Правильний багатокутник та його кола. Властивості правильних багатокутників

Трикутник, квадрат, шестикутник – ці фігури відомі практично всім. Але про те, що таке правильний багатокутник, знає далеко не кожен. Але це все ті ж Правильним багатокутником називають той, що має рівні між собою кути і сторони. Таких фігур дуже багато, але вони мають однакові властивості, і до них застосовні одні й самі формули.

Властивості правильних багатокутників

Будь-який правильний багатокутник, будь то квадрат або октагон, може бути вписаний у коло. Ця основна властивість часто використовується при побудові фігури. Крім того, коло можна і вписати в багатокутник. При цьому кількість точок дотику дорівнюватиме кількості його сторін. Важливо, що коло, вписане у правильний багатокутник, матиме з ним спільний центр. Ці геометричні фігурипідпорядковані одним теоремам. Будь-яка сторона правильного n-кутника пов'язана з радіусом описаного біля нього кола R. Тому її можна обчислити, використовуючи таку формулу: а = 2R ∙ sin180°. Через нього можна знайти не тільки сторони, а й периметр багатокутника.

Як знайти кількість сторін правильного багатокутника

Кожен складається з певної кількості рівних один одному відрізків, які, з'єднуючись, утворюють замкнуту лінію. При цьому всі кути фігури, що утворилася, мають однакове значення. Багатокутники поділяються на прості та складні. До першої групи відносяться трикутник та квадрат. Складні багатокутники мають більшу кількість сторін. До них також відносять зірчасті фігури. У складних правильних багатокутників сторони знаходять шляхом вписування в коло. Наведемо доказ. Накресліть правильний багатокутник із довільним числом сторін n. Опишіть навколо нього коло. Задайте радіус R. Тепер уявіть, що дано деякий n-кутник. Якщо точки його кутів лежать на колі і дорівнюють одна одній, то сторони можна знайти за формулою: a = 2R ∙ sinα: 2.

Знаходження числа сторін вписаного правильного трикутника

Рівносторонній трикутник – це правильний багатокутник. Формули щодо нього застосовуються самі, як і квадрату, і n-угольнику. Трикутник вважатиметься правильним, якщо в нього однакові по довжині сторони. При цьому кути дорівнюють 60⁰. Побудуємо трикутник із заданою довжиною сторін а. Знаючи його медіану та висоту, можна знайти значення його сторін. Для цього використовуватимемо спосіб знаходження через формулу а = х: cosα, де х - медіана або висота. Оскільки всі сторони трикутника рівні, то отримуємо а = в = с. Тоді вірним буде наступне твердження а = = с = х: cosα. Аналогічно можна знайти значення сторін у рівнобедреному трикутнику, але х буде задана висота. При цьому проектуватись вона повинна строго на підставу фігури. Отже, знаючи висоту х, знайдемо бік а рівнобедреного трикутниказа формулою а = в = х: cos? Після знаходження значення а можна обчислити довжину основи с. Застосуємо теорему Піфагора. Шукатимемо значення половини основи c: 2=√(х: cosα)^2 - (х^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Тоді c = 2xtg. Ось таким нескладним способом можна знайти число сторін будь-якого багатокутника вписаного.

Обчислення сторін квадрата, вписаного в коло

Як і будь-який інший вписаний правильний багатокутник, квадрат має рівні сторони та кути. До нього застосовуються самі формули, як і до трикутнику. Обчислити сторони квадрата можна за значення діагоналі. Розглянемо цей метод більш детально. Відомо, що діагональ ділить кут навпіл. Спочатку його значення було 90 градусів. Таким чином, після поділу утворюються два Їх кути при підставі дорівнюватимуть 45 градусів. Відповідно кожна сторона квадрата дорівнюватиме, тобто: а = в = с = д = е ∙ cosα = е√2: 2, де е - це діагональ квадрата, або основа прямокутного трикутника, що утворився після розподілу. Це не єдиний спосіб знаходження сторін квадрата. Впишемо цю фігуру в коло. Знаючи радіус цього кола R, знайдемо бік квадрата. Обчислюватимемо її наступним чином a4 = R√2. Радіуси правильних багатокутників обчислюють за формулою R = а: 2tg (360 o: 2n), де а – довжина сторони.

Як обчислити периметр n-кутника

Периметром n-кутника називають суму всіх сторін. Обчислити його нескладно. Для цього потрібно знати значення всіх сторін. Для деяких видів багатокутників є спеціальні формули. Вони дозволяють знайти периметр набагато швидше. Відомо, що будь-який правильний багатокутник має рівні боки. Тому для того, щоб обчислити його периметр, достатньо знати хоча б одну з них. Формула залежатиме від кількості сторін фігури. Загалом вона виглядає так: Р = an, де а - значення сторони, а n - кількість кутів. Наприклад, щоб знайти периметр правильного восьмикутника зі стороною 3 см, необхідно помножити її на 8, тобто Р = 3 ∙ 8 = 24 см. Для шестикутника зі стороною 5 см обчислюємо так: Р = 5 ∙ 6 = 30 см. І так для кожного багатокутника.

Знаходження периметра паралелограма, квадрата та ромба

Залежно від цього, скільки сторін має правильний багатокутник, обчислюється його периметр. Це набагато полегшує поставлене завдання. Адже, на відміну від інших фігур, у цьому випадку не потрібно шукати всі його сторони, достатньо однієї. За цим принципом знаходимо периметр у чотирикутників, тобто у квадрата і ромба. Незважаючи на те, що це різні фігури, формула для них одна Р = 4а, де а - сторона. Наведемо приклад. Якщо сторона ромба або квадрата дорівнює 6 см, то знаходимо периметр так: Р = 4 ∙ 6 = 24 см. У паралелограма рівні лише протилежні сторони. Тому його периметр знаходять, використовуючи інший спосіб. Отже, нам необхідно знати довжину і ширину у фігури. Потім застосовуємо формулу Р = (а + в) 2. Паралелограм, у якого рівні всі сторони та кути між ними, називається ромб.

Знаходження периметра рівностороннього та прямокутного трикутника

Периметр правильного можна визначити за формулою Р = 3а, де а - довжина боку. Якщо вона невідома, її можна знайти через медіану. У прямокутному трикутнику рівне значення мають лише дві сторони. Підставу можна знайти через теорему Піфагора. Після того, як стануть відомі значення всіх трьох сторін, обчислюємо периметр. Його можна знайти, застосовуючи формулу Р = а + в + с, де а і в – рівні сторони, а с – основа. Нагадаємо, що в рівнобедреному трикутнику а = в = а, отже, а + в = 2а, тоді Р = 2а + с. Наприклад, сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, знайдемо його основу та периметр. Обчислюємо значення гіпотенузи за теоремою Піфагора з = √а 2 + 2 = √16+16 = √32 = 5,65 см. Обчислимо тепер периметр Р = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 см.

Як знайти кути правильного багатокутника

Правильний багатокутник зустрічається у нашому житті щодня, наприклад, звичайний квадрат, трикутник, восьмикутник. Здавалося б, немає нічого простішого, ніж побудувати цю фігуру самостійно. Але це лише на перший погляд. Щоб побудувати будь-який n-кутник, необхідно знати значення його кутів. Але як їх знайти? Ще вчені давнини намагалися збудувати правильні багатокутники. Вони здогадалися вписати їх у коло. А потім на ній відзначали потрібні точки, з'єднували їх прямими лініями. Для простих постатей проблема побудови була вирішена. Формули та теореми були отримані. Наприклад, Евклід у своєму знаменитій праці«Початок» займався вирішенням завдань для 3-, 4-, 5-, 6- та 15-кутників. Він знайшов способи їх побудови та знаходження кутів. Розглянемо, як це зробити для 15-кутника. Спочатку потрібно розрахувати суму його внутрішніх кутів. Необхідно використати формулу S = 180⁰(n-2). Отже, нам дано 15-кутник, значить число n дорівнює 15. Підставляємо відомі нам дані у формулу і отримуємо S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ х 13 = 2340⁰. Ми знайшли суму всіх внутрішніх кутів 15-кутника. Тепер необхідно набути значення кожного з них. Усього кутів 15. Робимо обчислення 2340⁰: 15 = 156⁰. Отже, кожен внутрішній кут дорівнює 156⁰, тепер за допомогою лінійки та циркуля можна побудувати правильний 15-кутник. Але як бути з більш складними n-кутниками? Багато століть вчені билися над розв'язанням цієї проблеми. Воно було знайдено лише у 18-му столітті Карлом Фрідріхом Гауссом. Він зміг побудувати 65537-кутник. З цього часу проблема офіційно вважається повністю вирішеною.

Розрахунок кутів n-кутників у радіанах

Звісно, ​​є кілька способів знаходження кутів багатокутників. Найчастіше їх обчислюють у градусах. Але можна висловити їх у радіанах. Як це зробити? Необхідно діяти в такий спосіб. Спочатку з'ясовуємо число сторін правильного багатокутника, потім віднімаємо з нього 2. Отже, ми отримуємо значення: n - 2. Помножте знайдену різницю на число п («пі» = 3,14). Тепер залишається лише розділити отриманий добуток на число кутів у n-кутнику. Розглянемо дані обчислення на прикладі того ж п'ятнадцятикутника. Отже, число n дорівнює 15. Застосуємо формулу S = п(n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Це, звичайно, не єдиний спосіб розрахувати кут у радіанах. Можна просто поділити розмір кута в градусах на число 57,3. Адже саме стільки градусів еквівалентно одному радіану.

Розрахунок значення кутів у градах

Крім градусів та радіан, значення кутів правильного багатокутника можна спробувати знайти у градах. Робиться це так. Із загальної кількості кутів віднімаємо 2, ділимо отриману різницю на кількість сторін правильного багатокутника. Знайдений результат множимо на 200. До речі, така одиниця виміру кутів, як гради, практично не використовується.

Розрахунок зовнішніх кутів n-кутників

У будь-якого правильного багатокутника, крім внутрішнього, можна вирахувати ще й зовнішній кут. Його значення знаходять так само, як і для інших постатей. Отже, щоб знайти зовнішній кут правильного багатокутника необхідно знати значення внутрішнього. Далі нам відомо, що сума цих двох кутів завжди дорівнює 180 градусам. Тому обчислення робимо так: 180⁰ мінус значення внутрішнього кута. Знаходимо різницю. Вона і дорівнюватиме значення суміжного з ним кута. Наприклад, внутрішній кут квадрата дорівнює 90 градусів, отже, зовнішній становитиме 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Як бачимо, знайти його нескладно. Зовнішній кут може набувати значення від +180⁰ до, відповідно, -180⁰.

Виведення площі правильного n-кутника пов'язане з радіусом вписаного в цей n-кутник кола та радіусом кола, описаного біля нього. При виведенні цієї формули використовують розбиття n-кутника на n трикутників. Якщо – площа даного правильного багатокутника, а – його сторона, – периметр, аі – радіуси відповідно до вписаного та описаного кіл, то. Доведемо це: З'єднавши центр даного багатокутника з його вершинами, як показано на малюнку 2.7.1, ми розіб'ємо його на n рівних трикутників, площа кожного з яких дорівнює . Отже. Далі.

Малюнок 2.7.1

Малюнок 2.7.1

Приклад 2.7.1.

Даний квадрат зі стороною a зрізаний по кутах так, що утворився правильний восьмикутник. Визначити площу цього восьмикутника.

Рішення:

Нехай (рисунок 2.7.2). Тоді чи звідки

Малюнок 2.7.2

Отже, потрібна площа

Відповідь:

Приклад 2.7.2.

Вся дуга кола радіуса R розділена на чотири великі і чотири малі частини, які чергуються одна за одною. Більшість у 2 рази довше малої. Визначити площу восьмикутника, вершинами якого є точки розподілу дуги кола.

Рішення:

Нехай мала дуга містить градуси. Тоді, звідки Значить, восьмикутник містить чотири трикутники з центральним кутом (їх сумарна площа) та чотири трикутники з центральним кутом (їх сумарна площа). Шукана площа складає

Відповідь:

Приклад 2.7.3.

Дано квадрат зі стороною. На кожній стороні квадрата поза ним побудована трапеція так, що верхні основи цих трапецій та їх бічні сторони утворюють правильний дванадцятикутник. Обчислити його площу.

Рішення:

Шукана площа , де і – радіуси кола, описаного біля квадрата та дванадцятикутника (рисунок 2.7.3). Оскільки сторона квадрата дорівнює , . Маємо де⏊ Але , оскільки . Таким чином,

, тобто

Малюнок 2.7.3

Відповідь:

3 Завдання планіметрії із централізованого тестування

Варіант 1

О 8.У рівнобедреному трикутнику через вершини основи точку (лежать на висоті, проведеній до основи, і ділить її у відношенні, рахуючи від основи) проведені прямі (D AB; E AC). Знайдіть площу трикутника, якщо площа трапеції дорівнює 64.

Рішення:

Введемо позначення:

З малюнка випливає, що Звідси

Складаємо систему:

Малюнок 3.1

Із системи отримуємо:

Вирішуючи це рівняння знайдемо:

Підставляємо у друге рівняння системи, отримуємо:

Знайдемо площу трикутника

Відповідь:

Варіант 1

А8.У рівнобедреному трикутнику зі сторонами і проведена висотак бічній стороні. Якщо – центри кіл, описаних біля трикутника, то відстань між точками дорівнює…

Рішення:

В умові завдання не сказано конкретно, чому рівні бічні сторони та й основа. Якщо а, то не виконуватиметься нерівність трикутника. Тому , а. Далі слід згадати той факт, що центр кола, описаного біля прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи. Тому центри кіл, описаних біля трикутників і , точки і – відповідно середини сторін і.

Малюнок 3.2

Таким чином, – середня лінія трикутника і

Відповідь:

Варіант 1

B4. Чотирьохкутник вписаний у коло. Якщо,, то градусна міра кута між прямими дорівнює...

Рішення:

Так як за умовою нам дано, що ,,, то Нам відомо, що чотирикутник можна вписати в коло тоді і тільки тоді, коли суми його протилежних кутів дорівнюють.

Малюнок 3.3

А з цього випливає, що з трикутника можна знайти кут, який нам і потрібен. Отже, отримуємо, що

Відповідь:

Варіант 1

А12.Більша основа трапеції дорівнює 114. Знайдіть меншу основу трапеції, якщо відстань між серединами її діагоналей дорівнює 19.

Рішення:

Малюнок 3.4

Позначимо меншу основу трапеції

Трикутники й подібні. Отримуємо співвідношення:

З подоби трикутників отримуємо:

Розділимо друге рівняння на перше:

Отже:

Отримуємо, що менша основа трапеції дорівнює

Відповідь:

Варіант 1

А11.Паралельно стороні трикутника проведена пряма, що перетинає сторону в точці так, що . Якщо площа трикутника дорівнює 50, то площа трапеції, що вийшла, дорівнює ...

Рішення:

Малюнок 3.5

Нехай Із умови нам дано, що

Звідси Тоді, Отже, Тепер знайдемо площу трапеції.

Відповідь:

Варіант 1

А13.Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізку, довжини яких відносяться як 1:4. Якщо висота дорівнює 8, то гіпотенуза дорівнює.

Рішення:

Довжина висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, може бути знайдена за формулою:

Малюнок 3.6

За умовою нам дано, що . Значить,

Звідси отримуємо, що . Тоді

Відповідь:

Варіант 1

А12.Величини двох кутів трикутника дорівнюють і, а висота, проведена з вершини більшого кута, дорівнює 9. Знайдіть меншу сторону трикутника.

Рішення:

Малюнок 3.7

Нехай, значить Так як-

висота трикутника, то. Оскільки трикутник прямокутний, то катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута в 30, дорівнює половині гіпотенузи.

З властивості одержуємо: Значить,

Відповідь:

Варіант 1

А16.У ромб площею вписано коло площею. Сторона ромба дорівнює…

Рішення:

;

Оскільки площа ромба за умовою дорівнює, то Тоді,

Звідси отримуємо, що

Малюнок 3.8

Відповідь:

Варіант 1

А11.Чотирьохкутник, в якому, вписаний в коло. Знайдіть градусну міру кута.

Рішення:

Чотирикутник можна вписати в коло тоді і лише тоді, коли суми його протилежних кутів дорівнюють

Малюнок 3.9

Відповідь:

Варіант 1

У 3.Основа гострокутного рівнобедреного трикутника дорівнює 10, а синус протилежного кута дорівнює . Знайдіть площу трикутника.

Рішення:

Малюнок 3.10

1. Знайдемо косинус кута за формулою

Оскільки кут – гострий, то вибираємо знак «»:

2. Для знаходження довжини бокової сторони (рисунок 3.10) застосуємо теорему косінусів:

або або або

3. Знаходимо площу трикутника за формулою:

;

Відповідь: .

Варіант 1

Завдання В3.В коло радіусом 6 вписано трикутник, довжини двох сторін якого дорівнюють 6 і 10. Знайдіть довжину висоти трикутника, проведеної до його третьої сторони.

Рішення:

Виконаємо допоміжне креслення для вирішення задачі. Нехай – заданий трикутник, у якого.

Проведемо висоту трикутника.

Малюнок 3.11

У подібних задачах найскладніший момент - це зрозуміти, як пов'язати параметри трикутника (кути або сторони) з параметрами кола. Адже завдання ми вирішуємо про трикутник, проте, оскільки дано радіус описаного кола, то це потрібно якось використовувати для отримання відомостей про трикутник.

Один із найвідоміших зв'язків між трикутником і описаним колом доводиться в теоремі синусів. Запишемо висновки цієї теореми для кута:

Тут – радіус описаного біля трикутника кола. Звідси отримуємо:

Висоту знайдемо з прямокутного трикутника:

Теорема 1 . Біля будь-якого правильного багатокутника можна описати коло.

Нехай ABCDEF (рис. 419) – правильний багатокутник; треба довести, що біля нього можна описати коло.

Ми знаємо, що завжди можна провести коло через три точки, що не лежать на одній прямій; значить, завжди можна провести коло, яке пройде через три будь-які вершини правильного багатокутника, наприклад через вершини Е, D і С. Нехай точка О - центр цього кола.

Доведемо, що це коло пройде і через четверту вершину багатокутника, наприклад, через вершину В.

Відрізки ОЕ, OD та ОС рівні між собою, і кожен дорівнює радіусу кола. Проведемо ще відрізок ВВ; про цей відрізок відразу не можна сказати, що він також дорівнює радіусу кола, це треба довести. Розглянемо трикутники OED і ODC, вони рівнобедрені та рівні, отже, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.

Якщо внутрішній кут даного багатокутника дорівнює α, то ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2; але якщо ∠4 = α / 2 , то ∠5 = α / 2 , тобто. ∠4 = ∠5.

Звідси укладаємо, що (Delta)ОСD = (Delta)ОСВ і, отже, ОВ = ОС, тобто відрізок ОВ дорівнює радіусу проведеного кола. З цього випливає, що коло пройде і через вершину правильного багатокутника.

Таким же прийомом доведемо, що побудоване коло пройде і через решту вершин багатокутника. Значить, це коло буде описане біля цього правильного багатокутника. Теорему доведено.

Теорема 2 . У будь-який правильний багатокутник можна вписати коло.

Нехай ABCDEF - правильний багатокутник (рис. 420), треба довести, що до нього можна вписати коло.

З попередньої теореми відомо, що біля правильного багатокутника можна описати коло. Нехай точка О - центр цього кола.

З'єднаємо точку Oз вершинами багатокутника. Отримані трикутники OED, ODC тощо рівні між собою, отже, рівні та його висоти, проведені з точки О, т. е. OK = OL = ОМ = ON = OP = OQ.

Тому коло, описане з точки Про як із центру радіусом, рівним відрізку ОК, пройде через точки К, L, M, N, Р і Q, і висоти трикутників будуть радіусами кола. Сторони багатокутника перпендикулярні до радіусів у цих точках, тому вони стосуються цього кола. А це означає, що побудоване коло вписано в цей правильний багатокутник.

Така ж побудова можна виконати для будь-якого правильного багатокутника, отже, вписати коло можна в будь-який правильний багатокутник.

Слідство. Кола, описані біля правильного багатокутника і вписані в нього, мають загальний центр.

Визначення.

1. Центром правильного багатокутника називається загальний центр кіл, описаної біля цього багатокутника і вписаної в нього.

2. Перпендикуляр, опущений із центру правильного багатокутника з його бік, називається апофемой правильного багатокутника.

Вираз сторін правильних багатокутників через радіус описаного кола

За допомогою тригонометричних функційможна виразити бік будь-якого правильного багатокутника через радіус описаного біля нього кола.

Нехай АВ - сторона правильного n-кутника, вписаного в коло радіусу ОА = R(рис).

Проведемо апофему OD правильного багатокутника та розглянемо прямокутний трикутник AOD. У цьому трикутнику

∠AOD = 1 / 2 ∠AOB = 1 / 2 360 ° / n= 180 ° / n

AD = AO sin ∠AOD = R sin 180° / n ;

але AB = 2AD і тому АВ = 2R sin 180 ° / n .

Довжина сторони правильного n-кутника, вписаного в коло, позначається зазвичай а nтому отриману формулу можна записати так:

а n= 2R sin 180° / n .

Наслідки:

1. Довжина сторони правильного шестикутника, вписаного в коло радіусу. R , виражається формулою а 6 = R, так як

а 6 = 2R sin 180 ° / 6 = 2R sin 30 ° = 2R 1 / 2 = R.

2. Довжина сторони правильного чотирикутника (квадрату), вписаного в коло радіусу R , виражається формулою а 4 = R √2 , так як

а 4 = 2R sin 180° / 4 = 2R sin 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2

3. Довжина сторони правильного трикутника, вписаного в коло радіусу. R , виражається формулою а 3 = R √3 , так як.

а 3 = 2R sin 180° / 3 = 2R sin 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3

Площа правильного багатокутника

Нехай дано правильний n-кутник (рис). Потрібно визначити його площу. Позначимо сторону багатокутника через аі центр через О. З'єднаємо відрізками центр із кінцями будь-якої сторони багатокутника, отримаємо трикутник, у якому проведемо апофему багатокутника.

Площа цього трикутника дорівнює ah / 2 . Щоб визначити площу всього багатокутника потрібно площу одного трикутника помножити на число трикутників, тобто на n. Отримаємо: S = ah / 2 n = ahn / 2 , але аnдорівнює периметру багатокутника. Позначимо його через Р.

Остаточно отримуємо: S = P h / 2 . де S - площа правильного багатокутника, Р - його периметр, h- Апофема.

Площа правильного багатокутника дорівнює половині добутку його периметра апофему.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

МАТЕРІАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

а - сторона восьмикутника,

R - радіус описаного кола,

r - радіус вписаного кола.

Сума внутрішніх кутів правильного n-кутника

180(n-2).

Градусний захід внутрішнього кута n-кутника

180(n-2): n.

Сторона правильного n-ка

Радіус вписаний у правильний багатокутник кола

Площа правильного n-ка

ВПРАВИ

1. а) Сума внутрішніх кутів шестикутника дорівнює:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 540°.
б) Сума внутрішніх кутів восьмикутника дорівнює:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 1080°.
Рішення:
а) За формулою сума кутів шестикутника дорівнює: 180 (6-2) = 180 * 4 = 720 ° .
Відповідь: 720 ° .


2. а) Сторона правильного багатокутника дорівнює 5 см, внутрішній кут дорівнює 144°
а) Сторона правильного багатокутника дорівнює 7 см, внутрішній кут дорівнює 150° . Знайдіть периметр багатокутника.
Рішення:
а) 1) Знайдемо кількість сторін багатокутника:
144 = 180 (n - 2): n;
144n = 180n-360;
36n = 360;
n=10.
2) Знайдемо периметр десятикутника: Р = 5 * 10 = 50 см.
Відповідь: 50 см.


3. а) Периметр правильного п'ятикутника дорівнює 30 см. Знайдіть діаметр кола, описаного навколо п'ятикутника.
б) Діаметр кола дорівнює 10 см. Знайдіть периметр вписаного до нього п'ятикутника.
Рішення:
а) 1) Знайдемо бік п'ятикутника: 30:5 = 6 див.
2) Знайдемо радіус описаного кола:
a=2R*sin(180 ° :n);
6 = 2R * sin (180 ° :5);
R=3:sin 36 ° = 3: 0,588 = 5,1 см
Відповідь: 5,1 см.


4. а) Сума внутрішніх кутів правильного багатокутника дорівнює 2520°
б) Сума внутрішніх кутів правильного багатокутника дорівнює 1800° . Знайдіть кількість сторін багатокутника.
Рішення:
а) Знайдемо кількість сторін багатокутника:
2520 ° = 180 ° (n-2);
2520 ° +360 ° =180 ° n;
2880 ° =180 ° n;
n=16.
Відповідь: 16 сторін.


5. а) Радіус кола, описаного біля правильного дванадцятикутника, дорівнює 5 см. Знайдіть площу багатокутника.
б) Радіус кола, описаного біля правильного восьмикутника, дорівнює 6 см. Знайдіть площу багатокутника.
Рішення:
а) Знайдемо площу дванадцятикутника:
S=0.5* R 2 *n*sin(360° :n) = 0,5 * 25 * 12 * sin30° =75 см 2 .
Відповідь: 75 см 2 .


6. Знайдіть площу шестикутника, якщо відома площа зафарбованої частини:

Площа трикутника АВС дорівнює 0,5*АВ*ВС*sin120° та дорівнює за умовою 48.

7. а) Знайдіть число сторін правильного багатокутника, якщо його зовнішній кут при вершині дорівнює 18° .
б) Знайдіть число сторін правильного багатокутника, якщо його зовнішній кут при вершині дорівнює 45° .
Рішення:
а) Сума зовнішніх кутівправильного багатокутника дорівнює 360 ° .
Знайдемо кількість сторін: 360 ° :18 ° =20.
Відповідь: 20 сторін.


8. Обчисліть площу кільця, якщо хорда АВ дорівнює:
а) 8 см; б) 10 див.

1) ОВ - радіус зовнішнього кола, ВІН - радіус внутрішнього кола. Площа кільця можна знайти за формулою: S кільця = S зовнішнього кола - S внутрішнього кола.

S= π *OB 2 - π *OH 2 = π (OB 2 -OH 2 ).

2) Розглянемо трикутник АВО – рівнобедрений (ОА=ОВ як радіуси). ВІН є в трикутнику АВО висотою та медіаною, отже, АН=НВ=8:2= 4 см.

3) Розглянемо трикутник ОНВ - прямокутний: НВ 2 =ОВ 2 -ВІН 2 , отже

ОВ 2 -ВІН 2 =16.

4) Знайдемо площу кільця:

S=π (OB 2 -OH 2 )=16 π см 2 .

Відповідь:16 π см 2 .

Р = 6 * АВ;

10. Доведіть, що у правильному восьмикутнику площа зафарбованої частини дорівнює:
а) чверті площі восьмикутника; б) половині площі восьмикутника:

1) Проведемо бісектриси кутів восьмикутника, вони перетнуться в точці О. Площа восьмикутника дорівнює сумі площ восьми рівних трикутників, що виходять, тобто. S (ABCDEFKM) = 8 * S (OEF).

2) Чотирьохкутник ABEF - паралелограм (АВ//EF і АВ=EF). Діагоналі паралелограма дорівнюють: AE = BF (як діаметри описаної близько восьмикутника кола), отже, ABEF - прямокутник. Діагоналі прямокутника ділять його на чотири рівновеликі трикутники.

3) Знайдемо площу чотирикутника AFKM:

S (ABEF) = 4 * S (OEF).

2 * S (AFKM) = S (ABCDEFKM) - S (ABEF) = 8 * S (OEF) - 4 * S (OEF) = 4 * S (OEF).

S (AFKM) = 2 * S (OEF).

4) Знайдемо відношення площі восьмикутника до площі зафарбованої частини:

S (ABCDEFKM) : S (AFKM) = 8 * S (OEF) : (2 * S (OEF)) = 4.

Що і потрібно було довести.

1) АВ = АС = 2R. Кут ВАС – прямий, т.к. площа сектора ВАС дорівнює чверті площі кола .

2) Розглянемо чотирикутник АТ 2 МО 1 . Він ромбом, т.к. всі сторони дорівнюють радіусу, а т.к. Один з кутів дорівнює 90°, то АТ 2 МО 1 - Квадрат.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РІШЕННЯ

1. Чому дорівнює сума зовнішніх кутів п'ятикутника?

2. Чому дорівнює площа восьмикутника, якщо площа зафарбованої області дорівнює 20?