ゲート機能の表。 三角法

ズヴォロトニー 三角関数 - 逆正弦、逆余弦、逆正接、逆正接。

これから見ていきましょう。

逆正弦または、このカットは何ですか、除算は何ですか、その正弦は数字 a に関係しています、と言うことができます。

逆余弦数字であり、それは数字と呼ばれますので、

逆正接数字であり、それは数字と呼ばれますので、

逆余接数字であり、それは数字と呼ばれますので、

いくつかの新しい関数、三角関数ゲートについて話しましょう。

覚えておいてください、私たちはすでに通信しています。

たとえば、算数 平方根数 a は未知の数であり、その 2 乗は古代の a です。

a に関する数値 b の対数も数値 c です。

これとともに

なぜ数学者が新しい関数を「発明」しなければならなかったのかがわかります。 たとえば、解は等しいですが、特別な算術平方根記号がなければそれらを書くことはできません。

対数の概念は、たとえば次のような方程式のような解を書き出すために必要になりました。この方程式の解は無理数です。

三角関数の方程式も同様です。 たとえば、私たちは平等になりたいのです

この解が三角関数上の点に対応しており、その縦軸が古いこと、および正弦の値が表にされていないことは明らかです。 決定事項をどのように書き留めるか?

ここでは、指定された数値 a の正弦の値を示す新しい関数なしではできません。 つまり、誰もがすでに推測していました。 これが逆正弦です。

どこに置くかというと、先ほどの正弦は4分の1の逆正弦になります。 これは、三角関数のリング上の正しい点に似た、私たちの同僚の一連の解は、

そして私たちの嫉妬による別の一連の決定 - これは

三角方程式の解法の詳細 - 。

それは意味を失いました - 指定されたアークサインで何が起こっているのか、何をカットすべきなのかを示す時が来ました。

たとえば、右側には無限に豊富な量のクティがあり、それらは古代のものです。 そのうちの 1 つを選択する必要があります。 私たちはテーブルの上に置くものを選びます。

三角関数のコロを見てください。 皮膚の切り傷では、バラは副鼻腔の同じ値を示しており、ただ 1 つだけであることがわかります。 ちなみに、セクションのサインの値はセクションごとに 1 つの値で示されます。 これは、セクションに、最大から値を受け入れる関数を割り当てることができることを意味します。

次のことをもう一度繰り返してみましょう。

数値の逆正弦を数値と呼びます , だから何

指定: 逆正弦の面積が除算値の面積が除算です。

「逆正弦は右側にある」というフレーズを覚えておけばよいでしょう。 右側だけでなく側面にもあることを忘れないでください。

機能をスケジュールする準備ができています

前と同様に、x 値は横軸に沿って指定され、y 値は縦軸に沿って指定されます。

したがって、フラグメント x は -1 から 1 の範囲内にあります。

これは、関数の定義域 y = arcsin x = セクション であることを意味します。

私たちは飲み物を飲むように言われました。 これは、関数 y = arcsin x の値の領域がセクションであることを意味します。

関数 y = arcsinx のグラフは、完全に線 i で囲まれた領域に位置していることに注意してください。

いつものように、未知の機能の 1 日のスケジュールを表で見てみましょう。

意味を超えて、ゼロの逆正弦は、その正弦がゼロに等しいセクションからの同じ数値です。 この数字は何ですか? - これはゼロであると理解しています。

同様に、1 の逆正弦は単位と同じ数値であり、他の単位の正弦も同じです。 明らかに

続き: - これはセクションからの同じ数値であり、他の正弦です。 それでおしまい

将来関数グラフ

べき乗関数

1. 主要エリア

2. 重要な領域

3. の場合、この関数はペアになっていません。 このグラフは座標に基づいて対称です。

4. 関数は単調増加します。 最小値「等しい -」は で到達し、最大値「等しい」は で到達します。

5. 関数グラフの優れている点は何ですか? 右手関数とその関数のグラフ、あるいは表示関数と対数関数のグラフのように、それらが「1 つのテンプレートに組み込まれている」ことに気づいていませんか?

元の正弦波を使用して以前の小さなフラグメントを視覚化し、それを垂直方向にフラッシュしたことをお知らせください。これにより逆正弦グラフがプロットされます。

この間隔の関数の値は引数の値であり、逆正弦の場合は関数の値になります。 それがその通りです！ そして、サインとアークサインは相互に可逆な関数です。 相互に反転した関数のペアのその他のアプリケーションには、and、表示関数、対数関数などがあります。

相互にラップされた関数のグラフが対称で直線であることは明らかです

同様に、Only 関数にはそのコサインの値に対応するセクションがあることが重要です。コサインがわかれば、コサインの値も確実に知ることができます。 乗りに行きましょう

数値aの逆余弦を数値といいます。 、 だから何？

覚えやすいのは、「獣の逆余弦は生きている」ということですが、それは獣だけでなく一生続くのです。

指定：逆余弦の面積が除算値の面積が除算

明らかに、重要なのは、新しいスキンではコサインの値が 1 回だけ取得されるということです。 つまり、-1 から 1 までのコサインのスキン値は、間隔ごとに 1 つの値で示されます。

逆余弦は対になっておらず、 不対関数。 次に、より明白な関係を強調表示できます。

関数グラフを作成してみよう

皮膚が一度だけその意味を帯びるように、それが単調になるような機能の分割が必要です。

vidrezokを選択しましょう。 この時点で関数は単調減少するため、乗数間の対応関係は一意になります。 x のスキン値は、y の値によって確認されます。 このセクションでは、main 関数がコサインにラップされ、次に関数 y = arccosx になります。

逆余弦値を使用した表を覚えておいてください。

間隔である数値 x の逆余弦は、間隔である数値 y になります。

つまり、断片です。

それでヤク。

それでヤク、

それでヤク、

逆余弦グラフの軸:

べき乗関数

1. 主要エリア

2. 重要な領域

この機能 私はそれを楽しみにしています- ペアリングもペアリング解除もありません。

4. この関数は厳密に降順です。 関数 y = arccosx は最大値 (ゼロに等しい) を取り、最小値 (ゼロに等しい) は次の値を取ります。

5. 機能は相互に相互に関係します。

ステップ - 逆正接と逆正接。

数値の逆正接は数値です 、 だから何？

予定：。 逆正接値の領域は間隔であり、値の領域は間隔です。

示された逆正接に端と間隔、つまり点が含まれるのはなぜですか? これらの点の接線には値がないことが重要です。 aという数字が分かりませんが、 接線に等しいこれらの酒宴のいずれかになります。

逆正接のグラフを作成してみましょう。 値に基づいて、数値 x の逆正接は、間隔内に収まる数値 y になります。次のようになります。

スケジュールがあることはすでに明らかです。 逆正接フラグメントは逆正接の関数であるため、次のように行うことができます。

x と y の関係が相互に明確になるように、関数グラフのそのような部分を選択します。 この間隔中、関数は最大で次の値を受け取ります。

関数がラップされると、関数の面積は数直線全体になり、面積の値は区間になります。

意味する、

意味する、

意味する、

しかし、x の比類のないほど大きな値では何が起こるでしょうか? 言い換えれば、この機能をどのように実行するのでしょうか?

私たちは自分自身の食料を供給することができます。無限に向かう接線は区間内で何番目になるでしょうか? - 明らかに

これは、x の値が無限に大きい場合、逆正接グラフは水平漸近線に近づくことを意味します。

同様に、逆正接グラフが水平方向の漸近線に近づくにつれて、不一致がマイナスに増加します。

小さなお子様向け - 関数グラフ

べき乗関数

1. 主要エリア

2. 重要な領域

3. 関数のペアリングが解除されています。

4. 機能は厳密に成長しています。

6. 関数は相互に可逆的です - 特に関数が相互接続されていると考えられる場合

同様に、逆余接関数とそのグラフも重要です。

数 a の逆余接を数といいます 、 だから何？

関数グラフ:

べき乗関数

1. 主要エリア

2. 重要な領域

3. 機能 - 別の言い方をすれば、ペアでもペアでもありません。

4. この関数は厳密に降順です。

5. 直線 - この関数の水平漸近線。

6. 機能は相互に相反的であるため、ギャップに注目してください

前に 逆三角関数 6 つの機能が利用可能です。 逆正弦 , 逆余弦 , 逆正接 , 逆余接 , アークセカントі 逆正割 .

出力三角関数は周期的であるため、戻り関数は次のようになります。 豊かに意味のある 。 2 つの変数間の明確な一貫性を確保するために、出力三角関数の重要な領域は、それ以外の領域によって分離されます。 頭 。 たとえば、関数 \ (y = \ sin x \) は区間 \ (x \ in \ left [(- \ pi / 2, \ pi / 2) \ right] \) でよりよくわかります。 この間隔では、逆正弦関数が一意に決まります。

逆正弦関数
数値 \(a\) の逆正弦 (\(\arcsin a\) で示される) は、区間 \(\left[(-\pi/2,\pi) の外皮 \(x\) の値と呼ばれます。 /2)\right]\)、\(\sin x = a\) の場合。 反転関数 \ (y = \arcsin x \) の値は \ (x \in \left [(-1,1) \right]\) であり、面積 її の値は \ (y \in \left [ (- \pi / 2,\pi/2)\right]\)。

逆余弦関数
数値 \(a\) の逆余弦 (\(\arccos a\) で示される) は、区間 \(\left[(0,\pi)\right] の切り取り \(x\) の値と呼ばれます。 \)、\(\cos x = a\) の場合。 反転関数 \ (y = \arccos x \) は \ (x \in \left [(-1,1) \right] \) で計算され、面積 її の値はセクション \ (y \ in \ left 内にあります) [(0, \ pi)\right]\)。



逆正接関数
数値の逆正接 ある(\(\arctan a \)で示される)は、開区間\(\left((-\pi/2,\pi/2)\right)\)におけるカット\(x\)の値と呼ばれ、任意の \ (\ Tan x = a\) を使用します。 反転関数 \ (y = \ arctan x \) はすべての \ (x \ in \ mathbb (R) \) に対して値が付けられ、逆正接値の領域は \ (y \ in \ left ((- \ pi / 2) に等しい) , \ pi / 2 )\右)\)。



逆余接関数
数値 \ (a \) の逆余接 (\ (\ text (arccot) a \) で示される) は、開区間 \ (\ left [(0, \ pi) における余接 \ (x \) の値と呼ばれます。 ) \ right] \)、\(\cot x=a\) の場合。 反転関数 \ (y = \text (arccot) x \) はすべての \ (x \ in \ mathbb (R) \) の値であり、面積 ї の値は区間 \ (y \ in \ left [(0 、\ ピ) \右]\)。



逆正割関数
数値 \ (a \) (符号付き \ (\ text (arcsec) a \) の逆正分は、\ (\ sec x = a \) の場合の \ (x \) の値です。 戻り関数 \ (y = \text (arcsec) x \) の値は \ (x \ in \ left ((- \ infty, - 1) \ right] \ cup \ left [(1, \ infty) \ right ) \ )、面積її値の重なりに \ (y \ in \ left [(0, \ pi / 2) \ right) \ cup \ left ((\ pi / 2, \ pi) \ right] \) を掛けます。



逆正割関数
数値 \ (a \) の逆正割 (\ (\ text (arccsc) a \) または \ (\ text (arccosec) a \) と指定) は、\ (\ の場合、カット \ (x \) の値です。 csc x = a \ )。 反転関数 \ (y = \text (arccsc) x \) の値は \ (x \ in \ left ((- \ infty, - 1) \ right] \ cup \ left [(1, \ infty) \ right ) \ )、面積її値は多重度\ (y \ in \ left [(- \ pi / 2,0) \ right) \ cup \ left ((0, \ pi / 2) \ right] \)と重複します。



逆正弦関数と逆余弦関数の主な値 (度単位)

\（バツ\）	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\平方 2/2\)	\(\平方 3/2\)	\(1\)
\(\アークシン x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\アルコス x\)	\(180^\circ\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)	\(0^\circ\)

逆正接関数と逆余接関数の主な値 (度単位)

\（バツ\）	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\平方 3/3\)	\(1\)	\(\平方 3\)
\(\Arctan x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\テキスト(arccot)x\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)

レッスン 32 ～ 33。 ゲート三角関数

メタ: 三角関数と、三角方程式の解を書くための三角関数の使用法を見てみましょう。

I. トピックとレッスンの紹介

II. 新素材の開発

1. ゲート三角関数

この様子は攻撃のお尻から考えることができます。

お尻1

ビリシモの嫉妬： a) sin x = 1/2; b) 罪 x = a。

a) 縦軸に値 1/2 を加算し、×1 x2、そんな人のために罪× = 1/2。 x1 + x2 = π の場合、星 x2 = π -×1 。 三角関数の値の表から、値 x1 = π / 6 が見つかります。サイン関数の周期性を計算し、この方程式の高さを書き留めてみましょう。de k ∈ Z.

b) 解法アルゴリズムが等しいことは明らかです罪 x = a は、前の段落の i と同じです。 明らかに、値 a が縦軸に沿ってプロットされています。 何らかの方法でcut x1を指定する必要があります。 自家製のこのようなクットはシンボルを指定します逆正弦 A. このタスクの解決策は、次の形式で書き留めることができます。これら 2 つの式は 1 つに組み合わせることができます。現時点では

同様の方法で、他の三角関数も導入されます。

多くの場合、既知の三角関数の値から kut の値を計算する必要があります。 このようなタスクは非常に重要です。三角関数と同じ値の間に差がないことが重要です。 したがって、三角関数の単調性により、カットオフの明確な値に対して、このような逆三角関数を導入します。

数値 a の逆正弦 (arcsin 、ある種の正弦、つまり

数値の逆余弦 a(アルコス a) - このようなカットと z 間隔、古代の a の余弦、つまり

数値の逆正接 a(arctg a) - そのようなカットとギャップTangent は a に似ています。つまり、tg a = a.

数値の逆余接 a(arcctg a) - このようなカットと z 間隔 (0; π)、特定の相対 a の余接、つまり ctg a = a.

お尻2

私たちは知っています:

ゲート三角関数の意味を見ると、次のことがわかります。

お尻3

数えられる

手放す kut a = arcsin 3/5以降はご注文に応じて sin a = 3/5 i 。 ねえ、知りたいのコス A. Vikorist と基本的に三角関数の同一性は拒否されます。i cos a ≥ 0 であることが保証されています。

三角関数の意味と基本的な累乗に関連するいくつかの典型的な応用例を見てみましょう。

お尻4

私たちは関数の重要な領域を知っています

関数を割り当てるためには、不等式を解消する必要があります不平等系に相当するものとして最初の不確実性と間隔 x の解∈ (-∞; + ∞)、別の -このギャップ 不平等体系の解決策、したがって割り当てられた機能の領域の解決策

お尻5

機能の変化の領域を知っています

関数の動作を見てみましょう z = 2x - x2 (除算Malyunok)。

z ∈ であることは明らかです。 (-∞; 1]。引数が何であるかを見てみましょう。 z 逆余接関数は指定された間隔で変化します。テーブル データから、次のことが明らかです。このように、変化の領域は、

お尻6

関数 y = であることを見てみましょう。 arctg ×ペアになっていない。 こんにちは次に、tg a = x または x = - tg a = tg (- a)、および Otzhe、- a = arctg x または abo a = - arctg バツ。 このように、バチモ、スコつまり、y (x) は対になっていない関数です。

お尻7

すべてのゲート三角関数を通して表示

こんにちは 明らかに トーディ・ソー・ヤク

クットに入りましょう だからヤク それ

それと似たような і

オッチェ、

お尻8

関数 y = のグラフを見てみましょう。 cos(アークサインx)。

有意に a = arcsin x となると、 Vrahuєmo の場合、x = sin a y y = cos a、つまり X 2 + Y2 = 1、x で交換 (x∈ [-1; 1]) і у (у ≥ 0)。 関数 y = をグラフ化するには cos(アークサイン x) ほぼほぼ。

お尻9

関数 y = のグラフを見てみましょう。アークコス（cos x）。

それで関数cosは何ですか x はセクション [-1; 1] の場合、関数 y が数値軸全体に割り当てられ、セクションに変更されます。 母親を尊重しましょう、そうすれば私たちは =アークコス (cos x) = カットごとに X。 この関数はペアになっており、周期が 2π の周期的です。 政府の役割とは何かを見てみると cosx スケジュールを立てるのが簡単になりました。

赤みの重要な作用:

お尻10

私たちは最低限の機能と最も重要な機能を知っています重要な それから 機能をキャンセルする この機能は最低限のものです z = π / 4、同じ方向 最も重要な機能はこの時点で達成されます z = -π / 2、そしてここで このようにして、私は

お尻11

非常に嫉妬深い

申し訳ありません、もう一度おっしゃっていただけますか その場合、嫉妬は次のようになります。それとも 出演者 逆正接から次のものが削除されます。

2. 最も単純な三角方程式の解法

バット 1 と同様に、最も単純な三角方程式の解を導き出すことができます。

お尻12

非常に嫉妬深い

サイン関数は対になっていないため、見た目は等しいと書きます。この決定:私たちは星を知っています

お尻13

非常に嫉妬深い

与えられた式に従って、解決策を書き留めます。そして私たちは知っています

なんと、最高レベルと同じ範囲 (a = 0; ± 1) です。 sin x = a і cos x = そして、隠された数式を使用するのではなく、単一の数値に基づいて解を書き留める方が簡単で便利です。

レベル sin x = 1 の決定の場合

レベル sin の場合 x = 0 決定 x = π k;

リヴニーの場合 sin x = -1 リヴニー

リヴニャニャ・コスのため x = 1 解 x = 2π k;

for r_vnyannya cos x = 0rіshennya

for リブニャニャ cos x = -1 リブニャニャ

お尻14

非常に嫉妬深い

このアプリケーションのように オクレミー・ヴィパドック等しい場合、次の式を使用して解を書き留めます。私たちは星を知っています

Ⅲ． 制御送り（前送り）

1. 三角関数の意味を与え、基本的な力を紹介します。

2. ラップされた三角関数のグラフを描画します。

3. 最も単純な三角方程式の解。

IV. 授業中のいたずら

§ 15、No. 3 (a、b); 4 (c、d); 7(a); 8(a); 12(b); 13(a); 15(c); 16(a); 18 (a、b); 19(c); 21;

§ 16、No. 4 (a、b); 7(a); 8(b); 16 (a、b); 18(a); 19 (c、d);

§ 17、No. 3 (a、b); 4 (c、d); 5 (a、b); 7 (c、d); 9(b); １０（ａ、ｃ）。

帰宅前のV.ザヴダーニャ

§ 15、No. 3 (c、d); 4 (a、b); 7(c); 8(b); 12(a); 13(b); 15(g); 16(b); 18(c、d); 19(g); 22;

§ 16、No. 4 (c、d); 7(b); 8(a); 16 (c、d); 18(b); 19 (a、b);

§ 17、No. 3 (c、d); 4 (a、b); 5 (c、d); 7 (a、b); 9(d); １０（ｂ、ｄ）。

VI. クリエイティブな仕事

1. 機能が割り当てられている領域を見つけます。

種類：

2. 関数値の領域を見つけます。

種類：

3. 関数をグラフ化します。

VII. 提出されたレッスン

目的も目的も

Arcsine i ノードは次のように指定されます。
.

逆正弦関数のグラフ

関数 y = のグラフ 逆正弦×

逆正弦グラフは、横軸と縦軸を交換することで正弦グラフから分離できます。 値の豊かさを捉えるために、値の範囲は関数が単調になる間隔で区切られています。 これは逆正弦の主値とも呼ばれます。

逆余弦、アークコス

目的も目的も

逆余弦 i ノードは次のように定義されます。
.

逆余弦関数のグラフ

関数 y = のグラフ アーコスX

アークコサイングラフは、横軸と縦軸を入れ替えることでコサイングラフから分離することができます。 値の豊かさを捉えるために、値の範囲は関数が単調になる間隔で区切られています。 これは逆余弦の先行値とも呼ばれます。

パリティ

逆正弦関数はペアになっていません。
arcsin(-x)= arcsin (-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsinx)) = -アークシン×

逆余弦関数はペアでもペアでもありません。
arccos(-x)= arccos (-cos arccos x) = arccos (cos (π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

権力 - 極端、成長、衰退

関数 arcsine と arccosine は、値の領域で連続です (div. 連続性の証明)。 逆正弦と逆余弦の主な累乗を表に示します。

逆正弦と逆余弦の表

この表は、引数のさまざまな値に対する逆正弦と逆余弦の値を度およびラジアンで示しています。

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

数式

金額と差額の計算式

または

私で

私で

または

私で

私で

で

で

で

で

対数、複素数で表現する

双曲線関数による式

週末

;
.
部門 arcsine と arccosine の導関数>>>

最近の最高級の出来事:
,
de - 多項式ステージ。 VIN は次の式で示されます。
;
;
.

部門 逆正弦と逆余弦の同様の高次のまとめ>>>

積分

ロボ置換 x = シント。 部品ごとに統合、ドクター -π / 2 ≤ t ≤ π / 2, コスト ≥ 0:
.

Vislovym 逆余弦から逆正弦まで:
.

一列に並べる

いつ | × |< 1 開梱する場所は次のとおりです。
;
.

ゲート機能

当然のことですが、アークサインとアークコサインの逆はサインとコサインです。

現在の公式は、重要な領域全体にわたって有効です。
sin(アークサイン x) = x
cos(arccos x) = x .

次の式は、逆正弦および逆余弦の非個人的な値に対してのみ有効です。
arcsin(sin x) = xで
arccos(cos x) = xで。

ウィコリスタンの文献:
私は。 ブロンスタイン、K.A. Semendyaev、エンジニアおよび大学生のための数学アドバイザー、『Lan』、2009 年。

三角関数は周期的ですが、その逆関数は明確ではありません。 つまり、嫉妬 y = 罪×, 与えられた数が与えられると、根は無限に存在します。 実際、サインの周期性により、x がそのような根である場合、 x + 2πn(Den tsile) 嫉妬の根源にもなります。 このような形で 返される三角関数は価値が豊富です。 それらを扱いやすくし、その基本的な意味を紹介するため。 たとえば、sine を見てみましょう: y = 罪×。 引数 x を間隔で囲むと、関数 y = 罪×単調に成長します。 だからこそ明らかなことだ 反転関数, ヤクは逆正弦と呼ばれます: x = アークシンイ.

これは明確ではないため、ゲート三角関数の下に、次の値によって決定される主要な値が表示されます。

逆正弦 ( y = 逆正弦×) - これは正弦波にラップされた関数です ( x = 罪深い
逆余弦 ( y = アーコスX) - この関数はコサインにラップされます ( x = 居心地の良い)、値の領域と値の乗数は何ですか。
逆正接 ( y = アークタンX) - この関数は接線にラップされます ( x = てぃー)、値の領域と値の乗数は何ですか。
逆余接 ( y = アーククトグx) - コタンジェントにラップされたこの関数 ( x = ctgy)、値の領域と値の乗数は何ですか。

逆三角関数のグラフ

逆三角関数のグラフは、三角関数のグラフと直線 y = x の鏡像から生まれます。 部門 サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントに分けました。

y = 逆正弦×

y = アーコスX

y = アークタンX

y = アーククトグx

基本的な公式

ここでは、特定の公正な公式については、間隔に特に注意を払う必要があります。

arcsin(sin x) = xで
sin(アークサイン x) = x
arccos(cos x) = xで
cos(arccos x) = x

arctan (タン x) = xで
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xで
ctg (arcctg x) = x

ゲート三角関数を関連付ける公式

金額と差額の計算式

または

私で

私で

または

私で

私で

で

で

で

で

で

で

で

で

で

で

ウィコリスタンの文献:
私は。 ブロンスタイン、K.A. Semendyaev、エンジニアおよび大学生のための数学アドバイザー、『Lan』、2009 年。