Adams, gök mekaniği ile uğraşan 19. yüzyılın İngiliz astronomu ve matematikçisidir. Gezegenlerin yörüngelerinin dönüşü ile, hareketlerinin hizalamasını sürekli olarak sayısal olarak entegre etmek zorundaydınız. Hesaplamayı en aza indirmek için Adams, şimdi hangisinden geçeceğimizi tartışmadan önce, diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü için en ekonomik yöntemlerden birini geliştirdi.

Hadi - diferansiyel hizalamanın çözümü. pokhіdnoyu işlevi için

Yogayı iki ızgara noktası arasına entegre ederek, korelasyonu ortadan kaldırıyoruz.

.

Randevu kazanma sürecine geçiş için herhangi bir aracı olmadan iptali kazanamayız -ої ızgara noktaları
-oї, oskіlki işlevi
görmüyoruz. Saldırıyı geliştirmek için, bu işlevi yaklaşık olarak hesaplanabilen böyle bir işlevle değiştirmek gerekir. Adams yönteminde sorunun nasıl olduğunu anlatalım.

Gelelim problemlerin sayısal çözümü sürecine, rozrahunok'u gündeme getirdik. . Anketler sonucunda bize aşağıdaki değerler gösterildi і
,
. Sabit bir sayı alalım
ve bir enterpolasyon polinomuna ihtiyacımız olacak
-noktada kabul edilen aşama ,
anlam

,
.

Yogo, Lagrange formülü kullanılarak yazılabilir.

,

de
zihnin özel polinomları

zaten üçüncü bölümde baktık.

Adams yönteminin arkasındaki ana fikir şudur:
formülü türe göre değiştirin, içindeki işlevi yaklaşık olarak değiştirin
enterpolasyon polinomuna
, Depolar önceki hesaplamanın sonuçlarına kadar vіdpovidno. Özyinelemeli formüle getirmek için

,

.

Kosh görevinin sayısal çözümünün şemasına en basit şekilde daha yakından bakalım.
і
, Teknik zorluklar, yöntem fikrine olan açığı kapatmıyorsa. de
fonksiyona yaklaşmak için
sıfır dereceli vikoristovuetsya polinomu, yani sabit

.

Bu noktada formül Euler yöntemi ile tekrarlayan formüle dönüştürülebilir.

,

bu da ilk doğruluk derecesini sağlar. Bu sonuç kendi içinde önemsizdir. Yogayı sadece, Runge-Kutta yönteminde olduğu gibi Adams yöntemi için de çıkış noktasının Euler şeması olduğunu göstermek için getirdik.

Bir sonraki seçeneğe geçelim
. Fonksiyona yaklaşmak için hangi yolla
ilk adımın vikoristovuetsya polinomu, fonksiyonun değerleri için indüklemeler iki noktada
і
:

Formüle yoga koyarak ve entegrasyonu gerçekleştirerek,

.

Özyinelemeli formülün tekilliği doruğa ulaşacaktır. elek fonksiyonunun çört değerinin rozrahunka için
iki ileri noktada її değerlerini bilmek gerekir і
. Bu şekilde formül ancak başka bir noktadan çalışmaya başlar. nіy'ye göre hesapla olamaz. Perakende sorununun çözümünün değeri, başka bir yöntemle, örneğin Runge-Kutta yöntemiyle hesaplanmalıdır.

Özyinelemeli formül perakende düzeyinde yazılabilir

.

Diferansiyel denkleme yaklaşmanın yeni numarası için harika

Diyelim ki fonksiyon
Cicavia'da bizim için argümanları değiştirebilir ve diğer kötü şeyleri kesintiye uğratmadan sorun çözülebilir
trichi sürekli farklılaşır. Taylor'ın düzenini yazalım

Bunları formülde yerine koyarsak,

.

Zvіdsi bir değerlendirme yazabilirsiniz

,

de
- postyna, üçüncü pokhіdnu fonksiyonlarını büyütme
:

,
.

Adams yöntemine benzeyen Mi Bachimo, iyi
, Farklı bir doğruluk sırası ile diferansiyel hizalamayı yaklaşıklar . Runge-Kutta yönteminde olduğu gibi, çözümü değiştirmek için farklı bir doğruluk sırası sağlıyorum.
izin verildiğinde, anlamı nedir , Yake razrakhovuєtsya standart dışı, farklı bir doğruluk sırası ile hesaplandı.

Daha doğru şemalar oluşturma süreci, daha büyük bir ölçek için devam ettirilebilir.
. de
ile üçüncü doğruluk derecesi şemasını girin
- dördüncü, vb. Runge-Kutta yönteminde olduğu gibi dördüncü sıranın şeması en çok implante edilendir, bu nedenle kısaca görselleştirme ve tartışmaya atıfta bulunuyoruz.

Üçüncü dereceden bir enterpolasyon polinomu nasıl yazılır
sitede ,
,
,
ve entegrasyonu gerçekleştirin, ardından özyinelemeli formül şöyle görünecektir:

Sözde kіntsevі raznitsi aracılığıyla formülü yazmanın bir formunu daha tanıtalım.

Birincisi, arkadaş ve üçüncü perakende birinciye yakın, diğeri ve üçüncü benzer işlevler
. Formüllerin denkliği ve kolayca yanlış anlaşılır. Formül, numaralandırma sürecini düzenlemek ve doğruluğu kontrol etmek için bazen daha uygundur.

Adams yönteminin özelliği, formülde daha güçlü, formülde daha düşük olarak kendini gösterir. Şeytanın anlamının rozrahunka için burada
anlamını bilmek lazım bazı ileri noktalarda - ,
,
,
. Bu şekilde formül ancak dördüncü noktadan itibaren işlemeye başlar. nіy'ye göre hesapla ,,olamaz. Perakende sorununun çözümünün önemi başka bir yöntemle, örneğin Runge-Kutta yöntemiyle ön plana çıkarılmalıdır.

Planın doğruluğunu tartışmaya devam edelim. işlev olarak
bizim için cicavia alanında tartışmaları için kesintisiz mahalleler olabilir, bu yüzden sorunun çözümü
beş kez sürekli olarak türevlenir, daha sonra diferansiyel denklem, dördüncü doğruluk derecesine sahip diferansiyel denklem tarafından yaklaşılır . Bu sertleşmenin kanıtı, farklı bir düzen şemasıyla aynı şekilde gerçekleştirilir, ancak şimdi türün düzenlerinde daha fazla üye eklemek gerekir. Hizalamanın yaklaşımında çeyrek doğruluk derecesi güvenlidir Çözüm hatasında çeyrek doğruluk derecesi
izin verildiğinde Adams yöntemi için koçanı değerleri nelerdir? ,,aynı doğrulukta hesaplanmıştır. Koku bağımsız olarak kükrer ve aynı zamanda önemlidir, böylece hesaplama sürecinin ilk aşaması gelecekteki tüm sonuçları yaratacak şekilde böyle bir hataya neden olmaz.

Görev 5.

Sorunun çözümünü teşvik edin
kroket ile
bir başkasının Adams planının arkasında ve dördüncü Emir. Anketlerin sonuçlarını, Runge-Kutta şemasına göre anketlerin sonuçlarıyla ve görevin analitik kararlarıyla kendi aralarında eşleştirin.

Tablo 2'nin dördüncü ve beşinci sütunlarında gezinen rozrahunkіv sonuçları. Tarihten önce Vіdpovіdno, çeyrekleri diğer ve en küçük ve beş - üçüncü ve sоstim ile hizalamak gerekir. Son sütunda, incelenen problemin analitik bir çözümü (53) olduğunu tahmin edelim, böylece onunla karşılaştırma, Runge-Kutta şemasına ve Adams şemasına göre yaklaşılan çözümün doğruluğunu yargılamamıza izin verir.

Adams şemasına göre Rozrahunok, farklı bir doğruluk sırası ile başlar. , Dördüncü - h . anlam dördüncü sütunda, ,,beşinci sütunda, aynı sırayla Runge-Kutta şemasına göre ödeme yapıldı, bu nedenle tablolarda kokular diğer ve üçüncü sütunlardakiyle aynı. İki yöntemle gerçekleştirilen araştırmaların sonuçlarının görevin analitik çözümleri ile karşılaştırılması, doğruluklarının yaklaşık olarak aynı olduğunu göstermektedir.

Runge-Kutta ve Adams yöntemindeki dördüncü doğruluk derecesine ait şemaları, numaralandırma sürecinin organizasyonu açısından karşılaştırıyoruz. Runge-Kutta yönteminden bir adım sonra çalışmak için fonksiyonu hesaplamak gerekir.
chotiri razi ve Adams yönteminde sadece bir kez. Üç ileri noktada, fonksiyon
Bula zaten ön saflarda hesaplandı ve tekrar sayılmasına gerek kalmadı. Bazı insanlar için Adams yöntemi, özellikle bilgisayar öncesi çağda çok değerli olduğu için baş ağrısıdır.

Adams yönteminin başının yeterli olmadığını zaten belirtmiştik: durdurulduğunda, ilk kez diğer yöntemin yardımı için çalışmak, örneğin Runge-Kutta yönteminin yardımı için ve ancak bundan sonra çalışmaktı. Adams planı için rozrahunok'a geçmenin mümkün olduğunu söyledi. Bu şekilde, Adams yöntemi için Cauchy problemini çözme programı, rozrahunka için Runge-Kutta yöntemi programını bir öğe olarak dahil etmekten suçludur. koçan aşaması numaralandırma işlemi.

Adams yönteminin kendine özgü özelliği nedeniyle, bir sorun daha var. Diferansiyel denklemi sayısal olarak entegre ederken, genellikle . Runge-Kutta yönteminin herhangi bir zorluğu yoktur, deri parçaları önden bağımsız olarak savaşabilir. Adams yönteminin farklı bir durumu vardır. Burada ya rozrachunka'nın katlanmış formülünü bir kan değişikliği ile programlamak ya da rok'un cilt değişiminden sonra, ilk üç noktanın rozrahunka'sını tekrar Runge-Kutta yöntemini kullanarak yapmak gerekir. Ancak o zaman Adams yönteminden sonra standart ekrana geçebilirsiniz. Bu eksiklikler, günümüzde bilgisayar rozrahunka ile sorunun genellikle manuel Runge-Kutta yönteminden daha fazla görülmesine yol açmaktadır.

adams yöntemi

Herhangi bir şekilde (örneğin, Euler veya Runge-Kutta yöntemiyle) shuk işlevinin son üç değerinin olup olmadığını görev için öğrenelim.

Miktarları hesaplayalım.

Adams yöntemi, işlev tablosuna bakarak sorunun çözümünü - işlevi - bilmenizi sağlar. Seçilen tablonun birkaç nokta ile devamı, Adams ekstrapolasyon formülü ile belirlenir:

Daha sonra açıklama Adams interpolasyon formülüne göre gerçekleştirilir:

Adams yöntemi, sistemlere kolayca genişletilebilir diferansiyel oranlar. Adams yöntemindeki hata, Runge-Kutta yöntemiyle aynı sıradadır.

Lineer olmayan transandantal ve cebirsel denklemleri çözmek için küçük bir parametre ile diferansiyel denklemlerin belirlenmesi

Deacah'a kesintisiz farklılaştırılmış bir işlev verilsin. Doğrusal olmayan veya aşkın olarak akla eşit olmak gerekir

Pratikte uygulandıklarında, doğrudan yöntemlerle üstesinden gelmeye çalışmazlar, bu nedenle mükemmellikleri için yinelemeli yöntemler kullanılır. (31) formunun aşkın ve cebirsel denklemlerini çözmek için tüm yinelemeli yöntemler iki gruba ayrılabilir:

ayrık devre çözümleri.

Kesintisiz çözüm şemaları.

Ayrık çözüm şemaları daha yakın zamanda incelenmiştir. Saygılarımızla, yeniden finansmandaki ana eksiklikler diğer yöntemlerdir:

koçan kafaları şeklinde veya kökün değeri aralığında bayatlık;

porіvnjano düşük swidkіst zbіzhnostі;

onların dekilkaları gibi, zamanlarda kökten köke (31) eşit olan geçiş kuralları hakkında hiçbir şey söylenmez.

Denklemin (31) çözümü için kesintisiz şemalar durdurulduğunda, kökleri bulma süreci, ilkel sonik diferansiyel denklemin varyansı yoluyla kurulur.

Nekhai aynı anda hem atanmış hem de monoton, biraz kіntseva. Basit yinelemeler yönteminin kesintisiz bir analogu olan denklemin (31) köklerini bilme görevi, Cauchy problemi çözülürken bir sınır olarak görülebilir.

yakshcho tsya intera değil. Önemli ölçüde Cauchy probleminin (33) çözümü ile - problemin shukane çözümü (31). Todi aynılık olabilir. Dinlenme ve dinlenme işaretleri (33) Tanıtmak Dinlenme olabilir

Doğrusal terimleri kaydetme noktasının yakınında bir Taylor serisinde uzanarak ve (34)'deki virüs azalmasını değiştirerek, çözümü görülebilecek olan solunum yolunun diferansiyel eşitlemesini alıyoruz.

Bachimo, scho umovoy zbіzhnosti köküne є vomoga, yani tsomu vpadku'da olduğu gibi, ben, daha sonra. Monoton olduğu düşünüldüğünde, seviyenin geri kalanı bakılan tüm alana genişletilebilir. Bu şekilde, kesintisiz devreyi basit yineleme yöntemine göre zihinsel olarak test etmek (33)

Bezperervnі çözüm şemaları, çift ayrık devrelerle eşlendiğinde daha yüksek güvenlik verimliliği ve daha yüksek doğrulukta çözüm olabilir. Ancak koçan kafalarındaki nadas sorunu ve kökten köke geçiş için kural sayısı, eğer (31) birden fazla çözüm ise, zaman içinde tekrar yazılır.

Diferansiyel hizalama (33) ve hizalamadan (31) da anlaşılacağı gibi, kalanın sol kısmı benzer bir parça ile değiştirilmiştir. Görevin tamamlanmasına (31) kadar problemin (33) çözümüne ilişkin kaba yaklaşımların yerini almıştır. Onu geride bırakmak sadece hesaplamada büyük bir kayıp değil, aynı zamanda rozrakhunkiv sayısında bir azalmadır.

Görüşte eşit (31) yeniden yazacağız

de - küçük parametre,.

Görevden (31) probleme (37) geçiş teorik olarak hazırdır, çünkü küçük parametreli (37) çözümlere eşit olan integral eğriler, eşitlemeye (31) giden tüm çözümlerden geçer. Bu denklemin kökü bilgisi, zihindeki problemin çözümü ile bir sınır olarak görülebilir.

yakshcho tsya intera değil.

Mirkuvannya'yı mirkuvannya'ya benzer şekilde yürüterek, daha fazlasını getirelim, çözümün eşit olduğunu (37) aynı şekilde bakarak alıyoruz:

Kiminle öyleyse, o zaman aklın (36) kendimiz tarafından ondan mahrum bırakılma yeteneği.

Otriman'ın çözümün klasik şemalarını değiştirmesi, koç kafalarının eline geçmez ve daha yüksek bir çözüm doğruluğuna sahip olabilir. Verimliliğin esnekliğini kanıtlamak için, yinelemeli yöntemlerin test edilmesinin hiçbir şekilde kesin bir çözüm vermemesi ve çözümün doğruluğunun ortaya konması kabul edilebilir. Kararın klasik ve değiştirilmiş yöntemlerin doğruluğu ile tanınma anı і kadar önemlidir. Vikoristovuyuchi çözümleri (35) ve (39) aklın düzensizliğini yazalım

Zі spіvvіdnoshen, i. i, bachimo, scho değerini bir kenara bırakarak, geliştirmede modifikasyon yöntemlerinin uygulanmasıyla zbіzhnostі'nın esnekliği, daha düşük klasik.

Şu anda Adams yöntemi, Cauchy probleminin çözümü için umut verici sayısal entegrasyon yöntemlerinden biridir. Cauchy probleminin 12. mertebeye kadar çözümü için Adams'ın zengin sayısal yöntemlerinin uygulanması ile kararlılık alanının değiştiği gösterilmiştir. Sıralamada daha fazla artışla, istikrar alanı ve büyüme yönteminin doğruluğu. Ayrıca aynı integrasyon üzerinde zengin ölçekli yöntemler için aynı doğrulukta, diferansiyel eşitliklerin doğru kısımlarını Runge-Kutta yöntemlerine göre daha az hesaplamak gerekir. Adams yöntemlerini tercüme etmeden önce, entegrasyon yolunu ve yöntemin sırasını kolayca değiştirdikleri bir durum var.

Uygulamada, iki tür Adams yöntemi yaygın olarak kullanılmaktadır - açık ve örtük. Açık yöntemler Adams-Beshfort yöntemleri gibidir, örtük yöntemler Adams-Multon yöntemleri gibidir.

Kosh problemini çözmek için sayısal yöntemlerin açıklamasına bir göz atalım.

Problemleri (2.1) tek seferlik yöntemler yardımıyla çözme durumunda, yn + 1 değeri sadece xn'nin ileri noktasında bulunacaktır. xn, xn-1 ... xn-k ileri noktalarının sayısı hakkında bilgi kazanmak için daha fazla doğruluk elde edebileceğinizi varsayabilirsiniz. Bu fikirden yola çıkarak zengin timsah yöntemleri kurulmuştur.

Şarap yapımının en zengin yöntemlerinin çoğu saldırgan yaklaşıma dayanmaktadır. (2.1) denklemine daha kesin olarak y (x) çözümünü ekler ve denklemi uzantıya entegre edersek, o zaman şunu alırız:

(2.2) formülünü f (x, y (x)) işleviyle değiştirerek, interpolasyon polinomu P (x) ile yaklaşıklık yöntemini alırız.

P(x) polinomunu indüklemek için, yn, yn-1 ... yn-k'nin xn, xn-1 ... xn-k noktalarında en yakın yaklaşıklık olduğu varsayılır. Lütfen xi düğümlerinin timsah h ile eşit olarak saklandığını unutmayın. Sonra fi = f (xi, yi), (i = n, n-1 .. n-k) - xn, xn-1 ... xn-k noktalarında f (x, y (x))'e yaklaşım.

Yak P (x) adımın bir interpolasyon polinomu olarak alınır, k zihinleri tatmin eder

Bu polinomu açıkça entegre etmek için saldırgan yöntem alınır:

K = 0 olduğunda, polinom P (x) sabittir, eşit fn, і formülü (2.4) Euler yöntemine dönüşür.

k = 1 olduğunda, polinom P (x) (xn-1, fn-1) ve (xn, fn) noktalarından geçen lineer bir fonksiyondur, yani.

Polinomu xn'den xn + 1'e entegre etme

iki noktada xn ve xn + 1'de bazı muzaffer bilgiler.

k = 2 ise, P (x) ikinci dereceden bir polinomdur, veriler (xn-2, fn-2), (xn-1, fn-1) ve (xn, fn) interpolasyonludur. En iyi yöntemin neye benzediğini gösterebilir misiniz?

k = 3 ise, alternatif yöntem şu formülle tanımlanır:

k = 4'te

Yöntemin (2.7) üç adımlı, (2. 8) - dört adımlı ve (2. 9) - beş adımlı olması önemlidir. Formüller (2. 6) - (2. 9) Adams-Beshfort yöntemine benziyor. Yöntem (2.6) farklı bir doğruluk sırasına sahiptir, bu nedenle farklı bir sıradaki Adams-Beshfort yöntemi olarak adlandırılır. Benzer şekilde, (2.7), (2.8) ve (2.9) yöntemlerine de üçüncü, dördüncü ve beşinci derecelerin Adams-Beshfort yöntemleri denir.

Bu sürece devam ederek, gittikçe daha fazla sayıda ileri nokta ve daha yüksek derecede bir enterpolasyon polinomu kazanarak, Adams-Beshfort yöntemi kalıcı olarak yüksek bir düzen olarak alınır.

Zengin yöntemler, muzaffer tek elli yöntemler için suçlanmayacak zorluklara yol açar. Zorluklar, örneğin, beşinci dereceden Adams-Beshfort yöntemlerine (2.9) dönerek daha mantıklı hale gelir.

(2.1) problemi, formül (2.9) için n = 0'da y0 başlangıç ​​değerine sahiptir, doğal olarak her gün olduğu gibi x-1, x-2, x-3, x-4 noktalarında bilgi gerektirir. Zvichayniy, zengin-rokovy yönteminin çalışması için yeterli bir değer alınana kadar, aynı doğruluk sırasına sahip, örneğin Runge-Kutta yöntemi gibi vikoristannі be-yakkogo odnokrokovoy yönteminde z danі і situatsі polagaє vihіd z і і situatsії polagaє. Aksi takdirde, ilk kesimde bir bitlik yöntemi, diğerinde iki bitlik yöntemi vb. tüm başlangıç ​​değerleri alınana kadar kullanabilirsiniz. Herhangi bir değerde, her iki başlangıç ​​değeri, kalıntı yönteminin kullanılacağı ile aynı doğruluk seviyesinde hesaplanmıştır. Başlangıç ​​yönteminin başlangıç ​​noktaları daha düşük doğruluk sırası olabilir, daha sık olarak daha küçük bir ölçekle iyileştirilebilir ve daha fazla ara puan kazanabilir.

Visnovok yöntemleri (2. 6) - (2. 9) f (x, y) fonksiyonunun interpolasyon polinomu P (x) ile değiştirilmesine ilişkin temeller. Vіdomo, scho mіsce teoremi, enterpolasyon polinomunun nedenini ve birliğini getirmek için scho. Eğer x0, x1 ... xn farklıysa, o zaman herhangi bir f0, f1 ... fn için adımın n'den büyük olmayan tek bir P (x) polinomu vardır, öyle ki P (xi) = fi, i = 0, 1 , ..n.

Enterpolasyon polinomu tek ise, polinomu göndermenin birkaç yolu vardır. Çoğu zaman, Lagrange polinomları galip gelir, ancak pis koku ve pis koku işlenmez, bu nedenle bir vuzol olup olmadığını veri kümesine eklemek (veya yenisinden görmek) gerekir. Bu şekilde enterpolasyon polinomunun oluşumu daha az belirgindir. Newton'un görünüşü

Pn + 1 (x) polinomu şu şekilde yazılabilir:

Durum serisindeki görünümdeki (2.11) interpolasyon polinomunun verileri özellikle uygulama için doğrudur.

Adams-Beshfort yöntemi zaten xn, xn-1 ... xn-k noktalarında değerler almıştır. Bir interpolasyon polinomu ile xn, xn, xn-1 ... xn-k noktalarını seçmek mümkündür. Adams-Multon yöntemine benzer şekilde örtük m-adım yöntemleri sınıfını kiminle suçlarız.

k = 0 ise, o zaman P (x) - doğrusal fonksiyon, (xn, fn) ve (xn + 1, fn + 1) noktalarından geçmek için ve ikinci yöntem

є Farklı bir düzenin Adams-Multon yöntemi.

k = 1, 2, 3 olduğunda en uygun yöntemler

üçüncü, dördüncü ve beşinci yaklaştırma mertebeleri. Spіvvіdnoshennia (2. 12) - (2. 15) örtük olarak yn + 1 değerini aramak için, bu nedenle uygulamaları için yinelemeli yöntemler kullanmak gerekir.

Uygulamada, kesin olarak eşit (2. 12) - (2. 15) titreşmeyin, ancak tam açık ve örtük biçimde canlandırın, bu da tahmin ve düzeltme yöntemine yol açar.

Örneğin, farklı bir sırayla Adams yöntemi için, vicorist ataması, de r yineleme numarasıdır, belki r \u003d 1 için bir hesaplama şeması bulacağım:

Bu işleme PECE yöntemi denir (P, kehanet formülünün sabitlenmesi, C - formülün sabitlenmesi, E - f fonksiyonunun hesaplanması anlamına gelir). Formülün geri kalanını bularak hesaplama sürecini hızlandırabilirsiniz. Sözde PEC yöntemini getirmek için Tse.

Başka bir rozvyazannya rіvnyan (2. 12) - (2. 15) yöntemine bakalım. Formüller (2. 12) - (2. 15) bir bakışta yeniden yazılabilir

v_dom_ değerlerinin intikamını almak için tasarlayın. L'nin Lіpshitsya sabiti olduğu için, yinelemeli sürece ek olarak alınabilecek tek bir eşit (2.17) çözüm olduğu gösterilmiştir.

de - yeterli.

(2.18) ifadesindeki iterasyonlar sonuna kadar, kâra ulaşılana kadar denenir. Bu sayı için f fonksiyonunun hesaplanması noktadan noktaya değişir, büyük olabilir.

Öte yandan, h'nin değerini değiştirirseniz, sabit sayıda yinelemede verim elde edilebilir. Tüm yönteme zbіzhnosti'ye göre düzeltilmiş denir.

İlk bakışta, bariz zengin yöntemin, bakış açısından hesaplamak için en basit yöntem olduğunu görebilirsiniz. Ancak uygulamada, açık yöntemler nadiren kullanılmaktadır. Örtük Adams-Multon yöntemi daha doğrudur, daha az açık olan Adams-Beshfort yöntemi. Örneğin, 5. dereceden Adams-Multon yöntemi için hesaplama şeması şöyle görünebilir:

Beşinci mertebe dahil Adams'ın yöntemleri, yüksek derecede doğruluk gerektirmediklerinden, en büyük diferansiyel denklemlerin iyileştirilmesi için muzaffer olabilir.

Adams-Multon önemli beslenme vikoristanny yöntemi ne zaman ve Adams-Beshfort'un vipadku yönteminde є optimal spіvvіdnosnja kroku beslenme seçimi sipariş yöntemidir. Unutulmamalıdır ki, verimli algoritmalar ve programlar oluşturulurken, kısa entegrasyondaki değişiklikler azaltılarak yöntemin sırası düşürülür.

Daha karmaşık düzenlerin iyileştirilmesi için, Adams'ın daha büyük düzen yöntemini zastosovuvat yapmak gerekir. Tablo 2. 1, Adams yöntemleri için katsayıların değerini göstermektedir. İlk satır, yöntem için bir sıraya sahiptir; diğerinde - farklı bir k derecesi için Ck katsayılarının değeri; ileri satırlarda - Adams-Beshfort ve Adams-Multon yöntemleri için Bkj ve Mkj katsayılarının paritesi açıktır. Todi, tablo 2'deki verilerden 14, ifadedeki j'deki katsayılar

k'inci dereceden Adams-Beshfort yöntemi için ilişkiler bulunabilir

ve Adams-Multon yöntemi için, benzer bir formül için k-inci dereceden

Adams'ın 6. ila 14. sıra arasındaki öngörücü-düzeltici yöntemlerinin formülleri şöyle görünebilir:

• 6 sipariş:
• 7 sipariş:
• 8 sipariş:
• 9 sipariş:
• 10 sipariş:
• 11 sipariş:
• 12 sipariş:
• 13 sipariş:
• 14 sipariş:
• 15 sipariş:
• 16 sipariş:

Daha fazla tanıtılan formüller, en büyük diferansiyel denklemlerin veya birinci dereceden diferansiyel denklem sistemlerinin sabit bir kısa entegrasyon ile pratik bir çözümü için daha sık muzaffer. Entegrasyon ürününün eşitlenmesini tamamlama sürecinde olduğu gibi, Adams yöntemleri için entegrasyon ürününü değiştirirken yeni koçanı verilerinin döşenmesi için özel yöntemler vardır.

de S= 1 formül (6.16)

yakscho Q= 2, sonraki hesaplama kuralını alıyoruz:

Pratikte ekstrapolasyon formülünü (6.18) kullanın ve ardından formülün (6.23) değerini düzeltin. І belirtilen değerin sonucu izin verilen kaçırmayı aşmazsa, o zaman croc H kabul edilebilir saygı .

Son perakende görünümünde bilgisayar formülleri (6.18) ve (6.23) üzerindeki rozrahunkіv için kullanışlı değildir. İyileştirmelerle (6.21) bir bakışta hayal edilebilirler

(6.24)

Kılavuzlu formüller büyük doğruluk sağlayabilir. kokuşmak emir vermek ~ profesyonel(H4), Ale, feat tahmin etmek için formüller tamamlanmalıdır. Yakınlardaki boşluk, Runge kuralına göre tahmin edilebilir.

Örnek 6.2. Cob umova ile vіrіzka üzerinde Virishiti diferansiyel hizalaması Y(x= 0) = 1. Adams yöntemini (düzeltmeli) noktaya kadar bilin x4 , İlk üç noktada, krok'u benimseyen Runge Kutta yöntemiyle bilin.

Çözüm. Fonksiyonun ilk dört noktadaki değeri Tablodan alınmıştır. 6.1 (ön bölümdeki div. Popo). Şimdi mantıklı hale geldi, şimdi bu noktalarda ilk adımın değerini aldık (böl. Formüller (6.24)).

X4 = X3 + H= 0.15 + 0.05 = 0.2;

Negatif sonucu hesaplamak için, bu noktada benzer olanın değerini hesaplamak gerekir:

Şimdi enterpolasyon formülüne göre değeri belirtebiliriz (veya çalışamazsınız, o zaman yöntemin hatası daha büyük olacaktır):

Böylece, fonksiyonun yeni değerinin kapasitesinde olduğu gibi, şu kabul edilir: obov'azkovo Pokhidnoy'un anlamını değiştirmek için kaydırdı. Bize göre, ekstrapolasyon ve enterpolasyon formüllerinin fark modülü ε'den küçüktür. , Aynı croc ile hesaplamaya devam etmenizi sağlayan şey.

Kendini doğrulama için beslenme

· Birinci mertebeden diferansiyel eşitlikler için Cauchy problemini formüle edin.

· Diferansiyel eşitliğin çözümleri nelerdir: a) genel matematikte, b) uygulamalı matematikte?

· Hangi diferansiyel eşitleme yöntemlerine tek mahsul, zengin timsah denir? Örnekler getirin.

· Bir dizi Taylor (emek, boşluk ...) içinde Euler, Runge-Kutta ve layout yöntemleriyle ilk önce otrimani, başka bir timsah hizalayın.

· Zastosovuvannyy yönteminin hatası nasıl değerlendirilir? Nasıl değiştirebilirsin?

· İlkinin ve diğerlerinin avantaj ve dezavantajlarını göstererek, diferansiyel eşitlikleri geliştirmek için tek taneli ve zengin taneli yöntemleri eşitleyin.

· Adams'ın ekstrapolasyon ve enterpolasyon yöntemleri (formülleri) nelerdir?

· Şunları durdurabilirsiniz: a) sadece Adams'ın ekstrapolasyon yöntemleri,
b) sadece enterpolasyon mu?

· Chi can vikoristovuvaty: a) tek tane olmadan zengin yöntem;
b) çok damarlı yöntemler olmadan tek damarlı yöntemler?

· 27. tığda Adams yöntemi ile diferansiyel hizalama düzeltilirse tığ değiştirilmelidir. Nasıl robiti?

Bizden önce aynı görev Kosha

F (1) (T)=F(T, F(T)), a£ T£ B, F(a)=bir.

Tek seferlik yöntemlerin anlamı vardır F(t k+1) ileri noktada sadece küçük bir bilgi gösterdi t k. Çözümün doğruluğunu artırmak, böylece aynı zamanda çıkartma noktalarındaki bilgiyi kazanmak mümkün görünüyor. Bu yüzden yöntemlerde olmalıyım, yani bunlara zengin timsah denir. Sorun açıklamasına ilk bakışta, lansman anında T=ta Sadece bir pochatkov umova i, iki, üç veya iki ön nokta ile çalışmayı seçtiğimiz için, o zaman bir arkadaş olarak tek yollu yöntemlerin suçu görünmez. yani buluyorum; "Karmaşık" bir çözüm algoritması şöyle görünebilir:

ilk kesimde, bir noktayı diğerine almak için tek aşamalı yöntemi kullanın, diğerinde iki aşamalı yöntemin yardımıyla üçüncüyü almak için, üçüncüde - üç aşamalı yöntemin yardımı için dördüncü , vb., zafere aktarılan ana yöntem için yeterli ileri nokta olana kadar.

İkinci seçenek, tüm başlangıç ​​noktalarının, örneğin dördüncü dereceden Runge-Kutta gibi tek atış yönteminin yardımıyla takip edilmesi gerektiğidir. Zengin kaya yöntemlerinin kırıkları daha doğrudur, başlangıç ​​tek çatlak yöntemi için vicorist yöntemi daha büyük bir kısa croque ile çalışabilmesi için daha ara noktalara ses vermelidir.

Zengin algoritmalar bu şekilde oluşturulabilir. Vrakhovuyuchi şo

F(t k +1)=F(t k)+ ,

integral işareti altında sayısal olarak entegre edilebilir yasanın bir parçası ODE. Dikdörtgen yöntemi nasıl yenilir (entegre bir fonksiyon için enterpolasyon polinomu - bir sabit), en iyi Euler yöntemini alıyoruz. 2 nokta ve birinci dereceden enterpolasyon polinomu nasıl bükülür

P(x)= ,

daha sonra yamuk yönteminden sonra entegrasyon t könceki t k Saldırgan bir algoritma vermek için +1:

F(t k +1)=F(t k)+0.5H(3Fk-Fk -1).

Benzer şekilde, üç nokta için, veriler için matematiksel olarak ikinci dereceden enterpolasyon polinomu ( t k -2 , Fk -2), (t k -1 , Fk -1), (t k, Fk) Simpson yönteminden sonraki entegrasyon algoritmasını verecektir:

F(t k +1)=F(t k)+ (23Fk–16Fk -1 +5Fk -2).

4 puan için polinom kübik olacak ve yogo entegrasyonu şunları verecektir:

F(t k +1)=F(t k)+ (55Fk–59Fk -1 +37Fk -2 –9Fk -3).

Prensip olarak, uzun bir süre böyle devam edebiliriz.

Önerilen algoritmalar, başka bir üçüncü ve dördüncü mertebeden Adams-Bashfort yöntemleri olarak adlandırılır.

Resmi olarak, interpolasyon polinomunun yardımıyla krіm yapabiliriz. n hatta daha fazla r mümkün t k +1 , t k+2; en basit şekilde

t k +1 , t k, t k -1 ,…, t k -n .

Kiminle Adams-Moulton'un sözde yöntemleri sınıfı doğar. Dört aşamalı şarap çeşidinde danim ( t k +1 , Fk +1), (t k, Fk), (t k -1 , Fk -1), (t k -2 , Fk-2) yogo algoritması:

F(t k +1)=F(t k)+ (9Fk +1 +19Fk–5Fk -1 +Fk -2).

Rastgele, günlük veriler üzerinde araştırma yapmak mümkün değildir, bu nedenle Adams algoritmaları, sözde tahmin ve düzeltme yöntemleri atlanarak bir Adams-Bashfort ve Adams-Moulton algoritmaları dizisi halinde birleştirilebilir. Örneğin, dördüncü dereceden tahmin ve düzeltme yöntemi şuna benzer: Birden çok "geçmiş" nokta içeren Adams-Bashforth algoritması için daha tahmin edilebilirdir.

F(t k +1)=F(t k)+ (55Fk–59Fk -1 +37Fk -2 –9Fk -3).

Hizalamanın sağ kısmının değerini hesaplayalım

Fk +1 =F(t k +1 , F(t k +1).

ben, nareshti, koriguemo F(t k+1) yogo ve yaklaşık anlam için

F(t k +1)=F(t k)+ (9Fk +1 +19Fk–5Fk -1 +Fk -2).

Adams'ın yüksek dereceli (10'dan fazla) yöntemlerine dayalı olarak, ölçeğin boyutunu ve yöntemin sırasını değiştirmenize izin veren en yeni bilgisayar programlarının en verimlisi. Dosvіd ekspluatatsiyї tsikh programları pokazuє, scho vіdminnostі in їх realіzаtsії doğruluk konusunda daha fazla ntotny vpliv navat edebilir, nizhі vіdminnostі vіdnіshnіh vіshіshnіh vlastivnosti yöntemi