“ การบรรยายเกี่ยวกับการรับรู้ความแตกต่างที่สำคัญส่วนที่ 1 องค์ประกอบของทฤษฎีที่ยอดเยี่ยม ตำราเรียนเริ่มแรกวางข้อกำหนดที่เป็นพื้นฐานของทฤษฎีความแตกต่างอย่างมาก: …”

- [เรื่องที่ 1] -

เอ.อี. มามอนตอฟ

บรรยายจามรีในตอนแรก

ระดับที่แตกต่าง

องค์ประกอบของทฤษฎี ZAGAL

คู่มือเล่มแรกมีคำแนะนำวิธีการประกอบ

พื้นฐานของทฤษฎีการพิจารณาความแตกต่างหลัก: การทำความเข้าใจการตัดสินใจ, พื้นฐาน, ความสามัคคี,

การพึ่งพาพารามิเตอร์ นอกจากนี้ (ในมาตรา 3) ยังให้ความเคารพอย่างมากต่อการตัดสินใจที่ "ชัดเจน" ของผู้ปกครองบางชนชั้น การมอบหมาย Pos_bnik สำหรับ ทำลาย vivchennyaหลักสูตร "คณิตศาสตร์เชิงอนุพันธ์" โดยนักศึกษาที่กำลังเริ่มต้นที่คณะคณิตศาสตร์ของ Novosibirsk State Pedagogical University

UDC 517.91 BBK V161.61 คู่มือพื้นฐาน Peredmova สำหรับนักศึกษาคณะคณิตศาสตร์ของ Novosibirsk State Pedagogical University ที่ต้องการเรียนหลักสูตรภาคบังคับ "Differential Levels" ในลักษณะขยาย เพื่อประโยชน์ของผู้อ่าน เราจะแนะนำแนวคิดพื้นฐานและผลลัพธ์ที่เป็นรากฐานของทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ปฐมภูมิ: แนวคิดเรื่องการตัดสินใจ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการดำรงอยู่ ความสามัคคี และพารามิเตอร์ด้วย เนื้อหาคำอธิบายถูกจัดวางในลักษณะต่อเนื่องที่ดูเหมือนเป็นตรรกะกับข้อความใน §§ 1, 2, 4, 5 นอกจากนี้ (ใน § 3 ซึ่งยืนหยัดเล็กน้อยและขัดจังหวะหัวข้อหลักของหลักสูตรทันที) ข้อกำหนดที่สำคัญที่สุด โดยใช้เทคนิค “ชัดเจน” พิจารณาสั้นๆ เพื่อหาทางแก้ไขสำหรับยศระดับต่างๆ เมื่ออ่าน § 3 เป็นครั้งแรก คุณสามารถข้ามข้อความเพื่อดูโครงสร้างเชิงตรรกะของรายวิชาได้

สิทธิมีบทบาทสำคัญ และหลายสิ่งก็รวมอยู่ในข้อความด้วย ผู้อ่านขอแนะนำอย่างยิ่งให้แก้ปัญหา "อย่างถึงพริกถึงขิง" ซึ่งรับประกันว่าเนื้อหาจะเชี่ยวชาญและทำหน้าที่เป็นการทดสอบ ยิ่งไปกว่านั้น พวกเขามักจะมีสิทธิ์ที่จะทำซ้ำโครงสร้างเชิงตรรกะ กล่าวคือ หากไม่มีการตัดสินใจ บทบัญญัติทั้งหมดจะไม่ถูกนำมาใช้อย่างเคร่งครัด

แขนสี่เหลี่ยมตรงกลางข้อความมีหมายเหตุที่ใช้เป็นความคิดเห็น (คำอธิบายแบบขยายหรือด้านข้าง) ส่วนคำศัพท์เหล่านี้ขัดจังหวะข้อความหลัก (เช่น สำหรับการอ่านแบบเชื่อมโยง จะต้อง "ไม่ทำเครื่องหมาย") แต่ก็ยังต้องการคำอธิบายอยู่บ้าง กล่าวอีกนัยหนึ่ง เศษเหล่านี้จะต้องถูกดูดซึมในลักษณะเดียวกับกลิ่นเหม็นที่นำมาสู่ทุ่งนา

ข้อความถูกทำให้คมขึ้นโดยรูบริก "ความเคารพต่อหนังสือ" - อาจถูกละเว้นเมื่ออ่านในห้องเรียนหรือสำหรับหนังสือซึ่งจะเป็น vikoryst เช่นเมื่ออ่านการบรรยาย - ช่วยให้เข้าใจตรรกะได้ดีขึ้น หลักสูตรและเพื่อระบุโดยตรงถึงสิ่งที่เป็นไปได้ในรายละเอียด (ขยาย) หลักสูตร อย่างไรก็ตาม ความเคารพนี้สามารถเริ่มต้นได้เท่านั้น

บทบาทที่คล้ายกันนี้เล่นโดย "การเตรียมบัตรกำนัล" - กลิ่นเหม็นในรูปแบบที่รุนแรงมากเป็นหลักฐานของบทบัญญัติจริงที่ผู้อ่านมีสิทธิ์ได้รับ

คำ (สำคัญ) ที่ใช้บ่อยที่สุดจะใช้ในรูปแบบของตัวย่อ ซึ่งมีรายการอยู่ท้ายรายการเพื่อความสะดวกในการอ้างอิง นอกจากนี้ยังมีรายการแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เน้นในข้อความ แต่ไม่ได้กล่าวถึงข้อเท็จจริงที่แท้จริง (และในวรรณกรรมยังไม่เข้าใจอย่างชัดเจน)

สัญลักษณ์หมายถึงจุดสิ้นสุดของการพิสูจน์ การกำหนดความแน่วแน่ ความเคารพ ฯลฯ (นี่คือจุดที่จำเป็นเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน)

การกำหนดหมายเลขสูตรจะดำเนินการโดยตรงในส่วนผิวหนัง เมื่อเขียนส่วนหนึ่งของสูตรจะใช้ดัชนีเช่น (2) 3 หมายถึงส่วนที่ 3 ของสูตร (2) (ส่วนหนึ่งของสูตรรวมถึงส่วนที่แยกจากกันโดยการล้างการพิมพ์และจากตำแหน่งเชิงตรรกะ - โดยการเชื่อมต่อ “ ฉัน").

คู่มือเล่มนี้ไม่สามารถทดแทนการศึกษาหัวข้อนี้อย่างละเอียดถี่ถ้วนได้อย่างแน่นอน ซึ่งต้องอาศัยสิทธิ์ที่เป็นอิสระและการอ่านวรรณกรรมเพิ่มเติม เช่น รายการข้อมูลอ้างอิงที่อยู่ท้ายคู่มือ อย่างไรก็ตามผู้เขียนได้ลองใช้บทบัญญัติหลักของทฤษฎีในรูปแบบที่เรียบง่ายมากเหมาะสำหรับรายวิชาบรรยาย ทั้งนี้โปรดทราบว่าเมื่ออ่านรายวิชาบรรยายจากหนังสือเรียนเล่มนี้จะมีการบรรยายประมาณ 10 ครั้งในปีนี้

มีการวางแผนที่จะเผยแพร่อีก 2 ส่วน (เล่ม) ซึ่งจะดำเนินการต่อความช่วยเหลือนี้และทำให้วงจรการบรรยายในหัวข้อ "สมการเชิงอนุพันธ์ปฐมภูมิ" เสร็จสมบูรณ์: ตอนที่ 2 (สมการเชิงเส้น), ตอนที่ 3 (ทฤษฎีเพิ่มเติม ระดับไม่เชิงเส้น, Rivnannya ในกิจการส่วนตัวของลำดับที่หนึ่ง)

§ 1. การแนะนำดิฟเฟอเรนเชียลอีควอไลเซชั่น (DE) - สิ่งนี้สัมพันธ์กับรูปแบบ u1 u1 un, คล้ายกันมากขึ้น F y, u (y), ..., = 0, y1 y2 yk (1) de y = (y1 , ..., yk) Rk - ตัวแปรอิสระ และ u = u (y) - ฟังก์ชันที่มองไม่เห็น1, u = (u1, ..., un) ดังนั้น ใน (1) จึงไม่มีระดับที่ไม่รู้จัก ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีระดับ n เช่น F = (F1, ..., Fn) ดังนั้น (1) จึงเห็นได้ชัดว่ามีระบบที่มีระดับ n หากมีฟังก์ชันที่ไม่รู้จักหนึ่งฟังก์ชัน (n = 1) ระดับ (1) จะเป็นสเกลาร์ (หนึ่งระดับ)

ฟังก์ชัน (i) ได้รับ F (i) และคุณถูกค้นหา ถ้า k = 1 ดังนั้น (1) จะเรียกว่า ODE หรือเรียกว่า PDE อีกประเด็นหนึ่งคือหัวข้อหลักสูตรพิเศษของ MMF ซึ่งตีพิมพ์ในตำราเรียนชุดเดียวกัน ในหนังสือชุดนี้ (ซึ่งประกอบด้วย 3 เล่ม) เราจะเพิ่ม ODE เพียงไม่กี่เล่ม ต่อจากย่อหน้าที่เหลือของส่วนที่เหลือ (เล่ม) ซึ่งเราจะเพิ่มขั้นตอนรอบๆ ส่วน PDE

2u คุณใช้ 2 = 0 - CE PDE

y1 y ปริมาณที่ไม่ทราบ คุณสามารถเป็นคำพูดหรือซับซ้อนได้ ซึ่งไม่เป็นความจริง เนื่องจากช่วงเวลานี้สามารถนำขึ้นมาถึงรูปแบบของการเขียนโองการเท่านั้น: ถ้าบันทึกที่ซับซ้อนสามารถเปลี่ยนเป็นคำพูดได้ โดยทำให้คำพูดและส่วนจินตภาพแข็งแกร่งขึ้น (แม้ว่า ในกรณีนี้เห็นได้ชัดว่า sub ivshi เป็นจำนวนที่เท่ากันและไม่รู้จัก) และในบางกรณีให้ไปที่บันทึกที่ซับซ้อนด้วยตนเอง

ดู่ d2v dv · 2 = ยูวี; u3 = 2 ระบบนี้คือ 2 ODE Appl

dy dy dy สำหรับ 2 ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักจากตัวแปรอิสระ y

ถ้า k = 1 (ODE) แสดงว่าจะใช้เครื่องหมาย "ตรง" d / dy

คุณ (y) du Appl exp (sin z) dz - ce ODE เนื่องจากอาจนำไปใช้ได้ = U (u (y)) สำหรับ n = 1 - ราคาไม่ใช่รีโมทคอนโทรล แต่เป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงฟังก์ชัน

นี่ไม่ใช่ระบบควบคุม แต่เป็นสมการอินทิกรัล-ดิฟเฟอเรนเชียล และเราจะไม่ปฏิบัติต่อความเท่าเทียมกันดังกล่าว นอกจากนี้ สมการ (2) ยังสามารถลดลงเป็น ODE ได้อย่างง่ายดาย:

ขวา.

ตั้งค่า (2) เป็น ODU

ยิ่งไปกว่านั้น สมการอินทิกรัลยังเป็นวัตถุที่ซับซ้อนกว่า (มักรวมอยู่ในหลักสูตรการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน) แม้ว่าดังที่เราทราบ ตัวสมการเหล่านี้เองจะช่วยให้ได้ผลลัพธ์เดียวกันสำหรับ ODE

นอกจากนี้ ODE มักปรากฏขึ้นเมื่ออธิบายกระบวนการที่พัฒนาขึ้นในระหว่างชั่วโมง ดังนั้นบทบาทของตัวแปรอิสระจึงมีบทบาทในชั่วโมง t

ดังนั้นเซ็นเซอร์ ODU ในข้อมูลเพิ่มเติมดังกล่าวจึงรวมอยู่ในคำอธิบายของการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ของระบบตามช่วงเวลาปกติ ดังนั้น ด้วยตนเองเมื่อคุณตื่นนอน ทฤษฎีเบื้องหลัง ODE แสดงโดยตัวแปรอิสระผ่าน t (และเรียกเป็นเวลาหนึ่งชั่วโมงที่มีการสืบทอดจำนวนมาก ซึ่งหมายถึงการสืบทอดทางคำศัพท์) และฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก (i) (II) โดย x = (x1, ..., xn) . ในลักษณะดังกล่าว ซากัลนี วิกยาด ODE (ระบบ ODE) ของการโจมตี:

โดยที่ F = (F1, ..., Fn) - นั่นคือนี่คือระบบที่มี n ODE สำหรับ n ฟังก์ชัน x และถ้า n = 1 ดังนั้นหนึ่ง ODE สำหรับ 1 ฟังก์ชัน x

เมื่อ x = x (t), t R และ x ดูเหมือนมีค่าเชิงซ้อน (เพื่อความง่าย เนื่องจากการกระทำของระบบจะถูกเขียนให้กะทัดรัดมากขึ้น)

ดูเหมือนว่าระบบ (3) อยู่ในลำดับ m เทียบกับฟังก์ชัน xm

Pokhodni เรียกว่าผู้เฒ่า และ reshta (รวมทั้งตัวเองด้วย xm =) เรียกว่าเด็ก เนื่องจากทุกอย่างคือ m = จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะบอกว่าลำดับของระบบนั้นเก่าแก่

จริงอยู่ที่ตัวเลข m มักเรียกว่าลำดับของระบบซึ่งเป็นไปตามธรรมชาติดังที่ได้ชัดเจนแล้ว

การอภิปรายเกี่ยวกับความจำเป็นในการพัฒนา ODE และเงื่อนไขจะมีความสำคัญต่อการเสริมสาขาวิชาอื่นๆ (เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ กลศาสตร์เชิงทฤษฎีฯลฯ) และมักเกิดขึ้นระหว่างการปฏิบัติงานจริง (เช่น จากหนังสือปัญหา) ในหลักสูตรนี้ เราจะจัดการกับการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ของระบบรูปแบบ (3) ซึ่งอาจนำมาพิจารณาในโภชนาการสมัยใหม่:

1. “คุณธรรม” หมายถึงอะไร (ระบบ) (3);

2. จามรีเซโรบิติ;

3. หน่วยงานใดเป็นผู้ตัดสินใจและจะปฏิบัติตามอย่างไร

โภชนาการ 1 ไม่ชัดเจนเท่าที่ควร - น่าทึ่งมาก ต้าหลี่. สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าระบบใดๆ (3) สามารถลดลงเป็นระบบลำดับแรกได้ โดยระบุฟังก์ชันใหม่และที่ไม่รู้จัก วิธีที่ง่ายที่สุดในการอธิบายขั้นตอนนี้ด้วยตัวอย่าง:

จาก 5 ระดับสำหรับ 5 คนที่ไม่รู้จัก เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจว่า (4) และ (5) เท่ากันในแง่ที่ว่าจุดยอดของจุดยอดจุดหนึ่ง (หลังจากการออกแบบใหม่ที่เหมาะสม) จะยกเลิกการเชื่อมโยงอีกจุดหนึ่ง ในกรณีนี้ เราต้องไม่ลืมเกี่ยวกับความราบรื่นของการแก้ปัญหา - เราจะทำงานต่อไปหากเราเชื่อมต่อกับ ODE ที่มีลำดับสูงสุด (เช่นอันดับที่ 1)

แต่ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนแล้วว่าจำเป็นต้องเปลี่ยน ODE ของลำดับแรกเท่านั้น และอาจจำเป็นต้องใช้อย่างอื่นมากกว่านี้เพื่อความน่าเชื่อถือ (เราอาจมีสถานการณ์เช่นนี้ในบางครั้ง)

และตอนนี้เรามาร่าง ODE ของลำดับแรกกัน:

dimx = dimF = n

Vivchennya rіvnyannya (ระบบ) (6) ไม่ได้ใช้ด้วยตนเองเนื่องจากไม่ได้รับอนุญาตให้ทำ dx / dt ที่คล้ายกัน ดังที่เราเห็นจากการวิเคราะห์ (จากทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชันโดยนัย) ด้วยเหตุผลที่ดีในระดับ F (6) เราสามารถให้ dx / dt และเขียนมันลงในรูปแบบ f: ให้ Rn + 1 Rn และ x : R Rn เป็นเป้าหมาย ดูเหมือนว่า (7) เป็น ODE ที่ได้รับอนุญาตตามปกติ (ODE มีลักษณะปกติ) เมื่อย้ายจาก (6) ไป (7) โดยปกติแล้ว อาจเกิดการพับ:

ก้น

ค่า exp (x) = 0 ไม่สามารถเขียนในรูปแบบ (7) ได้ ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา เช่น Exp ไม่มีศูนย์ในพื้นที่ที่ซับซ้อน

ก้น

สมการ x 2 + x2 = 1 โดยมีค่าสูงสุดเขียนอยู่ในรูปของ ODE ปกติสองตัว x = ± 1 x2 ปฏิบัติตามบนผิวของคุณแล้วเห็นผล

เคารพ.

เมื่อ (3) ลดลงเหลือ (6) ความสามารถในการพับได้อาจหายไป เนื่องจาก (3) อาจทำให้เกิดลำดับ 0 สำหรับฟังก์ชันหรือส่วนของฟังก์ชันใดๆ (นั่นคือ นี่คือสมการเชิงฟังก์ชัน-ดิฟเฟอเรนเชียล) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ฟังก์ชันจะต้องรวมกับทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชันโดยนัย ก้น x = y, xy = 1 x = 1 / x จำเป็นต้องรู้ x จาก ODE ที่ได้รับ และจากนั้น y จากสมการเชิงฟังก์ชัน

อย่างไรก็ตาม ไม่ว่าในกรณีใด ปัญหาการเปลี่ยนจาก (6) เป็น (7) จะถูกนำไปสู่ระดับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ แทนที่จะเป็นระบบควบคุม และเราจะไม่จัดการกับมัน อย่างไรก็ตาม ด้วย ODE สูงสุดในรูปแบบ (6) อาจมีปัญหากับมุมมองของ ODE ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะปฏิบัติตามคำแนะนำที่ถูกต้องสำหรับงานที่สำคัญที่สุด (ดังที่อธิบายไว้ในตัวอย่าง) และง่ายต่อการ อ้างถึงมาตรา 3 เราจะเป็นแม่ ทางด้านขวาเป็นเพียงระบบและระดับปกติเท่านั้น ตอนนี้เรามาดู ODE (ระบบของ ODE) (7) กัน ลองเขียนมันลงไปในรูปแบบส่วนประกอบ:

และถ้าฉันต้องการทราบคลาสของ ODE เหล่านั้นซึ่งเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหา "อย่างชัดเจน" ก็เป็นไปได้ (เช่นเดียวกับวิธีที่เป็นไปได้ที่จะเข้าใจ "เข้าใจอินทิกรัล" เมื่อเป็นไปได้ แม้ว่าจะเป็นเช่นนั้นก็ตาม หายากมาก) คำต่อไปนี้เป็นเรื่องปกติที่เกี่ยวข้องกับพวกเขา: "บูรณาการ ODE", "บูรณาการ ODE" (อะนาล็อกเก่าของสมัยใหม่ "กำหนด ODE", "แก้ไข ODE") ซึ่งแสดงถึงแนวคิดที่ซับซ้อน เกี่ยวกับโซลูชั่น วิธีทำความเข้าใจคำศัพท์ในชีวิตประจำวันนั้นชัดเจนสำหรับเราทันที

โภชนาการนี้จะกล่าวถึงในมาตรา 3 (และตามธรรมเนียมแล้ว การให้ความเคารพอย่างสูงแก่เขาเมื่อเขาให้ความสำคัญกับการปฏิบัติจริง) แต่ก็ไม่จำเป็นต้องชื่นชมความเป็นสากลใดๆ จากแนวทางนี้ ตามกฎแล้วในระหว่างกระบวนการตัดสินใจ (7) เราจะเข้าใจกำหนดเวลาที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง

โปรดชี้แจงว่าฟังก์ชัน x = x (t) ใดที่สามารถเรียกใช้ได้ในโซลูชัน (7)

ประการแรก เป็นสิ่งสำคัญที่การกำหนดแนวความคิดของการตัดสินใจที่ชัดเจนนั้นเป็นไปไม่ได้หากไม่รวมการไม่มีตัวตนตามที่ถูกกำหนดไว้ แม้ว่าการตัดสินใจจะเป็นหน้าที่และหน้าที่ใดก็ตาม (เช่น วัตถุประสงค์ของโรงเรียน) เป็นกฎ จากนั้นปล่อยให้องค์ประกอบผิวหนังไม่มีตัวตนโดยสมบูรณ์ (เรียกว่าพื้นที่ที่ได้รับมอบหมายฟังก์ชัน) เป็นองค์ประกอบแรกของหลายหลากอื่น (ค่าของฟังก์ชัน) ด้วยวิธีนี้การพูดถึงฟังก์ชันโดยไม่ระบุขอบเขตของความหมายจึงไม่ไร้สาระในแง่ของความหมาย ฟังก์ชั่นการวิเคราะห์ (ในวงกว้างคือฟังก์ชั่นพื้นฐาน) ทำหน้าที่เป็น "การตำหนิ" (เพื่อทำให้เข้าใจผิด) ด้วยเหตุผลที่ให้ไว้ด้านล่าง (และเหตุผลอื่นๆ) แต่ไม่ว่าในกรณีใด เสรีภาพดังกล่าวเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้

และโดยไม่ต้องใส่ค่าหลายหลากของค่าของฟังก์ชันทั้งหมดที่มีส่วนร่วมใน (7) ดังที่เห็นได้ชัดต่อจากนี้ไป มันเป็นเรื่องยากมากที่จะเชื่อมโยงแนวคิดของการตัดสินใจกับความไม่เป็นตัวของความสำคัญ และการเคารพในการตัดสินใจของบุคคลต่างๆ เนื่องจากการไม่มีตัวตนของนัยสำคัญของพวกเขานั้นขึ้นอยู่กับการตัดสินใจหลายๆ อย่างที่ถูกหลีกเลี่ยง

บ่อยครั้งในสถานการณ์เฉพาะหมายความว่าหากมีการตัดสินใจในรูปแบบของฟังก์ชันพื้นฐานเพื่อให้การตัดสินใจ 2 ครั้งเป็นไปตาม "สูตรเดียวกัน" ก็จำเป็นต้องชี้แจงให้ชัดเจนว่าสิ่งใดที่หลีกเลี่ยงการไม่มีตัวตนซึ่งในการเขียนสูตร พลูทานินาซึ่งอดอาหารไม่ได้มาเป็นเวลานาน กำลังศึกษาในขณะที่มองเห็นวิธีแก้ไขลักษณะที่ปรากฏของฟังก์ชันพื้นฐาน เนื่องจากฟังก์ชันการวิเคราะห์ทำงานอย่างชัดเจนในช่วงเวลาที่มากขึ้น

ก้น x1 (t) = และที่ (0.2) і x2 (t) = และที่ (1.3) -การตัดสินใจต่างๆ

ระดับ x = x

ในกรณีนี้ เป็นเรื่องปกติในบริบทของการไม่มีตัวตน ที่การตัดสินใจใดๆ จะใช้เวลาช่วงปิด (อาจเป็นช่วงอนันต์) เนื่องจากความไม่เป็นตัวบุคคลนี้อาจ:

2. สอดคล้องกันเพื่อให้การตัดสินใจไม่สลายไปจากความไม่สอดคล้องกันของเนื้อหา (ในกรณีนี้จะสะดวกกว่าที่จะพูดคุยเกี่ยวกับการตัดสินใจ) - div ก้นหน้า.

ดังนั้น ผลเฉลย (7) คือคู่ (, (a, b)) โดยที่ a b + ถูกกำหนดให้กับ (a, b)

ความเคารพต่อวิคลาดัค ในหนังสือคู่มือบางเล่มอนุญาตให้รวมปลายของการตัดลงในพื้นที่ของวิธีแก้ปัญหาที่ต้องการได้ แต่นี่ไม่ได้ทั้งหมดเนื่องจากการที่รวบรวมเค้าโครงเท่านั้นและไม่ได้ให้การยืนยันที่แท้จริง (Div . § 4)

เพื่อให้เข้าใจโลกภายนอกได้ง่ายขึ้น ควรใช้การตีความทางเรขาคณิต (7) จะดีกว่า ในปริภูมิ Rn + 1 = ((t, x)) ที่จุดสกิน (t, x) โดยที่ f ถูกกำหนดไว้ คุณจะมองเห็นเวกเตอร์ f (t, x) หากในพื้นที่นี้กราฟอยู่ในแนวตั้ง (7) (เรียกว่าเส้นโค้งอินทิกรัลของระบบ (7)) กราฟนั้นจะถูกสร้างขึ้นที่จุดในรูปแบบ (t, x (t)) เมื่อเปลี่ยน t (a, b) จุดนี้ยุบกลับหัว ผลรวมย่อยของ ІК ที่จุด (t, x (t)) ดูเหมือนว่า (1, x (t)) = (1, f (t, x (t))) ดังนั้น ІК - ทั้งหมดนี้และเฉพาะเส้นโค้งเหล่านี้ในพื้นที่ Rn + 1 ซึ่งในแต่ละจุด (t, x) ขนานกับเวกเตอร์ทุกประการ (1, f (t, x)) เกี่ยวกับความคิดของแรงกระตุ้นนี้เรียกว่า วิธีไอโซไคลน์สำหรับ IR แบบ close-call ซึ่งใช้เมื่อแสดงกราฟของสารละลายไปยัง ODE เฉพาะ (div.

ตัวอย่างเช่น).

ตัวอย่างเช่น ด้วย n = 1 การตอบสนองของเราหมายถึงการโจมตี: ที่จุดสกิน IK ถึงแกน t แล้ว กำลัง tg = f (t, x) เป็นเรื่องปกติที่จะสรุปได้ว่าเมื่อนำจุดหนึ่งมาจากความไม่เป็นตัวของค่า f แล้ว เราก็สามารถดึง IK ผ่านจุดนั้นได้ แนวคิดนี้จะมีการพูดคุยกันอย่างเคร่งครัดต่อไป แม้ว่าเราจะไม่เห็นสูตรที่รุนแรงสำหรับความเรียบเนียนของสารละลาย แต่จะแบ่งย่อยให้ต่ำลง

ตอนนี้เรามาชี้แจงชื่อ B ซึ่งกำหนดให้ f กันดีกว่า มันเป็นเรื่องธรรมชาติครับพี่:

1. Vidkritim (Schob Ik สามารถเบื่อได้ที่บริเวณรอบนอกของจุด okolitsky ของ z b), 2. Zv'yazkovim (Inaaksha สามารถขึ้นสนิม Ovremo ได้ IK เดียวกันทั้งหมด (จามรีกราไฟท์ของฟังก์ชันไร้สาระ) ไม่สามารถกระโดดออกจาก อันหนึ่ง shmatk ในอีกอันหนึ่งดังนั้นการค้นหาวิธีแก้ปัญหาจะไม่ปรากฏบนความแรงของการนอนหลับ)

เราจะพิจารณาเฉพาะคำตอบแบบคลาสสิกเท่านั้น (7) เช่น คำตอบที่ x และ x ต่อเนื่องกัน (a, b) Todi โดยธรรมชาติ vimagati ดังนั้น f C (B) จากนี้ไปคุณจะสามารถเคารพเราตลอดไป ความหมายยังคงหลงเหลืออยู่ ให้ B Rn + 1 - พื้นที่, f C (B)

เป็นที่ชัดเจนทางเรขาคณิตว่า (7) มีวิธีแก้ปัญหามากมาย (ซึ่งเข้าใจได้ง่ายในรูปแบบกราฟิก) เพราะถ้าเราดำเนินการ IK ที่เริ่มต้นที่จุดของแบบฟอร์ม (t0, x0) โดยที่ t0 ได้รับการแก้ไขแล้ว เราจะสามารถระบุความแตกต่างใน IK ได้ นอกจากนี้ การเปลี่ยนช่วงเวลาของโซลูชันที่เลือกจะทำให้ได้โซลูชันที่แตกต่างกันตามการตั้งค่าของเรา

ก้น

x = 0 วิธีแก้: x = = const Rn อย่างไรก็ตาม หากคุณเลือก t0 ใดๆ และแก้ไขค่า x0 ของผลเฉลยที่จุด t0: x (t0) = x0 ค่าดังกล่าวจะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน: = x0 กล่าวคือ ผลเฉลยจะเท่ากันขึ้นอยู่กับการเลือกช่วงเวลา (ก, ข) t0

การมีอยู่ของวิธีแก้ปัญหาแบบไม่มีตัวตนที่ "ไร้ตัวตน" ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะทำงานร่วมกับพวกเขา2 - การ "นับ" วิธีแก้ปัญหาเหล่านั้นในลำดับถัดไปนั้นยากกว่า: รวมจิตใจเพิ่มเติมได้มากถึง (7) จิตใจเพื่อดูวิธีแก้ปัญหาหนึ่งเดียว (ในความหมายง่ายๆ) จากนั้นเรียงลำดับผ่านการล้าง yuchi ci รักษาผิวหนังด้วยวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้อง (ในเชิงเรขาคณิตวิธีแก้ปัญหาอาจเป็นหนึ่งเดียว (IK) แต่มีชิ้นส่วนมากมาย - เนื่องจากความซับซ้อนเราจะเข้าใจในภายหลัง)

วิซนาเชนเนีย. Zavdannya สำหรับ (7) - tse (7) ด้วยจิตใจเพิ่มเติม

เราได้แก้ไขปัญหาง่ายๆ ไปแล้ว - นี่คือความรู้ของ Koshy: (7) ในใจของเรา (ข้อมูลของ Koshy ข้อมูลของ cob):

จากมุมมองเพิ่มเติม งานนี้เป็นไปตามธรรมชาติ: ตัวอย่างเช่นเนื่องจาก (7) อธิบายการเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์บางอย่าง x ปี t ดังนั้น (8) หมายความว่าที่จุดเริ่มต้น (ต้น) ค่าของพารามิเตอร์คือ เป็นที่รู้จัก. จะต้องทำงานอื่นให้สำเร็จ ซึ่งเราจะพูดถึงในภายหลัง แต่สำหรับตอนนี้ เรามามุ่งเน้นไปที่งานของ Kosha กันดีกว่า โดยธรรมชาติแล้ว งานนี้มีความรู้สึกที่ (t0, x0) B เห็นได้ชัดว่าการตัดสินใจของงาน (7), (8) เรียกว่าการตัดสินใจ (7) (ในความหมายของสถานที่นี้) ดังนั้น t0 ( a, b) และวิคอนโน (8) งานเร่งด่วนของเราคือนำวิธีแก้ไขปัญหา Cauchy (7), (8) และพร้อมตัวอย่างเพิ่มเติม -วัดเป็นตาราง

, ดีกว่าเขียน x1 = ..., x2 = ..., ต่ำกว่า x = b / 2 ± ...

พวกเขายอมจำนนต่อ f - และความสามัคคีในความรู้สึกของการร้องเพลง

เคารพ.

เราจำเป็นต้องชี้แจงแนวคิดเรื่องบรรทัดฐานของเวกเตอร์และเมทริกซ์ (เราต้องการเพียงเมทริกซ์ในส่วนที่ 2) เนื่องจากในพื้นที่ปิด บรรทัดฐานทั้งหมดเท่าเทียมกัน การเลือกบรรทัดฐานเฉพาะจึงไม่มีนัยสำคัญ เนื่องจากเราเกี่ยวข้องกับค่าประมาณเท่านั้น ไม่ใช่ค่าที่แน่นอน ตัวอย่างเช่น สำหรับเวกเตอร์ คุณสามารถใช้ | x | p = (| xi | p) 1 / p, p - ตัด Peano (Picara) ลองดูที่กรวย K = (| x x0 | F | t t0 |) และส่วนที่ถูกตัดทอน K1 = K (t IP) ชัดเจนว่าเป็นเพียง K1 C

ที่เสร็จเรียบร้อย.

ตั้งค่าไว้ค่อนข้างดี (0, T0] และเรียกมันว่า Laman ของออยเลอร์ด้วย croque และตัวมันเอง: Laman ทั้งหมดใน Rn + 1 ซึ่ง skin lanka มีเส้นโครงบน t dozhin ทั้งหมด lanka แรกทางด้านขวาเริ่มต้นที่ จุด (t0, x0) ฉัน ดังนั้นบนนี้ dx / dt = f (t0, x0); ทางด้านขวาสุดของเลนนี้ (t1, x1) ทำหน้าที่เป็นทางซ้ายของอีกทางหนึ่งซึ่ง dx / dt = f ( t1, x1) ฯลฯ และในทำนองเดียวกันทางด้านซ้าย รากศัพท์ของลามานาหมายถึงฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแยกส่วน x = (t) นอกจากนี้ pobudova ก่อนทฤษฎีบท

จริงอยู่ที่นี่ ยกเว้นประเด็น ความชั่วร้ายเริ่มต้นขึ้น จากนั้น (s) (t) = (z) dz โดยที่จุดแห่งความชั่วร้าย ค่านิยมต่างๆ จะถูกนำไปใช้มากขึ้น

ในกรณีนี้ (การชนลามาเนียโดยการเหนี่ยวนำ) Zokrema, | (ท) x0 | ฉ | เสื้อ t0 |.

ทิมเองในฟังก์ชัน IP:

2. ไม่หยุดชะงักเท่า ๆ กัน เพราะ K. Lipshitsev:

หากจำเป็น ผู้อ่านควรทบทวนความรู้ของเขาเกี่ยวกับแนวคิดและผลลัพธ์เช่น: ความต่อเนื่องที่เท่ากัน การบรรจบกันที่เท่าเทียมกัน ทฤษฎีบทอาร์เซลา-อัสโคลี เป็นต้น

ตามทฤษฎีบทอาร์เซลา-แอสโคลี จะมีลำดับ k 0 โดยที่ k อยู่บน IP, de C (IP) อย่างไรก็ตาม (t0) = x0 ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะตรวจสอบสิ่งที่เราสามารถพิสูจน์หาค่า s t ได้

ขวา.

มองไปทางเดียวกัน

เราตั้งค่า 0 และค้นหา 0 ดังนั้นสำหรับทุก (t1, x1), (t2, x2) C เป็นจริง ซึ่งคำนวณได้ด้วยความต่อเนื่องที่เท่ากันบนคอมแพค C ค้นหา m N เพื่อให้ Fix t Int (IP) และ อย่าลืมชอบ s Int (IP) เช่น tst + Todi สำหรับทุกคน z maєmo | k (z) k (t) | F ดูที่ (4) | k (z) (t) | 2F.

ที่นี่มีความจำเป็นต้องเดาว่าฟังก์ชันการวิเคราะห์คืออะไร อย่าสับสนฟังก์ชันซึ่งนำเสนอเป็นอนุกรมคงที่ (เฉพาะโดยการเปิดเผยฟังก์ชันการวิเคราะห์ในส่วนที่เห็นได้ชัดของพื้นที่และความสำคัญของมันเท่านั้น)!

เคารพ.

กำหนด (t0, x0) เป็นไปได้ โดยการเปลี่ยนแปลง T และ R เพื่อเพิ่ม T0 อย่างไรก็ตามตามกฎแล้วสิ่งนี้ไม่สำคัญนักเนื่องจากใช้วิธีการพิเศษเพื่อกำหนดช่วงเวลาสูงสุดของการแก้ปัญหา (ส่วนที่ 4)

ทฤษฎีบทของ Peano ไม่ได้กล่าวถึงเอกภาพของการแก้ปัญหาเลย ด้วยการตัดสินใจที่สมเหตุสมผลของเรา มันจะไม่เหมือนเดิมเสมอไป เพราะหากมีการตัดสินใจ เสียงที่ดังขึ้นในช่วงเวลาที่มากขึ้นจะเป็นการตัดสินใจอื่น เราจะดูประเด็นนี้ในภายหลัง (ในมาตรา 4) แต่สำหรับตอนนี้ เราจะเข้าใจวิธีแก้ปัญหาของการตัดสินใจทั้งสองรายการในช่วงเวลาของความหมาย ในแง่นี้ ทฤษฎีบทของ Peano ไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับความสามัคคี ซึ่งไม่ใช่เรื่องน่าแปลกใจ เพราะในใจของพวกเขา ไม่สามารถรับประกันความสามัคคีได้

ก้น

n = 1, ฉ(x) = 2 | x |. งานของ Kosha มีวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย: x1 0 และนอกจากนี้ x2 (t) = t | เสื้อ |. โซลูชันทั้งสองนี้สามารถรวมกันเป็นตระกูลโซลูชัน 2 พารามิเตอร์ที่สมบูรณ์ได้:

de + (ค่าไม่มีที่สิ้นสุดหมายถึงการมีอยู่ของขอบนำ) หากเราพิจารณาความสำคัญทั้งหมดของการตัดสินใจ R ทั้งหมดนี้แสดงว่าพวกเขาร่ำรวยอย่างไม่น่าเชื่อ เป็นสิ่งสำคัญที่หากเรารวมการพิสูจน์ทฤษฎีบทของพีอาโนแบบเก่าผ่านลามาเนียของออยเลอร์เข้าไปด้วย ก็จะมีเพียงคำตอบที่เป็นศูนย์เท่านั้นที่จะเกิดขึ้น ในทางกลับกัน หากอยู่ในกระบวนการโน้มน้าวให้ลามานของออยเลอร์ยอมให้มีการทำลายผิวหนังเล็กน้อย จากนั้นหลังจากตั้งค่าพารามิเตอร์การทำลายให้เป็นศูนย์ การตัดสินใจทั้งหมดจะสูญหายไป ดังนั้นทฤษฎีบทของพีอาโนและลามาเนียของออยเลอร์จึงเป็นวิธีการธรรมชาติในการสร้างคำตอบและมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับวิธีเชิงตัวเลขความไม่สอดคล้องกันที่เห็นในแอปพลิเคชันเกิดจากการที่ฟังก์ชัน f ไม่ราบรื่นใน x ปรากฏขึ้นเมื่อคุณสวมใส่

สิทธิประโยชน์เพิ่มเติม

ด้วยความสม่ำเสมอของ f คูณ x จึงสามารถรับประกันความสามัคคีได้ และคำศัพท์ทั้งหมดนี้อยู่ในความหมายหลักที่จำเป็น (ส่วนด้านล่าง)

จุดเปลี่ยนที่สำคัญสำหรับเราคือ: ไม่ว่าฟังก์ชันของ Compact จะต่อเนื่องแค่ไหน แต่ก็มีโมดูลการทำงานที่ไม่สะดุดเป็นของตัวเอง กล่าวคือ ตอบสนอง (5) กับการดำเนินการ เรามาทำความเข้าใจกันดีกว่า เป็นที่ชัดเจนว่าเนื่องจาก g มีขนาดกะทัดรัดและ g C () ดังนั้น g จึงมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอใน นั่นคือ

- เอ็กซ์ย | - ก (x) ก (y) |. ปรากฏว่าเทียบเท่ากับจิต (๕) กับการกระทำ ในความเป็นจริงแล้วปรากฎว่าจำเป็นต้องมีโมดูลความต่อเนื่องเช่นนั้น (()) แล้วตามด้วย | xy | = = () แฟรกเมนต์ (i) ก็เพียงพอแล้ว จากนั้น x และ y ก็สามารถเป็นอย่างที่มันเป็นได้

และยังไงซะ ถ้า (5) เป็นจริง คุณต้องรู้สิ่งนั้น (()) แล้วตามด้วย | xy | = () ยกเลิกแล้ว การเตรียมการเปลี่ยนลอจิคัลที่หายไป:

สำหรับผู้ที่น่าเบื่อหน่ายจำเป็นต้องใช้ฟังก์ชันเกตและในตอน zagalny จำเป็นต้อง vikorist ที่เรียกว่า ฟังก์ชั่นประตูที่แข็งแกร่งขึ้น รากฐานของพวกเขาต้องการหลักฐานที่มั่นคง ซึ่งเราจะไม่จัดเตรียมไว้ให้ แต่สมมติว่าเป็นเพียงแนวคิด (เด็กๆ เล็กๆ น้อยๆ จะร่วมอ่านไปด้วย):

สำหรับ F ใดๆ จะมีนัยสำคัญ F (x) = min F (y), F (x) = max F (y) - สิ่งเหล่านี้เป็นฟังก์ชันที่ซ้ำซากจำเจและมีกลิ่นเหม็นของประตู ง่ายต่อการตรวจสอบว่า x x F (F (x)), (F) 1 (F (x)) x, F ((F) 1 (x)) x

โมดูลความต่อเนื่องที่สั้นที่สุดคือเชิงเส้น (Umova Lipshitsya) ฟังก์ชันเหล่านี้ "มีความแตกต่างกันอย่างมาก" เพื่อที่จะให้ความรู้สึกที่ชัดเจนแก่ส่วนอื่นๆ ของนภา เราจำเป็นต้องร้องเพลง zusillya และเราถูกล้อมรอบด้วยสองประการ:

1. ชัดเจนอย่างยิ่ง ไม่ใช่ว่าทุกฟังก์ชันของ Lipschitz จะมีความแตกต่างกัน ดังตัวอย่างที่แสดง g (x) = | x | ถึง R;

2. นอกจากความแตกต่างของร่องรอยแล้ว ยังมี Lipschitz อีกด้วย เนื่องจากมันแสดงให้เห็นการเริ่มต้นของการแข็งตัว ไม่ว่าหน้าที่ของ g ซึ่งมี M ทั้งหมดอยู่บนความไม่เป็นตัวนูน จะทำให้ Lipshits พอใจในใจของเขาหรือไม่

[เพื่อความสอดคล้อง ลองดูฟังก์ชันสเกลาร์ g กัน] พิสูจน์ สำหรับ x, y ทั้งหมด เป็นไปได้ชัดเจนว่าข้อความนี้เป็นจริงสำหรับฟังก์ชันเวกเตอร์

เคารพ.

เนื่องจาก f = f (t, x) (ดูเหมือนเป็นฟังก์ชันเวกเตอร์) เราจึงสามารถแนะนำแนวคิดของ “Lipschitz f ใน x” ได้ กล่าวคือ | F (t, x) f (t, y) | ซี | xy | และดำเนินไปโดยไม่ได้บอกว่าถ้า D นูนออกมาใน x สำหรับ t ทั้งหมด ดังนั้นเพื่อความสม่ำเสมอของ f ใน x ใน D ก็เพียงพอแล้วที่จะมี f ใน x ที่คล้ายกัน ซึ่งอยู่ติดกับ B เราประมาณค่า | ก.(x)ก.(y) | ผ่าน | xy |. เมื่อ n = 1 คุณควรมองหาสูตรเพิ่มเติมสำหรับการปรับปรุงจลน์ศาสตร์: g (x) g (y) = g (z) (xy) (เนื่องจาก g เป็นฟังก์ชันเวกเตอร์ ดังนั้น z จึงเป็นของตัวเองสำหรับส่วนประกอบของผิวหนัง ). เมื่อ n 1 คุณสามารถใช้อะนาล็อกที่น่ารังเกียจของสูตรนี้ได้ด้วยตนเอง:

ที่เสร็จเรียบร้อย.

สำหรับค่าคงที่ t ใด ๆ การคำนวณการพิสูจน์ของ Tverzhenya สำหรับ = D (t = t), g = fk นั้นนิ่ง อุปทานที่ต้องการจาก A (t, x, y) = A นั้นไม่มีสะดุดอย่างแท้จริง

กลับไปสู่ความสามัคคีในการแก้ปัญหา (1)

ลองยกกำลังด้วยวิธีนี้: ฟังก์ชันของโมดูลความต่อเนื่อง f ใน x คืออะไร ดังนั้นโซลูชัน (1) จึงรวมกันในแง่ที่ว่า 2 โซลูชันที่เขียนในช่วงเวลาเดียวกันถูกหลีกเลี่ยง การพิสูจน์ได้รับจากทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท. (ออสกู๊ด). ให้ทฤษฎีบทพีอาโนคำนึงถึงโมดูลของความต่อเนื่อง f ใน x ใน B กล่าวคือ ฟังก์ชันในความไม่ต่อเนื่องจะทำให้จิตใจพอใจ (คุณสามารถใช้ C ได้) ปัญหานี้ (1) ไม่สามารถสร้างวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกันสองค่าด้วยค่าในช่วงเวลาเดียวกัน (t0 a, t0 + b)

มาดูก้นกันดีกว่า ชี้ให้ดูเลย

เล็มมา

ถ้า z C 1 (,) ดังนั้นโดยทั้งหมด (,):

1. ณ จุดที่ z = 0, існє | z | และ || z | -

- ซี |;

2. ณ จุดที่ z = 0 การเคลื่อนไหวด้านเดียวจะปรากฏขึ้น | z | ± และ || z | |

- ซี | (โซเครมา ถ้า z = 0 ดังนั้น існє | z | = 0)

ก้น

n = 1, z(t) = t ณ จุด t = 0 ทางออก | z | มันไม่สำคัญ แต่มันเป็นการโจมตีฝ่ายเดียว

ที่เสร็จเรียบร้อย.

(เลมี). ณ จุดเหล่านี้ โดยที่ z = 0, імеz · z їм: існє | z | =, ฉัน || z | -

- ซี|. ที่จุดเหล่านี้ t โดยที่ z (t) = 0 เราสามารถ:

กรณีที่ 1: z (t) = 0 จากนั้นเรากำจัดความต้องการ | z | (ท) = 0.

ที่เสร็จเรียบร้อย.

สมมติว่ามี t1 IP ที่ (t, x (t)) C สำหรับค่า สูง t1 t0 จากนั้นจะมี t2 (t0, t1] โดยที่ | x (t) x0 | = R คล้ายกับข้อสรุปในทฤษฎีบทของออสกู๊ด เราสามารถสังเกตได้ว่า t2 คือจุดดังกล่าวที่ใหญ่ที่สุด และในเวลาเดียวกัน (t, x ( t)) C ดังนั้น |. f (t, x (t)) |. F และอื่น ๆ (t, x (t)) C ในทุก IP จากนั้น (แท็บซ้ำ) (t, x (t)) K1

ที่เสร็จเรียบร้อย.

(สืบทอด 2) C เป็นแบบหลายหลากที่กะทัดรัดกว่า ดังนั้น f คือ Lipschitz ใน x ใน C โดยที่กราฟของการตัดสินใจทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับ Lemy ข้อพิสูจน์ที่ 1 จำเป็นอย่างยิ่ง

เคารพ.

อุโมวา (7) หมายความว่า ริมฝีปากของจิตใจสำหรับ f สามารถอ่อนลงอย่างมาก ตัวอย่างเช่น ความคิดของเกลเดอร์ z 1 ไม่เหมาะอีกต่อไป เหมาะสำหรับโมดูลที่ไม่หยุดชะงักใกล้กับโมดูลเชิงเส้น - นี่คือวิธีย้าย "ใหญ่กว่า":

ขวา.

(โดสิทได้ง่ายขึ้น) เอาที่พอใจ (7) แล้วมี 1 ที่พอใจ (7) โดยที่ 1 / เป็นศูนย์

ไม่จำเป็นต้องใช้โมดูลความต่อเนื่องประเภทเดียวกัน f คูณ x เพื่อความสม่ำเสมอ - สามารถใช้รูปแบบพิเศษประเภทต่างๆ ได้ เช่น:

ยืนยันแล้ว ตามความคิดของทฤษฎีบทของ Peano มันเป็นเรื่องจริงที่ว่าถ้ามี 2 คำตอบ (1) เพลงใน 3 (9) ก็ชัดเจนว่า x C 1 (a, b) แล้วหาความแตกต่าง (9) ให้ (1) 1 และ (1) 2 อย่างเห็นได้ชัด

ในกรณีของ (1) สำหรับ (9) ย่อมมีวิธีแก้ไขในส่วนปิด

Picard สร้างขึ้นสำหรับวิธีการรุกสูงสุด (1) = (9) ของแนวทางต่อเนื่อง อย่างมีนัยสำคัญ x0 (t) x0 แล้วตามทฤษฎีบทการเหนี่ยวนำ (โคชิ-ปิการะ). ตามทฤษฎีบทของพีอาโน ฟังก์ชัน f คือ ลิปชิตซ์ใน x ในคอมแพ็ค K ใดๆ ในพื้นที่ B ซึ่งนูนใน x นั่นคือ

ดังนั้นสำหรับคำสั่งของ be-any (t0, x0) B Cauchy (1) (ชนะ (9)) จึงมีวิธีแก้ปัญหาเดียวบน Int (IP) และ xk x บน IP โดยที่ xk ถูกกำหนดไว้ใน (10)

(C คือคอมแพ็คตัมนูนใน x ใน B และสำหรับคำนี้เราหมายถึง L (C)) สำหรับ k = 0 การประมาณค่า (t, x1 (t)) K1 เสร็จสมบูรณ์แล้ว เนื่องจาก (12) เป็นจริงสำหรับ k: = k 1 ดังนั้น (10) จึงอาจจำเป็น ดังที่คุณทราบ อนุกรมนี้ถูกทำให้ใหญ่บน IP โดยอนุกรมตัวเลขมาบรรจบกัน ดังนั้น (เรียกว่าทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราส) จึงมาบรรจบกันบน IP อย่างสม่ำเสมอกับฟังก์ชันใดๆ x C (IP) Ale ce i หมายถึง xk x บน IP จากนั้นใน (10) ถึง IP เราจะไปที่ขอบเขตและลบ (9) ไปยัง IP ซึ่งหมายถึง (1) ถึง Int (IP)

ความเป็นเอกลักษณ์สามารถหาได้จากข้อพิสูจน์ที่ 1 จากทฤษฎีบทของออสกู๊ด แต่ก็เป็นไปได้ที่จะบรรลุผลสำเร็จในอีกทางหนึ่งเช่นกัน เพื่อให้ได้สมการเดียวกัน (9) ให้มีการตัดสินใจ 2 ครั้ง x1,2 งาน (1) (เช่น (9)) บน Int (IP) เนื่องจากมีความหมายมากกว่านั้น กราฟจึงต้องอยู่ใน K1 และโดยเฉพาะใน C ให้ t I1 = (t0, t0 +) ซึ่งเป็นจำนวนบวก โทดี = 1 / (2L (C)) Todi = 0 ทิมตัวเราเอง x1 = x2 บน I1

ความเคารพต่อวิคลาดัค อีกหนึ่งข้อพิสูจน์ถึงความสามัคคีที่อยู่เบื้องหลังความช่วยเหลือของ Gronwall แต่มันเป็นธรรมชาติมากกว่า เพราะมันเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องผ่านมันไปทั่วโลก แต่ไม่จำเป็นต้องใช้ด้วยตนเอง เพราะมันสำคัญที่จะต้องจัดการกับ ODE เชิงเส้นอย่างเพียงพอ

เคารพ.

ข้อพิสูจน์ความสามัคคีที่เหลืออยู่โดยหลักแล้วแสดงให้เห็นอีกครั้งในแง่มุมที่ต่างออกไปว่าความสามัคคีในท้องถิ่นนำไปสู่ความสามัคคีทั่วโลกได้อย่างไร (ซึ่งไม่เป็นความจริงตามวัตถุประสงค์)

ขวา. นำความเป็นเอกภาพของเครือข่ายมาสู่ IP ทั้งหมด โดยมีขนาดเดียวกับในทฤษฎีบทของ Osgoodสุภาพ

โอเคเรมี วิปาดก

(1) - ODE เชิงเส้น เช่น ค่า f (t, x) เป็นเส้นตรงใน x:

ในกรณีนี้ ในกรณีนี้ ในเคอร์เนล B ความมืดจะปรากฏขึ้น และความฉลาดของ lipschitz (และทิศทางของความแตกต่าง) ใน x ถูกกำหนดโดยอัตโนมัติ: สำหรับทุก t (a, b), x, y Rn Emo | ฉ (เสื้อ, x) ฉ (เสื้อ, y) | - ก (t) (x y) | - ก(ท) | - (Xy) |.

หากคุณเห็นคอมแพค (a, b) อย่างรวดเร็วเราจะลบ | ฉ (เสื้อ, x) ฉ (เสื้อ, y) | ล | (x y) |, de L = สูงสุด | ก|.

จากทฤษฎีบทของ Peano และ Hosgood และ Cauchy-Picart เห็นได้ชัดว่าปัญหา (13) มีความแตกต่างกันในช่วงเวลาใดๆ (Peano-Picart) ซึ่งเท่ากับ t0 ยิ่งไปกว่านั้น การตัดสินใจในช่วงเวลานี้อยู่ระหว่างแนวทางสุดท้ายของ Picard

ขวา.

ที่เสร็จเรียบร้อย.

เช่นเดียวกับใน TK-P เราจะแก้สมการอินทิกรัล (9) ด้วยความช่วยเหลือจากการประมาณสูตร (10) ในภายหลัง แต่ตอนนี้เราไม่จำเป็นต้องตรวจสอบความพอดีของกราฟในกรวยและทรงกระบอกเพราะว่า

f ใช้ได้กับ x ทุกตัวตราบใดที่ t (a, b) นอกจากนี้ยังจำเป็นต้องตรวจสอบด้วยว่า xk ทั้งหมดเท่ากันและไม่สามารถต่อรองได้บน (a, b) ซึ่งเห็นได้ชัดจากการเหนี่ยวนำ

แทนที่จะเป็น (12) เราจะแสดงค่าประมาณที่คล้ายกันของแบบฟอร์ม de N ซึ่งเป็นตัวเลขเดียวกันซึ่งอาจขึ้นอยู่กับการเลือก เทอมแรกสำหรับการประมาณค่านี้แตกต่างออกไป (เนื่องจากไม่เกี่ยวข้องกับ K1): สำหรับ k = 0 | x1 (t) x0 | N ถึงความต่อเนื่อง x1 และวันที่ที่จะมาถึงจะคล้ายกัน (12)

เป็นไปไม่ได้ที่จะไม่เขียนสิ่งนี้ลงไป เพราะเห็นได้ชัดว่า เป็นไปได้ที่จะทำเครื่องหมาย xk x on อีกครั้ง และ x є วิธีแก้ปัญหาเป็นข้อสรุป (10) จากนั้นเราก็ตัดสินใจกับทุกคน (a, b) เพราะการเลือกรุ่นกะทัดรัดก็เพียงพอแล้ว ความเป็นเอกลักษณ์เกิดจากทฤษฎีบทของ Osgood และ Cauchy-Picart (และข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเอกภาพของโลก)

เคารพ.

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น TK-P เคารพการมีอยู่ของทฤษฎีบทของ Peano และ Osgood อย่างเป็นทางการ แต่มันไม่ถูกต้องด้วยเหตุผล 3 ประการ - มันคือ:

1. ช่วยให้คุณสามารถเชื่อมต่อปัญหา Cauchy สำหรับ ODE กับสมการอินทิกรัล

2. แนะนำวิธีการที่สร้างสรรค์ของแนวทางต่อเนื่อง

3. ทำให้ง่ายต่อการสร้างพื้นฐานระดับโลกสำหรับ ODE เชิงเส้น

[แม้ว่าจะยังเป็นไปได้ที่จะอนุมานได้จากการลบล้างมาตรา 4 ก็ตาม] ต่อไป เรามักจะพึ่งพามันเองเป็นส่วนใหญ่

ก้น

x = x, x (0) = 1 การประมาณค่าต่อเนื่อง ซึ่งหมายความว่า x (t) = e คือคำตอบของปัญหาเอาท์พุตของ R ทั้งหมด

ส่วนใหญ่แล้วแถวจะไม่ได้ผลมิฉะนั้นความสร้างสรรค์ทั้งหมดจะสูญหายไป คุณยังสามารถประเมินการลักพาตัว x xk (div.) ได้ด้วย

เคารพ.

การใช้ทฤษฎีบทของ Peano, Osgood และ Cauchy-Picard ทำให้ง่ายต่อการหาทฤษฎีบทที่คล้ายกันสำหรับ ODE ที่มีลำดับสูงกว่า

1. หารที่ b (x) สิ่งสำคัญคือ f จะต้องต่อเนื่องกัน ดังนั้น C (,), b C (,) เช่น ในแกนของ B จะมีไส้ตรง (,) (,)(เห็นได้ชัดว่าไม่มีผิวหนังพวกเขาเริ่มโกรธแค้น) Impersonalities (b (x) 0) และ (b (x) 0) เป็นแบบเปิดและยังสิ้นสุดหรือชุดอันดับของช่วงเวลาด้วย ระหว่างช่วงเวลาเหล่านี้ มีจุดหรือส่วนที่ b = 0 ถ้า b (x0) = 0 แสดงว่าปัญหาคอชีสามารถแก้ไขได้ x x0 เป็นไปได้ว่าโซลูชันไม่ได้รวมกัน ดังนั้นในช่วงค่าของมันจะมีช่วงเวลา โดยที่ b (x (t)) = 0 แต่สามารถหารด้วย b (x (t)) ได้เช่นกัน เป็นที่น่าสังเกตว่าในช่วงเวลาเหล่านี้ฟังก์ชัน B เป็นแบบโมโนโทนิกดังนั้นเราจึงสามารถรับ B 1 ได้ เนื่องจาก b (x0) = 0 ดังนั้นเมื่ออยู่ใกล้ t0 เราจึงรู้ว่า b (x (t)) = 0 และขั้นตอนคือ ถูกกฎหมาย. ในลักษณะนี้ กระบวนการนี้อธิบายว่ามีความผิด ดูเหมือนหยุดนิ่งเมื่อแบ่งพื้นที่ของการตัดสินใจออกเป็นส่วนๆ

2. การรวมชิ้นส่วนซ้ายและขวาเข้ากับการเปลี่ยนแปลงต่างๆ

วิธีที่ 1 แจ้งให้เราทราบวิธีแก้ปัญหา รหัส (t) shi (1) x = (t) Maєmo: = a (t) b ((t)) ดาว - พวกเขายอมรับสูตรเดียวกันอย่างเคร่งครัด

วิธีที่ 2 Rivnannya - นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า การบันทึกเอาต์พุต ODE เป็นแบบสมมาตร กล่าวคือ ไม่ได้ระบุว่าตัวแปรใดเป็นอิสระและเป็นอิสระ รูปแบบนี้สมเหตุสมผลเหมือนกับที่เราได้ดูการเปรียบเทียบลำดับแรกกับทฤษฎีบทเกี่ยวกับค่าคงที่ของรูปแบบของดิฟเฟอเรนเชียลแรก

ที่นี่เราจะอภิปรายสั้น ๆ เกี่ยวกับแนวคิดเรื่องดิฟเฟอเรนเชียล ซึ่งแสดงไว้บนพื้นผิวของระนาบ ((t, x)) เส้นโค้งบนระนาบ ซึ่งได้รับอิทธิพลจากการเชื่อมต่อ องศาอิสระ พารามิเตอร์บนเส้นโค้ง

ด้วยวิธีนี้ สมการ (2) จะเชื่อมโยงส่วนต่าง t และ x กับ IK ที่ถูกต้อง ดังนั้นการรวมระบบการทำให้เท่าเทียมกัน (2) ในลักษณะที่แสดงในตอนแรกนั้นถูกกฎหมายอย่างแน่นอน - แน่นอนว่าหมายถึงการรวมกลุ่มตามการเปลี่ยนแปลงใด ๆ โดยมีกรอบในลักษณะที่เป็นอิสระ

ในวิธีที่ 1 แสดงโดยการเลือกการเปลี่ยนแปลงอิสระในจามรี เราสามารถแสดงสิ่งนี้ได้โดยการเลือกพารามิเตอร์ s ในตัวแปรอิสระ (เนื่องจากสิ่งนี้แสดงให้เห็นความเท่าเทียมกันของ t และ x ได้ชัดเจนยิ่งขึ้น) ให้ค่า s = s0 แทนจุด (t0, x0)

ดังนั้นเราจึงทำได้: = a (t (s)) t (s) ds ซึ่งหลังจากให้ ที่นี่เราควรเน้นความเป็นสากลของสัญกรณ์สมมาตร แต่: คอลัมน์ไม่ได้เขียนเป็น x (t) หรือเป็น t (x ) แต่เป็น x(s), t(s)

ก่อน URP จะมีการจัดการ ODU ลำดับแรกอื่นๆ ซึ่งสามารถเห็นได้ในลำดับสูงสุด (เช่น สมุดงาน)

อีกขั้นตอนสำคัญ - ODE เชิงเส้น:

วิธีที่ 1 การแปรผันคงที่

นี่เป็นการหักมุมที่สำคัญของแนวทางที่คลุมเครือมากขึ้นซึ่งจะกล่าวถึงในส่วนที่ 2 ประเด็นก็คือการค้นหาวิธีแก้ปัญหาในลักษณะพิเศษจะช่วยลดลำดับของความเท่าเทียมกัน

วิริชิโม สโวฉัตกุ ฟังดูดีมาก. ระดับเดียวกัน:

โดยอาศัยความสามัคคี ไม่ว่าจะเป็น x 0 หรือ x = 0 ในส่วนที่เหลือ (ให้ x 0 มีนัยสำคัญ) เราจะลบ (4) ซึ่งให้ผลเฉลยทั้งหมด (3) 0 (รวมทั้งศูนย์และค่าลบด้วย)

สูตร (4) มี C1 ค่อนข้างคงที่

วิธีการแปรผันแบบอยู่กับที่อยู่ที่ว่าคำตอบ (3) C1 (t) = C0 + โครงสร้างของ ORNU = CHRN + OROU (เกี่ยวกับรายงานนี้ในส่วนที่ 2) มองเห็นได้ (สำหรับระบบเชิงเส้นพีชคณิต)

หากเราต้องการแก้ปัญหาคอชี x (t0) = x0 เราต้องรู้ C0 จากข้อมูลคอชี - เราสามารถอนุมาน C0 = x0 ได้อย่างง่ายดาย

วิธีที่ 2 เรารู้ว่า IM นั่นคือฟังก์ชัน v เราต้องคูณ (3) (เขียนในลักษณะที่รวบรวมสิ่งที่ไม่รู้จักทั้งหมดทางด้านซ้าย: xa (t) x = b (t)) ดังนั้น การกระทำทางด้านซ้ายออกมารวมกันแบบแมนนวล

สมมติว่า: vx vax = (vx) เนื่องจาก v = av นั่นคือ (สมการดังกล่าวมีค่าเท่ากัน (3) เทียบเท่ากับการทำให้เท่าเทียมกันซึ่งง่ายต่อการระบุและให้ (5) หากปัญหาของ Cauchie ถูกต้อง จากนั้นใน (6) มันง่ายที่จะรวม Brotherly กับ ODE เชิงเส้น (3) เกี่ยวข้องกับการกระทำที่แตกต่างกัน ดังที่เห็นได้ในงานขั้นสูง (ตัวอย่างเช่น ตามหนังสือปัญหา)

ความคับข้องใจจากสถานการณ์เหล่านี้จะถูกปัดเศษด้วยสิ่งที่เรียกว่าการปะทุ รปภ. ลองดูที่ ODE ลำดับแรก (สำหรับ n = 1) ในรูปแบบสมมาตร:

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว (7) ระบุ ІК ในพื้นที่ (t, x) โดยไม่ระบุว่าตัวแปรจะถูกนำมาพิจารณาอย่างไร

หากคุณคูณ (7) ด้วยฟังก์ชัน M (t, x) ที่เพียงพอ คุณจะได้รูปแบบการเขียนสมการเดียวกันที่เทียบเท่า:

ดังนั้น ODE อันเดียวกันจึงมีบันทึกแบบสมมาตรจำนวนมาก ในหมู่พวกเขามีบทบาทพิเศษที่เรียกว่า รายการในดิฟเฟอเรนเชียลบนชื่อของ UPD อยู่ไม่ไกลเนื่องจากพลังนี้ไม่เท่ากัน แต่เป็นรูปแบบของรายการนั่นคือส่วนด้านซ้าย (7) อยู่ร่วมกับ dF (t, x) ด้วย ส่วน F

เป็นที่ชัดเจนว่า (7) จะเป็น UPD ก็ต่อเมื่อ A = Ft, B = Fx ด้วยขั้นตอน F ดังที่เห็นได้ชัดจากการวิเคราะห์ สำหรับส่วนที่เหลือ มีความจำเป็นและเพียงพอที่จะไม่ให้ความสำคัญด้านเทคนิคอย่างเคร่งครัด เช่น ความราบรื่นของ ฟังก์ชั่นทั้งหมด ทางด้านขวามือจะมีบทบาทที่แตกต่างออกไป - ไม่จำเป็นสำหรับส่วนอื่นๆ ของหลักสูตร และฉันไม่อยากเสียเงินเพิ่มไปกับการบริจาคอันร้อนแรงของฉัน

ด้วยวิธีนี้ หากกำหนด (9) แล้วจะมี F ดังกล่าว (ซึ่งเหมือนกับค่าคงที่การบวก) ดังนั้น (7) จะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบ dF (t, x) = 0 ( หน่วยІК) เช่น

F (t, x) = const vzdovzh ІКนั่นคือ ІКเป็นบรรทัดของฟังก์ชัน F เป็นที่ชัดเจนว่าการรวม UPD เข้าด้วยกันนั้นเป็นงานที่ไม่สำคัญเนื่องจากการค้นหา F สำหรับ A และ B ซึ่งตอบสนอง (9) ได้โดยไม่ยาก ถ้าไม่ได้สะกด (9) สิ่งต่อไปที่ต้องรู้คือเสียง IM M (t, x) เป็นเช่นนั้น (8) є UPD ซึ่งจำเป็นและเพียงพอที่จะสร้างอะนาล็อก (9) ซึ่งอยู่ในรูปแบบ:

ดังต่อไปนี้จากทฤษฎีของ PDE ลำดับที่หนึ่ง (ดังที่เราดูในส่วนที่ 3) สมการ (10) จะถูกตัดสินเสมอ ดังนั้นมันจึงบังเกิดผล ด้วยวิธีนี้ เพื่อให้สอดคล้องกับมุมมอง (7) จะมีบันทึกในมุมมองของ UPD และสิ่งนี้ทำให้สามารถบูรณาการ "ชัดเจน" ได้ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่อนุญาตให้มีวิธีการที่สร้างสรรค์ในแนวทางสุดท้าย เนื่องจากเพื่อประโยชน์ของความสำเร็จ (10) ดูเหมือนว่าจำเป็นต้องรู้วิธีแก้ปัญหา (7) ซึ่งเป็นสิ่งที่เรากำลังมองหา อย่างไรก็ตาม มีหลายวิธีในการคิด IM ซึ่งพบเห็นได้ทั่วไปในกิจกรรมเชิงปฏิบัติ (ตัวอย่าง div)

ด้วยความเคารพ สิ่งที่พิจารณาเหนือสิ่งอื่นใดคือการตัดสินใจของ URP และ ODU เชิงเส้น และเสริมด้วยอุดมการณ์ของ IM

ในความเป็นจริง URP dx / dt = a (t) b (x) เขียนในรูปแบบสมมาตร dx = a (t) b (x) dt คูณด้วย IM 1 / b (x) เนื่องจากคำกลับกัน ใน UPD dx / b (x) = a (t) dt เช่น dB (x) = dA (t) สมการเชิงเส้น dx / dt = a (t) x + b (t) เขียนในรูปแบบสมมาตร dx a (t) xdt b (t) dt คูณด้วย IM ในทางปฏิบัติทุกวิธีในการแก้ ODE "ในรูปแบบที่ชัดเจน"

(เบื้องหลังการตำหนิของบล็อกใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับระบบเชิงเส้น) เชื่อกันว่าด้วยความช่วยเหลือของวิธีการพิเศษในการลดลำดับและแทนที่การสลับผลลัพธ์จะลดลงเหลือ ODE ของลำดับแรก ซึ่งจากนั้นจึงลดลงเหลือ UPD และผลลัพธ์มีแนวโน้มที่จะทำให้ทฤษฎีบทพื้นฐานของจำนวนดิฟเฟอเรนเชียลหยุดนิ่ง: dF = 0 F = const โภชนาการเกี่ยวกับการลดลำดับจะรวมอยู่ในกิจกรรมภาคปฏิบัติ (ตัวอย่าง div)

สมมติว่ามีคำสองสามคำเกี่ยวกับ ODE ในลำดับแรก ซึ่งไม่ได้รับอนุญาตในลักษณะต่อไปนี้:

ดังที่ได้กล่าวไว้ใน § 1 คุณสามารถเรียนรู้ที่จะเปลี่ยน (11) ด้วย x และกำจัดรูปแบบปกติได้ แต่ไม่สมบูรณ์ มักจะง่ายกว่าที่จะวาง (11) ไว้ตรงกลาง

ลองดูที่ปริภูมิ ((t, x, p)) โดยที่ p = x ถูกมองว่าเป็นการเปลี่ยนแปลงอิสระทันที จากนั้น (11) ให้นิยามพื้นผิวในปริภูมินี้ (F (t, x, p) = 0) ซึ่งสามารถเขียนแบบพาราเมตริกได้:

สิ่งสำคัญคือต้องเดาว่าสิ่งนี้หมายถึงอะไร เช่น เบื้องหลังความช่วยเหลือของทรงกลมใน R3

คำตอบจะคล้ายกับเส้นโค้งบนพื้นผิวนี้: t = s, x = x (s), p = x (s) - ผู้ที่ยึดตามคำตอบ dx = pdt จะได้รับอิสรภาพขั้นตอนเดียว ให้เราเขียนการเชื่อมต่อนี้ในแง่ของพารามิเตอร์บนพื้นผิว (12): gu du + gv dv = h (fudu + fv dv) เช่น

ดังนั้นการตัดสินใจจึงสอดคล้องกับเส้นโค้งบนพื้นผิว (12) ซึ่งพารามิเตอร์เกี่ยวข้องกับเส้นโค้ง (13) ODE จะยังคงอยู่ในรูปแบบสมมาตรเพื่อให้สามารถปรับเปลี่ยนได้

วาง I หากในภูมิภาคใดๆ (gu hfu) = 0 ดังนั้น (12) แล้ว t = f ((v), v), x = g ((v), v) ให้การบันทึกแบบพาราเมตริกของเส้นโค้งในพื้นที่ ( (t , x)) (เช่น เราฉายภาพในพื้นที่นี้ เนื่องจากเราไม่ต้องการ p)

วิภาดกที่ 2 ในทำนองเดียวกัน ถ้า (gv hfv) = 0

วิภาโดกที่ ๓ ในบางจุดในเวลาเดียวกัน gu hfu = gv hfv = 0 ในที่นี้ จำเป็นต้องมีการวิเคราะห์โดยละเอียด ซึ่งชี้ให้เห็นว่าวิธีแก้ปัญหาบางอย่างเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ (บางวิธีเรียกว่าพิเศษ)

ก้น

ริฟเนียนายา เคลโร x = tx + x 2 มาโมโม:

x = ทีพี + p2 มากำหนดพารามิเตอร์พื้นผิวนี้กัน: t = u, p = v, x = uv + v 2 ระดับ (13) จะปรากฏขึ้นทันที (u + 2v) dv = 0

ตอนที่ 1 จี้ไม่ตระหนัก

วิภาดกที่ 2 u + 2v = 0 จากนั้น dv = 0 เช่น v = C = const

ซึ่งหมายความว่า t = u, x = Cu + C 2 - สัญกรณ์ IK เป็นแบบพาราเมตริก

มันง่ายที่จะเขียนให้ชัดเจนเป็น x = Ct + C 2

วิภาโดกที่ ๓ u + 2v = 0 เช่น v = u / 2 ซึ่งหมายความว่า t = u, x = u2 / 4 เป็นรายการพาราเมตริกของ “ผู้สมัคร IC”

เพื่อตรวจสอบว่า IK เป็นจริง เราเขียนมันในรูปแบบที่ชัดเจน x = t2 / 4 ปรากฎว่าวิธีนี้ (โดยเฉพาะ)

ขวา.

แจ้งให้เราทราบว่าการต้องกังวลเกี่ยวกับคนอื่นๆ เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่ง

ข้อเท็จจริงที่ซ่อนอยู่นี้ก็คือกราฟของการตัดสินใจใดๆ จะเป็นไปตามลำดับการตัดสินใจอื่นๆ ทั้งหมด ซึ่งขึ้นอยู่กับความสำคัญอื่น ๆ ของการตัดสินใจพิเศษนั้นชัดเจน (แผนก)

ขวา.

แจ้งให้เราทราบว่าสำหรับนิพจน์ Clairaut x = tx (x) ที่เป็นทางการมากขึ้นด้วยฟังก์ชันนูน วิธีแก้ปัญหาจะชัดเจนเป็นพิเศษ: x = (t), de - สร้าง Legendre vid ขึ้นมาใหม่ เช่น = () 1 หรือ ( เสื้อ) = สูงสุด (ทีวี (v)) ในทำนองเดียวกันสำหรับระดับ x = tx + (x)

เคารพ.

ด้วยการเผื่อเพิ่มเติมของ f เรานำมันมารวมกัน หมายความว่าเราหลีกเลี่ยงสองคำตอบที่คำนวณในช่วงเวลาเดียวกัน ถ้า f เป็นเส้นตรงใน x ก็จะมีพื้นฐานโดยรวม กล่าวคือ ในทุกช่วง จะมีการหาค่าสัมประสิทธิ์คงที่ของสมการ (ของระบบ) อย่างไรก็ตาม ดังที่แสดงโดยการทดลองความซบเซาของระบบเชิงเส้นของทฤษฎี ช่วงพีอาโน-พิคาร์ตดูเหมือนจะสั้นกว่าช่วงที่สามารถตัดสินใจได้ พลังธรรมชาติมาจาก:

1. จะกำหนดช่วงเวลาสูงสุดที่สามารถยืนยันการตัดสินใจ (1) ได้อย่างไร?

2. ช่วงใดจะเข้าใกล้ค่าสูงสุดเสมอ ความรู้สึกที่ถูกต้องของส่วนที่ (1) 1 คืออะไร?

3. จะกำหนดแนวคิดเรื่องความสามัคคีของการตัดสินใจได้อย่างไรโดยไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับช่วงเวลาของการตัดสินใจ

เกี่ยวกับผู้ที่ตอบสนองต่อโภชนาการ 2 มีปฏิกิริยาเชิงลบ (หรือค่อนข้างต้องแม่นยำมาก) ลองดูตัวอย่างนี้ x = x2, x (0) = x0 ถ้า x0 = 0 ดังนั้น x 0 - ไม่มีวิธีแก้ปัญหาอื่นตามทฤษฎีบทของออสกู๊ด ถ้า x0 = 0 ก็มีแนวโน้มว่าทารกจะถูกสร้างขึ้นในทางลบ) ช่วงเวลาการตัดสินใจต้องไม่เกิน (, 1 / x0) หรือ (1 / x0, +) แน่นอนสำหรับ x0 0 และ x0 0 (จุดไฮเพอร์โบลิกอีกจุดหนึ่งไม่มีน้ำหนักไปด้านบน! - นี่เป็นความเมตตาโดยทั่วไปสำหรับ นักเรียน). เมื่อมองแวบแรก ไม่มีสิ่งใดในงานสุดท้ายที่ "แนะนำผลลัพธ์ดังกล่าว" ในมาตรา 4 เรามีคำอธิบายเกี่ยวกับปรากฏการณ์นี้

ในการประยุกต์ใช้สมการ x = t2 + x2 ความเข้าใจโดยทั่วไปของนักเรียนเกี่ยวกับช่วงการตัดสินใจจะปรากฏขึ้น ความจริงที่ว่า "การกบฏถูกกำหนดไว้ทุกหนทุกแห่ง" ที่นี่ไม่ได้ชั่งน้ำหนักความต่อเนื่องของการตัดสินใจเลย สิ่งนี้ชัดเจนจากมุมมองในชีวิตประจำวันล้วนๆ เช่น เกี่ยวข้องกับกฎหมายทางกฎหมายและกระบวนการที่พัฒนาภายใต้กฎหมายเหล่านี้ เนื่องจากกฎหมายไม่ได้กำหนดรูปแบบการก่อตั้งบริษัทใดๆ ไว้อย่างชัดเจนในปี 2558 จึงไม่ได้หมายความว่าสิ่งนี้จะเกิดขึ้นเลย บริษัทคือ อย่าล้มละลายตลอดไปด้วยเหตุผลภายใน (แม้ว่าจะอยู่ภายใต้กฎหมายก็ตาม)

เพื่อที่จะตอบสนองต่อโภชนาการข้อ 1-3 (และเพื่อกำหนดสูตรให้ชัดเจน) จำเป็นต้องเข้าใจการตัดสินใจที่กำลังดำเนินอยู่ เราจะ (เหมือนอยู่บ้าน) เราจะพิจารณาการตัดสินใจ (1) 1 เป็นเดิมพัน (, (tl (), tr ()))

วิซนาเชนเนีย. การตัดสินใจ (, (tl (), tr ())) єความต่อเนื่องของการตัดสินใจ (, (tl (), tr ())) เช่นเดียวกับ (tl (), tr ()) (tl (), tr ()) ฉัน | (tl(), tr()) =.

วิซนาเชนเนีย. ความละเอียด (, (tl (), tr ())) - ไม่สามารถต่อเนื่องได้เนื่องจากไม่มีความต่อเนื่องที่ไม่สำคัญ (เช่นโดดเด่น) (กองชนเพิ่มเติม)

เป็นที่ชัดเจนว่า HP มีคุณค่าเป็นพิเศษ และในแง่ของความจำเป็นต้องบรรลุความสมบูรณ์และความสามัคคี มันเป็นพลังธรรมชาติที่ต้องตำหนิ - ไม่ว่าใครจะสามารถพัฒนา NR ได้ในอนาคต โดยขึ้นอยู่กับพลังในท้องถิ่นหรือจาก Cauchy ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า? มันปรากฏเช่นนั้น เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น เราจะมาแนะนำแนวคิดนี้:

วิซนาเชนเนีย. ชุดการตัดสินใจ ((, (tl (), tr ()))) นั้นไม่ฟุ่มเฟือยเนื่องจากการตัดสินใจ 2 รายการจากชุดนี้จะเกิดขึ้นเมื่อเปลี่ยนช่วงเวลาของการมอบหมาย

วิซนาเชนเนีย. ชุดโซลูชันที่ไม่มีความสามารถขั้นสูงเรียกว่าสูงสุด เนื่องจากไม่สามารถเพิ่มโซลูชันอื่นได้ เพื่อให้ชุดใหม่ไม่สามารถเข้าใจได้ชัดเจน และวางจุดใหม่ในพื้นที่เดียวกันเพื่อสร้างโซลูชัน

เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชัน INN เทียบเท่ากับฟังก์ชัน HP และตัวมันเอง:

1. หากเป็น NR ไม่ว่าจะเป็น INN คุณสามารถลบออกได้ คุณยังสามารถตั้งค่าเสียงของคุณได้

ขวา.

ตรวจสอบออก

2. ถ้า INN คือ INN ดังนั้น NR (, (t, t +)) จะเป็นดังนี้:

ใส่ (t) = (t), de - องค์ประกอบใด ๆ ของ INN ความหมายของประเด็นนี้ แน่นอนว่าฟังก์ชันดังกล่าวจะถูกกำหนดให้กับทุกสิ่งอย่างไม่คลุมเครือ (t, t +) (ความไม่คลุมเครือเกิดจากการไม่มีความคลุมเครือของเซต) และองค์ประกอบ INN ที่มีความสำคัญ ณ จุดนั้นจะถูกหลีกเลี่ยงในทุกจุด สำหรับ t (t, t +) ใด ๆ มีเพลงอยู่ในนั้นและดังนั้นในสภาพแวดล้อมนี้และเนื่องจากในสภาพแวดล้อมนี้มีวิธีแก้ปัญหา (1) 1 ดังนั้น - เหมือนกัน ดังนั้นจึงมีการตัดสินใจ (1) 1 กับทุกสิ่ง (t, t +) มันไม่ต่อเนื่องกัน เพราะในอีกกรณีหนึ่ง ส่วนขยายที่ไม่สำคัญสามารถเพิ่มให้กับ INN เกินกว่าค่าสูงสุดได้

Pobudova MNN zadannya (1) ในรูปแบบ zagalnom (ในความคิดของทฤษฎีบทของ Peano) หากไม่มีเอกภาพในท้องถิ่นก็เป็นไปได้ (div.) แต่มันยุ่งยาก - มันขึ้นอยู่กับความซบเซาของ Pokrokovsky ของทฤษฎีบทของ Peano ด้วย การประมาณจากด้านล่างของช่วงขยาย Nya ในลักษณะนี้ HP จะเข้าสู่โหมดสลีปเสมอ เราเตรียมพร้อมไว้เฉพาะในบางครั้งเท่านั้น หากมีความสามัคคีในท้องถิ่น INN (และ HP) ก็ไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่น เพื่อประโยชน์ที่สำคัญ เราจะดำเนินการภายใต้กรอบของ TK-P

ทฤษฎีบท. อย่าลืมตั้งสติ TK-P ในพื้นที่ B Rn + 1 ดังนั้นสำหรับคำสั่ง B (t0, x0) ใดก็ตาม (1) อาจมีหนึ่ง HP

หากจำเป็นต้องเป็น NR โดยมีพื้นฐานอยู่บนคุณธรรมท้องถิ่นที่ชัดเจน (1) 1 (และไม่ใช่ที่ Cauchy มอบให้) ปัญหานี้ขึ้นอยู่กับความชัดเจนของความสามัคคีในท้องถิ่นก็ลงมาที่ปัญหา Cauchy: จำเป็นต้องเลือก จุดใดจุดหนึ่งบน IR ที่ชัดเจนและดูสิ นี่คือปัญหาของ Cauchy งานนี้จะเป็นความต่อเนื่องของการตัดสินใจขั้นสุดท้ายเนื่องจากความสามัคคี เนื่องจากไม่มีเอกภาพ ดังนั้นการตัดสินใจต่อไปจึงเป็นไปตามขั้นตอนที่ระบุไว้ข้างต้น

เคารพ.

ไม่สามารถเพิ่ม HP ในช่วงท้ายของช่วงเวลาการนอนหลับได้ (โดยไม่คำนึงถึงจิตใจที่เป็นเอกภาพ) ดังนั้นการตัดสินใจจึงทำที่จุดสิ้นสุดเช่นกัน หากต้องการจำกัดขอบเขต คุณต้องชี้แจงสิ่งที่คุณต้องเข้าใจภายใต้โซลูชัน ODE ที่ส่วนท้ายของส่วนนี้:

1. แนวทางที่ 1. เดินหน้าการตัดสินใจ (1) 1 ในส่วนนี้มีฟังก์ชันตอบสนองความเท่าเทียมกันในตอนท้ายในแง่แนวทางด้านเดียว ดังนั้นความเป็นไปได้ของการตัดสินใจเพิ่มเติมเช่นที่ด้านขวาสุดของช่วงเวลาของการเริ่มต้น (t, t +] หมายความว่า IR เป็นจุดสิ้นสุดที่อยู่ตรงกลางของ B และ C 1 (t, t +] x(t+ ) = (t +) สำหรับ (1) และเมื่อรู้คำตอบแล้ว เราก็นำปลายด้านขวาของ t + ออกไป (ณ จุด t + ถูกขัดจังหวะด้วยการเคลื่อนไหวด้านเดียว และเท่ากับ f (t +, (t +)) ซึ่งหมายความว่าคุ้มค่าเป็นพิเศษ) เช่น bulo HP

2. แนวทางที่ 2 สำหรับวิธีแก้ปัญหา (1) 1 ในส่วนนี้มีฟังก์ชันที่ต่อเนื่องที่ปลายมิฉะนั้นจุดสิ้นสุดของ IK จะอยู่ใน B (ไม่ว่ายังไงก็ไม่จำเป็นต้องดึงความสนใจไปที่อินท์ซาค) - คุณจะยังคงเห็นความมืดมิดเหมือนเดิมเฉพาะในแง่ของสมการอินทิกรัลที่สอดคล้องกันเท่านั้น (div. report)

ด้วยวิธีนี้ โดยการแทรกเฉพาะช่วงเปิดเป็นทวีคูณของโซลูชันที่เลือกทันที เราไม่ได้ทำลายจุดแข็ง (และเฉพาะการเคลื่อนไหวที่ไม่จำเป็นด้วยการเคลื่อนไหวด้านเดียว ฯลฯ) เท่านั้นที่ถูกหลีกเลี่ยง

ในถุงเราได้รับอาหาร 3 ใส่ซัง§ 4: ด้วยชัยชนะของความสามัคคีของจิตใจ (เช่น Osgood หรือ Cauchy-Picard) ความสามัคคีของวิธีแก้ปัญหา HP ต่อปัญหาของ Cauchy เกิดขึ้น หากความสามัคคีในจิตใจแตกสลาย งานของ Kosha อาจมี HP มากมายทุกครั้งที่คุณต้องนอน ไม่ว่าการตัดสินใจ (1) (หรือเพียงแค่ (1) 1) จะสามารถขยายไปยัง HP ได้

เพื่อที่จะตอบสนองต่อแหล่งจ่ายไฟ 1.2 จำเป็นต้องตรวจสอบไม่เพียงแต่พฤติกรรมของ IK ในช่องว่างของ Rn + 1 เท่านั้น อาหารเกี่ยวกับวิธีที่ IK เกิดขึ้น "ใกล้ถึงจุดสิ้นสุด" บ่งชี้ว่าช่วงเวลา วันอาจสิ้นสุด และ IK อาจจบไม่แม่ (จุดสิ้นสุดของ IK ใน B จะไม่มีวันหลับ - ดูความเคารพในรายละเอียดมากขึ้น ไม่เช่นนั้นคุณอาจไม่หลับจุดสิ้นสุดของ I บน B - div. ด้านล่าง)

เรากำหนดไว้ในจิตใจของความสามัคคีในท้องถิ่น แต่ไม่ได้บังคับ - ดูสิ มีการกำหนด TPK ให้เป็นเกณฑ์สำหรับ HP

ในความคิดของ TK-P กราฟของระดับ NR ใด ๆ (1) 1 ปราศจากคอมแพค K B เช่น K B (t, t +): (t, (t)) K ที่ t

ก้น

K = ((t, x) B | ((t, x), B))

เคารพ.

ดังนั้น ІК НР ใกล้ t ± เข้าใกล้ B: ((t, (t)), B) 0 ที่ t t ± - กระบวนการดำเนินการตัดสินใจต่อไปไม่สามารถหมุนตรงกลาง B อย่างเคร่งครัด

ในแง่บวก ที่นี่เรามีสิทธิ์ที่จะแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงความเป็นบวกของการแบ่งย่อยระหว่างพหุคูณแบบปิดที่ไม่ตัดกัน ซึ่งหนึ่งในนั้นมีขนาดกะทัดรัด

ที่เสร็จเรียบร้อย.

แก้ไข KB ให้เป็น -0 (0, (K, B)) เนื่องจาก B = Rn + 1 ดังนั้น (K, B) = + จึงมีความสำคัญสำหรับค่าต่างๆ ไม่มีตัวตน K1 = ((t, x) | ((t, x), K) 0/2) มีขนาดกะทัดรัดใน B ดังนั้น F = max | ฉ|. ตัวเลขที่เลือก T และ R มีขนาดเล็กพอที่จะใช้ T 2 + R2 2/4 ได้ เช่น ทรงกระบอกใดๆ ตามข้อมูลของ TK-P ดูเหมือนว่าปัญหาเดียวกันนี้ได้รับการแก้ไขในช่วงเวลาก่อนหน้านี้ (t T0, t + T0) โดยที่ T0 = นาที (T, R / F) สำหรับทุก (t, x) K

ตอนนี้คุณสามารถใช้ = ที่จริงแล้ว เราต้องแสดงว่าถ้า (t, (t)) K แล้ว t + T0 t t + T0 เช่น ให้เราแสดงความกังวลใจของเพื่อน. วิธีแก้ปัญหาของ Cauchy (2) ที่มี x = (t) ไปทางขวาอย่างน้อยก็ถึงจุด t + T0 ไม่เช่นนั้นจะไม่เหมือนกันเพราะในแง่ของความสามัคคีจะมีส่วนขยายจากนั้น t + T0 t +

ด้วยวิธีนี้ กำหนดการ HP จะ "ถึง B" ก่อน ดังนั้นช่วงเวลาของการเปิดใช้งาน HP จะอยู่ภายในเรขาคณิต IK

ตัวอย่างเช่น:

ยืนยันแล้ว ให้ B = (a, b) Rn (เทอร์มินัลหรือช่วงเวลาต่อเนื่อง), f ทำให้จิตใจของ TK-P ใน B พึงพอใจ, การมอบหมาย HP (1) ด้วย t0 (a, b) Todi หรือ t + = b หรือ | (ท) | + ที่ t t + (ฉันคล้ายกับ t)

ที่เสร็จเรียบร้อย.

โอ้ที่รัก ให้ t + b จากนั้นให้ t + +

ทิมเองได้รับโภชนาการ 2 (พ่อก้นบนซัง§ 4): IK เพื่อให้ไปถึง B ไม่เช่นนั้นเส้นโครงโดยรวมอาจไม่ถึงจุดสิ้นสุดของการฉายภาพของ B บนทั้งเส้น โภชนาการถูกลิดรอน 1 - อะไรคือสัญญาณที่นอกเหนือจาก ODE ปัจจุบันที่สามารถตัดสินความเป็นไปได้ในการดำเนินการแก้ไขปัญหา "ช่วงกว้างสูงสุด" ต่อไป? เรารู้ว่าสำหรับ ODE เชิงเส้น ส่วนขยายนี้เป็นไปได้ แต่ในตัวอย่างที่ตอนต้นของ § 4 นี่เป็นไปไม่ได้

มาดูจุดเริ่มต้นเพื่อแสดงให้เห็นระยะสุดขั้วของ URP ที่ n = 1:

ค่าของอินทิกรัลที่ไม่มีค่า h (s) ds (สำคัญที่ไม่ใช่ตัวแปร = + หรือผ่านลักษณะเฉพาะของ h ที่จุด) ไม่ได้อยู่ในตัวเลือก (,) จากนั้นเราจะเขียน h (s) ds หากเรากำลังพูดถึงการลู่เข้าหรือการแยกอินทิกรัลของมัน

สิ่งนี้อาจได้ผลในทฤษฎีบทของออสกู๊ดและในข้อยืนยันที่เกี่ยวข้อง

ยืนยันแล้ว ปล่อยให้ C (,), b C (, +) ฟังก์ชันที่กระทำผิดเป็นบวกตามช่วงเวลา ปล่อยให้ปัญหา Cauchy (de t0 (,), x0) ถูกนำไปใช้กับ HP x = x (t) ในช่วงเวลา (t, t +) (,) โทดิ:

การสืบสวน.

ถ้า a = 1, = + แล้ว t + = + พิสูจน์ (ตเวียร์เชนเนีย). ถึงที่รัก x กำลังเติบโตอย่างน่าเบื่อหน่าย

ขวา.

เอามันมาเลย

นั่นคือเหตุผลว่าทำไม x (t +) = lim x (t) + Maєmo Vipadok 1. t +, x (t +) + - อึดอัดใจตาม TPK เพราะ X є HP

ความคับข้องใจถูกบูรณาการไม่ว่าจะสิ้นสุดหรือไม่มีที่สิ้นสุด

ขวา.

หลักฐานโดโรบิติ

การรองพื้นสำหรับ vikladach เป็นที่ชัดเจนว่าในเวลา 3: a (s) ds + และในเวลา 4 (ซึ่งมีการใช้งานเสมอ) จะเหมือนกัน

ดังนั้นสำหรับ ODE ที่ง่ายที่สุดที่มี n = 1 ในรูปแบบ x = f (x) ความต่อเนื่องของการแก้ปัญหาจะถูกกำหนดโดยความคล้ายคลึงกัน

อิสระ) ดูส่วนที่ 3

แต่ปรากฎว่าการมีอยู่ของ AT รับประกันว่าการตัดสินใจจะยังคงมีคุณค่าต่อทุกสิ่ง (,) (และดังนั้นจึงเป็นไปตามการประมาณการตลอดช่วงเวลาทั้งหมด) ดังนั้นทุกครั้งที่การประมาณค่านิรนัยถูกเปลี่ยนเป็นหลัง:

ทฤษฎีบท. ปล่อยให้ปัญหา Cauchy (1) เป็นไปตามจิตใจของ TK-P และสำหรับสิ่งนี้วิธีแก้ปัญหาคือสถานที่ AT ในช่วงเวลา (,) พร้อมกับการกระทำ h C (,) และทรงกระบอกโค้ง (| x | h (t ), เสื้อ (,)) บี . Todi HP (1) ถูกกำหนดให้กับทั้งหมด (,) (ซึ่งหมายความว่าเป็นไปตาม AT)

ที่เสร็จเรียบร้อย.

เรามาดูกันว่า t + (t คล้ายกัน) สมมุติว่า t+ ลองดูเซตกะทัดรัด K = (| x | h (t), t) B สำหรับ TPK ที่ t t + จุดกราฟ (t, x (t)) จะลบ K ออก ซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะดู AT

ดังนั้น เพื่อพิสูจน์ความต่อเนื่องของการตัดสินใจในช่วงเวลาที่กำหนด เราต้องประเมินการตัดสินใจอย่างเป็นทางการในช่วงเวลาที่จำเป็น

ความคล้ายคลึง: ความถูกต้องของฟังก์ชันตาม Lebesgue และการประมาณค่าอย่างเป็นทางการของอินทิกรัลมีแนวโน้มที่จะเป็นพื้นฐานที่แท้จริงของอินทิกรัล

ลองมาดูสถานการณ์ในขณะที่ตรรกะนี้ใช้งานได้ มาปิดท้ายด้วยภาพประกอบของวิทยานิพนธ์ที่เกี่ยวข้องกับ “การเพิ่ม f x ให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้”

ยืนยันแล้ว ให้ B = (,) Rn, f ทำให้จิตใจของ TK-P พอใจใน B, | ฉ (t, x) | a (t) b (| x |) โดยที่ i b ตอบสนองความคิดของ บริษัท เดิม z = 0 และ = + จากนั้นการตั้งค่า NR (1) จะเริ่มต้นที่ (,) สำหรับ t0 (,), x0 Rn ทั้งหมด

เล็มมา

Yakscho ฉันอย่างต่อเนื่อง (t0) (t0); ที่ t t Proof เรียน ในบริเวณใกล้กับ (t0, t0 +): ถ้า (t0) (t0) แสดงว่าเห็นได้ชัดเจนทันที แต่อย่างอื่น (เพราะ (t0) = (t0) = 0) จึงเป็นไปได้ (t0) = g ( t0, 0) (t0) ซึ่งให้ความต้องการอีกครั้ง

ตอนนี้เป็นที่ยอมรับแล้วว่าจะมี t1 t0 เช่นนั้น (t1) โดยวิธีการที่ชัดเจนเราสามารถรู้ได้ว่า (t1) t2 (t0, t1] โดยที่ (t2) = (t2) และบน (t0, t2)

g be-yak และความจริงต้องการมากกว่านี้ C และทุกที่ = ที่นั่น ไม่ต้องกังวลหรอก ลองดูเหมือนในเลมมาดีกว่า มีความไม่เท่าเทียมกันตรงนี้ แต่แล้วก็มี ODE ที่ไม่เป็นเชิงเส้น และมันก็ฟังดูเหมือนเป็นเช่นนั้น

คำสั่งของ Koshy x (0) = 0 อาจเป็นหนึ่ง HP x = 0 บน R

มีความฉลาดเพียงพออย่างมากใน f ซึ่งในกรณีนี้ พื้นฐานของ HP บน R + สามารถรับประกันได้ว่าจะมี x0 = x (0) เพียงเล็กน้อยตลอดเวลา ใครเล่าจะยอมรับได้ว่า (4) มีเสียงเช่นนั้น ฟังก์ชัน Lyapunov เช่น ฟังก์ชัน V เช่นที่:

1. วี ซี 1 (บี (0, ร));

2. sgnV (x) = sgn | x |;

เรามาตรวจสอบทฤษฎีของจิตใจ A และ B อีกครั้ง:

A. ลองดูปัญหา Cauchy | x1 | R / 2 สมมติว่าทรงกระบอก B = R B (0, R) คือพื้นที่ของค่าของฟังก์ชัน f ซึ่งแบ่งเขตด้วยคลาส C 1 เพื่อให้ค่าหลัก F = max | ฉ|. ด้านหลัง TK-P มีวิธีแก้ไข (5) กำหนดไว้ในช่วงเวลา (t1 T0, t1 + T0) โดยที่ T0 = นาที (T, R / (2F)) เมื่อเลือก T ขนาดใหญ่ คุณจะได้ T0 = R / (2F) สิ่งสำคัญคือ T0 จะไม่อยู่ในส่วนที่เลือก (t1, x1) หรือ | x1 | ร/2.

B. ตราบใดที่สารละลาย (5) ถูกทำเครื่องหมายและหายไปในเซลล์ B (0, R) เราก็สามารถดำเนินการทำให้บริสุทธิ์ได้ ใช่แล้ว:

V (x (t)) = f (x (t)) V (x (t)) 0 เช่น V (x (t)) V (x1) M (r) = สูงสุด V (y) . เป็นที่ชัดเจนว่า m และ M จะไม่เปลี่ยน จะไม่เปลี่ยน | ระดับ r ในศูนย์ m (0) = M (0) = 0 และตำแหน่งของศูนย์มีกลิ่นเหม็นเป็นบวก ดังนั้นจะพบว่า R 0 เท่ากับ M (R) m (R / 2) ด้วย ยัคชโช | x1 | R จากนั้น V (x (t)) V (x1) M (R) m (R / 2) ดาว | x(t) | R / 2 เรียน RR / 2

ตอนนี้เราสามารถกำหนดทฤษฎีบทได้ตามย่อหน้าแล้ว A, B แสดงโซลูชันระดับโลก (4):

ทฤษฎีบท. เนื่องจาก (4) มีฟังก์ชันเลียปูนอฟอยู่ใน B (0, R) ดังนั้นสำหรับ x0 B ทั้งหมด (0, R) (โดยที่ R ถูกกำหนดไว้ด้านบน) Cauchy NP x (t0) = x0 สำหรับระบบ (4) (โดยมีค่าใดก็ตาม t0) ถูกตั้งค่าเป็น +

ที่เสร็จเรียบร้อย.

ก้น

ลองมาดูปัญหาของ HP ของ Cauchy และปัญหาหนึ่งตามที่ตามมาจาก TK-P แต่ไม่สามารถระบุได้ในฟังก์ชันพื้นฐาน เราจะติดตามอำนาจนี้ได้อย่างไร? วิธีหนึ่งก็คือ: ขอแสดงความนับถือ ว่า (2) นั้น "ใกล้เคียง" กับปัญหา y = y, y (0) = 1 ซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหาที่หาได้ง่าย: y (t) = et เราสามารถสรุปได้ว่า x (t) y (t) = et แนวคิดนี้สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนดังนี้: ลองดูปัญหาที่ = 1/100 ce (2) และที่ = 0 ce งานสำหรับ y เมื่อเราพิสูจน์ได้ว่า x = x (t,) นั้นไม่ต่อเนื่องกัน (ในความหมายของเพลง) เราก็สามารถปฏิเสธได้ว่า x (t,) y (t) อยู่ที่ 0 และนี่หมายถึง x (t, 1/ 100) y ( เสื้อ) = และ

จริงอยู่ ยังไม่ชัดเจนว่า x ใกล้ y แค่ไหน แต่การพิสูจน์ความต่อเนื่องของ x ถึง y ถือเป็นขั้นตอนแรกที่จำเป็น โดยที่เป็นไปไม่ได้เลยที่จะเดินหน้าต่อไป

เช่นเดียวกับการติดตามความยาวของพารามิเตอร์ในข้อมูลซัง นอกจากนี้ ความลึกนี้สามารถลดลงได้อย่างง่ายดายตามความยาวของพารามิเตอร์ในส่วนขวาของสมการ ดังนั้นในตอนนี้จึงจำกัดอยู่เพียงรูปแบบที่กำหนด Nehaj f C (D) โดยที่ D คือพื้นที่ใน Rn + เค + 1; f liphitzev พร้อม x ในนูนใด ๆ พร้อม x กะทัดรัดด้วย D (เช่นการป้อนการเพิ่ม C (D)) คงที่ (t0, x0) อย่างมีนัยสำคัญ M = Rk | (T0, x0,) D - ไม่อนุญาตให้ยอมรับ (สำหรับปัญหา (4) ที่มีความละเอียดอ่อน) เป็นสิ่งสำคัญที่ M เปิดอยู่ เราจะพิจารณาว่า (t0, x0) ถูกเลือกเพื่อให้ M = สำหรับ TK-P สำหรับ M ทั้งหมด มีงาน HP เดียว (4) - ฟังก์ชั่น x = (t,) กำหนดไว้ในช่วงเวลา t (t (), t + ())

เห็นได้ชัดว่าเศษชิ้นส่วนที่อยู่ท่ามกลางความมั่งคั่งของการเปลี่ยนแปลง คุณต้องเขียน (4) ดังนี้:

เดอ (5) 1 viconano เกี่ยวกับการไม่มีตัวตน G = ((t,) | M, t (t (), t + ())) อย่างไรก็ตามการใช้เครื่องหมาย d / dt และ / t เป็นเรื่องทางจิตวิทยาล้วนๆ (ความสำคัญของพวกเขาอยู่ในแนวคิดทางจิตวิทยาเดียวกันของ "การตรึง") ดังนั้น การไม่มี G จึงเป็นหน้าที่ที่สำคัญสูงสุดตามธรรมชาติ และควรปฏิบัติตามโภชนาการเกี่ยวกับความต่อเนื่องของ G เอง

เราต้องการผลลัพธ์เพิ่มเติม:

เล็มมา

(กรอนวอลล์). โปรดฟังก์ชัน C, 0 ตอบสนองทุกการประเมินของ Todi ด้วยความเคารพต่อการคำนวณอย่างแท้จริง เมื่ออ่านการบรรยายคุณไม่สามารถจำสูตรนี้ล่วงหน้าได้ แต่ปล่อยไว้และเขียนไว้หลังจากที่แสดงแล้ว

จากนั้น Ale ก็ตัดแต่งสูตรนี้ด้วยความเคารพ เนื่องจากจะต้องใช้สูตรนี้ใน Tonz

เคารพ.

เป็นไปได้ที่จะหยิบยกประเด็นทั้งหมดนี้ขึ้นมาและด้วยสมมติฐานที่คลุมเครือมากขึ้นเกี่ยวกับ A และ B แต่เรายังไม่ต้องการมัน แต่จะมีรายละเอียดในหลักสูตร UMF (ดังนั้นจึงชัดเจนว่าเราไม่ได้ทำให้เสียชื่อเสียง ความต่อเนื่องของ A และ B เป็นต้น)

ตอนนี้เราพร้อมแล้วที่จะกำหนดผลลัพธ์ให้ชัดเจน:

ทฤษฎีบท. (ToNZ) ในกรณีของสตูว์ลึกประมาณ f i ในการแทรกที่กำหนด เป็นไปได้ที่จะทำให้แน่นขึ้นเพื่อให้ G เปิดและ C (G)

เคารพ.

เห็นได้ชัดว่า M ที่ไม่มีตัวตนจมลงดูเหมือนไม่ดี ดังนั้น I G อาจไม่สอดคล้องกัน

ความเคารพต่อวิคลาดัค อย่างไรก็ตาม หากเรารวม (t0, x0) ไว้ในจำนวนพารามิเตอร์ การเชื่อมต่อก็จะเป็น b - จึงถูกแบ่งออกเป็น

ที่เสร็จเรียบร้อย.

ให้ (t,) G. มีความจำเป็นต้องสื่อว่า:

ปล่อยให้มันสำคัญ t t0 สมมติว่า: M ดังนั้น (t,) ถูกกำหนดไว้บน (t (), t + ()) t, t0 และนั่นหมายถึงทุกส่วนโดยที่ t จุด (t, (t,)) ไหลผ่าน เส้นโค้งขนาดกะทัดรัด D ( ขนานกับไฮเปอร์เพลน (= 0)). ซึ่งหมายความว่าโดยไม่คำนึงถึงรูปลักษณ์ที่มีความสำคัญ จำเป็นต้องยืนอย่างสงบต่อหน้าต่อตาคุณ!

แบบเดียวกันนี้จะมีขนาดกะทัดรัดใน D สำหรับ a และ b ขนาดเล็ก (นูนเป็น x) ดังนั้นฟังก์ชัน f คือ Lipschitz ใน x:

[การประเมินนี้ต้องได้รับการพิจารณาอย่างรอบคอบต่อหน้าต่อตาคุณ! ] และสม่ำเสมอในการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด และยิ่งกว่านั้น | ฉ (เสื้อ, x, 1) ฉ (เสื้อ, x, 2) | (| 12 |), (t, x, 1), (t, x, 2)

[การประเมินนี้ต้องได้รับการพิจารณาอย่างรอบคอบต่อหน้าต่อตาคุณ! ] มาดู 1 สิ่งกันดีกว่าว่า | 1 | เป็นvіdpovіdnerіshennya (t, 1) Unpersonal (= 1) เป็นเซตที่มีขนาดกะทัดรัดใน D (= 1) และที่ t = t0 จุด (t, (t, 1), 1) = (t0, x0, 1) = (t0, (t0,) , 1) (= 1) และตาม TPK ที่ t t + (1) จุด (t, (t, 1), 1) ซ้ำซ้อน (= 1) ให้ t2 t0 (t2 t + (1)) - สำคัญที่สุดเมื่อเดาจุดที่จะไป

สำหรับรายวัน t2 (t0, t1] เราจะแสดงให้เจ้านายของเราเห็นว่า t2 = t1 พร้อมการทดแทนเพิ่มเติม ทีนี้มา t3 สมมติว่า (สำหรับ t3 ดังกล่าวทั้งหมด ค่าทั้งหมดจะถูกคำนวณเพิ่มเติมจากค่ารายวัน):

(T3, 1) (t3,) = f (t, (t, 1), 1) f (t, (t,),) dt ลองพิสูจน์ว่าค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า a

ฟังก์ชันอินทิกรัลได้รับการประเมินดังนี้:

ด้วยวิธีนี้ ด้วยตัวเลือก 1 นี้ ถ้า t3 = t2 ทั้งหมด | (t2, 1) (t2,) | ก และ | อีกด้วย 1 | ข. ซึ่งหมายความว่า (t2, (t2, 1), 1) จะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ t2 = t1 Ale ce zocrema หมายความว่า (t, 1) ถูกระบุในทุกส่วน เช่น T1 t + (1) และจุดทั้งหมดในรูปแบบ (t, 1) G เช่น t, | 1 | 1 (t1)

นั่นคือถ้าคุณต้องการให้ t + นอนราบ ไม่เช่นนั้นการตัดจะไม่เหลือทางซ้าย t + () เมื่อบวกเข้าไปใกล้ สำหรับลูกน้อย ในทำนองเดียวกันที่ t t0 จะแสดงพื้นฐานของตัวเลข t4 t0 และ 2 (t4) ถ้า t t0 ดังนั้นจุด (t,) B (, 1) G ในทำนองเดียวกันสำหรับ t t0 และถ้า t = t0 แสดงว่าความซบเซาของการดูถูกเกิดขึ้นดังนั้น (t0,) B (, 3) G โดยที่ 3 = นาที (12) สิ่งสำคัญคือเมื่อ (t,) ได้รับการแก้ไขแล้ว คุณจะพบ t1 (t,) ได้ ดังนั้น t1 t 0 (หรือเทียบเท่ากับ t4) และ 1 (t1) = 1 (t,) 0 (หรืออีกทางหนึ่งคือ 2) ดังนั้น ที่เลือก 0 = 0 (t,) ชัดเจน (เนื่องจากสามารถสอดไม้เท้าเข้าไปในวงแหวนทรงกระบอกได้)

ในความเป็นจริง จะมีการมอบพลังที่ละเอียดอ่อนยิ่งขึ้น: หาก HP ถูกกำหนดให้กับส่วนที่กำหนด HP ทั้งหมดจะถูกกำหนดพารามิเตอร์ที่คล้ายกันด้วยค่าใหม่ (เช่น

NR บูเรนีเล็กน้อยทั้งหมด) อย่างไรก็ตาม กำลังนี้มาจากความเปิดกว้าง G ดังที่แสดงด้านล่าง ดังนั้นสูตรจึงเทียบเท่ากัน

ทิมเองก็ทำข้อ 1 เสร็จแล้ว

หากเราอยู่ในกระบอกสูบที่กำหนดในอวกาศ ค่าประมาณที่ | 1 | 4(,ต,). ในชั่วโมงเดียวกัน | (t3,) (t,) | ที่ | t3 เสื้อ | 5 (, t,) ผ่านการไม่มีช่วงใน t ด้วยเหตุนี้ที่ (t3, 1) B ((t,)) เรามี | (t3, 1) (t,) |, de = นาที (4, 5) นี่คือข้อ 2.

“ กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซียการศึกษางบประมาณของรัฐบาลกลางการจัดตั้งการศึกษาวิชาชีพขั้นสูงมหาวิทยาลัยของรัฐสถาบันการจัดการเพื่อการฝึกอบรมการสอนวิทยาศาสตร์และวิทยาศาสตร์บุคลากรใหม่ โปรแกรมปัญหาการเข้าในสาขาวิชาพิเศษของการจัดการสังคมวิทยา มอสโก - 2014 1. องค์กร -คำแนะนำระเบียบวิธี โปรแกรมอ้างอิงเน้นการเตรียมสอบเข้าอาคารก่อนสำเร็จการศึกษาใน ... »

“อามูร์สกี้ มหาวิทยาลัยแห่งชาติภาควิชาจิตวิทยาและการสอน ความซับซ้อนทางระเบียบวิธีเบื้องต้นของจิตวิทยาการปรึกษาหารือทางวินัย โปรแกรมการศึกษาหลักโดยตรงสำหรับปริญญาตรี 030300.62 จิตวิทยา Blagoveshchensk 2012 การกระจาย UMKD ทบทวนแล้วแนะนำในการประชุมของภาควิชาจิตวิทยาและพิธีสารการสอน ... »

“ รัฐรถยนต์) Omsk - 2009 3 หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษาของรัฐสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาวิชาชีพสถาบันยานยนต์และถนนแห่งรัฐไซบีเรีย (SibADI) ภาควิชาวิศวกรรมการสอนคำแนะนำเชิงระเบียบในหัวข้อเทคโนโลยีการศึกษาสำหรับนักเรียนที่เชี่ยวชาญเป็นพิเศษ 050501 - การพัฒนาวิชาชีพ (รถยนต์ และยานยนต์ ... "

“หนังสือชุดพื้นฐาน G.S.Rosenberg, F.N.Ryansky THEORETICAL AND APPLIED ECOLOGY คู่มือพื้นฐานที่แนะนำสำหรับการศึกษาระเบียบวิธีขั้นพื้นฐานตามงานของมหาวิทยาลัยคลาสสิก สหพันธรัฐรัสเซียในยาโคสติ ผู้ช่วยเบื้องต้นสำหรับนักเรียนมัธยมปลาย การจำนองเริ่มต้นในสาขาพิเศษด้านสิ่งแวดล้อม ฉบับที่ 2 ของสาขา Nizhnevartovsk ของสถาบันสอนการสอน Nizhnevartovsk 2548 BBK 28.080.1ya73 R64 ผู้ตรวจสอบ: ปริญญาเอกชีววิทยา วิทยาศาสตร์ศาสตราจารย์ V. I. Popchenko (สถาบันนิเวศวิทยา ... »

“ กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของยูเครนการศึกษางบประมาณของรัฐบาลกลางการจัดตั้งการศึกษาวิชาชีพระดับสูงมหาวิทยาลัยการสอนแห่งรัฐครัสโนยาสค์ตั้งชื่อตาม วี.พี. อัสตาฟเอวา อี.เอ็ม. Antipova SMALL PRACTICUM ในพฤกษศาสตร์ สิ่งพิมพ์อิเล็กทรอนิกส์ KRASNOYARSK 2013 BBK 28.5 A 721 ผู้ตรวจสอบ: Vasilyev O.M., Doctor of Biological Sciences, ศาสตราจารย์ KDPU im. วี.พี. แอสตาฟอีวา; Yamskikh G.Yu. ปริญญาเอกสาขาธรณีวิทยาศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยสหพันธ์ไซบีเรีย Tretyakova I.N. วิทยาศาสตรดุษฎีบัณฑิตสาขาวิทยาศาสตร์ชีวภาพศาสตราจารย์ผู้เชี่ยวชาญชั้นนำของสถาบันป่าไม้ ... "

“ กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซียการจัดตั้งงบประมาณของรัฐบาลกลางของการศึกษาวิชาชีพระดับสูงมหาวิทยาลัยแห่งรัฐอามูร์ภาควิชาจิตวิทยาและการสอนการเริ่มต้นระเบียบวิธีที่ซับซ้อนวินัย PLINI พื้นฐานของกุมารเวชศาสตร์และสุขอนามัย โปรแกรมการศึกษาหลักสำหรับการฝึกอบรมโดยตรง 050400.62 การศึกษาด้านจิตวิทยาและการสอน Blagoveshchensk 2012 1 UMCD ความผิดปกติ ทบทวนและแนะนำในที่ประชุมภาควิชาจิตวิทยาและ... »

“ การแก้ไขงานด้วยการรับรอง ignited line State (podsumkova) ของผู้สำเร็จการศึกษาระดับ IX ของการติดตั้งระบบไฟจุดระเบิด (ในรูปแบบใหม่) 2013 r_k GEOGRAPHY มอสโก 2013 ผู้เขียนกำกับดูแล: Am Bartsumova E.M. การเพิ่มความเป็นกลางของผลลัพธ์ของการรับรองของรัฐ (ถุงย่อย) ของผู้สำเร็จการศึกษาจากการติดตั้งระบบไฟสลัวระดับ 9 (ใน ... »

“ คำแนะนำเชิงปฏิบัติสำหรับการพัฒนาและเนื้อหาที่มีระเบียบวิธีสำหรับการตีพิมพ์ภาษารัสเซียในฐานะภาษาอธิปไตยของสหพันธรัฐรัสเซีย คำแนะนำการปฏิบัติถูกส่งไปยังสิ่งพิมพ์ภาษารัสเซีย (รวมถึงภาษาต่างประเทศ) การทดแทน: คำแนะนำการปฏิบัติและคำแนะนำเชิงระเบียบวิธีจากการเลือก 1. การทดแทนเนื้อหาสำหรับผู้เริ่มต้นและนักเรียนขั้นสูงที่อุทิศให้กับปัญหาการทำงานของภาษารัสเซีย ภาษาอธิปไตย...»

“ E.V. การพัฒนา MURYUKINA ของความคิดเชิงวิพากษ์และความสามารถของสื่อของนักเรียนในกระบวนการวิเคราะห์ข่าว คู่มือพื้นฐานสำหรับมหาวิทยาลัย Taganrog 2008 2 Muryukina E.V. การพัฒนาการคิดเชิงวิพากษ์และความสามารถด้านสื่อของนักศึกษาในกระบวนการวิเคราะห์สื่อ คู่มือพื้นฐานสำหรับมหาวิทยาลัย Taganrog: ศูนย์ NP เพื่อการพัฒนาคุณสมบัติพิเศษ, 2551. 298 หน้า นักเรียนชั้นประถมศึกษาจะพิจารณาพัฒนาการของการคิดเชิงวิพากษ์และความสามารถด้านสื่อของนักเรียนในกระบวนการศึกษาด้านสื่อ สื่อที่เหลือของวันนี้... »

"เกี่ยวกับ. P. Golovchenko เกี่ยวกับการก่อตัวของกิจกรรมทางกายภาพของผู้คนส่วนที่ II P O D AG OGIK A สอง DAT Yelnya OH AKTI VN OSTI 3 Navchalne vidannya Oleg Petrovich Golovchenko การก่อตัวของกิจกรรมทางกายภาพของผู้คน หมู่บ้าน Navchalny Ibnik ตอนที่ II การสอนของกิจกรรมการไหล เห็นโดยเพื่อนแก้ไข *** บรรณาธิการ N.I. เค้าโครงคอมพิวเตอร์ Kosenkova ของ viconal D.V. Smolyak และ S.V. Potapova *** ลงนามถึง 23.11.2019 รูปแบบ 60 x 90 / 1/16. หนังสือพิมพ์ไทป์เฟซวิธีหัตถการให้เพื่อนมายด์ ปล..."

“ การติดตั้งการส่องสว่างของรัฐสำหรับการศึกษาวิชาชีพระดับสูงของ IM ของมหาวิทยาลัยแห่งรัฐคาซาน วี.ไอ. ULYANOVA-LENINA ห้องสมุดอิเล็กทรอนิกส์ของแหล่งข้อมูลทางวิทยาศาสตร์และการศึกษา คู่มือระเบียบวิธีขั้นพื้นฐาน Abrosimov A.G. Lazareva Yu.I. Kazan 2008 ห้องสมุดอิเล็กทรอนิกส์ของแหล่งข้อมูลทางวิทยาศาสตร์และการศึกษา คู่มือระเบียบวิธีขั้นพื้นฐานเพื่อกำหนดทิศทางทรัพยากรข้อมูลอิเล็กทรอนิกส์ - คาซาน: KDU, 2008. มีการเผยแพร่คู่มือระเบียบวิธีขั้นพื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหา ... "

“ กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของยูเครน สถานศึกษาของรัฐสำหรับการศึกษาวิชาชีพระดับสูง มหาวิทยาลัยแห่งรัฐ Orenburz แห่งสาขา Akbulak ภาควิชาการสอน V.A. วิธีการแห่งชัยชนะของ TETSKOV เวทย์มนต์ในจินตนาการในชั้นเรียนซังของโรงเรียนการศึกษาระดับมัธยมศึกษา การเพิ่มเติมอย่างมีระเบียบวิธีแนะนำก่อนที่จะตีพิมพ์โดยสภาบรรณาธิการ - ผู้เข้าชมของอธิปไตย จำนองเบา Orenburz State University เพื่อการศึกษาวิชาชีพขั้นสูง... »

“ กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของยูเครน กระทรวงการศึกษาของภูมิภาค Stavropol การส่องสว่างของรัฐ สถานประกอบการการศึกษาระดับมืออาชีพระดับสูง Stavropol State Pedagogical University N.I. วรรณกรรมเด็ก Dzhegutanova ของประเทศ Vivechayatsya MOVI เริ่มต้น - ระเบียบวิธีที่ซับซ้อน Stavropol 2010 1 ปฏิบัติตามการตัดสินใจของบรรณาธิการและวิทยาศาสตร์ UDC 82.0 เพื่อประโยชน์ของ BBK 83.3 (0) สถาบันการศึกษาของรัฐของการศึกษาวิชาชีพชั้นสูงของสถาบันการศึกษาแห่งรัฐ Stavropol สถาบันที่มีเกียรติ ผู้วิจารณ์: ... »

“ข้อบังคับเกี่ยวกับระบบใหม่ของการประเมินคุณภาพการศึกษาในโรงเรียน MBOU Kamishinsky ZOSH 1. บทบัญญัติทั่วไป 1.1. กฎระเบียบเกี่ยวกับระบบภายในโรงเรียนสำหรับการประเมินคุณภาพแสงสว่าง (ต่อไปนี้จะเรียกว่าข้อบังคับ) กำหนดประโยชน์บางประการสำหรับการดำเนินการตามระบบภายในโรงเรียนเพื่อประเมินคุณภาพของแสงสว่าง (ต่อไปนี้จะเรียกว่า SSOKO) ในเขตเทศบาล กองทุนแสงสว่างงบประมาณของโรงเรียนมัธยมต้น Kamishinsky นอกเมือง (ต่อไปนี้จะเรียกว่าโรงเรียน) 1.2. การปฏิบัติจริงของ SSOKO จะสอดคล้องกับ... »

“ กระทรวงสาธารณสุขของสาธารณรัฐอุซเบกิสถาน ทาชเคนต์สถาบันการแพทย์แผนก GP ของ บริษัท โรคภูมิแพ้ทางคลินิกคลินิกรองอธิการบดีที่มีผลงานเริ่มต้นศาสตราจารย์ อ.ร. Teshaev _ 2012 คำแนะนำที่เสร็จสมบูรณ์แล้ว การพัฒนาระเบียบวิธีขั้นพื้นฐานสำหรับผู้ปฏิบัติงานเพื่อใช้ระบบระเบียบวิธีเดียว บันทึกระเบียบวิธีสำหรับครูแพทย์ VNZ ทาชเคนต์ - 2012 กระทรวงสาธารณสุขของสาธารณรัฐ GLIKI UZBEKISTAN MEDICAL EDUCATION CENTER ทาชเคนต์การแพทย์ ... »

“ หน่วยงานของรัฐบาลกลางเกี่ยวกับมหาวิทยาลัยแห่งรัฐ Girnicho-Altai A. P. Makosh ภูมิศาสตร์การเมืองและภูมิศาสตร์ศาสตร์ตำราเรียนระเบียบวิธีขั้นพื้นฐาน Girnicho-Altaisk RIO ของมหาวิทยาลัยแห่งรัฐ Girnicho-Altai 200 6 ติดตามการตัดสินใจของกองบรรณาธิการและนักวิชาการของมหาวิทยาลัยแห่งรัฐ Girnicho-Altai Makos A. P. ภูมิศาสตร์การเมืองและภูมิศาสตร์การเมือง หนังสือเรียนระเบียบวิธีขั้นพื้นฐาน - Girnicho-Altaysk: RIO GAGU, 2549.-103 น. คู่มือระเบียบวิธีขั้นพื้นฐานแบ่งออกเป็นส่วนต่างๆ จนถึงพื้นฐาน ... »

“เอ.วี. Novitska, L.I. Mikolaeva SCHOOL OF MAIBUTH SUCHASNA OCVITARY PROGRAM Gatherings of life 1st GRADE methodological handbook FOR TEACHERS IN EARLY CLASSES Moscow 2009 UDC 371 (075.8) BBK 74.00 N 68 ลิขสิทธิ์ถูกต้องตามกฎหมาย ส่งถึงผู้เขียนใน zo kovo Novitska O.V., Mikolaeva L.I. น 68 สุชาสนา โปรแกรมแสงสว่างการรวมตัวของชีวิต. - อ.: อาฟวัลลอน, 2552. - 176 หน้า ISBN 978 5 94989 141 4 โบรชัวร์นี้มีไว้สำหรับครูเป็นหลักและแน่นอนว่าเป็นข้อมูล ... "

“ ความซับซ้อนของวิธีการเริ่มต้นของ RUSSIAN PIDPRIEMNITSKE LAW 030500 - Jurisprudence Moscow 2013 ผู้เขียน - หัวหน้าภาควิชากฎหมายแพ่งผู้ตรวจสอบ - ความซับซ้อนเบื้องต้นของการพิจารณาและการยกย่องในการประชุมของแผนก ระเบียบวินัยทางแพ่งและกฎหมาย หมายเลข ลงวันที่ _2013 กฎหมายผู้ประกอบการรัสเซีย: เริ่มต้นและมีระเบียบวิธี ... »

“ก. A. Yamashkin V. V. Ruzhenkov อัล. A. Yamashkin ภูมิศาสตร์ของสาธารณรัฐมอร์โดเวีย หัวหน้าสิ่งพิมพ์ SARANSK VIDAVNITSTUVO MORDOVIAN UNIVERSITY 2004 UDC 91 (075) (470.345) BBK D9 (2Р351-6Мо) Y549 ผู้ตรวจสอบ: ภาควิชาปรัชญา ภูมิศาสตร์ที่สำคัญของ Voronezh State Pedagogical University; หมอวิทยาศาสตร์ทางภูมิศาสตร์ ศาสตราจารย์ A. M. Nosonov; ครูของโรงเรียนคอมเพล็กซ์หมายเลข 39 Saransk A. V. Leontyev มุ่งมั่นที่จะตัดสินใจเกี่ยวกับระเบียบวิธีเบื้องต้นเพื่อประโยชน์ของคณะการฝึกอบรมก่อนเข้ามหาวิทยาลัย

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของมหาวิทยาลัยนิวเคลียร์ขั้นสูงแห่งชาติ RF "MYTHI" T.I. Bukharova, V. L. Kaminin, A. B. Kostin, D. S. Tkachenko หลักสูตรการบรรยายเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์พื้นฐาน แนะนำโดยสถาบันการศึกษาด้านการศึกษา "ฟิสิกส์นิวเคลียร์และเทคโนโลยี" เป็นหนังสือเรียนพื้นฐานสำหรับนักเรียนขั้นสูง มอสโก 2011 UDC 517.9 BBK 22.161.6 B94 Bukharova T.I., Kaminin V.L. , Kostin A.B. , Tkachenko D.S. รายวิชาบรรยายเรื่องสมการเชิงอนุพันธ์พื้นฐาน: คู่มือพื้นฐาน - อ.: NRNU MYFI, 2554. - 228 น. คู่มือเล่มแรกถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของหลักสูตรการบรรยายซึ่งผู้เขียนที่สถาบันวิศวกรรมและฟิสิกส์มอสโกจะอ่านในอนาคต มีไว้สำหรับนักศึกษา NRNU MEPhI ของทุกคณะ รวมถึงนักศึกษามหาวิทยาลัยที่มีการฝึกอบรมทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง คู่มือนี้จัดทำขึ้นภายใต้กรอบของโครงการเพื่อการสร้างและพัฒนา NRNU MIFI ผู้วิจารณ์: วิทยาศาสตรดุษฎีบัณฑิต สาขาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์. วิทยาศาสตร์ N.A. คุดรียาชอฟ ISBN 978-5-7262-1400-9 © National Doslednitsky Nuclear University “MIFI”, 2011 Zmist Peredmova - - - และกลาง...” สมการเชิงอนุพันธ์เริ่มต้น 198 ระบบไม่เป็นอิสระของOAU - ln C 6 x0 x0 หลังจากความแรงของความไม่สม่ำเสมอและความเมื่อยล้าที่เหลืออยู่ (2.3) เรามี 2 x 3 Zx Z u (x) 6 C + u (t) v (t) dt 6 C exp 4 v (t) dt5 x0 x0 สำหรับทั้งหมด x 2 [1, 1] เราประมาณค่าความแตกต่าง jf (x, y2) f (x, y1) j = sin x y1 y2 6 สำหรับทั้งหมด (x, y) 2 G ด้วยวิธีนี้ f จะทำให้จิตใจของคนลิปชิตพอใจโดยที่ L = 1 ไปด้วยจริงๆ L = บาป 1 คูณ y อย่างไรก็ตาม การเข้าใกล้ fy0 ที่จุด (x, 0) 6 = (0, 0) ไม่ทำงาน ทฤษฎีบทถัดไปช่วยให้เราสามารถแก้โจทย์ของคอชีได้สำเร็จ ทฤษฎีบท 2 1 (เกี่ยวกับการประมาณค่าความแตกต่างระหว่างสองคำตอบ) ให้ G บริเวณ 2 ใน R และ f (x, y) 2 CG และให้ G อยู่ในใจของ Lipshits พร้อมกับ y ด้วยค่าคงที่ L เนื่องจาก y1, y2 เป็นสองคำตอบเท่ากับ y 0 = f (x, y) ต่อ มาตรา แล้วอสมการเป็นจริง (คะแนน): jy2 (x) y1 (x) j 6 jy2 (x0) y1 (x0) j exp L (x x0) 6 y1 สำหรับ x 2 ทั้งหมด -19- y2 สุภาษิต สำหรับค่าของ 2.2 คำตอบ สมการ (2.1) จะถูกลบออก ดังนั้น 8 x 2 จุด x, y1 (x) และ x, y2 (x) 2 G. สำหรับ t 2 ทั้งหมด เราสามารถมีค่าที่ถูกต้องได้ สมการ y10 (t) = ft, y1 (t ) และ y20 (t) = ft, y2 (t) ดังนั้นเราจึงอินทิเกรตส่วน t ลงในส่วนนี้ โดยที่ x 2 การอินทิเกรตถูกต้องตามกฎหมาย เนื่องจากส่วนด้านขวาและด้านซ้ายไม่ถูกต้อง ต่อเนื่องในฟังก์ชัน เรากำจัดระบบความอิจฉา Zx y1 (x) y1 (x0) = x0 Zx y2 (x) y2 (x0) = f t, y1 (t) dt, f t, y2 (t) dt x0 ในทางกลับกัน เราสามารถ jy1 (x) y2 (x) j = y1 (x0) y2 (x0) + Zx hft, y1 (t) ift, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 ( x0) + ฟุต, y1 (t) ฟุต, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 (x0) + L y1 (t) y2 (t) dt x0 อย่างมีนัยสำคัญ C = y1 (x0) y2 (x0)> 0, v (t) = L> 0, u (t) = y1 (t) ดังนั้น สำหรับอคติกรอนวอลล์-เอลล์มาน เราจึงหักค่าประมาณ: jy2 (x) y1 (x) j 6 jy2 (x0) y1 (x0) j exp L (x x0) y2 (t)> 0 สำหรับ x 2 ทั้งหมด ทฤษฎีบทนี้เสร็จสมบูรณ์ จากผลของทฤษฎีบทนี้ เราได้ทฤษฎีบทเอกภาพมาใช้ในการแก้ปัญหาคอชี (2.1), (2.2) Š Vaje 1. Neshai ทำหน้าที่ f (x, y) 2 c g ry ibony ใน g ของ umovi liphitsa บน y และฟังก์ชัน y1 (x) і y2 (x) สอง rivnyannnya (2.1) สำหรับอันเดียวกัน นักบวช X0 2 ถ้า y1 (x0) = y2 (x0) แล้ว y1 (x) y2 (x) จะเปิด ที่เสร็จเรียบร้อย. 1)< x1 и z(x) = 0 , n o X2 = x x >ระบบอัตโนมัติ< x1 . По построению z(x) > 0 สำหรับ x 2 ทั้งหมด (α, x2) และเนื่องจากความต่อเนื่องของ z (x)! 0 + สำหรับ x! Α + 0 สามารถทำซ้ำได้เมื่อได้รับ (2.5) โดยบูรณาการเข้ากับส่วน [α + δ, x2 ] โดยที่ x2 เลือกมากขึ้นและคงที่ และ δ 2 (0, x2 α) - มากกว่านั้น ความไม่สม่ำเสมอจะถูกลบออก: Zjz2 j Zx2 dx 6 α + δ d jzj2 6 2 jzjφ jzj jz (α + δ) j Zx2 dx In กรณีนี้ δ! 0 + จากนั้น z (α + δ)! z (α) = 0, з Zjz2 jd jzj2! δ) j -22- ส่วนที่ถูกต้องของอสมการ Rx2 dx = x2 α δ 6 x2 α คือ ล้อมรอบด้วย α + δ ด้วยค่าสุดขั้ว ซึ่งทำให้เป็นไปไม่ได้ทันทีที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบท 2 2. การมีอยู่ของวิธีแก้ปัญหาคอชีสำหรับ ODE ประการแรก ตามลำดับ ฉันเดาว่าภายใต้กฎของคอชี (2.1) , (2.2) เข้าใจว่าจะต้องค้นหาฟังก์ชัน y (x) อีกครั้ง: 0 y = f (x, y), (x, y) 2 G, y (x0) = y0, (x0, y0 ) 2 G โดยที่ f (x, y) 2 CG і (x0, y0) 2 G; G คือขอบเขตใน R2 2. ให้ f (x, y) 2 CG ตก) วิธีแก้ปัญหาใดๆ ก็ตาม φ (x) สมการ (2.1) สำหรับช่วงเวลา ha, bi, น่าพอใจ (2.2) x0 2 ha, bi, єคำตอบสำหรับ ha, สมการปริพันธ์สอง Zx y (x) = y0 + f τ, y ( τ) dτ ; (2.6) x0 2) ถ้า φ (x) 2 C ha, bi คือคำตอบของสมการอินทิกรัล (2.6) บน ha, bi, 1 de x0 2 ha, bi จากนั้น φ (x) 2 C ha, bi และ โซลูชั่น (2.1 ), (2.2) ที่เสร็จเรียบร้อย. ฟังก์ชัน f (x, y) 2 C G ทำให้ Lipshitz พอใจใน n y ov G ด้วยค่าคงที่ L ให้เราแสดงว่า β M = สูงสุด f (x, y), h = min α, M จากนั้นในส่วน P เราแก้ปัญหา Kosha (2.1 ), (2.2) ที่เสร็จเรียบร้อย.< x0 Rx I = (τ x0 Rx I = (x0 n 1 x0) τ)n 1 dτ = dτ = x0 (x (x0 x)n n Таким образом, неравенства (2.7) доказаны. -25- x0)n и n = jx x0 jn . n x0 jn 1 dτ : hn . 3. Рассмотрим тождество yn = y0 + ним функциональный ряд: y0 + 1 P n P yk (x) yk 1 (x) и связанный с k=1 yk 1 (x) . Частичные суммы это- yk (x) k=1 го ряда равны yn (x), поэтому, доказав его сходимость, получим сходимость 1 последовательности yk (x) k=0 . В силу неравенств (2.7) функциональный ряд мажорируется на отрезке k 1 P k 1 h числовым рядом M0 L . Этот числовой ряд сходится k! k=1 по признаку Даламбера, так как M0 Lk hk+1 k! ak+1 = ak (k + 1)! M0 L k 1 hk = h L ! 0, k+1 k ! 1. Тогда по признаку Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональный 1 P ряд y0 + yk (x) yk 1 (x) сходится абсолютно и равномерно на отрезk=1 ке , следовательно и функциональная последовательность 1 yk (x) k=0 сходится равномерно на отрезке к некоторой функ- ции ϕ(x), а так как yn (x) 2 C , то и ϕ(x) 2 C как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. 4. Рассмотрим определение yn (x): Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ) dτ (2.8) x0 – это верное равенство при всех n 2 N и x 2 . У левой части равенства (2.8) существует предел при n ! 1, так как yn (x) ⇒ ϕ(x) на , поэтому и у правой части (2.8) тоже существует Rx предел (тот же самый). Покажем, что он равен функции y0 + f τ, ϕ(τ) dτ , x0 используя для этого следующий критерий равномерной сходимости функциональной последовательности: X yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 () sup yn (x) y(x) ! 0 при n ! 1 . x2X X Напомним, что обозначение yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 принято использовать для равномерной на множестве X сходимости функциональной последователь 1 ности yk (x) k=0 к функции ϕ(x). -26- Покажем, что y0 + Rx X f τ, yn 1 (τ) dτ ⇒ y0 + x0 здесь X = . Для этого рассмотрим f τ, yn 1 (τ) f τ, ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 Zx h i yn 1 (τ) 6 по условию Липшица 6 sup L ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 6 L h sup yn 1 (τ) ϕ(τ) ! 0 при n ! 1 τ 2X X в силу равномерной при n ! 1 сходимости yn (x) ⇒ ϕ(x). Таким образом, переходя к пределу в (2.8), получим при всех x 2 верное равенство Zx ϕ(x) = y0 + f τ, ϕ(τ) dτ, x0 в котором ϕ(x) 2 C . По доказанной выше лемме 2. 2 ϕ(x) – решение задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Замечание 2. 7. В теореме 2. 3 установлено существование решения на отрезке . По следствию 1 из теоремы 2. 1 это решение единственно в том смысле, что любое другое решение задачи Коши (2.1), (2.2), определенное на совпадает с ним на этом отрезке. Замечание 2. 8. Представим прямоугольник P в виде объединения двух (пересекающихся) прямоугольников P = P [ P + , (рис. 2. 3) где n P = (x, y) n P = (x, y) + x 2 ; x 2 ; -27- jy jy o y0 j 6 β , o y0 j 6 β . Рис. 2. 3. Объединение прямоугольников Обозначим f (x, y . M − = max − f (x, y , M + = max + P P Повторяя,с очевидными изменениями, доказательство теоремы 2. 3 отдель но для P + или P − , получим существование (и единственность) решения на отрезке n o β + + , где h = min α, M + или, соответственно, на , n o β − . Отметим, что при этом, вообще говоря, h+ 6= h− , а h h = min α, M − из теоремы 2. 3 есть минимум из h+ и h− . Замечание 2. 9. Существование решения задачи (2.1), (2.2) теоремой 2. 3 гарантируется лишь на некотором отрезке . В таком случае говорят, что теорема является локальной. Возникает вопрос: не является ли локальный характер теоремы 2. 3 следствием примененного метода ее доказательства? Может быть, используя другой метод доказательства, можно установить существование решения на всем отрезке , т.е. глобально, как это было со свойством единственности решения задачи Коши (2.1), (2.2)? Следующий пример показывает, что локальный характер теоремы 2. 3 связан с «существом» задачи, а не с методом ее доказательства. Пример 2. 1. Рассмотрим задачу Коши 0 y = −y 2 , (2.9) y(0) = 1 n o в прямоугольнике P = (x, y) jxj 6 2, jy − 1j 6 1 . Функция f (x, y) = −y 2 непрерывна в P и fy0 = −2y 2 C P , поэтому все условия тео1 β , α = и ремы 2. 3 выполнены, а M = max f (x, y) = 4. Тогда h = min P P M 4 -28- теорема 2. 3 гарантирует существование решения на отрезке 1 1 . Решим − , 4 4 эту задачу Коши, используя «разделение переменных»: − dy = dx y2 () y(x) = 1 . x+C 1 – решение задачи Коши (2.9). x+1 График решения представлен на рис. (2.4), из которого видно, что решение 1 при x < x = − покидает прямоугольник P , а при x 6 −1 даже не 2 существует. Подставляя x = 0, найдем C = 1 и y(x) = Рис. 2. 4. Локальный характер разрешимости задачи Коши В связи с этим возникает вопрос об условиях, обеспечивающих существование решения на всем отрезке . На приведенном примере мы видим, что решение покидает прямоугольник P , пересекая его «верхнее» основание, поэтому можно попробовать вместо прямоугольника P в теореме 2. 3 взять полосу: o n 2 A 6 x 6 B − 1 < y < +1 , A, B 2 R. Q = (x, y) 2 R Оказывается, что при этом решение существует на всем отрезке A, B , если f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по переменной y в Q. А именно, имеет место следующая важная для приложений теорема. Теорема 2. 4. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y с константой L в полосе Q = (x, y) 2 R2: A 6 x 6 B, y 2 R , -29- где A, B 2 R. Òогда при любых начальных данных x0 2 , y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем . Доказательство. Áудем считать, что x0 2 (A, B). Проведем рассуждения по схеме теоремы 2. 3 отдельно для полосы o n + 2 x 2 y 2 R и Q = (x, y) 2 R n Q = (x, y) 2 R2 o x 2 y 2 R . + Если x0 = A или x0 = B, то один из этапов рассуждений (для Q или, соответственно, для Q) отсутствует. + Возьмем полосу Q и построим последовательные приближения yn+ (x), + как в теореме 2. 3. Поскольку Q не содержит ограничений на размер по y, то пункт 1) доказательства теоремы 2. 3 не проверяем. Далее, как в предыдущей теореме, от последовательности переходим к ряду с частичными суммами yn+ (x) = y0 + n X yk+ (x) yk+ 1 (x) , где x 2 . k=1 Повторяя рассуждения, доказываем оценку вида (2.7) x0 jn x0)n n 1 (B 6 M0 L 6 M0 L (2.10) n! n! при всех x 2 ; здесь M0 = max f (x, y0) при x 2 , откуда yn+ (x) yn+ 1 n 1 jx yn+ (x) как и выше в теореме 2. 3 получим, что ⇒ ϕ+ (x), n ! 1, причем ϕ+ (x) 2 C , ϕ+ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Возьмем полосу Q и построим последовательность yn (x). Действуя ана логично, получим, что 9 ϕ (x) 2 C , ϕ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Определим функцию ϕ(x) как «сшивку» по непрерывности ϕ+ и ϕ , т.е. + ϕ (x), при x 2 , ϕ(x) = ϕ (x), при x 2 . Отметим, что ϕ+ (x0) = ϕ (x0) = y0 и потому ϕ(x) 2 C . Функции ϕ (x) по построению удовлетворяют интегральному уравнению (2.6), т.е. Zx ϕ (x) = y0 + f τ, ϕ (τ) dτ, x0 -30- где x 2 для ϕ+ (x) и x 2 для ϕ (x), соответственно. Следовательно, при любом x 2 функция ϕ(x) удовлетворяет инте 1 гральному уравнению (2.6). Тогда по лемме 2. 2, ϕ(x) 2 C и является решением задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Из доказанной теоремы 2. 4 нетрудно получить следствие для интервала (A, B) (открытой полосы). Ñледствие. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна в открытой полосе Q = (x, y) 2 R2: x 2 (A, B), y 2 R , причем A и B 2 R могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что f (x, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(x) 2 C(A, B), такая, что 8 x 2 (A, B) и 8 y1 , y2 2 R выполняется неравенство f (x, y2) f (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j. Òогда при любых начальных данных x0 2 (A, B), y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем (A, B). Доказательство. Для любой полосы Q1 = (x, y) 2 R2: x 2 , y2R , где A1 >x2 і z (x) = 0 แม้ว่าหนึ่งในตัวคูณเหล่านี้จะไม่ว่างเปล่า เนื่องจาก z (x0) = 0 і x0 62 ตัวอย่างเช่น X1 6 = ∅ มีขอบเขตระหว่างสัตว์ร้าย จากนั้น 9 α = ซุป X1 มีนัยสำคัญที่ z (α) = 0 จากนั้น α 2 X1 โดยสมมติว่า z (α)> 0 เนื่องจากคณิตศาสตร์ไม่ขัดจังหวะ z (x)> 0 ในช่วงเวลาใดๆ α δ1, α + δ1 และไม่แทนที่ค่า α = sup X1 ในใจ z (α) = 0 viply ดังนั้น α< B, лежащей строго внутри Q и содержащей (x0 , y0), справедлива теорема 2. 4, так как при доказательстве оценок вида (2.10), необходимых для обоснования равномерной на сходимости последовательности yn (x) , используются постоянные M0 = max f (x, y0) при x 2 и L = max L(x) x 2 . Эти постоянные не убывают при расширении (A, B). Возьмем последовательность расширяющихся отрезков , удовлетворяющих условиям B >เอ, บี1< Ak+1 < Ak , 2) x0 2 при всех k 2 N; 3) Ak ! A, Bk ! B при k ! 1. Заметим сразу, что S = (A, B) и, более того, для любого x 2 (A, B) k найдется номер x 2 . N (x) 2 N, такой, что при всех -31- k >Bk + 1> Bk สำหรับทุก k 2 N; 1) ก< Ak < A + δ < x, 9 N2 (δ) 2 N: 8 k >N ถูกปัดเศษ เราจะเพิ่มการชุบแข็งเพิ่มเติมสำหรับข้อต่อ A, B 2 R (ปลายทั้ง A และ B ถ้า A = 1 หรือ B = + 1 ก็เหมือนกัน) รับ x A B x, เพิ่มเติม x 2 (A, B) і δ (x) = นาที, δ (x)> 0 สำหรับ 2 2 หมายเลข δ z zbizhnosti Ak! เอ และ บีเค! B ถูกกำจัดออก ดังนั้น 9 N1 (δ) 2 N: 8 k> N1, A< B δ < Bk < B. Тогда для N = max N1 , N2 справедливо доказываемое свойство. Построим последовательность решений задачи Коши (2.1), (2.2) Yk (x), применяя теорему 2. 4 к соответствующему отрезку . Любые два из этих решений совпадают на общей области определения по следствию 1 из теоремы 2.1. Таким образом, два последовательных решения Yk (x) и Yk+1 (x) совпадают на , но Yk+1 (x) определено на более широком отрезке . Построим решение на всем (A, B). Возьмем и построим ϕ(x) – решение задачи (2.1), (2.2) на всем (по теореме 2. 4). Затем продолжим это решение на , . . . , . . . Получим, что решение ϕ(x) определено на всем (A, B). Докажем его единственность. Предположим, что существует решение ψ(x) задачи Коши (2.1), (2.2), также определенное на всем (A, B). Докажем, что ϕ(x) ψ(x) при любом x 2 (A, B). Пусть x – произвольная точка (A, B), найдется номер N (x) 2 N, такой, что x 2 при всех k >มรดก N. Zastosovuyuchi 1 หน้า 2.1 (เช่นทฤษฎีบทเอกภาพ) เราปฏิเสธว่า φ (t) ψ (t) สำหรับทั้งหมด t 2 i และสำหรับ t = x ด้วย เนื่องจาก x เป็นจุดเพียงพอ (A, B) การแก้มัดจึงเสร็จสิ้นและในเวลาเดียวกันก็เป็นข้อสรุปสุดท้าย ความเคารพ 2. 10. จากผลการสอบสวน อันดับแรกเราเริ่มคุ้นเคยกับแนวคิดในการดำเนินการตัดสินใจต่อไปในระดับที่ใหญ่ขึ้น ย่อหน้าถัดไปมีรายละเอียดมากขึ้น มาเอาก้นเป็นพวงกันเถอะ p ตัวอย่างที่ 2 2. สำหรับสมการ y 0 = ejxj x2 + y 2 ให้เข้าใจว่าอะไรคือพื้นฐานของการตัดสินใจของคุณสำหรับทุกคน (A, B) = (1, 1) ลองดูสมการใน "สมูทตี้" Q = R2, ฟังก์ชัน p jxj f (x, y) = e x2 + y 2 ∂f y = ejxj p, fy0 6 ejxj = L (x) ∂y x2 + y 2 ต่อไปนี้ข้อความ 2. 1 จากข้อ 2.1 ฟังก์ชัน f (x, y) ทำให้จิตใจของ Lipshits พึงพอใจด้วยความเคารพต่อ y ด้วย "ค่าคงที่" L = L (x), x ได้รับการแก้ไขแล้ว จากนั้นผลลัพธ์ที่ตามมาทั้งหมดก็สรุปได้ และด้วยข้อมูลเริ่มต้นใดๆ (x0, y0) 2 R2 วิธีแก้ไขปัญหา Kosha ยังคงเหมือนเดิมใน (1, 1) เป็นสิ่งสำคัญที่สมการในพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นไม่สำคัญ แต่ในเชิงตัวเลขแล้ว การตัดสินใจที่กำลังใกล้เข้ามาอาจได้รับแจ้ง มีนัยสำคัญและต่อเนื่องใน Q, -32- ตัวอย่างที่ 2 3. สำหรับสมการ y 0 = ex y 2 ให้เข้าใจพื้นฐานการตัดสินใจของคุณ เพลงบน R ให้เราดูสมการใน “smoothie” Q อีกครั้ง = R2 โดยที่ฟังก์ชัน ∂ ff (x, y) = ex y 2 แทบไม่มีความสำคัญเลย a = 2YEX ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะขึ้นสนิม ∂y ลูกบาศก์ แต่ตัวผู้ ไม่ใช่เวลาเดียวกันของฟังก์ชันของฟังก์ชัน l ( x), ps (x, y2 ) f (x, y1) 6 L (x) jy2 y1 j สำหรับ y1, y2 ทั้งหมด 2 R. จริง, f (x, y2) f (x, y1) = ex jy2 + y1 j jy2 y1 j และ viraz jy2 + y1 j ไม่สามารถใช้แทน y1, y2 2 R ได้ ด้วยวิธีนี้ ผลลัพธ์จะไม่หยุดนิ่ง หลักการสำคัญคือ "การเปลี่ยนแปลงพื้นฐาน" โซลูชันที่ซ่อนอยู่จะถูกปฏิเสธ: "y (x) = 0, y (x) = 1 Ex + C รับค่า x0 = 0, y0 2 R ถ้า y0 = 0 จากนั้น y (x ) 0 - วิธีแก้ไขปัญหา Cauchy บน R 1 - วิธีแก้ไขปัญหา Cauchy สำหรับ y0 2 [1, 0) ex ถูกกำหนดสำหรับ x 2 R ทั้งหมด และสำหรับ y0 2 (1, 1) [(0, +1) ไม่สามารถขยายวิธีแก้ปัญหา y0 + 1 ผ่านจุด x = ln ได้ หาก x> 0 ดังนั้น y0 1 วิธีแก้ปัญหา y (x) = y0 +1 ถูกกำหนดไว้สำหรับ x 2 (1, x) และถ้า x< 0 x e y0 y0 < 1 , то решение определено при x 2 (x , +1). В первом случае lim y(x) = +1, а во втором – lim y(x) = 1. Если y0 6= 0, то y(x) = x!x 0 y0 +1 y0 x!x +0 -33- Для наглядности нарисуем интегральные кривые при соответствующих значениях y0 (рис. 2. 5). Рис. 2. 5. Интегральные кривые уравнения y 0 = ex y 2 Таким образом, для задачи Коши 0 y = ex y 2 , y(0) = y0 имеем следующее: 1) если y0 2 [ 1, 0], то решение существует при всех x 2 R; y0 + 1 2) если y0 < 1, то решение существует лишь при x 2 ln ; +1 ; y0 y0 + 1 . 3) если y0 > 0 ดังนั้นผลเฉลยจะใช้ได้เฉพาะกับ x 2 1, ln y0 ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าส่วนขยายของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น f (x, y) ในผลที่ตามมาของทฤษฎีบท 2 4 เป็นพื้นฐานสำหรับการขยายผลเฉลยไปทั้งหมด (ก, ข). คล้ายกับการใช้ฟังก์ชัน f (x, y) = f1 (x) y 1 + ε สำหรับ ε > 0 ใดๆ ในตัวอย่างที่ใช้ เราใช้ ε = 1 เพื่อความชัดเจนในการคำนวณ 2. 3. ความต่อเนื่องของคำตอบสำหรับ ODE ของค่าลำดับแรก 2 5. ลองดูสมการ y 0 = f (x, y) แล้วให้ y (x) เป็นคำตอบของ ha, bi และ Y (x) เป็นคำตอบของ hA , Bi และ ha, bi อยู่ใน hA, Bi และ Y (x) = y (x) บน ha, bi จากนั้น Y (x) เรียกว่าส่วนขยายของสารละลาย y (x) ถึง hA, Bi และประมาณ y (x) เราบอกว่ามันถูกขยายเป็น hA, Bi -34- ในส่วนที่ 2.2 เราได้เสร็จสิ้นทฤษฎีบทท้องถิ่นและการแยกส่วนปัญหาคอชี (2.1), (2.2) แล้ว การตัดสินใจแบบใดที่สามารถขยายออกไปให้กว้างขึ้นได้? ย่อหน้านี้และอาหารและความจงรักภักดีของใคร ผลลัพธ์หลักอยู่ที่การรุก ทฤษฎีบท 2.5 (เกี่ยวกับความต่อเนื่องของการแก้ปัญหาในพื้นที่ปิด) ปล่อยให้ฟังก์ชัน f (x, y) 2 CG ทำให้จิตใจของ Lipshits เป็นไปตาม y ใน R2 และ (x0, y0) เป็นจุดภายในของขอบเขตปิดที่ปิดล้อม G G จากนั้นผ่านจุด (x0, y0) เราผ่าน ผ่านทางสารละลายปรับระดับ y 0 = f (x , y) ซึ่งจะขยายไปจนถึง ∂G ไปยังวงล้อมของบริเวณ G จากนั้นจึงสามารถขยายไปยังส่วนที่ชี้ a, y (a) และ b, y (b) นอนบน ∂G ∂f (x, y) มีความต่อเนื่องในพื้นที่ G ที่มีขอบเขต ปิด และนูน y ดังนั้นฟังก์ชัน f (x, y) จะทำให้จิตใจของ Lipshits ใน G เป็นไปตามตัวแปร y สาขาวิชา Naslidok จากการยืนยัน 2. 1 ∂f จากข้อ 2.1 ดังนั้นจึงให้ทฤษฎีบทมาถ้ามันถูกต้อง เนื่องจากมันไม่ต่อเนื่องกันใน ∂y G ความเคารพ 2 11. เดาอะไร เพราะเป็นการพิสูจน์ เนื่องจาก (x0, y0) เป็นจุดภายในของ G ดังนั้น จึงไม่มีเส้นตรงปิดที่ 2 P = (x, y) 2 R x x0 6 α, y y0 6 β ซึ่งอยู่ใน G ทั้งหมด จากนั้นตามทฤษฎีบท 2 3 น. 2.2 มี h> 0 ที่ทำให้คำตอบ y = φ (x) เท่ากับ y 0 = f (x, y) ขั้นแรกเราจะดำเนินการต่อไปทางด้านขวาไปจนถึงวงล้อมของพื้นที่ G โดยแบ่งหลักฐานออกเป็นชิ้นๆ 1. มาดู ER ที่เป็นกลางกันดีกว่า: ไม่ใช่ E = α> 0 วิธีแก้ปัญหา y = φ (x) ความต่อเนื่องของสารละลายหลัก y = φ1 (x) ระดับ y 0 = f (x, y) ซึ่งทำให้จิตใจพอใจ ของ Cauchy φ1 ~ b = φ ~ b ดังนั้น φ (x) และ φ1 (x) - เป็นผลมาจากการตัดสินใจในส่วน ~ b h1, ~ b ของหนึ่งระดับที่ตรงกับจุด x = ~ b จากนั้นจึงพบกันในแต่ละส่วน ~ b h1 ~ ข ฉัน ดังนั้น , φ1 (x) єความต่อเนื่องของการแก้ปัญหา φ (x) จากส่วน ~ b h1, ~ b ถึง ~ b h1, ~ b + h1 ลองดูฟังก์ชัน ψ (x): φ (x), x 2 x0, ψ (x) = φ1 (x), x 2 ~ b ~ b, h1, ~ b + h1 ~ b h1, x0 + α0 + h1 ดังนั้น การตัดสินใจจะเท่ากับ y 0 = f (x, y) และทำให้จิตใจของ Kosha ψ (x0) = y0 เป็นที่พอใจ ดังนั้นตัวเลข α0 + h1 2 E ไม่ใช่ค่า α0 = sup E ดังนั้น ผลกระทบ 2 จึงดูแปลกตา ในทำนองเดียวกัน ผลเฉลย φ (x) จะเลื่อนไปทางซ้าย ไปทางด้านข้าง เพื่อชี้ a, φ (a) 2 ∂G ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์แล้ว -37- บทที่ 3 งานของ Cauchy สำหรับระบบปกติลำดับที่ n 3 1. แนวคิดพื้นฐานและการกระทำของกำลังเพิ่มเติมของฟังก์ชันเวกเตอร์ ในส่วนนี้ เราจะพิจารณาระบบปกติของลำดับที่ n ในรูปแบบ 8> t, y, -< y_ 2 = f2 t, y1 , . . . , yn , (3.1) . . . > >: Y_ = ฟ เสื้อ, y,. - ให้เราแนะนำความไม่เท่าเทียมกันบางประการสำหรับฟังก์ชันเวกเตอร์ ซึ่งจะกล่าวถึงในภายหลัง 1. สำหรับฟังก์ชันเวกเตอร์ใดๆ y (t) = y1 (t) -< a, для этого случая в правой части присутствует знак внешнего модуля. По определению, интеграл от вектор-функции – это предел интегральn P ных сумм στ (y) = y(ξk) tk при характеристике («мелкости») разбиения k=1 λ(τ) = max tk стремящейся к нулю. По условию στ ! k=1, N Rb y(t) dt , а по a неравенству треугольника получим στ 6 n X Zb y(ξk) tk ! k=1 при λ(τ) ! 0 y(t) dt, a (здесь мы для определенности считаем a < b). По теореме о переходе к пределу в неравенстве получим доказываемое. Случай b < a сводится к изученному, Rb Ra так как = . a b Аналоги теорем Ролля и Лагранжа отсутствуют для вектор-функций, однако можно получить оценку, напоминающую теорему Лагранжа. 2. Для любой вектор-функции x(t), непрерывно дифференцируемой на , имеет место оценка ¾приращения¿: x(b) x(a) 6 max x 0 (t) b a. (3.4) Доказательство. Неравенство (3.4) сразу получается из (3.3) при y(t) = x 0 (t). При доказательстве теоремы разрешимости для линейных систем нам понадобятся оценки с n n матрицами, которые мы сейчас и рассмотрим. 3. Пусть A(t) = aij (t) n n матрица, обозначим произведение Ax через y. Как оценить y через матрицу A и x ? Оказывается, справедливо неравенство Ax 6 A -40- 2 x, (3.5) где x = p jx1 j2 + . . . + jxn j2 , A 2 = n P ! 12 a2ij , а элементы матрицы i,j=1 A и координаты вектора x могут быть комплексными. Доказательство. Для любого i = 1, n, ai – i-я строка матрицы A, тогда: 2 2 2 yi = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn = ai , x 6 h i 2 6 по неравенству Коши-Áуняковского 6 jai j2 x = ! ! n n X X 2 2 aik xl = , k=1 суммируя эти неравенства по i = 1, n, имеем: 0 1 n X 2 2 2 aik A x = A y [ป้องกันอีเมล] 2 + 2 l = 1 2 x, k, i = 1 ดาว (3.5) ค่า 3. 1. สมมติว่าฟังก์ชันเวกเตอร์ f (t, y) ตอบสนองความคิดของ Lipshits ตามตัวแปรเวกเตอร์ y สำหรับตัวแปร G จำนวนมาก 1 กลุ่ม (t, y) เนื่องจาก 9 L> 0 เช่นนั้นสำหรับ ใด ๆ t , y , 2 t, y 2 G ความไม่สม่ำเสมอของ ft, y 2 ft, y 1 6 L y 2 y 1 ถูกกำหนดโดย y" พื้นที่ G єการเชื่อมต่อโครงข่ายของผู้เยี่ยมชมส่วนตัว ดาโม่แม่นยำกว่า ความหมาย 3. 2. พื้นที่ G ของตัวแปร (t, y) เรียกว่านูน 1 2 ตาม y สำหรับจุดสองจุดใดๆ t, y และ t, y ที่อยู่ใน G จะทับซ้อนกันอย่างสมบูรณ์และส่วนที่เชื่อมต่อกัน มี สองจุด นั่นคือ ไม่มีตัวตน ไม่มี y = y 1 + τ y 2 y 1, de τ 2 การยืนยัน 3. 1. เนื่องจากขอบเขต G ของตัวแปร (t, y) ถูกปัดเศษตาม y และ ∂fi ส่วนตัวคือ ไม่ต่อเนื่องและล้อมรอบด้วยค่าคงที่ l ใน G สำหรับ ∂yj ของ i ทั้งหมด, j = 1, n จากนั้นฟังก์ชันเวกเตอร์ ft, y ทำให้จิตใจของ Lipshits ใน G เป็นไปตาม y ด้วยค่าคงที่ L = n l 1 2 หลักฐาน ลองดูจุดเพิ่มเติม t, y และ t, y จาก G และ 1 2 ในส่วน จากนั้นเชื่อมต่อกัน จากนั้น t, y โดยที่ y = y + τ y y1, t - ได้รับการแก้ไขแล้ว และ τ 2. -41- เราป้อนฟังก์ชันเวกเตอร์ของอาร์กิวเมนต์สเกลาร์หนึ่งตัว g (τ) = ft, y (τ), 2 1 จากนั้น g (1) g (0) = ft, yft, y และอีกด้านหนึ่ง - Z1 g (1) g (0) = dg (τ) dτ = dτ Z1 A (τ) dy (τ) dτ = dτ 0 0 h = เนื่องจาก y = y 1 + τ y 2 yi 1 Z1 = A (τ ) y 2 y 1 dτ , 0 de A ( τ) เป็นเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบ ∂fi และ ∂yj y2 y 1 เป็นสับเซต ที่นี่เราได้ใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันการพับ และตัวมันเอง สำหรับ i = 1, n, t - คงที่ทั้งหมด เราสามารถ: gi0 (τ) = ∂fi ∂y1 ∂fi ∂y2 ∂fi ∂yn d fi t, y (τ) = + + ... + = dτ ∂y1 ∂τ ∂y2 ∂τ ∂yn ∂τ ∂fi ∂fi, ..., y2 y1 = ∂y1 ∂yn บันทึกในรูปแบบเมทริกซ์ โดยอนุมานได้ว่า: 0 2- 1 g (τ) = A (τ) y y ด้วยเมทริกซ์ n n A (τ) = aij (τ) ∂fi ∂yj การประมาณค่าอินทิกรัลของ Vikorist (3.3) และอสมการ (3.5) หลังจากการทดแทนเราจะลบออก: ft, y 2 ft, y 1 Z1 = g 0 (τ) dτ = 0 Z1 6 A (τ) y 2 Z1 y1 A (τ ) y 2 0 Z1 dτ 6 0 A (τ) A (τ) dτ y2 y1 6 y2 y1 6 nl 0 6 สูงสุด A (τ) แฟรกเมนต์ 2 y 1 dτ 6 2 2 n P ∂fi = i, j = 1 ∂ yj 2 y2 y1, 2 6 n2 l2 ที่ 8 τ 2. การยืนยันเสร็จสมบูรณ์ -42- 3. 2. การระบุวิธีแก้ปัญหาคอชีสำหรับทฤษฎีบทระบบปกติ 3. 1 (เกี่ยวกับการประมาณค่าความแตกต่างระหว่างสองคำตอบ) ให้ G ทำหน้าที่เป็นขอบเขต Rn + 1 และฟังก์ชันเวกเตอร์ f (x, y) มีความต่อเนื่องใน G และทำให้จิตใจของ Lipshits เป็นไปตามตัวแปรเวกเตอร์ y บน G ไร้หน้าที่มีค่า L คงที่ ตั้งแต่ y 1, y 2 คือคำตอบของระบบปกติ (3.1) y_ = f (x, y) ต่อส่วน จากนั้นค่าประมาณ y 2 (t) y 1 (t) 6 y 2 (t0) y 1 (t0) exp L (t t0) สำหรับ t 2 ทั้งหมดนั้นใช้ได้ การพิสูจน์แบบคำต่อคำที่มีการจดบันทึกซ้ำอย่างชัดเจน จะเป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบท 2.1 จากข้อ 2.1 ซ้ำ 2 มันง่ายที่จะได้ทฤษฎีบทของเอกภาพและเสถียรภาพของคำตอบจากข้อมูลซัง ข้อพิสูจน์ 3.1. ปล่อยให้ฟังก์ชันเวกเตอร์ f (t, y) ไม่ต่อเนื่องกันในโดเมน G และเป็นไปตามความคิดของลิปชิตซ์ใน y และฟังก์ชัน y 1 (t) และ y 2 (t) เป็นคำตอบสองประการของระบบปกติ (3.1) บน ส่วนเดียวกัน ยิ่งไปกว่านั้น t0 2 ถ้า y 1 (t0) = y 2 (t0) ดังนั้น y 1 (t) y 2 (t) จะเปิด ข้อพิสูจน์ 3.2. (เกี่ยวกับการจัดเก็บข้อมูลอย่างต่อเนื่องในข้อมูลเริ่มต้น) ปล่อยให้ฟังก์ชันเวกเตอร์ f (t, y) ต่อเนื่องกันในโดเมน G และเป็นไปตามความคิดของลิปชิตซ์ใน y ด้วยค่าคงที่ L> 0 และฟังก์ชันเวกเตอร์ y 1 (t) และ y 2 (t) แก้ระบบปกติ (3.1) เปิดเพลงแล้ว จากนั้นที่ 8 t 2 อสมการ y 1 (t) เป็นจริง โดยที่ δ = y 1 (t0) y 2 (t0) และ l = t1 y 2 (t) 6 δ eL l, t0 หลักฐานการสืบทอดต่อคำต่อคำ โดยมีการกำหนดใหม่อย่างชัดเจน เป็นการพิสูจน์การสืบทอดตามข้อ 2.1 และ 2.2 ซ้ำ 2 การสำรวจความเป็นไปได้ในการแก้ปัญหาคอชี (3.1), (3.2) เช่นเดียวกับในเฟสหนึ่งมิติ จะลดลงเป็นการแก้สมการอินทิกรัล (เวกเตอร์) เลมา 3. 1. ให้ f (t, y) 2 C G; Rn 1 เมื่อขั้นตอนถัดไปปรากฏขึ้น: 1) เป็นวิธีแก้ปัญหา φ (t) ระดับ (3.1) สำหรับช่วงเวลา ha, bi, พอใจ (3.2) t0 2 ha, bi, єโดยไม่มีการหยุดชะงัก วิธีแก้ปัญหาสำหรับ ha, bi 1 ผ่าน C G ; H เป็นธรรมเนียมในการกำหนดความหมายของฟังก์ชันที่ไม่ถาวรทั้งหมดในพื้นที่ G ของฟังก์ชันที่มีค่าในพื้นที่ H ตัวอย่างเช่น f (t, y) 2 C G; ส่วนประกอบ Rn) ซึ่งมีค่าตาม G. ที่ไม่มีตัวตน - ไม่มีตัวตนของฟังก์ชันเวกเตอร์ที่ไม่มีตัวตนทั้งหมด (ด้วย n -43- ระดับอินทิกรัล y (t) = y 0 + Zt f τ, y (τ) dτ; (3.6) t0 2) เช่น เวกเตอร์ -ฟังก์ชัน φ (t) 2 C ha, bi เป็นวิธีแก้ปัญหาแบบไม่ขัดจังหวะของสมการอินทิกรัล (3.6) บน ha, bi โดยที่ t0 2 ha, bi จากนั้น φ (t) เป็นวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ขัดจังหวะ ฮ่า ไบ และโซลูชั่น (3.1), (3.2) ที่เสร็จเรียบร้อย. ความเคารพ 3. 1. จากการเปรียบเทียบกับการขยายมิติเดียว (หมวด 2) และผลการยืนยัน มีความเป็นไปได้ที่จะสรุปหัวข้อเกี่ยวกับการก่อตั้งและความต่อเนื่องของปัญหาของ Cauchy ทำให้ลำดับวนซ้ำมาบรรจบกันจนกระทั่ง เพิ่มขึ้นในระดับอินทิกรัล (3.6) ในแต่ละส่วน t0 ชั่วโมง , t0 + ชั่วโมง ต่อไปนี้เราจะนำเสนอข้อพิสูจน์อีกประการหนึ่งของทฤษฎีบทกำเนิด (และเอกภาพ) วิธีแก้ปัญหา ซึ่งหมุนรอบหลักการของแรงสั่นสะเทือนแบบอัด สิ่งสำคัญคือต้องทำความคุ้นเคยกับผู้อ่านด้วยวิธีทฤษฎีที่ทันสมัยกว่าซึ่งจะกล่าวถึงในหลักสูตรสมการอินทิกรัลและฟิสิกส์คณิตศาสตร์ในภายหลัง เพื่อให้แผนของเราเสร็จสมบูรณ์ เราจำเป็นต้องมีความเข้าใจใหม่และหลักการเพิ่มเติมจำนวนหนึ่ง ซึ่งเราจะมาดูกันในตอนนี้ 3. 3. ทำความเข้าใจเกี่ยวกับพื้นที่เมตริก หลักการของแรงสั่นสะเทือนแบบอัด แนวคิดที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับขอบเขตในคณิตศาสตร์นั้นหมุนรอบแนวคิดเรื่อง "ความใกล้ชิด" ของจุด เพื่อให้สามารถยืนระหว่างจุดเหล่านั้นได้ บนแกนตัวเลข อัตราส่วนคือโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างตัวเลขสองตัว บนระนาบ สูตรของอัตราส่วนแบบยุคลิดนั้นดี เป็นต้น ข้อเท็จจริงจำนวนมากในการวิเคราะห์ไม่ได้ขัดแย้งกับพลังทางพีชคณิตขององค์ประกอบต่างๆ แต่หมุนรอบความเข้าใจระหว่างองค์ประกอบเหล่านั้น การพัฒนาแนวทางนี้คือการนำวิสัยทัศน์ของ "ความจริง" มาสู่ความเข้าใจในขอบเขต นำไปสู่ความเข้าใจในปริภูมิเมตริก -44- ความหมาย 3 3. ให้ X เป็นธรรมชาติที่ไม่เป็นตัวของตัวเอง และ ρ (x, y) เป็นฟังก์ชันแอคทีฟของตัวแปรสองตัว x, y 2 X ซึ่งเป็นไปตามสัจพจน์สามประการ: 1) ρ (x, y)> 0 8 x , y 2 X และ ρ (x, y) = 0 มากยิ่งขึ้นสำหรับ x = y; 2) ρ (x, y) = ρ (y, x) (สัจพจน์สมมาตร); 3) ρ (x, z) 6 ρ (x, y) + ρ (y, z) (ความไม่สม่ำเสมอของไตรคัท) การไม่เปิดเผยตัวตนประเภทนี้ X พร้อมฟังก์ชัน ρ (x, y) เรียกว่าปริภูมิเมตริก (MP) และฟังก์ชัน ρ (x, y): X X 7! R ซึ่งเป็นไปตาม 1) - 3) - เมตริกหรือการทดแทน มาดูการประยุกต์ใช้ปริภูมิเมตริกกัน ตัวอย่างที่ 3 1. ให้ X = R จากส่วนขยาย ρ (x, y) = x y นำมาจาก MP R n o n xi 2 R, i = 1, n єตัวอย่างที่ 3 2. ให้ X = R = x1, . - เนื่องจากเนื่องจากผิวหนังตามธรรมชาติ n มีความสม่ำเสมอที่ xn 2 X จึงดูเหมือนว่าลำดับของจุด xn MP X จะได้รับค่า 3 4. ลำดับของจุด xn MP X กล่าวกันว่ามาบรรจบกันที่จุด x 2 X , ลิม ρ xn, x = 0. n! 1 ค่า 3 5. ลำดับ xn เรียกว่าพื้นฐาน เนื่องจากสำหรับ ε> 0 ใดๆ จะมีจำนวนธรรมชาติ N (ε) ดังนั้นสำหรับ n> N และ m> N ทั้งหมด ความไม่เท่าเทียมกัน ρ xn, xm ถูกกำหนด< ε. Определение 3. 6. МП X называется полным (ПÌП), если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства. -45- Полнота пространств из примеров 3. 1 и 3. 2 доказана в курсе математиче ского анализа. Докажем полноту пространства X = C a, b ; Rn из примера 3. 3. Пусть последовательность вектор-функций fn (t) фундаментальна в X. Это означает, что 8 ε >0 9 N (ε) 2 N: 8m, n> N =) fm สูงสุด (t) fn (t)< ε. Поэтому выполнены условия критерия Коши равномерной на a, b сходи мости функциональной последовательности, т.е. fn (t) ⇒ f (t) при n ! 1. Как известно, предел f (t) в этом случае – непрерывная функция. Докажем, что f (t) – это предел fn (t) в метрике пространства C a, b ; Rn . Из равномерной сходимости получим, что для любого ε >0 มีจำนวน N (ε) โดยที่สำหรับทุก n> N และสำหรับ t 2 a ทั้งหมด b ความไม่เท่าเทียมกัน fn (t) f (t) สอดคล้องกัน< ε, а так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то и max fn (t) f (t) < ε. Это и есть сходимость в C a, b ; Rn , следовательно, полнота установлена. В заключение приведем пример МП, не являющегося полным. Пример 3. 4. Пусть X = Q – множество рациональных чисел, а расстояние ρ(x, y) = x y – модуль разностиpдвух чисел. Если взять последовательность десятичных приближений числа 2 , т.е. x1 = 1; x2 = 1, 4; x3 = 1, 41; . . ., p то, как известно, lim xn = 2 62 Q. При этом данная последовательность n!1 сходится в R, значит она фундаментальна в R, а следовательно, она фундаментальна и в Q. Итак, последовательность фундаментальна в Q, но предела, лежащего в Q, не имеет. Пространство не является полным. Определение 3. 7. Пусть X – метрическое пространство. Отображение A: X 7! X называется сжимающим отображением или сжатием, если 9 α < 1 такое, что для любых двух точек x, y 2 X выполняется неравенство: ρ Ax, Ay 6 α ρ(x, y). (3.7) Определение 3. 8. Точка x 2 X называется неподвижной точкой отображения A: X 7! X, если Ax = x . Замечание 3. 2. Всякое сжимающее отображение является непрерывным, т.е. любую сходящуюся последовательность xn ! x, n ! 1, переводит в сходящуюся последовательность Axn ! Ax, n ! 1, а предел последовательности – в предел ее образа. Действительно, если A – сжимающий оператор, то положив в (3.7) X X y = xn ! x, n ! 1, получим, что Axn ! Ax, n ! 1. Теорема 3. 2 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство этого фундаментального факта см. , . -46- Приведем обобщение теоремы 3. 2, часто встречающееся в приложениях. Теорема 3. 3 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X таково, что оператор B = Am с некоторым m 2 N является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство. При m = 1 получаем теорему 3. 2. Пусть m >1. ลองดูที่ B = Am, B: X 7! X, B - บีบ ตามทฤษฎีบท 3.2 ตัวดำเนินการ B มีจุดเดียวที่ไม่หมุน x เนื่องจาก A และ B เป็นการเรียงสับเปลี่ยน AB = BA และเนื่องจาก Bx = x เราสามารถ B Ax = A Bx = Ax ได้ ดังนั้น y = Ax คือจุดอินทิกรัล B และเนื่องจากจุดนี้เหมือนกันตามทฤษฎีบท 3 2 แล้ว y = x หรือ ขวาน = x ดาว x เป็นจุดต่อเนื่องของตัวดำเนินการ A เราจะพิสูจน์ความสามัคคีกัน เป็นที่ยอมรับได้ว่า x ~ 2 X і A ~ x = x ~ จากนั้น ม. 1 B x ~ = A x ~ = A x ~ = - - คุณสามารถแนะนำบรรทัดฐานได้หลายวิธี การเชื่อมต่อนี้เกิดจากความเข้าใจนี้ ความหมาย 3 10. ให้ X เป็นปริภูมิเชิงเส้น และ y เป็นบรรทัดฐาน 1 2 สองบรรทัดที่นำมาใช้กับบรรทัดใหม่ บรรทัดฐาน іเรียกว่าเทียบเท่า 1 2 บรรทัดฐานเนื่องจาก 9 C1> 0 і C2> 0: 8 x 2 X C1 x 1 6 x 2 6 C2 x 1 เคารพ 3. 3. і - สองบรรทัดฐานที่เทียบเท่ากับ X, і 1 2 พื้นที่ X อยู่เหนือหนึ่งในนั้น จากนั้นก็อยู่เหนือบรรทัดฐานอื่น สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าลำดับของ xn X เป็นลำดับพื้นฐานใน เป็นพื้นฐานเช่นกัน และมาบรรจบกันที่ 1 2 ขององค์ประกอบเดียวกัน x 2 X -47- เคารพ 3 4. มักเป็นทฤษฎีบท 3 2 (หรือ 3) 3 ) zastosuєtsya ถ้าในพื้นที่yakostіเต็ม n ใช้พื้นที่ปิด o Br (a) = x 2 X ρ x, 6 r, de r> 0 i a 2 X แก้ไขแล้ว เป็นสิ่งสำคัญที่เฟรมปิดใน PMP นั้นเป็น PMP ที่มีสถานีเดียวกัน การพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ถูกลิดรอนสิทธิ์ของผู้อ่าน ความเคารพ 3. 5. มีการสร้างพื้นที่มากขึ้นกับโลก n 3. 3. ความเคารพที่ว่า ในปริภูมิเชิงเส้น X = C 0, T, R คุณสามารถแนะนำบรรทัดฐาน kxk = สูงสุด x (t) เพื่อให้เราทำให้เป็นมาตรฐาน จะเป็นบานิช บนพื้นฐานของความไม่เป็นตัวของตัวเองอย่างต่อเนื่องในปริภูมิ 0, T โดยใช้ฟังก์ชันเวกเตอร์ เราสามารถแนะนำบรรทัดฐานที่เทียบเท่าได้โดยใช้สูตร kxkα = สูงสุด e αt x (t) สำหรับ α 2 R ใดๆ สำหรับ α> 0 ความเท่าเทียมกันตามมาจากความไม่เท่าเทียมกัน e αT x (t) 6 e αt x (t) 6 x (t) สำหรับทั้งหมด t 2 0, T, ดาว e αT kxk 6 kxkα 6 kxk ด้วยพลังของบรรทัดฐานที่เท่ากัน เราจึงมาถึงทฤษฎีบทอย่างรวดเร็วเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาคอชีสำหรับระบบเชิงเส้น (ปกติ) ที่ชัดเจน 3. 4. ทฤษฎีบทกำเนิดและเอกภาพของการแก้ปัญหาคอชีสำหรับระบบปกติ ลองพิจารณาปัญหาคอชี (3.1) - (3.2) โดยที่ข้อมูลเริ่มต้น t0, y 0 2 G, G Rn + 1 คือโดเมน ของค่าของฟังก์ชันเวกเตอร์ f (t, y ) ในส่วนนี้ เราจะถือว่า G อยู่ในรูปแบบ n ของรูปแบบ G = a, b o, พื้นที่ Rn และ BR (y 0) = อาจวางทฤษฎีบท y 2 Rn y y0 6 R นอนสนิท ทฤษฎีบท 3 4. ปล่อยให้ฟังก์ชันเวกเตอร์ f (t, y) 2 C G; Rn และ 9 M> 0 และ L> 0 เพื่อให้จิตใจ 1) 8 (t, y) 2 G = a, b f (t, y) 6 M; 2) 8 (t, y 1), (t, y 2) 2 G f t, y 2 f t, y 1 6 L y 2 y 1. แก้ไขตัวเลข δ 2 (0, 1) แล้วให้ t0 2 (a, ข) เมื่อ R 1 δ 9 ชั่วโมง = นาที; - ตัวดำเนินการ A ค่าตามกฎ: Ay = y 0 + Zt f τ , y (τ) dτ, t 2 Jh, t0 แปล SR y 0 เข้าไปในตัวมันเองเนื่องจาก y 0 = สูงสุด Ay Zt t2Jh f τ, y ( τ) dτ 6 h ​​​​M 6 R t0 สำหรับทฤษฎีบทจิต 1 และค่า ชั่วโมง ให้เราพิสูจน์ว่า A อยู่บน SR โดยใช้ตัวดำเนินการบีบ ค่อนข้างเพียงพอ 0 1 2 และค่าประมาณได้: ไม่ y (t), y (t) 2 SR y Ay 2 Ay 1 = สูงสุด Zt h t2Jh f τ, y 2 (τ) ถ้า τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 Zt 6 สูงสุด t2Jh f τ, y 2 (τ) f τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 6h L y2 y1 = q y2 y1, de q = h L 6 1 δ< 1 по условию теоремы. Отметим (см. замечание 3.4), что замкнутый шар SR y 0 в банаховом пространстве X является ПМП. Поэтому применим принцип сжимающих отображений (теорема 3. 2), по которому существует единственное решение y(t) 2 X интегрального уравнения (3.6) на отрезке Jh = t0 h, t0 + h . Теорема доказана. Замечание 3. 6. Если t0 = a или t0 = b, то утверждение теоремы сохраняется с небольшими изменениями в формуле для h и отрезка Jh . Приведем эти изменения для случая t0 = a. В этом случае число h > 0 ถูกเลือกตาม R โดยสูตร h = min M; 1L δ; b a และในหลุม Jh ทุกที่ที่คุณต้องเอา -49- Jh = t0, t0 + h = a, a + h ทฤษฎีบททางจิตอื่นๆ ทั้งหมดจะไม่เปลี่ยนแปลง และข้อพิสูจน์ที่มีการกำหนดใหม่จะยังคงอยู่ สำหรับกรณี t0 = b ในทำนองเดียวกัน h = min M; 1L δ; ข และ Jh = ข ชั่วโมง ข n ความเคารพ 3. 7. ทฤษฎีบท 3. 4 Umov f (t, y) 2 C G; R โดยที่ G = a, b D สามารถอ่อนลงได้โดยการแทนที่ f (t, y) ด้วยค่า f (t, y) ที่คงที่มากที่สุดโดยการเปลี่ยน t ด้วยสกิน y 2 โดยช่วยให้จิตใจ 1 และ 2 ดีขึ้น ข้อพิสูจน์ ไม่เปลี่ยน. ความเคารพ 3. 8. Dosit เพื่อให้คุณสามารถเข้าใจทฤษฎีบท 1 และ 2 3. 4 ที่ซับซ้อน 0 สำหรับทั้งหมด t, y 2 a, b BR y โดยที่ค่าคงที่ M และ L โกหก 0 ดูเหมือนจะมองเห็นได้ ใน y และ R. สำหรับความเข้มข้นที่มากขึ้น เมื่อนำไปใช้กับฟังก์ชันเวกเตอร์ ft, y เช่นเดียวกับทฤษฎีบท 2.4 ทฤษฎีบทรากฐานและเอกภาพของการแก้โจทย์ปัญหาคอชี (3.1), (3.2) ใช้ได้กับทุกส่วน a, b n ทฤษฎีบท 3 5. ให้เวกเตอร์ทำหน้าที่ fx, y 2 CG, R, de G = a, b Rn และ L> 0 เพื่อให้จิตใจ 8 t, y 1, t, y 2 2 G ft , y 2 ฟุต, y 1 6 L y 2 y 1 จากนั้นสำหรับ t0 2 และ y 0 2 Rn ใดๆ บน a, b ก็มีวิธีแก้ไขปัญหา Mosha เพียงอย่างเดียว (3.1), (3.2) ที่เสร็จเรียบร้อย. k y2 y1. ดังนั้น ดวงดาวจึงตัดค่าประมาณ Ak y 2 Ak y 1 = สูงสุด Ak y 2 L b t0 Ak y 1 6 L b t0 k! k y2 y1. k เศษ α (k) =! 0 ที่เค! 1 แล้วมี k0, k! อะไร α (k0)< 1. Применим теорему 3. 3 с m = k0 , получим, что A имеет в X неподвижную точку, причем единственную. Доказательство 2. В банаховом пространстве X = C t0 , b ; Rn введем семейство эквивалентных норм, при α >= X ~ จากนั้น x ~ ก็เป็นจุดที่ไม่ใช่รูโคมาสำหรับ B ดาว x ~ = x ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว ลองวางกรอบมันด้วยสเปซเมตริก และพื้นที่นอร์มัลไลซ์เชิงเส้น มาดูรายละเอียดกันดีกว่า ค่า 3 9. ให้ X เป็นปริภูมิเชิงเส้น (ซับซ้อนกว่าหรือซับซ้อนกว่า) ซึ่งกำหนดฟังก์ชันตัวเลข x ไว้ ทำงานจาก X ใน R และเป็นไปตามสัจพจน์: 1) 8 x 2 X, x> 0, และ x = 0 แม้แต่ที่ x = θ; 2) 8 x 2 X และสำหรับ 8 λ 2 R (หรือ C) ถูกเพิ่มเป็น 3) 8 x, y 2 X ถูกเพิ่มเข้าด้วยกัน) x + y 6 x + y แลม = jแลจ x; (ความไม่สม่ำเสมอของสามเหลี่ยม - Todi X เรียกว่าพื้นที่ปกติ, x: X 7! R, เพื่อตอบสนอง 1) - 3), - บรรทัดฐาน และฟังก์ชัน ในพื้นที่ปกติ คุณสามารถป้อนระยะห่างระหว่างองค์ประกอบโดยใช้สูตร ρ x, y = x y สัจพจน์ MP สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดาย หากนำพื้นที่เมตริกออกไปจนหมด พื้นที่มาตรฐานจะเรียกว่าพื้นที่บานาน่า มักจะเหมือนกันและเหมือนกัน< 1 и оператор A – сжимающий (например, с α = L). Таким образом, доказано, что существует и притом единственная вектор + функция ϕ (t) – решение Коши (3.1), (3.2) на t0 , b . задачи Rn задачу Коши сведем к предыдущей при Для полосы G = a, t0 помощи линейной замены τ = 2t0 t. В самом деле, для вектор-функция y(t) = y 2t0 τ = y~(t), задача Коши (3.1), (3.2) запишется в виде: y~(τ) = f (2t0 τ, y~(τ)) f~ (τ, y~(τ)) , y~(t0) = y 0 на отрезке τ 2 t0 , 2t0 a . Поэтому можно применить предыдущие рассуждения, взяв b = 2t0 a. Итак, существует и притом единственное решение задачи Коши y~(τ) на всем отрезке τ 2 t0 , 2t0 a и,следовательно, ϕ (t) = y~ 2t0 t – решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, t0 . Возьмем «сшивку» вектор-функций ϕ (t) и ϕ+ (t), т.е. вектор-функцию ϕ (t), при t 2 a, t0 ; ϕ(t) = ϕ+ (t), при t 2 t0 , b . d dτ Как при доказательстве теоремы 2.4, устанавливаем, что ϕ(t) – это решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, b . Единственность его следует из следствия 3.1. Теорема доказана. -52- Замечание 3.9. Утверждение 3. 1 дает достаточное условие того, что векторфункция f t, y в выпуклой по y области G удовлетворяет условию Лип∂fi шица. А именно, для этого достаточно, чтобы все частные производные ∂yj были непрерывны и ограничены некоторой константой в G. Аналогично следствию из теоремы 2.4 получаем такое утверждение для нормальных систем. Ñледствие 3.3. Пусть вектор-функция f (t, y) определена, непрерывна в открытой полосе o n n Q = (t, y) t 2 (A, B), y 2 R , причем A и B могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что вектор-функция f (t, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(t) 2 C(A, B) такая, что 8 t 2 (A, B) и 8 y 1 , y 2 2 Rn выполняется неравенство f t, y 2 f t, y 1 6 L(t) y 2 y 1 . Òогда при любых начальных данных t0 2 (A, B), y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.1), (3.2) на всем интервале (A, B). Доказательство проводится повторением соответствующих рассуждений из п. 2.2, оставляем его добросовестному читателю. В качестве других следствий из доказанной теоремы 3. 5 получим теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для линейной системы. Речь идет о задаче нахождения вектор-функции y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) из условий: d y(t) = A(t)y(t) + f 0 (t), t 2 a, b , (3.9) dt y(t0) = y 0 , (3.10) где A(t) = aij (t) – n n матрица, f 0 (t) – вектор-функция переменной t, t0 2 a, b , y 0 2 Rn – заданы. n 0 Теорема 3. 6. Пусть a (t) 2 C a, b , f (t) 2 C a, b ; R , ij t0 2 a, b , y 0 2 Rn заданы. Òогда существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всем отрезке a, b . Доказательство. Проверим, что для функции f t, y = A(t)y + f 0 (t) выполнены теоремы 3. 5. Во-первых, f t, y 2 C G; Rn , где условия G = a, b Rn , как сумма двух непрерывных функций. Во-вторых, (см. неравенство (3.5)): Ay 2 Ay 1 = A(t) y 2 y 1 6 A 2 y 2 y 1 6 L y 2 y 1 , -53- поскольку A n P 2 ! 21 aij (t) 2 – непрерывная на a, b функция. Тогда i,j=1 по теореме 3. 5 получим доказываемое утверждение. Теорема 3. 7. Пусть aij (t) 2 C (R), f 0 (t) 2 C (R; Rn) заданы. Òогда при любых начальных данных t0 2 R, y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всей числовой прямой. Доказательство. Проверим, что выполнены все условия следствия из теоре мы 3. 5 с A = 1, B = +1. Вектор-функция f t, y = A(t)y + f 0 (t) непрерывна в полосе Q = R Rn как функция (n + 1) переменной. Кроме того, L(t) y 2 y 1 , f t, y 2 f t, y 1 6 A(t) 2 y 2 y 1 где L(t) – непрерывная по условию теоремы на A, B = 1, +1 функция. Таким образом, все условия следствия выполнены, и теорема доказана. -54- Глава IV. Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах В ряде случаев дифференциальное уравнение может быть решено в квадратурах, т.е. для его решения может быть получена явная формула. В таких случаях методика решения, как правило, следующая. 1. Предполагая, что решение существует, находят формулу, по которой решение выражается. 2. Существование решения затем доказывается непосредственной проверкой, т.е. подстановкой найденной формулы в исходное уравнение. 3. Используя дополнительные данные, (например, задавая начальные данные Коши) выделяют конкретное решение. 4. 1. Уравнение с разделяющимися переменными В данном параграфе применим уже использовавшуюся выше методику для решения уравнений с разделяющимися переменными, т.е. уравнений вида y 0 (x) = f1 (x) f2 (y), Áудем предполагать, что f1 (x) 2 C (ha, bi) , x 2 ha, bi, f2 (y) 2 C (hc, di) , y 2 hc, di. (4.1) f2 (y) 6= 0 на hc, di а следовательно, в силу непрерывности функции f2 (y), она сохраняет знак на hc, di . Итак, предположим, что в окрестности U(x0) точки x0 2 ha, bi существует решение y = ϕ(x) уравнения (4.1). Тогда имеем тождество dy = f1 (x) f2 (y), dx y = ϕ(x), 55 x 2 U(x0). Но тогда равны дифференциалы dy = f1 (x) dx f2 (y) мы учли, что f2 (y) 6= 0 . Из равенства дифференциалов вытекает равенство первообразных с точностью до постоянного слагаемого: Z Z dy = f1 (x) dx + C. (4.2) f2 (y) После введения обозначений Z F2 (y) = Z dy , f2 (y) F1 (x) = f1 (x) dx, получаем равенство F2 (y) = F1 (x) + C. (4.3) Заметим, что F20 (y) = 1/f2 (y) 6= 0, поэтому к соотношению (4.3) можно применить теорему об พื้นที่เชิงเส้น , เนื่องจากความเท่าเทียมกันนี้ (4.3) เราสามารถให้ y และลบสูตร y (x) = F2 1 F1 (x) + C, (4.4) ใช้ได้รอบจุด x0 ให้เราแสดงว่าความเท่าเทียมกัน (4.4) ให้คำตอบของสมการ (4.1) รอบจุด x0 ทฤษฎีบท vikorista ที่มีประสิทธิภาพเกี่ยวกับฟังก์ชันส่งคืนค่าต่าง ๆ และดูความสัมพันธ์ F10 (x) = f1 (x) เราจะลบ y 0 (x) = dF2 1 (z) dz z = F1 (x) + C F10 (x) = 1 F20 ( y) y = y (x) F10 (x) = f2 y (x) f1 (x) ดวงดาวแสดงว่าฟังก์ชัน y (x) จาก (4.4) เท่ากับผลเฉลย (4.1) ตอนนี้เรามาดูปัญหาคอชีสำหรับสมการ (4.1) โดยมีใจซัง y (x0) = y0 (4.5) เขียนสูตร (4.2) ได้ในรูป Zy dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx + C. x0 y0 เมื่อแทรกตรงนี้ Cob (4.5) เรารู้ว่า C = 0 แล้วผลเฉลยของ ปัญหา Cauchy ถูกกำหนดโดยspivvіdnoshenya Zy y0 dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx x0 -56- (4.6) แน่นอนว่าค่านี้ไม่ซ้ำกัน นอกจากนี้ สูตร (4.4) จะให้คำตอบสุดท้ายของสมการ (4.1) และวิธีการแก้ปัญหาคอชี (4.4), (4.5) ที่เกี่ยวข้องกับ (4.6) เคารพ 4. 1. เนื่องจาก f2 (y) = 0 สำหรับการกระทำ y = yj, (j = 1, 2,..., S) ดังนั้นเห็นได้ชัดว่าคำตอบ (4.1) ก็เป็นฟังก์ชัน y (x) yj, j = 1, 2,. - -57- 4. 2. Linear ODE ของลำดับแรก Linear ODE ของลำดับแรก เรียกว่า เท่ากับ y 0 (x) + p (x) y (x) = q (x), Box q (x) 6 Box q (x) x 2 เฮกตาร์, ทวิ. (4.12) 0 แล้วสมการนี้เรียกว่าต่างกัน 0 จากนั้นสมการจึงเรียกว่าเอกพันธ์: y 0 (x) + p (x) y (x) = 0 (4.120) ทฤษฎีบท 4 1. 1) เนื่องจาก y1 (x), y2 (x) เป็นคำตอบของ สมการเอกพันธ์ (4.120) , α, β เป็นตัวเลขเสริม จากนั้นฟังก์ชัน y (x) αy1 (x) + βy2 (x) ก็เท่ากับคำตอบ (4.120) เช่นกัน 2) สำหรับคำตอบฮาลาลของสมการต่างกัน (4.12) สูตร yоn = yоо + yчн มีความเหมาะสม (4.13) ที่เสร็จเรียบร้อย. 120) กำหนดโดยสูตร y (x) = C e de C R p (x) dx, (4.15) ค่าคงที่ที่เพียงพอ 3) วิธีแก้ปัญหา Mosha (4.120), (4.14) กำหนดโดยสูตร Rx y (x) = y0 e x0 p (ξ) dξ (4.16) หลักฐาน เราได้สูตร (4.15) ตามวิธีที่ให้ไว้ตอนต้นบท สิ่งสำคัญสำหรับเราก่อนอื่นคือฟังก์ชัน y 0 เท่ากับคำตอบ (4.120) ให้ y (x) - การตัดสินใจ rivnannya (4.120) และ y 6 0 บน ha, bi จากนั้น 9 x1 2 เฮกตาร์ bi โดยที่ y (x1) = y0 6 = 0 ลองดูที่ระดับ (4.120) ในบริเวณใกล้จุด x1 สมการนี้ขึ้นอยู่กับตัวแปร และ y (x) 6 = 0 ในบริเวณใกล้กับจุด x1 จากนั้น จากผลลัพธ์ของย่อหน้าก่อนหน้า เราได้สูตรที่ชัดเจนสำหรับ Z dy = p (x) dx, ln y = p (x) dx + C, y -59- ดาว R y (x) = C ep (x) dx, c 6 = 0 ซึ่งสอดคล้องกับสูตร (4.15) ยิ่งไปกว่านั้น คำตอบ y 0 ยังได้รับจากสูตร (4.15) ที่ C = 0 โดยการแทนที่คำตอบเป็นสมการ (4.120) เราจะแปลงฟังก์ชัน y (x) ซึ่งกำหนดโดยสูตร (4.15) สำหรับ C ใด ๆ φ shennyam rivnyannya ( 4.120) และในทุก ๆ ด้าน ฮ่า, บิ แสดงว่าสูตร (4.15) กำหนดจุดเชื่อมต่อสุดท้ายของสมการ (4.120) มีประสิทธิภาพ ให้ y ^ (x) - วิธีแก้ปัญหาเพียงพอที่จะทำให้เท่ากัน (4.120) ถ้า y ^ (x) 6 = 0 บน ha, bi จากนั้นทำซ้ำการรวมส่วนหน้าเราปฏิเสธว่าฟังก์ชันนี้กำหนดโดยสูตร (4.15) โดยมี C เหมือนกัน: เองถ้า y ^ (x0) = y ^ 0 จากนั้น Rx p ( ξ) dξ y ^ (x) = y ^ 0 e x0 ถ้า 9x1 2 เฮกตาร์ มีค่า bi เท่ากับ y ^ (x1) = 0 ดังนั้นปัญหาคอชีสำหรับสมการ (4.120) ที่มีสมองซัง y (x1) = 0 อาจมีสองคำตอบ y ^ (x) และ y (x) 0 ด้วยแรงเคารพ 4 วิธีแก้ปัญหาคอชี 3 วิธีเหมือนกัน ดังนั้น y ^ (x) 0 จึงได้มาจากสูตร (4.15) ที่ C = 0 เป็นที่ชัดเจนว่าวิธีแก้ปัญหานั้นซับซ้อนกว่า (4.120) ถูกกำหนดสำหรับทุกฮ่า, ไบ และกำหนดโดยสูตร (4.15) แน่นอนว่าสูตร (4.16) สามารถย่อให้สั้นลงได้ด้วยการบวกสูตร (4.15) เนื่องจากสูตรนี้กำหนดฟังก์ชัน y (x) และผลเฉลยเท่ากับ (4.120) นอกจากนี้ x R0 p (ξ) dξ y (x0) = y0 e x0 = y0 ดังนั้นสูตร (4.16) จึงกำหนดวิธีแก้ปัญหาของคอชี (4.120), (4.14) ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ทฤษฎีบท 4.2 เสร็จสมบูรณ์แล้ว ตอนนี้เรามาดูการแข่งขันที่แตกต่างกัน (4.12) ทฤษฎีบท 4 3. ให้ p (x), q (x) 2 C (ha, bi) เมื่อการตัดสินใจถูกต้อง: 1) ระบุว่าการตัดสินใจ (4.12) ระบุไว้ตลอดช่วง ฮ่า, ไบ; 2) คำตอบสุดท้ายของสมการเอกพันธ์ (4.12) ได้จากสูตร Z R R R p (x) dx p (x) dx q (x) e p (x) dx dx, (4.17) y (x) = Ce + e de C เป็นค่าคงที่ที่เพียงพอ 3) วิธีแก้ไขปัญหา Mosha (4.12), (4.14) กำหนดโดยสูตร Rx y (x) = y0 e x0 Zx p (ξ) dξ + q (ξ) e x0 -60- Rx ξ p (θ ) ดθ dξ (4.18) หลักฐาน สิ่งนี้ได้รับการยืนยันโดยทฤษฎีบท 4 1 และโดยสูตร (4.13) yon = yоо + yчн จำเป็นต้องรู้คำตอบส่วนตัวของสมการ (4.12) เพื่อจุดประสงค์นี้ สิ่งที่เรียกว่าวิธีการแปรผันโดยพื้นฐานแล้วจะเหมือนกัน สาระสำคัญของวิธีนี้มีดังต่อไปนี้: เราใช้สูตร (4.15) แทนที่ค่าคงที่ C ในนั้นด้วยฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก C (x) และค้นหาวิธีแก้ปัญหาส่วนตัว (4.12) ในรูปแบบ ychn (x) = C (x ) อี R พี (x) dx (4.19) ลองแทนสมการ (x) จาก (4.19) ลงในสมการ (4.12) แล้วหา C (x) จะได้สมการทั้งหมด ดังนั้นโม R R 0 ychn (x) = C 0 (x) e p (x) dx + C (x) e p (x) dx p (x) แทนที่ใน (4.12) เราจะลบ C 0 (x) e R p (x) dx + C (x) e R p (x) dx p (x) + C (x) p (x) e R p (x) ) dx = q (x) ติดดาว RC 0 (x) = q (x) ep (x) dx เมื่อรวมความสัมพันธ์ที่เหลือและการแทนที่ C (x) ลงในสูตร (4.19) เราปฏิเสธว่า Z R R p (x) dx ychn (x) = e q (x) e p (x) dx dx ยิ่งไปกว่านั้น ตามทฤษฎีบทที่ 4 2 R yоо = C e p (x) dx ดังนั้น เมื่อใช้สูตร Vikorist (4.13) จากทฤษฎีบท 4.1 เราสามารถลบ ZRRR p (x) dx p (x) dx y (x) = yоо + yчн = Ce + eq (x) ep (x) dx dx ซึ่งหลีกเลี่ยงด้วยสูตร (4.17) เห็นได้ชัดว่าสูตร (4.17) ระบุคำตอบสำหรับแต่ละช่วง ha, bi สุดท้ายนี้ วิธีแก้ปัญหาคอชี (4.12), (4.14) ได้จากสูตร Rx y (x) = y0 e Rx p (ξ) dξ x0 + ep (θ) dθ Zx Rξ p (θ) dθ q ( ξ) อดีต0 x0 dξ (4.20) x0 เห็นได้ชัดเจนว่าสูตร (4.20) สามารถย่อให้สั้นลงได้ด้วยการบวกสูตร (4.17) ที่ C = y0 ซึ่งกำหนดโดยสมการ (4.12) ยิ่งไปกว่านั้น x R0 y (x0) = y0 e x0 x R0 p (ξ) dξ + ep (θ) dθ Zx0 Rξ q (ξ) e x0 x0 x0 -61- p (θ) dθ dξ = y0 เราก็พอใจแล้ว ด้วยบรรณาการซังนี้ (4.14) ให้เรานำสูตร (4.20) มาเป็นแบบฟอร์ม (4.18) จริงๆ แล้ว จาก (4.20) เราสามารถ Rx y (x) = y0 e Zx p (ξ) dξ + x0 Rξ q (ξ) exp (θ) dθ Rx dξ = y0 e Zx p (ξ) dξ + x0 x0 Rx q ( ξ) ep (θ) dθ dξ, ξ x0 ซึ่งสามารถหลีกเลี่ยงได้โดยใช้สูตร (4.18) ทฤษฎีบท 4.3 เสร็จสมบูรณ์แล้ว ข้อพิสูจน์ (เกี่ยวกับการประเมินวิธีแก้ปัญหาคอชีสำหรับระบบเชิงเส้น) x0 2 ฮ่า, ไบ, p (x), q (x) 2 C (ฮ่า, ไบ) และ p (x) 6 K, q (x) 6 M เฮ้ 8 x 2 ฮ่า, ไบ ดังนั้นค่าประมาณต่อไปนี้ใช้ได้กับปัญหา Mosha ที่สมบูรณ์แบบ (4.12), (4.14) M Kjx x0 j Kjx x0 j y (x) 6 y0 e + e 1. K (4.21) พิสูจน์ ปล่อย x> x0 โดยอาศัยอำนาจตาม (4.18) เรามี Rx Zx K dξ y (x) 6 y0 ex0 Rx K dθ M eξ + dξ = y0 eK (x x0) Zx + M x0 = y0 e K (x x0) eK (x ξ ) dξ = x0 M + K e K (x ξ) ξ = x ξ = x0 = y0 e Kjx x0 j M Kjx + e K x0 j 1. ให้ x ตอนนี้< x0 . Тогда, аналогично, получаем x R0 y(x) 6 y0 e x K dξ Zx0 + Rξ M ex K dθ dξ = y0 eK(x0 x) Zx0 +M x = y0 e K(x0 eK(ξ x) dξ = x M x) eK(ξ + K x) ξ=x0 ξ=x M h K(x0 x) = y0 e + e K M Kjx Kjx x0 j e = y0 e + K i 1 = K(x0 x) x0 j Таким образом, оценка (4.21) справедлива 8 x 2 ha, bi. Пример 4. 2. Решим уравнение y = x2 . x Решаем сначала однородное уравнение: y0 y0 y = 0, x dy dx = , y x ln jyj = ln jxj + C, -62- y = C x. 1 . Решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольной постоянной: y чн = C(x) x, Cx = x2 , x 0 C x+C 0 C = x, x2 C(x) = , 2 откуда x3 , 2 y чн = а общее решение исходного уравнения y =Cx+ x3 . 2 4. 3. Однородные уравнения Однородным уравнением называется уравнение вида y 0 y (x) = f , (x, y) 2 G, x (4.22) G – некоторая область в R2 . Áудем предполагать, что f (t) – непрерывная функция, x 6= 0 при (x, y) 2 G. Однородное уравнение заменой y = xz, где z(x) – новая искомая функция, сводится к уравнению с разделяющимися переменными. В силу данной замены имеем y 0 = xz 0 + z. Подставляя в уравнение (4.22), получим xz 0 + z = f (z), откуда z 0 (x) = 1 x f (z) z . (4.23) Уравнение (4.23) представляет собой частный случай уравнения с разделяющимися переменными, рассмотренного в п. 4.1. Пусть z = ϕ(x) – решение уравнения (4.23). Тогда функция y = xϕ(x) является решением исходного уравнения (4.22). Действительно, y 0 = xϕ 0 (x) + ϕ(x) = x 1 x f (ϕ(x)) ϕ(x) + ϕ(x) = xϕ(x) y(x) = f ϕ(x) = f =f . x x Пример 4. 3. Ðешим уравнение y0 = y x -63- ey/x . Положим y = zx. Тогда xz 0 + z = z откуда y(x) = 1 z e, x z0 = ez , dz dx = , e z = ln jzj + C, z e x z = ln ln Cx , c 6= 0, x ln ln Cx , c 6= 0. 4. 4. Уравнение Áернулли Уравнением Áернулли называется уравнение вида y 0 = a(x)y + b(x)y α , α 6= 0, α 6= 1 . x 2 ha, bi (4.24) При α = 0 или α = 1 получаем 0 (หมวด 3.5) ตามสูตร: x α = สูงสุด e αt x (t) -51- ให้เราแสดงว่ามันเป็นไปได้ที่จะเลือก α ในลักษณะที่ตัวดำเนินการ A ในปริภูมิ X ที่มีบรรทัดฐานสำหรับ α> L จะถูกบีบอัด การดำเนินการ, α Ay 2 Ay 1 α Zt hf τ, y 2 (τ) αt = สูงสุด e 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 6 max e αt Zt y 2 (τ) L y 1 (τ) dτ = t0 = L สูงสุด e Zt αt e ατ y 2 (τ) eατ dτ 6 y 1 (τ) t0 6 L สูงสุด e αt Zt eατ dτ สูงสุด e ατ y 2 (τ) y 1 (τ) = y2 α t0 = L สูงสุด e αt เนื่องจาก α> L ดังนั้น q = L α 1 1 αt e α e eαt0 L = α α b t0 y 2 y1 y 1 α = 1 e α b t0 สิ่งนี้ถูกกล่าวถึงในย่อหน้าที่ 4.2 เราจะถือว่า a (x), b (x) 2 C (ha, bi) เคารพ 4. 4. ถ้า α> 0 เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชัน y (x) 0 เท่ากับผลเฉลย (4.24) สำหรับระดับสูงสุดของ Bernoulli (4.24) α 6 = 0, α 6 = 1 เราจะแยกส่วนที่ละเมิดของจำนวนด้วย y α เมื่อ α> 0 จำเป็นต้องให้ค่าซึ่งเนื่องจากการคำนึงถึง 4. 4 ฟังก์ชัน y (x) 0 เท่ากับการตัดสินใจ (4.24) ซึ่งจะถูกใช้กับการหารดังกล่าว ในอนาคตความต้องการนี้จะถูกเพิ่มเข้าไปในโซลูชันใต้ดิน หลังจากนี้ จะกำหนดความสัมพันธ์ y α y 0 = a (x) y 1 α + b (x) เราแนะนำฟังก์ชันใหม่ z = y 1 α จากนั้น z 0 = (1 จากนั้น เราก็มาถึงระดับ z z 0 = (1 α) a (x) z + (1 α) y α) b (x) α y 0 และ (4.25) สมการ (4.25) เป็นสมการเชิงเส้น สมการดังกล่าวได้รับการพิจารณาในส่วน 4.2 โดยที่สูตรของสารละลายตามตัวอักษรได้รับการกู้คืนเนื่องจากโซลูชันใด z (x) สมการ (4.25) เขียนในรูปแบบ z (x) = Ce R (α 1) a (x ) dx + + (1 α ) อี R (α 1) ก (x) dx 1 Z b (x) อี R (α 1) ก (x) dx dx (4.26) จากนั้นฟังก์ชัน y (x) = z 1 α (x) โดยที่ z (x) ถูกกำหนดไว้ใน (4.26) และผลเฉลยจะเท่ากับเบอร์นูลล์ (4.24) -64- นอกจากนี้ ตามที่ระบุไว้ข้างต้น สำหรับโซลูชัน α> 0 ฟังก์ชันเดียวกัน y (x) 0 ตัวอย่างที่ 4 4. แก้สมการ y 0 + 2y = y 2 เช่น (4.27) หารระดับ (4.27) ด้วย y 2 และทำการทดแทน z = จะได้ระดับต่างกันเชิงเส้น 1 y เป็นผลให้ z 0 + 2z = อดีต (4.28) เป็นไปได้มากว่าสมการจะเหมือนกัน: z 0 + 2z = 0, dz = 2dx, z ln jzj = 2x + c, z = Ce2x, C 2 R1 การแก้สมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน (4.28) ถูกกำหนดโดยวิธีการเปลี่ยนค่าคงที่: zchn = C (x) e2x, C 0 e2x 2Ce2x + 2Ce2x = ex, C 0 = ex, C (x) = ex, เครื่องหมาย zchn = ex และวิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติม Rivnyanya (4.28) z (x) = Ce2x + ex นอกจากนี้ การแก้สมการ (4.24) ยังเขียนอยู่ในรูปแบบ y (x) = 1 ex + Ce2x นอกจากนี้ การแก้สมการ (4.24) ยังเป็นฟังก์ชันของ y (x) อีกด้วย โดยมีการใช้คำตอบเมื่อ หาร r івняняนี้บน y 2 0. 4. 5. การทำให้เท่าเทียมกันในส่วนต่างที่สมบูรณ์ ลองดูที่การทำให้เท่าเทียมกันในส่วนต่าง M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, (x, y) 2 G, (4.29) G คือบริเวณดียักใน R2 สมการนี้เรียกว่าสมการในอนุพันธ์ที่สมบูรณ์เนื่องจากฟังก์ชันหลัก F (x, y) 2 C 1 (G) เรียกว่าศักย์ดังนั้น dF (x, y) = M (x, y) dx + N ( x, y ) dy, (x, y) 2 G เพื่อความง่าย เราจะถือว่า M (x, y), N (x, y) 2 C 1 (G) และขอบเขต G เชื่อมต่อเพียงจุดเดียว ในสมมติฐานหลายประการในหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (เช่น div.) สรุปได้ว่าศักยภาพ F (x, y) สำหรับการปรับให้เท่ากัน (4.29) เป็นจริง (จากนั้น (4.29) จะเท่ากันในส่วนต่างใหม่) และเท่านั้น ถ้า My (x, y) = Nx (x, y) -65- 8 (x, y) 2 G. เมื่อ (x, Z y) F (x, y) = M (x, y) dx + N (x, y) dy, (4.30) (x0, y0) เดพอยต์ (x0, y0) - เดพอยต์คงที่ з G , (x, y) คือจุดที่แม่นยำใน G และอินทิกรัลส่วนโค้งจะถูกลากไปตามเส้นโค้งใดๆ ที่เชื่อมจุด (x0, y0) และ (x, y) และอยู่ในภูมิภาค G ทั้งหมด ซึ่งเท่ากับ (4.29) เท่ากับ

ฟังก์ชันส่งคืน

การจัดตำแหน่งเชิงเส้น Alexander Viktorovich Abrosimov วันเดือนปีเกิด: 16 ใบไม้ร่วง 2491 (2491 11 16) สถานที่เกิด: Kuibishev วันแห่งความตาย ... Wikipedia

I การทำให้เท่าเทียมกันแบบดิฟเฟอเรนเชียลเพื่อแทนที่ฟังก์ชันที่ค้นหา ลำดับที่แตกต่างกันที่คล้ายกัน และการเปลี่ยนแปลงที่เป็นอิสระ ทฤษฎีของ D. u. วินิกลาในปลายศตวรรษที่ 17 ภายใต้ความต้องการทางกลและสาขาวิชาธรรมชาติอื่น ๆ ที่หลั่งไหลเข้ามามากมาย ... ...

Wikipedia มีบทความเกี่ยวกับบุคคลอื่นที่มีชื่อเล่นนี้ div ยูโดวิช. Viktor Yosipovich Yudovich วันเดือนปีเกิด: 4 มิถุนายน พ.ศ. 2477 (พ.ศ. 2477 10 04) สถานที่เกิด: ทบิลิซี SRSR วันเดือนปีเกิด ... Wikipedia

ส่วนต่าง- (ดิฟเฟอเรนเชียล) ความสำคัญของดิฟเฟอเรนเชียล, ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล, ล็อกเฟืองท้าย ข้อมูลเกี่ยวกับความหมายของดิฟเฟอเรนเชียล, ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล, ดิฟเฟอเรนเชียลล็อก st ทางคณิตศาสตร์ คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ ... ... สารานุกรมนักลงทุน

สิ่งสำคัญประการหนึ่งที่ต้องเข้าใจในทฤษฎีความเสมอภาคเชิงอนุพันธ์กับความแตกต่างส่วนตัว บทบาทของ X. ปรากฏในพลังที่แท้จริงของระดับเหล่านี้ เช่น อำนาจในการตัดสินใจในท้องถิ่น ความสามารถในการแก้คำสั่งต่าง ๆ ความถูกต้อง ฯลฯ ไปกันเถอะ...... สารานุกรมทางคณิตศาสตร์

การปรับสมดุลซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จักก่อนหน้านี้เป็นการเปลี่ยนแปลงอิสระอย่างหนึ่ง และการประเมินไม่เพียงแต่รวมถึงฟังก์ชันที่ไม่รู้จักเท่านั้น แต่ยังรวมถึงฟังก์ชันที่คล้ายกันซึ่งมีลำดับต่างกันด้วย คำว่า Differential Equalization บัญญัติขึ้นโดย G. ... ... สารานุกรมทางคณิตศาสตร์

Trenogin Vladilen Oleksandrovich V. A. Trenogin ในการบรรยายที่ MISiS วันเกิด ... Wikipedia

Trenogin, Vladilen Oleksandrovich Trenogin Vladilen Oleksandrovich V. A. Trenogin ในการบรรยายที่ MISiS วันเกิด: 1931 (1931) ... Wikipedia

สมการเกาส์เซียน สมการเชิงอนุพันธ์หลักเชิงเส้นของลำดับที่ 2 หรือในรูปแบบที่อยู่ติดกันเอง ตัวแปรและพารามิเตอร์ในลักษณะที่เป็นทางการสามารถรับค่าที่ซับซ้อนได้ หลังจากทดแทน ออก แบบฟอร์มจะถูกสร้างขึ้น... ... สารานุกรมทางคณิตศาสตร์

หลักสูตรการบรรยายนี้เปิดสอนมานานกว่า 10 ปีสำหรับนักศึกษาคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีและประยุกต์ที่ Far-Far State University เป็นไปตามมาตรฐานรุ่น II และความเชี่ยวชาญพิเศษอื่นๆ คำแนะนำสำหรับนักศึกษาและผู้เชี่ยวชาญด้านคณิตศาสตร์

ทฤษฎีบทของคอชีเกี่ยวกับที่มาและเอกภาพของการแก้ปัญหาคอชีมีความสำคัญเป็นลำดับแรก
ในย่อหน้ามีเพลงวางอยู่บน สิทธิในการแบ่งปันสมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่ 1 พื้นฐานและเอกภาพของการแก้ปัญหาจะถูกเปิดเผยซึ่งระบุด้วยข้อมูลหยาบ (x0, y0) ข้อพิสูจน์แรกของรากฐานของการตัดสินใจเรื่องความเท่าเทียมกันเป็นของ Cauchy หลักฐานที่ให้ไว้ด้านล่างนี้มอบให้โดย Picard; มีความจำเป็นต้องปฏิบัติตามวิธีการเพิ่มเติมต่อเนื่องกัน

ซีมิสท์
1. การแข่งขันลำดับแรก
1.0. เข้า
1.1. Rivnyanya พร้อมสารทดแทนเสริมน้ำ
1.2. ระดับเดียวกัน
1.3. การจัดอันดับหนึ่งปีสม่ำเสมอ
1.4. ความเท่าเทียมกันเชิงเส้นของลำดับแรกและลำดับที่ลดลง
1.5. จังหวัดเบอร์นูลลี
1.6. ริฟเน่ ริคคาติ
1.7. การปรับระดับในเฟืองท้ายใหม่
1.8. การบูรณาการตัวคูณ ประเภทที่ง่ายที่สุดในการค้นหาตัวคูณที่ปริพันธ์ได้
1.9. Rivne ไม่ได้รับอนุญาตก่อนเดินขบวน
1.10. ทฤษฎีบทของคอชีเกี่ยวกับที่มาและเอกภาพของการแก้ปัญหาคอชีมีความสำคัญเป็นลำดับแรก
1.11. จุดพิเศษ
1.12. โซลูชั่นพิเศษ
2. การแข่งขันของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น
2.1. แนวคิดและความหมายพื้นฐาน
2.2. ประเภทความเท่าเทียมกันของลำดับที่ n ความแตกต่างในพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส
2.3. อินทิกรัลระดับกลาง Rivnannya ซึ่งอนุญาตให้มีลำดับที่ต่ำกว่า
3. สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นในลำดับที่สอง
3.1. แนวคิดพื้นฐาน
3.2. สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นในลำดับที่สอง
3.3. การลดลำดับการเปรียบเทียบเนื้อเดียวกันเชิงเส้น
3.4. การจัดตำแหน่งเชิงเส้นต่างกัน
3.5. การลดลำดับในลำดับต่างกันเชิงเส้น
4. การเปรียบเทียบเชิงเส้นพร้อมอัตราต่อรองคงที่
4.1. การเปรียบเทียบเชิงเส้นสม่ำเสมอกับค่าสัมประสิทธิ์คงที่
4.2. การเปรียบเทียบเชิงเส้นต่างกันด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่
4.3. การแข่งขันเชิงเส้นของลำดับที่แตกต่างพร้อมวิธีแก้ปัญหาที่ซ่อนอยู่
4.4. บูรณาการด้วยความช่วยเหลือของอนุกรมแบบคงที่
5. ระบบเชิงเส้น
5.1. ระบบที่แตกต่างและเป็นเนื้อเดียวกัน ผู้มีอำนาจตัดสินใจเลือกระบบเชิงเส้น
5.2. ความรู้ที่จำเป็นและเพียงพอเกี่ยวกับความเป็นอิสระเชิงเส้นก่อนที่จะแก้ระบบเอกพันธ์เชิงเส้น
5.3. รากฐานของเมทริกซ์พื้นฐาน คำตอบของโพบูโดวาต่อระบบเอกพันธ์เชิงเส้น
5.4. Pobudov ผลคูณทั้งหมดของเมทริกซ์พื้นฐานของระบบเอกพันธ์เชิงเส้น
5.5. ระบบที่แตกต่างกัน สารละลาย Pobudova zagalny โดยวิธีการแปรผันของเหล็กเพิ่มเติม
5.6. ระบบเส้นตรงเส้นเดียวที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
5.7. ข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับทฤษฎีฟังก์ชันในเมทริกซ์
5.8. Pobudova ของเมทริกซ์พื้นฐานของระบบระดับเนื้อเดียวกันเชิงเส้นพร้อมค่าสัมประสิทธิ์เหล็กในรูปแบบน้ำแข็ง
5.9. ทฤษฎีบทพื้นฐานและทฤษฎีบทเกี่ยวกับกำลังฟังก์ชันสำหรับคำตอบของระบบปกติของระดับดิฟเฟอเรนเชียลอันดับหนึ่ง
6. องค์ประกอบของทฤษฎีความยืดหยุ่น
6.1
6.2. ประเภทที่ง่ายที่สุดและจุดสงบ
7. Rivne ในกิจการส่วนตัวลำดับที่ 1
7.1. การเปรียบเทียบเนื้อเดียวกันเชิงเส้นในความคล้ายคลึงส่วนตัวของลำดับที่ 1
7.2. การจัดตำแหน่งเชิงเส้นที่ไม่สม่ำเสมอในความคล้ายคลึงส่วนตัวของลำดับที่ 1
7.3. ระบบสองระดับในบัญชีส่วนตัวพร้อม 1 ฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จัก
7.4. คู่แข่งของพัฟ
8. ตัวเลือกการควบคุม
8.1. การควบคุมหุ่นยนต์ №1
8.2. หุ่นยนต์ควบคุมหมายเลข 2
8.3. หุ่นยนต์ควบคุมหมายเลข 3
8.4. หุ่นยนต์ควบคุมหมายเลข 4
8.5. หุ่นยนต์ควบคุมหมายเลข 5
8.6. หุ่นยนต์ควบคุมหมายเลข 6
8.7. หุ่นยนต์ควบคุมหมายเลข 7
8.8. หุ่นยนต์ควบคุมหมายเลข 8

ดาวน์โหลด e-book ในรูปแบบคู่มือได้อย่างง่ายดาย ประหลาดใจและอ่าน:
ดาวน์โหลดหนังสือหลักสูตรการบรรยายเรื่องสมการเชิงอนุพันธ์พื้นฐาน, Shepeleva R.P., 2006 - fileskachat.com, ภาษาสวีเดน และดาวน์โหลดฟรี

เสน่ห์.pdf
ด้านล่างนี้คุณสามารถซื้อหนังสือเล่มนี้ได้ที่ ในราคาสูงสุดพร้อมส่วนลดพร้อมจัดส่งทั่วรัสเซีย

มาคาร์สกา อี. V. ในหนังสือ: Days of Student Science ฤดูใบไม้ผลิ - 2554 M.: มหาวิทยาลัยเศรษฐศาสตร์, สถิติและสารสนเทศแห่งรัฐมอสโก, 2554 หน้า 135-139

ผู้เขียนพิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นในทางปฏิบัติเพื่อตรวจสอบระบบเศรษฐศาสตร์ งานนี้นำเสนอการวิเคราะห์แบบจำลองพลวัตของเคนส์และซามูเอลสัน-ฮิกส์กับการเปลี่ยนแปลงของระบบเศรษฐกิจในส่วนที่เท่าเทียมกัน

Ivanov A. I. , Isakov I. , Dyomin A. V. และใน ตอนที่ 5 ม.: Slovo, 2012.

ผู้เขียนได้ทบทวนวิธีการต่างๆ ในการติดตามความเป็นกรดของมนุษย์ในระหว่างการทดสอบด้วยการออกกำลังกายตามขนาดที่เผยแพร่ที่ศูนย์วิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย-IMBP RAS หนังสืออ้างอิงสำหรับนักวิทยาศาสตร์ นักสรีรวิทยา และแพทย์ที่ทำงานในสาขาการบินและอวกาศ ใต้น้ำ และเวชศาสตร์การกีฬา

Mikheev A.V. SPb.: ปัญหาการพิมพ์การดำเนินงานของ NDU HSE - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก, 2012

คอลเลกชันนี้ประกอบด้วยงานเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งผู้เขียนคณะเศรษฐศาสตร์ NDU HSE - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์กอ่าน บนพื้นผิวของหัวข้อ มีการสรุปข้อเท็จจริงทางทฤษฎีหลักโดยย่อ และตรวจสอบการประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาทั่วไป สำหรับนักศึกษาและโครงการอาชีวศึกษาเครื่องช่วยฟัง

โคนาคอฟ วี.ดี.โรคติดต่อทางเพศสัมพันธ์ ดับบลิวพี บีอาร์พี. การศึกษาของ Opikunskaya เพื่อคณะกลศาสตร์และคณิตศาสตร์ของ MDU, 2555 ลำดับที่ 2012

หนังสือเรียนเล่มแรกนี้อิงจากหลักสูตรพิเศษที่นักเรียนเลือก อ่านโดยผู้เขียนที่คณะกลศาสตร์และคณิตศาสตร์ของ Moscow State Duma เอ็มวี โลโมโนซอฟในปี 2553-2555 หินเริ่มต้น-

ผู้อ่านควรได้รับการแนะนำให้รู้จักกับวิธี parameterix และอะนาล็อกที่แยกจากกัน ซึ่งผู้เขียนคู่มือและเพื่อนผู้เขียนจะต้องขออภัยในชั่วโมงสุดท้าย เป็นการรวบรวมเนื้อหาที่เคยปรากฏเฉพาะในบทความนิตยสารบางฉบับเท่านั้น ผู้เขียนมุ่งหวังที่จะแสดงให้เห็นถึงความเป็นไปได้ของวิธีการในการพิสูจน์ทฤษฎีขอบเขตท้องถิ่นเกี่ยวกับการลู่เข้าของ Markovian Lantzugs กับกระบวนการแพร่และในการได้มาของการประมาณค่าสองด้านของประเภท Aronson สำหรับการหลอมรวมอนุพันธ์โดยไม่ขยายการมีส่วนร่วมไปสู่ความซับซ้อนสูงสุด .

เอกสารเผยแพร่นี้เป็นการรวบรวมบทความอื่นๆ จาก "การประชุมนานาชาติครั้งที่สามเกี่ยวกับพลศาสตร์ของระบบสารสนเทศ" ซึ่งจัดขึ้นที่มหาวิทยาลัยฟลอริดา ระหว่างวันที่ 16-18 ปี 2554 เมตาของการประชุมคือและเพื่อรวบรวมในทันที จำนวนวิศวกรจากภาคอุตสาหกรรม ทีมงาน และนักวิทยาศาสตร์ เพื่อแลกเปลี่ยนข้อค้นพบและผลลัพธ์ใหม่ๆ ด้านโภชนาการ ซึ่งเกี่ยวข้องกับทฤษฎีและการปฏิบัติเกี่ยวกับพลวัตของระบบสารสนเทศ วิทยาการทางคณิตศาสตร์เป็นกระแส และได้รับมอบหมายให้เป็นนักศึกษาระดับสูงกว่าปริญญาตรีและสูงกว่าปริญญาตรีซึ่งสนใจในความรู้ความเข้าใจที่เหลืออยู่ในทฤษฎีสารสนเทศและระบบไดนามิกในอดีต สาขาวิชาอื่น ๆ อาจสูญเสียโมเมนตัมเนื่องจากการพัฒนาใหม่ ๆ ในสาขาการวิจัยของพวกเขา

Palvelev R. , Sergiev A. G. Pratsi จากสถาบันคณิตศาสตร์ วีเอ สเตคลอฟ อาร์เอเอส. 2555 ต. 277. หน้า 199-214.

มีขอบเขตอะเดียแบติกในสมการไฮเปอร์โบลิกของลันเดา-กินซ์บวร์ก นอกเหนือจากขอบเขตที่ระบุแล้ว ความคล้ายคลึงกันถูกสร้างขึ้นระหว่างการแก้สมการของ Ginzburg-Landau และวิถีอะเดียแบติกในพื้นที่ของโมดูลของการแก้ปัญหาแบบคงที่ซึ่งเรียกว่ากระแสวน Menton ได้เผยแพร่หลักการอะเดียแบติกแบบฮิวริสติกแล้ว โดยตั้งสมมติฐานว่า ถ้าการแก้สมการของกินซ์บวร์ก-ลันเดาที่มีพลังงานจลน์ต่ำสามารถยกเลิกได้ในลักษณะวิถีอะเดียแบติกที่มีพายุ ซูโวเร หลักฐานยืนยันข้อเท็จจริงนี้ถูกค้นพบโดยผู้เขียนคนแรกเมื่อเร็วๆ นี้

เราให้สูตรที่ชัดเจนสำหรับกึ่งสัณฐานวิทยาระหว่างตัวดำเนินการ Hycomm (ความคล้ายคลึงของสเปซโมดูลัสของเส้นโค้งสกุล 0 ที่เสถียร) และ BV / Δ (ผลหารโฮโมโทพีของตัวดำเนินการ Batalin-Vilkovisky โดยผู้ดำเนินการ BV) กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราได้รับความเท่าเทียมกันของ Hycomm-algebras และ BV-algebras ที่ได้รับการปรับปรุงด้วย homotopy ที่ทำให้ตัวดำเนินการ BV ไม่สำคัญ สูตรเหล่านี้ได้รับในรูปของกราฟจิวองทัล และเป็นพิสูจน์ได้ในสองวิธีที่แตกต่างกัน หลักฐานหนึ่งใช้การกระทำของกลุ่มของจิวองทัล และอีกหลักฐานหนึ่งต้องผ่านสายโซ่ของสูตรที่ชัดเจนเกี่ยวกับมติของ Hycomm และ BV แนวทางที่สองให้คำอธิบายที่คล้ายคลึงกันของการกระทำของกลุ่มจิวองตัลในเรื่อง Hycomm-algebras

เพ็ดวิทย์. เรียบเรียงโดย: A. Mikhailov Vip 14. ม.: คณะสังคมวิทยามหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก, 2555

บทความในคอลเลกชันนี้เขียนขึ้นบนพื้นฐานของหลักฐานที่รวบรวมในปี 2554 ที่คณะสังคมวิทยาของ Moscow State Duma เอ็มวี Lomonosov ในการประชุมสัมมนาทางวิทยาศาสตร์แบบสหวิทยาการ XIV "การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการทางสังคม" ซึ่งได้รับการตั้งชื่อตาม วีรบุรุษแห่งพรรคสังคมนิยม นักวิชาการ A.A. ซามาร์สกี้.

เอกสารนี้มีไว้สำหรับนักวิทยาศาสตร์ นักวิชาการ นักศึกษามหาวิทยาลัยและสถาบันวิทยาศาสตร์ของ Russian Academy of Sciences ที่สนใจปัญหา การพัฒนา และความก้าวหน้าของวิธีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการทางสังคม