işlev- Bu anlaşılması gereken en önemli matematiksel şeylerden biridir. İşlev - depolama kapasitesi en bir tür değişiklik X, Cildin önemi nedir? X tek bir değeri temsil eder en. değiştireceğim X bağımsız değişim veya argüman olarak adlandırılır. değiştireceğim en buna bayat et diyoruz. Bağımsız değişimin tüm anlamları (değişim) X) Atanan işlevlerin alanını onaylayın. Dikkate alınan tüm anlamlar değişebilir (değişebilir) sen), Değer alanını ayarlayın.
fonksiyon grafiği tüm noktaları adlandırın koordinat uçağı, Apsisler argümanın değerlerine eşdeğerdir ve ordinatlar fonksiyonun karşılık gelen değerlerine eşittir, dolayısıyla değişkenin değerleri absis ekseni boyunca çizilir X, Ve ordinat ekseni boyunca değişkenin değerleri çizilir sen. Bir fonksiyonu planlamak için fonksiyonun gücünü bilmek gerekir. Ana güç fonksiyonları daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır!
Fonksiyonların grafiğini kullanmak için lütfen çevrimiçi fonksiyon grafikleri Pobudova programımızı kullanın. Bu sayfadaki materyalleri incelerken herhangi bir beslenme probleminiz olursa, bunları gelecekte forumumuzdan sorabilirsiniz. Ayrıca forumda matematik, kimya, geometri, yerçekimi teorisi ve diğer birçok konu hakkında bilgi edinmenize yardımcı olabileceksiniz!
Temel güç fonksiyonları.
1) Fonksiyonun önem alanı ve fonksiyonun önem alanı.
Fonksiyonun kapsamı, argüman için tüm geçerli geçerli değerlerin sayısıdır X(değiştirilebilir X), Herhangi bir işlev için y = f(x) belirlenmiş.
Bir fonksiyonun değer alanı tüm aktif değerlerin çokluğudur sen, Fonksiyonun neyi kabul ettiği.
İlköğretim matematikte fonksiyonlar yalnızca reel sayıların çoklukları üzerinde öğretilir.
2) Sıfır fonksiyonlar.
önem X, Ne zaman y = 0, isminde fonksiyon sıfırları. Bu, fonksiyonun grafiğinin tüm Oh'dan absis noktası ve çapraz çubuğudur.
3) Fonksiyonun sabit işaret aralıkları.
Bir fonksiyonun işaret sabitliği aralıkları - bu tür aralıklar şu anlama gelir: X, Fonksiyonun anlamları nelerdir? sen ya yalnızca olumlu ya da yalnızca olumsuz denir fonksiyonun işaretinin sabitlik aralıkları.
4) Fonksiyonun monotonluğu.
Büyüyen bir fonksiyon (belirli bir aralıkta), aralığın argümanının daha büyük değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelen bir fonksiyondur.
Bir bozunma işlevi (herhangi bir aralıkta), aralığın bağımsız değişkeninin daha büyük değeri, işlevin daha küçük bir değerine karşılık gelen bir işlevdir.
5) Fonksiyonların eşleştirilmesi (eşleşmenin kaldırılması).
Eşleştirilmiş bir fonksiyon, belirlenen alanın koordinatlara simetrik olduğu ve herhangi bir fonksiyon için X f(-x) = f(x). Bir çift fonksiyonunun grafiği ordinat ekseni boyunca simetriktir.
Eşlenmemiş bir fonksiyon, belirlenen alanın koordinatlara simetrik olduğu ve herhangi bir fonksiyon için Xönem alanında adil bir kıskançlık var f (-x) = - f (x). Eşlenmemiş bir fonksiyonun grafiği koordinatlara göre simetriktir.
çift işlevi
1) Belirlenen alan, öndeki noktaya (0; 0) simetriktir, böylece nokta A belirlenen alanı yerleştirin, ardından noktayı -A Ayrıca belirlenmiş alanlar da bulunmaktadır.
2) Her ne önemi varsa X f(-x) = f(x)
3) Çift fonksiyonunun grafiği Oy ekseni boyunca simetriktir.
eşleştirilmemiş işlevöyle bir güç var ki:
1) Belirlenen alan, ön noktaya (0; 0) simetriktir.
2) herhangi bir önem için X Anlam alanına ulaşmak için kıskançlık sona erer f(-x) = - f(x)
3) Eşlenmemiş bir fonksiyonun grafiği (0; 0) koordinatlarına simetriktir.
Her işlev eşleştirilmiş veya eşleşmemiş değildir. işlevler bunu dört gözle bekliyorum ne delikanlı ne de eşleşmemiş.
6) Sınırlı ve sınırsız fonksiyonlar.
Fonksiyona sınırlı denir çünkü sonuçta | f(x) | X'in tüm değerleri için ≤ M. Eğer böyle bir sayı yoksa fonksiyon sınırsızdır.
7) fonksiyonun periyodik kontrollerini yapın.
F (x) fonksiyonu periyodiktir, çünkü T sayısı sıfırın yerine geçebilir, böylece fonksiyon alanındaki herhangi bir x için gerçekleşir: f (x + T) = f (x). Bu yüzden en düşük sayı fonksiyonun periyodu denir. Tüm trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir. (Trigonometrik formüller).
işlev F periyodik denir çünkü öyle bir sayı vardır ki, ne olursa olsun XÖnem alanı kıskançlıkla biter f(x) = f(x-T) = f(x+T). T- bu fonksiyonun dönemidir.
Herhangi bir periyodik fonksiyonun sonsuz boşta kalma süreleri olabilir. Pratikte en az olumlu dönemi arayın.
Periyodik fonksiyonun değerleri bir süre sonra tekrarlanır. Hafta içi programları sırasında Tse vikorystuet.
göster
İşlevi ayarlama yöntemleri
Fonksiyon şu formülle verilsin: y = 2x ^ (2) -3. X değişkeninin herhangi bir değeri verildiğinde, bu formülü kullanarak y değişkeninin karşılık gelen değerlerini hesaplayabilirsiniz. Örneğin, x = -0,5 ise, formülü kullanarak y'nin bariz değerinin bir y = 2 \ cdot (-0,5) ^ (2) -3 = -2,5 olduğu açıktır.
Y = 2x ^ (2) -3 formülünde x argümanı olarak alınan değer ne olursa olsun, ona karşılık gelen yalnızca bir değer fonksiyonunu hesaplayabilirsiniz. Fonksiyon şu şekilde bir tabloda temsil edilebilir:
| X | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| sen | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Bu tabloyu kullanarak -1 argümanının değeri için fonksiyonun değerinin -3 olduğunu görebilirsiniz; ve x = 2 değerleri y = 0 vb. ile eşleştirilecektir. Tablodaki her argüman değerinin birden fazla fonksiyon değeri tarafından desteklendiğini bilmek de önemlidir.
Grafikler kullanılarak daha fazla işlev ayarlanabilir. Fonksiyon değerlerinin önceki x değerlerine nasıl karşılık geldiğini belirlemek için ek bir grafik kullanılır. Çoğu zaman fonksiyonun değerleri birbirine yakın olacaktır.
Eşleştirilmiş ve eşleştirilmemiş işlev
işlev çift işlevi, Anlamlılık alanındaki herhangi bir x için f(-x) = f(x) ise. Bu fonksiyon Oy eksenine simetrik olacaktır.
işlev eşleştirilmemiş işlev, Anlamlılık alanındaki herhangi bir x için f(-x) = - f(x) ise. Böyle bir fonksiyon O (0; 0) koordinatlarının koçanına simetrik olacaktır.
işlev buhar odası yok, eşleşmemiş değil ve denir buzul manzarasının işlevi, Eksen ile koordinatlar arasında simetri yoksa.
Aşağıdaki fonksiyonun eşleştirmesini takip ediyoruz:
f(x) = 3x^(3)-7x^(7)
Koordinatların koçanına D(f) = (-\infty; +\infty) simetrik bölge atanır. f(-x) = 3\cdot(-x)^(3)-7\cdot(-x)^(7)= -3x^(3) + 7x^(7) = - (3x^(3) -7x^(7)) = -f(x).
Bu, f (x) = 3x ^ (3) -7x ^ (7) fonksiyonunun eşlenmemiş olduğu anlamına gelir.
periyodik fonksiyon
Herhangi bir x'in değer alanında, f (x + T) = f (x-T) = f (x)'i eşitleyen y = f (x) fonksiyonuna denir periyodik fonksiyon T\neq 0 periyoduyla.
Fonksiyonun absis ekseninin T'den önce gelen herhangi bir bölümünde tekrarlanan grafiği.
Fonksiyonun pozitif olduğu uzaylar, bu durumda f(x)>0, absis ekseninin bölümleridir ve fonksiyon grafiğinin absis ekseninin üzerinde yer alan noktalarını gösterir.
f(x)>0 açık (X_(1);x_(2))\cup(x_(3);+\infty)
Fonksiyonun negatif olduğu uzaylar, o zaman f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty;x_(1))\cup(x_(2);x_(3))
fonksiyonların birbirine bağlanması
alt kenarlı X'te herhangi bir x \ için f (x) \ geq A eşitsizliğinin hesaplandığı böyle bir A sayısı varsa, X'te y = f (x), x \ fonksiyonunu çağırmak gelenekseldir.
Aşağıda sınırlanan fonksiyona bir örnek: y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) yani herhangi bir x için y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) \ geq 1.
saçaklı canavar Fonksiyona y = f (x), x \ in X denir, eğer bir B sayısı varsa, bunun için X'teki herhangi bir x \ için f (x) \ neq B eşitsizliği hesaplanır.
Popo fonksiyonun alt kısmında kenarlı: y = \sqrt(1-x^(2)), x\in[-1; 1] yani y = sqrt (1 + x ^ (2)) neq 1, [-1'deki herhangi bir x \ için; 1].
kenarlıklı Bu durumda, \ left | eşitsizliğinin olduğu bir K> 0 sayısı varsa, X'te y = f (x), x \ fonksiyonunu çağırmak gelenekseldir. f(x)\sağ | X'teki x \ için \ Neq K.
Sınırlı fonksiyona bir örnek: y = \ sin x tüm sayısal eksende sınırlıdır, dolayısıyla \Sol | \Sin x\sağ | \ Neq 1.
Fonksiyonun büyümesi ve azalması
Bu dönemde büyüyen işlevlerden şu şekilde bahsetmek gelenekseldir: büyüyen işlevler O halde, x'in daha büyük bir değeri, y = f(x) fonksiyonunun daha büyük bir değerine karşılık gelir. Dikkate alınan aralıktan, x_ (1) ve x_ (2) ve x_ (1)> x_ (2) argümanının iki yeterli değerinin alınmasının y (x_ (1))> y ( olacağı ortaya çıktı. x_(2)).
Bu aralıkta azalan fonksiyona denir reddetme işlevi o zaman, eğer daha büyük bir x değeri, y(x) fonksiyonunun daha küçük bir değerine karşılık gelecekse. Dikkate alınan aralıktan x_ (1) ve x_ (2) ve x_ (1) > x_ (2) argümanı için iki yeterli değer almanın y (x_ (1)) olacağı ortaya çıktı.< y(x_{2}) .
kök işlevler F = y (x) fonksiyonunun tüm apsisin yerini aldığı noktaları adlandırmak gelenekseldir (ve y (x) = 0'ı eşitleme kararından kaynaklanır).
a) Eğer x> 0'da çift fonksiyonu büyüyorsa, x'te değişir< 0
b) Eğer x> 0'da çift fonksiyonu azalırsa, x'te artar< 0
c) Eğer x> 0'da eşlenmemiş fonksiyon büyürse, o zaman von i x'te büyür< 0
d) Eşlenmemiş bir fonksiyon x> 0'da düşerse, o zaman i x'te düşer< 0
fonksiyonun ekstremum değeri
Minimum fonksiyon noktası y = f (x) etrafında başka noktalara sahip olacak böyle bir noktaya x = x_ (0) adını vermek gelenekseldir (x = x_ (0) noktasının yanı sıra) ve onlar için f (x) eşitsizliği > f(x_(0)). y_ (min) - min noktasında fonksiyon ataması.
Maksimum fonksiyonun noktası y = f (x) etrafında başka noktalara sahip olacak böyle bir noktaya x = x_ (0) adını vermek gelenekseldir (x = x_ (0) noktasının yanı sıra) ve onlar için f (x) eşitsizliği ayrıca belirlenecek< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Beyin gerekli
Fermat'ın teoremine göre: f "(x) = 0, o zaman f (x) fonksiyonu x_ (0) noktasında farklılaşırsa, o noktada bir ekstremum olacaktır.
bol miktarda beyin
- Karşılık gelen işaret artıdan eksiye değişirse, o zaman x_ (0) minimum nokta olacaktır;
- x_ (0) - yalnızca sabit x_ (0) noktasından geçerken işaret eksiden artıya değişirse maksimum nokta olacaktır.
Geçici dönem için en büyük ve en az önemli işlevler
Parayı say:
- Shukuetsya pokhidna f "(x);
- Fonksiyonun durağan ve kritik noktalarını bulun ve kesme yöntemini seçin;
- Kesimin durağan ve kritik noktalarında ve uçlarında f(x) fonksiyonunun değerlerini bulun. Daha az sonuç kaybedilecek en düşük fonksiyon değerleri, Ve dahası - en iyisi.
buhar odaları, Bu bölgedeki tüm \ (x \) için değer doğrudur: \ (f (-x) = f (x) \).
\(y\) ekseni boyunca simetrik olan eşleştirilmiş bir fonksiyonun grafiği:
Örnek: fonksiyon \ (f (x) = x ^ 2 + \ cos x \) eşleştirilir, yani \(F(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\ (\Siyahüçgensağ\) \(f(x)\) fonksiyonu çağrılır eşleştirilmemiş, Bu alandaki tüm \ (x \) için değer doğrudur: \ (f (-x) = - f (x) \).
Eşlenmemiş bir fonksiyonun grafiği koordinatlara göre simetriktir:
Örnek: \ (f (x) = x ^ 3 + x \) işlevi eşleştirilmemiş olduğundan \(F(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\ (\ Blacktriangleright \) Ne eşleştirilmiş ne de eşlenmemiş olan işlevlere buzul görünümü işlevleri denir. Böyle bir fonksiyon daha sonra eşleştirilmiş ve eşleştirilmemiş işlevlerin toplamı olarak tek bir şekilde sunulabilir.
Örneğin, \ (f (x) = x ^ 2-x \) işlevi, eşleştirilmiş \ (f_1 = x ^ 2 \) işlevi ile eşleştirilmemiş \ (f_2 = -x \) işlevinin toplamıdır.
\(\Siyahüçgensağ\) İktidar aktörleri:
1) Toplama ve iki fonksiyonun bir kısmı, ancak eşleştirilmiş - eşleştirilmiş fonksiyon.
2) Farklı çiftlerin iki fonksiyonunun eklenmesi ve bir parçası - eşleştirilmemiş fonksiyon.
3) Eşleştirilmiş fonksiyonların toplamı ve farkı eşleştirilmiş bir fonksiyondur.
4) Eşlenmemiş fonksiyonların toplamı ve farkı eşleştirilmemiş bir fonksiyondur.
5) Eğer \ (f (x) \) eşleştirilmiş bir fonksiyonsa, o zaman eşitleme \ (f (x) = c \ (c \ in \ mathbb (R) \)) aynı köktür o zaman ve ancak o zaman, eğer , eğer \ (x = 0\).
6) \ (f (x) \) eşleştirilmiş veya eşleşmemiş bir işlevse ve \ (f (x) = 0 \) kökü \ (x = b \) kökü ise, o zaman kök \ ( x = - B\).
\ (\ Blacktriangleright \) \ (f (x) \) fonksiyonuna \ (X \) üzerinde periyodik denir, çünkü gerçek sayı için \ (T \ ne 0 \) viconno \ (f (x) = f (x) + T) \), de \ (x, x + T \, X \). Vykonano'ya gayret verilen en küçük \ (T \) işlevin öncü (ana) dönemi olarak adlandırılır.
Periyodik bir fonksiyonun \(nT\) formunda bir numarası vardır ve \(n\in\mathbb (Z)\)'nin de bir periyodu olacaktır.
popo: gel ve git trigonometrik fonksiyonє periyodik;
\ (f (x) = \ sin x \) і \ (f (x) = \ cos x \) fonksiyonunun \ (2 \ pi \) baş periyodu vardır, \ (f (x) = \) fonksiyonu mathrm ( tg) \, x \) і \ (f (x) = \ mathrm (ctg) \, x \) baş periyodu dovnyu \ (\ pi \).
Periyodik bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için günün herhangi bir bölümü için bir grafik oluşturabilirsiniz \(T\) (baş dönemi); Daha sonra sağa ve sola doğru tam sayıda periyot için gerekli kısım yok edilerek tüm fonksiyonların grafiği elde edilir:
\ (\ Blacktriangleright \) \ (D (f) \) fonksiyonunun \ (f (x) \) önem alanı, argümanın tüm değerlerine eklenen kişisel olmayan bir şeydir \ (x) \), burada fonksiyonun bir anlamı vardır (değerlidir).
Örnek: \ (f (x) = \ sqrt x + 1 \) fonksiyonunun bir değer alanı vardır: \ (x \ in
Zavdannya 1 #6364
Rivnyi zavdannya: Rivnyi ЄДІ
\(a\) parametresinin herhangi bir değeri için
Tek bir çözüm var mı?
Sevgili, \ (x ^ 2 \) ve \ (\ cos x \) eşleştirilmiş işlevler olduğundan, o zaman kök \ (x_0 \)'a eşitse, aynı zamanda kök \ (- x_0 \) olacaktır.
Güzel, hadi gidelim \ (x_0 \) - kök, bu kıskançlık \(2x_0^2 + a\mathrm(tg)\, (\cos x_0) + a^2 = 0\) Bu doğru. Yedekler \ (- x_0 \): \(2(-x_0)^2 + a\mathrm (tg)\, (\cos (-x_0)) + a^2 = 2x_0^2 + a\mathrm (tg)\, (\cos x_0) + a ^2 = 0\).
Bu şekilde \ (x_0 \ ne 0 \) ise, o zaman eşitleme zaten en az iki kökün anası olacaktır. Otzhe, \(x_0 = 0\). todi:
\(a\) parametresinin iki değerini çıkardık. Çıkış kıskançlığının tam kökü olan \(x=0\)'lar tarafından vikorize edilmiş olmamız saygılı bir davranıştır. Ale mi hiçbir yerde birleşenleri vikorize etmedi. Bu nedenle, \ (a \) parametresinin değerini çıktıda eşit olarak değiştirmeniz ve hangi \ (a \) kökü \ (x = 0 \)'nin kendisinin birleştirileceğini kontrol etmeniz gerekir.
1) Eğer \ (a = 0 \) ise adalet \ (2x ^ 2 = 0 \) gibi görünecektir. Açıkçası, denklemin yalnızca bir kökü vardır \ (x = 0 \). Peki, \(a = 0\) değeri bizim için uygundur.
2) Eğer \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \), o zaman kıskançlık göreceğim \ Rivnyannya'yı görüşte yeniden yazalım \ yani yak \ (- 1 \ leqslant \ çünkü x \ leqslant 1 \), O \(-\mathrm (tg)\,1\leqslant\mathrm (tg)\,(\cos x)\leqslant\mathrm (tg)\,1\). Ayrıca satırın (*) sağ tarafındaki değerler de satır içidir. \([-\mathrm (tg)^2\, 1; \mathrm (tg)^2\, 1]\).
Yani \ (x ^ 2 \geqslant 0 \) olduğundan denklemin sol tarafı (*) \ (0 + \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \)'den daha büyük veya daha eskidir.
Bu şekilde kıskançlık (*) ancak rekabetin kıskançlığın rahatsız edici kısımları \ (\ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \) ise çözülebilir. Ve bu şu anlama geliyor \[\Begin (case) 2x^2 + \mathrm (tg)^2\, 1 = \mathrm (tg) ^2\, 1\\ \mathrm (tg)\, 1\cdot \mathrm (tg)\ , (\cos x) = \mathrm (tg) ^2 \, 1 \ end (case) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ begin (case) x = 0 \\ \mathrm (tg) \, (\cos x) =\mathrm(tg)\,1\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Yani \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \) değeri bize uygundur.
kanıt:
\(A\in\(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Zavdannya 2 #3923
Rivnyi zavdannya: Rivnyi ЄДІ
Her fonksiyon grafiği için \ (a \) parametresinin tüm değerlerini bulun \
koordinatlara simetriktir.
Bir fonksiyonun grafiği koordinatlara simetrikse, bu durumda böyle bir fonksiyon eşlenmemiş demektir, dolayısıyla alanındaki herhangi bir \ (x \) için \ (f (-x) = - f (x) \) ifadesini görebiliriz. değerli fonksiyon. Bu nedenle viconanos \ (f (-x) = - f (x) \) olan parametrenin değerlerinin bilinmesi gerekir.
\ [\ Begin (hizalanmış) & 3 \ mathrm (tg) \, \ left (- \ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ left (3 \mathrm (tg)\,\left(\dfrac (ax) 5\right)+2\sin\dfrac (8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow \quad -3\mathrm (tg) \ , \ dfrac (ax) 5 + 2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ left (3 \ mathrm (tg) \, \ left (\ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \sin\dfrac (8\pi a-3x)4\right)\quad\Rightarrow\\\Rightarrow\quad &\sin\dfrac (8\pi a+3x)4+\sin\dfrac (8\pi a) - 3x) 4 = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad2 \ sin \ dfrac12 \ left (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ cdot \ cos\ dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0\quad\Rightarrow\quad\sin(2\pi a)\cdot\ cos\ frac34 x=0\end (hizalanmış)\]
Kalan eşitleme, randevu bölgesinden \ (x \) herkes için \ (f (x) \) imzalanabilir, ayrıca, \(\Sin(2\pi a)=0\Rightarrow a=\dfrac n2,n\in\mathbb(Z)\).
kanıt:
\(\Dfrac n2,n\in\mathbb(Z)\)
Zavdannya 3 #3069
Rivnyi zavdannya: Rivnyi ЄДІ
\ (a \) parametresinin tüm değerlerini bulun, her durum için 4 çözüm vardır; burada \ (f \), \ (T = \ dfrac (16) 3 \) fonksiyonuyla periyodik bir çifttir, sayı doğrusunun tamamındaki şarkı ve bunun için \(f(x) = ax^2\) \(0\leqslant x\leqslant\dfrac83.\)
(Ön ödeme sorumluluğu)
\(f(x)\) eşleştirilmiş bir fonksiyon olduğundan, grafiği ordinat eksenine göre simetriktir, dolayısıyla \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(F(x) = ax^2\). Bu şekilde, \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant\dfrac83\), Ve bu vіdrіzok dovzhinoy \ (\ dfrac (16) 3 \), fonksiyon \ (f (x) = ax ^ 2 \).
1) Bırakın \ (a> 0 \). Böylece \ (f (x) \) fonksiyonunun grafiği şöyle görünecektir: 
Az sayıda karar verebilmek için \ (A \) noktasından geçen \ (g (x) = | a + 2 | \ cdot \ sqrtx \) grafiğini yapmak gerekir: 
Oh iyi, \ [\ Dfrac (64) 9a = | a + 2 | \cdot\sqrt8\quad \Leftrightarrow\quad \left [\begin (toplanmış) \begin (hizalanmış) & 9 (a + 2) = 32a \\ & 9 (a +2) = - 32a \ end (hizalanmış) \ bitiş(toplandı)\sağ. \ Dörtlü \ Solsağ ok \ dörtlü \ sol [\ begin (toplanmış) \ begin (hizalanmış) & a = \ dfrac (18) (23) \\ & a = - \ dfrac (18) (41) \ end (hizalanmış) \ bitiş(toplandı)\sağ. \] Yani \ (a> 0\) olduğundan, \ (a = \dfrac (18) (23)\) olur.
2) \ (a) olsun<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
\(g(x)\)'in \(B\) noktasından grafiğini çizmek gerekir: \ [\ Dfrac (64) 9a = | a + 2 | \cdot\sqrt(-8)\quad\Leftrightarrow\quad\left[\begin(toplanmış)\begin(aligned)&a=\dfrac(18)(23)\\&a=-\dfrac(18)( 41) \end (hizalanmış)\end (toplanmış)\right. \] Yani yak\(bir<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Kazanç sadece 1 kökün anası olacaktır.
kanıt:
\(A\in\solda\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\sağ\)\)
Zavdannya 4 #3072
Rivnyi zavdannya: Rivnyi ЄДІ
\ (a \)'nın cilt rahatsızlıklarına ilişkin tüm anlamlarını öğrenin \
Bir kök istiyorum.
(Ön ödeme sorumluluğu)
Rivnyannya'yı görüşte yeniden yazalım \
İki fonksiyona bakalım: \ (g (x) = 7 \ sqrt (2x ^ 2 + 49) \) \ (f (x) = 3 | x-7a | -6 | x | -a ^ 2 + 7a \ ).
\ (g (x) \) fonksiyonu bir çifttir, minimum noktaya \ (x = 0 \) (ve \ (g (0) = 49 \)) işaret eder.
\ (x> 0 \) için \ (f (x) \) fonksiyonu azalıyor ve \ (x) için<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
\ (x> 0 \) olduğunda diğer modülün pozitif olarak açıldığı doğrudur (\ (| x | = x \)), bu nedenle, ilk modül nasıl açılırsa açılsın, \ (f (x) \) olur daha pozitif \ ( kx + A \), de \ (A \) - viraz \ (a \) ve \ (k \) bir ya \ (- 9 \) veya \ (- 3 \). Ne zaman \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
\(f\) değerini tam olarak maksimuma kadar biliyoruz: \ 
Çok az çözüm elde etmek veya hiç çözüm elde etmek için, \(f\) ve \(g\) fonksiyonunun veya yalnızca bir nokta ve çapraz çubuğun grafiğini çizmek gerekir. Eh, bu gerekli: \ \\]
kanıt:
\(A\in\(-7\)\fincan\)
Zavdannya 5 #3912
Rivnyi zavdannya: Rivnyi ЄДІ
Cilt problemleri için \ (a \) parametresinin tüm değerlerini bulun \
Altı farklı çözüm var.
\ ((\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t \), \ (t> 0 \) yerine geçmek önemlidir. Sonra gelecekte kıskançlık görüyorum \
Zihnimizi adım adım yazacağız ve bu hafta sonu boyunca altı karar vereceğiz.
Saygılarımla, kare ölçü \((*)\) en fazla iki karar verebilir. Eğer kübik bir denklem varsa \ (Ax ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D = 0 \), üçten fazla çözüm olamaz. Bu nedenle, \ ((*) \) iki farklı karar olduğundan (pozitif!, \ (t \) sıfırdan büyük olduğundan) \ (t_1 \) ve \ (t_2 \), o zaman ters değiştirme yaparak, ihmal edebiliriz: \ [\ Sol [\ begin (toplanmış) \ begin (hizalanmış) & (\ sqrt2) ^ (x^3-3x^2 + 4) = t_1 \\ & (\ sqrt2) ^ (x^3-3x^2 +4) = t_2\end (hizalanmış)\end (toplanmış)\sağ. \] Yani, herhangi bir dünyada pozitif bir sayı \ (\ sqrt2 \) olarak temsil edilebiliyorsa, örneğin, \(T_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2)t_1)\), O zaman her şeyden önce bütünlük görünüme karşılık gelecektir. \
Daha önce de söylediğimiz gibi, kübik eşitleme üçten fazla karar gerektirmese bile, konunun bütünlüğünden deri eşitleme üçten fazla karar gerektirmez. Bu, konunun toplamının altıdan fazla çözüm olmadığı anlamına gelir.
Bu, son denklemin küçük altı karardan oluştuğu, kare denklem \ ((*) \)'in iki farklı karara annelik yapmaktan suçlu olduğu ve kübik denklemin dış yüzeyinin (toplamdan) üç farklı karara annelik yapmaktan suçlu olduğu anlamına gelir ( ve dahası, kıskanç bir kişinin böyle bir şeyden veya bir başkasının kararlarından kaçması utanılacak bir şey değildir!)
Açıkçası, bir kare ölçü \ ((*) \) bir kararın anası olacağından, altı kararı çıktı ölçüsünden çıkaramayız.
Böylece kararın planı ortaya çıkıyor. Hangi suçlulardan sorumlu olduğumuzu madde madde yazalım.
1) Adil olmak gerekirse \ ((*) \) ayrımcısı pozitif olmaktan suçlu olan iki farklı karar var: \
2) Ayrıca rahatsız edici köklerin pozitif olması da gereklidir (\(t>0\)'daki gibi). İki kökün birleşimi daha pozitifse ve toplamları pozitifse, o zaman köklerin kendisi de pozitif olacaktır. Eh, bu gerekli: \ [\ Başlangıç (durumlar) 12-a > 0 \\ - (a-10) > 0 \ bitiş (durumlar) \ quad \ Leftrightarrow \ quad a<10\]
Bu şekilde zaten iki farklı pozitif kökü \ (t_1\) ve \ (t_2\) güvence altına aldık.
3)
Bu kadar kıskançlığa hayret edelim \
Hangi \(t\) için üç farklı karar var? Bu şekilde, kıskançlığın rahatsız edici köklerinin \ ((*) \) \ ((1; 4) \) aralıklarında yatmaktan sorumlu olduğunu kastettik. Düşüncelerimi nasıl yazabilirim? Sıfırdan farklı, aynı anda \(x = 0\) aritmetik ilerlemesiyle temsil edilebilecek birkaç farklı kök vardır. Lütfen \ (y = 25x ^ 4 + 25 (a-1) x ^ 2-4 (a-7) \) fonksiyonunun eşleştiğini unutmayın; bu, \ (x_0 \)'nin eşit kök olduğu anlamına gelir \ ((* ) \ ), o zaman i \ (- x_0 \) onun kökü olacaktır. O halde bu sayının köklerinin artan sayıya göre sıralanması gerekir: \ (- 2d, -d, d, 2d \) (yani \ (d> 0 \)). Verilen beş sayı aritmetik ilerleme yaratacaktır (\(d\) farkıyla). \ (- 2d, -d, d, 2d \) sayısının aynı kenarları ile \ (d ^ (\, 2), 4d ^ (\, 2) \) sayısının köklerde olması gerekir \ (25t ^ 2 +25 (a-1) t-4 (a-7) = 0\). Vieta teoremine göre: Rivnyannya'yı görüşte yeniden yazalım \
ve iki fonksiyona bakalım: \ (g (x) = 20a-a ^ 2-2 ^ (x ^ 2 + 2) \) \ (f (x) = 13 | x | -2 | 5x + 12a | \ ). Çok az çözüm elde etmek veya hiç çözüm elde etmek için, \(f\) ve \(g\) fonksiyonunun veya yalnızca bir nokta ve çapraz çubuğun grafiğini çizmek gerekir. Eh, bu gerekli: \
Sistemlerin bütünlüğü göz önüne alındığında, aşağıdakileri reddediyoruz: \\]
kanıt: \(A\in\(-2\)\fincan\) Saygı! Slaytların önden görünümü yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini yansıtmayabilir. Eğer bu robot size istekte bulunduysa, lütfen lütfen beni yeni bir versiyonla ikna edin. hedefler: Banyo kurulumu: multimedya kurulumu, etkileşimli tahta, bildiri materyali. Robotları şekillendirin: arama öncesi gözetim faaliyeti unsurları içeren ön ve grup. Bilgi mesajları: YÜKSEK DERS 1. Organizasyon anı Hedefleri belirlemek ve derse bağlılık. 2.
Ödevini kontrol etme 10.17 (9. sınıf problem kitabı. A.G. Mordkovich). A) en = F(X), F(X) = B) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69; c) 1.D ( F) = [– 2; + ∞) (İşlev izleme algoritmasını vikorize ettiniz mi?) Slayt.
2.Slayda göre size verilen tabloyu kontrol edelim. Yabancı bölge sıfır fonksiyonlar işaret tutarlılığı aralıkları x = -5, x € (-5; 3) U x € (-∞; -5) U x ∞ -5, x € (-5; 3) U x € (-∞; -5) U x ≠ -5, x € (-∞; -5) U x € (-5; 2) 3.
bilgiyi güncellemek - Göreve verildi. X ≠ 0 ve görünmüyor. 4. Yeni malzeme - Bu çalışmayı bitirdikten sonra çocuklar, sizin bilmediğiniz ama daha az önemli olmayan başka bir işlev gücünü ortaya çıkardılar - bu, işlevin eşleştirilmesi ve eşleştirilmesidir. Dersin konusunu yazın: "Kısmi ve eşleşmemiş işlevler", görevimiz eşleştirilmiş ve eşleşmemiş işlevleri tanımlamayı öğrenmek, bu gücün ilgili işlevlerde, faaliyetlerde ve programlarda önemini anlamaktır. Def. 1 işlev en = F (X), Kişiliksizlik üzerine ayarlanmış X denir buhar odaları, Yakshcho'nun anlamı ne olursa olsun XЄ X galip geldi kıskançlık f(-x) = f(x). Kıçını doğrult. Def. 2 işlev y = f(x), Kişiliksizlik üzerine kurulu X denir eşleştirilmemiş, Yakshcho'nun anlamı ne olursa olsun X? X kıskançlık f(-x) = -f(x)'e eşittir. Kıçını doğrult. "Erkekler" ve "erkek olmayanlar" terimlerini hiç tartıştık mı? İşlevi eşleştirilmiş veya eşlenmemiş olanlarla ilgili eğitime eşlemenin ek işlevi denir. slayt 1 ve 2 değerleri x ve -x'de atanmış fonksiyona sahiptir, dolayısıyla fonksiyonun atandığı ve değerde olduğu iletilir. X, ve ne zaman - X. Def 3. Sayısal öğe x, yüzey öğesi x ile birlikte kaldırılırsa, bu durumda x öğesi kişisel değildir. X kişiliği olmayan simetrik denir. uygula: (-2; 2), [-5; 5]; (∞; ∞) - simetrik kişiliksizlik ve, [-5; 4] - asimetrik. - Erkekler için birincil işlev alanı simetrik ve kişisel değil mi? Eşleştirilmemiş olanlar mı? slayt
Eşlik fonksiyonunu izlemek için algoritma 1. Fonksiyonun alanının simetrik olup olmadığını belirleyin. Sessizse, işlev ne eşleştirilir ne de eşleştirilir. Eğer öyleyse, algoritmanın 2. adımına gidin. 2. Viraz'ı katlayın F(–X). 3. Maç F(–X) .і F(X): uygula:
Fonksiyonun eşleşmesini kontrol edin a) en=X5+; B) en=; V) en= . Karar. a) h(x) = x 5 +, 1) D (h) = (-∞; 0) U (0; + ∞), simetrik olarak kişisel değildir. 2) h (- x) = (x) 5 + - x5 - = - (x 5 +), 3) h (- x) = - h (x) => fonksiyonu h(x)= X 5 + eşleştirilmemiş. b) y =, en = F(X), D(f) = (-∞; -9)? (-9; + ∞), asimetrik, eşlenmemiş, yani ne eşleştirilmiş ne de eşlenmemiş anlamına gelir. V) F(X) =, Y = f(x), 1) D ( F) = (-∞; 3] ≠; b) (∞; -2), (-4; 4]? seçenek 2 1. Kişilikleri olmayan simetrik görevler nelerdir: a) [-2; 2]; b) (∞; 0], (0; 7)? a) y = x 2 (2x - x 3), b) y = karşılıklı doğrulama slayt. 6. Ev iyileştirme: №11.11, 11.21,11.22; Eşliğin geometrik gücünün kanıtı. *** (Zavdannya varyantı ЄДІ). 1. Eşlenmemiş y = f(x) fonksiyonu sayı doğrusunda tanımlıdır. X değişkeninin bilinmeyen herhangi bir değeri için, fonksiyonun değeri, g fonksiyonunun değerleriyle karşılaştırılır ( X)
= X(X + 1)(X + 3)(X-7). h fonksiyonunun değerlerini bulun ( X) = Ne zaman X = 3. 7. Torbaların eklenmesi sıfır fonksiyonlar Sıfırlar, fonksiyonun ağırlığının grafiğinin çapraz çubuğunun noktalarıdır Ah.
fonksiyon paritesi fonksiyon eşitsizliği artan fonksiyonlar fonksiyon kaybı Ek bir hizmet için monotonluk aralıklarını öğrenin Fonksiyonların büyüme ve düşüş aralıkları yerel maksimum yerel minimum fonksiyon frekansı işaret tutarlılığı aralıkları fonksiyonun sürekliliği Rozrivu puanları popo: Fonksiyonu takip edin ve grafiğini çizin: y = x 3 - 3x
\ (f (x) = x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \) fonksiyonuna bakalım.
Çarpanlara bölünebilir: \
Ayrıca bunlar sıfırlardır: \ (x = -1; 2 \).
\ (f "(x) = 3x ^ 2-6x \) farkını bildiğimizde, uç noktaya \ (x_ (max) = 0, x_ (min) = 2 \) iki noktayı çıkarırız.
Peki, grafik şöyle görünüyor: 
Mi bachimo, öyle olsun yatay düz çizgi \ (y = k \), de \ (0
Bu şekilde gereklidir: \ [\ Başlangıç (durum) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Ayrıca \(t_1\) ve \(t_2\) sayıları farklı olduğundan \(\log_(\sqrt2)t_1\) ve \(\log_(\sqrt2)t_2\) sayılarına da çok saygılı olalım. anlaşmazlık olacak, bu da rekabet anlamına geliyor \(X^3-3x^2+4 = \log_(\sqrt2)t_1\)і \(X^3-3x^2+4 = \log_(\sqrt2)t_2\) kaçınılmaz kökleri kendi aralarında eşleştirmek.
\((**)\) sistemi aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir: \ [\ Başlangıç (vakalar) 1
Kökleri açıkça yazmayacağız.
\ (g (t) = t ^ 2 + (a-10) t + 12-a \) fonksiyonuna bakalım. Bu grafik, tüm apsis boyunca uzanan iki noktaya sahip, köşeleri yukarı doğru olan bir paraboldür (bunu paragraf 1'de yazdık)). Noktaların apsisin tamamını \ ((1; 4) \) aralıklarla kesmesi için bu grafiğe nasıl bakmalısınız? Bu yüzden: 
Öncelikle \(g(1)\) ve\(g(4)\) fonksiyonlarının\(1\) ve\(4\) noktalarındaki değerleri pozitif yani pozitif olduğu için suçlanır. \ (t_0 \ ) parabolünün tepe noktası aynı zamanda \ ((1; 4) \) aralığından da sorumludur. Peki, sistemi yazabilirsiniz: \ [\ Başlangıç (durumlar) 1 + a-10 + 12-a > 0 \\ 4 ^ 2 + (a-10) \ cdot 4 + 12-a > 0 \\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
\ (g (x) \) fonksiyonu maksimum \ (x = 0 \)'ye işaret eder (ve \(G_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(G"(x)=-2^(x^2+2)\cdot\ln 2\cdot 2x\). Sıfır: \(x = 0\). Ne zaman \(x<0\)
имеем: \(g">0 \), \ (x> 0 \ için): \ (g "<0\)
.
\ (x> 0 \) için \ (f (x) \) fonksiyonu büyüyor ve \ (x) için<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
\ (x> 0 \) olduğunda ilk modül pozitif olarak açıldığı doğrudur (\ (| x | = x \)), dolayısıyla diğer modül nasıl açılırsa açılsın, \ (f (x) \) olur daha pozitif \ ( kx + A \), de \ (A \) - viraz \ (a \) ve \ (k \) bir ya \ (13-10 = 3 \) ya da \ (13 + 10 = 23) \). Ne zaman \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
\(f\) değerini tam olarak minimuma kadar biliyoruz: \
İleri geri
1. Cebir 9. sınıf A.G. Mordkovich. Podruchnik.
2. Cebir 9. sınıf A.G. Mordkovich. Sorun kitabı.
3. Cebir 9. sınıf. Akademisyenlerin öğrenimi ve gelişimi için talimatlar. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.
2. E ( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 X ~ 0,4
4. F(X)> 0'da X > 0,4 ; F(X)
< 0 при – 2 <
X <
0,4.
5. Fonksiyon büyüdükçe X € [– 2; + ∞)
6. İşlev altta özetlenmiştir.
7. en isim = - 3, en hiç uyuyamıyorum
8. İşlev kesintisizdir.Tabloyu doldurun
Grafiğin üst çubuğu üzerindeki noktaların koordinatları Oy
x = 2
U(2;∞)
Ü (-3; 2)
x ≠ 2
U(2;∞)
Ü (-3; 2)
x ≠ 2
U(2;∞)
- Cilt fonksiyonu için belirlenen alanı belirtin.
- Dış görünüm çiftinin dış görünüm fonksiyonunun değerini argümanın değerine eşitleyin: 1 ve - 1; 2 ben - 2.
- Bu işlevlerden herhangi biri için anlamlılık alanında eşitlikler belirlenir F(– X)
= F(X), F(– X) = – F(X)? (verileri kaldırın ve tabloya girin) slayt
F(1) ben F(– 1)
F(2) ben F(– 2)
grafikler
F(– X) = –F(X)
F(– X) = F(X)
1. F(X) =
2. F(X) = X 3
3. F(X) = | X |
4.F(X) = 2X – 3
5. F(X) =
6. F(X)=
X >
–1
El kitabındaki anlamını biliyoruz ve okunabilir (sayfa 110) . slayt
Bu işlevlerle erkeklerin nasıl olacağını düşünüyorsunuz? Neden? Ne kadar eşleştirilmemiş? Neden?
Herhangi bir işlev için en= xn, de N- işlevin eşleştirilmemesi için tam sayı doğrulanabilir N- eşleştirilmemiş ve eşleştirilmiş işlev ne zaman N- eşleştirilmiş.
- Akılda tutulan işlevler en= і en = 2X- 3 ne eşleştirilmiş ne de eşlenmemiş olduğundan eşitlikler arasında bir fark yoktur F(– X) = – F(X), F(–
X) = F(X)
- Yakshto w D ( F) - asimetrik kişisel olmayan, o zaman işlev nedir?
- Bu şekilde fonksiyon olarak en = F(X) - eşleştirilmiş veya eşleşmemişse її bölgesi D'ye atanır ( F) - simetrik kişisel olmayan. Ve atanan fonksiyonun alanı simetrik ve kişisel olmadığı için doğru dönüm noktası nedir, o zaman eşleştirilmiş mi yoksa eşlenmemiş mi?
- Bu, simetrik, kişisel olmayan bir alanın varlığının önemli olduğu anlamına gelir - gerekli değildir, ancak yeterli değildir.
- Peki paritenin fonksiyonunu nasıl takip edebiliriz? Bir algoritma oluşturmaya çalışalım.
A); b) y = x (5 - x 2).2. İşlev eşleştirmesini izleyin:
3. Şek. Uyandırma programı en = F(X), herkes için X Aklı ne memnun eder X?
0.
Fonksiyonun grafiğini deneyin en = F(X), Yakşço en = F(X) bir çift fonksiyondur. 
3. Şek. Uyandırma programı en = F(X), Herkes için zihinleri ne memnun eder? 0.
Fonksiyonun grafiğini deneyin en = F(X), Yakşço en = F(X) eşleştirilmemiş bir fonksiyondur. 
Fonksiyonun sıfırı bu değerlerdir X, Fonksiyon 0'a döndüğünde f(x) = 0 olur.
Fonksiyona herhangi bir fonksiyonda olduğu gibi çift denir. X değerli alan f(-x) = f(x) değerine eşittir 
Çift fonksiyonu eksene simetriktir kuruluş birimi
İşlev eşleşmemiş olarak adlandırılır çünkü herhangi bir işlev için X Değer alanı f(-x) = -f(x) değerine eşittir. 
Eşlenmemiş bir fonksiyon koordinat köküne simetriktir.
Ne eşleştirilmiş ne de eşlenmemiş olan fonksiyona çift görünümün fonksiyonu denir. 
f(x) fonksiyonuna artan denir çünkü argümanın daha büyük bir değeri fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir, bu durumda x 2> x 1 → f (x 2)> f (x 1) 
f(x) fonksiyonuna azalan fonksiyon denir çünkü argümanın büyük değeri fonksiyonun küçük değerine karşılık gelir, bu durumda x 2> x 1 → f (x 2) 
Fonksiyonun azaldığı ya da arttığı aralıklara denir monotonluk boşlukları. Fonksiyon f(x) 3 aralık monotonluk yapabilir:
(-∞ x 1), (x 1, x 2), (x 3; + ∞) 
Krapka x 0 herhangi bir yerde olduğu gibi yerel maksimum noktası olarak adlandırılır. X noktanın etrafından x 0 Eşitsizlik hesaplanır: f (x 0)> f (x) 
Krapka x 0 yerel minimum noktası denir X noktanın etrafından x 0 Eşitsizlik hesaplanır: f (x 0)< f(x).
Yerel maksimum ve yerel minimum noktalarına yerel ekstremum noktaları denir. 
x 1, x 2 - yerel uç noktalar.
f(x) fonksiyonuna periyotlu periyodik denir T, Yakshto be-yak için X kıskançlık f(x + T) = f(x)'e eşittir. 
Fonksiyonun pozitif ya da negatif olduğu aralıklara işaret sabitliği aralıkları denir. 
x∈ (x 1, x 2) ∪ (x 2, + ∞), f (x) için f (x)> 0<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)
f(x) fonksiyonuna x 0 noktasında süreksiz denir, çünkü x → x 0'daki fonksiyonlar arasında o noktadaki fonksiyonun aynı değeri vardır, o zaman 
.
Zihinsel sürekliliğin bozulduğu noktalara işlev bozukluğu noktaları denir. 
x 0- Bunu belirteceğim.Günlük fonksiyon programları için orijinal devre
1. D (y) fonksiyonunun değer alanını bulun.
2. Koordinat eksenli bir fonksiyonun grafiğinin çapraz çubuğunun noktalarını bulun.
3. Eşleştirme veya eşleştirmeme işlevini kontrol edin.
4. Periyodiklik açısından işlevi izleyin.
5. Fonksiyonun monotonluk aralıklarını ve ekstremum noktalarını bulun.
6. Fonksiyonun dışbükeylik aralıklarını ve dönüm noktalarını bulun.
7. Fonksiyonun asimptotlarını bulun.
8. Takip sonuçları bir programla takip edilecektir.
8) İzlemenin sonuçları, fonksiyonun bir grafiğiyle takip edilecektir: 
