査定のしやすさが特徴です。細分割パラメータの点推定

5. 応用統計の主な問題 - データの説明、仮説の評価と検証

評価の可能性、不変性、効率性

どうすれば私たち自身の評価方法を改善できるでしょうか？評価は、実現可能性、非置換性、有効性等の評価方法等の指標に基づいて行われます。

推定値 θ を見てみましょう n数値パラメータ θ、値は n= 1, 2, ... スコア θ n 呼ばれた可能, サンプリング量を無制限に増加させることで、推定パラメータ θ の値まで確率的に収束させることが可能です。どうやらもっとはっきりと言われたようです。 θ統計量 nє 正の数 ε について境界関係が有効な場合にのみ、パラメータ θ の追加推定による

お尻3。大数の法則から、θは次のようになります。 n= Є と単純な推定値 θ = M(X)(チェビシェフの定理に加えて、分散の基礎も移されました D(バツ); ただし、Dov A.Ya として。ヒンチン、弱い心を克服する - 数学的認識の基礎 M(X)).

お尻4。すべては通常の分割のパラメータの評価の上に示されており、可能です。

一般に、統計的手法で分析されるパラメータの推定値はすべて (まれに故障はありますが) 解決されますが、それは不可能です。

お尻5。したがって、これは V.I. の定理と一致します。グリヴェンコ、細分化の経験的関数ふん(バツ) є ケア部門の機能の追加評価の結果 F(バツ).

痕跡を評価するための新しい方法を開発する場合、最初に提案された方法の実現可能性を確認することが重要です。

もう一つ重要なことは、評価の力です - 非変位。 θの不偏推定値 n- パラメータ θ を推定するとき、推定されたパラメータの対応する各値を数学的に推定します。 M(θ n) = θ.

お尻6。これらの帰納法から、不偏パラメータ推定からより多くの結果が得られます。 メートル і σ 2普通の性別。オスコルキ M () = M ( メートル** ) = メートル, 次に、サンプルの中央値と変動系列の極値項の半和 メートル** - 数学的評価の未解決の評価も メートル普通の性別。しかし

それが評価だ s 2私( σ 2) ** には、考えられる分散推定は含まれていません。 σ 2普通の性別。

あらゆる種類の関係に対する評価 M(θ n) = Θ は不正確であり、変位と呼ばれます。この場合、θ の数学的推定値間の差は、 nパラメータ θ で推定すると、 M(θ n) - θ、バイアス推定値と呼ばれます。

お尻7。評価用 s２、上記のような事が出てくるので古いです

M(s 2) - σ 2 = - σ 2/n.

zsuv 評価 s 2 プラグナから 0 まで n → ∞.

値を無限大までサンプリングした場合に、値が 0 に置き換えられる推定値は、と呼ばれます。 漸近的に不偏。図表 7 は評価がどのようなものかを示しています s 2єは漸近的に不偏です。

意思決定のための統計的手法で使用されるほとんどすべてのパラメータ推定値は、不偏か、または漸近的に不偏です。不偏推定値の場合、推定値の精度の指標は分散です。分散が小さいほど、推定値は優れています。変位推定値の場合、精度の指標は推定値の 2 乗の数学的計算です。 M(θ n- θ) 2. 数学的計算と分散の主な力から次のように、

次に、推定値の二乗の数学的計算は、推定値の分散と二乗と変位の合計になります。

意思決定のための統計的手法で計算されるパラメータ推定値の重要な大部分では、分散は 1 / のオーダーです。 n、変位は 1 / 以下です。 n、で n- オブシャグ・ヴィビルキ。そのような見積もりについては、 n右側のもう 1 つの加算 (3) はさらに小さく、最初の加算と同じであり、それらの類似性は公正です。

デ h- 推定値 θ の計算方法によって決定される数値 nと推定パラメータθの真の値。

推定方法の 3 番目の重要な力は、評価のばらつきに関連しています。効率。効率的な推定量とは、特定のパラメーターの可能なすべての不偏推定量の中で最小の分散を持つ不偏推定量です。

効果的なパラメータ推定が可能であることが実証されています。 メートル і σ 2普通の性別。同時に、振動中央値にはかなりの境界線の相関関係があります。

言い換えれば、サンプル中央値の効率は、有効なパラメータ推定値の分散の比率です。 メートル n が大きい場合のこのパラメーターの不偏推定値の分散は 0.637 に近くなります。正規除算の数学的評価を評価する際のサンプル中央値の効率も同様に低いため、ビコリストの算術平均が決定されます。

効率の概念は不偏推定に導入されています。 M(θ n) = Θ パラメータ θ のすべての可能な値。不確実性がない場合は、そのような θ の分散が小さく、変動の二乗平均があまり効果的でない推定値を示すことができます。

お尻8。数学的評価の「評価」を見てみましょう メートル 1 ≡ 0. トーディ D(メートル 1 ) = 0 の場合、常に分散が小さくなります D() 効果的な評価。プロットの中央の正方形の数学的定義 dn(メートル 1 ) = メートル 2 、maєmoのTobto dn(メートル 1 ) < dn()。しかし、統計を見ても明らかなことは、 メートル 1 ≡ 0 は数学的知識の評価を盲目的に見ること メートル.

お尻9。この大きなお尻は、アメリカの数学者 J. ホッジスによって調査されました。

に気づいた Tn- 数学的計算の漸近的不偏推定が可能 メートル, この場合、数を数えることが重要ではありません。

残りの式は、次のことを示しています。 メートル≠ 評価0 Tn厚くしない（混合物の中央の正方形に沿って整列させた場合） dn)、そしていつ メートル= 0 - ある意味、より美しいです。

θ のほとんどの推定値は重要です n、統計手法における Vykoristovannyh は漸近的に正規であり、それらに対して次の境界関係が有効です。

どんな理由であれバツ、で F(x)- 数学的範囲が 0 で分散が 1 の標準正規除算の関数。これは、多数のサンプル (実際には数十または数百の観測値) の場合、推定値の除算が数学的推定値とそれらによって完全に記述されることを意味します。分散、および推定値の強度 - 測定値の平均二乗の値 dn(θ n).

フロント

トピック 7. サブディビジョン内のパラメータの統計的推定: 点推定と区間推定

統計的手法の意味は、限られた領域を選択した後、ほとんどの点で一般人, 判定はその全体的な力に基づいて行われます。

当然のことながら、母集団調査をサンプル調査に置き換えると、次のような多くの栄養価が生まれます。

1. サンプルはどの世界の一般集団の力を表していますか?つまり、サンプルはどの世界の一般集団との関係で代表されていますか?

2. サンプリングパラメータは、一般母集団のパラメータの値についてどのような情報を提供できますか?

3. 一般集団から抽出できる統計的特徴（平均値、分散など）が一般集団から抽出できる特徴と等しいことが確認できる。

この検証により、同じ一般集団からの異なるサンプルに対して取得されたパラメータの値が必ずしも回避されるわけではないことがわかります。サンプリングパラメータの数値はサンプリング方法によってカバーされており、厳密な結果ではありません。 統計的評価一般集団におけるこれらのパラメータの値。統計的評価では、観察される現象が多様であるため、その近傍の値のみを削除することができます。

注記。 厳密に言えば、統計学における推定とは、推定パラメータを算出するための規則であり、推定とは、推定する、つまり推定を行うという意味で、それに近い値を示すことを意味する。

見積もりは異なります ポイントі 間隔の推定値.

細分割パラメータの点推定

こんにちは x 1、x 2、...、x n- ヴィビルカ・オブシャグ n部門の機能を持つ一般の人々から F(バツ).

このサンプルの数値特性は次のように呼ばれます。 ヴィビルコヴィミ (経験的な) 数値的特性。

サンプルの数値的特徴は、特定のサンプルの特徴であり、一般母集団の一部の特徴ではないことが重要です。ただし、これらの特性を使用して母集団のパラメータを推定することはできます。

ポイント単一の数値によって測定される統計的推定値と呼ばれます。

点推定の特徴は、 当局：不変性、シンプルさ、効率性。

移動されていないこれは点推定と呼ばれ、サンプリングのいずれの場合でも、推定されたパラメータに関連する何らかの数学的評価です。

点推定は次のように呼ばれます可能 , アンバウンドの場合、選択義務が増加します（ n® ¥) は確率的にパラメータの真の値に収束し、次に一般母集団の推定パラメータの真の値に収束します。

効果的点推定値を次のように呼び出します (指定されたサンプルに対して n) 分散が最小限に抑えられており、同じ母集団推定値と比較してサンプル推定値の変動が最小限であることが保証されます。

数学的統計では、一般平均とサンプル平均の不偏推定値を取得できることが示されています。

デ x i- 選択オプション、私は- 周波数の変化 x i、 - obsyag vibіrki。

不偏一般分散推定量サンプルの分散を補正するのに役立ちます

より優れた公式 .

評価 s一般分散の 2 も可能ですが、効果的ではありません。ただし、正規分布では「漸近的に効果的」ですが、増加すると n分散を可能な限り最小に設定すると、必然的に 1 に近づきます。

さて、部門からの選択が与えられたので、 F(バツ) ヴィパドコバ値バツ未知の数学的計算によるあおよび分散 s 2 の場合、これらのパラメータの値を計算するために、次の式を使用する権利があります。

点推定値は限られていますが、少し注意を払うと、サンプルが推定パラメータと大きく異なる可能性があります。したがって、パラメータとその推定値の間の類似性の証拠を排除するために、いわゆる区間推定値が数学的統計に導入されます。

信頼区間

結果を統計的に分析する場合、未知のパラメータ θ の点推定値を知るだけでなく、推定値の精度を特徴付ける必要があるため、信頼区間が見つかります。

信頼区間- これは、特定の信頼性の背後に、一般集団の未知のパラメーターが位置する間隔です。

信頼性- 一般集団の未知のパラメータが信頼区間内に収まるはずであるという確実性。

信頼区間の値は区間推定の精度を特徴づけ、サンプリングと信頼性に影響されます。重負荷の場合は選択を確認する必要があります。間隔が変化（精度が上がり）、精度に達したら1分間信頼します。間隔が大きくなります (精度が変化します) 信頼度の順に、p は実際に有意水準 α = 1 - p を決定するためによく使用されます。

p = 0.95 または (redshe) 0.99 を受け入れてください。この信頼性は、選択されたサンプル指標に基づいて一般パラメータについて有効な判断を下すのに十分であることが判明しました。

数学的計算の信頼区間は次のようになります。 de S - 標準偏差 - は学生の下位部門よりも重要です (トピック 7 に対する部門補遺 1)

ヴィビルカの特徴。可能、

コースの開始時に、古典的妥当性や統計的妥当性などの概念が検討されました。

古典的なホモウイルス性が理論上の特性であり、詳細に入ることなく測定できるのと同様に、統計的なホモウイルス性は実験の結果に基づいてのみ決定できます。トレースの数が増えると、値は W(A) 国際性の評価として役立ちます P(A)。 ブッフォンとピアソンの古典的な調査を完了します。同様の類似をさらに続けることができます。たとえば、理論上の特性については、 M(x) そのような例えは次のようになります - 算術平均:

= 私は/n ,

分散用 D(x) 経験的な類似物は次のようになります統計的分散:

S2 （バツ） = (Xi - ) 2 fi/n .

経験的な特徴、 S 2 （バツ） ,W(A) є パラメータ推定値 M(x) ,D(x) ,P(A) 。このような場合、経験的特性が多数のトレースに基づいて決定される場合、理論的パラメータの観点からそれらを計算しても、研究に必要な許容値が得られません。ただし、このような場合、トレースの数が限界がある場合、交換時にフルードは空になります。したがって、理論的パラメーターの推定に基づく経験的特性には、次の 3 つの利点があります。

罪悪感の評価は有益であり、公平かつ効果的です。

小さな正の数より少ない量による推定パラメータの変動の程度が、無制限のより大きな数による変動の程度に近づく場合、推定は単純化されていると呼ばれます。 n, それから

P(|- | < ) = 1

デ - 一般人口の実際のパラメータ、

/ - このパラメータの評価。さまざまな数値パラメータのほとんどの推定値は、これらの可能性と一致しています。ただし、一人だけでは逃げられません。臭いが消えずに残っていることが必要です。

推定値は推定パラメータと数学的に類似しているため、推定値は不偏と呼ばれます。

M ( / ) = .

系統的評価の可能な不偏推定値の例は、算術平均です。

ま() = .

考えられる偏った評価の例は次のとおりです。

分散：

M ( S 2 （バツ）) = [ (N - 1)/n ] D(x) .

理論上の分散の不偏推定値を取得するには D(x) 経験的な差異が必要です S 2 （バツ） 掛ける n/(n - 1) 、トブト

S2 （バツ） = (Xi - ) 2 fi/n n/(n - 1) = (Xi - ) 2 f i / (n - 1) .

以下の場合、これらの変動における分散の推定値を計算するときにこの補正を行うことが現実的です。 n< 30 .

可能な不偏推定が行われる可能性があります。たとえば、算術平均の順序で正規サブセクションの分散の中心を推定するには、中央値を使用できます。。中央値は、グループ中心の不偏推定値と同じです。同じパラメータに対して 2 つの可能な不偏推定値がある場合、分散が小さい方が優先されるのは自然なことです。

タカ 推定されたパラメータに対して分散が最小となる推定値は、有効と呼ばれます。。たとえば、2 つの推定値から正規の除算の分散中心を推定します。 M(x) 効果的な評価ではなく、 , つまり、分散は分散よりも小さいので、。大選挙におけるこれらの推定の同等の有効性は、次の推定の有効性とほぼ同じです。 D()/D= 2/ = 0,6366.

実際には、これは一般集団の分割の中心 (0 と呼ばれます) が次のように指定されることを意味します。 n 回の予防措置で 0.6366 と同じ精度 n 算術平均については注意してください。

4.4. サンプル平均と分散の力。

1. 選択範囲が大きい場合、1 に近い次数の大数の法則に基づいて、算術平均がそして分散 S2 いつも少し楽しい時間を過ごします M(x) і D(x )、トブト

M(x) ,S2(x)D(x) )、私は分散します D() 、選挙に行かなかった人はいないでしょう。ん、あるいは選択の数が多くなる可能性があります。

4. 分散の場合 D(x ）、一般人口は不明であるため、偉人にとっては重要です n 小さな減少の確実性が高いため、同様の方法でサンプル平均の分散を計算できます。

D() = S 2 (X)/n、

デ S 2 （バツ） = (Xi - ) 2 fi/n - 大量のサンプルの分散。

ヴィズナチェンニャ。ヴィパドコバ値は次のように呼ばれます。評価未知のパラメーターは、実験シリーズの結果で見つかったランダムな値の値をパラメーターの最も近い値として取得できるため、等価性が公平になります。

お尻。未知のパラメーターのコンテキストでは、特定のアクションの発生の信頼性を確認できるため、このパラメーターの推定値は、独立した試行におけるアクションの発生頻度になります (統計的に決定された信頼性とベルヌーイの定理の除算)。

お尻。価値観を忘れないようにしましょうしかし、その場合、新しい数学的理解が得られるかもしれません。したがって、算術平均は、そのような変数の正式な数学的計算の重要性の推定値として機能します。 tsikh vipadkovyhの量。これまで見てきた状況と今後のことを丁寧にまとめてみましょう。

お尻。算術平均は、特定のパラメーターの推定値として使用されます。結果このパラメータの独立した変更 (チェビシェフの素晴らしい定理)。

ほぼ同等の真ん中のヴィコリスタンとについて話す ポイント推定目に見えないパラメータ。

たぶん同じように 間隔の評価目に見えないパラメータ。これが何を意味するのかを説明するために、現在のコンセプトを見てみましょう。

ヴィズナチェンニャ。十分な間隔で呼び出されます。 信頼できる間隔で; 量自体はこの形式で呼び出されます 境界線の選択.

ヴィズナチェンニャ。推定パラメータの未知の値が信頼区間に含まれる確実性は、 信頼性。

このようにして、 – パラメータ推定、それ

- 信頼性の高い信頼性（評価を前提としています） є 途切れることなく vipadkovoy値).

間隔評価は、たとえば、特定のサンプル制限に対して計算された信頼性から構成されます。

区間評価のタスクに対する解決策は、勝利評価の細分化の法則の重要な性質に関連しています。 .

次に、評価の力を見てみましょう。

ヴィズナチェンニャ。パラメータ評価は呼び出されます 公平な, 推定値は推定パラメータにより数学的に関連しているため、次のようになります。

ヴィズナチェンニャ。パラメータ評価は呼び出されます可能、満足のために、それは関係の境界線に来ます

言い換えれば、パラメータの推定は、この推定が有効に所定のパラメータに収束する場合に可能です。 (この種の応用がベルヌーイとチェビシェフの定理、セクション 6.2 によって提供されることは明らかです。)

ヴィズナチェンニャ。指定されたパラメータの不偏推定値は、と呼ばれます。 効果的, 特定の対象を選択するために見つかったすべての不偏推定値の中で分散が最も小さいためです。

お尻。一部公平で実行可能かつ効率的な妥当性評価の必要性これらのアイデア . 敬意を表しますが、不確実性の力と周波数の可能性は、実際にははるかに異なる文脈で以前に私たちによって検討されました。実際、周波数の不変性、つまり嫉妬は、二項分布変数値の能力の 1 つです (div. § 3.3)。周波数の確率はベルヌーイの定理 (第 6.2 節) によって確認されます。

お尻。明確な数の独立したさらに細分化された変数値の算術平均は、これらの変数値の正式な数学的評価の不偏かつ可能な推定値です。実際、不動性は数学的計算の 5 乗です (div. § 3.3)。この類似性はチェビシェフの定理 (第 6.2 節) によって確認されています。

休耕田と非休耕田。来て。精神的知性の意味。乗算の性質の定理 (証明付き)。

完全な信頼性とベイズの公式 (証明付き)。それを適用してください。

独立したテストを繰り返しました。ベルヌーイの公式 (ひねりを加えたもの)。それを適用してください。

モワブル・ラプラスの定理は局所的であり、オストスヴァンニャです。 Dxの強力な機能）。お尻。

ポアソンの公式は漸近的です。お尻。

モアブル・ラプラスの積分定理と心。ラプラス関数 f (x) とべき乗。お尻。

Moivre-Laplace の積分定理を継承します (改訂あり)。それを適用してください。

離散変数値とそのべき乗の数学的決定 (visnovkom を使用)。それを適用してください。

落下値と威力のばらつき（差あり）。それを適用してください。

この機能は、規模、重要性、権限、およびスケジュールの細分化に細分化されます。

Vipadkovian 数量は中断不可能 (新規) です。 NSVの取得値の不変。 NSV の数学的サポートと分散。

連続段階値の強度、その重要性、パワー、スケジュール。

二項法則に従って分割されたヴィパドコバ値は数学的に決定され、分散されます。ポアソンの法則。

反復された独立した試行 (反復あり) におけるイベントの発生数と頻度の数学的決定とばらつき。

通常の分割法則によると。パラメータの理論的かつ普遍的な意味。パラメータに応じた通常の曲線と深さ、位置と形状。

通常細分化された変数値を細分化する関数は、ラプラス関数を通じて表現されます。

信頼性を計算するための式は次のとおりです。 a) 正規に分割された降水量値が目標区間内に収まること。 b) 数学的認識の向上です。「スリーシグマ」の法則。

2 次元 (/7 次元) の大きさの概念。それを適用してください。表はセクションに分かれています。倉庫の一次元的な分割。部門表に基づく部門のレベルとその位置。

変数値の共分散と相関係数。変数値の相関関係と独立性の間の関係。

2 つの世界の通常の分割法則について理解する。数学的な暗算と分散。

マルコフの緊張（レマ・チェビシェフ）（上級著者と）。お尻。

チェビシェフの神経質さ (修正あり) と、二項法則に従って分割されたランダム値と細分化の頻度に関する彼の特別なケース。

チェビシェフの定理（証明付き）、その意味と遺産。お尻。

大数の法則。ベルヌーイの定理（証明付き）とその意味。お尻。

線形値の算術平均に関するチェビシェフの不等式 (ひねりを加えたもの)。

中心境界定理。リアプノフの定理とその意味について理解します。お尻。

バリエーションシリーズ、さまざまな品種。系列の算術平均と分散。許しはそれらを解く方法です。

一般集団のパラメーターの評価に関する概念。評価の力: 不変性、シンプルさ、効率性。

水分と降雨量のサンプリングに基づいた一般的なエリアの評価。サンプリングエリアの非変位とコンパクトさ。

水分と降雨量のサンプリングに基づいた一般平均の推定。標本平均の不変位と共犯性。

降湿サンプルを使用した一般分散の推定。サンプル分散液の変位と容量（表示なし）。振動の分散を補正しました。

間隔評価について理解しています。信頼性と信頼性の間隔。選択の境界線の平和。サンプルの代表性 (ランダムおよび系統的) に関する考慮事項。

一般的な平均評価による信頼性の計算式。反復サンプリングと非反復サンプリングの二次平均と一般平均の信頼区間。

一般的な平均と部分を評価する際の、反復サンプリングと非反復サンプリングの重要性。

統計的仮説と統計的基準。第一種および第二種の恩赦。重要性のレベルと基準の厳しさ。実用性の原則。

予備データによるポブドフの理論的な除算法則。基準について理解してください。

x2-person の基準と yogo zastosuvannya のスキーム。

機能的、統計的、相関的有意性。それらの違い。相関理論の主な目的。

線形ペアワイズ回帰。直接回帰のパラメータを決定するための正規方程式系。ヴィビルカ共分散。回帰係数を作成するための公式。

許しの方法:

バインダーの締まり具合を評価します。相関係数 (vibric)、その威力と信頼性の評価。

一般集団のパラメーターの評価に関する概念。評価の力: 不変性、シンプルさ、効率性。

パラメータを推定する問題を形式的に定式化してみましょう 。 X の符号を分割してみます。一般的な全体は、ver-tey の関数 (離散 SV X の場合) または ver-tii の強度によって指定されます。
(連続SV Xの場合)、未知のパラメータに設定可能。たとえば、ポアソン除算のパラメータ λ またはパラメータ i
通常の割り算法則などについて。

パラメータを計算するには一般人口のすべての要素を追跡することは不可能のようです。それでパラメータについて私たちは（オプションの）価値を合計する選択によって判断しようとしています
。これらの値は、n 個の独立変数値のプライベートな値 (実現) として見ることができます。
スキンは CB 自体と同じ分割の法則に従います。

予定。評価パラメータパラメータの値を判断するのに役立つ、CB X に対するケアの結果の関数 (別名統計) を呼び出します。 :

断片
- ランダムな値、その後の推定値 (評価されたパラメータにより - 落ちない、決定論的な値）と、SV X と数値 n の除算の法則に基づく落ちない値。

痕跡の評価の正確さは、個々の値によって判断されるべきではなく、むしろ、評価のサンプル分割から、大規模なテスト全体にわたる値の分割によって判断されるべきです。

評価にはどのような意義があるのでしょうか? パラメータの真の値に集中する , この場合、評価のサンプリングセクションの質量の大部分は、推定パラメータのごく一部に集中します。 , そうすれば、自信を持って、その評価を考慮に入れることができます。パラメータによって変わります少量ずつ減ります。だからこそ重要なのですに近かった明らかに、規模の縮小を達成する必要があります。書道 , たとえば、推定パラメータからの推定値の 2 乗の数学的計算によって表されるように、
, 小さくすることは可能でした。これが「最高」の評価に満足しなければならない主な心です。