ในระบบเลขสองหลักนั้นมีเพียงเลข 0 และ 1 สองหลักเท่านั้น กล่าวคือ สองตัวนี้เป็นฐานของระบบเลขสองหลัก (คล้ายกับสับเซต 10 ในระบบสิบ)

เพื่อเริ่มเข้าใจตัวเลขในระบบเลขสองหลัก มาดูกันก่อนว่าตัวเลขนั้นเกิดขึ้นได้อย่างไรในระบบเลขสิบซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับเรา

ในระบบเลขสิบ ตัวเลขจะจัดเรียงเป็นสิบหลัก (ตั้งแต่ 0 ถึง 9) หากแถวถึง 9 จะมีการแนะนำอันดับใหม่ (สิบ) และอันดับจะถูกรีเซ็ตและแถวจะเริ่มต้นอีกครั้ง หลังจาก 19 หลักหลักสิบจะเพิ่มขึ้น 1 และหลักสิบจะถูกรีเซ็ตเป็นศูนย์อีกครั้ง และอื่นๆ หากหลักสิบถึง 9 หมวดที่สามจะปรากฏขึ้น - หลายร้อย

ระบบ DVIIKOVA ของ NUBLISHIC ANALICH ใน THE IN THE FORMUNITY NUSTURAL TREE สำหรับการสร้างไซล์ของสัญญาณ DVI-Cyphri: 0 I 1. Yak Tilki Roser Dosyaga (Tobto Odinitni), Zylyavlyavia the New Rose, อันเก่า

มาลองเข้าระบบคู่กัน:
0 - ซีเป็นศูนย์
1 - ไม่ใช่หนึ่ง (อันหนึ่งไม่เหมือนกัน)
10 - ไม่ใช่สอง
11 - tse สาม (และขอบเขตใหม่)
100 - ทีเซ โชติรี
101 - ห้า
110 - หก
111 - s_m ฉัน ฯลฯ

การแปลงตัวเลขจากระบบเลขสองหลักเป็นสิบ

ไม่ใช่เรื่องสำคัญที่จะต้องทราบว่าในระบบคู่ คาดว่าจำนวนเลขคู่จะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว แล้วแกนหมายถึงอะไร: 10001001? สมองของมนุษย์ซึ่งเขียนตัวเลขในรูปแบบนี้ไม่สามารถเข้าใจได้ว่ามันมากแค่ไหน การแปลงตัวเลขจากสองเป็นสิบเป็นความคิดที่ไม่ดี

ในระบบหลักสิบ สามารถแสดงตัวเลขในรูปแบบผลรวมได้ เช่น หนึ่ง สิบ ร้อย เป็นต้น ตัวอย่างเช่น:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

สิ่งสำคัญคือต้องชื่นชมรายการนี้ ตัวเลขเหล่านี้คือ 1, 4, 7 และ 6 - โดยการหมุนหมายเลขที่เกิดจากหมายเลข 1476 ตัวเลขทั้งหมดนี้คูณด้วย 10 จนถึงระดับเดียวกัน สิบเป็นสับเซตของระบบเลขสิบ ขั้นตอนที่สิบลดลงคือหลักของตัวเลขลบหนึ่ง

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถแบ่งตัวเลขออกเป็นสองส่วนได้ คุณจะหลับที่นี่เท่านั้น 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

ดังนั้นตัวเลข 10001001 บนพื้นฐานของ 2 จึงคล้ายกับตัวเลข 137 บนพื้นฐานของ 10 คุณสามารถเขียนได้ดังนี้:

10001001 2 = 137 10

เหตุใดระบบการนับสองจึงกว้างมาก

ด้านขวาคือระบบตัวเลขสองระบบเป็นพื้นฐานของเทคโนโลยีตัวเลข หมายเลขผิวหนังเป็นเรื่องที่ต้องตำหนิ แต่ปรากฏอยู่บนจมูก หากมีระบบหลักสิบก็สามารถสร้างอุปกรณ์ดังกล่าวได้ในสิบประเทศ มันซับซ้อน.

การเตรียมองค์ประกอบทางกายภาพที่สามารถใช้ในสองขั้นตอนได้ง่ายกว่า (เช่น ทั้ง stuma และทั้ง stuma) นี่เป็นหนึ่งในเหตุผลหลักว่าทำไมระบบตัวเลขสองชั้นจึงให้ความเคารพอย่างมาก

แปลงสิบเป็นดิวซ์

คุณอาจต้องแปลงเลขสิบเป็นสอง วิธีหนึ่งคือการหารด้วยสองแล้วสร้างจำนวนสองเท่าจากส่วนที่เกิน ตัวอย่างเช่น คุณต้องลบรายการที่สองออกจากหมายเลข 77:
77/2 = 38 (พิเศษ 1 รายการ)
38/2 = 19 (เกิน 0)
19/2 = 9 (เกินดุล 1 รายการ)
9/2 = 4 (พิเศษ 1 รายการ)
4/2 = 2 (เกิน 0)
2/2 = 1 (เกิน 0)

1/2 = 0 (เพิ่ม 1 รายการ)

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

เรารวบรวมส่วนเกินทันทีโดยเริ่มจากจุดสิ้นสุด: 1001101 นี่คือหมายเลข 77 ในการยื่นแบบคู่ มาตรวจสอบอีกครั้ง: ลองดูหัวข้อที่สำคัญที่สุดด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์ - โปรแกรมของโรงเรียนกำลังเปิดกว้างเพื่อจบแบบ "พอประมาณ" มากกว่าทุกสิ่ง เนื่องจากขาดเวลาหลายปีในการจัดสรร ความรู้เรื่องนี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ, є การแปลงระบบตัวเลขสมอง obov'yazkovoy เพื่อความสำเร็จเอ็ดดี้ และผมจะเข้าคณะมัธยมศึกษาก่อนสถาบันอุดมศึกษา ต่ำกว่าอันดับการรายงาน แนวคิดเช่นระบบจำนวนตำแหน่งและไม่ใช่ตำแหน่ง ,แนะนำการประยุกต์ใช้ระบบตัวเลขเหล่านี้, กฎการแปลเลขสิบเต็ม, ถูกต้องเศษส่วนนับสิบ และการผสมเลขสิบเข้ากับระบบตัวเลขอื่น ๆ โดยการแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขใด ๆ ให้เป็นสิบ แปลงจากระบบเลขฐานสิบและเลขฐานสิบหกเป็นระบบเลขคู่ ในระหว่างการวิจัย มีวิชาจำนวนมากมุ่งเน้นไปที่หัวข้อนี้ การเลือกอย่างชาญฉลาดเป็นประโยชน์ประการหนึ่งสำหรับผู้สมัคร เร็วๆ นี้: เกือบทุกอย่างจะถูกนำเสนอในทุกหัวข้อในส่วนนี้ นอกเหนือจากเนื้อหารายงานเชิงทฤษฎี ตัวเลือกที่เป็นไปได้งาน สำหรับการฉีดวัคซีนอิสระ -นอกจากนี้ คุณจะมีโอกาสนำเข้าไฟล์จากบริการโฮสต์ไฟล์โดยไม่เสียค่าใช้จ่ายใดๆ เลย รายงานการตัดสินใจสู่ตำนานที่แสดงให้เห็น

วิธีทางที่แตกต่าง

การถอดประเภทที่ถูกต้องระบบตัวเลขตำแหน่ง

ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง

ในที่นี้ตัวอักษร V ย่อมาจาก 5 โดยไม่คำนึงถึงตำแหน่งของตัวอักษร อย่างไรก็ตาม มันง่ายที่จะเดาว่าระบบเลขโรมันต้องการอะไร และตัวอย่างคลาสสิกของระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งนั้นไม่ใช่ไม่ใช่ตำแหน่งทั้งหมด เนื่องจากตัวเลขที่เล็กกว่าซึ่งมาก่อนตัวเลขที่ใหญ่กว่านั้นจะได้มา:

ระบบตัวเลขอาชีว

ระบบตัวเลขตำแหน่ง- ระบบตัวเลข ซึ่งจำนวนที่มีนัยสำคัญอยู่ในตำแหน่งที่การเติบโตของจำนวน

ตัวอย่างเช่นหากเรากำลังพูดถึงระบบเลขสิบในหมายเลข 700 หมายเลข 7 หมายถึง "เจ็ดร้อย" ในขณะที่หมายเลขเดียวกันในหมายเลข 71 หมายถึง "เจ็ดสิบ" และในหมายเลข 7020 - "เจ็ดพัน" ".

ผิว ระบบหมายเลขตำแหน่งฉันมีของตัวเอง พื้นฐาน-

ในช่องว่างของตัวสำรอง จะต้องเลือกจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนที่มากกว่าหรือสูงกว่า มีจำนวนหลักที่แตกต่างกันหลายหลักที่ใช้ในระบบตัวเลขนี้
• ตัวอย่างเช่น:ดวีโควา
• - ระบบตัวเลขตำแหน่งตามฐาน 2ควอเตอร์นารี
• - ระบบเลขตำแหน่งตามฐาน 4ห้าเท่า
• - ระบบตัวเลขตำแหน่งตามฐาน 5วิซิมโควา
• - ระบบตัวเลขตำแหน่งตาม 8ชิสต์นัดสยัตโควา

- ระบบตัวเลขตำแหน่งตาม 16

เอฟ เป็นสิ่งสำคัญสำหรับชนชั้นสูงที่จะเข้าใจว่าตัวเลขปรากฏในระบบตัวเลขอย่างไร คุณสามารถเดาได้ว่ามีอะไรอยู่ในเมืองหลวง, สิบหก, ไตรภาคและอื่น ๆระบบตัวเลขตำแหน่ง

ทุกอย่างคำนวณในลักษณะเดียวกันกับระบบที่สิบของเรา:

มีการเพิ่มหมายเลขหนึ่งลงในหมายเลขและหมายเลขใหม่จะปรากฏขึ้น เนื่องจากเลขหลักหนึ่งกลายเป็นพื้นฐานดั้งเดิมของระบบตัวเลข เราจึงเพิ่มจำนวนหลักสิบด้วย 1 เป็นต้น “การเปลี่ยนแปลงของหนึ่ง” นี้เป็นสิ่งที่นักเรียนส่วนใหญ่พูดอย่างแน่นอน มันง่ายมากที่จะทำทุกอย่างให้เสร็จ การเปลี่ยนแปลงจะเกิดขึ้นหากการปลดปล่อยมีค่าเท่ากันฐานของระบบตัวเลข

เราเพิ่มจำนวนสิบขึ้น 1 ในความเป็นจริงเมื่อนึกถึงระบบสิบเก่าที่ดีเราจะหลงทางในตำแหน่งและในการเปลี่ยนแปลงนี้ทันทีแม้แต่สิบและตัวอย่างเช่นสองสิบ - สุนทรพจน์ที่แตกต่างกัน

ปรากฎว่านักวิทยาศาสตร์ที่ชาญฉลาดมี "วิธีการของตัวเอง" (พวกเขาฝึกฝน) เมื่อกรอกเช่นตารางความจริงคอลัมน์แรก (ค่าของค่าที่เปลี่ยนแปลงได้) ซึ่งอันที่จริงแล้วจะเต็มไปด้วยตัวเลขสองเท่า ตามลำดับที่เพิ่มขึ้น ส่วนก้นเรามาดูตัวเลขในกันดีกว่า: จนถึงเลขตัวแรก (0) บวก 1 ลบ 1 แล้วบวก 1 กับ 1 ลบ 2 เป็นต้น เป็น 7 ถ้าเราบวกหนึ่งเข้ากับ 7 เราจะลบตัวเลขออกจากฐานของระบบตัวเลข ทำให้เป็น 8 จากนั้นเราต้องเพิ่มหลักสิบทีละหนึ่ง (ลบฐานแปดสิบ - 10) ต่อไปคงเป็นเลข 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...

ควบคุมการโอนจากระบบตัวเลขหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง

1 การแปลงเลขสิบเต็มเป็นระบบเลขอื่นๆ

จะต้องแบ่งเป็นจำนวน ฐานใหม่ของระบบตัวเลข-

ส่วนเกินทุนตัวแรกจากการหารคือหลักที่อายุน้อยที่สุดแรกของตัวเลขใหม่ หากส่วนหนึ่งของการแบ่งมีขนาดเล็กกว่าหรือเก่ากว่าฐานใหม่ จะต้องแบ่งเป็นฐานใหม่อีกครั้ง ต้องเคี้ยวชิ้นส่วนจนกว่าความเป็นส่วนตัวของเฟรมใหม่จะถูกลบออก นี่คือหลักสูงสุดของตัวเลขใหม่ (โปรดจำไว้ว่าตัวอย่างเช่นในระบบสิบหกหลักหลังจาก 9 มีตัวอักษรดังนั้น 11 จึงถูกนับเป็นส่วนเกินคุณต้องเขียนเป็น B) .

ก้น ("podil kutochkom"): มาแปลงตัวเลข 173 10 เป็นระบบตัวเลขกันดีกว่า

ดังนั้น 173 10 = 255 8

2 การแปลงเศษส่วนสิบที่ถูกต้องให้เป็นระบบตัวเลขอื่นๆ

จำนวนจะต้องคูณด้วยฐานใหม่ของระบบตัวเลข หลักที่กลายเป็นทั้งส่วนคือหลักสูงสุดของส่วนยิงของหมายเลขใหม่ หากต้องการลบเลขนำหน้าออก ต้องคูณเศษส่วนของจำนวนที่ลบออกอีกครั้งด้วยฐานใหม่ของระบบตัวเลขจนกว่าจะเปลี่ยนไปใช้ทั้งส่วนได้ การคูณจะดำเนินต่อไปจนกว่าเศษส่วนของช็อตจะเท่ากับศูนย์หรือจนกว่าเราจะถึงความแม่นยำที่ระบุ ("... คำนวณด้วยความแม่นยำเช่นสองสัญญาณหลังอาการโคม่า")

ตัวอย่าง: ลองแปลงตัวเลข 0.65625 10 เป็นระบบตัวเลขกัน

ในหลักสูตรวิทยาการคอมพิวเตอร์ ไม่ว่าจะเป็นในโรงเรียนหรือมหาวิทยาลัย จะมีการเน้นเป็นพิเศษเกี่ยวกับแนวคิดเช่นระบบตัวเลข ตามกฎแล้ว มีบทเรียนเชิงปฏิบัติหลายบทเรียนที่ต้องสอน เป้าหมายหลักไม่ใช่เพียงเพื่อฝึกฝนแนวคิดพื้นฐาน เรียนรู้ประเภทของระบบตัวเลข แต่ยังทำความคุ้นเคยกับเลขคณิตสองเท่า หนัก และสิบหกด้วย

สิ่งนี้หมายความว่า?

เรามาดูความหมายของแนวคิดพื้นฐานกันดีกว่า ตามที่คู่มือ “สารสนเทศ” หมายความว่า ระบบตัวเลขคือการบันทึกตัวเลขซึ่งมีการสร้างตัวอักษรพิเศษหรือชุดตัวเลขพิเศษ

ในระบบตำแหน่ง ความหมายของตัวเลขจะเปลี่ยนพร้อมกันกับตำแหน่งของตัวเลข ดังนั้น หากคุณใช้หมายเลข 234 ตัวเลข 4 ในนั้นหมายถึงหนึ่ง ถ้าคุณดูที่หมายเลข 243 ตอนนี้ก็จะหมายถึงหลักสิบ ไม่ใช่หลัก

ในระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่ง ความหมายของตัวเลขจะเป็นค่าคงที่ โดยไม่ขึ้นกับตำแหน่งของตัวเลข ยิ่ง ก้นร้อน- ระบบพิน ซึ่งกำหนดหน่วยสกินสำหรับความเสี่ยงเพิ่มเติม ไม่สำคัญว่าคุณจะวางไม้ตรงไหน ค่าของตัวเลขจะเปลี่ยนทีละหนึ่ง

ระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่ง

ข้อมูลต่อไปนี้ใช้กับระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง:

1. ระบบมีเอกลักษณ์และถือว่าเป็นหนึ่งในระบบแรกๆ เธอใช้ไม้แทนตัวเลข ยิ่งมีมากเท่าใด ความสำคัญของตัวเลขก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น คุณสามารถดูตัวอย่างตัวเลขที่เขียนในลักษณะนี้ในภาพยนตร์เกี่ยวกับผู้คนที่จมอยู่ในทะเล ซึ่งหมายถึงการทำรอยบากบนหินหรือต้นไม้ทุกวัน
2. โรมัน ซึ่งใช้อักษรละตินแทนตัวเลข Vikoristovyuchi іхคุณสามารถเขียนตัวเลขใดก็ได้ ด้วยค่านี้ จะมีการคำนวณเพื่อหาผลรวมเพิ่มเติมและผลต่างของตัวเลขที่เกิดจากตัวเลขนั้น หากตัวเลขทางซ้ายน้อยกว่าตัวเลข ตัวเลขทางซ้ายจะถูกนำมารวมกันจากทางขวา และหากตัวเลขทางขวาน้อยกว่าตัวเลขโบราณ ค่าของพวกมันก็จะถูกนำมารวมกัน ตัวอย่างเช่น หมายเลข 11 เขียนเป็น XI และ 9 - IX
3. ตัวอักษรซึ่งกำหนดตัวเลขด้วยตัวอักษรเดียวกันทั้งภาษาและภาษา หนึ่งในนั้นคือระบบสโลวีเนีย ซึ่งชุดตัวอักษรไม่เพียงแต่การออกเสียงเท่านั้น แต่ยังมีความสำคัญเชิงตัวเลขด้วย
4. ในวิโกรีทุกครั้ง มีเพียงสองจุดประสงค์ในการบันทึก - เวดจ์และลูกศร
5. อียิปต์ยังได้พัฒนาสัญลักษณ์พิเศษสำหรับการกำหนดหมายเลขอีกด้วย เมื่อเขียนจำนวน kozhens สัญลักษณ์จะทำซ้ำไม่เกินเก้าครั้ง

ระบบตำแหน่ง

มีการให้ความเคารพอย่างสูงต่อระบบตัวเลขตำแหน่งในวิทยาการสารสนเทศ ต่อหน้าพวกเขามีสิ่งต่อไปนี้:

• ไบนารี่;
• ฐานแปด;
• สิบ;
• เลขฐานสิบหก;
• shestdesyatkova, vikorystuvana ในเวลา rahunku (ตัวอย่างเช่นใน khvilin - 60 วินาทีใน khvilin - 60 khvilin)

แต่ละคนมีตัวอักษรของตัวเองสำหรับการเขียนกฎการแปลและความยุ่งยากในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

สิบระบบ

ระบบนี้สำคัญที่สุดสำหรับเรา เธอใช้ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 ในการเขียนตัวเลข กลิ่นเหม็นเรียกอีกอย่างว่าอารบิก ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของหลักในตัวเลข ตัวเลขสามารถแสดงลำดับที่แตกต่างกันได้ - หลักสิบ หลักร้อย หลักพัน หรือหลักล้าน เราฝึกการคำนวณทุกที่ และเรารู้กฎพื้นฐานที่ใช้ควบคุมการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลข

ระบบคู่

หนึ่งในระบบตัวเลขหลักในวิทยาการสารสนเทศคือ dviykova ความเรียบง่ายนี้ช่วยให้คอมพิวเตอร์ทำการคำนวณที่ยุ่งยากได้หลายครั้ง ซึ่งน้อยกว่าในระบบที่สิบ

ในการบันทึกตัวเลขจะใช้เพียงสองหลักเท่านั้น - 0 และ 1 ในกรณีนี้ในตำแหน่ง 0 หรือ 1 ในตัวเลขค่าจะเปลี่ยนไป

ตั้งแต่เริ่มแรก ข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดถูกรวบรวมไว้ในคอมพิวเตอร์เอง ในกรณีนี้หมายถึงการมีสัญญาณที่ส่งผ่านแรงดันไฟฟ้าเพิ่มเติมและศูนย์หมายถึงไม่มีสัญญาณ

ระบบวิเซมโควา

ระบบตัวเลขคอมพิวเตอร์ยอดนิยมอีกระบบหนึ่งซึ่งประกอบด้วยตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 7 โดยอาศัยความรู้ที่เกี่ยวข้องกับอุปกรณ์ดิจิทัลเป็นหลัก อย่างไรก็ตาม เวลาที่เหลือจะใช้บ่อยน้อยกว่ามาก เนื่องจากถูกแทนที่ด้วยระบบเลขฐานสิบหก

ระบบสองสิบ

การส่งจำนวนมากในระบบคู่สำหรับคนเป็นกระบวนการที่ซับซ้อน สำหรับการให้อภัย yogo บูลา โรซโรเบลนา วิโคริสโตวูเอตยา มีซัซวิเชย์เข้ามา วันครบรอบอิเล็กทรอนิกส์, เครื่องคิดเลข. ในระบบนี้ จากระบบหลักสิบไปจนถึงระบบสอง หมายเลขทั้งหมดจะถูกแปลง แต่แต่ละหลักจะถูกโอนไปยังชุดสุดท้ายของศูนย์และหลักในระบบสอง การแปลงจากสองเป็นสิบระบบดำเนินการในลักษณะเดียวกัน หลักแต่ละหลักซึ่งแสดงด้วยชุดเลขศูนย์สี่หลักและหนึ่งชุด จะถูกแปลงเป็นระบบเลขหลักสิบ โดยหลักการแล้วไม่มีอะไรซับซ้อน

ในการทำงานกับตัวเลขในส่วนนี้ มีตารางของระบบตัวเลขที่จะระบุความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขและรหัสคู่

สิบหกระบบ

ปัจจุบัน ระบบเลข 16 กำลังได้รับความนิยมมากขึ้นในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงโปรแกรม มันไม่เพียงมีตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 เท่านั้น แต่ยังมีชุดตัวอักษรละติน - A, B, C, D, E, F

ในกรณีนี้ ตัวอักษรแต่ละตัวมีความหมายในตัวเอง ดังนั้น A = 10, B = 11, C = 12 และอื่นๆ หมายเลขสกินแสดงด้วยชุดอักขระสี่ตัว: 001F

การแปลตัวเลข: จากสิบเป็นสอง

การแปลในระบบตัวเลขเป็นไปตามกฎง่ายๆ วิธีที่พบบ่อยที่สุดคือการแปลงจากเลขสองเป็นระบบสิบ และอื่นๆ

ในการแปลงตัวเลขจากระบบสิบเป็นระบบสอง จำเป็นต้องหารด้วยฐานของระบบตัวเลขอย่างสม่ำเสมอ ซึ่งก็คือเลขสอง ในกรณีนี้ต้องแก้ไขส่วนเกินจากบริเวณผิวหนัง จึงจะดำเนินต่อไปจนมีส่วนเกินในหมวดไม่ต่ำกว่าหนึ่งหน่วย ดำเนินการคำนวณโดยเร็วที่สุด จากนั้นหลังจากลบส่วนเกินออกจากการหารแล้ว พวกมันจะถูกเพิ่มเข้าไปในแถวในลำดับย้อนกลับ

ตัวอย่างเช่น ลองแปลงเลข 9 ให้เป็นสองระบบ:

หารด้วย 9 เนื่องจากจำนวนไม่สามารถหารได้โดยไม่มีเศษ ดังนั้นเราจึงนำเลข 8 มา เศษจะเป็น 9 - 1 = 1

หลังจากหาร 8 ด้วย 2 เราก็ลบ 4 ฉันรู้ว่าการหารคือ yogo เนื่องจากตัวเลขหารลงตัวโดยไม่มีเศษ - มันถูกลบออกด้วยส่วนเกิน 4 - 4 = 0

เราทำการดำเนินการเดียวกันกับ 2 เราลบ 0 จากส่วนเกิน

เป็นผลให้เรามี 1

ไม่ว่าระบบเลขฐานย่อยจะเป็นเช่นไรก็ตาม การโอนตัวเลขจากสิบไปยังสิ่งอื่นใดเป็นไปตามหลักการหารตัวเลขบนพื้นฐานของระบบตำแหน่ง

การแปลตัวเลข: จากสองถึงสิบ

มันง่ายที่จะแปลงตัวเลข i เป็นระบบเลขสิบจากทั้งสอง สำหรับผู้ที่รู้กฎการบวกตัวเลขเป็นขั้นตอนก็เพียงพอแล้ว ในกรณีนี้ในขั้นตอนที่สอง

อัลกอริทึมสำหรับการเปลี่ยนความก้าวหน้า: แต่ละหลักจากรหัสของตัวเลขสองเท่าจะต้องคูณด้วยสองและสองตัวแรกจะอยู่ในระยะ m-1 ส่วนอีกตัว - m-2 และอื่น ๆ โดยที่ m คือจำนวนหลัก ในรหัส จากนั้นบวกผลลัพธ์ของการบวกลบด้วยจำนวนเต็ม

สำหรับเด็กนักเรียน อัลกอริทึมนี้สามารถอธิบายได้ง่ายกว่า:

สำหรับซัง เราจะเขียนหมายเลขสกินแล้วคูณด้วย 2 จากนั้นบวกขั้นตอนที่สองจากท้ายสุด โดยเริ่มจากศูนย์ จากนั้นเราก็บวกเลขเดียวกัน

เพื่อเป็นตัวอย่าง เราจะดูหมายเลข 1001 ที่เราลบออกไปก่อนหน้านี้ โดยแปลงเป็นระบบหลักสิบ และในขณะเดียวกันก็ตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณของเราด้วย

วิกลยาทติ เช จะมาในอันดับต่อไป:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

ก่อนที่จะเสร็จสิ้นกระบวนการนี้ ให้ตรวจสอบตารางด้วยตนเองในขั้นตอนที่ 2 จำเป็นต้องเปลี่ยนจำนวนชั่วโมงที่ต้องใช้ในการคำนวณ

ตัวเลือกการแปลอื่น ๆ

ในบางกรณี การโอนอาจอยู่ระหว่างระบบเลขสองถึงสิบหก หรือสองถึงสิบหก ในสถานการณ์นี้ คุณสามารถใช้ตารางพิเศษหรือเรียกใช้โปรแกรมเครื่องคิดเลขบนคอมพิวเตอร์ของคุณโดยเลือกตัวเลือก "โปรแกรมเมอร์" จากแท็บ

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

ไม่ว่าจะแสดงตัวเลขด้วยวิธีใดก็ตาม คุณสามารถคำนวณพื้นฐานให้เราได้ ซึ่งสามารถหาร คูณ บวก บวก เข้ากับระบบตัวเลขที่คุณเลือกได้ แน่นอนว่าแต่ละคนก็มีกฎของตัวเอง

ดังนั้นสำหรับระบบคู่จึงแยกโต๊ะศัลยกรรมผิวหนังของตัวเอง ตารางเดียวกันนี้ใช้ในระบบตำแหน่งอื่นๆ

การเรียนรู้ไม่ใช่เรื่องยาก เพียงแค่ผ่อนคลายและนำมันมาอยู่ใกล้แค่ปลายนิ้วก็เพียงพอแล้ว คุณยังสามารถใช้เครื่องคิดเลขบนพีซีของคุณได้อย่างรวดเร็ว

หัวข้อที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งในวิทยาการสารสนเทศคือระบบตัวเลข การรู้ถึงคุณค่าของการทำความเข้าใจอัลกอริธึมในการถ่ายโอนตัวเลขจากระบบหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่งจะช่วยให้มั่นใจได้ว่าคุณสามารถพัฒนาหัวข้อที่ซับซ้อนได้ เช่น อัลกอริทึมและการเขียนโปรแกรม และสามารถเขียนโปรแกรมแรกของคุณได้อย่างอิสระ

เคารพ 1

ข้อเท็จจริงทางประวัติศาสตร์ก็คือคำของพีทาโกรัสดับลง: "ทุกสิ่งคือตัวเลข" ซึ่งตอกย้ำบทบาทที่สำคัญของตัวเลขในกิจกรรมการปฏิบัติของผู้คน ใน ชีวิตประจำวันเราทุกคนต้องเผชิญกับตัวเลขนับไม่ถ้วน เช่น เลขรถ หมายเลขโทรศัพท์ ราคาในร้านค้า ขนาดงบประมาณของครอบครัว เป็นต้น ตัวเลขและตัวเลขมีอยู่ทั่วไปสำหรับเรา

ผู้คนมักจะจดบันทึกและจดตัวเลขในสมัยก่อน พวกเขายังบันทึกบางส่วนที่แตกต่างกันในเวลาเดียวกันตามกฎที่ต่างกัน ตัวเลขแสดงด้วยสัญลักษณ์ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป เรียกว่าตัวเลข

ค่า 1

ตัวเลข- เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้ในการเขียนตัวเลข

ในตอนแรกตัวเลขจะสอดคล้องกับรายการเหล่านี้ราวกับว่าเป็นการประกันภัยเกิน ด้วยการถือกำเนิดของการเขียน พวกมันจึงถูกรวมเข้าด้วยกันเป็นวัตถุและแนวคิดก็ปรากฏขึ้น จำนวนธรรมชาติ-

ตัวเลขเศษส่วนปรากฏขึ้นเมื่อความต้องการของผู้คนเริ่มเพิ่มขึ้นในปริมาณมาก และหน่วยของปริมาตร (มาตรฐาน) ไม่ได้ถูกลงทุนในปริมาณเป็นจำนวนเต็มเสมอไป ในอดีต แนวคิดเรื่องตัวเลขมักเกี่ยวข้องกับพัฒนาการของคณิตศาสตร์ แต่ปัจจุบัน แนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ไม่เพียงแต่รวมถึงวิทยาการคอมพิวเตอร์ด้วยก็มีความสำคัญเช่นกัน

วิเซนซา 2ตัวเลข

- นี่คือค่าเดียวกัน

ตัวเลขจะถูกรวมเข้าด้วยกันโดยใช้กฎพิเศษ การสังหารหมู่ประชาชนในระยะต่าง ๆ ของการพัฒนามนุษยชาติถูกกำหนดโดยกฎเหล่านี้ ทุกวันนี้เรียกว่าระบบตัวเลข

วิเซนซา 3ระบบตัวเลข

- นี่คือจำนวนทั้งสิ้นของเทคนิคและกฎเกณฑ์ในการแสดงตัวเลขโดยใช้สัญญาณดิจิทัล

ระบบจำนวนบวกและคูณ ระบบตัวเลข ในแง่ที่ง่ายกว่านั้น รวมถึงกฎที่ใช้อ่านและเขียนตัวเลข และกฎที่ใช้เขียนการกระทำเหนือตัวเลขเหล่านั้น สิ่งสำคัญคือต้องรู้สำหรับใครระบบตัวเลข ประเภทมีความแตกต่าง สารเติมแต่งі ระบบจำนวนทวีคูณ.

งาน สารเติมแต่งเป็นเรื่องปกติที่ตัวเลขแต่ละตัวจะมีความหมายของตัวเอง หากต้องการอ่านตัวเลข จำเป็นต้องบวกความหมายทั้งหมดของตัวเลขที่เลือกเข้าด้วยกัน ตัวอย่างเช่น:

$XXXXVI = 10 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 = $46

สำหรับอีกประเภทหนึ่งเป็นลักษณะที่ตัวเลขอาจมีความหมายแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับสถานที่เติบโตของตัวเลข

มัลยูนก 1.

(Іroglyphs ตามลำดับ: $2$, $1000$, $4$, $100$, $2$, $10$, $5$)

ในรายการนี้ อักษรอียิปต์โบราณ $ “2” $ ถูกใช้สองครั้ง และในแต่ละกรณีจะใช้ค่าที่แตกต่างกัน: $ “2000” $ และ $ “20” $

$2\cdot พัน + 4\cdot 100 + 2\cdot 10 + 5 = $2425

สำหรับระบบบวก (“สารเติมแต่ง”) จำเป็นต้องรู้สัญลักษณ์ตัวเลขทั้งหมดและความหมาย (มีมากถึง 4-5 สิบ) รวมถึงลำดับการบันทึก ตัวอย่างเช่น ในรูปแบบภาษาละติน หากเขียนตัวเลขที่น้อยกว่าก่อนตัวเลขที่ใหญ่กว่า จะดำเนินการแยกกัน และหากเขียนตามหลัง ให้เติม:

$IV = 5-1 = 4$

ระบบจำนวนตำแหน่งและไม่ใช่ตำแหน่ง

ระบบตัวเลขทุกประเภทแบ่งออกเป็น:

ตำแหน่ง;

ไม่ใช่ตำแหน่ง

การถอดประเภทที่ถูกต้องปรากฏตัวก่อนตำแหน่งนาน ที่เหลือก็เป็นผลมาจากพัฒนาการทางประวัติศาสตร์อันน่าทึ่งของระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง

ในระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่ง ตัวเลขของคุณไม่ได้อยู่กับตำแหน่งในตัวเลข ตัวอย่างเช่น ในระบบโรมัน ตัวเลขในตัวเลข $ XXI $ (ยี่สิบเอ็ด) และตัวเลข $ X $ ในทั้งสองตำแหน่งจะเท่ากับ $ 10 $

เคารพ 2

สัญญาณที่เห็นได้ชัดเจนของระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งคือการมีหลัก $ 0 $ อยู่ในนั้น เมื่อพัฒนากฎการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยตัวเลข จำเป็นต้องแนะนำสัญลักษณ์ $ “0” $ ซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่งในวิธีการนำเสนอตัวเลขที่ซับซ้อนที่สุด การปรากฏของ $ 0 $ ในชุดสัญลักษณ์ เช่น ตัวเลข บ่งบอกถึงที่มาของระบบหมายเลขตำแหน่ง ซึ่งค่าของแต่ละหลักบ่งบอกถึงตำแหน่งที่อยู่ในลำดับของตัวเลขที่แสดงถึงตัวเลข

ตัวอย่างเช่น การเขียน $56 หมายความว่าตัวเลขนี้สามารถแปลงเป็น $6 และ $5 สิบได้ หากคุณเปลี่ยนตำแหน่งของตัวเลข คุณสามารถลบตัวเลขอื่นได้ - $65$ ซึ่งประกอบด้วย $6$tens และ $5$one ตัวเลขของ $5 เปลี่ยนแปลงไป $10 และตัวเลขของ $6 เปลี่ยนแปลงไป $10

ในระบบตัวเลขเชิงตำแหน่งใดๆ ตัวเลขจะแสดงเป็นพหุนาม ตัวอย่างเช่น ตัวเลขที่สิบ $4367 $ ปรากฏเป็นพหุนาม:

$4367 = 4000 + 300 + 60 + 7 = 4\cdot 103 + 3\cdot 102 + 6\cdot 101 + 7\cdot 100 $,

โดยที่ $10$ เป็นฐานของระบบหลักสิบ

เคารพ 3

คุณลักษณะที่สำคัญของระบบตำแหน่งใดๆ ก็คือฐาน ซึ่งเป็นเครื่องหมายหรือสัญลักษณ์ต่างๆ จำนวนมากที่ใช้ในการแสดงตัวเลขในระบบนี้ กรอบงานระบบใช้เพื่ออธิบายคุณลักษณะเฉพาะของมัน

ระบบตัวเลขตำแหน่งคือ:

viconavchi (ขึ้นอยู่กับตัวเลขสองหลัก $ 0 $ และ $ 1 $);

ฐานแปด (ในการทดแทนมีตัวเลขตั้งแต่ $ 0 $ ถึง $ 7 $);

สิบ (ในการทดแทนมีตัวเลขตั้งแต่ $ 0 $ ถึง $ 9 $);

เลขฐานสิบหก (แทนที่ตัวเลขจาก $ 0 $ ถึง $ 9 $ และตัวอักษร $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ F $);

Pyatirkova (ในการทดแทนมีตัวเลขตั้งแต่ $ 0 $ ถึง $ 4 $ ซึ่งได้รับชัยชนะในจีนในขณะนี้);

dvenadtsyatkova (ล้าสมัย vikorivovalsya บน cob $ XX $ ร้อย)

ขึ้นอยู่กับ ระบบเลขคู่หุ่นยนต์ของเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ทั้งหมดเปิดใช้งาน ดังนั้นตัวเลข $0 หมายความว่ามีสัญญาณอยู่ ดังนั้นจึง "ปิดการใช้งาน" และ $1 หมายความว่าสัญญาณเปิดอยู่ ดังนั้นจึงเปิดอยู่

- ระบบตัวเลขตำแหน่งตามฐาน 5і ระบบเลขฐานสิบหกยังใช้ในเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ด้วย (เช่น เพื่อจัดระเบียบการถ่ายโอนข้อมูลผ่านคอมพิวเตอร์)

ระบบเลขสิบเราเข้าใจในชีวิตประจำวันว่าระบบการคำนวณ "อาหรับ" ของเรามีพื้นฐานจากตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 ดอลลาร์

ประวัติความเป็นมาของตัวเลขเหล่านี้ค่อนข้างน่าสับสน เป็นที่แน่ชัดว่ากลิ่นเหม็นดังกล่าวปรากฏต่อนักดาราศาสตร์สมัยโบราณทันที และจากการหลอกลวงของพวกเขาด้วย

เห็นได้ชัดว่าในระบบตัวเลขของชาวบาบิโลนมีสัญญาณที่บ่งบอกถึงอันดับที่ขาดหายไป Pid $ II $ ร้อย BC นักดาราศาสตร์ชาวกรีกได้ตระหนักถึงข้อควรระวังเหล่านี้ กลิ่นเหม็นกลายเป็น vikorystuvat ฉันจะให้ระบบแก่คุณอย่างไรก็ตาม number ตัวเลขทั้งหมดไม่ได้แสดงด้วยลิ่ม เหมือนชาวบาบิโลน แต่ใช้การนับตามตัวอักษร (เศษส่วนในระบบเลขฐานทางเพศของชาวบาบิโลน) นักดาราศาสตร์ชาวกรีกเป็นตัวแทนของอันดับศูนย์ด้วยสัญลักษณ์ $ “0” $ (อักษรตัวแรกของคำภาษากรีก Ouden - ไม่มีเลย)

เมื่อถึงคราวของ $ II $ i $ VI $ ร้อย นักดาราศาสตร์ชาวอินเดียค้นพบระบบเลขหกสิบของกรีกและรูปเลขศูนย์กรีกทรงกลม ชาวอินเดียผสมผสานหลักการของการนับเลขกรีกเข้ากับระบบการคูณสิบของจีน ด้วยเหตุนี้ พวกเขาจึงเริ่มกำหนดตัวเลขด้วยเครื่องหมายเดียว ตามธรรมเนียมในการนับเลขพราหมณ์ของอินเดียโบราณ ซึ่งกลายเป็นขั้นตอนสุดท้ายในระบบเลขสิบที่สร้างขึ้น

ผลงานอันน่าอัศจรรย์ของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียได้รับการยอมรับจากนักวิชาการชาวอาหรับ และ Al-Khorezm ในศตวรรษที่ 9 ได้เขียนหนังสือเรื่อง "The Indian Mystery of Rakhunki" ซึ่งอธิบายระบบตัวเลขสิบตำแหน่ง กฎง่ายๆ ที่ทำด้วยตนเองในการเพิ่มและแยกตัวเลขจำนวนมากที่บันทึกไว้ในระบบตำแหน่ง ทำให้ระบบนี้ได้รับความนิยมในหมู่พ่อค้าชาวยุโรปด้วยซ้ำ

ในศตวรรษที่ 12 ดอลลาร์ Juan จากเซบียาแปลหนังสือ “Indian Mystery of Rahunka” เป็นภาษาละติน และระบบ Rahunku ของอินเดียก็แพร่กระจายไปทั่วยุโรป และชิ้นส่วนของงานของ Al-Khorezm เขียนเป็นภาษาอาหรับจากนั้นจึงกำหนดชื่อที่ไม่ถูกต้องให้กับหมายเลขของอินเดียในยุโรป - "อาหรับ"-

ชาวอาหรับเรียกตัวเองว่าหมายเลขอินเดียและเลขคณิตตามระบบที่สิบ - แร็คอินเดีย

การเขียนตัวเลข “อารบิก” มีการเปลี่ยนแปลงมานานหลายปี งานเขียนที่เราได้รับการ vikorizing ได้รับการจัดตั้งขึ้นใน $ XVI $ ศตวรรษ

มัลยูนก 2. โดสิตเคยถูกปลุกปั่นอย่างกว้างขวางมาก่อนระบบเลขสิบสอง

-

ดูเหมือนมีผื่นที่นิ้วของฉัน rakhunok ถูกนำด้วยนิ้วมือที่ยิ่งใหญ่และ phalanges vikorist ของอีกสี่นิ้วทั้งหมด: รวมเป็น $ 12 $

เคารพ 4 องค์ประกอบของระบบนี้ใช้ในปัจจุบันในอังกฤษในระบบทางเข้า ($1 ฟุต = $12 นิ้ว) และในระบบเพนนี ($1 ชิลลิง = $12 เพนนี) องค์ประกอบของระบบเลขสิบสองมักปรากฏในชีวิตประจำวัน: ชุดน้ำชาและโต๊ะราคา 12 ดอลลาร์ต่อคนตัวเลขเข้า

ภาษาอังกฤษ

ตั้งแต่ $1$ ถึง $12$ คุณสามารถดูชื่อของคุณได้ และหมายเลขเหล่านี้มีอยู่ในสต็อก:

มัลยูนก 3.

สำหรับตัวเลขตั้งแต่ $ 13 $ ถึง $ 19 $ - จุดสิ้นสุดของบรรทัดคือ $ teen $ ตัวอย่างเช่น $15$ - $fiveteen$

เคารพ 5

ข้อได้เปรียบหลักของระบบตัวเลขตำแหน่งคือความสามารถในการเขียนตัวเลขจำนวนมากด้วยตัวเลขจำนวนน้อย รวมถึงทำให้การคำนวณการคำนวณทางคณิตศาสตร์ด้วยตัวเลขง่ายขึ้น

เข้า

ในแต่ละวัน ผู้คนมักติดอยู่กับตัวเลข เราจำหมายเลขรถประจำทางและโทรศัพท์ในร้าน

เราสนับสนุนการซื้อที่หลากหลาย รักษางบประมาณของครอบครัวเป็นรูเบิลและโกเปค (หนึ่งในร้อยของรูเบิล) เป็นต้น ตัวเลขตัวเลข กลิ่นเหม็นมีอยู่ทุกที่กับเรา

ระบบตัวเลขต่างๆ ที่มีอยู่ในอดีตและระบบที่กำลังใช้อยู่ในปัจจุบัน แบ่งออกเป็น 2 กลุ่ม คือ แบบมีตำแหน่งและไม่ใช่แบบมีตำแหน่ง ระบบหมายเลขตำแหน่งที่ละเอียดที่สุดคือระบบสำหรับการบันทึกตัวเลขซึ่งการมีส่วนร่วมของแต่ละหลักต่อค่าของตัวเลขนั้นอยู่ในตำแหน่ง (ตำแหน่ง) ตามลำดับของหลักที่แสดงถึงตัวเลข ตัวอย่างเช่น ระบบสิบของเราอยู่ในตำแหน่ง: ในหมายเลข 34 หมายเลข 3 ระบุจำนวนสิบและ "บวก" กับค่าของหมายเลข 30 และในหมายเลข 304 ตัวเลข 3 เดียวกันระบุจำนวนร้อยและ " บวก” เข้ากับค่าของตัวเลข 300

ระบบตัวเลขที่แต่ละหลักแทนค่าที่ไม่อยู่ในตำแหน่งในการบันทึกตัวเลขเรียกว่าไม่ใช่ตำแหน่ง

ระบบจำนวนตำแหน่งเป็นผลมาจากพัฒนาการทางประวัติศาสตร์อันน่าทึ่งของระบบจำนวนที่ไม่ใช่ตำแหน่ง

1.ประวัติของระบบตัวเลข

• ระบบเลขตัวเดียว

ความจำเป็นที่จะต้องจดตัวเลขปรากฏมานานแล้วเมื่อมีเพียงคนเท่านั้นที่เริ่มหารายได้ วัตถุจำนวนมาก เช่น แกะ มีรอยหรือรอยตำหนิบนพื้นผิวแข็งใดๆ เช่น หิน ดินเหนียว ไม้ (กระดาษนั้นยาวและไกลออกไปก่อนที่จะถูกค้นพบ) ผู้ป่วยผิวหนังในบันทึกนี้มีความเสี่ยงประการหนึ่ง นักโบราณคดีได้ค้นพบ "บันทึก" ดังกล่าวในระหว่างการขุดค้นพื้นที่ทางวัฒนธรรมที่มีอายุย้อนกลับไปถึงยุคหินเก่า (10 - 11,000 ปีก่อนคริสตกาล)

คนโบราณเรียกวิธีการบันทึกตัวเลขนี้ว่าเป็นระบบตัวเลขเดี่ยว ("แท่ง") การเขียนตัวเลขมีเครื่องหมายเพียงประเภทเดียวคือ "แท่ง" แต่ละหมายเลขในระบบตัวเลขดังกล่าวจะถูกระบุด้วยอีกแถวหนึ่งโดยพับเป็นแท่ง ซึ่งตัวเลขในจำนวนนี้ถูกกำหนดให้เป็นตัวเลขตามธรรมเนียม

ความไม่สอดคล้องกันของระบบการเขียนตัวเลขและความจำกัดและความสม่ำเสมอนั้นชัดเจน: ยิ่งต้องเขียนจำนวนมากเท่าไร แถวต่อแท่งก็จะยิ่งยาวขึ้นเท่านั้น ตอนที่เขียนตัวเลขเยอะๆ เป็นเรื่องง่ายที่จะรู้สึกเสียใจที่ซื้อไม้มาเยอะหรือทำไม่เสร็จ เป็นต้น

คุณสามารถชี้ให้เห็นว่าเพื่อทำให้สิ่งต่างๆ ง่ายขึ้น ผู้คนเริ่มจัดกลุ่มวัตถุออกเป็น 3, 5, 10 ชิ้น และในการบันทึกก็มีการใช้สัญญาณคล้ายกับกลุ่มของวัตถุจำนวนมาก โดยธรรมชาติแล้วนิ้วมือบิดงอระหว่างงีบ ดังนั้นสัญญาณสำหรับการกำหนดกลุ่มของวัตถุตั้งแต่ 5 ถึง 10 ชิ้น (หน่วย) จึงปรากฏขึ้นก่อน ดังนั้นจึงมีการใช้ระบบบันทึกตัวเลขแบบแมนนวลเพิ่มเติม

• ระบบเลขสิบไม่ระบุตำแหน่งของอียิปต์โบราณ

ในระบบตัวเลขของอียิปต์โบราณซึ่งมีอายุย้อนกลับไปในช่วงครึ่งหลังของสหัสวรรษที่สามก่อนคริสต์ศักราช ตัวเลขพิเศษถูกนำมาใช้แทนตัวเลข 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 -

ตัวเลขในระบบตัวเลขของอียิปต์เขียนเป็นตัวเลขรวมกัน โดยแต่ละตัวเลขจะทำซ้ำไม่เกินเก้าครั้ง

ก้น

ชาวอียิปต์โบราณเขียนเลข 345 ดังนี้

มัลยูนก 1 การบันทึกตัวเลขโดยใช้ระบบเลขอียิปต์โบราณ

ความหมายของตัวเลขในระบบตัวเลขอียิปต์โบราณที่ไม่มีตำแหน่ง:

มัลยูนก 2 โอดินิตซา

มัลยูนก 3 สิบ

มัลยูนก 4 ร้อย

มัลยูนก 5 พัน

มัลยูนก 6 หมื่นมัลยูนก 7 แสน

• ด้วยเหตุนี้ หลักการง่ายๆ ของการพับจึงเป็นพื้นฐานของทั้งกระบองและระบบตัวเลขของอียิปต์โบราณ

ความหมายของตัวเลขจะเหมือนกับความหมายของตัวเลขที่มีส่วนร่วมในการเข้า ขณะนี้พวกเขากำลังนำระบบตัวเลขของอียิปต์โบราณไปสู่ระดับที่ไม่ใช่ตำแหน่งที่สิบ

ระบบเลขบาบิโลน (หกสิบ)

ตัวเลขในระบบตัวเลขนี้ประกอบด้วยเครื่องหมายสองประเภท: ลิ่มตรง (รูปที่ 8) ทำหน้าที่ระบุหน่วย ลิ่มแบบเอน (รูปที่ 9) - สำหรับระบุสิบ

มาลีน็อก 8 ลิ่มตรง

Malyunok 9 ลิ่มเอน

ในลักษณะนี้หมายเลข 32 จึงเขียนดังนี้: 2 , 216000 = 60 3 มัลยูนก 10 การบันทึกเลข 32 ในระบบเลขฐานสิบหกของชาวบาบิโลน

หมายเลข 60 มีความหมายด้วยเครื่องหมายเดียวกัน (8 ตัวเล็ก) อีกครั้ง ซึ่งก็คือ 1 ตัวเลข 3600 = 60 มีความหมายด้วยเครื่องหมายเดียวกัน

และองศาอื่นๆ ทั้งหมดคือ 60 ดังนั้น ระบบตัวเลขของชาวบาบิโลนจึงตั้งชื่อว่า หกสิบ

ในการกำหนดค่าของตัวเลขนั้นจำเป็นต้องแสดงตัวเลขที่แบ่งออกเป็นหลักจากขวาไปซ้าย การวาดกลุ่มสัญญาณใหม่ ("ตัวเลข") แนะนำให้วาดรูปการปล่อย:

Malyunok 11 Rozbivannya บนหมายเลข

ค่าของตัวเลขถูกกำหนดไว้ด้านหลังค่าของ "ตัวเลข" ของคลังสินค้า ยกเว้นว่า "ตัวเลข" ในหมวดหมู่การส่งต่อสกินนั้นมีความหมายมากกว่า "ตัวเลข" เดียวกันในหมวดหมู่ด้านหน้าถึง 60 เท่าชาวบาบิโลนเขียนตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 59 ในระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่งที่สิบ และตัวเลขโดยรวมในระบบตำแหน่งโดยยึดตาม 60การบันทึกตัวเลขของชาวบาบิโลนนั้นคลุมเครือ เนื่องจากไม่มี "ตัวเลข" ที่จะทำเครื่องหมายเป็นศูนย์ การเขียนตัวเลข 92 อาจหมายถึงไม่เพียงแต่ 92 = 60 + 32 แต่ยังรวมถึง 3632 = 3600 + 32 = 602 + 32 เป็นต้น เพื่อวัตถุประสงค์พิเศษ

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวน

จำเป็นต้องมีข้อมูลเพิ่มเติม ในช่วงหลายปีที่ผ่านมา ชาวบาบิโลนได้แนะนำสัญลักษณ์พิเศษ (มาลีนอค 12) สำหรับตัวเลขที่ขาดตำแหน่งอายุหกสิบเศษ ซึ่งบ่งชี้ในระบบที่สิบที่เราคุ้นเคยจะมีลักษณะของตัวเลข 0 ในบันทึกตัวเลข อย่างไรก็ตาม ที่ท้ายตัวเลขไม่ได้วางสัญลักษณ์นี้ไว้ ดังนั้นสัญลักษณ์นี้จึงไม่ใช่ศูนย์ในความเข้าใจของเรา

มัลยูนก 12 สัญลักษณ์แทนตำแหน่งที่หกสิบที่หายไป

ชาวบาบิโลนไม่เคยลืมตารางสูตรคูณเลย เพราะมันแทบจะเป็นไปไม่ได้เลย เมื่อคำนวณกลิ่นเหม็นให้ใช้ตารางสูตรคูณสำเร็จรูป

ระบบ Sixty Babylonian เป็นระบบตัวเลขระบบแรกที่เรารู้จัก โดยยึดตามหลักการระบุตำแหน่ง ระบบบาบิโลนมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์ และได้รับการอนุรักษ์ไว้จนถึงทุกวันนี้ ดังนั้น เรายังคงแบ่งหนึ่งปีเป็น 60 ครั้ง และหนึ่งปีเป็น 60 วินาที ในทำนองเดียวกัน เส้นรอบวงแบ่งออกเป็น 360 ส่วน (องศา) โดยสืบทอดก้นของชาวบาบิโลน

• ระบบเลขโรมัน

ตัวอย่างของระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งซึ่งยังคงรักษาไว้จนถึงทุกวันนี้สามารถใช้เป็นระบบตัวเลขซึ่งก่อตั้งขึ้นเมื่อกว่าสองพันห้าพันปีก่อนในกรุงโรมโบราณ

ระบบเลขโรมันใช้สัญลักษณ์ I (หนึ่งนิ้ว) สำหรับหมายเลข 1, V (ฝ่ามือเปิด) สำหรับหมายเลข 5, X (ฝ่ามือพับสองอัน) สำหรับ 10 รวมถึงสัญลักษณ์พิเศษสำหรับหมายเลข 50, 100 500 และ 1,000.

ในไม่ช้า การกำหนดตัวเลขสี่ตัวที่เหลือก็กลายเป็นที่รู้จักว่าเป็นการเปลี่ยนแปลงครั้งสำคัญ ตอนนี้สันนิษฐานว่าสัญลักษณ์แรกของหมายเลข 100 Mav ดูเหมือนเครื่องหมายสามอันบนสัญลักษณ์ของตัวอักษรรัสเซีย Z และสำหรับหมายเลข 50 ดูเหมือนว่าครึ่งบนของตัวอักษร Z ซึ่งต่อมาถูกเปลี่ยนเป็น ป้าย L:

มัลยูนก 14 การแปลงร่างของเลข 100

เพื่อเป็นตัวแทนตัวเลข 100, 500 และ 1,000 จึงเริ่มใช้อักษรตัวแรกของคำภาษาละตินทั่วไป (Centum หนึ่งร้อย, Demimille ครึ่งพัน, Mille พัน)

ในการเขียนตัวเลข ชาวโรมันไม่เพียงแต่ใช้การบวกเท่านั้น แต่ยังใช้การแยกตัวเลขหลักด้วย ด้วยเหตุนี้กฎจึงหยุดนิ่ง

ความหมายของเครื่องหมายผิวที่เล็กกว่าซึ่งอยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายที่ใหญ่กว่านั้นได้มาจากความหมายของเครื่องหมายที่ใหญ่กว่า

ตัวอย่างเช่น รายการ IX แทนเลข 9 และรายการ XI แทนเลข 11 เลข 10 แทนเลข 28 ในลักษณะนี้:

XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1

เลข 10 99 มีลักษณะดังนี้

มัลยูนก 15 หมายเลข 99

ตัวเลขที่เมื่อเขียนตัวเลขใหม่ ตัวเลขหลักอาจไม่เพียงแต่รวมกันเท่านั้น แต่ยังรวมเข้าด้วยกันด้วยซ้ำ ดังนั้นครั้งสุดท้ายที่เขียนด้วยเลขโรมันจึงบวกเลขเอกภาพ ตามกฎที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนสามารถเขียนหมายเลข 1995 ได้ตามลำดับต่อไปนี้:

MCMXCV = 1,000 + (1,000 - 100) + (100 -10) + 5,

MDCCCCLXXXXV = 1,000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5

MVM = 1,000 + (1,000 - 5)

MDVD = 1,000 + 500 + (500 - 5) เป็นต้น

ยังไม่มีกฎเกณฑ์ที่เหมือนกันในการเขียนเลขโรมัน แต่มีข้อเสนอให้นำมาตรฐานสากลมาใช้

ในปัจจุบันนี้ เลขโรมันจำเป็นต้องเขียนเป็นตัวเลขเดียวไม่เกินสามครั้ง บนขาตั้งนี้มีตารางที่คุณสามารถใช้เพื่อกำหนดตัวเลขเป็นเลขโรมันได้ด้วยตนเอง:

ตารางที่ 1 ตารางเลขโรมัน

พวกเขาใช้เลขโรมันมาเป็นเวลานาน เมื่อ 200 ปีที่แล้ว ในเอกสารทางธุรกิจ ตัวเลขถูกเขียนเป็นเลขโรมัน (เชื่อกันว่าเลขอารบิกดั้งเดิมนั้นแบ่งย่อยได้ง่าย)

ในปัจจุบัน ระบบตัวเลขโรมันไม่ได้หยุดนิ่ง เนื่องจากข้อผิดพลาดดังต่อไปนี้:

• ศตวรรษที่กำหนด (ศตวรรษที่ 15 เป็นต้น) หิน e. (MCMLXXVII เป็นต้น) І เดือนเมื่อป้อนวันที่ (เช่น 1. V. 1975)
• การกำหนดเลขลำดับ
• การกำหนดคำสั่งซื้อขนาดเล็กที่คล้ายกัน Great Three: yIV, yV ฯลฯ
• การกำหนดความจุขององค์ประกอบทางเคมี
  • ระบบตัวเลขสโลวีเนีย

การกำหนดหมายเลขนี้สร้างขึ้นพร้อมกันกับระบบตัวอักษรสโลวีเนียเพื่อแสดงรายการหนังสือศักดิ์สิทธิ์สำหรับชาวสลาฟโดยพี่น้องชาวกรีก Chen Cyril (Kostyantin) และ Methodius ในศตวรรษที่ 9 การเขียนตัวเลขในรูปแบบนี้มีการขยายตัวอย่างมาก เนื่องจากมีความคล้ายคลึงกับการเขียนตัวเลขของชาวกรีกเพียงเล็กน้อย

ตารางที่ 2 ระบบตัวเลขสโลวัก

สิ่งสำคัญที่ควรทราบคือหลังจาก "a" จะมีตัวอักษร "c" ไม่ใช่ "b" ที่เป็นผลลัพธ์ของตัวอักษรสโลเวเนีย ดังนั้นจึงใช้เฉพาะตัวอักษรที่เหมือนกับตัวอักษรกรีกเท่านั้น จนถึงศตวรรษที่ 17 การบันทึกตัวเลขรูปแบบนี้เป็นทางการในดินแดนของรัสเซีย ปัจจุบัน เบลารุส ยูเครน บัลแกเรีย อูกอร์ชจีนา เซอร์เบีย และโครเอเชีย จนถึงทุกวันนี้ ตัวเลขนี้ใช้ในหนังสือของคริสตจักรออร์โธดอกซ์

• ระบบตัวเลขของชาวมายัน

ระบบนี้ใช้สำหรับการกระจายปฏิทิน ชาวมายันใช้ระบบที่ไม่มีตำแหน่งคล้ายกับระบบอียิปต์โบราณ ระบบนี้อธิบายได้ด้วยตัวเลขของชาวมายันเอง ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นการบันทึกตัวเลขธรรมชาติ 19 ตัวแรกในระบบตัวเลขห้าเท่าที่ไม่ใช่ตำแหน่ง มีหลักการเดียวกันของหมายเลขคลังสินค้าสำหรับ vicoristania ในระบบเลขฐานสิบหกของชาวบาบิโลน

ตัวเลขของชาวมายันประกอบด้วยศูนย์ (เครื่องหมายเต่า) และหลักหน่วยเก็บข้อมูล 19 หลัก ตัวเลขเหล่านี้สร้างขึ้นจากเครื่องหมายเดียว (จุด) และเครื่องหมายห้า (เส้นแนวนอน) ตัวอย่างเช่น รูปที่แสดงถึงเลข 19 จะถูกเขียนเป็นจุดหลายจุดในแถวแนวนอนเหนือเส้นแนวนอนสามเส้น

มัลยูนก 16 ระบบเลขมายา

ตัวเลขที่สูงกว่า 19 เขียนตามหลักตำแหน่งจากล่างขึ้นบนด้านหลังขั้นตอนที่ 20 ตัวอย่างเช่น

32 เขียนว่า จามรี (1) (12) = 1 × 20 + 12

429 จามรี (1) (1) (9) = 1 × 400 + 1 × 20 + 9

4805 จามรี (12) (0) (5) = 12 × 400 + 0 × 20 + 5

ในการบันทึกตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 19 จะใช้รูปเทพเจ้าด้วย ตัวเลขดังกล่าวไม่ค่อยได้ใช้ โดยถูกเก็บรักษาไว้บนเสาหินบางชิ้น

ระบบหมายเลขตำแหน่งใช้ค่าที่เป็นศูนย์ในการกำหนดการปล่อยประจุที่ว่างเปล่า วันแรกที่มาหาเราโดยมีศูนย์ (บน stele 2 ใน Chiapa de Corso, Chiapas) คือวันที่ 36 ปีก่อนคริสตกาล จ. ระบบเลขตำแหน่งระบบแรกในยูเรเซีย สร้างขึ้นในบาบิโลนโบราณเมื่อ 2000 ปีก่อนคริสตกาล นั่นคือจุดเริ่มต้นของศูนย์นั้นไม่เล็ก แต่ในช่วงหลายปีที่ผ่านมามีการใช้เครื่องหมายศูนย์ในหลักกลางของตัวเลขเท่านั้นซึ่งนำไปสู่การบันทึกตัวเลขที่ไม่ชัดเจน ในระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่ง ตามกฎแล้วจำนวนคนโบราณที่เป็นศูนย์นั้นไม่น้อย

“Borg Rakhunku” ของปฏิทินมายันมีระบบตัวเลข 20 หลักประเภทอื่น ซึ่งในอันดับอื่นๆ สามารถวางได้เฉพาะตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 17 เท่านั้น หลังจากนั้นหนึ่งรายการจะถูกเพิ่มเข้าไปในอันดับที่สาม ดังนั้นหนึ่งในหมวดหมู่ที่สามจึงหมายถึง 400 และ 18 × 20 = 360 ซึ่งใกล้เคียงกับจำนวนวันในครอบครัวที่ง่วงนอน

• ประวัติความเป็นมาของตัวเลขอารบิก

นี่คือตัวเลขที่กว้างที่สุดที่มีอยู่ในปัจจุบัน ชื่อ "อาหรับ" ไม่เป็นความจริงทั้งหมด บางคนต้องการนำมันไปยังยุโรปจากดินแดนอาหรับ แต่ก็ยังไม่มีถิ่นกำเนิดอยู่ที่นั่น อ้างอิงหมายเลขปิตุภูมิ - อินเดีย

ภูมิภาคต่างๆ ของอินเดียมีระบบการนับที่แตกต่างกัน แต่เมื่อถึงจุดหนึ่งก็มีระบบที่อยู่ระหว่างนั้น ตัวเลขมีลักษณะเป็นตัวอักษรซังของตัวเลขหลักในภาษาอินเดียโบราณ - สันสกฤต ซึ่งเป็นที่มาของอักษรเทวนาครี

เริ่มแรกตัวเลข 1, 2, 3, ... 9, 10, 20, 30, ..., 90, 100, 1,000 มีสัญลักษณ์แทน มีการเขียนตัวเลขอื่นๆ ลงไปด้วย นอกจากนั้นยังมีการแนะนำสัญญาณพิเศษ - จุดหนาหรือพวงสำหรับใส่สิ่งปลดปล่อยที่ว่างเปล่า และการกำหนดเลขเทวนาครีก็เปลี่ยนเป็นระบบสิบท้องถิ่น ยังไม่ทราบแน่ชัดว่าการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวจะเกิดขึ้นอย่างไรและอย่างไร จนถึงกลางศตวรรษที่ 8 ระบบการนับตำแหน่งเริ่มใช้กันอย่างแพร่หลาย ในเวลาเดียวกันก็เจาะเข้าไปในภูมิภาคใกล้เคียง: อินโดจีน จีน ทิเบต เอเชียกลาง

บทบาทสำคัญในการขยายการกำหนดหมายเลขของอินเดียในประเทศอาหรับนั้นเกิดจากการนับถือศาสนาซึ่งก่อตั้งขึ้นเมื่อต้นศตวรรษที่ 9 โดยมูฮัมหมัดอัลโคเรซมี โวโน่ถูกโอนไป ยุโรปตะวันตกในภาษาละตินในศตวรรษที่ 12 ในศตวรรษที่ 13 การนับเลขของอินเดียมีความสำคัญมากขึ้นในอิตาลี ในประเทศอื่นขยายไปจนถึงศตวรรษที่ 16 ชาวยุโรปที่รับเอาการนับเลขของชาวอาหรับมาใช้ เรียกพวกเขาว่า "อารบิก" มีการอธิบายชื่อที่ไม่ถูกต้องในอดีตนี้

ภาษาอาหรับประกอบด้วยคำว่า "หลัก" (ในภาษาอาหรับ "sifr") ซึ่งแปลว่า "ที่ว่าง" อย่างแท้จริง (คำแปลของคำภาษาสันสกฤต "sunya" ซึ่งมีความหมายเหมือนกัน) คำนี้ใช้เพื่อตั้งชื่อสัญลักษณ์ของการปลดปล่อยที่ว่างเปล่า และความรู้สึกนี้ยังคงอยู่จนถึงศตวรรษที่ 18 แม้ว่าคำภาษาละติน "ศูนย์" (nullum - ไม่มีอะไรเลย) จะปรากฏในศตวรรษที่ 15

รูปแบบของตัวเลขอินเดียมีการเปลี่ยนแปลงหลายอย่าง รูปแบบที่เรากำลังปลูกฝังอยู่ในปัจจุบันได้ก่อตั้งขึ้นในศตวรรษที่ 16

• ประวัติความเป็นมาของศูนย์

ศูนย์มีความแตกต่าง ประการแรก ศูนย์คือตัวเลข เนื่องจากใช้เพื่อระบุการคายประจุที่ว่างเปล่า ในอีกทางหนึ่ง ศูนย์เป็นจำนวนที่ไม่ใช่หลัก เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วยศูนย์ และเมื่อคูณด้วยศูนย์ ตัวเลขจะกลายเป็นศูนย์ ประการที่สาม ต้องใช้ศูนย์ในการพับและพับ มิฉะนั้น จะลบ 5 จาก 5 ได้เท่าไร?

ปรากฏครั้งแรกในระบบตัวเลขของชาวบาบิโลนโบราณ เลขศูนย์ถูกใช้เพื่อทำเครื่องหมายตัวเลขที่หายไป และยังเขียนตัวเลขเช่น 1 และ 60 แตกต่างกัน เนื่องจากไม่ได้ใส่ศูนย์ไว้ที่ท้ายตัวเลข ในระบบของเรา ศูนย์หมายถึงบทบาทของช่องว่างในข้อความ

ต้นกำเนิดของรูปแบบของศูนย์สามารถนำมาประกอบกับปโตเลมีนักดาราศาสตร์ชาวกรีกผู้ยิ่งใหญ่เนื่องจากในตำราของเขาเกี่ยวกับตำแหน่งของสัญลักษณ์แห่งอวกาศตัวอักษรกรีก omicron ยังทำนายสัญลักษณ์ปัจจุบันของศูนย์ด้วยซ้ำ Ale Ptolemy vikorista เป็นศูนย์ในแง่เดียวกับชาวบาบิโลน

ในงานเขียนบนฝาผนังในประเทศอินเดียในคริสต์ศตวรรษที่ 9 ขั้นแรก สัญลักษณ์ศูนย์จะปรากฏที่ท้ายตัวเลข ก่อนอื่น ยอมรับความหมายของเครื่องหมายปัจจุบันของศูนย์ นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียเองก็พบว่าเป็นศูนย์ในประสาทสัมผัสทั้งสาม ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียชื่อ พรหมคุปต์ ย้อนกลับไปในคริสตศตวรรษที่ 7 กลายเป็นผู้ชื่นชอบจำนวนลบและจำนวนที่มีศูนย์อย่างแข็งขัน Ale vin ยืนยันว่าจำนวนที่หารด้วยศูนย์ได้คือศูนย์ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นเรื่องตลก และการโอ้อวดทางคณิตศาสตร์อย่างแท้จริง ซึ่งนำไปสู่การเปิดเผยที่น่าอัศจรรย์อีกครั้งของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย และในศตวรรษที่ 12 ภัสการา นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียอีกคน พยายามเข้าใจว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อหารด้วยศูนย์ เขาเขียนว่า: “ปริมาณที่หารด้วยศูนย์จะกลายเป็นเศษส่วน ซึ่งมีความหมายว่าเศษส่วนนี้เรียกว่าความไม่สอดคล้องกัน”

Leonardo Fibonacci ในงานของเขา “Liber abaci” (1202) เรียกเครื่องหมาย 0 ในภาษาอาหรับว่า zephirum คำว่า zephirum เป็นคำภาษาอาหรับ as-sifr ซึ่งคล้ายกับคำอินเดีย sunya นั่นคือ ว่างเปล่า ซึ่งทำหน้าที่เป็นชื่อของศูนย์ คำว่า zephirum มาจากคำภาษาฝรั่งเศสว่า 0 และภาษาอิตาลีว่า 0 ในทางกลับกัน จากคำภาษาอาหรับ as-sifr จึงมีหมายเลขคำภาษารัสเซียปรากฏขึ้น จนถึงกลางศตวรรษที่ 17 คำนี้ถูกใช้เพื่อระบุศูนย์โดยเฉพาะ คำภาษาละติน nullus (ไม่มีอะไร) ถูกนำมาใช้เพื่อหมายถึงศูนย์ในศตวรรษที่ 16

ศูนย์ไม่ใช่สัญลักษณ์เฉพาะ Zero เป็นแนวคิดที่เป็นนามธรรมล้วนๆ ซึ่งเป็นหนึ่งในแนวคิดที่ผู้คนเข้าถึงได้มากที่สุด ไม่มีอะไรในธรรมชาติที่มากเกินไปสำหรับเรา หากไม่มีศูนย์ คุณสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดาย แต่ไม่สามารถจดตัวเลขได้อย่างแม่นยำ ยิ่งไปกว่านั้น ศูนย์ยังอยู่ตรงข้ามกับตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมด และเป็นสัญลักษณ์ของแสงสว่างอันไม่มีที่สิ้นสุด และเนื่องจาก “ทุกสิ่งเป็นตัวเลข” จึงไม่มีอะไรเป็นทุกอย่าง!

• ข้อบกพร่องของระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง

ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งมีข้อบกพร่องหลายประการ:

1. มีความจำเป็นต้องแนะนำสัญญาณใหม่อย่างต่อเนื่องเพื่อบันทึกตัวเลขจำนวนมาก

2. เป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงจำนวนเศษส่วนและจำนวนลบ

3. เป็นการยากที่จะสร้างการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากอัลกอริธึมไม่รองรับการคำนวณ Zokrema ประชาชนทุกคนที่มีระบบตัวเลขมีวิธีการใช้นิ้วและชาวกรีกมีลูกคิดจุดรักษาบนรูปชั้นวางของเรา

เอล เรายังคงใช้องค์ประกอบของระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งในภาษาในชีวิตประจำวัน เช่น เราพูดว่า ร้อย ไม่ใช่ สิบ หมื่น หนึ่งพัน หนึ่งล้าน หนึ่งพันล้าน หนึ่งล้านล้าน

2. ระบบเลขฐานสอง

ระบบนี้มีตัวเลขสองตัว - 0 และ 1 บทบาทพิเศษที่นี่เล่นตามหมายเลขของขั้นตอนที่ 2: 2, 4, 8 เป็นต้น ตัวเลขทางขวาคือเลขหลัก เลขหลักข้างหน้าคือเลขสอง เลขหลักข้างหน้าคือเลขสี่ เป็นต้น ระบบเลขคู่ช่วยให้คุณสามารถเข้ารหัสจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ได้ โดยแสดงเป็นลำดับของศูนย์และจำนวน ด้วยมุมมองแบบคู่ คุณสามารถจินตนาการได้ไม่เพียงแค่ตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อมูลอื่นๆ ด้วย เช่น ข้อความ รูปภาพ ภาพยนตร์ และการบันทึกเสียง วิศวกรชื่นชอบการเขียนโค้ดซ้ำซ้อนเนื่องจากง่ายต่อการนำไปใช้ในทางเทคนิค สิ่งที่ง่ายที่สุดจากมุมมองของการใช้งานทางเทคนิคคือองค์ประกอบสองตำแหน่งเช่นรีเลย์แม่เหล็กไฟฟ้าสวิตช์ทรานซิสเตอร์

• ประวัติความเป็นมาของระบบเลขคู่

วิศวกรและนักคณิตศาสตร์คาดเดาตามหลักการสองตำแหน่ง ซึ่งเป็นธรรมชาติขององค์ประกอบของเทคโนโลยีการคำนวณ

ยกตัวอย่างเช่น ไบโพลาร์ เอกสารแนบอิเล็กทรอนิกส์- ดีโอด มีเพียงสองสถานการณ์เท่านั้น: ดำเนินการกระแสไฟฟ้า - "เปิด" หรือไม่ดำเนินการแบบเดียวกัน - "ปิด" แล้วทริกเกอร์ล่ะ? นอกจากนี้ยังมีตำแหน่งที่มั่นคงสองตำแหน่ง หลักการเดียวกันนี้ใช้กับองค์ประกอบการท่องจำ

ทำไมไม่ใช้ระบบตัวเลขสองหลักเดียวกันล่ะ? มีเพียงตัวเลขสองตัวเท่านั้น: 0 และ 1 และนี่มีประโยชน์สำหรับการทำงานกับเครื่องจักรอิเล็กทรอนิกส์ และเริ่มมีการใช้รถยนต์ใหม่เพื่อช่วยเหลือ 0 และ 1

อย่าคิดว่าระบบคู่เป็นผลมาจากเครื่องจักรอิเล็กทรอนิกส์ ไม่ เธอแก่กว่ามาก คนเลขคู่ป่วนมานานแล้ว ได้รับความนิยมเป็นพิเศษตั้งแต่ปลายศตวรรษที่ 16 ถึงต้นศตวรรษที่ 19

Leibniz ทำให้ระบบสองระบบเรียบง่าย ใช้เอง และสวยงาม วินกล่าวว่า “การคำนวณโดยการบวกสองตัว ... เป็นพื้นฐานสำหรับวิทยาศาสตร์และทำให้เกิดแนวคิดใหม่ๆ ... เมื่อตัวเลขลดลงจนเหลือจำนวนซังที่ง่ายที่สุด เช่น 0 และ 1 ลำดับที่น่าอัศจรรย์ก็ปรากฏขึ้น”

เพื่อเป็นเกียรติแก่เกียรติของ "ระบบ dyadic" - นั่นคือวิธีการเรียกระบบ dyadic - เหรียญถูกเคาะออก มันแสดงตารางพร้อมตัวเลขและการกระทำง่ายๆ ตามขอบของเหรียญมีบรรทัดที่มีข้อความว่า: "เพื่อกำจัดทุกสิ่งให้กำจัดสิ่งหนึ่งออกไป"

สูตรที่ 1 จำนวนข้อมูลเป็นจังหวะ

• การแปลงจากระบบตัวเลขสองเป็นสิบ

งานแปลตัวเลขจากระบบสองหลักเป็นสิบส่วนใหญ่มักเกิดขึ้นแม้ว่าการคำนวณจะกลับรายการหรือคอมพิวเตอร์คำนวณค่าเป็นสิบหลักที่ใหญ่กว่า อัลกอริทึมสำหรับการแปลงตัวเลขสองตัวเป็นสิบนั้นค่อนข้างง่าย (บางครั้งเรียกว่าอัลกอริทึมการทดแทน):

ในการแปลเลขคู่เป็นสิบจำเป็นต้องแสดงตัวเลขนี้ในรูปแบบของผลรวมของขั้นตอนเพิ่มเติมของการทดแทนระบบเลขคู่เป็นตัวเลขเพิ่มเติมในตำแหน่งของเลขคู่

ตัวอย่างเช่น คุณต้องแปลงเลขคู่ 10110110 ให้เป็นเลขสิบ ตัวเลขนี้มี 8 หลัก และ 8 หลัก (นับตัวเลขโดยเริ่มจากศูนย์ตามที่ระบุด้วยบิตต่ำสุด) เห็นได้ชัดว่าตามกฎที่เรารู้อยู่แล้ว เราสามารถจินตนาการได้ว่าเป็นผลรวมของขั้นตอนตาม 2:

10110110 2 = (1 2 7) + (0 2 6) + (1 2 5) + (1 2 4) + (0 2 3) + (1 2 2) + (1 2 1 ) + (0 2 0) = 128 + 32 + 16 + 4 + 2 = 182 10

ในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์จะเรียกว่าอุปกรณ์ที่มีการเปลี่ยนแปลงคล้าย ๆ กันตัวถอดรหัส (ตัวถอดรหัส, ตัวถอดรหัสภาษาอังกฤษ)

ตัวถอดรหัส วงจรนี้จะแปลงรหัสคู่ที่จ่ายให้กับอินพุตให้เป็นสัญญาณที่เอาต์พุตตัวใดตัวหนึ่ง เพื่อให้ตัวถอดรหัสถอดรหัสตัวเลขในโค้ดคู่ ซึ่งแสดงถึงค่าลอจิคัลที่เอาต์พุต ซึ่งจำนวนดังกล่าวสอดคล้องกับตัวเลขที่สิบ .

• การแปลงจากระบบตัวเลขสองถึงสิบหก

เลขฐานสิบหกประกอบด้วยข้อมูล 4 บิต

ด้วยวิธีนี้ หากต้องการแปลงตัวเลขสองหลักทั้งหมดเป็นตัวเลขสิบหกหลัก คุณต้องแบ่งตัวเลขออกเป็นกลุ่มๆ ละสี่หลัก (สมุดบันทึก) โดยเริ่มจากด้านขวา และถ้ามีน้อยกว่าสี่หลักปรากฏในกลุ่มด้านซ้ายที่เหลือ ให้บวกศูนย์ไมล์ที่เหลือ ในการแปลงเศษส่วนสองจำนวน (เศษส่วนปกติ) เป็นตัวเลขที่สิบหก จำเป็นต้องหารมันทางด้านขวาของสมุดบันทึก และหากมีน้อยกว่าสี่หลักปรากฏในกลุ่มทางขวาที่เหลือ ก็จำเป็นต้องเสริมด้วย ทางขวาด้วยศูนย์

จากนั้นคุณจะต้องแปลงกลุ่มสกินให้เป็นเลขฐานสิบหกโดยใช้ตารางประเภทสกินที่มีอยู่แล้วและเลขฐานสิบหกที่คอมไพล์ไว้ก่อนหน้านี้

ตารางที่ 3 ตารางเลขฐานสิบหกและสมุดบันทึกเตรียมการ

• การแปลงจากดวุคโควีเป็นระบบเลขวิซิมคอฟ

การแปลงเลขคู่เป็นระบบมาตราส่วนนั้นทำได้ง่าย โดยคุณต้องการ:

1. แบ่งตัวเลขสองหลักออกเป็นสามกลุ่ม (กลุ่มที่มีสองหลัก 3 หลัก) โดยเริ่มจากหลักที่อายุน้อยที่สุด ถ้าสามหลักที่เหลือ (หลักอาวุโส) มีน้อยกว่าสามหลัก ให้บวกเลขศูนย์ได้สูงสุดสามตัว
   1. ใต้ skin triad ของเลขคู่ ให้จดเลขหลักที่สอดคล้องกันของเลขฐานแปดจากตารางที่ให้มา

ตารางที่ 4 ตารางตัวเลขนัยสำคัญและกลุ่มสามเตรียมการ

3. ระบบเลขฐานแปด

ระบบเลข คือ ระบบเลขประจำตำแหน่งที่ยึดตาม 8 ในการบันทึกตัวเลขในระบบตัวเลขนั้น ให้บวกเลข 8 หลักจากศูนย์ถึงเจ็ด (0,1,2,3,4,5,6,7)

สถานะ: ระบบฐานแปดของลำดับสองและสิบหกใช้ในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ดิจิทัลและเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ แต่ในปัจจุบันนี้ไม่ค่อยหยุดนิ่ง (ก่อนหน้านี้ใช้ในการเขียนโปรแกรมระดับต่ำโดยมีลายนูนเป็นเลขฐานสิบหก)

การใช้ระบบฐานแปดอย่างแพร่หลายในเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่ามันมีลักษณะเฉพาะด้วยการแปลเป็นสองอย่างง่ายและย้อนกลับโดยใช้ตารางแบบง่าย ซึ่งตัวเลขทั้งหมดของระบบฐานแปดตั้งแต่ 0 ถึง 7 จะแสดงในมุมมองของ แฝดสามผู้ปกครอง (ตารางที่ 4)

• ประวัติความเป็นมาของระบบเลขฐานแปด

ประวัติ: ความผิดของระบบฐานแปดเกี่ยวข้องกับเทคนิคของนิ้วมือนี้ หากไม่ใช่นิ้วที่ได้รับผลกระทบ แต่เป็นช่องว่างระหว่างนิ้วทั้งสอง (ทั้งหมด)

ในปี ค.ศ. 1716 กษัตริย์ชาร์ลส์ที่ 12 แห่งสวีเดนทรงมอบหมายให้เอ็มมานูเอล สวีเดนบอร์ก นักปรัชญาชาวสวีเดนผู้มีชื่อเสียงพัฒนาระบบตัวเลขโดยใช้ 64 แทนที่จะเป็น 10 อย่างไรก็ตาม สวีเดนบอร์กตระหนักว่าสำหรับคนที่มีสติปัญญาน้อย กษัตริย์องค์ล่างจึงดำเนินการด้วย ระบบตัวเลขจะไม่มีความสำคัญมากนักและหลังจากออกเสียงแล้วให้แทนที่ตัวเลขในกล่อง 8 ระบบพังทลายลง แต่การสิ้นพระชนม์ของพระเจ้าชาร์ลส์ที่ 12 ในปี พ.ศ. 2261 ทำให้ไม่สามารถนำระบบมาใช้อย่างผิดกฎหมายได้ แต่งานของสวีเดนบอร์กไม่ได้รับการตีพิมพ์ .

• การแปลงจากระบบมาตราส่วนเป็นระบบเลขสิบ

ในการแปลตัวเลขจากน้อยไปหามากเป็นสิบจำเป็นต้องแสดงตัวเลขนี้ในรูปแบบของผลรวมของขั้นตอนเพิ่มเติมของการทดแทนระบบเลขฐานแปดเป็นตัวเลขที่สอดคล้องกันในหลักของตัวเลขจากมากไปน้อย - 24]

ตัวอย่างเช่น คุณต้องแปลงตัวเลข 2357 เป็นสิบ หมายเลขนี้มี 4 หลักและ 4 หลัก (ตัวเลขจะนับโดยเริ่มจากศูนย์ซึ่งระบุด้วยบิตต่ำสุด) เห็นได้ชัดว่าตามกฎที่เรารู้อยู่แล้ว เราสามารถจินตนาการได้ว่าเป็นผลรวมของขั้นตอนตาม 8:

23578 = (2 83) + (3 82) + (5 81) + (7 80) = 2 512 + 3 64 + 5 8 + 7 1 = 126310

• การแปลงจากระบบทศนิยมเป็นระบบเลขคู่

ในการถ่ายโอนจากระบบน้ำหนักไปเป็นระบบสองหลัก คุณต้องแปลงสกินดิจิตของตัวเลขเป็นกลุ่มของสามหลักรองสามหลัก (ตารางที่ 4)

• การแปลงจากระบบมาตราส่วนเป็นระบบเลขฐานสิบหก

หากต้องการโอนจากระบบที่สิบหกเป็นระบบสองเท่า คุณต้องแปลงตัวเลขผิวหนังของตัวเลขเป็นกลุ่มตัวเลขสามหลักในรูปแบบเตตราด (ตารางที่ 3)

3. ระบบเลขฐานสิบหก

ระบบจำนวนตำแหน่งที่มีฐานจำนวนเต็ม 16

ใช้เลขฐานสิบหกเพื่อกำหนดตัวเลขสิบหลักตั้งแต่ 0 ถึง 9 และตัวอักษรละตินจาก A ถึง F เพื่อกำหนดตัวเลขตั้งแต่ 1010 ถึง 1510 จากนั้น (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A , บี, ซี, ดี, อี, เอฟ)

ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางในการเขียนโปรแกรมระดับต่ำและเอกสารประกอบคอมพิวเตอร์ในคอมพิวเตอร์สมัยใหม่หน่วยหน่วยความจำขั้นต่ำคือไบต์ 8 บิต ซึ่งค่าจะต้องเขียนด้วยตนเองเป็นเลขฐานสิบหกสองหลัก

ในมาตรฐาน Unicode โดยปกติแล้วจำนวนอักขระจะเขียนในรูปแบบเลขฐานสิบหก โดยใช้ตัวเลขอย่างน้อย 4 หลัก (หากจำเป็น ให้ใช้เลขศูนย์นำหน้า)

สีที่สิบหกแสดงถึงองค์ประกอบทั้งสามของสี (R, G และ B) ในรูปแบบเลขฐานสิบหก

• ประวัติความเป็นมาของระบบเลขฐานสิบหก

ระบบตัวเลขที่สิบหกถูกนำมาใช้โดยบริษัท IBM ในอเมริกา ใช้กันอย่างแพร่หลายในการเขียนโปรแกรมสำหรับคอมพิวเตอร์ IBM หน่วยข้อมูลขั้นต่ำที่ระบุ (ถ่ายโอนระหว่างส่วนประกอบคอมพิวเตอร์) คือไบต์ ซึ่งโดยปกติจะรวมกันได้มากถึง 8 บิต (อังกฤษ: บิตเลขฐานสอง, หลักไบนารี, หลักของระบบคู่) และสองไบต์ ซึ่งก็คือ 16 บิต เพิ่มคำของเครื่อง ( ทีม) ดังนั้นในการบันทึกคำสั่ง คุณต้องใช้ระบบด้วยตนเองตามฐาน 16

• การแปลงจากระบบตัวเลขสิบหกเป็นระบบตัวเลขสอง

อัลกอริธึมสำหรับการแปลตัวเลขจากระบบเลขฐานสิบหกเป็นระบบเลขฐานสิบหกเป็นเรื่องง่าย จำเป็นต้องแทนที่เลขฐานสิบหกแต่ละหลักด้วยค่าที่เทียบเท่าในระบบตัวเลขสองหลักเท่านั้น (ในกรณีของจำนวนบวก) สิ่งสำคัญคือควรแทนที่ร่องรอยหมายเลขสิบหกด้วยสอง โดยบวกได้สูงสุด 4 หลัก (ไปยังหลักที่สูงกว่า)

• การแปลงจากระบบเลขสิบหกเป็นระบบเลขสิบ

ในการแปลงเลขฐานสิบหกเป็นสิบ จำเป็นต้องแสดงตัวเลขนี้ในรูปของผลรวมของขั้นตอนเพิ่มเติมของระบบเลขฐานสิบหกให้เป็นตัวเลขที่สอดคล้องกันในหลักของเลขฐานสิบหก

ตัวอย่างเช่น คุณต้องแปลง F45ED23C เลขสิบหกเป็นเลขสิบ ตัวเลขนี้มี 8 หลักและ 8 หลัก (จำไว้ว่าตัวเลขจะนับโดยเริ่มจากศูนย์ซึ่งเป็นบิตที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด) เพื่อให้สอดคล้องกับกฎที่กำหนดไว้อย่างดี เราสามารถจินตนาการได้ว่าเป็นผลรวมของขั้นตอนต่างๆ ตาม 16:

F45ED23C 16 = (15 16 7) + (4 16 6) + (5 16 5) + (14 16 4) + (13 16 3) + (2 16 2) + (3 16 1 ) + (12 16 0) = 4099854908 10

• การแปลงจากระบบเลขฐานสิบหกเป็นระบบเลขฐานสิบ

เมื่อแปลตัวเลขจากระบบเลขฐานสิบหกเป็นระบบเลขฐานสิบ ให้แปลงเลข 16 เป็นเลข 2 ก่อนแล้วแยกออกเป็น 3 ส่วน โดยเริ่มจากบิตต่ำสุดแล้วแทนที่ triad ด้วยเลขทศนิยม ซึ่งมีค่าเท่ากันในระบบแรงโน้มถ่วง (ตารางที่ 4) ).

วิสโนวอก

ในพื้นที่ส่วนใหญ่ของโลก พวกเขาไม่สนใจสิ่งที่พวกเขาพูดที่นั่น ภาษาที่แตกต่างกันอย่างไรก็ตาม โปรดเคารพ "ในภาษาอาหรับ"

มันไม่เคยเกิดขึ้นเช่นนี้อีก เป็นเวลาห้าร้อยปีแล้วที่ไม่มีการกล่าวถึงสิ่งนี้ในการเฉลิมฉลองของยุโรป ไม่ต้องพูดถึงแอฟริกาหรืออเมริกาใดๆ เลย

Ale tim มีคนไม่น้อยที่เขียนเรื่องเดียวกันนี้ แต่ละคนมีอำนาจของตัวเองหรือสุสิดามีระบบบันทึกตัวเลข ใช้ตัวอักษรบางตัว, อื่น ๆ - ป้าย, อื่น ๆ - สเตนซิล บางคนกลับกลายเป็นดีขึ้น บางคนก็ไม่มาก

ในขณะนี้ เรากำลังใช้ระบบการนับจำนวนคนที่แตกต่างกัน โดยไม่แปลกใจที่ระบบการนับหมายเลขที่ 10 มีข้อได้เปรียบเหนือระบบอื่นๆ หลายประการ

ระบบเลขหกสิบของชาวบาบิโลนยังอยู่ระหว่างการศึกษาทางดาราศาสตร์ ร่องรอยนี้ได้รับการเก็บรักษาไว้จนถึงทุกวันนี้ เรายังคงวัดหนึ่งชั่วโมงในหกสิบวินาที ในปีหกสิบวินาที และยังหยุดนิ่งในเรขาคณิตสำหรับการสูญพันธุ์ของกุฏิด้วย

เราใช้ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งแบบโรมันเพื่อกำหนดย่อหน้า ส่วนต่างๆ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในวิชาเคมี

เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์มีระบบคู่ โดยอาศัยการรวมกันของตัวเลข 0 และ 1 สองตัวเท่านั้นที่คอมพิวเตอร์จะขึ้นอยู่กับวิธีการทำงานของเครื่อง เนื่องจากมีสภาวะที่เสถียรสองประการ: ไฟฟ้าแรงต่ำหรือแรงสูง ไม่มีการไหล มีแม่เหล็ก หรือไม่มีแม่เหล็ก สำหรับคน ตัวเลขสองหลัก ระบบมันไม่ง่ายเลย - เนื่องจากความยุ่งยากในการเขียนโค้ดและการแปลงตัวเลขจากระบบสองหลักไปเป็นเลขสิบและกลับมาอีกครั้งจึงไม่ใช่เรื่องง่ายพวกเขาจึงเริ่มใช้ระบบมาตราส่วนและเลขสิบหก

รายชื่อทารก

ตารางรายการ

สูตร

รายชื่อวรรณกรรมและวรรณกรรม

1. เบอร์แมน เอ็น.จี. “รากคุณและหมายเลข” OGIZ Gostekhizdat มอสโก 2490 r_k
2. Brugsch G. ทุกอย่างเกี่ยวกับอียิปต์ M: สมาคมสหพันธ์จิตวิญญาณ "ยุคทอง", 2543. 627 น.
3. Vigodsky M. Ya. เลขคณิตและพีชคณิต สู่โลกยุคโบราณอ.: เนากา, 2510.
4. Van der Waerden ปลุกวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ อียิปต์โบราณ, บาบิโลนและกรีซ / ทรานส์ 3 กอล ฉัน. เอ็น. เวเซลอฟสกี้ ม., 2502. 456 น.
5. จี.ไอ. กลาสเซอร์. ประวัติความเป็นมาของคณิตศาสตร์ในโรงเรียน อ.: การศึกษา, 2507, 376 หน้า
6. Bosova L. L. สารสนเทศ: คู่มือสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 6
7. โฟมิน เอส.วี. ระบบตัวเลข ม.: Nauka 2010
8. ระบบตัวเลขและตัวเลขทั้งหมด (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm)
9. พจนานุกรมสารานุกรมคณิตศาสตร์ ม.: “ดีใจ.. สารานุกรม", 1988. หน้า 847
10. Talakh V.N., Kuprienko S.A. อเมริกาเป็นอันดับแรก Dzherela กับประวัติศาสตร์ของชาวมายัน วิทยาศาสตร์ (Astecs) และอินคา
11. ทาลัค วี.เอ็ม. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการเขียนอักษรอียิปต์โบราณของชาวมายัน
12. A.P. Yushkevich ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 ปี 1970
13. ฉัน. เจ. เดปแมน ประวัติศาสตร์เลขคณิต 1965
14. L.Z. Shautsukova, “ความรู้พื้นฐานของวิทยาการคอมพิวเตอร์ในด้านโภชนาการและโภชนาการ”, ศูนย์วิทยาศาสตร์ “El-Fa”, นัลชิค, 1994
15. A. Kostinsky, V. Gubailovsky, ทริปเปิลซีโร่(http://www.svoboda.org/programs/sc/2004/sc.011304.asp)
16. 2550-2557 "ประวัติศาสตร์คอมพิวเตอร์" (http://chernykh.net/content/view/50/105/)
17. วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์.
18. หลักสูตรพื้นฐาน / เอ็ด. เอส.วี.ซิโมโนวิช. - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก, 2000 Zaretska I.T., Kolodyazhny B.G., Gurzhiy A.M., Sokolov O.Yu. วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์:สำหรับเกรด 10 11 โรงเรียนมัธยมศึกษาตอนต้น K.: ฟอรั่ม, 2544. 496 หน้า
19. GlavSprav 2009 2014 ( http://edu.glavsprav.ru/info/nepozicionnyje-sistemy-schisleniya/)
20. วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์.
21. เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์.
22. เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ / คู่มือ เอ็ด. O.I. Pushkar - ศูนย์ Vidavnichy, เคียฟ, - 2544
23. หนังสืออ้างอิงหลัก “รากฐานทางคณิตศาสตร์ของ EOM และระบบ” ส่วนที่ 1 ระบบจำนวน
24. O. Efimova, V. Morozova, N. Ugrinovich “หลักสูตรเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์” หนังสือเรียนพื้นฐานสำหรับโรงเรียนมัธยม
25. คากัน บี.เอ็ม. เครื่องจักรและระบบคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ ม.: โรงเรียนวิชชา, 2528
26. Mayorov S.A. , Kirilov V.V. , Pribluda A.A. , ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับ microEOM, L.: Mashinobuduvannya, 1988
27. โฟมิน เอส.วี. ระบบจำนวน, ม.: Nauka, 1987
28. Vigodsky M.Ya. ที่ปรึกษาวิชาคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา ม.: มหาวิทยาลัยเทคนิคและวรรณคดีทฤษฎีแห่งรัฐ พ.ศ. 2499
29. สารานุกรมทางคณิตศาสตร์. อ: "สารานุกรม Radyansk" 2528
30. Shauman A. M. พื้นฐานของเลขคณิตของเครื่องจักร เลนินกราด, มหาวิทยาลัยเลนินกราด. 2522 ถู