Визначення та приклади евклідових просторів. Евклідові простори

Відповідне до такого векторного простору. У цій статті за вихідне буде взято першу ухвалу.

N (\displaystyle n)-мірний евклідовий простір позначається E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),)також часто використовується позначення (якщо з контексту ясно, що простір має евклідову структуру).

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

✪ 04 - Лінійна алгебра. Евклідовий простір

✪ Неевклідова геометрія. Частина перша.

✪ Неевклідова геометрія. Частина друга

✪ 01 - Лінійна алгебра. Лінійний (векторний) простір

✪ 8. Евклідові простори

Субтитри

Формальне визначення

Для визначення евклідового простору найпростіше взяти в якості основного поняття скалярного твору. Евклідово векторний простір визначається як кінцевий векторний простір над полем речових чисел, на векторах якого задана речовиннозначна функція (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),)що володіє наступними трьома властивостями:

Приклад евклідового простору - координатний простір R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),)що складається з усіляких кортежів речових чисел (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),)скалярний твір у якому визначається формулою (x, y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Довжини та кути

Заданого на евклідовому просторі скалярного твору достатньо для того, щоб запровадити геометричні поняття довжини та кута. Довжина вектора u (\displaystyle u)визначається як (u, u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))))і позначається | u | . (\displaystyle |u|.)Позитивна визначеність скалярного твору гарантує, що довжина ненульового вектора ненульова, а з білінійності випливає, що | a u | = | a | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,)тобто довжини пропорційних векторів є пропорційними.

Кут між векторами u (\displaystyle u)і v (\displaystyle v)визначається за формулою φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |). (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).)З теореми-косинусов випливає, що для двовимірного евклідового простору ( евклідовій площині) дане визначеннякута збігається зі звичайним. Ортогональні вектори, як і в тривимірному просторі, можна визначити як вектори, кут між якими дорівнює π 2 . (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

Нерівність Коші - Буняковського - Шварця та нерівність трикутника

У цьому вище визначенні кута залишилася одна прогалина: для того, щоб arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right))було визначено, необхідно, щоб виконувалася нерівність | (x, y) | x | | y | | ⩽ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.)Ця нерівність дійсно виконується в довільному евклідовому просторі, вона називається нерівністю Коші - Буняківського - Шварца . З цієї нерівності, у свою чергу, випливає нерівність трикутника : | u + v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.)Нерівність трикутника, разом з перерахованими вище властивостями довжини, означає, що довжина вектора є нормою на евклідовому векторному просторі, а функція d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|)задає на евклідовому просторі структуру метричного простору (ця функція називається евклідовою метрикою). Зокрема, відстань між елементами (точками) x (\displaystyle x)і y (\displaystyle y)координатного простору R n (\displaystyle \mathbb(R) ^(n))задається формулою d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf(x),\mathbf(y))=\|\mathbf(x) -\mathbf(y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Алгебраїчні властивості

Ортонормовані базиси

Сполучені простори та оператори

Будь-який вектор x (\displaystyle x)Евклідова простору задає лінійний функціонал x ∗ (\displaystyle x^(*))на цьому просторі, що визначається як x ∗ (y) = (x, y). (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).)Це зіставлення є ізоморфізмом між евклідовим простором і

Евклідовий простір

Т.А. Волкова, Т.П. Книш.

І КВАДРАТИЧНІ ФОРМИ

ЄВКЛІДОВИЙ ПРОСТІР

Санкт-Петербург

Рецензент: кандидат технічних наук, доцент Шкадова О.Р.

Евклідовий простір та квадратичні форми: конспект лекцій. - СПб.: СПГУВК, 2012 - с.

Конспект лекцій призначений для студентів другого курсу спрямування бакалавріату 010400.62 «Прикладна математика та інформатика» та першого курсу спрямування бакалавріату 090900.62 «Інформаційна безпека».

Посібник містить повний конспект лекцій з одного з розділів дисципліни «Геометрія та алгебра» для спрямування 010400.62 та дисципліни «Алгебра та геометрія» для спрямування 090900.62 Навчальний посібниквідповідає робочим програмам дисциплін, стандартам зазначених спеціальностей та може бути використано при підготовці до іспиту студентами та викладачами.

©Санкт-Петербурзький державний

університет водних комунікацій, 2012

Багато властивостей об'єктів, які у геометрії, тісно пов'язані з можливістю вимірювання довжин відрізків і кута між прямими. У лінійному просторі ми ще не можемо проводити такі вимірювання, внаслідок чого область застосування загальної теоріїлінійних просторів до геометрії та до ряду інших математичних дисциплін досить сильно звужується. Ця скрута, однак, може бути усунена, якщо ввести поняття скалярного твору двох векторів. А саме, нехай - лінійний -мірний дійсний простір. Поставимо у відповідність кожній парі векторів, дійсне число і назвемо це число скалярним творомвекторів і , якщо задовольняються такі вимоги:

1. (Комутативний закон).

3. для будь-якого дійсного.

4. для будь-якого ненульового вектора.

Скалярний твір є окремим випадком поняття числової функції двох векторних аргументів, Т. е. функції, значення якої суть числа. Ми можемо, отже, назвати скалярним твором таку числову функцію векторних аргументів, значення якої дійсні для будь-яких значень аргументів з і для якої задовольняються вимоги 1 - 4.

Дійсно лінійний простір, в якому визначено скалярний твір, називатиметься евклідовимі буде позначатись через .

Зазначимо, що в евклідовому просторі скалярний добуток нульового вектора на будь-який вектор дорівнює нулю: . Справді, , і з вимоги 3 . Вважаючи , отримуємо, що . Звідси, зокрема, .

1. Нехай - звичайне тривимірне простір геометричних векторів із загальним початком у точці. У аналітичної геометріїскалярним твором двох таких векторів називається дійсне число, що дорівнює , де − довжини векторів і , а − кут між векторами , , і доводиться, що цього числа задовольняються всі вимоги 1 − 4.

Таким чином, введене поняття скалярного твору є узагальненням поняття скалярного твору геометричних векторів.

2. Розглянемо простір – мірних рядків із дійсними координатами та поставимо у відповідність кожній парі та таких векторів-рядків дійсне число

Легко перевірити, що для цього числа задовольняються всі вимоги 1 − 4:

і аналогічно. Зрештою,

оскільки щонайменше одне з чисел при відмінно від нуля.

Ми бачимо звідси, що це число є скалярним твором векторів рядків і , а простір після того, як ми ввели такий скалярний твір, стає евклідовим.

3. Нехай - лінійний дійсний -мірний простір і деякий його базис. Поставимо у відповідність кожній парі векторів, дійсне число. Тоді простір перетвориться на евклідове, тобто число буде скалярним твором векторів і . Справді:

Можна навіть іншими способами перетворити наш простір на евклідове, наприклад, ми могли б поставити у відповідність парі векторів , дійсне число

і легко перевірити, що для такого числа задовольняються всі вимоги 1 - 4, що характеризують скалярний твір. Але оскільки тут (при тому ж базисі) ми визначили іншу числову функцію, то виходить інший евклідовий простір з іншим «вимірюванням».

4. Нарешті, звертаючись до того ж простору , розглянемо числову функцію , яка за , визначається рівністю . Ця функція не є скалярним твором, оскільки порушується вимога 4: при , вектор дорівнює , a . Тим самим тут не виходить евклідова простору.

Користуючись вимогами 2 та 3, що входять до визначення скалярного твору, легко отримати таку формулу:

де - дві довільні системи векторів. Звідси, зокрема, виходить при довільному базисі і для будь-якої пари векторів

де. Вираз у правій частині рівності (1) є багаточлен від і називається білінійною формоювід і (кожен її член є лінійним, тобто першого ступеня, як щодо , і щодо ). Білінійна форма називається симетричної, якщо кожного її коефіцієнта виконується умова симетрії . Таким чином, скалярний твір у довільному базисі виражається у вигляді білінійної симетричної форми від координат векторів , із дійсними коефіцієнтами. Але цього ще замало. А саме, вважаючи , отримуємо з рівності (1), що

Ще у школі всі учні знайомляться з поняттям «евклідова геометрія», основні тези якої сфокусовані навколо кількох аксіом, які спираються такі геометричні елементи, як точка, площина, пряма, руху. Всі вони в сукупності формують те, що вже давно відоме під терміном «евклідовий простір».

Евклідове якого базується на положенні про скалярне множення векторів, є окремим випадком лінійного (афінного) простору, яке задовольняє цілій низці вимог. По-перше, скалярний добуток векторів абсолютно симетричний, тобто вектор з координатами (x; y) у кількісному плані тотожний вектору з координатами (y; x), проте протилежний у напрямку.

По-друге, у разі, якщо виробляється скалярне твір вектора із собою, то результат цієї дії матиме позитивний характер. Єдиним винятком стане випадок, коли початкова і кінцева координата цього вектора дорівнює нулю: у цьому випадку і твір його з самим собою той самий буде дорівнює нулю.

По-третє, має місце дистрибутивність скалярного твору, тобто можливість розкладання однієї з його координат на суму двох значень, що не спричинить жодних змін у підсумковому результаті скалярного множення векторів. Нарешті, по-четверте, при множенні векторів на те саме їх скалярний твір також збільшиться в стільки ж разів.

У тому випадку, якщо виконуються всі ці чотири умови, ми можемо з упевненістю сказати, що перед нами евклідовий простір.

Евклідове простір з практичної точки зору можна охарактеризувати такими конкретними прикладами:

Найпростіший випадок - це наявність безлічі векторів із певним за основними законами геометрії скалярним твором.
Евклідово простір вийде і в тому випадку, якщо під векторами ми розумітимемо якусь кінцеву множину дійсних чисел із заданою формулою, яка описує їх скалярну суму або твір.
Окремим випадком евклідового простору слід визнати так званий нульовий простір, який виходить у тому випадку, якщо скалярна довжина обох векторів дорівнює нулю.

Евклідове простір має цілу низку специфічних властивостей. По-перше, скалярний множник можна виносити за дужки як від першого, так і від другого співмножника скалярного твору, результат від цього не зазнає жодних змін. По-друге, поряд з дистрибутивністю першого елемента скалярного твору діє і дистрибутивність другого елемента. Крім того, крім скалярної суми векторів, дистрибутивність має місце і у разі віднімання векторів. Нарешті, по-третє, при скалярному множенні вектора на нуль, результат також дорівнюватиме нулю.

Таким чином, евклідове простір - це найважливіше геометричне поняття, що використовується при вирішенні завдань із взаємним розташуванням векторів один щодо одного, для характеристики якого використовується таке поняття, як скалярне твір.

§3. Розмірність та базис векторного простору

Лінійна комбінація векторів

Тривіальна та нетривіальна лінійна комбінація

Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори

Властивості векторного простору, пов'язані з лінійною залежністю векторів

п-мірний векторний простір

Розмірність векторного простору

Розкладання вектора за базисом

§4. Перехід до нового базису

Матриця переходу від старого базису до нового

Координати вектора у новому базисі

§5. Евклідовий простір

Скалярний твір

Евклідовий простір

Довжина (норма) вектор

Властивості довжини вектора

Кут між векторами

Ортогональні вектори

Ортонормований базис

§ 3. Розмірність та базис векторного простору

Розглянемо деякий векторний простір (V, Å, ∘) над полем Р. Нехай – деякі елементи множини V, тобто. векторів.

Лінійною комбінацієювекторів називається будь-який вектор, що дорівнює сумі творів цих векторів на довільні елементи поля Р(тобто на скаляри):

Якщо всі скаляри дорівнюють нулю, то така лінійна комбінація називається тривіальною(найпростішої), і .

Якщо хоча б один скаляр відмінний від нуля, лінійна комбінація називається нетривіальною.

Вектори називаються лінійно незалежнимиякщо тільки тривіальна лінійна комбінація цих векторів дорівнює :

Вектори називаються лінійно залежнимиякщо існує хоча б одна нетривіальна лінійна комбінація цих векторів, рівна .

приклад. Розглянемо безліч впорядкованих наборів четвірок дійсних чисел – векторний простір над полем дійсних чисел. Завдання: з'ясувати, чи є вектори , і лінійно залежними.

Рішення.

Складемо лінійну комбінацію цих векторів: де - невідомі числа. Вимагаємо, щоб ця лінійна комбінація дорівнювала нульовому вектору: .

У цій рівності запишемо вектори у вигляді стовпців чисел:

Якщо знайдуться такі числа , у яких ця рівність виконується, і хоча одне з чисел однаково нулю, це нетривіальна лінійна комбінація і вектори лінійно залежні.

Виконаємо дії:

Таким чином, завдання зводиться до вирішення системи лінійних рівнянь:

Вирішуючи її, отримаємо:

Ранги розширеної та основної матриць системи рівні та менше числаНевідомі, отже, система має безліч рішень.

Нехай тоді і .

Отже, даних векторів існує нетривіальна лінійна комбінація, наприклад при , яка дорівнює нульовому вектору, отже, ці вектори лінійно залежні.

Зазначимо деякі властивості векторного простору, пов'язані з лінійною залежністю векторів:

1. Якщо вектори лінійно залежні, то хоча б один із них є лінійною комбінацією інших.

2. Якщо серед векторів є нульовий вектор, ці вектори лінійно залежні.

3. Якщо частина векторів є лінійно залежними, то всі ці вектори – лінійно залежні.

Векторний простір V називається п-мірним векторним просторомякщо в ньому знайдеться плінійно незалежних векторів, і будь-який набір ( п+ 1) вектори є лінійно залежними.

Число пназивається розмірністю векторного простору, і позначається dim(V)від англійського «dimension» – розмірність (вимір, розмір, розмір, величина, довжина тощо.).

Сукупність плінійно незалежних векторів п-мірного векторного простору називається базисом.

(*)

Теорема(Про розкладання вектора по базису): Кожен вектор векторного простору можна уявити (і до того ж єдиним чином) у вигляді лінійної комбінації векторів базису:

Формула (*) називається розкладання вектора по базису, а числа – координатами векторау цьому базисі .

У векторному просторі може бути більше одного або навіть безліч базисів. У кожному новому базисі той самий вектор матиме різні координати.

§ 4. Перехід до нового базису

У лінійній алгебрі часто виникає завдання знаходження координат вектора в новому базисі, якщо відомі його координати в старому базисі.

Розглянемо деяке п-вимірний векторний простір (V, +, ·) над полем Р. Нехай у цьому просторі є два базиси: старий та новий .

Завдання: знайти координати вектора у новому базисі.

Нехай вектори нового базису у старому базисі мають розкладання:

Випишемо координати векторів у матрицю не рядками, як вони записані в системі, а стовпцями:

Отримана матриця називається матрицею переходувід старого базису до нового.

Матриця переходу пов'язує координати будь-якого вектора у старому та новому базисі наступним співвідношенням:

де - Шукані координати вектора в новому базисі.

Таким чином, завдання знаходження координат вектора в новому базисі зводиться до розв'язання матричного рівняння: , де Х- матриця-стовпець координат вектора в старому базисі, А- матриця переходу від старого базису до нового, Х* - Шукана матриця-стовпець координат вектора в новому базисі. З матричного рівняння отримаємо:

Отже, координати вектора у новому базисіперебувають з рівності: