Тригонометрична форма комплексного числа
План
1.Геометричне зображення комплексних чисел.
2.Тригонометричний запис комплексних чисел.
3.Дії над комплексними числами у тригонометричній формі.
Геометричне зображення комплексних чисел.
а) Комплексні числа зображують точками площини за таким правилом: a + bi = M ( a ; b ) (Рис.1).
Малюнок 1
б) Комплексне число можна зобразити вектором, який має початок у точціПро і кінець у цій точці (рис.2).
Малюнок 2
Приклад 7. Побудуйте точки, що зображають комплексні числа:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Рис.3).
Малюнок 3
Тригонометричний запис комплексних чисел.
Комплексне числоz = a + bi можна задати за допомогою радіусу. з координатами( a ; b ) (Рис.4).
Малюнок 4
Визначення . Довжина вектора , що зображує комплексне числоz , називається модулем цього числа та позначається абоr .
Для будь-якого комплексного числаz його модульr = | z | визначається однозначно за формулою .
Визначення . Величина кута між позитивним напрямком дійсної осі та вектором , що зображує комплексне число, називається аргументом цього комплексного числа і позначаєтьсяА rg z абоφ .
Аргумент комплексного числаz = 0 не визначений. Аргумент комплексного числаz≠ 0 – величина багатозначна і визначається з точністю до доданку2πк (к = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πк , деarg z - Головне значення аргументу, укладене в проміжку(-π; π] , тобто-π < arg z ≤ π (Іноді як головне значення аргументу беруть величину, що належить проміжку .
Цю формулу приr =1 часто називають формулою Муавра:
(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n N .
Приклад 11. Обчисліть(1 + i ) 100 .
Запишемо комплексне число1 + i у тригонометричній формі.
a = 1, b = 1 .
cos φ = , sin φ = , φ = .
(1+i) 100 = [ (cos + i sin )] 100 = ( ) 100 (cos · 100 + i sin · 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .
4) Вилучення квадратного кореняіз комплексного числа.
При вилучення квадратного кореня з комплексного числаa + bi маємо два випадки:
якщоb
> про
, то 
;
Дії над комплексними числами, записаними в формі алгебри
Алгебраїчною формою комплексного числа z =(a,b).називається алгебраїчне вираз виду
z = a + bi.
Арифметичні операції над комплексними числами z 1 = a 1 + b 1 iі z 2 = a 2 + b 2 i, Записаними в формі алгебри, здійснюються наступним чином.
1. Сума (різниця) комплексних чисел
z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,
тобто. додавання (віднімання) здійснюються за правилом складання багаточленів з приведенням подібних членів.
2. Добуток комплексних чисел
z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i,
тобто. множення проводиться за звичайним правилом множення багаточленів, з урахуванням того, що i 2 = 1.
3. Розподіл двох комплексних чисел здійснюється за таким правилом:
, (z 2 ≠ 0),
тобто. розподіл здійснюється множенням ділимого та дільника на число, пов'язане дільнику.
Зведення до ступеня комплексних чисел визначається так:
Легко показати, що
приклади.
1. Знайти суму комплексних чисел z 1 = 2 – iі z 2 = – 4 + 3i.
z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.
2. Знайти добуток комплексних чисел z 1 = 2 – 3iі z 2 = –4 + 5i.
= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3i∙ 5i = 7+22i.
3. Знайти приватне zвід розподілу z 1 = 3 - 2на z 2 = 3 – i.
z = .
4. Розв'язати рівняння: , xі y Î R.
(2x + y) + (x + y)i = 2 + 3i.
В силу рівності комплексних чисел маємо:
звідки x =–1 , y= 4.
5. Обчислити: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .
6. Обчислити, якщо.
.
7. Обчислити число протилежне числу z=3-i.
Комплексні числа у тригонометричній формі
Комплексною площиноюназивається площину з декартовими координатами ( x, y), якщо кожній точці з координатами ( a, b) поставлено у відповідність комплексне число z = a + bi. При цьому вісь абсцис називається справжньою віссю, а вісь ординат - уявний. Тоді кожне комплексне число a + biгеометрично зображується на площині як точка A (a, b) або вектор.
Отже, положення точки А(і, отже, комплексного числа z) можна встановити довжиною вектора | | = rта кутом j, утвореним вектором | | із позитивним напрямком дійсної осі. Довжина вектора називається модулем комплексного числата позначається | z |=r, а кут jназивається аргументом комплексного числаі позначається j = arg z.
Зрозуміло, що | z| ³ 0 та | z | = 0 Û z = 0.
З рис. 2 видно, що .
Аргумент комплексного числа визначається неоднозначно, а з точністю до 2 pk, kÎ Z.
З рис. 2 видно також, що якщо z=a+biі j = arg z,то
cos j =, sin j =, tg j = .
Якщо zÎRі z > 0,то arg z = 0 +2pk;
якщо z ÎRі z< 0,то arg z = p + 2pk;
якщо z = 0,arg zне визначений.
Головне значення аргументу визначається на відрізку 0 £ arg z£ 2 p,
або -p£ arg z £ p.
Приклади:
1. Знайти модуль комплексних чисел z 1 = 4 – 3iі z 2 = –2–2i.
2. Визначити на комплексній площині області, що задаються умовами:
1) | z | = 5; 2) | z| £ 6; 3) | z – (2+i) | £ 3; 4) 6 £ | z – i| £ 7.
Рішення та відповіді:
1) | z| = 5 ¢ ¢ - рівняння кола радіусом 5 і з центром на початку координат.
2) Коло радіусом 6 з центром на початку координат.
3) Коло радіусом 3 з центром у точці z 0 = 2 + i.
4) Кільце, обмежене колами з радіусами 6 та 7 з центром у точці z 0 = i.
3. Знайти модуль та аргумент чисел: 1) ; 2).
1) ; а = 1, b = Þ 
,
j 1 = 
.
2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b =-2 Þ 
,
.
Вказівка: для визначення головного аргументу скористайтеся комплексною площиною.
Таким чином: z 1 = .
2) 
, r 2 =
1, j 2 = , 
.
3) 
, r 3 = 1, j 3 = , 
.
4) , r 4 = 1, j 4 = , 
.
КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА XI
§ 256. Тригонометрична форма комплексних чисел
Нехай комплексному числу а + bi відповідає вектор OA> з координатами ( а, b ) (див. рис. 332).
Позначимо довжину цього вектора через r , а кут, який він утворює з віссю х , через φ . За визначенням синуса та косинуса:
a / r = cos φ , b / r = sin φ .
Тому а = r cos φ , b = r sin φ . Але в такому разі комплексне число а + bi можна записати у вигляді:
а + bi = r cos φ + ir sin φ = r (cos φ + i sin φ ).
Як відомо, квадрат довжини будь-якого вектора дорівнює сумі квадратів координат. Тому r 2 = a 2 + b 2 , звідки r = √a 2 + b 2
Отже, будь-яке комплексне число а + bi можна уявити у вигляді :
а + bi = r (cos φ + i sin φ ), (1)
де r = √a 2 + b 2 , а кут φ визначається за умови:
Така форма запису комплексних чисел називається тригонометричної.
Число r у формулі (1) називається модулем, а кут φ - аргументом, комплексного числа а + bi .
Якщо комплексне число а + bi не дорівнює нулю, то модуль його позитивний; якщо ж а + bi = 0, то а = b = 0 і тоді r = 0.
Модуль будь-якого комплексного числа визначено однозначно.
Якщо комплексне число а + bi не дорівнює нулю, то аргумент визначається формулами (2) однозначноз точністю до кута, кратного 2 π . Якщо ж а + bi = 0, то а = b = 0. У цьому випадку r = 0. З формули (1) легко зрозуміти, що як аргумент φ в даному випадку можна вибрати будь-який кут: адже за будь-якого φ
0 (cos φ + i sin φ ) = 0.
Тому аргумент нуля не визначено.
Модуль комплексного числа r іноді позначають | z |, а аргумент arg z . Розглянемо кілька прикладів представлення комплексних чисел в тригонометричній формі.
приклад. 1. 1 + i .
Знайдемо модуль r та аргумент φ цього числа.
r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .
Отже, sin φ = 1 / √ 2 , cos φ = 1 / √ 2, звідки φ = π / 4 + 2nπ .
Таким чином,
1 + i = √ 2 ,
де п - будь-яке ціле число. Зазвичай з безлічі значень аргументу комплексного числа вибирають те, яке укладено між 0 і 2 π . В даному випадку таким значенням є π / 4 . Тому
1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i sin π / 4)
приклад 2.Записати у тригонометричній формі комплексне число √ 3 - i . Маємо:
r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2 , sin φ = - 1 / 2
Тому з точністю до кута, кратного 2 π , φ = 11 / 6 π ; отже,
√ 3 - i = 2 (cos 11/6 π + i sin 11 / 6 π ).
Приклад 3Записати у тригонометричній формі комплексне число i.
Комплексному числу i відповідає вектор OA> , що закінчується в точці А осі у з ординатою 1 (рис. 333). Довжина такого вектора дорівнює 1, а кут, який він утворює з віссю абсцис, дорівнює π / 2 . Тому
i = cos π / 2 + i sin π / 2 .
приклад 4.Записати у тригонометричній формі комплексне число 3.
Комплексному числу 3 відповідає вектор OA > х абсцисою 3 (рис. 334).
Довжина такого вектора дорівнює 3, а кут, який він утворює з віссю абсцис, дорівнює 0. Тому
3 = 3 (cos 0 + i sin 0),
Приклад 5.Записати у тригонометричній формі комплексне число -5.
Комплексному числу -5 відповідає вектор OA> , що закінчується в точці осі х з абсцисою -5 (рис. 335). Довжина такого вектора дорівнює 5, а кут, який він утворює з віссю абсцис, дорівнює π . Тому
5 = 5 (cos π + i sin π ).
Вправи
2047. Дані комплексні числа записати у тригонометричній формі, визначивши їх модулі та аргументи:
1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;
2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;
3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.
2048. Вказати на площині безлічі точок, що зображують комплексні числа, модулі г та аргументи ф яких задовольняють умовам:
1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;
2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;
3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,
10) 0 < φ < π / 2 .
2049. Чи можуть модулем комплексного числа одночасно бути числа r і - r ?
2050. Чи можуть аргументом комплексного числа одночасно бути кути φ і - φ ?
Дані комплексні числа подати у тригонометричній формі, визначивши їх модулі та аргументи:
2051*. 1 + cos α + i sin α . 2054*. 2(cos 20° - i sin 20 °).
2052*. sin φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i sin 15 °).
Розглянемо комплексне число, задане у звичайній (алгебраїчній) формі:
На Рис.3 зображено комплексне число z. Координати цього числа в системі декартової координат ( a, b). З визначення функцій sin та cos будь-якого кута, випливає:
Ця форма запису називається тригонометричноїформою запису комплексного числа.
Рівняння (2) зведемо у квадрат і складемо:
 .
|
 | (4) |
r−довжина радіус-вектора комплексного числа zназивається модулем комплексного числа та позначається | z|. Очевидно | z|≥0, причому | z|=0 і тоді, коли z=0.
Величина полярного кута точки, що відповідає комплексному числу z, тобто. кута φ , називається аргументом цього числа та позначається arg z. Зауважимо, що arg zмає сенс лише за z≠0. Аргумент комплексного числа 0 немає сенсу.
Аргумент комплексного числа визначено неоднозначно. Якщо φ аргумент комплексного числа, то φ +2πk, k=0,1,... також аргументом комплексного числа, т.к. cos( φ +2πk)=cos φ , sin( φ +2πk)=sin φ .
Приведення комплексного числа з форми алгебри в тригонометричну
Нехай комплексне число представлене в формі алгебри: z=a+bi. Уявімо це число в тригонометричній формі. Обчислюємо модуль комплексного числа: 
. Обчислюємо аргумент φ
комплексного числа з виразів 
або . Отримані значення вставляємо до рівняння (3).
Приклад 1. Подати комплексне число z=1 у тригонометричній формі.
Рішення. Комплексне число z=1 можна так: z=1+0i 
φ
= 1/1. Звідки маємо φ
=0. Підставляючи значення модуля та аргументу (3), отримаємо: z=1(cos0+ i sin0).
Відповідь. z=1(cos0+ i sin0).
Приклад 2. Подати комплексне число z=iу тригонометричній формі.
Рішення. Комплексне число z=iможна уявити так: z=0+1i. Обчислимо модуль цього числа: 
. Обчислимо аргумент цього числа: cos φ
=0/1. Звідки маємо φ
=π
/2. Підставляючи значення модуля та аргументу (3), отримаємо: 
.
Відповідь. .
Приклад 3. Подати комплексне число z=4+3iу тригонометричній формі.
Рішення. Обчислимо модуль цього числа: 
. Обчислимо аргумент цього числа: cos φ
=4/5. Звідки маємо φ
= arccos (4/5). Підставляючи значення модуля та аргументу (3), отримаємо: .
Відповідь. , де φ = arccos (4/5).
Множення комплексних чисел у тригонометричній формі запису
z 1 =r 1 (cos φ 1 +i sin φ 1) та z 2 =r 2 (cos φ 2 +i sin φ 2). Перемножимо ці числа:
тобто. модуль добутку комплексних чисел дорівнює добутку модулів співмножників.
Відповідь. 
.
Розподіл комплексних чисел у тригонометричній формі запису
Нехай задані комплексні числа z 1 =r 1 (cos φ 1 +i sin φ 1) та z 2 =r 2 (cos φ 2 +i sin φ 2) і нехай z 2 ≠0, тобто. r 2 ≠0. Обчислимо z 1 /z 2:
Відповідь. 
.
Геометричний зміст множення та поділу
На малюнку Рис.4 представлено множення комплексних чисел z 1 та z 2 . З (6) та (7) випливає, що для отримання твору z 1 z 2 , потрібно вектор-радіус точки z 1 повернути проти годинникової стрілки на кут φ 2 і розтягнути у | z 2 | разів (при 0z 2 |
 |
Розглянемо тепер поділ комплексного числа z 1 z 2 на z 1 (Рис.4). З формули (8) випливає, що модуль шуканого числа дорівнює частці від ділення модуля числа z 1 z 2 на модуль числа z 1, а аргумент дорівнює: φ 2 =φ −φ 1 . В результаті поділу отримаємо число z 2 .
3.1. Полярні координати
На площині часто застосовується полярна система координат . Вона визначена, якщо задана точка O, яка називається полюсом, і промінь, що виходить з полюса (для нас це вісь Ox) – полярна вісь.Положення точки M фіксується двома числами: радіусом (або радіус-вектором) та кутом φ між полярною віссю та вектором .Кут φ називається полярним кутом; вимірюється в радіанах та відраховується від полярної осі проти годинникової стрілки.
Положення точки в полярній системі координат визначається впорядкованою парою чисел (r; φ). Біля полюса r = 0,а φ не визначено. Для всіх інших точок r > 0,а φ визначено з точністю до складеного кратного 2π. При цьому парам чисел (r; φ) і (r 1 ; φ 1) зіставляється одна і та ж точка, якщо .
Для прямокутної системи координат xOy декартові координатиточки легко виражаються через її полярні координати наступним чином:
3.2. Геометрична інтерпретація комплексного числа
Розглянемо на площині декартову прямокутну систему координат xOy.
Будь-якому комплексному числу z=(a, b) ставиться у відповідність точка площини з координатами ( x, y), де координата x = a, тобто. дійсній частині комплексного числа, а координата y = bi - уявної частини.
Площина, точками якої є комплексні числа - комплексна площина.
На малюнку комплексному числу z = (a, b)відповідає точка M(x, y).
Завдання.Зобразіть на координатної площиникомплексні числа:
3.3. Тригонометрична форма комплексного числа
Комплексне число на площині має координати точки M (x; y). При цьому:
Запис комплексного числа 
- тригонометрична форма комплексного числа.
Число r називається модулем
комплексного числа zі позначається. Модуль – невід'ємне речове число. Для 
.
Модуль дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли z = 0, тобто. a = b = 0.
Число φ називається аргументом z і позначається. Аргумент z визначено неоднозначно, як і полярний кут в полярній системі координат, а саме з точністю до кратного 2π.
Тоді приймаємо: , де - найменше значення аргументу. Очевидно, що
.
За більш глибокого вивчення теми вводиться допоміжний аргумент φ*, такий, що
Приклад 1. Знайти тригонометричну форму комплексного числа.
Рішення. 1) вважаємо модуль: ;
2) шукаємо φ: 
;
3) тригонометрична форма: 
приклад 2.Знайти форму алгебри комплексного числа 
.
Тут достатньо підставити значення тригонометричних функційі перетворити вираз:
приклад 3.Знайти модуль та аргумент комплексного числа;
1) 
;
2); φ – у 4 чверті:
3.4. Дії з комплексними числами у тригонометричній формі
· Додавання та відніманнязручніше виконувати з комплексними числами в формі алгебри:
· Розмноження– за допомогою нескладних тригонометричних перетворень можна показати, що при множенні модулі чисел перемножуються, а аргументи складаються: ;
