Trigonometrik olarak karmaşık sayıları tanımlayın. Karmaşık bir sayının trigonometrik ve açıklayıcı biçimi

ders

Trigonometrik form karmaşık sayı

plan

1. Karmaşık sayıların geometrik gösterimi.

2. Karmaşık sayıların trigonometrik gösterimi.

3. Trigonometrik formdaki karmaşık sayılara ilişkin eylem.

Karmaşık sayıların geometrik gösterimi.

a) Karmaşık sayılar aşağıdaki kurala göre düzlemin noktalarıyla temsil edilir: A + bi = M ( A ; B ) (Şekil 1).

Malyunok 1

b) Karmaşık bir sayı, noktanın koçanı olan bir vektörle temsil edilebilir.Hakkında Ve son olarak bu noktada (Şekil 2).

bebek 2

Örnek 7. Karmaşık sayıları temsil etmek için noktaları kullanın:1; - Ben ; - 1 + Ben ; 2 – 3 Ben (Şek. 3).

bebek 3

Karmaşık sayıların trigonometrik gösterimi.

karmaşık sayız = A + bi yardım için yarıçap vektörünü ayarlayabilirsiniz koordinatlarla( A ; B ) (Şekil 4).

bebek 4

randevu . dovzhina vektör , Karmaşık bir sayıyı temsil edenz , Bu sayının modülü denir ve gösterilir ya da başkaR .

Herhangi bir karmaşık sayı içinz yoga modülüR = | z | formülle açıkça belirtilir .

randevu . Pozitif doğrudan etki ekseni ile vektör arasındaki değerin büyüklüğü Temsil eden karmaşık sayıya o karmaşık sayının argümanı denir veA rg z ya da başkaφ .

Karmaşık Sayı Argümanız = 0 hiçbir anlam yok. Karmaşık Sayı Argümanız≠ 0 - değer oldukça anlamlıdır ve toplama doğruluğuyla hesaplanır2πk (K = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Argüman z = tartışma z + 2πk , detartışma z - Ortaya yerleştirilen, tartışmaya ilişkin müstehcen bir müstehcenlik(-π; π] , Daha sonra-π < tartışma z ≤ π (Alternatif olarak, argümanın başlık değerinde, aralığa izin veren değeri alın. .

için Qiu formülüR =1 genellikle Moivre formülü olarak adlandırılır:

(Çünkü φ + i günah φ) N = Cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Örnek 11. Hesaplama(1 + Ben ) 100 .

Karmaşık bir sayı yazalım1 + Ben trigonometrik formda.

a = 1, b = 1 .

çünkü φ = , Günah φ = , φ = .

(1 + ben) 100 = [ (çünkü + günah işliyorum )] 100 = ( ) 100 (çünkü · 100 + günah · 100) = = 2 50 (Cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (Cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Vityag kare kök z karmaşık sayı.

Karmaşık bir sayının karekökünü alma saatindeA + bi İki tür saldırı vardır:

yakschoB > hakkında , O ;

Cebirsel biçimde yazılmış karmaşık sayılar üzerinde işlemler

Karmaşık sayının cebirsel formu z =(A,B) .Bir çeşit cebirsel ifade denir.

z = A + bi.

Karmaşık sayılarda aritmetik işlemler z 1 = bir 1 +b 1 Benі z 2 = bir 2 +b 2 Ben Cebirsel formdaki notasyonlar bu şekilde yapılır.

1. Karmaşık sayıların toplamı (boyutu)

z 1 ±z 2 = (A 1 ± bir 2) + (B 1 ±b 2)∙i,

daha sonra toplama (toplama), verilen benzer terimlerle polinomların eklenmesi kuralını takip eder.

2. Karmaşık sayıların türü

z 1 ∙z 2 = (A 1 ∙ bir 2 -B 1 ∙b 2) + (A 1 ∙b 2 + bir 2 ∙b 1)∙i,

daha sonra çarpma, polinomların çarpımına ilişkin temel kurala göre, şu kurallara göre gerçekleştirilir: Ben 2 = 1.

3. İki karmaşık sayının bölünmesi aşağıdaki kurala göre yapılır:

, (z 2 ≠ 0),

Daha sonra bölme, bölmeyle, bölen de bölene verilen sayıyla çarpılır.

Karmaşık sayıların kuvvetine yükselme, ilerleyen sıralamayla gösterilir:

Ne olduğunu göstermek kolay

Uygula.

1. Karmaşık sayıların toplamını bulun z 1 = 2 – Benі z 2 = – 4 + 3Ben.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3Ben) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) Ben = –2+2Ben.

2. Karmaşık sayıların sayısını bulun z 1 = 2 – 3Benі z 2 = –4 + 5Ben.

= (2 – 3Ben) ∙ (–4 + 5Ben) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3Ben)+ 2∙5Ben– 3ben∙ 5ben = 7+22Ben.

3. Özel olarak bilin z bölüme bakış z 1 = 3 - 2na z 2 = 3 – Ben.

z = .

4. Bekaret eşittir:, Xі sen Î R.

(2x+y) + (x+y)ben = 2 + 3Ben.

Karmaşık sayıların eşitliği nedeniyle elimizde:

yıldızlar x =–1 , sen= 4.

5. Hesaplayın: Ben 2 ,Ben 3 ,Ben 4 ,Ben 5 ,Ben 6 ,Ben -1 ,Ben -2 .

6. Hesapla, yakscho.

7. Dönüş numarasının numarasını hesaplayın z=3-Ben.

Trigonometrik formda karmaşık sayılar

karmaşık alan Kartezyen koordinatlara sahip bir düzlem denir ( x, y), koordinatlarla dış görünüm noktası olarak ( a, b) Karmaşık sayı türüne teslim edilir z = a + bi. Bu durumda absisin tamamı çağrılır her zaman aktif, Ve tüm koordinat - bariz. Todi cilt karmaşık numarası a+bi geometrik olarak bir düzlemde nokta olarak gösterilir bir (a, b) Veya vektör.

Peki, noktanın konumu A(Ben de karmaşık bir sayıyım z) Vektörün ikiye katlanmasını belirtebilirsiniz | | = R ve nerede J, Bir vektör oluşturalım | | eylem ekseninin pozitif yönü ile. Vektörün dovzhina'sına denir karmaşık bir sayının modülü ve belirtilir | z | = r, bir kut J isminde karmaşık sayı argümanı ve belirtilir j = argz.

Görüyorum, ne | z| ³ 0 і | z | = 0 Û z = 0.

3 Şek. 2 açıktır.

Karmaşık bir sayının argümanı belirsiz bir şekilde ancak 2'ye kadar hassasiyetle değerlenir pk,kÎ Z.

3 Şek. 2 olduğu da açıktır z = a + biі j = argz, O

çünkü j =,günah j = tg j =.

yakscho zÎRі z> 0, o zaman arg z = 0 +2pk;

yakscho z ОRі z< 0, o zaman arg z = p + 2pk;

yakscho z = 0,arg z hiçbir anlam yok.

Argümanın ana değeri bölüm 0'a atanır £ argz£2 P,

ya da başka -P£ arg z £ p.

uygula:

1. Karmaşık sayıların modülünü bilin z 1 = 4 – 3Benі z 2 = –2–2Ben.

2. Akılların sorduğu bölgenin karmaşık alanını düşünün:

1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+Ben) | £3; 4) £6 | z – Ben| £7.

Çözümler ve varyasyonlar:

1) | z| = 5 Û Û - koordinat koçanı üzerinde ortalanmış 5 yarıçaplı seviye kazığı.

2) Koordinatlara merkezli, yarıçapı 6 olan daire.

3) Merkezi 3 olan yarıçaplı daire z0 = 2 + Ben.

4) Merkezi 6 ve 7 yarıçaplı kazıklarla çevrili daire z 0 = Ben.

3. Sayıların modülünü ve argümanını bulun: 1); 2).

1) ; A = 1, B = Þ ,

Ş j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2Ben; bir =–2, b =-2 Ş ,

Gösterge: Ana argüman atandığında karmaşık düzlemi kullanın.

Bu şekilde: z 1 = .

2) , R 2 = 1, j2 =, .

3) , R 3 = 1, j3 =, .

4) , R 4 = 1, j4 =, .

KOMPLEKS NUMARALAR XI

§ 256. Karmaşık sayıların trigonometrik formu

Karmaşık bir sayıya ulaşın a + bi vektörü doğrular O.A.>3 koordinat ( a, b ) (Böl. Şek. 332).

Bu vektörün dovzhin'i önemli ölçüde R , Peki tüm bunlar ne tür bir şarap? X , başından sonuna kadar φ . Sinüs ve kosinüs değerleri için:

A / R =çünkü φ , B / R = günah φ .

Tom A = R çünkü φ , B = R günah φ . Bu formdaki Ale karmaşık bir sayı değildir a + bi şeklinde yazılabilir:

a + bi = R çünkü φ + IR günah φ = R (çünkü φ + Ben günah φ ).

Görünüşe göre herhangi bir vektörün karesi, koordinatlarının karelerinin toplamından daha büyüktür. Tom R 2 = A 2 + B 2, yıldızlar R = √a 2 + B 2

Otje, karmaşık bir sayı olsun a + bi bir bakışta hayal edilebilir :

a + bi = R (çünkü φ + Ben günah φ ), (1)

de r = √a 2 + B 2, ancak φ akıllarda beliriyor:

Karmaşık sayıların bu şekilde yazılmasına denir trigonometrik.

sayı R formül (1)'de denir modül, bir kut φ - argüman, Karmaşık sayı a + bi .

Karmaşık bir sayı mı? a + bi sıfıra eşit değilse modülü pozitiftir; ne dersin a + bi = 0 ise a = b = 0 ve sonra R = 0.

Herhangi bir karmaşık sayının modülü benzersiz bir şekilde belirlenir.

Karmaşık bir sayı mı? a + bi sıfıra eşit değilse, argümanı formüller (2) ile belirlenir. kesinlikle 2'ye bölünebilecek bir noktaya kadar doğru π . Kuyu a + bi = 0 ise a = b = 0. Bu durumda R = 0. Formül (1)'den argümanda ne olduğunu anlamak kolaydır. φ bu vipadka'da be-yak kut'u titretebilirsiniz: be-yak ile aje φ

0 (çünkü φ + Ben günah φ ) = 0.

Bu nedenle sıfır argümanının hiçbir değeri yoktur.

Karmaşık bir sayının modülü R Diğerleri demek | z |, Ve arg argümanı z . Trigonometrik formdaki karmaşık sayıların birkaç örneğine bakalım.

Popo. 1. 1 + Ben .

modülü biliyoruz R ve argüman φ Kaç numara.

R = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Özhe, günah φ = 1 / √ 2, çünkü φ = 1 / √ 2, yıldızlar φ = π / 4 + 2Nπ .

Böyle bir şekilde

1 + Ben = √ 2 ,

de P - tam sayı olsun. Karmaşık sayının bağımsız değişkenindeki değerlerin sayısına göre 0 ile 2 arasındaki değerleri seçin π . Bu durumda bu tür değerler π / 4.Tom

1 + Ben = √ 2 (çünkü π / 4 + Ben günah π / 4)

Popo 2. Trigonometrik formda karmaşık bir sayı yazın √ 3 - Ben . anne:

R = √ 3 + 1 = 2, çünkü φ = √ 3/2, günah φ = - 1 / 2

Bu, 2'ye bölünebilecek bir noktaya kadar doğrudur π , φ = 11 / 6 π ; Oh iyi,

√ 3 - Ben = 2 (çünkü 11/6 π + Ben günah 11/6 π ).

popo 3 Trigonometrik formda karmaşık bir sayı yazın Ben.

karmaşık sayı Ben vektörü doğrular O.A.>, Eksenin A noktasında bitecek en ordinat 1 ile (Şekil 333). Böyle bir vektörün değeri 1'e, absisi tamamlayan ise 1'e eşittir. π / 2.Tom

Ben =çünkü π / 2 + Ben günah π / 2 .

Popo 4. 3 karmaşık sayısını trigonometrik formda yazın.

Karmaşık sayı 3 vektör ile temsil edilir O.A. > X apsis 3 (Şek. 334).

Böyle bir vektörün değeri 3'ten büyüktür ve apsisin tamamını tamamlayan vektörün değeri 0'dan büyüktür. Dolayısıyla

3 = 3 (çünkü 0 + Ben günah 0),

Popo 5.-5 karmaşık sayısını trigonometrik formda yazın.

Karmaşık, -5 sayısı vektörle temsil edilir O.A.>, Eksen noktasında bitecek X apsis -5'te (Şek. 335). Böyle bir vektörün değeri 5'e eşittir ve absisisin tamamını tamamladığında şuna eşittir: π . Tom

5 = 5(çünkü π + Ben günah π ).

Sağ

2047. Bu karmaşık sayıları modüllerini ve argümanlarını belirterek trigonometrik biçimde yazın:

1) 2 + 2√3 Ben , 4) 12Ben - 5; 7).3Ben ;

2) √3 + Ben ; 5) 25; 8) -2Ben ;

3) 6 - 6Ben ; 6) - 4; 9) 3Ben - 4.

2048. Karmaşık sayıları, modülleri ve zihinleri tatmin eden argümanları temsil eden kişisel olmayan noktaları düzlem üzerinde belirtin:

1) R = 1, φ = π / 4 ; 4) R < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) R =2; 5) 2 < R <3; 8) 0 < φ < я;

3) R < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < R < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Chi bir karmaşık sayının bir saatlik modülü olabilir ama sayılar R і - R ?

2050. Chi bir gecede karmaşık bir sayının argümanı olabilir ama φ і - φ ?

Bu karmaşık sayılar, modülleri ve argümanları anlamına gelen trigonometrik biçimde gösterilir:

2051 *. 1 + çünkü α + Ben günah α . 2054 *. 2 (çünkü 20° - Ben günah 20°).

2052 *. günah φ + Ben çünkü φ . 2055 *. 3 (- çünkü 15° - Ben günah 15°).

Birincil (cebirsel) biçimde verilen karmaşık bir sayıya bakalım:

Şekil 3 karmaşık bir sayıyı göstermektedir z. Kartezyen koordinat sistemindeki koordinat numarası ( a, b). Durum ne olursa olsun sin ve cos fonksiyonunun değerinden şunu izleyin:

Bu giriş formuna denir trigonometrik karmaşık sayı yazma şekli.

Satır (2) kare şeklindedir ve katlanır:

(4)

R Karmaşık bir sayının -dovzhina yarıçap vektörü z karmaşık bir sayının modülü denir ve | z|. açıkçası | z| ≥0 ve | z| = 0 todi ve yalnızca todi, eğer z=0.

Bir noktanın kutupsal kesiminin değeri karmaşık bir sayıya karşılık gelir z, Tobto kuta φ , Bu sayının argümanı denir ve gösterilir arg z. Sevgili okul arg z Daha az mantıklı olabilir z≠ 0. Karmaşık sayı 0'ın argümanı anlamsızdır.

Karmaşık bir sayının argümanı belirsiz bir şekilde tanımlanmamıştır. yakscho φ karmaşık bir sayının argümanı, o zaman φ +2tk, k= 0,1, ... aynı zamanda karmaşık bir sayının da argümanıdır, dolayısıyla ( φ +2tk) = Çünkü φ , Günah ( φ +2tk) = Günah φ .

Karmaşık bir sayıyı cebirsel formdan trigonometrik forma indirgeme

Karmaşık bir sayının cebirsel formda temsil edilmesine izin verin: z=a+bi. Bu sayı açıkça trigonometrik biçimdedir. Karmaşık bir sayının modülünü hesaplayalım: . hesaplanabilir argüman φ karmaşık sayıda virüs veya Değeri çıkarın ve denkleme (3) ekleyin.

Örnek 1. Karmaşık bir sayı bulun z= 1 trigonometrik biçimde.

Karar. karmaşık sayı z= 1 şu şekilde temsil edilebilir: z=1+0Ben φ = 1/1. Maymo yıldızları φ = 0. Modül değerlerini (3)'teki argümanla değiştirerek şunu reddedin: z= 1 (cos0 + Ben günah0).

Onayla. z= 1 (cos0 + Ben günah0).

Örnek 2. Karmaşık bir sayı bulun z = ben trigonometrik formda.

Karar. karmaşık sayı z = benşu şekilde gösterilebilir: z=0+1Ben. Bu sayının modülü hesaplanabilir: . Bu sayının argümanı hesaplanabilir: çünkü φ = 0/1. Maymo yıldızları φ =π / 2. Modülün değerlerini ve (3)'teki argümanı değiştirerek şunu reddedin: .

Onayla. .

Örnek 3. Karmaşık bir sayı bulun z=4+3Ben trigonometrik formda.

Karar. Bu sayının modülü hesaplanabilir: . Bu sayının argümanı hesaplanabilir: çünkü φ = 4/5. Maymo yıldızları φ = Arccos (4/5). (3)'teki modülün ve argümanın değerlerini değiştirerek şunu reddediyoruz:.

Onayla. , de φ = Arccos (4/5).

Trigonometrik gösterimde karmaşık sayıların çarpımı

z 1 =R 1 (çünkü φ 1 +Ben günah φ 1) ben z 2 =R 2 (çünkü φ 2 +Ben günah φ 2). Ci sayılarını çarpın:

Daha sonra karmaşık sayılar oluşturma modülü, çarpanlara yönelik modüllere modern bir eklentidir.

Onayla. .

Trigonometrik gösterimde karmaşık sayıların bölünmesi

Karmaşık sayıları verelim z 1 =R 1 (çünkü φ 1 +Ben günah φ 1) ben z 2 =R 2 (çünkü φ 2 +Ben günah φ 2) ve bırak beni z 2 ≠ 0 ise R 2 ≠ 0. sayılabilir z 1 /z 2:

Onayla. .

Çarpma ve bölmenin geometrik anlamı

Şekil 4'teki küçük olan karmaşık sayıların çarpımını göstermektedir z 1 ben z 2. W (6) ve (7) yapışıyor, onu çıkarmak için yapın z 1 z 2, noktanın vektör yarıçapı gereklidir z Yıldönümü okuna karşı 1 dönüş φ 2 ve içeri doğru uzatın | z 2 | kez (0z 2'de |

Şimdi karmaşık bir sayının bölünmesine bakalım z 1 z 2 açık z 1 (Şekil 4). Formül (8), belirli bir sayının modülünün, bir sayının modülünün bölümüyle aynı olduğunu gösterir. z 1 z Sayı modülü başına 2 z 1 ve argüman daha eski: φ 2 =φ −φ 1. Sonuç olarak sayı alt bölümden çıkarılır. z 2 .

3.1. kutupsal koordinatlar

Meydan çoğu zaman durgunlaşıyor kutupsal koordinat sistemi . Vaughn, O noktası verildiği için seçilmiştir. kutup, Ve kutupları bırak (bizim için hepsi bu) Öküz) - her şey kutupsaldır. M noktasının konumu iki sayıyla sabitlenir: yarıçap (veya yarıçap vektörü) ve polarite ile vektör arasındaki mesafe. Kut φ denir kutup sırtı; Radyan cinsinden görünür ve yıl okunun karşısındaki kutup ekseniyle hizalanır.

Kutupsal koordinat sistemindeki bir noktanın konumu sıralı bir sayı çifti (r; φ) ile belirtilir. Kutupta r = 0, ve φ anlamlı değildir. Diğer tüm noktalar için r> 0, ve φ, 2π'nin katlarına kadar bir doğrulukla hesaplanır. Bu durumda (r; φ) ve (r 1; φ 1) sayı çiftlerine aynı nokta verilir.

Doğrusal bir koordinat sistemi için xOy Kartezyen koordinatları noktalar kutupsal koordinatları aracılığıyla aşağıdaki sırayla kolayca ifade edilir:

3.2. Karmaşık bir sayının geometrik yorumu

Düzlemdeki Kartezyen doğrusal koordinat sistemine bakalım xOy.

Herhangi bir z = (a, b) karmaşık sayısına, () koordinatlarına sahip bir düzlem noktası atanır x, y), De koordinat x = a karmaşık sayının aktif kısmıdır ve koordinat y = bi açık kısımdır.

Noktaları karmaşık sayılar olan bir alan karmaşık bir alandır.

Küçük bir karmaşık sayı için z = (a, b) nokta gösterir M(x,y).

Zavdannya.Resim açık koordinat uçağı Karışık sayılar:

3.3. Karmaşık bir sayının trigonometrik formu

Düzlemdeki karmaşık sayı noktanın koordinatlarıdır M(x;y). Bu yüzden:

Karmaşık sayı yazma - karmaşık bir sayının trigonometrik formu.

r sayısına denir modül karmaşık sayı z ve belirtilir. Modül bilinmeyen bir operasyonel sayıdır. İçin .

Modül sıfır kadar iyidir ve yalnızca z = 0 ise a = b = 0.

φ sayısına denir argüman z ve belirtilir. z argümanı belirsiz bir şekilde tanımlanır, çünkü i, kutupsal koordinat sistemindeki kutup köşesidir ve kendisi de 2π'nin ek bir katına kadar doğruluktadır.

O halde şunu kabul ediyoruz: de φ en az anlamlı argümandır. Açıkça