Geometrijske figure. Piramida je skrajšana

Razumeti piramido

Imenovanje 1

Geometrijski lik, okrašen z bagatokutnikom in konico, ki ne bi smel ležati v bližini ravne, da bi se maščeval temu bugabu, se imenuje piramida (slika 1).

Bagatokutnik, iz katerega je zložena piramida, se imenuje osnova piramide, ki je, ko sta povezana s konico, trikutniki robovi piramide, stranice trikutnikov so stranice piramide in točka, ki je za vse trikutnike najpomembnejša, je vrh piramide.

Poglejte piramido

Praha, v obliki majhne količine kutivov na dnu piramide її, lahko imenujemo trikutnaya, chotirikutnaya tanko (slika 2).

Dojenček 2.

Še ena vrsta piramid - piramida je pravilna.

Predstavimo, da prinesemo moč na pravo piramido.

Izrek 1

Brki bichni obrazi pravilnih piramid z rіvnofemoralnimi trikoti, yakі rіvnі med seboj.

Prinašanje.

Oglejmo si običajno piramido $n-$boomed z vrhom $S$ kodra $h=SO$. Opišimo z nekaj besedami osnovo kolo (slika 4).

Dojenček 4.

Oglejmo si tricutnik $SOA$. Za Pitagorov izrek vzamemo

Očitno je, da je tako pomembno biti bіchne rebro. Otzhe, vsa bіchnі rebra so enaki med seboj, tako da vsi bіchnі obrazi rіvnofemoralne trikote. Recimo, da smrdijo med seboj. Osnova oskіlki je pravilen bagatokutnik, potem so temelji vseh bіchnih obrazov enaki med seboj. Otzhe, vse bіchnі vіchnі bіchnі vіdіvnyuyut za III znak mirnosti trikutnikіv.

Izrek je zaključen.

Uvedemo zdaj tako imenovanje, vezano na razumevanje pravilne piramide.

Imenovanje 3

Apotem desne piramide se imenuje višina roba bіchnoi.

Očitno je, da so za izrekom vsi apotemi med seboj enakovredni.

2. izrek

Območje kvadrata na površini pravilne piramide je prikazano kot dobutok na obodu osnove apoteme.

Prinašanje.

Pomembno je, da je stran osnove $n-$ grobe piramide skozi $a$ in apotema skozi $d$. Otzhe, kvadrat bіchnoi meja dorivnyuє

Torej so po izreku 1 vse strani enake

Izrek je zaključen.

Druga vrsta piramide je okrnjena piramida.

Imenovanje 4

Če narišete ravnino skozi veliko piramido, vzporedno z njeno osnovo, nato stojite, postavljeno med to ravnino, se ta ravnina osnove imenuje okrnjena piramida (slika 5).

Malyunok 5

Stranske ploskve okrnjene piramide so trapezne.

3. izrek

Območje kvadrata na površini desne piramide je prikazano kot sumi sumi nap_perimeter_v, ki utemeljuje apotemo.

Prinašanje.

Pomembno je, da so stranice temeljev $n-$vugіlnoї piramide skozi $a\ і \ b$ jasne, apotema pa skozi $d$. Otzhe, kvadrat bіchnoi meja dorivnyuє

Oskіlki vsі bіchnі strani rіvnі, potem

Izrek je zaključen.

rit upravitelja

zadnjica 1

Poznajte površino kvadrata površine okrnjene trikotne piramide, saj je od pravilne piramide na strani osnove 4 in apotema 5 odrezana s potjo z ravnino, ki poteka skozi srednjo črto obrazi hroščev.

Rešitev.

Po izreku o srednji črti se upošteva, da je zgornja osnova okrnjene piramide $4\cdot \frac(1)(2)=2$, apotem pa $5\cdot \frac(1) (2) = 2,5 $.

Nato po izreku 3 vzamemo

upravitelj

Rešitev.

Piramida temelji na ravno rezanem trikutniku. Zgoraj opisano središče količka ravnega kroja triko ležati na hipotenuzi joge. Vidpovidno, AB = 10 cm, AO = 5 cm.

Višina Oskіlki ON \u003d 12 cm, potem je velikost reber AN in NB več
AN 2 = AO 2 + ON 2
AN 2 = 5 2 + 12 2
AN = √169
AN=13

Oskіlki nam vіdoma vrednost AO = OB = 5 cm in vrednost enega od krakov osnove (8 cm), nato višina, spuščena na hipotenuzo, več
CB2 = CO2 + OB2
64 = CO2 + 25
CO2 = 39
CO = √39

Jasno je, da je vrednost roba CN pravilna
CN 2 \u003d CO 2 + NO 2
CN 2 = 39 + 144
CN = √183

Vidpovid: 13, 13 , √183

upravitelj

Rešitev.
Prostornina piramide je znana po formuli:
V = 1/3 Sh

Površina osnove je znana po formuli za površino kvadrata pravokotnega trikota:
S = ab / 2 = 8 * 6 / 2 = 24
zvezde
V \u003d 1/3 * 24 * 10 \u003d 80 cm 3.

piramida imenovan bagatokutnik, eden od obrazov neke vrste bagatokutnika ( temelj ), vsi ostali obrazi pa so trikutniki s špičastim vrhom ( bični faseti ) (slika 15). Piramida se imenuje pravilno її osnova je pravilni bagatokutnik, vrh piramide pa je projiciran v središče osnove (slika 16). Trikutna piramida, ki ima vsa rebra enaka, se imenuje tetraeder .

Stransko rebro piramida se imenuje stran bіchnoi fasete, tako da ni mogoče postaviti temeljev visoko piramide se imenujejo od vrha do dna osnove. Brki reber so pravilni, piramide so med seboj enake, vsi stranski robovi so enaki, enaki in stegneni. Višina bіchnі vanі pravilne piramide, potegnjena z vrha, se imenuje apotem . Diagonalna rebra Imenuje se obod piramide kot plošča, ki poteka skozi dve bični rebri, tako da se ena stran ne prekriva.

Območje površine bukve piramide imenujemo vsota površin gorčičnih obrazov. Popolnoma ravna površina se imenuje vsota površine ​​usіh bіchnyh obrazov in utemeljitev.

Teoremi

1. Kar zadeva piramido, so vsa rebra enaka ravnini osnove, nato se vrh piramide projicira v središče kolčka opisane osnove.

2. Ker so v piramidi vsa rebra enaka, se vrh piramide projicira v središče kolčka opisane osnove.

3. Tako kot pri piramidi so vse ploskve sode na ravnino osnove, nato se vrh piramide projicira v središče kolčka, vpisanega v osnovo.

Za izračun obvezne dajatve zadostne piramide je formula:

de V- Preklinjati;

S glavni- osnovna površina;

H- Višina piramide.

Za pravilno piramido pravilne formule:

de str- obod osnove;

h a- Apothem;

H- Visota;

S obnoviti

S bik

S glavni- osnovna površina;

V- O pravi piramidi.

okrnjena piramida del piramide se imenuje, položen med osnovo in enako ravno, vzporedno z osnovo piramide (slika 17). Pravilna okrnjena piramida del desne piramide se imenuje, položen med osnovo in isto ravno, vzporedno z osnovo piramide.

Pošlji zrіzanoї pyramіdі – podіbnі bagatokutniki. Bični faseti - Trapez. visoko okrnjena piramida se imenuje kot mіzh її osnove. Diagonalno okrnjena piramida se imenuje vіdrіzok, scho z'ednuє її oglišča, ki ne ležijo v eni strani. Diagonalna rebra Imenuje se obod okrnjene piramide kot ploskev, ki poteka skozi dve bični rebri, tako da se ena stran ne prekriva.

Za okrnjeno piramido veljajo formule:

(4)

de S 1 , S 2 - območja zgornje in spodnje podlage;

S obnoviti- Površina;

S bik- površina bіčne površine;

H- Visota;

V- Prostornina vidne piramide.

Za pravilno okrnjeno piramido je pravilna formula:

de str 1 , str 2 - obod baz;

h a- Apotem pravilne okrnjene piramide.

primer 1. Pravilna trikotna piramida ima dvostranski kut z nastavitvijo 60 º. Poznajte tangento reza bočnega roba na osnovno površino.

Rešitev. Zrobimo risba (slika 18).

Piramida je torej pravilna v osnovi enakostranskega trikota in vseh stranskih ploskvah enakega in enako stegnenega trikota. Dvostranski kut na dnu - tse kut nahil bіchnoї vіchnі vіramіdi do ravnine osnove. Odrezan bo linearni rez a med dvema pravokotnicama: i. Vrh piramide je projiciran v sredino trikota (središče opisanega kolčka in vpisan kol v trikotu ABC). Kut nakhil stransko rebro (npr SB) - tse kut mіzh ob samem robu in yogo projekcijo na ravnino osnove. Za rebra SB tsim kutom bude kut SBD. Za poznavanje tangente je potrebno poznati katete TAKOі OB. Daj no dozhina vіdrіzka BD dorivnyu 3 ampak. Krapka Pro vіdrіzok BD razdeliti na dele: i Z znano TAKO: Vemo:

predlog:

zadnjica 2. Vedeti o pravilni viziji piramide v obliki chotiric, pa tudi o diagonah in temeljih stavbe, cm in cm, višina pa je 4 cm.

Rešitev. Za razumevanje prostornine vidne piramide jo pospešimo s formulo (4). Da bi poznali površine temeljev, je treba poznati stranice kvadratov-osnov, poznati njihove diagonale. Strani podstave sta enaki velikosti 2 cm in 8 cm.

predlog: 112 cm3.

primer 3. Poiščite površino kvadrata kvadrata pravilne trikotne okrnjene piramide, stranice osnov sta 10 cm in 4 cm, višina piramide pa 2 cm.

Rešitev. Zrobimo risba (slika 19).

Bična linija piramide je enakostranski trapez. Za izračun površine trapeza je potrebno poznati osnovo in višino. Nadomestek za um, ki ga preplavi nevidna višina. jo poznamo od de AMPAK 1 E pravokotno od točke AMPAK 1 na spodnjem delu osnove, A 1 D- Pravica h AMPAK 1 na AC. AMPAK 1 E= 2 divs, oskіlki tse višina piramide Za znakhodzhennya DE zrobimo dodatkovo malčke, na katerih je upodobljen pogled na zver (sl. 20). Krapka Pro- projekcija središč zgornje in spodnje baze. drobcev (razdel. sl. 20) in s spodnje strani v redu- polmer je vpisan v pecelj OM- Polmer, vpisan v številko:

MK=DE.

Za Pitagorejskim izrekom

Območje bichnoi fasete:

predlog:

zadnjica 4. Na dnu piramide leži enakomeren trapezij, katerega osnova ampakі b (a> b). Koža bіchna roba vzpostavi ravnost osnove piramidi kut enak j. Poznajte površino površine piramide.

Rešitev. Zrobimo risba (slika 21). Skupna površina piramide SABCD skupna površina in površina trapeza ABCD.

Takoj, ko je trdnost dosežena, če so stranice piramide enake ravnosti osnove, se vrh projicira v središče vpisane osnove kroga. Krapka Pro- Vertex projekcija S na podlagi piramide. Trikutnik SODє ortogonalna projekcija trikutnika CSD na osnovno območje. Za izrek o površini ortogonalne projekcije ravne figure vzamemo:

Podobno mislim V tem rangu je bil vodja dvignjen do znaka kvadrata trapeza. ABCD. Predstavljajte si trapez ABCD Okremo (slika 22). Krapka Pro- Središče je vpisano v trapez kola.

Torej, če lahko kolo vstavite v trapez, potem lahko Z v skladu s Pitagorovim izrekom

Bagatoeder, ki ima eno od obrazov - bagatokutnik, in vse druge ploskve - trikutnike s kronanega vrha, se imenuje piramida.

Il. Qi trikutniki, iz katerih je zložena piramida bіchnymi obrazi, in bagatokutnik, ki se je zataknil - osnova piramide.

Na dnu piramide je geometrijski lik - n-kutnik. V tem času se piramida imenuje bolj n-okrogla.

Trikutnu piramido, vsa rebra so enaka, klic tetraeder.

Rebra piramide, ki se ne prekrivajo s temeljem, se imenujejo bichnimi, а их vroča točka– ce vertex piramide. Treba je imenovati druga rebra piramide polnjenje strank.

Poimenujte piramido pravilno, tako da pravi bagatokutnik leži v osnovi, vsa stranska rebra pa so med seboj enaka.

Vstanite od vrha piramide do ravne podlage, ki se imenuje kodri piramide. Lahko rečemo, da je višina piramide navpična, pravokotna na osnovo, katere konca sta na vrhu piramide in na ravni podlagi.

Ne glede na to, kakšna je piramida, obstajajo takšne formule:

1) S surf = S bik + S glavni, de

S povniy - površina povnoi površine piramide;

S bіk - območje bіchnoї surfnі, tobto. vsota površine stranic piramide;

S glavni - območje dna piramide.

2) V = 1/3 S glavni N, de

V - obsyag piramida;

H - višina piramide.

Za pravilne piramide lahko postavi:

S bik \u003d 1/2 P glavni h, de

P glavni - obod osnove piramide;

h - dozhina apothemi, to je douzhina višine bіchnoi fasete, spuščena z vrha piramide.

Del piramide, položen med dvema ploščama - ploskovno osnovo in ravnino osnove, vzporedno z osnovo, se imenuje okrnjena piramida.

Osnova piramide in obod piramide se imenujeta vzporedna ravnina premalo osebja okrnjena piramida. Poimenujte druge obraze bichnimi. Vіdstan mіzh imenuje stanovanja temeljev kodri okrnjena piramida. Rebra, ki ne ležijo na nosilcih, se imenujejo bichnimi.

Poleg tega temelji okrnjene piramide podobni n-rezalci. Ker so temelji velike piramide pravilne bagete in so vsa stranska rebra med seboj enaka, se tako velika piramida imenuje pravilno.

Za precej okrnjena piramida ima lahko naslednje formule:

1) S rep = S bik + S 1 + S 2, de

S povny - območje povnoї surf;

S bіk - območje bіchnoї surfnі, tobto. vsota površine gorčičnih obrazov okrnjene piramide, kot je trapez;

S 1, S 2 - površine baz;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 S 2))H, de

V - obsyag okrnjena piramida;

H - višina okrnjene piramide.

Za pravilna okrnjena piramida torej morda:

S bik \u003d 1/2 (P 1 + P 2) h, de

P 1 , P 2 - obodne baze;

h - apotema (višina roba bіchnoї, shcho є trapezіy).

Poglejmo si glavo okrnjene piramide.

1. naloga.

Trikotna okrnjena piramida ima višino, ki je 10, stranice istih osnov so 27, 29 in 52. Izberite prostornino okrnjene piramide, saj je obseg druge osnove 72.

Rešitev.

Skrajšana piramida ABCA 1 B 1 C 1, upodobljena na dojenček 1.

1. Obyag zrіzanoї piramidi je morda znanje za formulo

V \u003d 1 / 3H (S 1 + S 2 + √ (S 1 S 2)), de S 1 - območje ene od postaj, lahko poznate po Heronovi formuli

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

Ker naloga dobi tri strani trikota.

Maemo: p 1 = (27 + 29 + 52) / 2 \u003d 54.

S 1 \u003d √ (54 (54 - 27) (54 - 29) (54 - 52)) \u003d √ (54 27 25 2) = 270.

2. Piramida je okrnjena, nato pa v temeljih ležijo kot hrošči. V našem primeru je triko ABC podoben trikotu A 1 B 1 C 1. Poleg tega je koeficient podobnosti lahko znan kot razmerje obodov trikotov, ki jih gledamo, in razmerje njihovih površin bo podobno kvadratu koeficienta. V tem vrstnem redu morda:

S 1 / S 2 = (P 1) 2 / (P 2) 2 = 108 2 / 72 2 \u003d 9/4. Zvezde S 2 \u003d 4S 1 / 9 \u003d 4 270/9 = 120.

Prav tako je V = 1/3 10 (270 + 120 + √ (270 120)) = 1900.

Datum: 1900.

2. naloga.

Pri trikotnem pogledu na piramido je bila skozi stran zgornjega podstavka narisana ravnina, vzporedna s protilaznim stranskim rebrom. Za koga vіdnoshennі vіdnoshenі vіdnosіvsya vіznag zіzanoї pyramіdі, yakshcho vіdpovіdnі strani pіdstav vіdnosіtsya kot 1:2?

Rešitev.

Poglejmo ABCA 1 B 1 Z 1 - skrajšano piramido, upodobljeno na Mal. 2.

Ker so v osnovah strani videti kot 1:2, potem so površine baz videti kot 1:4 (triko ABC je podoben trikotu A 1 B 1 C 1).

Todі obsyag okrnjen pіramіdi dorіvnyuє:

V \u003d 1/3h (S 1 + S 2 + √ (S 1 S 2)) = 1/3 h (4S 2 + S 2 + 2S 2) \u003d 7/3 h S 2, de S 2 - Površina zgornje osnove, h - višina.

Ale obsyag prizma ADEA 1 B 1 C 1 postane V 1 \u003d S 2 h i, nato,

V 2 = V - V 1 = 7/3 h S 2 - h S 2 = 4/3 h S 2.

Tudi V2: V1 = 3:4.

Razsodba: 3:4.

3. naloga.

Strani osnov pravilne okrnjene piramide sta 2 in 1, višina pa 3. Skozi točko prečke diagonal piramide, vzporedno z osnovami piramide, je narisana ploska, ki deli piramido. na dva dela. Vedite o negi kože od njih.

Rešitev.

Piramida ABCDА 1 В 1 З 1 D 1, prikazana na Mal. 3.

Pomembno O 1 O 2 = x, nato OO₂ = O 1 O - O 1 O 2 = 3 - x.

Poglejmo si trikota V 1 Pro 2 D 1 in trikuta VO 2 D:

rez B 1 Pro 2 D 1 stari rez 2 D kot navpično;

rez BDO 2 dober rez D 1 B 1 O 2 i rez O 2 ВD stari rez B 1 D 1 O 2 radi ležijo drug ob drugem pri B 1 D 1 || BD in običajni B₁D in BD₁ so verjetni.

Otzhe, trikutnik B 1 Pro 2 D 1 podoben trikutnik VO 2 D in je lahko na isti strani:

B1D 1 / BD \u003d O 1 O 2 / O 2 ali 1/2 = x / (x - 3), zvezde x \u003d 1.

Vidna sta trikota B 1 D 1 in trikota LO 2 B: kut B je vroč in tudi par enostranskih kutіv pri B 1 D 1 || LM, kasneje, triko B 1 D 1 Podobno kot triko LO 2 B, zvezde B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, potem.

LO 2 = 2/3 B 1 D 1, LN \u003d 4/3 B 1 D 1.

Potem S KLMN \u003d 16/9 S A 1 B 1 C 1 D 1 \u003d 16/9.

Tudi V 1 = 1/3 2 (4 + 16/9 + 8/3) \u003d 152/27.

V 2 \u003d 1/3 1 (16/9 + 1 + 4/3) \u003d 37/27.

Vidpovid: 152/27; 37/27.

mestu, s popolno ali zasebno kopijo gradiva, poslano na izvirnik obov'yazkove.

in sіchnoy ravno, jak vzporedno z njeno bazo.

Z drugimi besedami: okrnjena piramida- to je tako bogata, ki je piramida in njena peretina, vzporedna s temeljem.

Peretin, ki vzporedno z osnovo piramide deli piramido na 2 dela. Del piramide med bazo in peretino - tse okrnjena piramida.

Ta rez za okrnjeno piramido je ena od podstanic piramide.

Sprehodite se med bazami okrnjene piramide višina okrnjene piramide.

Piramida se bo skrajšala pravilnoče je bila tudi piramida, za katero je bila odvzeta, pravilna.

Višina trapezne fasete pravilne okrnjene piramide apotem pravilna okrnjena piramida.

Moč okrnjene piramide.

1. Koža bіchna meja pravilne zrіzanoї piramide z enakostranskimi trapezi enake velikosti.

2. Predstavite velike piramide s podobnimi hrošči.

3. Rebra desne piramide so lahko enaka velikosti in se po dolžini raztrgajo do dna piramide.

4. Bіchnі vіchnі vіchіchenої pyramіdі є trapezіyami.

5. Dvostranski kuti s stranskimi rebri pravilne piramide so lahko enaki po velikosti.

6. Odstranitev površine temeljev: S 2 / S 1 \u003d k 2.

Formule za okrnjeno piramido.

Za lepo piramido:

Prostornina okrnjene piramide je 1/3 višine h (OS) na celotno površino zgornje osnove S1 (abcde), spodnja osnova okrnjene piramide S2 (ABCDE) tisto povprečno sorazmerje med njima.

Volumen piramide:

de S1, S2- kvadratni pidstav,

h- Višina vidne piramide.

Kvadratna površina dorіvnyuє skupne površine bіchnyh obrazov okrnjene piramide.

Za pravilno okrnjeno piramido:

Pravilen pogled na piramido- bagatoeder, ki ga sestavljata pravilna piramida in njena peretina, ki je vzporedna s temeljem.

Ali so kvadrati bіchnі površine pravilne okrnjene pіrаmіdі dоrіvnyuє? dobutku sumi perimeters її baze in apothem.

de S1, S2- kvadratni pidstav,

φ - Dvostranski rez dna piramide.

CH je visoka prirezana piramida, P1і P2- obod baz, S1і S2- maidans pіdstav, S bik- površina bične površine, S obnoviti- Ravna površina:

Peretinova piramida z ravno, vzporedno z osnovo.

Peretin piramide je raven, tako da je vzporedno z oporniki (pravokotno na višino) višina navpičnih reber piramide na proporcionalnih rebrih.

Peretin piramide je raven, saj je vzporeden z njeno osnovo (pravokotno na višino) - to je bagatokutnik, ki je podoben dnu piramide, s katerim je koeficient podobnosti teh bagatokutnik_v vіdpovіdaє vіdnoshennia їх vіdstanі vіd piramіdі.

Kvadrati obodov, kot da so vzporedni z osnovo piramide, se v pogledu na vrh piramide zdijo kot kvadrati svojih oken.