線形空間の部分空間。 力

線形空間 非人間的と呼ばれる L , いずれの場合も、演算は加算と数値の乗算であり、要素のペアごとに行われます。 a、bL それは歌だ cL 、これはそのバッグと呼ばれ、あらゆる要素に対して あるL そして R がどんな数字であっても bL 創作によるタイトル  上 ある。 線形空間の要素は次のように呼ばれます。 ベクトル 。 数値の加算と乗算の演算は、今後の公理を満たします。

追加された公理:  a、b、c  L

a + b = b + a -可換性

(A + b) + c = a + (b + c) -協会

空間には、と呼ばれる要素があります。 ヌルベクトル そして示されている 0 、合計で誰がヤクですか？ ある h L 同じ要素を与える ああ、それから  0L:  a L 0 + a = a.

どんな理由であれ ある h L 夢を見ています プロタイル要素 、表示される内容 -a、 だから何 (-A) + a = 0

(  L  (-a)  L: (-A) + a = 0)

加算の公理からの継承:

1. null ベクトルは一意であるため、1 つのベクトルに必要です あ L けっこうだ b + a = a、 それ b = 0.

2. あらゆるベクトルに対して あるL protile 要素は唯一のものであるため、 b + a = 0  b = (-a)

乗算の公理:  ,   R  a、b  L

 (ある) = ()ある

(A + b) =α+b-分配性 (ベクトルによる)

(+)a =α+ああ、分布性 (数値による)

1a = a

乗算の公理の継承:  ある L    R

 0 = 0

0 a = 0

(-a) = (-1) ある
^

2.1 線形空間の応用

2. 自明空間の一次ベクトル R 3 「平行四辺形の法則に従って」演算と乗算が追加されました。 すべてのベクトルの始まりは座標の耳にあることが転送され、ヌルベクトルは座標の耳に終わるベクトルです

3. 1 回の変化 1 におけるステージ n の多項式を関数と呼びます

P n ( バツ ) =  n バツ +  n-1 バツ n n-1 + ... +  1 バツ +  0 および  n  0

祝福された多項式、 より高いステップではありません n は、数値の加算と乗算の基本演算により、線形空間を作成します。 多項式がない場合、ステージ n では線形空間が作成されないことが重要です。 右側は、2 つの多項式ステージの合計、たとえば 3 が多項式ステージ 2 (たとえば、( バツ 3 + 3) + (– バツ 3 – 2バツ 2 + 7) = – 2バツ 2 + 10 - 多項式ステージ 2)。 ただし、多項式を追加する操作ではレベルを下げることはできますが、上げることはできません。そのため、多項式は存在せず、ステージは n を超えず、単純に折りたたまれて閉じられます (2 つの多項式の合計、ステージは n を超えません) 、 - 常に多項式、ステージは n を超えず、線形空間を作成します。
^

2.2 次元、基底、座標。

2 つのベクトルの系は次のように呼ばれます。 直線的にゆったりとした , 結局のところ、これらのベクトルには自明ではない線形結合があり、これは古くから存在しています。 0 。 言い換えると、そのすべてが 0 に等しいわけではない n 個の数値 ⃎ R が存在し、係数を持つベクトルの線形結合はヌル ベクトルに等しくなります。

別のケースでは、ベクトルは次のように呼ばれます。 線形独立 。 言い換えれば、ベクトルは次のように呼ばれます。 線形独立 、ヤクチョ
×  1 e 1 +  2 e 2 + …+ n e n = 0 次へ  1 =  2 = …= n = 0 の場合、ヌル ベクトルより古いこれらのベクトルの線形結合が存在することは明らかです。

展開する ベクター あるベクトルシステムによると（ e 私) それは現象と呼ばれます あるベクトルの線形結合のように見えます ( e 私）。 言い換えると、 外す ベクター あるベクトルによる ( e 私) そのような数値  i を知ることを意味します。

a = 1 e 1 +  2 e 2 + … ふーん e k

示されているベクトルの独立性は次の形式で指定できることに注意してください: ベクトルは独立しており、レイアウトされている場合にのみ独立しています。 0 彼らは団結している。

線形空間は次のように呼ばれます 最後の 整数が n であることは明らかなので、この空間内のすべての独立ベクトル系には n 個以下の要素が含まれます。

サイズ 有限次元線形空間 L 可能な最大数の線形独立ベクトルが呼び出されます (dim で示されます) L または薄暗い L ）。 つまり、線形空間は次のように呼ばれます。 n-ミルニム 、ヤクシチョ：

1. 屋外で 独立したシステム, n 個のベクトルの合計はいくらですか。

2. 線形に並んだ n +1 個のベクトルからなるシステムであること。

基礎 線形空間 L nこれは独立したベクトル系と呼ばれ、その要素の数は空間の次元に対応します。

定理1.ベクトル系が独立している場合は、基底まで拡張できます。 システムとしての Tobto  L k独立しており、より少ないベクトル、より低い次元の空間に対応します (n  L k、ベクトルの全体が結合されるように ( e 1 ,e 2 ,...eん、 f 1 ,f 2 ,...f k-n) は独立しており、k 個のベクトルを配置するため、基底が確立されます。 L k。 ▄ したがって、すべての線形空間には多くの (実際、無限に多くの) 基底があります。

ベクトルシステムは次のように呼ばれます。 また 、 何でも あるL システムベクトルに従って分類できます（分布が統一されていない可能性があります）。

ただし、独立系に沿ったベクトルのレイアウトは常に統一されます (または永遠ではありません)。 トブト

定理2線形空間に基づく任意のベクトルのレイアウト 初めにそれは全く同じです。 したがって、基本は独立した恒久的なシステムです。 係数  i 基底に従ったベクトルの分解 ( e 私) と呼ばれます 座標 基底のベクトル ( e 私 }.▄

ヌル ベクトルのすべての座標は、どの基底でも 0 に等しくなります。

2.3 適用

2. スペース K n 高さｎがサイズｎであってもよい。 標準ベース 科学者の空間では、ベクトルが作成されます。i 番目の位置に 1 があり、他の要素が 0 を持つ一連のベクトルです。

あらゆるスタッカーが単一順序のベクトル系に従ってレイアウトされることは効果的かつ理解しやすく、したがって、あらゆるスタッカーのレイアウト係数はそのスタッカーの同様の要素に単純に等しくなります。

3. 次数が n 以下の多項式の空間は、n + 1 の次元を持ちます。 標準ベース このスペースで:

()。 実際、多項式の値から、ステージ n は明らかであり、どのような多項式であっても、ステージは n より大きくなく、明らかにベクトルの線形結合によって表され、線形結合の係数は単なる係数です。多項式の値 (多項式の次数 k が n より小さい場合、 滞在してくださいレベル 0 の係数）。
^

2.4 線形空間の同型性

にベクトルが含まれていることを理解するのは簡単です。 L n 基底に座標が包含されることになります。 のベクトルの合計を意味します L n 私たちの意見では、これは特定の種類のアイテムの量が裏付けられています。 K n ; 数値を乗算する場合、同様のルールが i に適用されます。

2 つの空間の要素間の対応付けと、これらの空間へのエントリの保存を操作と呼びます。 同型性 。 同型性、嫉妬のような、力 推移的（推移的）：空間のような L n 同型の K n 、そしてスペース K n オープンスペースと同型 M n 、 それでおしまい L n 同型の M n .

定理3. n 次元の線形空間が同型かどうか K ん、 また、推移性により、次元 n のすべての線形展開は互いに同型です。 ▄

数学の観点から見た同型オブジェクトは、本質的には 1 つのオブジェクトの単なる異なる「実装」(実現) であり、事実であり、あらゆる空間の証拠であり、他の空間でも有効であり、最初のオブジェクトと同型です。

2.5 亜空間

M 

明らかに、 0 M 、ヤクチョ M- 亜空間 L , したがって、ヌル ベクトルは任意の部分空間 5 に属します。

線形空間の皮膚領域はそれ自体が線形空間である。 無機質（ 0 ) および部分空間 (空間は単一の要素 (ヌル ベクトル) で構成されているため、線形空間の公理はすべて同一です) 6.

線状の皮膚領域、2 つ配置 つまらない 部分空間: 空間自体とヌル部分空間 ( 0 ); 他の部分空間は次のように呼ばれます。 重要な .

2 つの部分空間の交差部分が部分空間です。 部分空間による 2 つの部分空間の統合は、明らかに、たとえば、座標の耳を通過する 2 つの直線の統合ではなく、異なる直線上にあるベクトルの和 (そのような和は、次の直線の間にあります) を含みません。直線) 7.

行きましょう、ん L k 。 次に、これらのベクトルのすべての線形結合の数を計算し、すべてのベクトルを念頭に置きます。

ある =  1 f 1 +  2 f 2 + … n f n

n-worldly 部分空間を作成します G {f 1 , f 2 ,...f n)、と呼ばれます リニアシェル ベクトル ( f 1 , f 2 ,...f n)。

定理4.任意の部分空間の基底は、任意の空間の基底に補完できます。 トブトは私を行かせてください M n L k 部分空間、次元 n - 基底 M n 。 それから L k このようなベクトルの集合があります  L k 、ベクトル系とは何ですか ( f 1 、f 2 ...f n 、g 1 、g 2 、...g き、ん) 8 は線形独立で、k 個の要素を配置し、基底を作成します。 ▄
^

2.6 部分空間の応用。

2. 広大な人々の中で K 3 この見解によると、3 番目の座標が 0 に等しいものは、明らかに空間と同型の部分空間を作成します。 K 2 ストフプツィフ、高さ2。

3. 宇宙で P n 多項式、ステージは n 以下、多項式、ステージは 2 以下、確認 トリヴィミルネ部分空間 (それぞれに 3 つの係数があります)。

4. 些細な空間で P 2 多項式、レベル 2 以下、特定の点 x 0 で 0 になる多項式は、2 次元の部分空間を作成します (わかります!)。

5. ザブダーニャ。宇宙で K 4 無機質な M は、心を満たす座標 1 2 + 2 + 3 = 0 (*) の点から形成されます。 何を教えてください M 自明な部分空間 K 4 .

決断。 何を見てみましょう M 亜空間 大丈夫、行きましょう あ M , b M , したがって、a 1 2a 2 + a 3 = 0、b 1 2b 2 + b 3 = 0となります。ベクトルの加算規則に従います( あ + b) 私= a 私+b 私。 星が振動するのでベクターに適しています あі b umova (*) ヴィコナノ、それでは私は あ + bツァ・ウモワ・ヴィコーナン。 百にとってそれが何を意味するかは明らかだ あ umova (*) vikono、次に vono vikono i (stovptsya の場合) A.私は、ゼロベクトルの非人間性を発見しました M 横になる。 このようにして、それがもたらされたのです M 亜空間 それが三次元であることを見てみましょう。 どのようなベクトルであっても、 M 精神性（*）により座標（**）が存在します。 こんにちは メートル 1 = , メートル 2 =、A h 4 =。 ベクトル系 ( メートル 1 、メートル 2 、h 4 ）私はその基礎を確立します M 。 線形結合を追加しましょう 1 メートル 1 + 2 メートル 2 +h 4 = 満足のいくオッズが得られます。 もちろん、ベクトルがどのようなものであれ、 あ h M (部門 (**)) をセット ( メートル 1 、メートル 2 、h 4 ); これには、係数ボックスでベクトルのレイアウト座標 1 = a 1、2 = a 2、4 = a 4 を選択するだけで十分です。ベクトルの単一の線形結合では、 メートル 1 、メートル 2 、h 4 、ヌル ベクトルに相当するものは、ゼロ係数の組み合わせです: 1 = 0、2 = 0、4 = 0。統合されると、ヌル ベクトルは拡張されます。 メートル 1 、メートル 2 、h 4 ) ベクトルの系は独立しています。 そして、誰もが あ M システムに従ってレイアウトされます ( メートル 1 、メートル 2 、h 4 ）、Viplivaє、システムが完全に異なること。 完全で独立したシステムが部分空間に基盤を作成します M 。 したがって、この基底では 3 つのベクトルが結合されるため、 M 些細な亜空間。

http://matworld.ru/linear-algebra/linear-space/linear-subspace.php

こんにちは Lі M- 2つの部分空間 R.

須磨 L+Mベクトルの多重度と呼ばれます x+y、で バツ∈Lі y∈M。 明らかに、ベクトルの線形結合は何であれ、 L+M満期 L+M、 それから L+Mє 亜空間 R(スペースがあれば逃げられる R).

スパンドレル L∩M部分空間 Lі M空間の下に同時に存在するベクトルの集合と呼ばれます Lі M(加算できるのはゼロベクトルのみです)。

定理6.1。大きな部分空間の次元の合計 Lі M有限次元線形空間 Rこれらの部分空間の合計の相対次元と、これらの部分空間のスパンの次元:

ディム L + ディム M = ディム (L + M) + ディム (L∩M)。

終了した。 重要な F = L + Mі G = L∩M。 こんにちは G g- 平和な空間。 新ベースのビベレモ。 だからヤク G⊂Lі G⊂M、オッチェ基準 Gベースに追加することができます Lそして基地へ M。 空間に基礎を与える Lそして基礎を細分化しましょう M。 ベクトルを示してみましょう

亜空間に属する G = L∩M。 反対側のベクトルから v空間の下の基底ベクトルの線形結合によって識別できます。 G:

部分空間の基底の線形独立性により Lまーも:

線形的に独立しています。 エールであろうベクトル z h F(指定された量の部分空間の後ろに) の量が表示されます。 x+y、で x∈L、y∈M。 あなたの心に バツベクトルの線形結合で表され、 y- ベクトルの線形結合。 同じベクトル (6.10) が部分空間を生成します F。 ベクトル (6.10) が基底を定義すると判断しました。 F = L + M.

亜空間のさまざまな基盤 Lі Mそして亜空間の基礎 F = L + M(6.10)、まあ: 寸法 L = g + l、寸法 M = g + m、寸法 (L + M) = g + l + m。 オッツェ:

ディム L + ディム M-ディム (L∩M) = ディム (L + M)。 ■

2 ベクトルのべき乗と線形演算子の値のべき乗。

http://www.studfiles.ru/preview/6144691/page:4/

ベクトル X ≠ 0 が呼び出されます 強力なベクトルを持つ AX = LX のような数値がある場合、行列 A を使用した線形演算子。

この番号に電話がかかると ヴラスニムの意味ベクトル x に対応する演算子 (行列 A)。

言い換えれば、パワー ベクトルは、線形演算子の作用の下で共線ベクトルに変換され、単純に数値を乗算するベクトルです。 新しいことを考慮すると、制御されていないベクトルはより複雑に変換されます。

レベル システムの観点からパワー ベクトルの値を書き留めてみましょう。

すべての倉庫を左側に移動します。

残りのシステムは次のように行列形式で書くことができます。

(A - l E) X = O

システムが拒否されると、常にゼロの解 X = O が得られます。すべての自由メンバーがゼロに達するようなシステムは、と呼ばれます。 同一。 このようなシステムの行列は正方行列であり、その主な値はゼロに等しくないため、クラマーの公式の背後では常に 1 つの解 (ゼロ) が削除されます。 この行列のソースがゼロに等しい場合に限り、システムにはゼロ以外の解があると結論付けることができます。

| A - l E | = = 0

未知との儀式はこう呼ばれる 特徴的なリヴニャニャ(特性多項式) 行列 A (線形演算子)。

線形演算子の特性多項式は基底の選択に依存しないと結論付けることができます。

たとえば、行列 A = で指定される線形演算子の値とベクトルはわかっています。

忠誠心は誰にとっての特徴なのか | A - l E | = = (1 -l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l- 35; D = 4 + 140 = 144; 有効な値は 1 = (2 - 12) / 2 = -5; l 2 = (2 + 12) / 2 = 7。

パワー ベクトルを知るには、2 つのアライメント システムがあります。

(A + 5E) X = O

(A - 7 E) X = O

最初のものでは、マトリックスが展開されているので、次のことがわかります。

,

星 x 2 = s、x 1 + (2/3) s = 0; x 1 = - (2/3) s、そして X (1) = (- (2/3) s; s)。

もう 1 つは、ご覧のとおり、マトリックスが展開されています。

,

星 x 2 = z 1、x 1 - (2/3) z 1 = 0; x 1 = (2/3) x 1 の場合、X (2) = ((2/3) x 1; x 1) となります。

したがって、この線形演算子のべき乗ベクトルは、べき乗値 (-5) を持つ形式 (- (2/3) s; s) のすべてのベクトルと、形式 ((2/3) s 1; s) のすべてのベクトルです。 s 1) パワー値 7 。

基底における演算子 A の行列は、そのパワー ベクトルで構成され、対角行列であり、次の形式を持つと結論付けることができます。

,

ここで、l i は行列の値です。

これは真であり、その逆です。基底の行列 A が対角である場合、この基底のすべてのベクトルはこの行列のべきベクトルになります。

また、線形演算子は n 個のペアごとに異なる検出力値を持つため、関連する検出力ベクトルは線形独立であり、その演算子の行列は関連する基準で対角線上に現れると結論付けることもできます。

前尻の価格を説明しましょう。 ベクトル X (1) と X (2) が線形独立となるように、s と 1 の十分な非ゼロ値を取得して基底を作成します。 たとえば、z = z 1 = 3 とすると、X (1) = (-2; 3)、X (2) = (2; 3) となります。 これらのベクトルの線形独立性を変換してみましょう。

12 ≠ 0。この新しい基底では、行列 A は A * = の形式になります。

同じ場所に到達するには、式 A * = C -1 AC によって加速されます。 私たちは最初から C -1 を知っています。

Z1 = ;

受験票No.11

1. 直線的な空間で新たな拠点へ移行。 遷移行列。

http://www.studfiles.ru/preview/6144772/page:3/

新たな基盤への移行

R の空間におけるプルトフには、古い e l, e 2, ... e n と新しい e l *, e 2 *, ... e n * の 2 つの塩基があります。 新しい基底のベクトルは、古い基底のベクトルの線形結合として表すことができます。

古い基準から新しい基準への移行を指定できます 遷移行列

新しい基底ベクトルと古い基底を乗算する係数によって、同じ行列の行ではなく列が作成されることが重要です。

行列 A は分離されていません。そうでないと、その列 (したがって基底ベクトル) が線形的に古くなっているように見えるからです。 さて、ゲート行列 A -1 ができました。

ベクトル X が古い基底への座標 (x l, x 2, ... x n) と新しい基底への座標 (x l *, x 2 *, ... x n *) を持つとすると、X = x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n = x l * e l * + x 2 * e 2 * + ... + x n * e n *。

中央の置換は、前方システムからの e l *、e 2 *、... e n * を意味します。

xlel + x 2 e 2 + ... + xnen = xl * (a 11 el + a 12 e 2 + ... + a 1n en) + x 2 * (a 21 el + a 22 e 2 + ... + + a 2n en) + ... + xn * (a n1 el + a n2 e 2 + ... + a nn en)

0 = el (xl * a 11 + x 2 * a 21 + ... + xn * a n1 - xl) + e 2 (xl * a 12 + x 2 * a 22 + ... + xn * a n2 - x 2) + + ... + en (xl * a 1n + x 2 * a 2n + ... + xn * a nn - xn)

ベクトル e 1、e 2、...e n の線形独立性により、それらの係数はすべてゼロに等しくなければなりません。 星：

またはマトリックス形式で

問題のある部分に A -1 を掛けて、以下を削除します。

たとえば、基底 el、e 2、e 3 がベクトル a 1 = (1, 1, 0)、2 = (1, -1, 1)、および 3 = (-3, 5, -6) を指定するとします。 ) および b = (4; -4; 5)。 ベクトル a l、a 2、および 3 も基底を形成し、この基底でベクトル b を決定できることを示します。

ベクトル a 1、a 2、および 3 が線形独立であることを示しましょう。 このため、それらで構成される行列のランクが 3 倍であることを再考してみましょう。

出力行列が遷移行列 A に他ならないことが重要です。実際、基底 e l、e 2、e 3 と a l、a 2、および 3 の間の接続は、次のシステムで表現できます。

A -1 は計算可能です。

= 6 + 0 - 3 – 0 – 5 + 6 = 4

つまり、基底では、a 1、a 2、a 3 ベクトル b = (0.5; 2; 0.5) になります。

2 Dovzina ベクトルとユークリッド空間のベクトル間の kut。

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=evklidovy-prostranstva

ヴィズナチェンニャ。 線形空間数字フィールドの上 前に非人間的と呼ばれる R 要素はベクトルと呼ばれ、次のように指定されます。

これらの公理から次のことがわかります。

リニアシェル

ヴィズナチェンニャ。リニアシェルベクトルのファミリーは、線形空間内で線形結合なしで呼び出されます。 L.

線形シェルに線形空間があることを確認するのは簡単です。 L.

リニアシェル ベクトルによってまたがる部分空間、またはファミリーのベクトルによって生成される部分空間とも呼ばれます。また、次のすべての部分空間間の交差として定義することもできます。 L、なぜみんなに復讐するのですか？ ランクベクトルのファミリーは、その線形シェルの次元と呼ばれます。

最初の特徴は基底の力です。 この直線的なシェルは慎重に避けられますL.

亜空間

ヴィズナチェンニャ。 線形部分空間またはベクトル非部分空間- 空ではない K 線形空間 L だから何 K それ自体が曲との関係において直線的な空間です。 L スカラーを加算して乗算します。 すべての部分空間の非人格性は、 緯度 ( L ) . 部分空間が部分空間であるためには、次のことが必要かつ十分です。

残りの 2 つの拠点は攻撃側の拠点と同等です。

ゾクレマ、空間。1 つの要素で構成されます。任意の空間の部分空間です。 あらゆる広がりはそれ自体が部分空間です。 人が走り回らない空間をこう呼ぶ 強力なそれとも 自明ではない。

亜空間の力

無限の世界空間における関数解析では、特に次のことがわかります。 閉じられた空間。

ベクトルの線形位置

ヴィズナチェンニャ。ベクトルのファミリーは線形と呼ばれます 独立した, 自明でない線形結合はゼロに等しくないので、

すべて = 0 であることを追跡します。それ以外の場合は線形と呼ばれます 古い。 家族が直線的に独立しているということは、 ゼロ ベクトルは、ファミリー要素の線形結合によって一意に表現されます。その場合、他のベクトルは単一の発現または同様の発現を有する可能性があります。 2 つの現象が等しいことは明らかです

結果は、別の特徴的な検出力基準に従います。 その要素は線形に独立しています。これら 2 つの権威の重要性は、基礎の穂軸の重要性に等しい。

親愛なるschoさん ベクトルのファミリーは、その線形シェルの基礎を作成する場合にのみ線形独立です。

中央のベクトルが 0 または 2 であるため、この族は明らかに線形です。

補題 1.ベクトルのファミリーは、ベクトルの 1 つが他のベクトルの線形結合である場合にのみ、何らかの形で線形になります。

終了した。

ヤクシュトi

ナビパキ、ヤクチョ、その後

補題 2.線形である場合、それは線形結合です。

終了した。

すべて同じでない場合、それは必須です。そうでない場合は、したがって、

線形(ベクトル)スペースは、ベクトルと呼ばれる多数の追加要素に付けられた名前です。この場合、ベクトルを加算し、ベクトルに数値を乗算する操作で、2 つのベクトル \mathbf (u) と (\mathbf (v)) が提供されます。お互いにベクトルです \Mathbf (u) + \mathbf (v), ベクトル \mathbf (u) と (\mathbf (v))、任意のベクトル (\mathbf (v))、および実数体 \mathbb (R) の型への代入からの任意の数値 \lambda の合計によって名前が付けられます。ベクトルの \Lambda\mathbf(v), ベクトルの作成に \mathbf (v) という名前を数値 \lambda で付けます。 それでは、最後にまとめましょう。

1. \Mathbf (u) + \mathbf (v) = \mathbf (v) + \mathbf (u)\, ~ \forall \mathbf (u), \mathbf (v) \in V(折り畳みの可換性);
2. \Mathbf (u) + (\mathbf (v) + \mathbf (w)) = (\mathbf (u) + \mathbf (v)) + \mathbf (w)\, ~ \forall \mathbf (u), \mathbf (v)、\mathbf (w) \in V(結合性が追加されました);
3. V にはゼロベクトルと呼ばれる要素 \ mathbf (o) \ があります。 \Mathbf (v) + \mathbf (o) = \mathbf (v)\, ~ \forall \mathbf (v) \in V;
4. スキン ベクトル (\mathbf (v)) には、ベクトル \mathbf (v) に似たベクトルがあります。 \Mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \Lambda (\mathbf (u) + \mathbf (v)) = \lambda \mathbf (u) + \lambda \mathbf (v)\,~\forall \mathbf (u),\mathbf (v)\in V 、~\forall\lambda\in\mathbb(R);
6. (\Lambda + \mu)\mathbf (v) = \lambda \mathbf (v) + \mu \mathbf (v)\,~\forall \mathbf (v)\in V,~\forall \lambda,\mu \in\mathbb(R);
7. \Lambda (\mu \mathbf (v)) = (\lambda \mu)\mathbf (v)\,~\forall \mathbf (v)\in V,~\forall \lambda,\mu \in \mathbb ( R);
8. 1\cdot\mathbf (v) =\mathbf (v)\,~\forall\mathbf (v)\in V.

Umovi 1 ～ 8 は呼ばれます 線形空間の公理。 ベクトル間の等号の記号は、左と 右側の部分非人格性 V の同じ要素の等しい表現、そのようなベクトルは等しいと呼ばれます。

指定された線形空間では、実数に対してベクトルと数値を乗算する演算が導入されます。 これがその空間と呼ばれるものです 行動範囲（スピーチ）の数字の上の線形スペース, 阿保、要するに、 音声線形空間。 実数の指定フィールド\mathbb(R)からフィールドを取得する場合、フィールドを取得します 複素数\ Mathbb (C)、その後排除 複素数体上の線形空間, 阿保、要するに、 複雑な線形空間。 数値フィールドとして、有理数フィールド \ mathbb (Q) を選択できます。これにより、有理数フィールドの上の線形スペースが削除されます。 さらに、特に指定がない限り、音声の線形スペースが表示されます。 場合によっては、一貫性を保つために、以下に示すすべての空間が線形であるのと同様に、線形という言葉を省略して空間について説明します。

8.1を尊重する

1. 公理 1 ～ 4 は、加算演算の前に線形空間が群可換性を持つことを示しています。

2. 公理 5 および 6 は、ベクトルを加算する操作 (公理 5) または数値を加算する操作 (公理 6) に関連して、ベクトルに数値を乗算する操作の分配性を示します。 公理 7 は、数値による乗算の関連法則とも呼ばれ、ベクトルと数値の乗算と数値の乗算という 2 つの異なる演算間の関係を定義します。 公理 8 で定義されているように、べき乗は、ベクトルと数値を乗算する演算のユニタリティーと呼ばれます。

3. 線形空間は空ではないため、ゼロ ベクトルを配置することが必須です。

4. ベクトルを加算したり、ベクトルに数値を乗算したりする演算は、ベクトルの線形演算と呼ばれます。

5. ベクトル \mathbf (u) と \mathbf (v) の合計は、ベクトル \mathbf (u) と近似ベクトル (- \mathbf (v)) の合計であり、次のように指定されます。 \Mathbf (u) - \mathbf (v) = \mathbf (u) + (- \mathbf (v)).

6. 2 つの非ゼロベクトル \mathbf (u) と \mathbf (v) は共線性 (比例) と呼ばれます。これは、次の数 \lambda があるためです。 \Mathbf(v)=\lambda\mathbf(u)。 共線性の概念は、最終的なベクトルの数に応じて拡張されます。 null ベクトル \ mathbf (o) は、任意のベクトルと同一線上にあります。

線形空間の公理の継承

1. 線形空間には単一のゼロ ベクトルがあります。

2. V の任意のベクトル \ mathbf (v) \ の線形空間は単一の長さのベクトルを持ちます (-\mathbf(v))\in V.

3. 数値ゼロ 1 ゼロ ベクトルに対して十分なベクトル空間がある場合、 0\cdot\mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall\mathbf(v)\in V.

4. 任意の数 1 のゼロ ベクトル上の Tvir ゼロ ベクトル、次に任意の数の \ ラムダ。

5. このベクトルに隣接するベクトルは、このベクトルに数値 (-1) を加算したものと同じになります。 (-\mathbf (v)) = (- 1)\mathbf (v)\, ~ \forall \mathbf (v)\in V.

6. ウ・ヴィラザフ・ヴィグラドゥ \Mathbf(a+b+\ldots+z)(ベクトルの端子数の合計) または \Alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot\mathbf (v)(乗算器の末尾のベクトルの数) アームは任意の順序で配置することができ、指定することもできません。

たとえば、最初の 2 つの権威を見てみましょう。 ゼロベクトルの一意性。 \mathbf (o) と \mathbf (o) " は 2 つのゼロ ベクトルであるため、公理 3 によって 2 つの等式を削除できます。 \Mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)"それとも \Mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), 公理 1 によれば、左側の部分は等しいので、右側の部分も等しいので、 \Mathbf(o)=\mathbf(o)"。 プロタイル ベクトルの一意性。 ベクトル \mathbf (v) \in V には 2 つの平行ベクトル (- \mathbf (v)) と (- \mathbf (v))" が含まれているため、公理 2、3、4 に従ってそれらの類似性を判断できます。

(-\mathbf (v)) "= (-\mathbf (v))" + \underbrace (\mathbf (v) + (-\mathbf (v)))_(\mathbf (o)) = \underbrace ( (-\mathbf (v)) "+\mathbf (v))_(\mathbf (o)) + (-\mathbf (v)) = (-\mathbf (v))。

当局の決定も同様の方法で行われます。

線形スペースを適用する

1. 著しく \ (\mathbf (o)\) - 非個人的であり、演算を使用して 1 つのゼロ ベクトルを配置します。 \Mathbf(o)+\mathbf(o)=\mathbf(o)і \Lambda\mathbf(o)=\mathbf(o)。 演算の意味については、公理 1 ～ 8 は等しいです。 さて、非個人的な \ (\ mathbf (o) \) は、数値フィールドの上にある線形空間です。 線状の広がり全体をゼロと呼びます。

2. 重要な V_1、\、V_2、\、V_3 - ベクトルの加算とベクトルの数値の乗算という重要な操作に応じて、直線上、平面上、空間上の非個人的なベクトル (方向付きカット)。 線形空間の公理 1 ～ 8 の学習は、初等幾何学のコースに組み込まれています。 さて、V_1、\、V_2、\、V_3 の非人称空間は音声の線形空間です。 異なるベクトルの代わりに、類似した中立半径ベクトルを見ることができます。 たとえば、熟した穂軸が置かれている平面上にはベクトルが存在しないため、ベクトルは平面の 1 つの固定点、つまり音声線形空間に配置されます。 単一年の顔のない半径ベクトルは線形空間を作成しません。これらのベクトルの合計は次のようになります。 \Mathbf (v) + \mathbf (v)非人間性を見て騙されないでください。

3. \ mathbb (R) ^ n - 行列の加算と行列の数値の乗算を伴う、サイズ n \ の非個人的な行列。 この多重度に対する公理 1 ～ 8 の線形空間が作成されます。 この多重度のゼロ ベクトルはゼロ要素です o = \begin (pmatrix) 0 & \cdots & 0 \end (pmatrix) ^T。 さて、非個人的な \ mathbb (R) ^ n є 音声線形空間。 同様に、非人称 \ mathbb (C) ^ n 種類のサイズ n \ 回、複素要素 є 複素線形空間。 ただし、目に見えないアクティブな要素を備えたマトリックス サポートが存在しないため、線形空間がなくなり、基礎となるベクトルを収容できなくなります。

4. 有意 \ (Ax = o \) - 均質系の非個人的な解 Ax = o 線形 代数レベル未知のもの (ここで、A はシステムのアクティブな行列) を使用します。これは、行列の加算と行列の数値の乗算を伴う n \ 回 1 の匿名次元として見られます。 これらの操作は効率的に多重度 \ (Ax = o \) によって測定されることに注意してください。 単次系の 1 解のべき乗 (セクション 5.5) から、単次系の 2 つの解とその解の合計は、単行系の類似した解の数に等しいことがわかります。 , そのため、乗数 \ (Ax =o\) に収まります。 参加者のための線形空間の公理が結論付けられます (線形空間のバットの分割点 3)。 したがって、音声線形空間を備えた単線システムに対する解決策はありません。

ただし、非均質系 Ax = b, ~ b \ ne o の非人称 \ (Ax = b \) 解は線形空間ではないため、ゼロ要素は配置されません (x = o は解ではありません)不均質系へ）。

5. M_ (m\times n) - 行列の加算と行列の数値の乗算を伴う次元 m\times n の非個人的な行列。 この多重度に対する公理 1 ～ 8 の線形空間が作成されます。 ゼロ ベクトルは、異なる次元のゼロ行列 O です。 さて、M_ (m\times n) の非人格性は直線的な広がりです。

6. 有意に P (\mathbb (C)) - 複素係数を持つ 1 つの変数の多項式なし。 多くの項を加算し、多項式に 0 次の多項式とみなされる数値を乗算する操作は、公理 1 ～ 8 を満たすことを目的としています (単純に、ゼロ ベクトルはゼロに等しい多項式です)。 したがって、非人称 P (\mathbb (C)) は複素数体上の線形空間です。 アクティブな係数を持つ多項式の非人称 P (\mathbb (R)) も線形空間です (または明らかに、アクティブな数の体の上にあります)。 多項式の非個人的な P_n (\mathbb (R)) レベルは、アクティブな係数と音声線形空間を備え、n より高くなく、より低くなります。 多項式の合計のレベルが追加の項のレベルを上回らないため、項を追加する操作がこの多重度に基づいて計算されることが重要です。

多項式の非個人性、ステージ n は線形空間ではありません。そのような多項式の和​​は、顔のない世界では現れない、より小さな世界の多項式として現れる可能性があるためです。 すべての多項式がない場合、ステージはそれほど大きくありませんが、正の係数を使用すると線形空間も持たなくなります。これは、そのような多項式に負の数を乗算すると、この多重度に属さない多項式が削除されるためです。

7. 重要なことに、C (\mathbb (R)) は、\mathbb (R) 上で重要で中断されない非関数関数です。 スマ(f+g) 関数 f、gアクション番号 \ lambda 上の固体 \ lambda f 関数 f は等式によって計算されます。

(F + g) (x) = f (x) + g (x)、\quad (\lambda f)(x) = \lambda \cdot f(x)すべての x\in\mathbb に対して (R)

これらの演算は C (\mathbb (R)) で、非終端関数の合計と多数の非終端関数上の非終端関数の合計として、C の要素 (\mathbb (R)) で効率的に定義されます。 ）。 線形空間の公理を検証してみましょう。 実数の加算の可換性から、等価性の公平性が得られます。 f(x) + g(x) = g(x) + f(x)\in \mathbb (R) の x について。 したがって、f + g = g + f となり、公理 1 は矛盾しません。 公理 2 は折り畳みの結合に似ています。 ゼロ ベクトルは関数 o (x) であり、これもゼロに等しく、明らかに連続です。 任意の関数 f について、等式 f (x) + o (x) = f (x) が決定され、公理 3 が真になります。ベクトル f の近似ベクトルは、関数 (-f) (x) = - になります。 f(x)。 この場合、 f + (- f) = o (公理 4 は矛盾しない) となります。 公理 5、6 は実数の加算と乗算の演算の分配性から、公理 7 は数値の乗算の結合性から得られます。 残りの公理は一貫しています。1 を乗算しても関数は変わらないため、任意の x\in\mathbb (R) に対して 1\cdot f (x) = f (x) となり、1\cdot f = f となります。 このように、操作が導入された顔のない C (\ mathbb (R)) は、音声の線形空間として見られます。 それと似ています C^1 (\mathbb (R))、C^2 (\mathbb (R))、\ldots、C^m (\mathbb (R))- 1番目、2番目などの絶え間ない行進がもたらす非個人的な機能。 明らかに、線形空間と同様に次数も考慮されます。

重要なことは、アクティブな係数を持つ三角関数バイナリ (周波数 \ オメガ \ ne0) を使用せず、次の形式の関数を使用しないことです。 f(t) = a\sin\オメガ t + b\cos\オメガ t、で a\in\mathbb (R)、~ b\in\mathbb (R)。 このような二項式の合計は、実数上の二項式と三角関数の二項式の正当性を証明するものです。 特定の非人格性に対する線形空間の公理は (次のように) まとまります。 T_(\omega)(\mathbb(R))\サブセット C(\mathbb(R))）。 そんなこと誰も気にしないよ T_(\オメガ)(\mathbb(R))この関数に不可欠な演算は、数値と音声線形空間による加算と乗算です。 ゼロ要素は二項式です o(t) = 0\cdot\sin\omega t + 0\cdot\cos\omega t, ゼロにも等しい。

\ mathbb (R) 上で有意で単調な能動関数がなければ、2 つの単調関数の差が非単調関数になる可能性があるため、線形空間は存在しません。

8. 大幅に \ mathbb (R) ^ X - 非個人的なアクション関数、X の多重度の値、演算:

(F + g) (x) = f (x) + g (x), \quad (\lambda f) (x) = \lambda\cdot f (x) \quad\forall x\in X

音声線形空間があります (証明は前の例と同じです)。 この場合、Ｘを選択すれば十分である。 ゾクレマ、ヤクチョ X = \(1,2,\ldots,n\), 次に f (X) - 数値の順序付け f_1、f_2、\ldots、f_n、で f_i = f(i)、~i = 1、\ldots、nこのような集合は、次元 n \ に 1 を掛けた行列で表すことができるため、非個人的になります。 \Mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\))非人格的な \ mathbb (R) ^ n (線形空間の応用のセクション 3 段落) を避けてください。 X = \mathbb (N) (おそらく \mathbb (N) は非人称自然数です) なので、線形空間は次のように推定できます。 \Mathbb(R)^(\mathbb(N))- 非人間的な数値列 \(F(i)\)_(i=1)^(\infty)。 Zokrema、Bezlich はポストパーシードの数を同じ行に収束させるため、Zbizhny ポストパートメントのヤク スマが収束します。I は、収束するポストアイシングの複数のメンバーを使用して、後に収束するオーバー フローの数です。 ただし、たとえばシーケンスの量が互いに異なる可能性があるため、個別のシーケンスがなければ線形空間は存在しません。

9. 重要なのは、\ mathbb (R) ^ (+) - 正の実数の数であり、その合計 a \ oplus b і tvir \ lambda \ ast a (この場合の意味は素数のものとは異なります) が等式で表されます。 a\oplus b=ab,~\lambda\ast a=a^(\lambda), つまり、要素の合計は数値の立体として理解され、要素と数値の乗算はステップへの還元のようなものです。 正の数の立体は正の数であり、正の数のアクティブなステージは正の数であるため、両方の演算は多重度 \mathbb (R) ^ (+) で効果的に表現されます。 公理の妥当性を検証してみましょう。 熱意

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus (b\oplus c)=a (bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

公理 1 と 2 が矛盾しないことを示します。 この非人格性のゼロ ベクトルは 1 です。 a\oplus1=a\cdot1=a, Tobto o = 1。a に最も近いベクトルはベクトル \frac (1) (a) であり、その値は \ne o です。 真実、 a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o。 次の公理 5、6、7、8 を検証してみましょう。

\begin(gathered)\mathsf(5))\quad\lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)=a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) =\lambda\ast a\oplus\lambda\ast b\,; \hfill\\\mathsf(6))\quad (\lambda +\mu)\ast a=a^(\lambda +\mu)=a^(\lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda \a\oplus\mu\a\,; \hfill\\\mathsf(7))\quad\lambda\ast (\mu\ast a)=(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda \cdot\mu)\a\,; \hfill\\\mathsf (8))\quad 1\ast a = a^1 = a\,。 \hfill\end (集めた)

10. Nehai V - 音声線形空間。 V の線形スカラー関数で顔のない歌を見てみましょう。 f\colon V\to\mathbb(R)、実用的な意味を持ち、心を満足させます。

f (\mathbf (u) + \mathbf (v)) = f (u) + f (v) ~~ \forall u, v \in V(添加性);

f (\lambda v) = \lambda \cdot f (v) ~~ \forall v \in V, ~\forall \lambda \in \mathbb (R)（一体感）。

線形関数の線形演算は、線形空間の適用の段落 8 と同じ方法で指定されます。 f + g і tvir \ lambda \ cdot f の量は次の等式によって決定されます。

(F + g) (v) = f (v) + g (v) \ quad \ forall v \ in V; \qquad (\lambda f) (v) = \lambda f (v)\quad \forall v\in V、~\forall \lambda \in \mathbb (R)。

線形空間の公理は段落 8 と同じ方法で確認されます。 一次関数、線形空間 V および線形空間上の値。 この空間は空間 V に接続されていると呼ばれ、V ^ (\ast) と指定されます。 Yogo 要素は covector と呼ばれます。

たとえば、ベクトル引数の無人スカラー関数とみなされる n 個の変更可能なものの線形形式はなく、空間 \ mathbb (R) ^ n に接続された線形空間はありません。

好意、友人の好意、または提案にマークを付けた場合は、コメントに書き込んでください。

行かせてください――直線空間の空間へ。

部分空間のスパンドレル そして、それは、互いに関連し、同時に部分空間の断面積が 2 つの要素の初期断面積として定義されるベクトルの不在と呼ばれます。

部分空間の代数和 そしてそれは心の中で非個人的なベクトルと呼ばれます。 部分空間の代数和（要するに、単なる和）が指定されます。

ベクトルデータは明らかに次のように呼ばれます 展開ベクトル 部分空間なし і.

尊重する 8.8

1. 部分空間と部分空間を行き来します。 これが、寸法や根拠などを理解する理由です。 垂れ下がるほど硬くなる。

2. 部分空間の合計が部分空間です。 これが、寸法や根拠などを理解する理由です。 合計まで停滞します。

実際、多重度における線形演算の閉包を示す必要があります。 2 つのベクトルを一緒に配置して、それらからのスキンが部分空間全体に配置されるようにします。

合計を知りましょう: それでヤク、ああ、それで。 まあ、追加前の操作の関係で無個性は閉じられています。 ツイッターを知ろう：。 それで、ヤク、ア、それでは。 まあ、非人間性は数値を掛けるという操作の関係で閉じられます。 このようにして、 - 線形部分空間。

3. 再スレッド操作は、線形空間のいくつかのすべての部分空間に対して実行されます。 これは可換的かつ結合的です。 部分空間 V のファミリーのクロスオーバーは線形部分空間であり、ヴィラザのアームはかなり離れて配置されることも、端に配置されないこともできます。

4. 最小線形部分空間 , つまり、有限次元の線形空間の部分集合をすべての部分空間の断面、すなわちといいます。 結果として、ヌル部分空間がいずれかの部分空間に位置する限り、それを避ける必要がある。 線形部分空間の場合、指定されたレチンは回避され、フラグメントは交差する部分空間 (およびそのうちの 1 つ) のスキンに配置されます。

線形シェルの最小パワー: リニアシェル 亜種であってもよい 有限次元線形空間 対応するための最小限の線形部分空間を持つ 、トブト .

効果的、意味のある 。 次の 2 つの要素を等しくする必要があります。 それでは、ヤク（第 6 条第 8.7 条を尊重）。 それを持っていきましょう。 追加の要素が表示される場合があります。 手放してください - 自由に復讐してください。 すべてのベクトルとそれらの任意の線形結合 (セクション 7、8.7 を参照)、zokrema、vector を配置できます。 このベクトルは復讐を行うあらゆる部分空間に属します。 これは、そのような部分空間を再定義する必要があることを意味します。 このように... 両方をオンにする必要があり、熱意が必要です。

5. 部分空間を折り畳む操作は、線形空間のすべての部分空間のセットに対して実行されます。 これは可換的かつ結合的です。 したがって、最終的な部分空間の数の合計では、腕はかなり離れて配置されることも、後ろに配置されないこともあり得ます。

6. 部分空間の統一を、空間または空間のいずれか (または両方の部分空間) に属する非個人的なベクトルとして定義することが可能です。 ただし、ザガリーニ用語における部分空間の結合は部分空間ではない（追加の精神またはを備えた場合のみ部分空間となる）。

7. スペースの量は、全体の線形シェルによって回避されます。 この包含が意味から来ていることは明らかです。 非人間性の要素はどれも、非人間性の 2 つのベクトルの線形結合のように見えることがあります。 褥瘡を次の段階に進めましょう。 どのような要素が現れても 、デ。 この金額を 2 つに分割し、最初の金額にすべての倉庫を追加します。 レシュタの倉庫が友人のためにバッグをたたむ:

パーシャ スマはアクティブなベクターであり、別のスマはアクティブなベクターです。 オジェさん。 意味する、。 調査対象集団の嫉妬について語るには、2 つの要素が含まれます。

部分空間の和の次元に関する定理 8.4。 ヤクチョ і 有限次元線形空間の部分空間 , この場合、部分空間の合計の次元は、クロスバーの次元を除いた次元の合計と同じになります (グラスマンの公式 ):

実は、根本を変えさせていただきます。 さらに、部分空間基底へのベクトルの順序付きセットと、部分空間基底へのベクトルの順序付きセット。 このような加算は、定理 8.2 に従って可能です。 3 つのベクトルのセットの意味から、順序付けのセットが作成されます。 ベクトル。 これらのベクトルが空間を作り出すことを示しましょう。 その空間が順序集合からのベクトルの線形結合として現れるベクトルは明らかです。

オジェさん。 何をすればいいのか見てみましょう 直線的に独立しているため、悪臭が空間の基礎となります。 これらのベクトルの線形結合を定式化し、それらをゼロ ベクトルとみなすのは効率的かつ簡単です。

最初の 2 つの合計は重要です - これは実数ベクトル z であり、残りの合計は重要です - これは実数ベクトル z です。 嫉妬 (8.14): ベクトルも空間に属することを意味します。 意味する、。 このベクトルを基底に基づいて分解すると、次のことがわかります。 。 (8.14) でこのベクトルの展開を見ると、次のように削除できます。

残りの嫉妬は、部分空間に基づいたゼロベクトルの分解として見ることができます。 このようなレイアウトの係数はすべてゼロです。 (8.14) に代入すると削除できます。 ベクトル系は線形独立であるため (これは部分空間の基礎です)、これは自明な方法でのみ可能です。 したがって、嫉妬 (8.14) は、すべての係数が同時にゼロに達した場合にのみ、些細な結果で終わります。 さて、ベクトルの総和 線形に独立しているため、空間の基礎となります。 部分空間の合計のサイズを推定します。

引き出す必要があったもの。

バット8.6。部分空間を指定する点に隠れた穂軸を持つ動径ベクトルの空間内: i - 直線と直線の点で交差する 3 つの面のない動径ベクトル。 i - 交差する平面 i 上にある 2 つの中立半径ベクトル。 直線、平らな線、直線と平らな線、平らな線と直線（図 8.2）。 5つの部分空間の意味から皮膚の大きさと水かきを調べます。

決断。 合計を知りましょう。 重なり合う 2 つのベクトルを加算することで、平面上にあるベクトルを減算できます。 逆に、それに続くベクトル (図 8.2 の除算) は、ベクトルを直線上に平行に投影したものとして視覚的に表現できます。 これは、領域の半径ベクトルが部分空間 i 上に配置されている場合、 であることを意味します。 同様に、直線 i を通過する平面上にある動径ベクトルのない a - が推定されます。

合計を知りましょう。 Be ベクトル空間は部分空間 i に分割できます。 実際、動径ベクトルの端を通って、直線に平行な直線が引かれます (図 8.2 の除算)。これにより、平面へのベクトルの投影になります。 次に、このようにベクトルを配置します。 オジェさん。 それで、ヤク。 同様に、こうも言えます。 レシュタ・スミを知るのは簡単です。 敬意を表します、スコ。

Vikorist の定理 8.4 は、サイズが等しいなど検証可能です。 i をグラスマンの公式に代入すると、次のことが検出されたことがわかります。

部分空間の範囲は図からわかります。 8.2、幾何学的図形を網膜化する方法:

de - ゼロ半径ベクトル。

単なるスペースの合計です。 直接和の基準。