Diferansiyel 3. uygulama sırasına eşittir. Kedi tarafından verilen diferansiyel karşılaştırma ve karar sırası

Diferansiyel eşitleme en yüksek düzeyde

Yüksek mertebeden diferansiyel seviyelerin (DU VP) ana terminolojisi.

Rivnyannaya görünümü, de N >1 (2)

daha yüksek mertebeden diferansiyel eşitlikler denir, yani N-inci sipariş.

Uzaktan kumanda alanı, N-inci sıra bölgedir.

Bu dersimizde saldırı türlerinin uzaktan kontrollerine bakacağız:

Koshy Departmanı DU Başkan Yardımcısı:

DU verilsin,
ve kulaklar yok: sayılar.

Aralıksız n kere türev alma fonksiyonunu bilmek gereklidir.
:

1)
є bu uzaktan kumandanın kararları açık, ör.
;

2) görevi yerine getirir, koçanın zihinleri:.

Farklı düzeydeki bir uzaktan kumanda için, problemin çözümünün geometrik yorumu hemen yapılır: noktadan geçen bir integral eğrisi bulunur. (X 0 , sen 0 ) Peki doğrudan kesme katsayısıyla konuşmak ne anlama geliyor? k = sen 0 ́ .

Temel ve Birlik Teoremi(Uzaktan kumanda için Cauchy probleminin çözümü (2)):

Yakşço 1)
kesintisiz (bütünlük için) (N+1) argümanlar) alanında
; 2)
kesintisiz (argümanların bütünlüğü için)
) B, o halde ! koçan beyinlerine verilen görevi yerine getiren uzaktan kumanda için Cauchy probleminin çözümü: .

Bu alana DU birliğinin alanı denir.

Zagalne rishennya DU Başkan Yardımcısı (2) – N -parametrik işlev,
, de
- aşağıdaki gibi faydaları sağladığı için daha tutarlıdır:

1)

- uzaktan kumanda kararı (2) açık;

2) n / s birlik alanı!
:
koçan beyinlerinin görevini yerine getirir.

Saygı.

spіvіdnoshenya görünümü
, Örtülü olarak, kontrol sisteminin (2) gizli çözümü çağrılmaz integral integrali tarafından DU.

Özel karar DU (2) bu hukuki karardan belirli bir anlam çıkarmak için .

VP uzaktan kumandanın entegrasyonu.

Yüksek dereceli diferansiyel denklemler kural olarak kesin analitik yöntemlerle belirlenemez.

Görünüşe göre daha düşük bir sıraya izin veren ve karelemeye indirgenmiş benzer bir DUVP türü var. Seviye türlerini ve bunları azaltmanın yollarını sırayla tablolaştırıyoruz.

Daha düşük siparişlere izin veren DU VP

Tek bir fonksiyonun anlamları:

işlev
değişiklikten sonra aynı şekilde adlandırılır
yakscho


önemli fonksiyon alanının herhangi bir noktasında
;

- tekdüzelik sırası.

Örneğin, fonksiyon 2. dereceden homojendir
, Tobto.

popo 1:

Uzaktan kumandanız için en iyi çözümü bulun
.

DU 3. emir, dışarıda değil, açıkça intikam almayın
. Denklemi art arda üç kez entegre ediyoruz.

,

- uzaktan kumanda için eksiksiz çözüm.

popo 2:

Uzaktan kumanda için Cauchy sorununu doğrulayın
en

.

Farklı bir düzenin DU'su, dışarıda değil, açıkça intikam almayın .

ikame
Ve yürüyor
Uzaktan kumandanın sırasını bir azaltın.

. Birinci dereceden kontrol sistemini, yani Bernoulli'nin sadakatini ortadan kaldırdılar. En iyi dengeyi sağlamak için Bernoulli ikamesini kullanırız:

,

Ve bunu karşılaştırabiliriz.

Bu aşamada Koshy'nin görevi muhtemelen eşitler için olacaktır
:
.

- su ile güçlendirilmiş değişikliklerle birinci dereceden bir ilişki.

Kalan gayret koçanın zihinlerine verilmiştir:

kanıt:
- Cauchy'nin sorununa koçanın aklını memnun edecek bir çözüm.

Popo 3:

Virishity DU.

- 2. dereceden DE, harici olarak değil, bariz değişikliğin yerini almaz ve bu nedenle ek ikame veya yardımıyla sırayla bir azalmaya izin verir veya
.

kıskançlık reddedilir
(Hadi gidelim
).

- 1. derece kontrol üniteleri alternatif olanlardan ayrılmıştır. Bunları ayıralım.

- uzaktan kumandanın uzaktan entegresi.

popo 4:

Virishity DU.

Rivnyannya
Kesin konularda bir rekabet var. verimli,
.

Sol ve sağ tarafları entegre edelim, yani.
veya Değişkenlerden 1. derece DE'yi kaldırdık, yani.
- uzaktan kumandanın uzaktan entegresi.

Örnek5:

Cauchy sorununu doğrulayın
en.

DU 4. sıra, dışarıda değil, açıkça intikam almayın
. Karşılaştırmanın kesin durumlarda olduğunu belirttikten sonra reddediyoruz
ya da başka
,
. Cob Kilisesindeki Yedekler:
. uzaktan kumanda çıkarılabilir
3. dereceden ilk görünüm (böl. Tablo). Üç kez entegre edelim ve cilt entegrasyonundan sonra koçanı beynini seviyeye tanıtacağız:

kanıt:
- çıkış uzaktan kumanda kutusu sorununun çözülmesi.

popo 6:

Kıskançlığı açığa çıkarın.

- DU 2. derece, dış, cömertçe intikam tekdüzeliği
. ikame
rekabet sırasını düşürün. Kimin için kıskançlığı yüzeye çıkaralım
, Çıkış ilişkisinin rahatsız edici kısımlarını ayırmak . Fonksiyonu farklılaştırıyorum P:

.

bazlarla
і
uzaktan kumandada:
. Değişkenlerle 1. dereceden karşılaştırma.

Vrahovoyuchi okulu
, Uzaktan kumanda da reddedilebilir
- Çıkış uzaktan kumandasına daha kapsamlı bir çözüm.

En yüksek mertebeden doğrusal diferansiyel seviyeler teorisi.

Temel terminoloji.

- NLDU - sıralı, de - herhangi bir zamanda kesintisiz işlevler.

Buna uzaktan kumanda süreklilik aralığı (3) denir.

Üçüncü dereceden (zihinsel) diferansiyel operatör tanıtıldı

Bu fonksiyon etkinleştirildiğinde iptal edilir

Yani lineer kontrol sisteminin sol kısmıdır.

LDU'nun yazılabildiği halefi

Operatörün doğrusal yetkisi
:

1) - katkı gücü

2)
- sayı - tekdüzeliğin gücü

Bu işlevler otoritelerin işlevlerine benzer olduğundan otoriteler kolayca doğrulanabilir (benzerlerin nihai miktarı benzerlerin nihai miktarına eşittir; sabit çarpan sonuncunun işareti olarak alınabilir).

O.
- hat operatörü.

LDU için Cauchy sorununun çözümünün beslenmesine ve birliğine bakalım
.

İzin verilen LDU shodo
: ,
, - kesintisiz aralık.

Fonksiyon bölgede günlük olarak kesintisiz olarak devam etmektedir.
bölgede kesintisiz

Ayrıca Kosha LDU'nun (3) görevinin çözülebileceği ve ancak bir nokta seçildikten sonra uzanabileceği birlik alanı
, Argümanların diğer tüm anlamları
işlevler
Mutlu olabilirsiniz kardeşlerim.

OLDU'nun Zagalna teorisi.

- kesintisiz aralık.

OLDU'nun ana yetkilileri:

1. Yaratıcılığın gücü

(
- OLDU (4) tarihli karar)
(
- OLDU (4) kararı).

Tarafından getirildi:

- OLDU (4) hakkındaki karar

- OLDU (4) hakkındaki karar

Daha sonra

2. Tekdüzeliğin gücü

(- OLDU (4) hakkındaki karar) (
(- sayısal alan))

- OLDU (4) hakkındaki karar.

Benzer şekilde yapılacaktır.

Toplama ve homojenlik kuvvetlerine denir doğrusal otoriteler OLDU (4).

soruşturma:

(
- OLDU (4) kararı) (

- OLDU (4) kararı).

3. (- OLDU'nun (4) karmaşık değerli çözümü) (
- OLDU'nun (4) dava edilebilir ve önemli kararları).

Tarafından getirildi:

OLDU (4)'ün çözümü açıksa, o zaman onu eşitlere yerleştirirken kimlikleri geri yüklenir, yani.
.

Operatörün doğrusallığından dolayı kalan eşitliğin sol kısmı şu şekilde yazılabilir:
.

Bu şu anlama geliyor: OLDU'nun (4) dava edilebilir-anlamlı kararı.

OLDU'nun yaklaşan hükümet kararları kavramlarla bağlantılıdır " doğrusal konum”.

Fonksiyonların son sisteminin doğrusal konumunun önemi

Bir fonksiyonlar sistemine doğrusal bağımlı denir, görünüşe göre önemsiz olmayan numaraları çevirmek
öyle ki doğrusal kombinasyon
işlev
Bu sayılar da sıfıra eşittir, yani.
.n, bu yanlış. teorem kanıtlandı. diferansiyel RivnyannyaEn büyükemirler(4 yıl...

Birincil diferansiyel eşitlikler bağımsız değişken, bilinmeyen değişim fonksiyonunu ve farklı derecelerdeki farkı (veya diferansiyelleri) birbirine bağlayan eşitleme olarak adlandırılır.

Diferansiyel karşılaştırma sırası Yenisinde gerçekleşecek olan kıdemli yürüyüş düzeni çağrıldı.

Ayrıca özel olanlarla farklı eşitlikler de vardır. Amaç bağımsız değişiklikleri, bu değişikliklerin bilinmeyen işlevini ve özel faaliyetlerini aynı değişikliklere bağlamaktır. Ale sadece bakacağız birincil diferansiyel eşitlikler Bu nedenle, basitlik adına “acil durum” kelimesini atlayacağız.

Diferansiyel ölçümleri uygulayın:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Rivnyannya (1) – dördüncü derece, Rivnyannya (2) – üçüncü derece, Rivnyannya (3) ve (4) – başka bir derece, Rivnyannya (5) – birinci derece.

diferansiyel eşitleme Nİkinci sırada net bir işlev yerleştirme zorunluluğu yoktur, ilkinden sonuna kadar hepsi benzerdir. N- sıra ve bağımsız değişim. Hiç kimse, değiştirilemeyecek bir işlev olan gerekli operasyonel prosedürlere açıkça sahip olamaz.

Örneğin, denklem (1)'de açıkça benzer üçüncü ve diğer mertebelerin yanı sıra işlevler yoktur; sıra (2) - farklı bir düzen ve işlevde yürümek; rivnyanna'da (4) - bağımsız değişim; sıralamada (5) - işlevler. Yalnızca eşit (3)'te açıkça aynı işlevler vardır ve işlev değişmeye tabi değildir.

Diferansiyel hizalamaya ilişkin kararlar her fonksiyon çağrılır y = f(x), Eşit olarak değiştirildiğinde aynı olur.

Diferansiyel hizalamaya çözüm bulma sürecine denir entegrasyon.

Popo 1. Diferansiyel denklemin çözümünü bulun.

Karar. Töreni görüşte yazalım. Çözüm aynı fonksiyona dayanmaktadır. İntegral sayısından görülebileceği gibi koçanı fonksiyonu birincildir, yani.

Bu ben є bu diferansiyel denklemin çözümü . Yeni Olarak Değiştirmek C, Karar farklılıklarını çözeceğiz. Birinci dereceden diferansiyel eşitlemenin kişisel olmayan bir kararının olduğunu anladık.

Diferansiyel hizalama için özel çözümler N Bu karar, bilinmeyen bir işlev ve intikamla açıkça ifade edilen bir sırayla çağrılmıştır. N bağımsız, memnun, sabit, yani.

Uygulama 1'deki diferansiyel hizalamanın çözümü dolaylıdır.

Diferansiyel eşitlemenin özel kararları Buna belirli sayısal değerlerin oldukça sabit olmasının beklendiği çözüm denir.

Popo 2. Diferansiyel eşitleme ve gizlilik çözümleri için daha fazla çözüm öğrenin .

Karar. Denklemin sorunlu kısımlarını diferansiyel denklemin önceki sırası ile aynı sayıda entegre edelim.

,

.

Sonuç olarak, gizli bir karar almamız reddedildi -

Bu diferansiyel denklem üçüncü derecedendir.

Artık kararı en iyi beyinlerle özel olarak biliyoruz. Değerleri için yeterli katsayıları ikame edip reddetmenin mümkün olduğu durumlar

.

Diferansiyel hizalamaya ek olarak zihnin koçanı görünüşte verilirse, bu göreve denir. Koshy'nin hazinelerine . Resmi karar, değerlerin girilmesi ve değerlerin yeterli düzeyde bulunmasıdır. C, Daha sonra değer bulunduğunda karar özel olarak verilir. C. Cauchy'nin sorununun çözümü bu.

Popo 3. Diferansiyel denklem için Cauchy problemini dip 1'i aklınızda tutarak tamamlayın.

Karar. Koçanı zihninden kararlaştırılan öneme sahip arka bahçede duruyor sen = 3, X= 1. Takıntılı

Bu birinci dereceden diferansiyel denklem için Cauchy probleminin çözümünü yazıyoruz:

Yüksek diferansiyel düzeylerde, en basit durumlarda, karmaşık fonksiyonlar da dahil olmak üzere benzer fonksiyonların entegrasyonu ve kullanılması konusunda iyi beceriler gereklidir. Bu, dipçiğin üzerinde görülebilir.

Popo 4. Diferansiyel hizalama için daha ayrıntılı çözümler öğrenin.

Karar. Saygı öyle bir biçimde yazılmıştır ki, rahatsız edici kısımları hemen entegre etmek mümkündür.

.

Entegrasyon yöntemi, değişkenin değiştirilmesi (ikame) yoluyla oluşturulur. Hadi öyleyse.

almaya ihtiyacım var dx Ve şimdi - saygı gösterin - bir katlama fonksiyonunun türev alma kurallarına uymamaya dikkat ediyoruz, çünkü Xі є katlama işlevi ("elma" - vityag) kare kök aksi takdirde aynı olanlar “tek arkadaş” seviyesine indirgenir ve kökte “kıyma” olur):

İntegrali biliyoruz:

Değişene kadar geri dönüyorum X, Ottrimo:

.

Bu, ilk aşamadaki bu diferansiyel seviyeye tam bir çözümdür.

Diferansiyel denklemlerin çözümünde sadece yüksek matematiğin ileri dallarından yeni başlayanlara değil, aynı zamanda ilkokul veya okul matematiğinden yeni başlayanlara da ihtiyaç duyulacaktır. Daha önce de söylendiği gibi, bir diferansiyel denklemde herhangi bir sırada bağımsız bir değişken olmayabilir, o halde bir değişken olabilir. X. Bu sorunun çözülmesine yardımcı olmak için, okuldaki oranlar hakkındaki bilgiyi (sahip olanlar için) unutmayın. Çok saldırgan bir kıç.

Homojen bir üçüncü dereceden diferansiyel denklem sistemine bakalım

Burada x (t), y (t), z (t), (a, b) aralığına ait fonksiyonlardır ve ij (i, j = 1, 2, 3) konuşma sayılarıdır.

Çıkış sistemini matris formunda yazalım.
,
de

Çıkış sisteminin çözümü şakalaşacak
,
de , C 1, C 2, C 3 - daha sabit.

Temel çözüm sistemini bilmek için karakteristik denklem olarak adlandırılan denklemi belirlemek gerekir.

Tören cebirsel seviyeüçüncü dereceden, yani 3 kök var. Olası saldırılar ne zaman gerçekleşir:

1. Kök (güç anlamları) etkili ve farklı.

2. Orta kökler (güçlü anlamlar) karmaşık bir şekilde bağlantılıdır, unutmayalım
- aktif kök
=

3. Kök (güçlü anlam) eylemi. Köklerden biri çokludur.

Bu tür bölümlerle nasıl başa çıkacağımızı anlamak için şunlara ihtiyacımız var:
Teorem 1.
İkili olarak farklı güç değerli matris A ve ilgili güç vektörleri olsun. Daha sonra

Temel bir sistem kurun ve çıkış sistemine bir çözüm bulun.

Saygı .
Etkin güçlü matris A (karakteristik eşitlemenin etkin kökü), karşılık gelen güç vektörü olsun.
= - A matrisinin karmaşık güç değerleri, - sonuç - güç vektörü. Daha sonra

(Yeniden aktif kısım, Im - bariz)
Temel bir sistem kurun ve çıkış sistemine bir çözüm bulun. (Tobto i = bir kerede baktım)

Teorem 3.
Nehai, karakteristik çokluk seviyesi 2'nin köküdür. Bu durumda çıktı sisteminin akılda 2 doğrusal bağımsız çözümü vardır.
,
de, - sabit vektörler. Çokluk 3 olduğuna göre akılda doğrusal olarak bağımsız 3 çözüm vardır
.
Vektörler, (*) ve (**) çözümlerinin çıktı sisteminde değiştirilmesiyle bulunur.
(*) ve (**) biçiminde bir çözüm bulma yöntemini daha iyi anlamak için aşağıdaki çeşitli tipik uygulamalara bakın.

Şimdi açıklanan bölümlerdeki cilde daha yakından bakalım.

1. Karakteristik denklemlerin farklı aktif köklerinde üçüncü dereceden diferansiyel denklemlerin homojen sistemlerini çözmek için algoritma.
sistem verildiğinde

1) Karakteristik bir seviye vardır

- 9kök dininin aktif ve farklı güç anlamları).
2) Yapacağız, evet

3) Yapacağız, evet
- A matrisinin kuvvet vektörü, sistemin çözümü olduğunu gösterir

4) Yapacağız, evet
- A matrisinin kuvvet vektörü, sistemin çözümü olduğunu gösterir

5)

Temel bir çözüm sistemi oluşturun. Daha sonra çıktı sisteminin gizli çözümünü forma yazıyoruz.
,
burada C 1, C 2, C 3 - oldukça sabit,
,
veya koordinat görünümünde

Bir grup izmaritlere bir göz atalım:
Popo 1.




2) Bilinen


3) Bilinen


4) Vektör fonksiyonları



veya koordinat gösteriminde

Popo 2.

1) Şekillendirilebilir ve çıkarılabilir özellikler:

2) Bilinen


3) Bilinen


4) Bilinen


5) Vektör fonksiyonları

temel sistemi kurar. Gizli karar görünebilir

veya koordinat gösteriminde

2. Farklı karmaşık türetilmiş karakteristik denklem köklerinde üçüncü dereceden diferansiyel denklemlerin homojen sistemlerini çözmek için algoritma.


- aktif kök,

2) Yapacağız, evet

3) Yapacağız

- A matrisinin sistemi karşıladığını gösteren güç vektörü

Burada Yeniden aktif kısım
Ben - bir kısmı açık
4) temel bir çözüm sistemi oluşturun. Daha sonra çıktı sisteminin gizli çözümünü yazıyoruz:
, de
Z 1, Z 2, Z 3 daha kalıcıdır.

Popo 1.

1) Şekillendirilebilir ve sökülebilir özellikler

2) Yapacağız

3) Yapacağız
, de

İlk seviye 2 kısaltılır. Daha sonra diğer seviyeye ilkini 2i ile çarparak ekleriz ve üçüncü seviyeden 2 ile çarparak Perov'u ekleriz.

uzak

Oh iyi,

4) - temel çözüm sistemi. Çıkış sisteminin son çözümünü yazalım:

Popo 2.

1) Bileşik ve ayrılabilir karakteristik düzeyi


2) Yapacağız

(Bir kerede baktığımız şey budur), nerede

Diğer değer (1-i) ile çarpılıp 2 azaltılır.


Oh iyi,

3)
Çıkış sisteminin perde arkası çözümü

ya da başka

2. Karakteristik denklemin köklerinin katlarında üçüncü dereceden homojen diferansiyel denklem sistemlerini çözmek için algoritma.
Şekillendirilebilir ve dokunulamayan özellikler

İki olası senaryo vardır:

Şimdi aşağıdakilere bir göz atalım: a) 1), de

- A matrisinin sistemi karşıladığını gösteren güç vektörü

2) Teorem 3'e dayanarak, formda doğrusal olarak bağımsız iki çözüm olduğu sonucu çıkar.
,
de, - sabit vektörler. Onları alalım.
3) - temel çözüm sistemi. Daha sonra çıktı sisteminin gizli çözümünü yazıyoruz:

Şimdi b) noktasına bir göz atalım:
1) Formda doğrusal olarak bağımsız üç çözüm olduğunu ima eden Teorem 3'e dayanarak
,
de,, - sabit vektörler. Onları alalım.
2) - temel çözüm sistemi. Daha sonra çıkış sisteminin temel çözümünü kaydediyoruz.

Sorunun (*) nasıl çözüleceğini daha iyi anlamak için bir dizi tipik uygulamaya bakalım.

Popo 1.

Karakteristik denklem katlanabilir ve elle tutulamaz:

Yazık oldu a)
1) Yapacağız
, de

Başka bir seviyeden ilk olarak şunları görebiliriz:

? Üçüncü sıra diğerine benzer ve bükülebilir. Öncelikle birbirimize şunu not ediyoruz:

2) = 1 (2'nin katı)
T.3'e göre bu kökün doğrusal olarak bağımsız iki çözümü olabilir.
Çözülmüş gibi görünen tüm doğrusal bağımsız çözümleri bulmaya çalışalım
.
Böyle bir vektör ancak = 1'i gösteren bir kuvvet vektörü ise çözülecektir, o zaman
, veya
, Diğer ve üçüncü satırlar birinciye benzer, onları atıyoruz.

Sistem tek seviyeye indirildi. Mesela iki büyük bilinmeyen var. 1, 0 değerleriyle başlayalım; o zaman değerler 0, 1'dir. Aşağıdaki kararlar reddedilebilir:
.
Oh iyi, .
3) - temel çözüm sistemi. Çıkış sisteminin gizli çözümünü yazmayı unuttum:
. .. Bu şekilde bu sistemde Trafo Merkezleri X 3 şeklinde olmanın tek bir çözümü vardır: Üçüncü sıra yükseltilmiştir (biri diğerine benzer). Sistem ne olursa olsun çılgın (çözüm olabilir). z = 1 olsun.
ya da başka

Kimin için gereklidir:

; (5.22)

. (5.23)

Kalan sonuç Umova'yı 3> 0 verir. Umova Δ 2> 0, 0> 0, a 1> 0 ve a 3> 0, yalnızca 2> 0 ile sonuçlanabilir.

Ancak üçüncü derece kıskançlık için karakteristik kıskançlığın tüm katsayılarının pozitifliği artık yeterli değildir. Ayrıca a 1 a 2 > a 0 a 3 katsayıları arasında bir şarkı ilişkisi kurmak da gereklidir.

4. Dördüncü sıraya saygı

Delikli bir madde gibi ortadan kaldırılabilir, böylece dördüncü mertebeye eşit olması için tüm katsayıların pozitifliğine ek olarak izin de akıllara getirilmesi gerekir.

Hurwitz kriterleri de dahil olmak üzere çok az sayıda cebirsel kriter vardır ve en kısa sürede yüksek dereceli seviyeler için otomat sisteminin uygun düzenlemesinde kararlı veya kararsız olanlar hakkında kanıt elde etmek mümkündür. Sistem kararsız olduğunda, kriter onu kararlı hale getirmek için sistem parametrelerini değiştirme ihtiyacına dair kanıt sağlamaz. Bu durum mühendislik uygulamalarında daha yararlı olabilecek başka kriterlerin aranmasına yol açmıştır.

5.3. Mikhailov'un dayanıklılık kriteri

Bir karakteristik polinom olan karakteristik çizgisinin (5.7) sol tarafına bakalım.

Bu polinomdaki ikameler tamamen açık değerlerdir p = j, burada , karakteristik çözümün tamamen açık köküne benzer titreşimlerin kesme frekansını temsil eder. Bu bakımdan karakteristik kompleksi reddediyoruz.

de konuşma kısmı gerçekleşecek arkadaşlar frekans adımı

ve açıktır - eşleştirilmemiş frekans adımı

e

Küçük 5.4. Mihaylov'un hodografı

Uygulamada, Mikhailov eğrisi noktalarda olacaktır ve farklı frekans değerleri i, formüller (5.28), (5.29) kullanılarak belirtilir ve U () ve V () ile hesaplanır. Kırılımların sonuçları tabloda özetlenmiştir. 5.1.

Tablo 5.1

Pobudova eğrisi Mihailov

Bu tablo eğrinin kendisini gösterecektir (Şekil 5.4).

Frekansı sıfırdan sonsuza değiştirirken D (j) vektörünün dönüşünün neden gerekli olduğu önemlidir. Bu amaçla türün karakteristik polinomunu yazalım.

de  1 - n - karakteristik değerin kökü.

Karakteristik vektör daha sonra basit biçimde temsil edilebilir:

Kemerin derisi karmaşık bir sayıdır. Ayrıca D (j) çarpımdır Karışık sayılar. Çarpma işleminde karmaşık sayıların bağımsız değişkenleri eklenir. Bu nedenle, D (j) vektörünün ortaya çıkan dönüşü, frekans sıfırdan sonsuza değiştiğinde bitişik eklemlerin (5.31) dönüş dönüşlerinin toplamına eşit olacaktır.

(5.31) okremoda deri dodanok anlamlıdır. Başlamak için bir göz atalım farklı görünümler Koreniv.

1. Herhangi bir kök olsun, örneğin  1, є sözlü ve olumsuz , Yani 1 = - 1. (5.31) ifadesindeki çarpan, matime viglyad ( 1 + j) kökü ile gösterilir. Frekans sıfırdan sonsuza değiştiğinde karmaşık düzlemde bu vektörün bir hodografı olacaktır (Şekil 5.5, A). Ön = 0 konuşma kısmı U =  1 ve hayali V = 0. Bu, eylem ekseninde yer alan A noktasıyla gösterilir. Daha önce olduğu gibi, vektör o kadar değişecek ki maddi kısmı 'ya eşit olacak ve V =  (grafikteki B noktası) olacaktır. Frekans tutarsızlık noktasına yükseldiğinde, vektör tutarsızlığa girer ve vektörün ucu tüm saat boyunca A noktasından geçen dikey düz çizgi üzerinde kalır ve vektör yıl okunun tersi yönde döner.

Küçük 5.5. konuşma kökü

 1 = + ( / 2) vektörünün sonuçtaki dönüşü.

2. Şimdi rootlayalım  1 є sözlü ve olumlu , Yani  1 = +  1 . Bu, (5.31)'deki aynı çarpandır ve matime vilyad (- 1 + j) kökü ile gösterilir. Benzer rutinler (Şekil 5.5, B) Sonuçta ortaya çıkan dönüşün  1 = - ( / 2) olacağını gösterin. Eksi işareti, vektörün yıl okunun arkasında döndüğünü gösterir.

3. İki bağlı kök verin, örneğin  2 і 3, є olumsuz eylem kısmı içeren karmaşık , Yani 2; 3 = - ± j. Benzer şekilde (5.31) ifadesindeki bu kenarlarla gösterilen karşılıklar da (-j + j) ( + j + j) şeklinde olacaktır.

 = 0'da, iki vektörün koçanı konumları A 1 ve A 2 noktalarıyla gösterilir (Şekil 5.6, A). İlk vektör, yıldönümü okunun arkasındaki eylem ekseni boyunca arktg'ye ( / ) eşit yöne döndürülmeli ve diğer vektör, yıldönümü okunun karşısındaki aynı yolda döndürülmelidir. Sıfırdan tutarsızlığa doğru adım adım artışla her iki vektörün uçları tutarsızlığa doğru gider ve aralarındaki vektörler bariz bir ağırlığa kızar.

Birinci vektörün dönüşünün sonuçtaki kesimi  2 = ( / 2) + 'dir. Başka bir vektörün sonuçtaki dönüşü 3 = ( / 2) -. Yaratılışa karşılık gelen vektör (-j + j) ( + j + j) 2 +  3 = 2 / 2 =  açısı kadar döner.

Küçük 5.6. karmaşık kökler

4. Bırak gitsin karmaşık kökler konuşmanın olumlu bir bölümünü oluşturabilir , Yani 2; 3 = +  ± j.

Egzersizin gerçekleştirilmesi daha önce tartışılana benzer (Şekil 5.6, B), Ortaya çıkan dönme köşesini kaldırıyoruz 2 +  3 = -2 / 2 = -.

Bu şekilde karakteristik değer, aktif kısmı pozitif olan köklerin anası olacağından, kök (konuşma veya karmaşık) ne olursa olsun, -f ( /) kelimesi dönüş toplamına benzer olacaktır. 2). Ve geri kalan her şey (n - f), dönüşlerin toplamını, seviye + (n - f) ( / 2) gösterecek olan negatif konuşma parçaları olabilecek karakteristik seviyenin köküdür. Sonuç olarak, frekansı sıfırdan formül (5.32)'nin arkasındaki tutarsızlığa değiştirirken D (j) vektörünün dönüş yönünün ters yönü aşağıdaki gibi olacaktır:

 = (n - f) ( / 2) -f ( / 2) = n ( / 2) -f . (5.33)

Bu ifade, Mikhailov eğrisinin şekli ile karakteristik yapay elmasın köklerinin konuşma bölümlerinin işaretleri arasındaki bağlantıyı gösterir. 1936'da A.V. Mihaylov, herhangi bir düzeydeki doğrusal sistemler için gelişmiş bir kararlılık kriteri formüle etti.

N'inci dereceden bir sistemin kararlılığı için D (j) vektörünün olması gerekli ve yeterlidir.  ), değiştirirken Mikhailov eğrisini tanımlayan  sıfırdan sonsuza köşede  = N (  / 2).

Bu formül doğrudan (5.33)'ten gelir. Sistemin kararlılığı için tüm köklerin sol düzlemde olması gerekir. Yıldız, vektörün gerekli sonuçtaki dönüşünü gösterir.

Mihaylov'un direniş kriteri şu şekilde formüle edilmiştir: Doğrusal ACS'nin kararlılığı için, Mikhailov hodografının, frekansı sıfırdan sonsuza değiştirirken pozitif bir yüzeyde başlaması ve karmaşık alanın kare çubuklarını art arda sürükleyerek koordinatları sürüklememesi gerekli ve yeterlidir, sistemin karakteristik seviyesinin polinomu hangi mertebedendir?

Hakkında

Küçük 5.7. kalıcı ATS

Kararlı bir Mikhailov eğri sistemi için, karmaşık düzlemin n çeyreğini art arda geçirin.

Her üç tipte de bir direnç kordonunun varlığı, mevcut sıraya göre Mikhailov eğrisine göre belirlenebilir.

Bir direnç kordonu varsa birinci tip (Sıfır kök), n = 0 karakteristik polinomunun tam terimidir ve Mikhailov eğrisi koordinatlardan çıkar (Şekil 5.9, eğri 1)

Bir direniş kordonuyla farklı tip (Kolival geçiş stabilitesi) karakteristik denklemin sol kısmı, yani karakteristik polinom, p = j 0 yerine konulduğunda sıfıra gider

D (j 0) = X ( 0) + Y ( 0) = 0. (5.34)

Yıldızlar iki eşitlik gösterir: X ( 0) = 0; Y ( 0) = 0. Bu, Mikhailov eğrisindeki  =  0 noktasının koordinatlar kümesine battığı anlamına gelir (Şekil 5.9, eğri 2). Bu durumda  0 değeri sistemin sönümsüz titreşimlerinin frekansıdır.

Bir dayanıklılık kordonu için üçüncü tip (Bitmemiş kök) Mikhailov eğrisinin sonu (Şekil 5.9, eğri 3) bir çeyrekten diğerine sonsuzluk boyunca uzanır. Bu noktada karakteristik polinomun (5.7) katsayısı 0 sıfır değerlerinden geçerek işaretini artıdan eksiye çevirecektir.

Daha yüksek dereceli birincil diferansiyel denklemlerin (DE) ana türleri yeniden değerlendirilerek çözümlere olanak sağlandı. Gelişim yöntemlerini kısaca özetlemektedir. Belirtilen tarafa, ekleme ve izmarit ekleme yöntemlerini açıklayan bir raporla birlikte gönderilir.

Bölüm Ayrıca: Birinci dereceden diferansiyel eşitlikler
Birinci dereceden özel benzerliklerde doğrusal diferansiyel denklemler

Daha düşük siparişlere izin veren yüksek siparişlerin farklı seviyeleri

Kesintisiz entegrasyonlarla saygı duyulan rekabet

Buna farklı bir açıdan bakalım:
.
n kez entegre edilmiştir.
;
;
Ve benzeri. Yani sadece formülü kullanabilirsiniz:
.
Bölüm Herkesin saygı duyduğu farklı eşitlikler entegrasyon>>>

Görünüşte bayat etlerden intikam almak istemeyen Rivnyannya

İkame bire eşit daha düşük bir sıraya düşürülür. İşte görünüm işlevi.
Bölüm İşlevi açık biçimde yanlış yerleştirmemek için daha yüksek düzeylerdeki farklı düzeyler>>>

Rivnyannya, neden bariz görünüşte bağımsız x değişiminden intikam almıyorsunuz?

.
Fonksiyonun bu olması önemlidir. Daha sonra
.
Diğer yürüyüşler için de benzer. Sonuç olarak sıralama sırası bir azaltılır.
Bölüm Görünür görünümdeki değişikliğin yerini almamak için daha yüksek düzeylerdeki farklı düzeyler>>>

Rivnyannya, türünün tek örneği y, y ', y' ', ...

En yüksek düzeyde güven için bir değişiklik yapalım
,
işlevsiz video. Daha sonra
.
Aynısı aynı şekilde yapılabilir. Sonuç olarak sıralama sırası bir azaltılır.
Bölüm Daha yüksek derecelerin aynı fonksiyonları ve benzer diferansiyel seviyeleri >>>

Daha yüksek derecelerin doğrusal diferansiyel seviyeleri

Hadi bir bakalım n'inci dereceden doğrusal homojen diferansiyel denklem:
(1) ,
de - bağımsız bir değişken olarak işlev görür. Doğrusal olarak bağımsız kararların alınmasına izin vermeyin. Todi zagaliy roz'yazok rіvnyanya (1) şöyle görünebilir:
(2) ,
de - daha kalıcı. Fonksiyonların kendisi temel çözüm sistemini uygular.
Temel sistem çözümü n'inci dereceden doğrusal homojen denklem - bu denklemin n doğrusal bağımsız kararlarının sayısı.

Hadi bir bakalım n'inci dereceden doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklem:
.
Bu ilişkinin kararı (olsa bile) özel olsun. O zaman gizli karar şöyle görünür:
,
aynı seviyedeki de - zagalne çözümü (1).

Sabit katsayılı ve bunlara indirgenen doğrusal diferansiyel denklemler

Sabit katsayılarla doğrusal homojen karşılaştırma

Beklendiği üzere:
(3) .
İşte aktif sayılar. Bu sistemin altında yatan çözümü bilmek için, temel kararlar sistemine katkıda bulunan doğrusal olarak bağımsız kararları bilmemiz gerekir. Daha sonra gizli çözüm formül (2) ile belirlenir:
(2) .

Karar ufukta görünüyor. reddedildi karakteristik olarak kıskanç:
(4) .

Törenin gerektirdiği gibi farklı kökler O zaman temel sistem şöyle görünür:
.

Nasıl acı çekilir karmaşık kök
,
daha sonra kökün karmaşık bir örgüsüne gelir. Bu ikisi temel olarak karmaşık çözümler yerine temel sistemin içinde yer alan çözümleri temsil etmektedir.

kökün katlarıçokluklar doğrusal olarak bağımsız çözümleri gösterir:.

Çoklu karmaşık köklerÇokluklar ve bunların karmaşık biçimde ilişkili değerleri, doğrusal olarak bağımsız kararlar önerir:
.

Özel bir heterojen parçaya sahip doğrusal heterojen çizgiler

Hadi bir bakalım akıl kıskançlığı
,
de - adımların polinomları s 1 dır-dir 2 ; - sakince.

Şu anda aynı denkleme (3) daha karmaşık bir çözüm arıyoruz. Kıskançlık olarak nitelendirilen şey nedir? (4) intikam alma, Sonra görünümden daha özel bir karar buluyoruz:
,
de
;
;
s - çoğu s ile 1 dır-dir 2 .

Kıskançlık olarak nitelendirilen şey nedir? (4) bir kök varçokluk, o zaman görünümden daha özel bir çözüm buluruz:
.

Bundan sonra gizli karar alınır:
.

Sabit katsayılarla doğrusal heterojen karşılaştırma

Bunu başarmanın üç olası yolu vardır.

1) Bernoulli yöntemi.
En başından beri sıfırdan itibaren aynı seviyedeki çözümün olup olmadığını biliyoruz.
.
O zaman değişiklik üzerinde çalışalım
,
de - değiştirilebilir x olarak işlev görür. u'dan x'e doğru yalnızca aynı sonuçları yerleştirmek amacıyla u için net bir diferansiyel denklem vardır. Değiştirmeyi sonlandırarak n seviyesini kaldırabiliriz. - 1 - birinci derece.

2) Basit ikame yöntemini kullanmanın sonucu.
hadi bir ikame oluşturalım
,
de - karakteristik rіvnyannya'nın köklerinden biri (4). Sonuç olarak sabit dereceli katsayılara sahip doğrusal heterojen bir ilişki ortadan kaldırılmıştır. Böyle bir oyuncu değişikliğini sürekli olarak durdurarak, seviyeyi birinci dereceden seviyeye getireceğiz.

3) Lagrange'ın sabit sabitlerin değişimi yöntemi.
Bu yöntem aynı düzeyde geçerliliğe sahiptir (3). Bu karar şuna benzer:
(2) .
Kalıcı fonksiyonların x değişkenine tabi olması da önemlidir. Yani nihai karar şuna benzer:
,
de - bilinmeyen işlevler. Çıktıdaki eşitlikleri ikame ederek ve takas işlemlerinin üzerine bindirerek, işlev türünü bilebileceğiniz eşitlikleri açıkça görebiliriz.

Euler'in Rivne'si

Değiştirme yoluyla sabit katsayılı doğrusal bir denkleme indirgenebilir:
.
Ancak Euler problemini çözmek için böyle bir ikame yapılmasına gerek yoktur. Görünüm olarak aynı seviyedeki çözümleri hemen arayabilirsiniz
.
Sonuç olarak, değişken katsayıların değiştirilmesinin gerekli olduğu sabit katsayılarla eşitlemeyle ilgili aynı kurallar terk edilir.

Wikoristan edebiyatı:
V.V. Stepanov, Diferansiyel çalışmalar kursu, “LKV”, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Büyük Matematik Kitapları Koleksiyonu, “Lan”, 2003.