ズビジナ等比数列。幾何級数的な作品シリーズ

穀物に関する驚くべき伝説をご存知ですか？チェスの女の子?

シャーのドシュシャの穀物に関する伝説

シャーの創始者（セッサという名前のインドの老数学者）が土地の支配者に自分のワインを見せた場合、彼はグラから非常に名誉を与えられたため、ワイン生産者に自分で都市を選択する権利を許可しました。賢者は王に、最初の一足には小麦一粒、もう一足には二粒、そして三番目には二粒というように、各足に数粒ずつ加えて支払うように頼みました。数学を理解していなかった統治者は、ワイン生産量のそのような低い推定値に穀物を置くことをすぐに決定し、財務官にワインメーカーがどれだけの穀物を必要とするかを待つように命じました。ただし、一定期間が経過してもスカベンジャーが必要な穀物の数を受精できない場合は、その遅延の理由を確認して説明します。会計係は廃棄物を見せて、支払いは不可能だと言いましたが、王はその長老の言葉を不思議そうに聞いていました。

この貪欲な数字を教えてください」と彼は言いました。

18京 446京 744兆 730億 7億900万 55万1000 615、主よ！

小麦一粒の重さが0.065グラムだとすると、倉庫にある小麦の総重量は1,200兆トンとなり、これは人類の歴史全体で採取された小麦の全収穫量を超えます。

予定

幾何級数- 一連の数字 ( 進歩のメンバー)、すべてのスキンステップで、曲上の数値の以前の乗算から、他のものから始まる数値が得られます ( 進歩の兆し):

たとえば、シーケンス 1、2、4、8、16、... は幾何学的です ()

幾何級数

幾何学的な進歩のバナー

等比数列の特有の力

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シーケンスは幾何学的であり、n> 1 の場合にのみ、より一貫した関係が示されます。

Zokrema、正の項を含む等比数列について、次のように修正します。

等比数列の第n項の公式

等比数列の最初の n 項の和

（じゃあ）

無限減少等比数列

等比数列が呼ばれるとき 際限なく減少する 。この無限に減少する等比数列を数 i と呼びます。

それを適用してください

お尻1.

シーケンス () - 等比数列。

何を調べますか

決断：

次の式に従います。

例2。

等比数列の符号 () を求めます。

ロウには精神的な強さが必要だ。

高調波系列

定理シリーズに必要な精神力について。

級数が収束すると、この級数の逆の項のシーケンス間はゼロに等しくなります。

. (1.11)

別の配合。級数が収束するには、級数の逆項の列がゼロに達することが必要です (しかし十分ではありません!)。

尊敬。一貫性を保つために、「シーケンス」という言葉が省略され、「シリーズの最初のメンバーの間には相対ゼロがある」と言われることがあります。一連のプライベートサム（「プライベートサム間」）についても同様です。

定理の証明。シリーズの明らかなメンバーが表示されます (1.10)。

洗面所の後ろで列が集まって、まあ、それは明らかです、なぜなら Pі P-1 一晩で無限にジャンプ。シリーズの隠れたメンバーの順序はわかっています。

尊敬。傷がしっかり固定されていない。心を喜ばせるシリーズ（1.11）を避けるのは簡単ではありません。これが、符号 (1.11) が必要である理由ですが、系列の類似性を示す十分な符号ではありません。

お尻1. 高調波系列。行列を見てみましょう

(1.12)

この系列は、他のメンバーから始まる最初のメンバーのスキンが、それに隣接するメンバーの中間の高調波であるため、調和的と呼ばれます。

例えば：

図1.3.1 図1.3.2

調和級数の最後のメンバーは、級数 (1.11) に必要な考え方を満たします。 (図1.3.1)。しかし、後で、この級数が発散し、その和に古くからの不一致があることが (積分コーシー記号の助けを借りて) 示されるでしょう。図 1.3.2 は、数値が大きくなるほど部分的な金額が必然的に増加することを示しています。

調査。必要なマインドからは、次のようなものがあります。 別離の痕跡が残る行：ヤクシチョそうでない場合は、系列が分岐します。

終了した。ガイドとしては許容範囲内です（またはスリープしません）しかし、シリーズは収束します。これは、前線メンバー間の一連の必要な精神的能力がゼロに達する可能性があるという定理と一致しています。。プロティリチヤ。

お尻2。一連の秘密メンバーをフォローする .

デンマークの行は次のようになります。

行の前部のメンバーの境界がわかります。

。この結論から逸脱するのは簡単です。

幾何級数的な作品シリーズ

等比級数のメンバーを含む一連の折りを見てみましょう。等比数列は数値列であり、その各要素は、他の要素から始まると、前の要素と等しく、同じ数を乗じたものであり、ゼロには等しくなく、この数列の符号と呼ばれることは明らかです。等比数列は次のようになります。

її メンバーを含む折り畳みの行:

このような数列は等比数列と呼ばれますが、一貫性を保つために単に等比数列と呼ばれることもあります。「幾何学的な」進行という名前は、他のメンバーから始まるメンバーの皮膚が古代のものであるという事実を否定しました。 幾何平均隣接するメンバー:

、または .

定理。等比数列の要素を含む一連の折り目

で分岐する私はで、そしてで収束します連続して合計する

終了した。シリーズの主要メンバーは、等比数列の主要メンバーと同様に次のようになります。 .

1) はい、それでは , なぜなら、この喪失には無限に大きな大きさがあるからです。

2) 一連の操作が異なる方法で実行されると、異なるタイプが生じます。

で ;

定数間のフラグメントは、定数自体よりも古いものです。精神定理の残骸 , シリーズの主役メンバーはゼロ一直線ではありません。

で ; 境界はありません。

このように、迷わずに頭脳が必要です行の数：

オジェ、シリーズ (1.13) が分岐します。

3) ヤクチョー , そして、その進行は際限なく減少すると言われます。学校ではそれが明らかです n-プライベート和系列 (1.13) では、次のように表すことができます。

行の合計がわかります。そうするとき (非常に小さい値)、その後

このようにして、級数 (1.13) は収束して等しい

. (1.16)

これは、際限なく減少する幾何学的な進歩の合計です。

バット1°。

図1.4.1

=2.

この金額を見積もったら、この特定の金額の価値がいくらになるかを判断してみます。

部分和のシーケンスが数値 2 まで拡張されていることがわかります (図 1.4.1)。

それでは、それを取り上げましょう。このシリーズは等比数列のメンバーによる一連の折り畳みであると簡単に言うことができます。。果てしなく減少する幾何学的な進歩の合計

バット2°。

同様に計算されます。前部のお尻の前の列の多くのメンバーの破片にはマイナス記号が表示され、その量は少ないことが判明しました。

バット3°。

これは幾何級数です。 > 1. このようなシリーズは分岐します。

隣の階級の力

2 つの収束行を見てみましょう。

, (1.17)

. (1.18)

1. 収束する 2 つの級数の折り目の項を減算した級数も収束し、その和は出力級数の代数の和に等しくなります。

. (1.19)

終了した。級数 (1.17) と (1.18) の部分和を合計します。

金額の背後にある断片が行に収束し、これらのプライベート金額の間に表示されます。

, .

部分和を系列 (1.19) に追加し、境界を見つけます。

お尻。

;

尊敬。行の左側にある行 (1.19) が行の収束に従っていないというのは真実ではありません。たとえば、4 で見た行は収束し、その合計は 1 に等しくなります。 zagalnyy のこの一連の視点への変化の言葉のメンバー:

さて、このシリーズは視覚的に次のように書き出すことができます。

では、見てみましょう オクレモ行:

これらの列は、まるで調和のとれた列であるかのように発散します。このように、級数の代数和がまばらであるため、加算のまばらさの痕跡はありません。

2. メンバー全員が横一列に集まると S 1と同じ数を掛ける h, すると反対の級数も収束して合計されます。 CS:

. (1.20)

証明は最初の乗 (独立して行う) と似ています。

お尻。z = 10000;

行の合計が終わりに近づいているため、行が収束するのは困難です。

このようにして、収束系列を項ごとに加算したり、減算したり、定数乗数を乗算したりすることができます。

3. 定理シリーズの最初のメンバー数名の選択について。

シリーズの最初のメンバーのいくつかの追加 (または追加) は、そのシリーズの多様性や多様性には寄与しません。つまり、級数が収束すると、

次に収束して系列化する

. (1.22)

（エール合計は異なる場合があります）。ちなみに、系列 (1.22) が収束すると、系列 (1.21) も収束します。

尊重 1.数学では、「ケルカ」という用語は「終わりの数」を意味するため、2、100、10、100 などになります。

敬意2。この力から、多数の秘密メンバーが存在し、親密さにおいて同等のものが存在します。たとえば、ハーモニック行にはハラールメンバーが含まれ、行にはハラールメンバーと -また調和しています。

4.後列。ヨゴパワー。最初のものが連続して投げられたとき kメンバーに合わせて、新しいシリーズのタイトルが登場します 多すぎる後 k- 3人目のメンバー。

ヴィズナチェンニャ。 k後列 - 番目

列と呼ばれる

(1.23),

最初のデータの削除 k出口列のメンバー。

索引 k行の最初のメンバーが何人スローされるかを意味します。このような形で

等

図1.5.2

剰余のシーケンスを取得し、それらの一貫性を監視することが可能です。

, 前の定理を考慮すると、無限に飛躍しています。 P。皮の部分には添加物が「少ない」です（実際、皮の部分には無数の添加物があります）。ここでのダイナミクスは行の最後ではなく、行の先頭にあるとも言えます。

行の剰余は、行の合計とその部分和の差として計算することもできます (図 1.5.1)。

. (1.24)

図1.5.2

バッグと連続して収束するシーケンスの境界を知っています Sで。トレースの行の値:

(1.24) のトーディはこう叫びます。

級数の収束超過は次の時点で無限に小さいと仮定されました。 , 次に、系列内のメンバーの数を直接加算すると無限大になります。これは、Malyunki 1.5.1 および 1.5.2 で確認できます。

尊敬。系列内の指定された数の項の損失に関する定理は、次のように定式化できます。系列が収束するには、その超過がゼロに近づくことが必要かつ十分です。

§ 1.6. ポジティブシリーズ

メンバー不明の列を見てみましょう

これらは私たちが呼び出す行です ポジティブな兆候。正の級数 (1.26) の部分和のシーケンスを見てみましょう。このシーケンスの動作は特に単純です。値が増加するにつれて単調に増加します。 n、トブト。（未知の数字が皮膚に到達するため）

ワイエルシュトラスの定理によれば、収束の順序は単調です (第 1 学期、1 年目)。ここから、定式化してみましょう ザガニ基準追加メンバーとのランクの接続。

定理(符号陽性系列の類似性の重要な基準)。正の系列が収束するには、その部分和の系列が分離されることが必要かつ十分です。

シーケンスの相互接続の意味は推測可能です。シーケンスは開始するため、相互接続と呼ばれます。 M> 0 それで何のために (図1.6.1)。ポジティブシリーズの場合、そして、ゼロの下で縁取られる獣の境界について話すことができます。

終了した。 1) 必要性。級数 (1.26) が収束するとします。部分和のシーケンスがそれらの間にあると、それらが収束します。類似した数列の収束に関する定理によれば、それが収束する場合、その数列は有界 Þ 有界になります。

2) 可用性。行 (1.26) の部分和の順序が区切られますように。

オスキルキ、トブトは単調だ。単調境界に関するワイエルシュトラスの定理によれば、級数 (1.26) は収束します。

トピック8. ラヴィ

数字シリーズ

1. 数列の基本的な理解。

2. 一連の等比数列。

3. 近隣の階級の主要な権威。後ろの席。

4. 数値系列には一貫性を示す必要があります。

5. ハーモニー列。

これは数学的分析の最も重要なツールの 1 つです。級数を使用して、関数、積分、解の最も近い値を見つけます差動レベル。付録に記載されているすべての表は、行を使用して配置されています。

歴史的背景

数値および関数級数の理論は 17 世紀から 18 世紀に発展し始めました。最近では、数学的解析の基本的な理解についての正確な定義が毎日行われていました。安価であれば、コストや崩壊に関係なく、単なるバッグと同様に、強奪の可能性を尊重しました。この金額は「メンバーの非人格性を考慮して」尊重されていましたが、あたかも特定の（最終的な）数のドダンクから構成される金額であるかのように扱われました。このため、数学科学の現状では不明瞭な計算で 1 時間自己満足することになりました。

1 未満の符号を持つ無限等比数列の概念は、すでに長い間開発されてきました (アルキメデス)。

調和のとれたシリーズの分割は、1650 年にメングのイタリアの儀式によって確立され、その後、ヤコブとミコラのベルヌーイ兄弟によってより厳密に確立されました。状態系列は Newton (1665) に登場し、あらゆる関数を識別するために使用できることを示しました。級数理論のさらなる発展は、ライプニッツ、オイラー、ラグランジュ、ガウス、ボルツァーノ、コーシー、ヴァイエルシュトラス、リーマン、その他多くの著名な数学者によって豊富に与えられました。

これらの発展の多くは、間違いなく、1715 年に主著「拡張、直接および反転の方法」を出版したニュートン - テイラーの紹介と教えによるものです。この本で、テイラーはまず一連の追加の分析関数を説明します。最後に、この静的系列は「橋」となり、有理関数の領域から超越関数の開発に移行できるようになりました。

しかし、数学への根本的に重要な貢献はすぐには認められませんでした。 1742年、彼はコリン・マクローリンによる有名な「フラクシオンに関する論文」を書き、その中でマクローリンは自分の名前で身に着けるもののシリーズを新しい方法で描き、このシリーズが「拡張の方法」にあることを示しました。この系列の停滞により割り当てられた機能が大幅に簡素化されることを多数の関数でマクローリンに示した後、この系列、したがってテイラー系列は大きな人気を獲得し始めました。

1772 年にラグランジュがテイラー級数をすべての微分積分の基礎としたとき、テイラー級数の重要性はさらに高まりました。拡張関数の理論が、無限に小さいものやその中間のものを含む、微分計算の関連原理と一致していることを評価します。

栄養学 1. 数列の基本概念

途切れることのないシリーズという概念そのものは、原理的には本質的に新しいものではありません。途切れのないシリーズは、数値シーケンスの一意の形式にすぎません。ただし、この新しい形式にはいくつかの特徴があり、列の停滞がより簡単になります。

終わりのない数字の連続がありますように

a 1、a 2、...、a n、...

O.1.1。ビラスマインド

(1)

呼ばれた 隣り合った無数のあるいは単に充電

数字は a 1、a 2、...、a n、... と呼ばれます。 のメンバー, そして、追加の数 n を加えた数 a n は、と呼ばれます。 シリーズの中で最も暗いメンバー (1).

行 (1) は行 a n の先頭メンバーであるため重要であり、式は数値 n の関数です。

a n = f (n)、n = 1、2、...

お尻1。汚いメンバーが並ぶとこんな感じ