Геометричні фігури. Усічена піраміда

Поняття піраміди

Визначення 1

Геометрична фігура, утворена багатокутником і точкою, що не лежить у площині, що містить цей багатокутник, з'єднана з усіма вершинами багатокутника називається пірамідою (рис. 1).

Багатокутник, з якого складена піраміда, називається основою піраміди, що отримуються при з'єднанні з точкою трикутники - бічними гранями піраміди, сторони трикутників - сторонами піраміди, а загальна для всіх трикутників точка - вершиною піраміди.

Види пірамід

Залежно від кількості кутів у основі піраміди її можна назвати трикутною, чотирикутною тощо (рис. 2).

Малюнок 2.

Ще один вид пірамід - правильна піраміда.

Введемо та доведемо властивість правильної піраміди.

Теорема 1

Усі бічні грані правильної піраміди є рівнобедреними трикутниками, які рівні між собою.

Доведення.

Розглянемо правильну $n-$вугільну піраміду з вершиною $S$ заввишки $h=SO$. Опишемо навколо основи коло (рис. 4).

Малюнок 4.

Розглянемо трикутник $SOA$. За теоремою Піфагора, отримаємо

Очевидно, що так визначатиметься будь-яке бічне ребро. Отже, всі бічні ребра рівні між собою, тобто всі бічні грані рівнобедрені трикутники. Доведемо, що вони між собою рівні. Оскільки основа - правильний багатокутник, то основи всіх бічних граней рівні між собою. Отже, всі бічні грані дорівнюють за III ознакою рівності трикутників.

Теорему доведено.

Введемо тепер таке визначення, пов'язане з поняттям правильної піраміди.

Визначення 3

Апофемою правильної піраміди називається висота її бічної грані.

Очевидно, що за теоремою всі апофеми рівні між собою.

Теорема 2

Площа бічної поверхні правильної піраміди визначається як добуток напівпериметра основи апофему.

Доведення.

Позначимо сторону основи $n-$вугільної піраміди через $a$, а апофему через $d$. Отже, площа бічної грані дорівнює

Так як, за теоремою 1, всі бічні сторони рівні, то

Теорему доведено.

Ще один вид піраміди - усічена піраміда.

Визначення 4

Якщо через звичайну піраміду провести площину, паралельну до її основи, то постать, утворена між цією площиною та площиною основи називається усіченою пірамідою (рис. 5).

Малюнок 5. Усічена піраміда

Боковими гранями усіченої піраміди є трапеції.

Теорема 3

Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди визначається як добуток суми напівпериметрів підстав на апофему.

Доведення.

Позначимо сторони основ $n-$вугільної піраміди через $a\ і \ b$ відповідно, а апофему через $d$. Отже, площа бічної грані дорівнює

Оскільки всі бічні сторони рівні, то

Теорему доведено.

Приклад завдання

Приклад 1

Знайти площу бічної поверхні усіченої трикутної піраміди, якщо вона отримана з правильної піраміди зі стороною основи 4 і апофемою 5 шляхом відсікання площиною, що проходить через середню лінію бічних граней.

Рішення.

По теоремі про середню лінію отримаємо, що верхня основа усіченої піраміди дорівнює $4\cdot \frac(1)(2)=2$, а апофема дорівнює $5\cdot \frac(1)(2)=2,5$.

Тоді, за теоремою 3, отримаємо

Завдання

Рішення.

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутникалежить на його гіпотенузі. Відповідно, AB = 10 см, AO = 5 см.

Оскільки висота ON = 12 см, то величина ребер AN та NB дорівнює
AN 2 = AO 2 + ON 2
AN 2 = 5 2 + 12 2
AN = √169
AN = 13

Оскільки нам відома величина AO = OB = 5 см і величина одного з катетів основи (8 см), то висота, опущена на гіпотенузу, дорівнюватиме
CB 2 = CO 2 + OB 2
64 = CO 2 + 25
CO 2 = 39
CO = √39

Відповідно, величина ребра CN дорівнюватиме
CN 2 = CO 2 + NO 2
CN 2 = 39 + 144
CN = √183

Відповідь: 13, 13 , √183

Завдання

Рішення.
Об'єм піраміди знайдемо за формулою:
V = 1/3 Sh

Площу основи знайдемо за формулою знаходження площі прямокутного трикутника:
S = ab / 2 = 8 * 6 / 2 = 24
звідки
V = 1/3 * 24 * 10 = 80 см 3 .

Пірамідоюназивається багатогранник, одна з граней якого багатокутник ( основа ), а всі інші грані – трикутники із загальною вершиною ( бічні грані ) (рис. 15). Піраміда називається правильною якщо її основою є правильний багатокутник і вершина піраміди проектується в центр основи (рис. 16). Трикутна піраміда, у якої всі ребра рівні, називається тетраедром .

Боковим ребромпіраміди називається сторона бічної грані, що не належить основи Висотою піраміди називається відстань від її вершини до площини основи. Усі бічні ребра правильної піраміди рівні між собою, всі бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з вершини, називається апофемою . Діагональним перетином називається переріз піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать одній грані.

Площею бічної поверхніпіраміди називається сума площ усіх бічних граней. Площею повної поверхні називається сума площ усіх бічних граней та підстави.

Теореми

1. Якщо у піраміді всі бічні ребра рівнонахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр кола описаного біля основи.

2. Якщо в піраміді всі бічні ребра мають рівні довжини, то вершина піраміди проектується в центр кола описаного біля основи.

3. Якщо в піраміді всі грані рівнонахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу.

Для обчислення обсягу довільної піраміди вірна формула:

де V- обсяг;

S осн– площа основи;

H- Висота піраміди.

Для правильної піраміди вірні формули:

де p– периметр основи;

h а- Апофема;

H- Висота;

S повний

S бік

S осн– площа основи;

V- Об'єм правильної піраміди.

Усіченою пірамідоюназивається частина піраміди, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі піраміди (рис. 17). Правильною усіченою пірамідою називається частина правильної піраміди, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі піраміди.

Підставизрізаної піраміди – подібні багатокутники. Бічні грані - Трапеції. Висотою усіченої піраміди називається відстань між її основами. Діагоналлю усіченої піраміди називається відрізок, що з'єднує її вершини, що не лежать в одній грані. Діагональним перетином називається переріз усіченої піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать одній грані.

Для усіченої піраміди справедливі формули:

(4)

де S 1 , S 2 – площі верхньої та нижньої основ;

S повний- Площа повної поверхні;

S бік- Площа бічної поверхні;

H- Висота;

V- Об'єм зрізаної піраміди.

Для правильної усіченої піраміди вірна формула:

де p 1 , p 2 – периметри основ;

h а- Апофема правильної усіченої піраміди.

приклад 1.У правильній трикутній піраміді двогранний кут при підставі дорівнює 60 º. Знайти тангенс кута нахилу бокового ребра до площини основи.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 18).

Піраміда правильна, отже, в основі рівносторонній трикутник і всі бічні грані рівні рівнобедрені трикутники. Двогранний кут при основі – це кут нахилу бічної грані піраміди до площини основи. Лінійним кутом буде кут aміж двома перпендикулярами: і. Вершина піраміди проектується в центрі трикутника (центр описаного кола та вписаного кола в трикутник АВС). Кут нахилу бокового ребра (наприклад SB) – це кут між самим ребром та його проекцією на площину основи. Для ребра SBцим кутом буде кут SBD. Щоб знайти тангенс необхідно знати катети SOі OB. Нехай довжина відрізка BDдорівнює 3 а. Крапкою Провідрізок BDділиться на частини: і З знаходимо SO: З знаходимо:

Відповідь:

приклад 2.Знайти об'єм правильної зрізаної чотирикутної піраміди, якщо діагоналі її основ дорівнюють см і см, а висота 4 см.

Рішення.Для знаходження об'єму зрізаної піраміди скористаємося формулою (4). Щоб знайти площі основ необхідно знайти сторони квадратів-підстав, знаючи їх діагоналі. Сторони підстав рівні відповідно 2 см і 8 см. Значить площі підстав і Підставивши всі дані у формулу, обчислимо обсяг усіченої піраміди:

Відповідь: 112 см 3 .

приклад 3.Знайти площу бічної грані правильної трикутної усіченої піраміди, сторони основ якої дорівнюють 10 см і 4 см, а висота піраміди 2 см.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 19).

Бічна грань цієї піраміди є рівнобокою трапецією. Для обчислення площі трапеції необхідно знати основи та висоту. Підстави дано за умовою, залишається невідомою лише висота. Її знайдемо з де А 1 Еперпендикуляр з точки А 1 на площину нижньої основи, A 1 D- Перпендикуляр з А 1 на АС. А 1 Е= 2 див, оскільки це висота піраміди. Для знаходження DEзробимо додатково малюнок, на якому зобразимо вид зверху (рис. 20). Крапка Про– проекція центрів верхньої та нижньої основ. оскільки (див. рис. 20) і з іншого боку ОК– радіус вписаної в коло та ОМ- Радіус вписаної в колі:

MK = DE.

За теоремою Піфагора з

Площа бічної грані:

Відповідь:

приклад 4.В основі піраміди лежить рівнобока трапеція, основа якої аі b (a> b). Кожна бічна грань утворює з площиною основи піраміди кут рівний j. Знайти площу повної поверхні піраміди.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 21). Площа повної поверхні піраміди SABCDдорівнює сумі площ та площі трапеції ABCD.

Скористаємося твердженням, що й усі грані піраміди рівнонахилені до площині основи, то вершина проектується у центр вписаної основу окружности. Крапка Про- Проекція вершини Sна основу піраміди. Трикутник SODє ортогональною проекцією трикутника CSDна площину основи. За теоремою про площу ортогональної проекції плоскої фігури отримаємо:

Аналогічно і означає Таким чином, завдання звелося до знаходження площі трапеції. АВСD. Зобразимо трапецію ABCDокремо (рис.22). Крапка Про- Центр вписаної в трапецію кола.

Так як в трапецію можна вписати коло, то або З по теоремі Піфагора маємо

Багатогранник, у якого одна з граней – багатокутник, а всі інші грані – трикутники із загальною вершиною, називається пірамідою.

Ці трикутники, з яких складено піраміду, називають бічними гранями, а багатокутник, що залишився - основоюпіраміди.

В основі піраміди лежить геометрична фігура - n-кутник. У такому разі піраміду називають ще n-вугільний.

Трикутну піраміду, всі ребра якої рівні, називають тетраедром.

Ребра піраміди, які не належать до основи, називаються бічними, а їх загальна точка– це вершинапіраміди. Інші ребра піраміди зазвичай називають сторонами заснування.

Піраміду називають правильною, якщо в її основі лежить правильний багатокутник, а всі бічні ребра рівні між собою.

Відстань від вершини піраміди до площини основи називається заввишкипіраміди. Можна сказати, що висота піраміди є відрізок, перпендикулярний до основи, кінці якого знаходяться у вершині піраміди і на площині основи.

Для будь-якої піраміди мають місце такі формули:

1) S повн = S бік + S осн, де

S повний - площа повної поверхні піраміди;

S бік – площа бічної поверхні, тобто. сума площ усіх бічних граней піраміди;

S осн - площа основи піраміди.

2) V = 1/3 S осн · Н, де

V – обсяг піраміди;

Н – висота піраміди.

Для правильної пірамідимає місце:

S бік = 1/2 P осн h, де

P осн - периметр основи піраміди;

h – довжина апофеми, тобто довжина висоти бічної грані, опущеної з вершини піраміди.

Частина піраміди, укладена між двома площинами – площиною основи та січною площиною, проведеною паралельно основі, називають усіченою пірамідою.

Основа піраміди та переріз піраміди паралельною площиною називаються підставамиусіченої піраміди. Інші грані називають бічними. Відстань між площинами основ називають заввишкиусіченої піраміди. Ребра, які не належать підставам, називаються бічними.

Крім того, основи усіченої піраміди подібні n-кутники. Якщо основи зрізаної піраміди – правильні багатокутники, а всі бічні ребра рівні між собою, то така зрізана піраміда називається правильною.

Для довільної усіченої пірамідимають місце такі формули:

1) S повний = S бік + S 1 + S 2, де

S повний - площа повної поверхні;

S бік – площа бічної поверхні, тобто. сума площ усіх бічних граней усіченої піраміди, які є трапецією;

S 1 , S 2 – площі основ;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H, де

V – обсяг усіченої піраміди;

H – висота усіченої піраміди.

Для правильної усіченої пірамідитакож маємо:

S бік = 1/2 (P 1 + P 2) · h,де

P 1 , P 2 - периметри основ;

h – апофема (висота бічної грані, що є трапецію).

Розглянемо кілька завдань на усічену піраміду.

Завдання 1.

У трикутній усіченій піраміді з висотою, що дорівнює 10, сторони однієї з основ дорівнюють 27, 29 і 52. Визначте об'єм усіченої піраміди, якщо периметр іншої основи дорівнює 72.

Рішення.

Розглянемо усічену піраміду АВСА 1 В 1 С 1 , зображену на малюнку1.

1. Обсяг зрізаної піраміди може бути знайдений за формулою

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), де S 1 – площа однієї з підстав, можна знайти за формулою Герона

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

т.к. у задачі дано довжини трьох сторін трикутника.

Маємо: p 1 = (27 + 29 + 52) / 2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 · 27 · 25 · 2) = 270.

2. Піраміда усічена, а отже, в основах лежать подібні багатокутники. У нашому випадку трикутник АВС подібний до трикутника А 1 В 1 С 1 . Крім того, коефіцієнт подібності можна знайти як відношення периметрів трикутників, що розглядаються, а відношення їх площ буде дорівнює квадрату коефіцієнта подоби. Таким чином, маємо:

S 1 / S 2 = (P 1) 2 / (P 2) 2 = 108 2 / 72 2 = 9/4. Звідси S 2 = 4S 1 /9 = 4 · 270/9 = 120.

Отже, V = 1/3 · 10 (270 + 120 + √ (270 · 120)) = 1900.

Відповідь: 1900.

Завдання 2.

У трикутній зрізаній піраміді через бік верхньої основи проведено площину паралельно протилежному бічному ребру. У якому відношенні розділився обсяг зрізаної піраміди, якщо відповідні сторони підстав відносяться як 1:2?

Рішення.

Розглянемо АВСА 1 В 1 З 1 – усічену піраміду, зображену на Мал. 2.

Так як в основах сторони відносяться як 1: 2, то площі основ відносяться як 1: 4 (трикутник АВС подібний до трикутника А 1 В 1 С 1).

Тоді обсяг усіченої піраміди дорівнює:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2 , де S 2 - Площа верхньої основи, h - Висота.

Але обсяг призми АDEA 1 B 1 C 1 становить V 1 = S 2 · h і, отже,

V 2 = V - V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2 .

Отже, V2: V1 = 3:4.

Відповідь: 3: 4.

Завдання 3.

Сторони основ правильної чотирикутної усіченої піраміди дорівнюють 2 і 1, а висота дорівнює 3. Через точку перетину діагоналей піраміди паралельно основам піраміди проведено площину, що ділить піраміду на дві частини. Знайти обсяги кожної з них.

Рішення.

Розглянемо усічену піраміду АВСDА 1 В 1 З 1 D 1 , зображену на Мал. 3.

Позначимо О 1 О 2 = х, тоді ОО₂ = О 1 О – О 1 О 2 = 3 – х.

Розглянемо трикутник В 1 Про 2 D 1 і трикутник ВО 2 D:

кут В 1 Про 2 D 1 дорівнює куту 2 D як вертикальні;

кут ВDO 2 дорівнює куту D 1 B 1 O 2 і кут O 2 ВD дорівнює куту B 1 D 1 O 2 як навхрест що лежать при B 1 D 1 || BD і січучих B₁D та BD₁ відповідно.

Отже, трикутник В 1 Про 2 D 1 подібний до трикутника ВО 2 D і має місце відношення сторін:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 або 1/2 = х/(х - 3), звідки х = 1.

Розглянемо трикутник В 1 D 1 і трикутник LО 2 B: кут В – загальний, а так само є пара односторонніх кутів при B 1 D 1 || LM, отже, трикутник В 1 D 1 У подібний до трикутника LО 2 B, звідки В 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, тобто.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Тоді S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Отже, V 1 = 1/3 · 2 (4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Відповідь: 152/27; 37/27.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

і січною площиною, яка паралельна до її основи.

Або іншими словами: усічена піраміда— це такий багатогранник, який утворений пірамідою та її перетином, паралельним до основи.

Перетин, який паралельно основи піраміди ділить піраміду на 2 частини. Частина піраміди між її основою та перетином - це усічена піраміда.

Цей переріз для усіченої піраміди виявляється одним із підстав цієї піраміди.

Відстань між основами усіченої піраміди є висотою усіченої піраміди.

Усічена піраміда буде правильноюколи піраміда, з якої вона була отримана, теж була правильною.

Висота трапеції бічної грані правильної усіченої піраміди є апофемоюправильної усіченої піраміди.

Властивості усіченої піраміди.

1. Кожна бічна грань правильної зрізаної піраміди є рівнобокими трапеціями однієї величини.

2. Підстави зрізаної піраміди є подібними багатокутниками.

3. Бічні ребра правильної зрізаної піраміди мають рівну величину і один нахилений по відношенню до основи піраміди.

4. Бічні грані усіченої піраміди є трапеціями.

5. Двогранні кути при бічних ребрах правильної зрізаної піраміди мають рівну величину.

6. Відношення площ основ: S 2 /S 1 = k 2.

Формули для усіченої піраміди.

Для довільної піраміди:

Об'єм усіченої піраміди дорівнює 1/3 добутку висоти h (OS) на суму площ верхньої основи S 1 (abcde), нижньої основи усіченої піраміди S 2 (ABCDE) та середньої пропорційної між ними.

Об'єм піраміди:

де S 1, S 2- Площі підстав,

h- Висота зрізаної піраміди.

Площа бічної поверхні дорівнює сумі площ бічних граней усіченої піраміди.

Для правильної усіченої піраміди:

Правильна зрізана піраміда— багатогранник, який утворений правильною пірамідою та її перетином, що паралельно до основи.

Площа бічної поверхні правильної усіченої піраміди дорівнює ? добутку суми периметрів її основ і апофеми.

де S 1, S 2- Площі підстав,

φ - Двогранний кут біля основи піраміди.

CHє висотою усіченої піраміди, P 1і P 2- периметрами основ, S 1і S 2- майданами підстав, S бік- площею бічної поверхні, S повний- Площею повної поверхні:

Перетин піраміди площиною, паралельною до основи.

Перетин піраміди площиною, яка паралельно її підставі (перпендикулярній висоті) поділяє висоту та бічні ребра піраміди на пропорційні відрізки.

Перетин піраміди площиною, яке паралельно її основи (перпендикулярній висоті) - це багатокутник, який подібний до основи піраміди, при цьому коефіцієнт подібності цих багатокутників відповідає відношенню їх відстаней від вершини піраміди.

Площі перерізів, які паралельні до основи піраміди, відносяться як квадрати їх відстаней від вершини піраміди.