Лінії рівняння на площині. Аналітична геометрія

Найважливішим поняттям аналітичної геометрії є рівняння лінії на площині.

Визначення. Рівнянням лінії (кривої) на площині Oxyназивається рівняння, якому задовольняють координати xі yкожної точки даної лінії не задовольняють координати будь-якої точки, що не лежить на цій лінії (рис.1).

У загальному випадку рівняння лінії може бути записане у вигляді F(x,y)=0або y=f(x).

приклад.Знайти рівняння безлічі точок, рівновіддалених від точок А(-4;2), B(-2;-6).

Рішення.Якщо M(x;y)- Довільна точка шуканої лінії (рис.2), то маємо AM=BMабо

Після перетворень отримаємо

Очевидно, що це рівняння прямої MD– перпендикуляра, відновленого із середини відрізка AB.

Зі всіх ліній на площині особливе значення має пряма лінія. Вона є графіком лінійної функції, що використовується в лінійних економіко-математичних моделях, що найчастіше зустрічаються на практиці.

Різні види рівняння прямої:

1) з кутовим коефіцієнтом k та початковою ординатою b:

y = kx + b,

де – кут між прямим та позитивним напрямком осі ОХ(Рис. 3).

Особливі випадки:

- Пряма проходить через початок координат(Рис.4):

– бісектрисапершого та третього, другого та четвертого координатних кутів:

y=+x, y=-x;

- Пряма паралельна осі ОХі сама вісь ОХ(рис. 5):

y=b, y=0;

- Пряма паралельна осі OYі сама вісь ОY(Рис. 6):

x=a, x=0;

2) що проходить у цьому напрямку (З кутовим коефіцієнтом) k через цю точку (Мал. 7) :

Якщо у наведеному рівнянні k- довільне число, то рівняння визначає пучок прямих, що проходять через точку крім прямої , паралельної осі Ой.

прикладА(3,-2):

а) під кутом до осі ОХ;

б) паралельно осі OY.

Рішення.

а) , y-(-2)=-1(x-3)або y=-x+1;

б) х = 3.

3) проходить через дві дані точки (Рис. 8) :

приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки А(-5,4), В(3,-2).

Рішення. ,

4) рівняння прямої у відрізках (Рис.9):

де a, b –відрізки, що відсікаються на осях відповідно Oxі Ой.

приклад. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку А(2,-1)якщо ця пряма відсікає від позитивної півосі Ойвідрізок, удвічі більший, ніж від позитивної півосі Ox(Рис. 10).

Рішення. За умовою b=2aтоді. Підставимо координати точки А(2,-1):

Звідки a = 1,5.

Остаточно отримаємо:

Або y=-2x+3.

5) загальне рівняння прямої:

Ax+By+C=0,

де aі bне рівні одночасно нулю.

Деякі важливі характеристики прямих :

1) відстань d від точки до прямої:

2) кут між прямими та відповідно:

3) умова паралельності прямих:

або .

4) умова перпендикулярності прямих:

або .

Приклад 1. Скласти рівняння двох прямих, що проходять через точку А(5,1), одна з яких паралельна прямий 3x+2y-7=0, а інша перпендикулярна до тієї ж прямої. Знайти відстань між паралельними прямими.

Рішення. Малюнок 11.

1) рівняння паралельної прямої Ax+By+C=0:

з умови паралельності;

взявши коефіцієнт пропорційності, рівний 1, отримаємо А = 3, В = 2;

т.ч. 3x+2y+C=0;

значення Ззнайдемо, підставивши координати т.д. А(5,1),

3*5+2*1+C=0,звідки С=-17;

рівняння паралельної прямої – 3x+2y-17=0.

2) рівняння перпендикулярної прямоїз умови перпендикулярності матиме вигляд 2x-3y+C=0;

підставивши координати т. А(5,1), отримаємо 2*5-3*1+С=0, звідки С=-7;

рівняння перпендикулярної прямої – 2x-3y-7=0.

3) відстань між паралельними прямимиможна знайти як відстань від т.ч. А(5,1)до дано прямий 3x+2y-7=0:

Приклад 2. Дані рівняння сторін трикутника:

3x-4y+24=0 (AB), 4x+3y+32=0 (BC), 2x-y-4=0 (AC).

Скласти рівняння бісектриси кута АВС.

Рішення. Спочатку знайдемо координати вершини Утрикутника:

Звідки x=-8, y=0,тобто. В(-8,0)(рис. 12) .

За властивістю бісектриси відстані від кожної точки M(x, y), бісектриси BDдо сторін АВі НДрівні, тобто.

Отримуємо два рівняння

x+7y+8=0, 7x-y+56=0.

З малюнка 12 кутовий коефіцієнт прямий негативний (кут з Охтупий), отже, нам підходить перше рівняння x+7y+8=0або y=-1/7x-8/7.

Як відомо, будь-яка точка на площині визначається двома координатами в будь-якій системі координат. Системи координат можуть бути різними залежно від вибору базису та початку координат.

Визначення.Рівнянням лініїназивається співвідношення y = f(x) між координатами точок, що становлять цю лінію.

Зазначимо, що рівняння лінії може бути виражене параметричним способом, тобто кожна координата кожної точки виражається через певний незалежний параметр t.

Характерний приклад - траєкторія точки, що рухається. І тут роль параметра грає час.

Рівняння прямої на площині.

Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, не рівні нулю одночасно, тобто. А 2 + В 2 ¹ 0. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.

Залежно від значень постійних А,Ві З можливі такі окремі випадки:

C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – пряма проходить через початок координат

А = 0, В ? 0, З ? 0 ( By + C = 0) - пряма паралельна осі Ох

В = 0, А ? 0, З ? 0 (Ax + C = 0) - пряма паралельна осі Оу

В = С = 0, А ? 0 - пряма збігається з віссю Оу

А = С = 0, ¹ 0 – пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямої може бути представлене в різному виглядів залежності від будь-яких заданих початкових умов.

Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі.

Визначення. У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В) перпендикулярний до прямої, заданої рівнянням Ах + Ву + С = 0.

приклад.Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2) перпендикулярно до вектора (3, -1).

Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А.

Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже С = -1.

Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.

Рівняння пряме, що проходить через дві точки.

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2, y 2 , z 2), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:

Якщо якийсь із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник.

На площині записане вище рівняння прямої спрощується:

якщо х 1 х 2 і х = х 1, якщо 1 = х 2 .

Дроб = k називається кутовим коефіцієнтомпрямий.

приклад.Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).

Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.

Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0 привести до вигляду:

і позначити , то отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння прямої по точці та напрямному вектору.

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання прямої через точку і напрямний вектор прямої.

Визначення. Кожен ненульовий вектор (a 1 , a 2), компоненти якого задовольняють умові Аa 1 + Ва 2 = 0 називається напрямним вектором прямої

Ах + Ву + З = 0.

приклад.Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).

Рівняння шуканої прямої шукатимемо у вигляді: Ax + By + C = 0. Відповідно до визначення, коефіцієнти повинні задовольняти умови.

1 0 . Полярна система координат. Будемо говорити, що на площині введено полярну систему координат, якщо на ній вибрано точку O– полюс, промінь, що виходить із полюса O- Полярна вісь і масштабний відрізок.

Нехай M- довільна точка площини, що не збігається з полюсом O(Рис.3.4 хх). Першою полярною координатою точки M(полярним радіусом) називається відстань від точки Mдо полюса O. другою полярною координатою точки M(або амплітудою) називається кут від полярної осі (променя
) до променя OM. Для точки Oвважають
,- Довільне число.

З визначення полярних координат та їх геометричного сенсу випливає, що

Значення другої координати, що лежать у межах
називають головні значенням кута .

Зауваження. У полярній системі координат немає взаємно однозначної відповідності між точками площини та впорядкованою парою чисел ( ,):(,) відповідає єдина точка площини, але
відповідає безліч пар ( ,+
).

Задати точку Mу полярній системі координат означає задати два числа і :M(,).

Встановимо зв'язок між декартовими та полярними координатами (однієї і тієї ж) точки M.

Для цього введемо осі
і
як показано на рис.3.5 XX. Масштабний відрізок полярної системи
приймемо і за масштабний відрізок декартової системи
.

Нехай
- Декартові,
- Полярні координати деякої точки M. Тоді

і назад,

За формулами (3.2) переходять від полярних координат до декартових, (3.2') – від декартових координат до полярних.

2 0 . Поняття лінії та її рівняння.Поняття лінії є одним із найважчих понять математики. Загальне визначення лінії дається у топології (одному з розділів математики). Отримано було у двадцяті роки минулого століття радянським математиком П.С.Урисоном.

Тут ми не займатимемося визначенням лінії ; дамо лише визначення того, що називається рівнянням лінії .

Визначення 1. Рівнянням лінії (позначають ( L), або L– без дужок) у декартовій системі координат називається рівняння

, (3.3)

якому задовольняють координати
всіх точок
і лише координати таких точок (тобто координати точок, що не лежать на лінії L, не задовольняють (3.3) – не перетворюють його на тотожність).

Зокрема, рівняння лінії Lможе мати вигляд:

. (3.3’)

Визначення 2. Рівнянням лінії у полярній системі координат називається рівняння

, (3.4)

якому задовольняють полярні координати
всіх точок
і лише координати таких точок.

Зокрема, рівняння лінії Lу полярних координатах може мати вигляд:

. (3.4’)

Визначення 3. Параметричними рівняннями лінії Lу декартовій системі координат називаються рівняння виду

(3.5)

де функції
і
мають ту саму область визначення – проміжок T.
відповідає точка
аналізованої лінії Lі
відповідає деякому значенню
(тобто

таке, що
і
будуть координатами точки M).

Зауваження 1. Аналогічно визначаються параметричні рівняння лінії полярних координатах.

Зауваження 2. У курсі аналітичної геометрії (на площині) розглядаються дві основні задачі:

1) відомі геометричні властивості деякої лінії на площині; скласти її рівняння;

2) відоме рівняння лінії L; побудувати цю лінію, встановити її геометричні властивості.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Знайти рівняння кола Lрадіусу Rцентр якої знаходиться в точці
(Рис.3.6 хх).

Зауваження.Перш, ніж переходити до розв'язання задачі, зробимо зауваження (яке треба слідувати і надалі): розв'язання задачі на визначення геометричного місця точок починається з введення довільної (поточної) точки з координатами
цього геометричного місця.

Рішення. Нехай крапка
- Довільна точка кола L. За визначенням, коло є геометричним місцем точок, рівновіддалених від фіксованої точки – її центру: CM= R. За формулою (2.31) (у ній треба покласти
) знаходимо:

(3.6)

.- рівняння шуканого кола.

Якщо центр Злежить на початку координат, то
та рівняння

(3.6’)

є рівняння такого кола.

Приклад 2. Нехай крива Lзадана рівнянням:
. Побудувати цю криву; встановити, чи проходить вона через точку
? через точку
?

Рішення. Перетворимо ліву частину даного рівняння, виділивши в ній повні квадрати: або
– це рівняння визначає коло з центром у точці
радіусу
.

Координати точки
задовольняють рівняння кола: - точка Oлежить на колі; координати ж точки
не задовольняють рівняння кола.

Приклад 3. Знайти геометричне місце точок, що віддаляються від точки
удвічі далі, ніж від точки
.

Рішення. Нехай
– поточна точка (необхідного) геометричного місця. Тоді з умови завдання пишемо рівняння:.

Зведемо цю рівність у квадрат і перетворимо:

– потрібне місце є коло з центром у точці
та радіусом R=10.

Наведемо приклади визначення рівнянь ліній у полярної системі координат.

Приклад 4. Скласти рівняння кола радіусу Rз центром у полюсі O.

Рішення. Нехай
є довільна точка кола L(Рис.3.7 хх). Тоді
або

(3.7)

– цьому рівнянню задовольняють точки, що лежать на колі L, і не задовольняють точки, що не лежать на ній.

Приклад 5. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку
паралельно до полярної осі (рис.3.8 хх).

Рішення. З прямокутного трикутника OAMвипливає, що
– маємо рівняння прямої у полярній системі координат.

Зауваження. Рівняння прямої в декартовій системі координат:
; підставляючи
з (3.2), отримаємо
або
.

Приклад 6. Побудувати криву.

Рішення. Зауважимо, що крива симетрична щодо полярної осі:
=
=
=
. Тому якщо точка
, то й точка
.

Даємо полярному куту різні значення від =0 до =і визначаємо відповідні цим кутам значення . Запишемо це як таблиці 1.

Таблиця 1.

З точки Oпроводимо промені
,
,…,
,
і відкладаємо на них відрізки
,
,…,
,
. Через отримані точки
,
,…,
,
проводимо плавну лінію – отримаємо верхню половину кривої. Нижню добудовуємо симетричним відбитком верхньої щодо полярної осі.

Отримана замкнута крива (рис.3.9 хх) називається кардіоїдою (серцеподібною).

Приклад 7. Записати рівняння лінії
(рівнобічної гіперболи) у полярній системі координат.

Рішення. Замінюючи xі yза формулами (3.2), отримаємо, та
є рівняння заданої лінії полярної системі координат.

Приклад 8. Записати рівняння кривої
у прямокутній декартовій системі координат.

Рішення. Запишемо рівняння кривої у вигляді
. За формулами (3.2') перетворимо його на вигляд
; зводячи цю рівність у квадрат, після нескладних перетворень прийдемо до рівняння
- Ця крива називається параболою (див. нижче).

Приклад 9. Наведемо приклад на параметричне завдання кривої. Нехай дане коло радіусу Rз центром на початку координат і нехай
– декартові координатипоточної точки M:M
. Нехай, далі,
- Полярні координати тієї ж точки. За формулами (3.2) тоді

де параметр tприймає всі значення від 0 до
, є параметричне рівняння шуканого кола.

Якщо центр Зкола взято в точці з координатами
, те, як неважко показати, формули

дають параметричні рівняння відповідного кола.

Минулого матеріалу ми розглянули основні моменти, що стосуються теми прямої на площині. Тепер перейдемо до вивчення рівняння прямої: розглянемо, яке рівняння може називатися рівнянням прямої, і навіть те, який вигляд має рівняння прямої на площині.

Визначення рівняння прямої на площині

Допустимо, що є пряма лінія, яка задана у прямокутній декартовій системі координат O х у.

Визначення 1

Пряма лінія– це геометрична фігура, Що складається з точок. Кожна точка має свої координати по осях абсцис та ординат. Рівняння, яке описує залежність координат кожної точки прямої в декартовій системі O x y називається рівнянням прямої на площині.

Фактично рівняння прямої на площині – це рівняння з двома змінними, які позначаються як x та y . Рівняння перетворюється на тотожність при підстановці в нього значень будь-якої з точок прямої лінії.

Давайте подивимося, який вигляд матиме рівняння прямої на площині. Цьому буде присвячено весь наступний розділ статті. Зазначимо, що є кілька варіантів запису рівняння прямої. Пояснюється це наявністю кількох способів завдання прямої лінії на площині, а також різною специфікою завдань.

Познайомимося з теоремою, яка задає вигляд рівняння прямої лінії на площині декартової системи координат O x y .

Теорема 1

Рівняння виду A x + B y + C = 0 , де x і y – змінні, а А, В та C – це деякі дійсні числа, з яких A та B не дорівнюють нулю, задає пряму лінію в декартовій системі координат O x y . У свою чергу будь-яка пряма лінія на площині може бути задана рівнянням виду A x + B y + C = 0 .

Таким чином, загальне рівняння прямої на площині має вигляд A x + B y + C = 0 .

Пояснимо деякі важливі аспекти теми.

Приклад 1

Подивіться малюнок.

Лінія на кресленні визначається рівнянням виду 2 x + 3 y - 2 = 0 так як координати будь-якої точки, що становить цю пряму, задовольняють наведеному рівнянню. У той самий час, певну кількість точок площини, визначених рівнянням 2 x + 3 y - 2 = 0 , дають нам пряму лінію, що ми бачимо малюнку.

Загальне рівняння прямої може бути повним та неповним. У повному рівнянні усі числа А, В та C відмінні від нуля. У решті випадків рівняння вважається неповним. Рівняння виду A x + B y = 0 визначає пряму лінію, яка відбувається через початок координат. Якщо A дорівнює нулю, то рівняння A x + B y + C = 0 задає пряму, розташовану паралельно осі абсцис O x. Якщо B дорівнює нулю, лінія паралельна осі ординат O y .

Висновок: при деякому наборі значень чисел А, В і C за допомогою загального рівняння прямої можна записати будь-яку пряму лінію на площині прямокутної системи координат O х у.

Пряма, задана рівнянням виду A x + B y + C = 0 має нормальний вектор прямий з координатами A , B .

Усі наведені рівняння прямих, які ми розглянемо нижче, можуть бути отримані із загального рівняння прямої. Також можливий і зворотний процесколи будь-яке з розглянутих рівнянь може бути приведено до загального рівняння прямої.

Розібратися у всіх нюансах теми можна у статті «Загальне рівняння прямої». У матеріалі ми наводимо доказ теореми з графічними ілюстраціями та докладним розбором прикладів. Особлива увага у статті приділяється переходам від загального рівняння до рівнянь інших видів і назад.

Рівняння прямої у відрізках має вигляд x a + y b = 1 , де a та b – це деякі дійсні числа, які не дорівнюють нулю. Абсолютні величиничисел a та b рівні довжині відрізків, які відсікаються прямою лінією на осях координат. Довжина відрізків відраховується від початку координат.

Завдяки рівнянню можна легко збудувати пряму лінію на кресленні. Для цього необхідно відзначити у прямокутній системі координат точки a, 0 і 0, b, а потім з'єднати їх прямою лінією.

Приклад 2

Побудуємо пряму, задану формулою x 3 + y - 5 2 = 1 . Зазначаємо на графіку дві точки 3, 0, 0, - 5 2, з'єднуємо їх між собою.

Ці рівняння, що мають вигляд y = k · x + b, повинні бути нам добре відомі з курсу алгебри. Тут x і y – це змінні, k та b – це деякі дійсні числа, з яких k є кутовим коефіцієнтом. У цих рівняннях змінна у є функцією аргументу x.

Дамо визначення кутового коефіцієнта через визначення кута нахилу прямий до позитивного напрямку осі O x.

Визначення 2

Для позначення кута нахилу прямої до позитивного напрямку осі O x в системі декартової координат введемо величину кута α . Кут відраховується від позитивного спрямування осі абсцис до прямої лінії проти ходу годинникової стрілки. Кут α вважається рівним нулю у тому випадку, якщо лінія паралельна осі O x або збігається з нею.

Кутовий коефіцієнт прямої - це тангенс кута нахилу цієї прямої. Записується це так k = t g α . Для прямої, яка розташовується паралельно осі O y або збігається з нею, записати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом неможливо, так як кутовий коефіцієнт в цьому випадку перетворюється на нескінченність (не існує).

Пряма, яка задана рівнянням y = k · x + b проходить через точку 0, b на осі ординат. Це означає, що рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом y = k · x + b, задає на площині пряму лінію, яка проходить через точку 0, b і утворює кут з позитивним напрямком осі O x, причому k = t g α.

Приклад 3

Зобразимо пряму лінію, що визначається рівнянням виду y = 3 · x - 1.

Ця лінія повинна пройти через точку (0, - 1). Кут нахилу α = r c t g 3 = π 3 дорівнює 60 градусів до позитивного напрямку осі O x . Кутовий коефіцієнт дорівнює 3

Звертаємо вашу увагу, що за допомогою прямого рівняння з кутовим коефіцієнтом дуже зручно шукати рівняння дотичної до графіка функції в точці.

Більше матеріалу на тему можна знайти у статті «Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом». Крім теорії там розміщено велику кількість графічних прикладів і докладний розбірзадач.

Даний вид рівняння має вигляд x - x 1 a x = y - y 1 a y, де x 1, y 1, a x, a y - це деякі дійсні числа, з яких a x і a y не дорівнюють нулю.

Пряма лінія, задана канонічним рівнянням прямої, проходить через точку M 1 (x 1 y 1) . Числа a x і a y у знаменниках дробів є координатами напрямного вектора прямої лінії. Це означає, що канонічне рівняння прямої лінії x - x 1 ax = y - y 1 ay в декартовій системі координат O xy відповідає лінії, що проходить через точку M 1 (x 1 , y 1) і має напрямний вектор a → = (ax , ay).

Приклад 4

Зобразимо в системі координат O x y пряму лінію, яка задається рівнянням x - 23 = y - 31. Точка M 1 (2 , 3) належить прямий, вектор a → (3 , 1) є напрямним вектором цієї прямої лінії.

Канонічний рівняння прямої лінії виду x - x 1 a x = y - y 1 a y може бути використане у випадках, коли a x або a y дорівнює нулю. Наявність нуля у знаменнику робить запис x - x 1 a x = y - y 1 a y умовним. Рівняння можна записати так a y (x - x 1) = a x (y - y 1) .

У тому випадку, коли a x = 0 , канонічне рівняння прямої набуває вигляду x - x 1 0 = y - y 1 a y і задає пряму лінію, яка розташована паралельно осі ординат або збігається з цією віссю.

Канонічне рівняння прямої за умови, що a y = 0 приймає вигляд x - x 1 a x = y - y 1 0 . Таке рівняння задає пряму лінію, розташовану паралельно осі абсцис або збігається з нею.

Більше матеріалу на тему канонічного рівняння прямо дивіться тут. У статті ми наводимо низку розв'язків задач, а також численні приклади, які дозволяють краще опанувати тему.

Параметричні рівняння прямої на площині

Дані рівняння мають вигляд x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ де x 1 , y 1 , a x , a y - це деякі дійсні числа, з яких a x і a y не можуть бути одночасно рівні нулю. У формулу вводиться додатковий параметр , який може приймати будь-які дійсні значення.

Призначення параметричного рівняння в тому, щоб встановити неявну залежність між координатами точок прямої лінії. Для цього і вводиться параметр .

Числа x , y є координати деякої точки прямої. Вони обчислюються за параметричними рівняннями прямої при деякому дійсному значенні параметра .

Приклад 5

Припустимо, що = 0 .

Тоді x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1, тобто точка з координатами (x 1, y 1) належить прямий.

Звертаємо вашу увагу на те, що коефіцієнти a x і a y при параметрі в даному виді рівнянь являють собою координати напрямного вектора прямої лінії.

Приклад 6

Розглянемо параметричні рівняння прямої лінії виду x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ. Пряма, задана рівняннями, в системі декартової координат проходить через точку (x 1 , y 1) і має напрямний вектор a → = (3 , 1) .

Більше інформації шукайте у статті «Параметричні рівняння прямої на площині».

Нормальне рівняння прямої має вигляд, A x + B y + C = 0 де числа А, В, і C такі, що довжина вектора n → = (A , B) дорівнює одиниці, а C ≤ 0 .

Нормальним вектором лінії, заданої нормальним рівнянням прямої прямокутної системі координат O х у, є вектор n → = (A , B) . Ця пряма проходить на відстані C від початку координат у напрямку вектора n → = (A, B).

Ще одним варіантом запису нормального рівняння прямої лінії є cos α · x + cos β · y - p = 0 де cos α і cos β - це два дійсних числа, які являють собою напрямні косинуси нормального вектора прямої одиничної довжини. Це означає, що n → = (cos α , cos β) справедлива рівність n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 , величина p ≥ 0 і дорівнює відстані від початку координат до прямої.

Приклад 7

Розглянемо загальне рівняння прямої - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0. Це загальне рівняння прямої є нормальним рівнянням прямої, оскільки n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 і C = - 3 ≤ 0 .

Рівняння задає декартової системі координат 0ху пряму лінію, нормальний вектор якої має координати - 1 2 , 3 2 . Лінія віддалена від початку координат на 3 одиниці у напрямку нормального вектора n → = - 1 2, 3 2 .

Звертаємо вашу увагу на те, що нормальне рівняння прямої на площині дозволяє знаходити відстань від точки до прямої на площині.

Якщо в загальному рівнянніПрямий A x + B y + C = 0 числа А, В і С такі, що рівняння A x + B y + C = 0 не є нормальним рівнянням прямої, то його можна привести до нормального вигляду. Докладніше про це читайте у статті «Нормальне рівняння прямої».

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Визначення: Рівнянням лінії називається співвідношення y = f(x) між координатами точок, що становлять цю лінію.

Зазначимо, що рівняння лінії може бути виражене параметричним способом, тобто кожна координата кожної точки виражається через певний незалежний параметр t. Характерний приклад - траєкторія точки, що рухається. І тут роль параметра грає час.

Різні види рівняння прямої

Загальне рівняння прямої.

Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, не рівні нулю одночасно, тобто. А 2 + В 2 ¹ 0. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої .

Залежно від значень постійних А, В і С можливі такі окремі випадки:

C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – пряма проходить через початок координат

А = 0, В ? 0, З ? 0 ( By + C = 0) - пряма паралельна осі Ох

В = 0, А ? 0, З ? 0 (Ax + C = 0) - пряма паралельна осі Оу

В = С = 0, А ? 0 - пряма збігається з віссю Оу

А = С = 0, ¹ 0 – пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямий може бути представлене у різному вигляді залежно від якихось заданих початкових умов.

Рівняння пряме, що проходить через дві точки.

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2, y 2 , z 2), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:

Якщо якийсь із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник. На площині записане вище рівняння прямої спрощується:

якщо х 1 х 2 і х = х 1, якщо 1 = х 2 .

Дроб = k називається кутовим коефіцієнтом прямий.

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.

Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0 привести до вигляду:

і позначити , отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння прямої у відрізках.

Якщо у загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 1 0, то, розділивши на -С, отримаємо: або

Геометричний змісткоефіцієнтів у тому, що коефіцієнт ає координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b- Координацією точки перетину прямий з віссю Оу.

Нормальне рівняння прямої.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 розділити на число , яке називається множником, що нормує, то отримаємо

xcosj + ysinj - p = 0 -

нормальне рівняння прямої.

Знак ± множника, що нормує, треба вибирати так, щоб m×С< 0.

р - Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму, а j - кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямом осі Ох.

Кут між прямими на площині.

Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кут між цими прямими визначатиметься як

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2.

Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема. Прямі Ах + Ву + С = 0 і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 = 1А, 1 = 1В. Якщо ще й С1 = С, то прямі збігаються.

Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи двох рівнянь.

Відстань від точки до прямої.

Теорема. Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

Лекція 5

Введення у аналіз. Диференціальне обчислення функції однієї змінної.

МЕЖ ФУНКЦІЇ

Межа функції у точці.

0 a - D a a + D x

Малюнок 1. Межа функції у точці.

Нехай функція f(x) визначена в околиці точки х = а (тобто в самій точці х = а функція може бути і не визначена)

Визначення. Число А називається межею функції f(x) при х®а, якщо для будь-якого e>0 існує таке число D>0, що для всіх х таких, що

0 < ïx - aï < D

вірна нерівність ïf(x) - Aï< e.

Те саме визначення може бути записано в іншому вигляді:

Якщо а - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Запис межі функції у точці:

Визначення.

Якщо f(x) ® A 1 при х ® а лише за x< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a, називається межею функції f(x) у точці х = а справа.

Наведене вище визначення відноситься до випадку, коли функція f(x) не визначена в самій точці х = а, але визначена в деякій скільки завгодно малої околиці цієї точки.

Межі А 1 та А 2 називаються також односторонніми межами функції f(x) у точці х = а. Також кажуть, що А – кінцева межа функції f(x).