lesz szó, hasonló lesz a fordulatok összegéhez, az -f szóhoz ( / 2). És az összes többi (n - f) a karakterisztikus szint gyökere, amely lehet negatív beszédrész, amely a fordulatok összegét jelzi, + (n - f) szint ( / 2). Ennek eredményeként a D vektor forgásiránya (j) a frekvencia nulláról inkonzisztenciára változtatásakor az (5.32) képlet mögött a következőképpen alakul:

 = (n - f) ( / 2) -f ( / 2) = n ( / 2) -f . (5,33)

Ez a kifejezés jelzi a kapcsolatot a Mihajlov-görbe alakja és a jellegzetes strasszkő gyökereinek beszédrészeinek jelei között. 1936-ban A.V. Mihajlov fejlett stabilitási kritériumot fogalmazott meg bármilyen rendű lineáris rendszerhez.

Egy n-edrendű rendszer stabilitásához szükséges és elegendő, hogy a D vektor (j  ), amely leírja a Mihajlov-görbét, amikor változik  nullától a végtelenig a sarkon  = n (  / 2).

Ez a képlet közvetlenül következik (5.33). A rendszer stabilitása érdekében szükséges, hogy minden gyökér a bal oldali síkban legyen. A csillag a vektor kívánt eredő fordulatát jelzi.

Mihajlov ellenállási kritériuma a következőképpen fogalmazódik meg: a lineáris ACS stabilitása érdekében szükséges és elegendő, hogy a Mihajlov-hodográf a frekvenciát nulláról végtelenre változtatva pozitív felületen induljon el, és ne húzza el a koordinátákat a komplex terület négyzetrúdjainak egymás utáni húzásával, melyik sorrend a rendszer karakterisztikus szintjének polinomja.

Ról ről

Kicsi 5.7. kitartó ATS

Stabil Mihajlov-görberendszerhez haladjon át egymás után a komplex sík n kvadránsán.

Mindhárom típusú ellenállási kordon megléte a Mihajlov-görbe alapján az aktuális sorrend szerint meghatározható.

Ha van ellenállási kordon első típus (nulla gyök) az n = 0 karakterisztikus polinom teljes tagja, és a koordinátákból jön ki a Mihajlov-görbe (5.9. ábra, 1. görbe)

Ellenállási kordonnal különböző típusú (Colival interstitial stability) a karakterisztikus egyenlet bal oldali része, azaz a karakterisztikus polinom, p = j 0 helyettesítésekor nullára megy

D (j 0) = X ( 0) + Y ( 0) = 0. (5,34)

A csillagok két egyenlőséget mutatnak: X ( 0) = 0; Y ( 0) = 0. Ez azt jelenti, hogy a Mihajlov-görbe  =  0 pontja belesüllyed a koordináták csövébe (5.9. ábra, 2. görbe). Ebben az esetben a  0 érték a rendszer csillapítatlan rezgésének frekvenciája.

A tartós kordonért harmadik típus (Befejezetlen gyök) a Mihajlov-görbe vége (5.9. ábra, 3. görbe) az egyik kvadránstól a másikig terjed a végtelenben. Ezen a ponton a karakterisztikus polinom (5.7) 0 együtthatója átmegy nulla értékeken, és az előjelet pluszról mínuszra változtatja.

A magasabb rendű elsődleges differenciálegyenletek (DE) fő típusait újragondolták, lehetővé téve a megoldásokat. Röviden felvázolja fejlesztésük módszereit. Jelzett oldalra küldve, az összeadás módszereit és a csikkeket leíró jelentéssel.

Div. is: Elsőrendű differenciálegyenlőségek
Lineáris differenciálegyenletek elsőrendű privát hasonlóságokban

A magasabb rendelések differenciált szintjei, amelyek alacsonyabb sorrendet tesznek lehetővé

Rivalizálás, amelyet a megszakítás nélküli integráció tiszteletben tart

Nézzük ezt másképp:
.
Integrált n-szer.
;
;
Stb. Tehát csak a képletet használhatja:
.
Div. Különböző egyenlőségek, amelyeket mindenki tiszteletben tart integráció >>>

Rivnyannya, ami nem az, hogy bosszút álljon az áporodott húson nyilvánvaló megjelenéssel

A helyettesítés egy alacsonyabb rendűre csökken. Itt van a nézet funkció.
Div. A magasabb rendűek differenciált szintjei, hogy ne tévessze el a funkciót explicit formában>>>

Rivnyannya, miért nem áll bosszút a nyilvánvaló megjelenés x független változásán

.
Fontos, hogy ez a funkció. akkor
.
Hasonló a többi túrához is. Ennek eredményeként a rangsor eggyel csökken.
Div. A magasabb rendelések differenciált szintjei, hogy ne helyettesítsék a nyilvánvaló megjelenés változását>>>

Rivnyannya, egyedülálló y, y ', y' ', ...

A legmagasabb szintű bizalom érdekében cseréljünk
,
de - függvény vid. akkor
.
Ugyanezt ugyanúgy meg lehet tenni. Ennek eredményeként a rangsor eggyel csökken.
Div. Ugyanazok a funkciók és hasonló differenciált szint a magasabb megbízásoknál>>>

A magasabb rendelések lineáris differenciálszintjei

Lássuk n-edrendű lineáris homogén differenciálegyenlet:
(1) ,
de - független változóként működik. Ne hagyja, hogy lineárisan független döntések szülessenek. A Todi zagalnyy roz'yazok rіvnyanya (1) így nézhet ki:
(2) ,
de - állandóbb. Maguk a funkciók valósítják meg a megoldások alapvető rendszerét.
Alapvető rendszermegoldás n-edrendű lineáris homogén egyenlet - ezen egyenlet n lineárisan független döntésének száma.

Lássuk n-edrendű lineáris nem homogén differenciálegyenlet:
.
Legyen magánjellegű (még ha az is) ennek a kapcsolatnak a döntése. Akkor a titkos döntés így néz ki:
,
de - zagalne azonos szintű megoldás (1).

Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenletek és az ezekre redukálók

Lineáris homogén összehasonlítás állandó együtthatókkal

Formahű:
(3) .
Itt vannak az aktív számok. Ahhoz, hogy megismerjük ennek a rendszernek a mögöttes megoldását, n lineárisan független döntést kell ismernünk, amelyek hozzájárulnak a döntések alapvető rendszeréhez. Ezután a titkos megoldást a (2) képlet határozza meg:
(2) .

Úgy tűnik, a döntés a küszöbön áll. tagadták jellegzetesen féltékeny:
(4) .

A szertartás szerint különböző gyökerek Ekkor az alaprendszer így néz ki:
.

Hogyan kell szenvedni összetett gyökér
,
akkor a gyökér összetett kötésére jut. Ez a kettő alapvetően olyan megoldásokat jelent, amelyek a komplex megoldások helyett az alaprendszerben szerepelnek.

a gyökér többszörösei a multiplicitások lineárisan független megoldásokat jeleznek:.

Több összetett gyökér A multiplicitások és a hozzájuk komplexen kapcsolódó értékek lineárisan független megoldásokat sugallnak:
.

Lineáris heterogén vonalak speciális heterogén résszel

Lássuk az elme féltékenysége
,
de - lépések polinomjai s 1 én s 2 ; - nyugodtan.

Jelenleg ugyanarra a (3) egyenletre keresünk bonyolultabb megoldást. Mi jellemzi ezt a féltékenységet (4) ne állj bosszút, Akkor a nézetből találunk egy privátabb döntést:
,
de
;
;
s - a legtöbb s-vel 1 én s 2 .

Mi jellemzi ezt a féltékenységet (4) van egy gyökér multiplicitás, akkor a nézetből egy privátabb megoldást találunk:
.

Ezek után elveszik a titkos döntést:
.

Lineáris heterogén összehasonlítás állandó együtthatókkal

Ennek eléréséhez három lehetséges módja van.

1) Bernoulli módszer.
Kezdettől fogva tudjuk, hogy a nullától az azonos szintű megoldás
.
Akkor dolgozzunk a helyettesítéssel
,
de - függvény változtatható x-ként. Létezik egy világos differenciálegyenlet u-ra, hogy csak ugyanazokat az eredményeket helyezzük el u-ból x mentén. A helyettesítés befejezésével eltávolíthatjuk az n szintet - 1 - első rendelés.

2) Az egyszerű helyettesítési módszer alkalmazásának eredménye.
hozzunk létre helyettesítést
,
de - a jellegzetes rіvnyannya egyik gyökere (4). Ennek eredményeként az állandó sorrendi együtthatókkal rendelkező lineáris heterogén kapcsolat megszűnik. Következetesen stagnálva egy ilyen helyettesítést, a szintet az elsőrendű szintre hozzuk.

3) Lagrange-féle stacionárius állandók variációs módszere.
Ennek a módszernek ugyanolyan érvényességi szintje van (3). Ez a döntés így néz ki:
(2) .
Fontos továbbá, hogy az állandó függvényekre x változó vonatkozik. A végső döntés tehát így néz ki:
,
de - ismeretlen függvények. A kimenetben az egyenlőségeket behelyettesítve és a cserecselekményekre ráépítve világosan láthatjuk azokat az egyenlőségeket, amelyekből megtudhatja a függvény típusát.

Euler Rivne

Behelyettesítéssel konstans együtthatójú lineáris egyenletté redukálható:
.
Az Euler-probléma megoldásához azonban nincs szükség ilyen helyettesítésre. Azonnal kereshet megjelenésben azonos szintű megoldásokat
.
Ennek eredményeként ugyanazokat a szabályokat hagyják el, mint az állandó együtthatókkal történő kiegyenlítésnél, amelyben változót kell helyettesíteni.

Wikorystan irodalom:
V.V. Sztyepanov, Differenciáltanfolyam, „LKV”, 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Nagyszerű matematikai könyvek gyűjteménye, „Lan”, 2003.