Адамс – англійський астроном та математик XIX століття, який багато займався небесною механікою. При вивченні траєкторій планет йому доводилося чисельно інтегрувати рівняння їх руху. Бажаючи мінімізувати обсяг обчислень, Адамс розробив один із найбільш економічних методів чисельного розв'язання диференціальних рівнянь, до обговорення якого ми тепер переходимо.

Нехай – вирішення диференціального рівняння. Для похідної цієї функції має місце рівність

Інтегруючи його між двома точками сітки, отримаємо співвідношення

.

Ми не можемо використовувати це співвідношення безпосередньо для переходу в процесі вирішення задачі від -ой точки сітки до
-ой, оскільки функція
нам не відома. Щоб зробити наступний крок, потрібно приблизно замінити цю функцію на таку функцію, яку можна обчислити. Опишемо, як ця проблема вирішується у методі Адамса.

Нехай у процесі чисельного розв'язання задачі ми довели розрахунок до точки . В результаті проведених розрахунків нам виявилися відомими величини і
,
. Візьмемо деяке фіксоване ціле число
та побудуємо інтерполяційний багаточлен
-ого ступеня, що приймає в точках ,
значення

,
.

Його можна записати за формулою Лагранжа

,

де
спеціальні багаточлени виду

які ми вже розглядали у третьому розділі.

Головна ідея методу Адамса полягає в тому, щоб для розрахунку
використовувати формулу типу, приблизно замінюючи в ній функцію
на інтерполяційний багаточлен
, складений відповідно до результатів попередніх обчислень. Це призводить до рекурентної формули

,

.

Розглянемо докладніше цю схему чисельного розв'язання задачі Коші у найпростіших випадках
і
коли технічні труднощі не закривають прозору ідею методу. При
для апроксимації функції
використовується поліном нульового ступеня, тобто постійна

.

І тут формула перетворюється на рекурентну формулу методу Эйлера

,

забезпечує перший порядок точності. Такий результат сам собою тривіальний. Ми привели його лише для того, щоб показати, що для методу Адамса, як і для методу Рунґе-Кутта, вихідною точкою є схема Ейлера.

Перейдемо до вивчення варіанта
. У цьому випадку для апроксимації функції
використовується поліном першого ступеня, побудований за значеннями функції у двох точках
і
:

Підставляючи його у формулу та проводячи інтегрування, отримаємо

.

Зазначимо наступну особливістьрекурентної формули. Для розрахунку чергового значення сіткової функції
потрібно знати її значення у двох попередніх точках і
. Таким чином, формула починає працювати лише з другої точки. Обчислити за нею не можна. Це значення розв'язання різницевої задачі доводиться обчислювати якимось іншим методом, наприклад методом Рунге-Кутта.

Рекурентну формулу можна записати у вигляді різницевого рівняння

.

Підрахуємо для нього похибку апроксимації диференціального рівняння

Припустимо, що функція
має в області, що цікавить нас, зміни аргументів безперервні другі похідні, так що рішення задачі
тричі безперервно диференційовано. Запишемо розкладання Тейлора

Підставляючи їх у формулу, отримаємо

.

Звідси можна написати оцінку

,

де
- постійна, що мажорує третю похідну функції
:

,
.

Ми бачимо, що різницеве ​​рівняння методу Адамса, що відповідає нагоді
, апроксимує диференціальне рівняння з другим порядком точності щодо . Як і у випадку методу Рунге-Кутта, це забезпечує другий порядок точності для похибки рішення
при припущенні, що значення , Яке розраховується нестандартно, обчислено з другим порядком точності.

Процес побудови точніших схем можна продовжити за рахунок збільшення
. При
виходить схема третього порядку точності, при
- четвертого тощо. Схема четвертого порядку, як і в методі Рунге-Кутта, є найбільш уживаною, тому ми коротко зупинимося на її висновку та обговоренні.

Якщо написати інтерполяційний поліном третього ступеня
на сітці з чотирьох точок ,
,
,
і провести інтегрування, то рекурентна формула набуде вигляду:

Наведемо ще одну форму запису цієї формули через так звані кінцеві різниці

Перша, друга та третя різниці наближено відповідають першій, другій та третій похідній функції
. Еквівалентність формул і легко перевірити безпосередньо. Формула іноді зручніша для організації обчислювального процесу та контролю точності.

Особливість методу Адамса проявляється у формулі ще сильніше, ніж у формулі. Тут для розрахунку чергового значення
потрібно знати значення у чотирьох попередніх точках - ,
,
,
. Таким чином, формула починає працювати лише з четвертої точки. Обчислити за нею ,,не можна. Ці значення розв'язання різницевої задачі доводиться розраховувати іншим методом, наприклад методом Рунге-Кутта.

Перейдемо до обговорення точності схеми. Якщо функція
має безперервні четверті похідні за своїми аргументами в області, що нас цікавить, їх зміни, так що вирішення завдання
п'ять разів безперервно диференційовано, то різницеве ​​рівняння апроксимує диференціальне рівняння з четвертим порядком точності щодо . Доказ цього твердження проводиться так само, як і для схеми другого порядку, тільки тепер у розкладах типу слід утримувати більше членів. Четвертий порядок точності при апроксимації рівняння забезпечує четвертий порядок точності для похибки розв'язання
при припущенні, що початкові значення для методу Адамса ,,обчислені з такою самою точністю. Вони розраховуються незалежно і при цьому важливо, щоб початковий етап обчислювального процесу не вніс такої похибки, яка спотворить усі наступні результати.

Завдання 5.

Побудувати рішення задачі Коші, на відрізку
з кроком
за схемою Адамса другого та четвертого порядку. Порівняти результати розрахунків між собою, з результатами розрахунків за схемою Рунге-Кутта та з аналітичним рішенням задачі.

Результати розрахунків наведено у четвертому та п'ятому стовпцях таблиці 2. Відповідно до завдання, потрібно порівнювати четвертий стовпець з другим та шостим, а п'ятий – з третім та шостим. Нагадаємо, що в шостому стовпці наведено аналітичне рішення (53) завдання, так що порівняння з ним дозволяє судити про точність наближеного рішення за схемою Рунге-Кутта і схемою Адамса.

Розрахунок за схемою Адамса другого порядку точності починається з , четвертого - з . Значення у четвертому стовпці, ,,у п'ятому стовпці розраховувалися за схемою Рунге-Кутта відповідного порядку, у таблиці вони виявляються однаковими з відповідними даними другого і третього стовпців. Порівняння результатів проведених розрахунків двома методами з аналітичним рішенням завдання показує, що їхня точність приблизно однакова.

Порівняємо схеми четвертого порядку точності методі Рунге-Кутта і Адамса з погляду організації обчислювального процесу. Щоб зробити один крок методом Рунге-Кутта, необхідно обчислити функцію
чотири рази, а в методі Адамса лише один раз. У трьох попередніх точках функція
була вже обчислена на попередніх кроках і обчислювати її знову не потрібно. У цьому полягає головна перевага методу Адамса, яке особливо високо цінувалося докомп'ютерну еру.

Головний недолік методу Адамса ми вже зазначали: за його застосуванні перші кроки доводиться робити з допомогою іншого методу, наприклад, з допомогою методу Рунге-Кутта і після цього можна перейти до розрахунку за схемою Адамса. Таким чином, програма розв'язання задачі Коші за методом Адамса повинна включати як елемент програму методу Рунге-Кутта для розрахунку початковій стадіїобчислювального процесу.

З цією особливістю методу Адамса пов'язана ще одна проблема. При чисельному інтегруванні диференціального рівняння часто доводиться змінювати крок . У методі Рунге-Кутта це не складно, оскільки кожен крок робиться незалежно від попереднього. У методі Адамса ситуація інша. Тут потрібно або спочатку програмувати складні формули розрахунку зі змінним кроком, або після кожної зміни кроку заново проводити розрахунок перших трьох точок за методом Рунге-Кутта. Тільки після цього можна переходити на стандартний рахунок методом Адамса. Ці недоліки призводять до того, що сьогодні при комп'ютерних розрахунках перевага часто надається зручнішому методу Рунге-Кутта.

Метод Адамса

Нехай для завдання Коші знайдено будь-яким способом (наприклад, методом Ейлера або Рунге-Кутта) три послідовні значення шуканої функції

Обчислимо величини, .

Метод Адамса дозволяє знайти рішення задачі – функцію – у вигляді таблиці функцій. Продовження отриманої таблиці з чотирьох точок здійснюється за екстраполяційною формулою Адамса:

Потім уточнення проводиться за інтерполяційною формулою Адамса:

Метод Адамса легко поширюється на системи диференціальних рівнянь. Похибка методу Адамса має той самий порядок, як і метод Рунге-Кутта.

Застосування диференціальних рівнянь з малим параметром для вирішення нелінійних трансцендентних та алгебраїчних рівнянь

Нехай задана деяка безперервно-диференційована функція. Потрібно вирішити нелінійне чи трансцендентне рівняння виду

Зрівняння, що зустрічаються на практиці, не вдається вирішити прямими методами, тому для їх вирішення використовуються ітераційні методи. Усі ітераційні методи розв'язання трансцендентних та алгебраїчних рівнянь виду (31) можна розбити на дві групи:

дискретні схеми розв'язання.

безперервні схеми розв'язання.

Дискретні схеми рішення було розглянуто вище. Зауважимо, що основними недоліками перерахованих вище методів є:

залежність від початкових умов чи інтервалу знаходження кореня;

порівняно низька швидкість збіжності;

нічого не йдеться про правила переходу від кореня до кореня рівняння (31) у разі, якщо їх декілька.

При застосуванні безперервних схем для вирішення рівняння (31) процес знаходження коренів здійснюється шляхом розв'язання відповідного звичайного диференціального рівняння

Нехай визначена і монотонна і існує кінцева похідна. Завдання знаходження коренів рівняння (31), що є безперервним аналогом методу простих ітерацій, можна розглядати як межу при розв'язанні задачі Коші

якщо ця межа існує. Позначимо через розв'язання задачі Коші (33), - розв'язання рівняння (31). Тоді має бути тотожність. Вводячи позначення для відхилення та віднімаючи з (33) останнє рівняння маємо

Розкладаючи в ряд Тейлора в околиці точки зі збереженням лінійних членів і підставляючи отриманий вираз (34), отримуємо диференціальне рівняння в відхиленнях, рішення якого має вигляд

Бачимо, що умовою збіжності до кореня є вимога, тому що в цьому випадку при, і, отже. Вважаючи, що монотонна при, останнє рівняння можна поширити на всю область, що розглядається вище. Таким чином, умовою застосування безперервної схеми методу простих ітерацій (33) є

Безперервні схеми рішення мають більш високу швидкість збіжності і більш високу точність рішення в порівнянні з відповідними дискретними схемами. Але проблема залежності від початкових умов і відсутність правил переходу від кореня до кореня у разі коли рівняння (31) має більше одного рішення, залишається відкритою.

Як видно з диференціального рівняння (33) та рівняння (31) ліва частина останнього замінюється похідною. Ця заміна є грубим наближенням розв'язання задачі (33) до розв'язання задачі (31). Це тягне у себе як велику похибку при обчисленнях, до зниження швидкості розрахунків.

Перепишемо рівняння (31) у вигляді

де - Мінімальний параметр, .

Перехід від завдання (31) до задачі (37) теоретично обґрунтований, оскільки інтегральні криві, які є рішенням рівняння з малим параметром (37), проходять через усі рішення рівняння (31). Завдання знаходження коріння цього рівняння безперервним сингулярним аналогом методу простих ітерацій можна розглядати як межу при вирішенні задачі Коші виду

якщо ця межа існує.

Проводячи міркування, аналогічні міркуванням, наведеним вище, отримаємо, що рішення рівняння (37) у точці матиме вигляд:

При цьому, оскільки, умова збіжності (36) залишиться незмінною.

Отримана модифікація класичних схем рішення не залежить від початкових умов і мають більш високу точність рішення. Для доказу швидшої швидкості збіжності припустимо, що застосування ітераційних методів ніколи не дає точного рішення та вводимо точність рішення. Моменти знаходження рішень з точністю класичними та модифікованими методами позначимо як і. Використовуючи рішення (35) та (39), запишемо нерівності виду

Зі співвідношень видно, що і. Зіставляючи отримані значення і, бачимо, що, тобто. швидкість збіжності під час вирішення завдання модифікованими методами в раз вище, ніж класичними.

Нині методи Адамса одна із перспективних чисельних методів інтегрування на вирішення завдання Коші. Доведено, що при застосуванні багатокрокових чисельних методів Адамса для вирішення завдання Коші до 12 порядку зменшується область стійкості. За подальшого збільшення порядку область стійкості, і навіть точність методу зростає. Крім того, при однаковій точності для багатокрокових методів на одному кроці інтегрування потрібно менше обчислень правих частин диференціальних рівнянь, ніж методи Рунге-Кутти. До переваг методів Адамса відноситься і та обставина, що в них легко змінюється крок інтегрування та порядок методу.

На практиці широко використовуються два типи методів Адамса – явні та неявні. Явні методи відомі як методи Адамса-Бешфорту, неявні – як методи Адамса-Мултона.

Розглянемо застосування чисельних методів для вирішення задачі Коші

При розв'язанні задачі (2. 1) за допомогою однокрокових методів значення yn+1 залежить лише від інформації у попередній точці xn. Можна припустити, що можна досягти більшої точності, якщо використовувати інформацію про кілька попередніх точок xn, xn-1... xn-k. На цій ідеї засновані багатокрокові методи.

Більшість багатокрокових методів виникає з урахуванням наступного підходу. Якщо підставити рівняння (2. 1) точне рішення y (x) і проінтегрувати рівняння на відрізку , то отримаємо:

Замінюючи у формулі (2.2) функцію f(x, y(x)) інтерполяційним поліномом P(x), отримаємо наближений метод

Для того, щоб побудувати поліном P(x), припустимо, що yn, yn-1... yn-k – наближення до рішення у точках xn, xn-1... xn-k. Вважаємо, що вузли xi розташовані рівномірно з кроком h. Тоді fi=f(xi, yi), (i=n, n-1.. n-k) - є наближення до f(x, y(x)) у точках xn, xn-1... xn-k.

Як P(x) візьмемо інтерполяційний поліном ступеня, k який задовольняє умовам

Якщо проінтегрувати цей поліном явно, то отримаємо такий метод:

При k=0 поліном P (x) є константа, рівна fn, і формула (2. 4) перетворюється на звичайний метод Ейлера.

При k=1 поліном P (x) є лінійною функцією, що проходить через точки (xn-1, fn-1) та (xn, fn), тобто.

Інтегруючи цей поліном від xn до xn+1, отримаємо двокроковий метод

який використовує інформацію у двох точках xn та xn+1.

Якщо k=2, то P (x) являє собою квадратичний поліном, який інтерпрелює дані (xn-2, fn-2), (xn-1, fn-1) і (xn, fn). Можна показати, що відповідний метод має вигляд

Якщо k=3, то відповідний метод визначається формулою

При k=4 маємо

Зазначимо, що метод (2. 7) є трикроковим, (2. 8) – чотирикроковим та (2. 9) – п'ятикроковим. Формули (2. 6) – (2. 9) відомі як методи Адамса-Бешфорту. Метод (2. 6) має другий порядок точності, тому його називають методом Адамса-Бешфорт другого порядку. Аналогічно, методи (2. 7), (2. 8) та (2. 9) називаються відповідно методами Адамса-Бешфорту третього, четвертого та п'ятого порядків.

Продовжуючи цей процес, використовуючи все більшу кількість попередніх точок, а також інтерполяційний поліном вищого ступеня, отримаємо методи Адамса-Бешфорту як завгодно високого порядку.

Багатокрокові методи породжують труднощі, яких виникає при використанні однокрокових методів. Ці труднощі стають зрозумілими, якщо, наприклад, звернутися до Адамса-Бешфорту методів п'ятого порядку (2. 9).

У задачі (2. 1) задано початкове значення y0 але за n=0 для рахунку за формулою (2. 9) необхідна інформація в точках x-1, x-2, x-3, x-4, яка природно відсутня. Звичайний вихід із цієї ситуації полягає у використанні будь-якого однокрокового методу того ж порядку точності, наприклад методу Рунге-Кутти, доки не буде отримано достатньо значень для роботи багатокрокового методу. Або ж можна на першому кроці використовувати однокроковий метод, на другому - двокроковий і так далі, доки не будуть отримані всі стартові значення. При цьому суттєво, щоб ці стартові значення були обчислені з тим самим ступенем точності, з яким працюватиме остаточний метод. Оскільки стартові методи мають нижчий порядок точності, спочатку доводиться рахувати з меншим кроком та використовувати більше проміжних точок.

Виведення методів (2.6) - (2.9) засноване на заміні функції f(x, y) інтерполяційним поліномом P(x). Відомо, що має місце теорема, що доводить існування та єдиність інтерполяційного полінома. Якщо вузли x0, x1… xn різні, то будь-яких f0, f1… fn існує єдиний поліном P (x) ступеня не вище n такий, що P (xi) =fi, i=0, 1,.. n.

Хоча інтерполяційний поліном є єдиним, є кілька способів подання цього полінома. Найчастіше використовуються поліноми Лагранжа, але вони виявляються незручними, якщо до набору даних потрібно додати (або видалити з нього) який-небудь вузол. І тут є інше уявлення інтерполяційного полінома. Це уявлення Ньютона

Поліном Pn+1 (x) можна записати у вигляді

Подання інтерполяційного полінома як (2. 11) часом буває особливо корисним для практики.

Методи Адамса-Бешфорту використовують відомі значення у точках xn, xn-1... xn-k. При побудові полінома інтерполяційного можна використовувати і точки xn, xn, xn-1 ... xn-k. При цьому виникає клас неявних m-крокових методів, відомих як методи Адамса-Мултона.

Якщо k = 0, то P(x) - лінійна функція, що проходить через точки (xn, fn) та (xn+1, fn+1), і відповідний метод

є методом Адамса-Мултона другого порядку.

При k=1, 2, 3 отримуємо відповідні методи

третього, четвертого та п'ятого порядків апроксимації. Співвідношення (2. 12) - (2. 15) містять значення yn+1 неявно, тому для їх реалізації необхідно застосовувати ітераційні методи.

Насправді зазвичай вирішують безпосередньо рівнянь (2. 12) - (2. 15), а використовують спільно явну і неявну форми, що зумовлює методу прогнозу і корекції.

Наприклад, для методу Адамса другого порядку, використовуючи позначення де г - номер ітерації, маємо для г=1 наступну схему обчислень:

Цей процес називають методом PECE (P означає застосування прогнозуючої формули, С - застосування формули, що виправляє, Е - обчислення функції f). Можна скоротити процес обчислення, відкинувши останню формулу. Це призводить до так званого PEC методу.

Розглянемо другий метод розв'язання рівнянь (2. 12) - (2. 15). Формули (2. 12) - (2. 15) можна переписати як

де gn містить певні величини. Доведено, що якщо, де L - константа Ліпшиця, то існує єдине рішення рівняння (2. 17), яке можна отримати за допомогою ітераційного процесу

де – довільно.

Ітерації у виразі (2. 18) продовжуються до того часу, поки досягнуто збіжність. При цьому число обчислень функції f змінюється від точки до точки і може бути велике.

З іншого боку, якщо зменшити величину h, то збіжність може бути досягнута за фіксоване число ітерацій. Цей метод називається виправленням до збіжності.

На перший погляд може здатися, що явний багатокроковий метод є найпростішим з точки зору обчислень. Однак на практиці очевидні методи використовуються дуже рідко. Неявний метод Адамса-Мултона є точнішим, ніж явний метод Адамса-Бешфорту. Наприклад, обчислювальна схема для методу Адамса-Мултона 5-го порядку має такий вигляд:

Методи Адамса до п'ятого порядку включно можуть бути використані на вирішення звичайних диференціальних рівнянь, які потребують високого рівня точності.

Як і у випадку з методом Адамса-Бешфорту, при використанні методу Адамса-Мултона важливим питанням є питання вибору оптимального співвідношення кроку інтегрування та методу. Слід зазначити, що з створенні ефективних алгоритмів і програм збільшення порядку методу є кращим проти зменшенням кроку інтегрування.

Для вирішення складніших завдань необхідно застосовувати методи Адамса вищого порядку. У таблиці 2.1 наведено значення коефіцієнтів для методів Адамса. У першому рядку вказано порядок методу; у другій - значення коефіцієнтів Ck для відповідного порядку k; у наступних рядках - пари коефіцієнтів Bkj та Mkj для методів Адамса-Бешфорту та Адамса-Мултона відповідно. Тоді, з урахуванням даних таблиці 2. 14, коефіцієнти вj у виразі

для методу Адамса-Бешфорту k-го порядку можуть бути знайдені із співвідношення

а для методу Адамса-Мултона k-го порядку за аналогічною формулою

Формули для предикторно-коректорних методів Адамса з 6-го по 14-ий порядок мають такий вигляд:

• 6 порядок:
• 7 порядок:
• 8 порядок:
• 9 порядок:
• 10 порядок:
• 11 порядок:
• 12 порядок:
• 13 порядок:
• 14 порядок:
• 15 порядок:
• 16 порядок:

Формули, наведені вище, краще використовувати для практичного застосування рішення звичайних диференціальних рівнянь або систем диференціальних рівнянь першого порядку з постійним кроком інтегрування. Якщо у процесі вирішення рівняння крок інтегрування змінний, то методів Адамса існують спеціальні прийоми закладки нових початкових даних при зміні кроку інтегрування.

При S= 1 формула (6.16) набуде вигляду

Якщо Q= 2, отримаємо наступне обчислювальне правило:

Зазвичай, на практиці використовують екстраполяційну формулу (6.18), а потім коригують отримане значення за формулою (6.23). І якщо результат уточненого значення не перевищує допустиму похибку розрахунку, то крок Hвважається допустимим .

Для розрахунків на комп'ютері формули (6.18) та (6.23) у кінцево-різницевому вигляді незручні. З урахуванням (6.21) їх можна подати у вигляді

(6.24)

Наведені формули мають досить високу точність. Вони дають похибку порядку ~ Про(H4), але самі формули оцінки похибки досить складні. Приблизно похибку можна оцінити за правилом Рунґе.

Приклад 6.2.Розв'язати диференціальне рівняння на відрізку з початковою умовою Y(X= 0) = 1. Знайти методом Адамса (з корекцією) у точці X4 , У трьох перших точках знайти методом Рунге-Кутта, прийнявши крок .

Рішення. Значення функції у перших чотирьох точках візьмемо з табл. 6.1 (див. приклад у попередньому розділі). Тепер стало зрозуміло, навіщо ми зберігали значення першої похідної цих точках (див. формули (6.24)).

X4 = X3 + H= 0.15 + 0.05 = 0.2;

Щоб скоригувати отриманий результат, необхідно обчислити значення похідної у цій точці:

Тепер уточнимо значення за інтерполяційною формулою (а можна цього й не робити, тоді похибка методу буде більшою):

Оскільки як нове значення функції прийнято скориговане, то Обов'язковоСлід перерахувати значення похідної. У нашому випадку модуль різниці екстраполяційної та інтерполяційної формул менше ε , Що дозволяє продовжити обчислення з тим самим кроком.

Запитання для самоперевірки

· Сформулюйте завдання Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

· Що є рішенням диференціального рівняння: а) у вищій математиці; б) у прикладній математиці?

· Які методи диференціальних рівнянь називаються однокроковими, багатокроковими? Наведіть приклади.

· Порівняйте , отримані першому, другому кроці методами Ейлера, Рунге-Кутта і розкладанням у ряд Тейлора (трудомісткість, похибка…).

· Як оцінити похибку застосовуваного методу? Як її зменшити?

· Порівняйте однокрокові та багатокрокові методи розв'язання диференціальних рівнянь, вказавши переваги та недоліки перших та других.

· Що таке екстраполяційні та інтерполяційні методи (формули) Адамса?

· Чи можна застосовувати: а) тільки екстраполяційні методи Адамса,
б) лише інтерполяційні?

· Чи можна використовувати: а) багатокрокові методи без однокрокових;
б) однокрокові методи без багатокрокових?

· При вирішенні диференціального рівняння методом Адамса на 27-му кроці необхідно змінити крок. Як це зробити?

Перед нами все те ж завдання Коші

f (1) (t)=F(t, f(t)), a£ t£ b, f(a)=f a.

У однокрокових методах значення f(t k+1) визначалося лише інформацією у попередній точці t k. Можна підвищити точність рішення, якщо використовувати інформацію в кількох попередніх точках за її наявності. Так і чинять у методах, які називаються багатокроковими. З першого погляду на постановку завдання стає очевидним, що на момент старту t=t aє тільки одна початкова умова і, якщо ми збираємося працювати з двома, трьома чи чотирма попередніми точками, то не видно, як отримати другу, крім використання однокрокових методів. Так і роблять; "комплексний" алгоритм рішення може виглядати так:

на першому кроці однокроковим методом отримують другу точку, на другому отримують третю за допомогою двокрокового методу, на третьому - четверту за допомогою трикрокового методу і т.д., поки для основного методу, який передбачається використовувати, не набереться досить попередніх точок.

Інший варіант полягає в тому, що весь стартовий набір точок виходить за допомогою однокрокового методу, наприклад Рунге-Кутта четвертого порядку. Оскільки багатокрокові методи передбачаються точнішими, для стартового однокрокового методу використовують зазвичай більше проміжних точок, тобто. працюють із більш коротким кроком.

Багатокрокові алгоритми можна створити так. Враховуючи що

f(t k +1)=f(t k)+ ,

можна чисельно проінтегрувати що стоїть під знаком інтеграла праву частинуОДУ. Якщо використовувати метод прямокутників (інтерполяційний поліном для функції, що інтегрується – константа), отримаємо звичайний метод Ейлера. Якщо використовувати 2 точки та інтерполяційний поліном першого порядку

p(x)= ,

то інтегрування за методом трапецій від t kдо t k+1 дасть наступний алгоритм:

f(t k +1)=f(t k)+0.5h(3F k-F k -1).

Аналогічно для трьох точок будемо мати квадратичний інтерполюючий поліном за даними ( t k -2 , F k -2), (t k -1 , F k -1), (t k, F k) та інтегрування за методом Сімпсона дасть алгоритм:

f(t k +1)=f(t k)+ (23F k–16F k -1 +5F k -2).

Для 4-х точок поліном буде кубічним та його інтегрування дасть:

f(t k +1)=f(t k)+ (55F k–59F k -1 +37F k -2 –9F k -3).

В принципі ми могли б продовжувати так багато часу.

Наведені алгоритми звуться методів Адамса-Башфорту другого, третього і четвертого порядків.

Формально ми можемо під час побудови інтерполяційного полінома крім Nвже прорахованих точок використовувати і ще Rмайбутніх t k +1 , t k+2; у найпростішому випадку набір

t k +1 , t k, t k -1 ,…, t k -N .

У цьому породжується клас про методів Адамса-Моултона. У чотирикроковому варіанті він оперує з даними ( t k +1 , F k +1), (t k, F k), (t k -1 , F k -1), (t k -2 , F k-2) та його алгоритм:

f(t k +1)=f(t k)+ (9F k +1 +19F k–5F k -1 +F k -2).

Не можна, зрозуміло, вести розрахунок за відсутніми даними, тому алгоритми Адамса поєднують у послідовність алгоритмів Адамса-Башфорту та Адамса-Моултона, отримуючи при цьому так звані методи прогнозу та корекції. Наприклад, метод прогнозу та корекції четвертого порядку виглядає так: спочатку прогнозуємо за алгоритмом Адамса-Башфорту з використанням «минулих» точок.

f(t k +1)=f(t k)+ (55F k–59F k -1 +37F k -2 –9F k -3).

Потім обчислюємо наближене значення правої частини рівняння

F k +1 =F(t k +1 , f(t k +1).

І, нарешті, коригуємо f(t k+1) з використанням його наближеного значення

f(t k +1)=f(t k)+ (9F k +1 +19F k–5F k -1 +F k -2).

Найбільш ефективні з наявних комп'ютерних програм, що дозволяють користувачеві змінювати величину кроку та порядок методу, засновані на методах Адамса високого порядку (понад 10). Досвід експлуатації цих програм показує, що розбіжності у реалізації можуть надавати більш істотний вплив на точність, ніж розбіжності у внутрішніх властивостях самих методів.