Doğrusal uzayın alt uzayı. güç

doğrusal uzay kişisel olmayan denir L , Her durumda, işlemler bir sayıyla toplama ve çarpmadır, ardından her öğe çifti için a, bL Bu bir şarkı CL , Buna çantası denir ve herhangi bir element için AL ve R sayısı ne olursa olsun BL yaratıma göre başlıklar  açık A. Doğrusal uzayın elemanlarına denir vektörler . Bir sayıyla toplama ve çarpma işlemleri gelecek aksiyomları karşılar.

Aksiyomlar eklendi:  a, b, c  L

a + b = b + a - değişme özelliği

(A + b) + c = a + (b + c) - dernek

Uzay adında bir element var boş vektör ve belirtilir 0 , Toplamda kim yak-yak'tır A H L aynı unsuru verir A, Daha sonra  0L: a L 0 + bir = bir.

Sebebi ne olursa olsun A H L Rüya görüyor profil elemanı , ne belirtilir -A, Ne olmuş (-A) + a = 0

(a L  (-a)  L: (-A) + a = 0)

Toplama aksiyomundan miras:

1. Sıfır vektörü benzersizdir, dolayısıyla onu bir tane için istersiniz a L haklısın b + a = a, O b = 0.

2. Herhangi bir vektör için AL profil öğesi tek öğedir, dolayısıyla b + a = 0  b = (-a)

Çarpma aksiyomları:  ,   R  a, b  L

 (A) = ()A

(A + b) =a+B- dağılım (vektörlere göre)

(+)bir =a+A- dağıtım (sayılara göre)

1bir = bir

Çarpma aksiyomunun mirası:  A L    R

 0 = 0

0 bir = 0

(-A) = (-1) A
^

2.1 Doğrusal uzayların uygulanması

2. Önemsiz uzayda birincil vektörler R 3 "paralelkenar kuralını takip ederek" eklenen işlemler ve çarpmalarla. Tüm vektörlerin başlangıcının koordinat kulağında yer aldığı, boş vektörün koordinat kulağında biten vektör olduğu aktarılmaktadır.

3. Bir değişiklik 1'deki n aşamasına sahip bir polinom, fonksiyon olarak adlandırılır

Pn ( X ) = n X +  n-1 X n n-1 + ... +  1 X +  0 ve  n  0

Kutsanmış polinomlar, daha yüksek bir adım değil n, bir sayıyla toplama ve çarpma gibi temel işlemlerle doğrusal bir uzay oluşturur. Aşama n'de polinomların yokluğunun doğrusal uzay yaratmaması önemlidir. Sağ tarafta iki polinom aşamasının toplamı, örneğin 3, bir polinom aşaması 2 olarak görünebilir (örneğin, ( X 3 + 3) + (– X 3 – 2X 2 + 7) = – 2X 2 + 10 - polinom aşaması 2). Bununla birlikte, polinom ekleme işlemi seviyeyi düşürebilir ancak yukarı taşıyamaz, bu nedenle polinom yoktur, aşama n'den büyük değildir, kapalı basitçe katlanır (o zaman iki polinomun toplamı, aşama n'den büyük değildir) , - her zaman bir polinomdur, aşama n)'den büyük değildir ve doğrusal uzayı oluşturur.
^

2.2 Boyutlar, taban, koordinatlar.

2 vektörden oluşan sisteme denir doğrusal olarak geri yatırılmış , Görünüşe göre, bu vektörlerin önemsiz olmayan bir doğrusal birleşimi var ki bu çok eski 0 . Başka bir deyişle, öyle n tane  R sayısı vardır ki bunların hepsi sıfıra eşit değildir ve vektörlerin katsayılarla doğrusal birleşimi sıfır vektörüne eşittir:

Başka bir durumda vektörlere denir Doğrusal bağımsız . Başka bir deyişle vektörlere denir Doğrusal bağımsız yakscho
ç  1 e 1 +  2 e 2 + …+ n e N = 0 sonraki  1 =  2 = …= n = 0 ise, bu vektörlerin sıfır vektörden daha eski bir doğrusal birleşiminin olduğu açıktır.

ortaya çıkıyor vektör A vektör sistemine göre ( e Ben) Buna fenomen denir A vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu gibi görünüyor ( e Ben). Başka bir deyişle, tokasını açmak vektör A vektörlere göre ( e Ben)  i gibi sayıları bilmek anlamına gelir, böylece

bir = 1 e 1 +  2 e 2 + … k e k

Lütfen vektörlerin belirtilen bağımsızlığının aşağıdaki biçimde verilebileceğini unutmayın: vektörler bağımsızdır ve ancak o zaman, eğer düzenlenirse 0 onlar birleşmişlerdir.

Doğrusal uzay denir son Tam sayının n olduğu açıktır, dolayısıyla bu uzaydaki tüm bağımsız vektör sistemleri n'den fazla eleman içermez.

boyut sonlu boyutlu doğrusal uzay L doğrusal olarak bağımsız vektörlerin mümkün olan maksimum sayısı denir (dim ile gösterilir) L veya loş L ). Başka bir deyişle, doğrusal uzaya denir n-mirnim , Yakşço:

1. açık havada bağımsız sistem, n vektörün toplamı nedir;

2. n+1 vektörden oluşan, doğrusal uzanan bir sistem olsun.

temel doğrusal uzay L N Eleman sayısı uzayın boyutlarına karşılık gelen bağımsız bir vektör sistemi denir.

Teorem 1. Vektör sistemi bağımsızsa bir tabana genişletilebilir. Tobto, bir sistem olarak  L k bağımsızdır ve daha az vektör barındırır, uzayın boyutları daha düşüktür (n  L k, böylece vektörlerin toplamı birleştirilir ( e 1 ,e 2 ,...e N, F 1 ,F 2 ,... F k-n) bağımsızdır, k vektörlerini yerleştirir ve bu nedenle temeli oluşturur L k. ▄ Böylece her doğrusal uzayın birçok (aslında sonsuz sayıda) tabanı vardır.

Vektör sistemi denir Tekrar , Her neyse AL sistem vektörlerine göre sınıflandırılabilir (dağılımın birleşik olmaması mümkündür).

Bununla birlikte, bağımsız sistem boyunca herhangi bir vektörün düzeni her zaman birleşiktir (ya da sonsuza kadar değil). tobto

Teorem 2 Doğrusal uzaya dayalı herhangi bir vektörün düzeni Öncelikle Bu bir ve aynıdır. Yani temel bağımsız ve kalıcı bir sistemdir. Katsayılar  i vektörün tabana göre ayrıştırılması ( e Ben) arandı koordinatlar tabanda vektör ( e Ben }.▄

Boş vektörün tüm koordinatları herhangi bir temelde 0'a eşittir.

2.3 Başvuru

2. Uzay k N Yükseklik n, n boyutunda olabilir. Standart temel bilim adamlarının alanında, vektörler yaratılır - i'inci konumda olanlar ve diğer elemanların sıfırları olan bir dizi vektör:

Herhangi bir istifleyicinin vektörler sistemine göre tek bir sıraya göre yerleştirildiğini ve dolayısıyla herhangi bir istifleyicinin yerleştirme katsayılarının o istifleyicinin benzer elemanlarına eşit olduğunu anlamak etkili ve kolaydır.

3. Derecesi n'den büyük olmayan polinomların uzayı n + 1 boyutundadır. Standart temel bu alanda:

(). Aslında, polinomun değerinden, aşama n açıktır; hangi polinom olursa olsun, aşama n'den büyük değildir, açıkça vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu ile temsil edilir ve doğrusal kombinasyonun katsayıları sadece katsayılardır. bir polinomun değerleri (eğer bir polinom k ​​derecesi n'den küçükse, o zaman n-k kal seviye katsayıları 0).
^

2.4 Doğrusal uzayların izomorfizmi

Vektörlerin dahil edildiğini anlamak kolaydır. L N koordinatların esasa dahil edilmesiyle sonuçlanır; vektörlerin toplamı anlamına gelir L N Bu, bizim görüşümüze göre, belirli türdeki öğelerin miktarını doğrulamaktadır. k N ; Bir sayıyla çarpmak için benzer bir kural i için de geçerlidir.

İki mekanın elemanları arasındaki yazışmalara ve girdilerin bu mekanlara kaydedilmesine işlem denir. izomorfizm . İzomorfizm, kıskançlık, güç gibi Geçişli (geçişli): uzay gibi L N izomorfik k N , Ve uzay k N açık alana izomorfik M N , Bu kadar L N izomorfik M N .

Teorem 3. N boyutunun doğrusal uzayının izomorfik olup olmadığı k N, Ayrıca geçişlilik nedeniyle, n boyutunun tüm doğrusal genişlikleri birbirine izomorftur. ▄

Matematik açısından izomorfik nesneler, esasen bir nesnenin sadece farklı "uygulamalarıdır" (gerçekleştirmeleridir) ve bir gerçektir, herhangi bir uzay için kanıttır, herhangi bir başka uzay için geçerlidir, ilkiyle izomorfiktir.

2.5 Altuzay

M 

açıkça, 0 M yakscho M- altuzay L Yani sıfır vektörü herhangi bir 5 alt uzayına aittir.

Doğrusal uzayın dış yüzeyinin kendisi de doğrusal bir uzaydır. kişisel olmayan ( 0 ) Ve altuzay (uzay tek bir elemandan (sıfır vektör) oluştuğu için doğrusal uzayın tüm aksiyomları aynıdır) 6.

Doğrusal dış yüzey alanı, ikinci yer önemsiz altuzay: uzayın kendisi ve boş alt uzay ( 0 ); Diğer alt uzaylara denir önemsiz değil .

İki alt uzayın kesişimi bir alt uzaydır. Görünüşe göre iki alt uzayın bir alt uzay tarafından birleştirilmesi, örneğin koordinatların kulağından geçen iki düz çizginin birleştirilmesi, farklı düz çizgiler üzerinde yer alan vektörlerin toplamını içermiyor (böyle bir toplam arasında yatıyor) düz çizgiler) 7.

Hadi gidelim, n L k . Daha sonra bu vektörlerin tüm doğrusal kombinasyonlarının sayısı, böylece tüm vektörler akılda tutulur.

A =  1 F 1 +  2 F 2 + … n F N

N-dünyasal alt uzayı yaratır G {F 1 , F 2 ,... F n), buna denir doğrusal kabuk vektörler ( F 1 , F 2 ,... F N).

Teorem 4. Herhangi bir alt uzayın tabanı herhangi bir uzayın tabanına tamamlanabilir. Tobto gitmeme izin verdi M N L k alt uzay, boyut n - temel M N . daha sonra L k Böyle bir vektör kümesi var  L k , Vektör sistemi nedir ( F 1 , F 2 ... F N , G 1 , G 2 , ... G k-n) 8 doğrusal olarak bağımsızdır ve k elemanını yerleştirir, bu da tabanı oluşturur. ▄
^

2.6 Alt uzayların uygulamaları.

2. İnsanların genişliğinde k 3 Görüşe göre, üçüncü koordinatı 0'a eşit olanlar, uzaya açıkça izomorf olan bir altuzay oluştururlar. k 2 stovptsiv, yükseklik 2.

3. Uzayda P N polinomlar, aşama n'den büyük değil, polinomlar, aşama 2'den büyük değil, onayla trivimirne alt uzay (her birinin üç katsayısı vardır).

4. Önemsiz bir alanda P 2 düzeyi 2'den yüksek olmayan polinomlar, belirli bir x 0 noktasında 0'a dönen polinomlar, iki boyutlu bir alt uzay yaratır (anlayın!).

5. Zavdannya. Boşlukta k 4 kişiliksiz M koordinatları 1 2 + 2 + 3 = 0 (*) akla uygun noktalardan oluşur. Ne olduğunu bana bildirin M önemsiz alt uzay k 4 .

Karar. Bakalım ne olacak M altuzay Sorun değil, hadi gidelim A M , B M , Yani a 1 2a 2 + a 3 = 0, b 1 2b 2 + b 3 = 0. Vektörleri toplama kuralını izleyerek ( A + B) Ben= bir Ben+b Ben. Vektörler için uygun olan yıldız titreşir Aі B umova (*) vikonano, sonra ben için A + B Tsya umova vikonan. Yüzlerce kişi için ne anlama geldiği o kadar açık ki A umova (*) vikono, ardından stovptsya için vono vikono i A. Sıfır vektör kişiliksizliği buluyorum M yatırmak. Bu şekilde bu duruma getirildi M altuzay Üç boyutlu olduğunu görelim. Hangi vektör olursa olsun önemli M zihniyetinden dolayı (*) koordinatı vardır (**). Merhaba M 1 = , M 2 =, bir H 4 =. Vektörler sisteminin ( M 1 , M 2 , H 4 ) temelini oluşturuyorum M . Doğrusal bir kombinasyon ekleyelim 1 M 1 + 2 M 2 +H 4 = Memnun oranlarla. Açıkçası, vektör ne olursa olsun A H M (Böl. (**)) sete göre düzenlenmiştir ( M 1 , M 2 , H 4 ); bunun için katsayılar kutusunda 1 = a 1, 2 = a 2, 4 = a 4 vektörünün belirtilen koordinatlarını seçmek yeterlidir. Vektörlerin tek bir doğrusal kombinasyonunda M 1 , M 2 , H 4 Sıfır vektörüyle karşılaştırılabilir olan sıfır katsayılı bir kombinasyondur: 1 = 0, 2 = 0, 4 = 0. Birleştirildiğinde boş vektör genişletilir, bu ( M 1 , M 2 , H 4 ) Vektör sistemi bağımsızdır. Ve çünkü herkes A M sisteme göre düzenlenmiştir ( M 1 , M 2 , H 4 ), Viplivaє, sistemin tamamen farklı olduğunu. Tam ve bağımsız bir sistem altuzayda temel oluşturur M . Bu taban üç vektörü birleştirdiğine göre, o zaman M önemsiz alt uzay.

http://matworld.ru/linear-algebra/linear-space/linear-subspace.php

Merhaba Lі M- iki altuzay R.

Suma L+M vektörlerin çokluğu denir x+y, de X∈Lі sen∈M. Açıkçası, vektörlerin hangi doğrusal kombinasyonu olursa olsun L+M vadesi gelmek L+M, Daha sonra L+Mє alt uzay R(Boşlukla kaçabilirsiniz R).

köşelik L∩M alt uzaylar Lі M eş zamanlı olarak uzayın altında yer alan vektörler kümesine denir Lі M(Yalnızca sıfır vektörü toplanabilir).

Teorem 6.1. Büyük alt uzayların boyutlarının toplamı Lі M sonlu boyutlu doğrusal uzay R bu alt uzayların toplamının göreceli boyutları ve bu alt uzayların açıklığının boyutları:

loş L + loş M = loş (L + M) + loş (L∩M).

Bitti. önemli F = L + Mі G = L∩M. Merhaba İyi oyun- huzurlu alan. Viberemo yeni temelde. yani yak G⊂Lі G⊂M, Otje temeli G temele eklenebilir L ve tabana M. Temeli uzaya verin L Ve tabanın alt bölümlere ayrılmasına izin verin M. Hangi vektörlerin olduğunu gösterelim

alt uzaya ait G = L∩M. Diğer taraftan vektör v uzayın altındaki temel vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu ile tanımlanabilir G:

Alt uzayın tabanının doğrusal bağımsızlığından dolayı L anne:

Doğrusal bağımsız. Ale olsun vektör z H F(Belirlenen alt alan miktarının arkasında) miktarı görebilirsiniz x+y, de x∈L, y∈M. Kalbine X vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu ile temsil edilir ve sen- vektörlerin doğrusal birleşimi. Aynı vektörler (6.10) altuzaylar üretir F. (6.10) vektörlerinin temeli tanımladığını belirledik. F = L + M.

Alt uzayların çeşitli tabanları Lі M ve alt uzayın temeli F = L + M(6.10), maєmo: loş L = g + l, loş M = g + m, loş (L + M) = g + l + m. konuştu:

loş L + loş M-dim (L∩M) = loş (L + M). ■

2 Vektörlerin kuvveti ve doğrusal operatörün değerlerinin kuvveti.

http://www.studfiles.ru/preview/6144691/page:4/

X ≠ 0 vektörüne denir güçlü bir vektörle AX = LX olacak şekilde bir sayı varsa, A matrisli doğrusal operatör.

Bu numara arandığında Vlasnim anlamları x vektörüne karşılık gelen operatör (matris A).

Başka bir deyişle, kuvvet vektörü, doğrusal bir operatörün etkisi altında eşdoğrusal bir vektöre dönüşen ve böylece basitçe bir sayı ile çarpılabilen bir vektördür. Yenilik göz önüne alındığında, kontrolsüz vektörler daha karmaşık bir şekilde dönüştürülmektedir.

Güç vektörünün değerini seviye sistemi görünümünde yazalım:

Tüm depoları sol tarafa taşıyacağız:

Geriye kalan sistem matris formunda şu şekilde yazılabilir:

(A - l E) X = O

Bir sistem reddedildiğinde her zaman sıfır çözümü vardır X = O. Tüm serbest üyelerin sıfıra ulaştığı bu tür sistemlere denir. birebir aynı. Böyle bir sistemin matrisi kare olduğundan ve birincil değeri sıfıra eşit olmadığından, Cramer formüllerinin arkasında her zaman tek bir çözümü (sıfır) kaldırırız. Sistemin sıfır olmayan çözümlere sahip olduğu sonucuna varılabilir ve ancak bu matrisin kaynağı sıfıra eşitse, o zaman

| A - l E | = = 0

Bilinmeyenlerle yapılan törene denir karakteristik rivnyannya(karakteristik polinom) Matris A (doğrusal operatör).

Doğrusal bir operatörün karakteristik polinomunun temel seçiminde yer almadığı sonucuna varılabilir.

Örneğin A = matrisiyle belirtilen doğrusal operatörün değerlerini ve vektörlerini biliyoruz.

Sadakat kimin için karakteristiktir | A - l E | = = (1 -l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l- 35; D = 4 + 140 = 144; geçerli değerler 1 = (2 - 12) / 2 = -5; 2 = (2 + 12) / 2 = 7.

Güç vektörlerini bilmek için iki hizalama sistemi vardır

(A + 5E) X = Ö

(A - 7 E) X = Ö

İlki için matris genişletildi, böylece görebiliyorum

,

yıldızlar x 2 = s, x 1 + (2/3) s = 0; x 1 = - (2/3) s, sonra X (1) = (- (2/3) s; s).

Diğeri için ise gördüğünüz gibi matris genişletildi

,

yıldızlar x 2 = z 1, x 1 - (2/3) z 1 = 0; x 1 = (2/3) x 1, sonra X (2) = ((2/3) x 1; x 1).

Dolayısıyla, bu doğrusal operatörün güç vektörlerinin tümü (- (2/3) s; s) formundaki vektörlerdir ve güç değerleri (-5) ve ((2/3) s 1; formundaki tüm vektörlerdir. s 1) güç değerleri 7 ile.

A operatörünün güç vektörlerinden oluşan tabandaki matrisinin köşegen olduğu ve şu şekle sahip olduğu sonucuna varılabilir:

,

burada l ben matrisin değeridir.

Doğru ve tersidir: Eğer A matrisi herhangi bir tabanda köşegen ise, o zaman bu tabanın tüm vektörleri bu matrisin kuvvet vektörleri olacaktır.

Ayrıca, doğrusal bir operatörün n ikili farklı güç değerine sahip olması nedeniyle, ilgili güç vektörlerinin doğrusal olarak bağımsız olduğu ve ilgili temelde operatörün matrisinin köşegen bir görünüme sahip olduğu sonucuna varılabilir.

Ön uçtaki fiyatı açıklayalım. X (1) ve X (2) vektörlerinin bir temel oluşturmak için doğrusal olarak bağımsız olması için s ve 1'in sıfır olmayan yeterli değerlerini alın. Örneğin, z = z 1 = 3 olsun, bu durumda X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3) olur. Bu vektörleri doğrusal bağımsızlığa çevirelim:

12 ≠ 0. Bu yeni taban için A matrisi A * = formunu alacaktır.

Aynı yere ulaşmak için A * = C -1 AC formülüyle hızlandırılır. Başından beri C-1'i biliyoruz.

Z1 = ;

11 numaralı sınav bileti

1. Doğrusal uzayda yeni bir tabana geçiş. Geçiş matrisi.

http://www.studfiles.ru/preview/6144772/page:3/

Yeni bir temele geçiş

R uzayındaki Purtov'un iki tabanı vardır: eski el, e 2, ... en n ve yeni el *, e 2 *, ... en n *. Yeni bazın vektörü, eski bazın vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir:

Eski temelden yeni temele geçiş belirtilebilir geçiş matrisi

Yeni temel vektörlerin eski tabanla çarpım katsayılarının aynı matrisin satırlarını değil sütunlarını oluşturması önemlidir.

Matris A ayrı değildir, aksi takdirde sütunları (ve dolayısıyla temel vektörleri) doğrusal olarak eskimiş gibi görünecektir. İşte, A-1 geçit matrisine sahibiz.

X vektörünün eski tabana göre koordinatları (x l, x 2, ... x n) ve yeni tabana göre koordinatları (x l *, x 2 *, ... x n *) olsun, o zaman X = x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n = x l * e l * + x 2 * e 2 * + ... + x n * e n *.

Ortadaki ikameler, ön sistemden el *, e 2 *, ... e n * anlamına gelir:

xlel + x 2 e 2 + ... + xnen = xl * (a 11 el + a 12 e 2 + ... + a 1n en) + x 2 * (a 21 el + a 22 e 2 + ... + + a 2n en) + ... + xn * (a n1 el + a n2 e 2 + ... + a nn en)

0 = el (xl * a 11 + x 2 * a 21 + ... + xn * a n1 - xl) + e 2 (xl * a 12 + x 2 * a 22 + ... + xn * a n2 - x 2) + + ... + tr (xl * a 1n + x 2 * a 2n + ... + xn * a nn - xn)

El, e 2, ... e n vektörlerinin doğrusal bağımsızlığından dolayı, bunlarla ilgili tüm katsayıların sıfıra eşit kalması gerekir. Yıldız:

veya matris formunda

Sorunlu kısımları A -1 ile çarparak şunları ortadan kaldırırız:

Örneğin, el, e 2, e 3 tabanının a 1 = (1, 1, 0) ve 2 = (1, -1, 1) ve 3 = (-3, 5, -6) vektörünü belirtmesine izin verin. ) ve b = (4; -4; 5). a l, a 2 ve 3 vektörlerinin de bir taban oluşturabileceğini gösterin ve b vektörünü bu tabana göre belirleyin.

a l, a 2 ve 3 vektörlerinin doğrusal olarak bağımsız olduğunu gösterelim. Bu nedenle bunlardan oluşan matrisin rütbesinin üç katlı olduğunu tekrar düşünelim:

Çıkış matrisinin A geçiş matrisinden başka bir şey olmaması önemlidir. Aslında el, e 2, e 3 ve a l, a 2 ve 3 bazları arasındaki bağlantılar sistem tarafından ifade edilebilir:

A -1 hesaplanabilir.

= 6 + 0 - 3 – 0 – 5 + 6 = 4

Yani a l, a 2, a 3 vektörü temelinde b = (0,5; 2; 0,5).

2 Öklid uzayında vektörler arasında Dovzhina vektörü ve kut.

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=evklidovy-prostranstva

Viznachennya. doğrusal uzay sayı alanı üzerinde Önce kişisel olmayan denir R vektörler olarak adlandırılacak ve , ile belirtilecek olan öğeler, vb. gibi:

Bu aksiyomlardan şu sonuç çıkar:

doğrusal kabuklar

Viznachennya.doğrusal kabuk vektör aileleri doğrusal uzayda herhangi bir doğrusal kombinasyon olmadan çağrılır L.

Doğrusal bir kabuğun doğrusal bir uzaya sahip olduğunu doğrulamak kolaydır. L.

doğrusal kabuk aynı zamanda vektörler tarafından yayılan veya bir ailenin vektörleri tarafından oluşturulan bir altuzay olarak da adlandırılır.Aynı zamanda tüm altuzaylar arasındaki çapraz olarak da tanımlanabilir. L, Neden herkesten intikam alasınız? rütbe vektör ailesine onun doğrusal kabuğunun boyutu denir.

İlk özellik temelin gücüdür: Bu doğrusal kabuktan dikkatle kaçınılırL.

altuzay

Viznachennya. Doğrusal alt uzay veya vektör alt uzayı olmayan- boş değil k doğrusal uzay L ne olmuş k kendisi şarkılara göre doğrusal bir alandır L Bir skaler ile toplayın ve çarpın. Tüm alt uzayların kişiliksizliği şu anlama gelir: Enlem ( L ) . Alt uzayın alt uzay olabilmesi için gerekli ve yeterlidir.

Kalan iki kale, saldırı kalesine eşdeğerdir:

Zokrema, tek bir öğeden oluşan uzay - herhangi bir uzayın alt uzayı; herhangi bir genişlemenin kendisi bir altuzaydır. İnsanların etrafta koşmadıkları alana denir güçlü ya da başka önemsiz değil.

alt uzayların gücü

Sonsuz dünya uzaylarındaki işlevsel analizde özellikle şunu görüyoruz: kapalı alanlar.

Vektörlerin doğrusal konumu

Viznachennya. Bir vektör ailesine doğrusal denir bağımsız, Önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyon sıfıra eşit olmadığından, o zaman

hepsinin = 0 olduğunu takip edin. Aksi takdirde buna doğrusal denir bayat. Ailenin doğrusal bağımsızlığı şu anlama gelir: Sıfır vektörü, aile elemanlarının doğrusal bir kombinasyonu ile benzersiz bir şekilde temsil edilir. O halde herhangi başka bir vektör, tek bir belirtiye ya da benzer bir belirtiye sahip olabilir. İki olgunun eşit olduğu açıktır

Sonuç başka bir karakteristik güç esasını takip eder: Elemanları doğrusal olarak bağımsızdır. Bu iki otoritenin önemi, temelin koçan önemine eşittir.

Sevgili okul bir vektör ailesi yalnızca kendi doğrusal kabuğunun temelini oluşturuyorsa doğrusal olarak bağımsızdır.

Ortadaki vektör sıfır veya iki olduğundan aile açıkça doğrusaldır.

Lemma 1. Bir vektör ailesi, yalnızca vektörlerden birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması durumunda şu veya bu şekilde doğrusaldır.

Bitti.

Yakshto ben

navpaki, yakscho, sonra

Lema 2. doğrusal ise bu doğrusal bir kombinasyondur.

Bitti.

Hepsi aynı değilse zorunludur, aksi takdirde bu nedenle arasındaki önemsiz gecikmeyi reddederiz.

Doğrusal (vektör) Uzay, vektör adı verilen bir dizi ek öğeye verilen addır; bu durumda iki \mathbf (u) ve (\mathbf (v)) vektörü sağlanacak şekilde vektörleri toplama ve bir vektörü bir sayıyla çarpma işlemidir. birbirlerine bir vektördür \Mathbf (u) + \mathbf (v), \mathbf (u) ve (\mathbf (v)) vektörlerinin toplamı, herhangi bir vektör (\mathbf (v)) ve gerçek sayılar alanından herhangi bir sayı \lambda türüne \mathbb (R) atamaları ile adlandırılır. vektörün \Lambda\mathbf(v), \mathbf (v) vektörünün oluşumunu \lambda sayısıyla adlandırır; O halde başımızı toplayalım:

1. \Mathbf (u) + \mathbf (v) = \mathbf (v) + \mathbf (u)\, ~ \forall \mathbf (u), \mathbf (v) \in V(Katlanmanın değişmezliği);
2. \Mathbf (u) + (\mathbf (v) + \mathbf (w)) = (\mathbf (u) + \mathbf (v)) + \mathbf (w)\, ~ \forall \mathbf (u), \mathbf (v), \mathbf (w) \in V(İlişkililik eklendi);
3. V'de sıfır vektörü olarak adlandırılan öyle bir \ mathbf (o) \ öğesi vardır ki, \Mathbf (v) + \mathbf (o) = \mathbf (v)\, ~ \forall \mathbf (v) \in V;
4. (\mathbf (v)) deri vektörü için \mathbf (v) vektörüne benzer bir vektör vardır, böylece \Mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \Lambda (\mathbf (u) + \mathbf (v)) = \lambda \mathbf (u) + \lambda \mathbf (v)\,~\forall \mathbf (u),\mathbf (v)\in V , ~\forall\lambda\in\mathbb(R);
6. (\Lambda + \mu)\mathbf (v) = \lambda \mathbf (v) + \mu \mathbf (v)\,~\forall \mathbf (v)\in V,~\forall \lambda,\mu \in\mathbb(R);
7. \Lambda (\mu \mathbf (v)) = (\lambda \mu)\mathbf (v)\,~\forall \mathbf (v)\in V,~\forall \lambda,\mu \in \mathbb ( R);
8. 1\cdot\mathbf (v) =\mathbf (v)\,~\forall\mathbf (v)\in V.

Umovi 1-8 denir doğrusal uzay aksiyomları. Vektörler arasındaki eşitliğin işareti, solda ve sağ kısım Aynı kişiliksizlik V öğesinin eşit temsilleri, bu tür vektörlere eşit denir.

Belirlenen doğrusal uzayda, gerçek sayılar için bir vektörü bir sayıyla çarpma işlemi uygulanır. Uzay buna denir eylem alanı (konuşma) numaralarının üzerindeki doğrusal boşluk Kısaca Abo, konuşma doğrusal uzayı. Eğer alanı gerçek sayıların belirlenmiş alanından \ mathbb (R) alırsanız, alanı alın Karışık sayılar\ Mathbb (C), ardından elendi karmaşık sayılar alanı üzerindeki doğrusal uzay Kısaca Abo, karmaşık doğrusal uzay. Sayı alanı olarak rasyonel sayıların alanı üzerindeki doğrusal boşluğu kaldıran rasyonel sayıların \ mathbb (Q) alanını seçebilirsiniz. Ayrıca aksi belirtilmediği sürece konuşma doğrusal boşlukları görülecektir. Bazı durumlarda tutarlılık adına, aşağıda görülen tüm uzayların doğrusal olması gibi, doğrusal sözcüğünü atlayarak uzaydan bahsedeceğiz.

saygı 8.1

1. Aksiyomlar 1-4, doğrusal bir uzayın toplama işleminden önce grup değişme özelliğine sahip olduğunu gösterir.

2. Aksiyomlar 5 ve 6, vektörleri toplama işlemine (aksiyom 5) veya sayıları toplama işlemine (aksiyom 6) göre bir vektörü bir sayıyla çarpma işleminin dağıtılabilirliğini gösterir. Bazen bir sayıyla çarpmanın birlikteliği yasası olarak da adlandırılan Aksiyom 7, iki farklı işlem arasındaki bağlantıyı tanımlar: bir vektörün bir sayıyla çarpılması ve sayıların çarpılması. Aksiyom 8'de tanımlandığı gibi güce, bir vektörü bir sayıyla çarpma işleminin üniterliği denir.

3. Doğrusal uzay boş değildir, dolayısıyla sıfır vektörünün yerleştirilmesi zorunludur.

4. Vektörleri toplama ve bir vektörü bir sayıyla çarpma işlemlerine, vektörler üzerinde doğrusal işlemler denir.

5. \mathbf (u) ve \mathbf (v) vektörlerinin toplamı, \mathbf (u) vektörü ile yakın vektör (- \mathbf (v))'nin toplamıdır ve şu şekilde gösterilir: \Mathbf (u) - \mathbf (v) = \mathbf (u) + (- \mathbf (v)).

6. Sıfır olmayan iki \mathbf (u) ve \mathbf (v) vektörüne eşdoğrusal (orantısal) denir çünkü öyle bir \lambda sayısı vardır ki \Mathbf(v)=\lambda\mathbf(u). Doğrusallık kavramı, vektörlerin son sayısına bağlı olarak genişler. Boş vektör \ mathbf (o) herhangi bir vektörle aynı doğrultudadır.

Doğrusal uzay aksiyomlarının mirasları

1. Doğrusal uzayın tek bir sıfır vektörü vardır.

2. V'deki herhangi bir \ mathbf (v) \ vektörü için doğrusal uzayın tek uzunlukta bir vektörü vardır (-\mathbf(v))\in V.

3. Sıfır bir sıfır vektörü için yeterli vektör uzayı varsa, o zaman 0\cdot\mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall\mathbf(v)\in V.

4. Herhangi bir sayı sıfır vektörü üzerinde Tvir sıfır vektörü, o zaman herhangi bir sayı için \ lambda.

5. Bu vektöre komşu olan vektör, bu vektörün (-1) sayısına eklenmesiyle aynıdır, o zaman (-\mathbf (v)) = (- 1)\mathbf (v)\, ~ \forall \mathbf (v)\in V.

6. U virazakh vigladu \Mathbf(a+b+\ldots+z)(Vektörlerin terminal sayısının toplamı) veya \Alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot\mathbf (v)(Vektörlerin son sayısı çarpanların sayısı) kolları istediğiniz sıraya göre düzenleyebilirsiniz veya belirtemezsiniz.

Örneğin ilk iki otoriteyi görelim. Sıfır vektörünün tekliği. \mathbf (o) ve \mathbf (o) " iki sıfır vektör olduğundan, aksiyom 3'e göre iki eşitliği ortadan kaldırabiliriz: \Mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)" ya da başka \Mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), Aksiyom 1'e göre sol kısımlar eşittir. Bu nedenle sağ kısımlar eşittir, yani \Mathbf(o)=\mathbf(o)". Profil vektörünün benzersizliği. \mathbf (v) \in V vektörü iki paralel vektör (- \mathbf (v)) ve (- \mathbf (v))" içerdiğinden, 2, 3,4 aksiyomlarına göre bunların benzerliklerini belirleyebiliriz:

(-\mathbf (v)) "= (-\mathbf (v))" + \underbrace (\mathbf (v) + (-\mathbf (v))))_(\mathbf (o)) = \underbrace ( (-\mathbf (v)) "+\mathbf (v))_(\mathbf (o)) + (-\mathbf (v)) = (-\mathbf (v))).

Yetkililerin kararı da benzer şekilde gerçekleştirilir.

Doğrusal boşlukları uygulama

1. Önemli ölçüde \ (\mathbf (o)\) - kişisel olmayan, işlemlerle birlikte bir sıfır vektörünü yerleştiren \Mathbf(o)+\mathbf(o)=\mathbf(o)і \Lambda\mathbf(o)=\mathbf(o). İşlemlerin anlamı için 1-8 aksiyomları eşittir. Kişisel olmayan \ (\ mathbf (o) \) herhangi bir sayısal alanın üzerinde doğrusal bir alandır. Doğrusal genişlemenin tamamına sıfır denir.

2. Önemli ölçüde V_1, \, V_2, \, V_3 - vektörlerin eklenmesi ve vektörlerin bir sayı ile çarpılması gibi önemli işlemlere bağlı olarak düz bir çizgide, bir düzlemde, uzayda kişisel olmayan vektörler (yönlendirilmiş kesimler). Doğrusal uzayın 1-8 aksiyomlarının incelenmesi temel geometri dersine entegre edilmiştir. V_1, \, V_2, \, V_3'ün kişisel olmayan uzayları doğrusal konuşma uzaylarıdır. Farklı vektörler yerine benzer nötr yarıçap vektörlerine bakılabilir. Örneğin, olgun koçanın bulunduğu düzlemde hiçbir vektör yoktur, dolayısıyla bunlar düzlemin sabit bir noktasına, yani konuşma doğrusal uzayına yerleştirilirler. Tek bir yılın meçhul yarıçap vektörleri, bu vektörlerin herhangi birinin toplamı gibi doğrusal bir uzay yaratmaz. \Mathbf (v) + \mathbf (v) kişiliksizliğine bakıp aldanmayın.

3. Önemli ölçüde \ mathbb (R) ^ n - bir matris ekleme ve bir matrisi bir sayı ile çarpma işlemleriyle n \ times1 boyutunda kişisel olmayan matris. Bu çokluk için aksiyomlar 1-8 doğrusal uzayı çizilmiştir. Bu çokluktaki sıfır vektörü sıfır elemanıdır o = \begin (pmatrix) 0 & \cdots & 0 \end (pmatrix) ^T. Kişisel olmayan \ mathbb (R) ^ n є konuşma doğrusal uzayı. Benzer şekilde, kişisel olmayan \ mathbb (C) ^ n türdeki boyutlar n \ times1 ile karmaşık öğeler є karmaşık doğrusal uzaydır. Bununla birlikte, görünmez aktif elemanlara sahip matris destekçilerinin yokluğu, altta yatan vektörleri barındırmayacak şekilde doğrusal bir uzaya sahip değildir.

4. Önemli ölçüde \ (Ax = o \) - homojen bir sistemin kişisel olmayan çözümü Ax = o doğrusal cebirsel seviyeler bilinmeyenlerle (burada A, sistemin aktif matrisidir), bir matris ekleme ve bir matrisi bir sayıyla çarpma işlemleriyle n\time1'in anonim boyutu olarak görülür. Lütfen bu işlemlerin etkili bir şekilde \ (Ax = o \) çokluğuyla ölçüldüğüne dikkat edin. Tek dereceli bir sistemin 1 çözümünün kuvvetinden (Böl. Bölüm 5.5), tek dereceli bir sistemin iki çözümünün ve bunların çözümlerinin toplamının, tek sıralı bir sistemin benzer çözümlerinin sayısına eşit olduğunu görüyoruz. , böylece \ (Ax =o\) çarpanında yer alır. Katılımcılar için doğrusal uzay aksiyomları sonuçlandırılmıştır (bölüm, doğrusal uzayın uç kısmındaki 3. Nokta). Bu nedenle konuşma doğrusal uzayına sahip tek hatlı bir sistemin çözümü yoktur.

Homojen olmayan bir Ax = b, ~ b \ ne o sisteminin kişisel olmayan bir \ (Ax = b \) çözümü, sıfır elemanı yerleştirmemek için doğrusal bir uzay değildir (x = o bir çözüm değildir) homojen olmayan bir sisteme).

5. Önemli ölçüde M_ (m\times n) - matris ekleme ve matrisi sayıyla çarpma işlemleriyle m\times n boyutlarının kişisel olmayan matrisi. Bu çokluk için aksiyomlar 1-8 doğrusal uzayı çizilmiştir. Sıfır vektörü, farklı boyutlardaki bir sıfır matris O'dur. M_'nin (m\times n) kişiliksizliği doğrusal bir genişliktir.

6. Önemli ölçüde P (\mathbb (C)) - karmaşık katsayılı tek değişkenli polinomlar olmadan. Birçok terimin eklenmesi ve bir polinomun sıfır dereceli bir polinom olduğu kabul edilen bir sayı ile çarpılması işlemlerinin amacı 1-8 aksiyomlarını karşılamaktır (basitçe, sıfır vektörü aynı zamanda sıfıra eşit olan bir polinomdur). Bu nedenle, kişisel olmayan P (\mathbb (C)) karmaşık sayılar alanı üzerinde doğrusal bir uzaydır. Aktif katsayılı polinomların kişisel olmayan P'si (\mathbb (R)) aynı zamanda doğrusal bir uzaydır (veya açıkçası aktif sayılar alanının üstünde). Polinomların kişisel olmayan P_n (\mathbb (R)) düzeyi daha yüksek değildir, daha düşük n'dir, aktif katsayılara ve ayrıca bir konuşma doğrusal uzayına sahiptir. Polinomların toplamının düzeyi ek terimlerin düzeylerinden daha ağır basmadığı için, daha fazla terim ekleme işleminin bu çokluğa göre hesaplanması önemlidir.

Polinomların kişiliksizliği, aşama n, doğrusal bir uzay değildir, çünkü bu tür polinomların toplamı, yüzsüzlükte görünmeyen daha küçük bir dünyada bir polinom olarak görünebilir. Tüm polinomlar olmadan aşama daha büyük değildir, ancak pozitif katsayılarla doğrusal uzaya da sahip değildir, çünkü böyle bir polinom negatif bir sayıyla çarpıldığında, bu çokluğa ait olmayan bir polinom kaldırılır.

7. Önemli bir şekilde, C (\mathbb (R)) \mathbb (R) üzerinde anlamlı ve kesintisiz olan işlevsel olmayan bir fonksiyondur. Suma (f + g) f, g fonksiyonları ve katı \ lambda f fonksiyonları f eylem numarası üzerinde \ lambda eşitliklerle hesaplanır:

(F + g) (x) = f (x) + g (x), \quad (\lambda f)(x) = \lambda \cdot f(x) tüm x\in\mathbb (R) için

Bu işlemler C'de (\mathbb (R)) etkili bir şekilde, sonlanmayan fonksiyonların toplamı ve bir dizi sonlanmayan fonksiyon üzerindeki toplam sonlanmayan fonksiyon olarak tanımlanır, ardından C'nin elemanları (\mathbb (R) ). Doğrusal uzayın aksiyomlarını doğrulayalım. Gerçel sayıların toplamının değişme özelliğinden eşitliğin adaleti çıkar f(x) + g(x) = g(x) + f(x) x \in \mathbb (R) ne olursa olsun. Dolayısıyla f + g = g + f, aksiyom 1 tutarlıdır. Aksiyom 2 katlama ilişkisine benzer. Sıfır vektörü, aynı zamanda sıfıra eşit olan ve açıkça sürekli olan o(x) fonksiyonudur. Herhangi bir f fonksiyonu için, f (x) + o (x) = f (x) eşitliği belirlenir, bu durumda aksiyom 3 doğrudur. f vektörü için yakın vektör, (-f) (x) = - fonksiyonu olacaktır. f(x). O halde f + (- f) = o (aksiyom 4 tutarlıdır). Aksiyom 5, 6, gerçek sayıları toplama ve çarpma işlemlerinin dağılabilirliğinden ve aksiyom 7 - sayıları çarpmanın ilişkilendirilebilirliğinden kaynaklanır. Geriye kalan aksiyom tutarlıdır, çünkü bir ile çarpmak fonksiyonu değiştirmez: herhangi bir x\in\mathbb (R) için 1\cdot f (x) = f (x), o zaman 1\cdot f = f. Bu sayede yüzü olmayan C (\ mathbb (R)) tanıtılan işlemlerle doğrusal bir konuşma alanı olarak görülmektedir. Buna benzer C^1 (\mathbb (R)), C^2 (\mathbb (R)), \ldots, C^m (\mathbb (R))- birinci, ikinci vb.'nin aralıksız yürüyüşlerinin kişisel olmayan işlevleri. Açıkçası düzenlerin yanı sıra doğrusal uzaylar da var.

Önemli ölçüde - aktif katsayılı trigonometrik ikili (frekans \ omega \ ne0) olmadan, daha sonra formda işlev olmadan f(t) = a\sin\omega t + b\cos\omega t, de a\in\mathbb (R), ~ b\in\mathbb (R). Bu tür binomların toplamı, binomun gerçel sayı ve trigonometrik binom üzerinde doğrulanmasıyla ilgilidir. Belirli bir kişiliksizlik için doğrusal uzayın aksiyomları bir araya gelir (olduğu gibi) T_(\omega)(\mathbb(R))\altküme C(\mathbb(R))). Kimse bunu umursamıyor T_(\omega)(\mathbb(R)) Fonksiyon için gerekli olan bu işlemler, bir sayı ile toplama ve çarpma işlemleri ve doğrusal konuşma uzayıdır. Sıfır elemanı binomdur o(t) = 0\cdot\sin\omega t + 0\cdot\cos\omega t, Ayrıca sıfıra eşittir.

\ mathbb (R) üzerinde anlamlı ve monoton olan aktif fonksiyonlar olmadan, iki monoton fonksiyon arasındaki fark monoton olmayan bir fonksiyonla sonuçlanabileceğinden doğrusal uzay yoktur.

8. Önemli ölçüde \ mathbb (R) ^ X - kişisel olmayan eylem fonksiyonları, X'in çokluğuna ilişkin değerler, işlemlerle:

(F + g) (x) = f (x) + g (x), \ quad (\ lambda f) (x) = \ lambda \ cdot f (x) \ quad \ forall x \ in X

Bir konuşma doğrusal uzayı vardır (kanıt önceki örnekteki ile aynıdır). Bu durumda X yeterince seçilebilir. Zokrema, yakscho X = \(1,2,\ldots,n\), Sonra f (X) - sayıların sıralaması f_1, f_2, \ldots, f_n, de f_i = f(i), ~i = 1,\ldots,n Böyle bir küme n \ çarpı 1 boyutlarından oluşan bir matrisle temsil edilebilir, böylece kişisel değildir \Mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\)) kişiliksizlikten kaçının \ mathbb (R) ^ n (doğrusal uzay uygulamalarının bölüm 3 paragrafı). X = \mathbb (N) olduğundan (muhtemelen \mathbb (N) kişisel olmayan doğal sayılardır), o zaman doğrusal uzay çıkarılabilir \Mathbb(R)^(\mathbb(N))- kişisel olmayan sayısal diziler \(F(i)\)_(i=1)^(\infty). Zokrema, Bezlich, postpersead sayısını aynı çizgilere yakınsatır, yani Zbizhny postpartments'ın yak Suma'sı birleşir, ben, yakınsak post-icing'in çoklu üyesiyle birlikte, sonra birleşen Over-ows'un sayısıdır. Bununla birlikte, farklı diziler olmadan doğrusal uzay da olmaz, çünkü örneğin dizilerin miktarı birbirinden farklılaşabilir.

9. Önemli ölçüde \ mathbb (R) ^ (+) - a \ oplus b і tvir \ lambda \ ast a toplamının (bu durumda anlamlar asal olanlardan farklıdır) eşitliklerle olduğu pozitif gerçek sayıların sayısı: a\oplus b=ab,~\lambda\ast a=a^(\lambda) Başka bir deyişle, elemanların toplamı bir katı sayı olarak anlaşılır ve bir elemanın bir sayı ile çarpılması bir adıma indirgenmesi gibidir. Her iki işlem de \mathbb (R) ^ (+) çokluğu üzerinde etkili bir şekilde ifade edilir, çünkü pozitif sayıların katısı pozitif bir sayıdır ve pozitif bir sayının aktif aşaması pozitif bir sayıdır. Aksiyomların geçerliliğini doğrulayalım. gayret

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus (b\oplus c)=a (bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

Aksiyom 1 ve 2'nin tutarlı olduğunu gösterin. Bu kişiliksizliğin sıfır vektörü birdir, çünkü a\oplus1=a\cdot1=a, Tobto o = 1. a'ya en yakın vektör, değerlerin olduğu \frac (1)(a) vektörüdür, a \ne o da öyle. Doğru, a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. Aşağıdaki 5, 6,7,8 aksiyomlarını doğrulayalım:

\begin(toplanan)\mathsf(5))\quad\lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)=a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) =\lambda\ast a\oplus\lambda\ast b\,; \hfill\\\mathsf(6))\quad (\lambda +\mu)\ast a=a^(\lambda +\mu)=a^(\lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda \ast a\oplus\mu\ast a\,; \hfill\\\mathsf(7))\quad\lambda\ast (\mu\ast a)=(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda \cdot\mu)\ast a\,; \hfill\\\mathsf (8))\quad 1\ast a = a^1 = a\,. \hfill\end (toplandı)

10. Nehai V - konuşma doğrusal uzayı. V doğrusal skaler fonksiyonlardaki meçhul şarkılara bir göz atalım, ardından fonksiyon f\iki nokta üst üste V\to\mathbb(R), Uygulanabilir anlamlar kazanan ve zihinleri tatmin eden:

f (\mathbf (u) + \mathbf (v)) = f (u) + f (v) ~~ \forall u, v \in V(Katlanabilirlik);

f (\lambda v) = \lambda \cdot f (v) ~~ \forall v \in V, ~\forall \lambda \in \mathbb (R)(Birlik).

Doğrusal fonksiyonlar üzerindeki doğrusal işlemler, doğrusal uzayların uygulamalarının 8. paragrafındakiyle aynı şekilde belirtilir. F + g і tvir \ lambda \ cdot f miktarı eşitliklerle belirlenir:

(F + g) (v) = f (v) + g (v) \ dörtlü \ forall v \ V'de; \qquad (\lambda f) (v) = \lambda f (v)\quad \forall v\in V, ~\forall \lambda \in \mathbb (R).

Doğrusal uzay aksiyomu 8. paragrafta olduğu gibi doğrulanır. doğrusal fonksiyonlar, V doğrusal uzayına ve doğrusal uzaya ilişkin değerler. Bu uzaya V uzayına bağlı denir ve V ^ (\ast) olarak gösterilir. Yogo elemanlarına kovektörler denir.

Örneğin, vektör argümanının kişisiz skaler fonksiyonları olarak kabul edilen n adet değiştirilebilir olanın doğrusal formları ve \ mathbb (R) ^ n uzayına bağlı doğrusal bir uzay yoktur.

Bir iyiliği, bir arkadaşınızın iyiliğini veya teklifini işaretlediyseniz yorumlara yazın.

Bırakın gideyim - doğrusal uzayın uzayına.

altuzayların köşeliği Alt uzayların kesiti iki faktörün başlangıç ​​kesiti olarak tanımlanacak şekilde birbiriyle ilişkili ve aynı anda vektörlerin bulunmaması denir.

Alt uzayların cebirsel toplamı Ve buna akılda kişisel olmayan bir vektör denir. Alt uzayların cebirsel toplamı (kısacası sadece toplamı) belirlenir

Görünüşe göre vektör verileri çağrılıyor gelişen vektör alt uzay yok і.

saygı 8.8

1. Altuzaylar ve altuzaylar arasında geçiş yapın. Bu nedenle boyutları, temeli vb. anlıyoruz. sarkma noktasına kadar sertleşir.

2. Altuzayların toplamı alt uzaydır. Bu nedenle boyutları, temeli vb. anlıyoruz. toplamına kadar durgun.

Aslında doğrusal operasyonların kapanışını çokluk halinde göstermek gerekir. İki vektörün yan yana uzanmasına izin verin, böylece onlardan gelen kaplama altuzay boyunca yayılır:

Toplamı bilelim: Peki yak, ah, o zaman. Eklemeden önceki operasyonla ilgili olarak kişiliksizlik kapalıdır. Twitter'ı bilelim:. Yani yak, a, o zaman. Pekala, kişiliksizlik bir sayıyla çarpma işlemiyle ilişkili olarak kapatılmıştır. Bu şekilde - doğrusal alt uzay.

3. Yeniden işleme işlemi, doğrusal uzayın tüm altuzaylarının bir kısmında gerçekleştirilir. Bu değişmeli ve ilişkiseldir. Herhangi bir V alt uzayı ailesinin çaprazlaması doğrusal bir alt uzaydır ve viraza'nın kolları oldukça ayrı aralıklı olabilir veya uçlara yerleştirilmeyebilir.

4. Minimal doğrusal altuzay , Yani sonlu boyutlu bir doğrusal uzayın bir alt kümesine tüm alt uzayların kesiti denir, yani. Sonuç olarak, herhangi bir alt uzayda yer aldığı sürece sıfır alt uzayından kaçınmak gerekir. Eğer doğrusal bir altuzay ise, o zaman belirtilen retin'den kaçınılır, böylece parçalar kesişen altuzayların (ve bunlardan birinin :)

Doğrusal kabuğun minimum gücü: doğrusal kabuk herhangi bir alt tür olmak sonlu boyutlu doğrusal uzay uyum sağlamak için minimum doğrusal alt uzaya sahip , Tobto .

Etkili, anlamlı . İki faktörün eşitliğini sağlamak gerekir: Yani yak (böl. Madde 6, 8.7'ye göre), o zaman. Hadi getirelim. Ek bir öğe görünebilir, de. Bırakın - intikam almakta özgür olun. Tüm vektörleri ve bunların herhangi bir doğrusal kombinasyonunu (bölüm 7, saygı 8.7), zokrema, vektörü yerleştirebilirsiniz. Bu vektör intikam alan herhangi bir alt uzaya aittir. Bu, bu tür altuzayların yeniden tanımlanması gerektiği anlamına gelir. Bu şekilde... Her ikisini de açmanız ve gayret göstermeniz gerekiyor.

5. Alt uzayları katlama işlemi, doğrusal bir uzayın tüm alt uzaylarından oluşan bir küme üzerinde gerçekleştirilir. Bu değişmeli ve ilişkiseldir. Bu nedenle, alt uzayların son sayısının toplamında kollar oldukça aralıklı olabilir veya arkaya yerleştirilmeyebilir.

6. Alt uzayların birleştirilmesi, uzaya veya uzaya (veya her iki alt uzaya) ait olan kişisel olmayan vektörler olarak tanımlamak mümkündür. Bununla birlikte, zagalny terimindeki alt uzayların birleştirilmesi bir alt uzay değildir (yalnızca ek bir akılla veya ile bir alt uzay olacaktır).

7. Bütünlüklerinin doğrusal bir kabuğu ile boşlukların miktarı önlenir. İçermenin anlamdan geldiği açıktır. Herhangi bir kişiliksizlik unsuru, iki kişiliksizlik vektörünün doğrusal bir birleşimi gibi görünebilir. Yatak ağrısını bir sonraki aşamaya getirelim. Hangi öğe görünebilirse görünsün , De. Bu tutarı ilk tutara tüm depoları ekleyerek ikiye bölüyoruz. Reshta depoları bir arkadaş için bir çanta katlıyor:

Persha Suma aktif bir vektördür, başka bir Suma ise aktif bir vektördür. Özhe,. Demek istediğim. İncelenen popülasyonların kıskançlığından bahsedecek iki ekleme var.

Alt uzayların toplamının boyutları ile ilgili Teorem 8.4. yakscho і sonlu boyutlu doğrusal uzayın alt uzayı , O halde altuzayların toplamının boyutu, çapraz çubuklarının boyutu olmadan boyutlarının toplamına eşittir (Grassmann'ın formülü ):

Gerçekte, temeli değiştireyim. Ek olarak, altuzay bazında sıralı bir vektör kümesi ve altuzay bazında sıralı bir vektör kümesi. Böyle bir ekleme Teorem 8.2'ye göre mümkündür. Üç vektör kümesinin anlamından bir dizi sıralama yaratılır vektörler. Bu vektörlerin uzayı yarattığını gösterelim. Uzayı sıralı bir kümedeki vektörlerin doğrusal birleşimi olarak görünen herhangi bir vektörün

Özhe,. Bakalım ne yapacağız doğrusal olarak bağımsızdır ve bu nedenle koku, alanın temelidir. Bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonunu formüle etmek ve bunları sıfır vektörüne eşitlemek etkili ve kolaydır:

İlk iki toplam anlamlıdır - bu gerçek bir z vektörüdür, geri kalan toplam anlamlıdır - bu gerçek bir z vektörüdür. Kıskançlık (8.14): vektörün aynı zamanda uzaya ait olduğu anlamına gelir. Demek istediğim. Bu vektörü tabanın arkasında ayrıştırırsak şunu biliyoruz: . Bu vektörün (8.14)'teki açılımına bakarak şunu çıkarabiliriz:

Geriye kalan kıskançlık sıfır vektörünün altuzay temelinde ayrışması olarak görülebilir. Böyle bir düzenin tüm katsayıları sıfırdır: i. (8.14)’te yerine koyarak onu kaldırabiliriz. Bu sadece önemsiz bir şekilde mümkündür, çünkü vektörler sistemi doğrusal olarak bağımsızdır (alt uzayın temelidir). Dolayısıyla kıskançlık (8.14) ancak tüm katsayıların aynı anda sıfıra ulaşması durumunda önemsiz bir sonuçla sonuçlanır. Vektörlerin toplamı Doğrusal olarak bağımsızdır, dolayısıyla uzayın temelidir. Alt uzayların toplamının boyutunu tahmin ediyoruz:

ortaya çıkarılması gereken şey.

Popo 8.6. Alt uzayı belirtme noktasında gizli bir koçanı olan yarıçap vektörleri uzayında: i - düz çizgiler ve çizgiler noktasında kesişen üç yüzsüz yarıçap vektörü; i - kesişen düzlemler i üzerinde bulunan iki nötr yarıçap vektörü; düz, düz bir çizgi ile, düz bir çizgi ile düz bir çizgi, düz bir çizgi ile düz bir çizgi (Şekil 8.2). Beş alt uzayın anlamından derinin boyutunu ve dokusunu bulun.

Karar. Toplamı bilelim. Üst üste bulunan iki vektörü toplayarak düzlemde bulunan vektörü çıkartabiliriz. Aksine, aşağıdaki herhangi bir vektör (böl. Şekil 8.2), vektörün düz çizgiler üzerindeki ve paralel izdüşümleri olarak görsel olarak temsil edilebilir. Bu, eğer alanın herhangi bir yarıçap vektörü i alt uzayı üzerine yerleştirilirse, o zaman . Benzer şekilde, i düz çizgilerinden geçen bir düzlem üzerinde yer alan yarıçapsız a - vektörlerinin olduğu sonucuna varılır.

Toplamı bilelim. Be-vektör uzayı i alt uzayına bölünebilir. Aslında, yarıçap vektörünün ucu boyunca düz çizgiye paralel bir düz çizgi çizilir (böl. Şekil 8.2), böylece vektörün düzlem üzerindeki izdüşümü haline gelir. Daha sonra vektörü bu şekilde üzerine yerleştiriyoruz. Özhe,. O halde yak. Benzer şekilde şunu da söyleyebiliriz. Reshta sumi'yi bilmek basit:. Saygılarımla, okul.

Vikorist'in Teoremi 8.4 doğrulanabilir, örneğin boyut eşitliği. i'yi Grassmann formülüne yerleştirdiğimizde aşağıdakilerin tespit edildiği açıktır.

Altuzayların açıklığı Şekil 2'den bilinmektedir. 8.2, geometrik şekillerin retinası nasıl oluşturulur:

de - sıfır yarıçaplı vektör.

Sadece bir miktar alan. Doğrudan toplam için kriterler.