У тетраедра всі сторони рівні. Об'єм тетраедра

Теорема Менела допускає цікаве стереометричне узагальнення.

Теорема Менела для тетраедра.

Якщо площина μ перетинає ребра АВ, НД, CDі DAтетраедра АВСDу точках А 1, В 1, З 1, D 1, то (2).

Назад, якщо для чотирьох точок А 1, В 1, З 1, D 1, що лежать відповідно на ребрах АВ, НД, СD, DAтетраедра, виконано рівність (2), ці чотири точки лежать в одній площині.

Доведення.

Нехай h 1 , h 2 , h 3, h 4- відстані від точок А, В, З, Dвідповідно до площини μ тоді; ; ; .

Залишилося перемножити отримані стосунки.

Для доказу зворотної теореми побудуємо площину А1, В1, С1. Нехай ця площина перетинає ребро DA у точці Т.

За доведеним , а за умовою тому (і по лемі) точки Ті D 1збігаються.Твердження доведено.

§2. Теорема Чеви

Теорема Чеви для трикутника.

Нехай крапки А 1 , 1 ,З 1лежать відповідно на сторонах НД, АСі ВАтрикутника АВС(Див. рис). Для того щоб відрізки АА 1 , ВВ 1 , СС 1перетиналися в одній точці, необхідно і достатньо, щоби виконувалося співвідношення: (3) (відрізки АА 1, ВВ 1, СС 1іноді називають чевіанами).

Доведення.

Необхідність. Нехай відрізки АА 1 , ВВ 1 , СС 1перетинаються у точці Мвсередині трикутника АВС .

Позначимо через S 1 , S 2 , S 3площі трикутників АМС, СМВ, АМВ, а через h 1 , h 2- відстані від точок Аі Удо прямої МС. Тоді аналогічно,. Перемноживши отримані пропорції, переконуємось у справедливості теореми.

Достатність. Нехай крапки А 1, В 1, З 1лежать на сторонах НД, СА, АС трикутника, і виконано співвідношення (3), М- точка перетину відрізків АА 1і ВВ 1, а відрізок СМперетинає бік АВу точці Q.Тоді, за вже доведеним , . З леми знову випливає збіг крапок Q=C 1. Достатність доведено.

Перейдемо тепер до просторового узагальнення теореми Чеви.

Теорема Чеви для тетраедра.

Нехай М- точка всередині тетраедра АВСD,а А 1 , 1 , С 1 і D 1- точки перетину площин СМD , AMD, АМВі СМВз ребрами АВ, В C , СDі DAвідповідно. Тоді (4). Назад: якщо для точок , то площині АВС , ВСD 1і DAB 1проходять через одну точку.

Доведення.

Необхідність легко отримати, якщо помітити, що точки А 1 , 1 ,З 1 , D 1лежать в одній площині (ця площина проходить через прямі А 1 З 1і 1 D 1, що перетинаються в точці М), і застосувати теорему Менелая. Зворотна теорема доводиться так само, і зворотна теоремі Менелая в просторі: потрібно провести площину через точки А 1, В 1, З 1і довести за допомогою леми, що ця площина перетне ребро DAу точці D 1 .

§3. Властивості медіан та бімедіан тетраедра

Медіаною тетраедра називається відрізок, що з'єднує вершину тетраедра з центром ваги протилежної грані (точкою перетину медіан).

Теорема (Застосування теореми Менела).

Медіани тетраедра перетинаються в одній точці. Ця точка ділить кожну медіану щодо 3:1, рахуючи від вершини.

Доведення.

Проведемо дві медіани: DD 1 і CC 1 тетраедра ABCD. Ці медіани перетнуться в точці F . CL– медіана грані ABC , DL– медіана грані ABD, а D 1 , C 1 - Центри тяжіння грані ABCі ABD. За теоремою Менела: і . Запишемо теорему для трикутника DLD 1 : ; => Доказ проводиться аналогічно до будь-якої іншої пари медіан.

Теорема (застосування теореми Чеви).

Для початку дамо визначення деяких елементів тетраедра. Відрізок, що з'єднує середини ребер тетраедра, що схрещуються, називається бімедіаною. Бівисотами (за аналогією) називають загальні перпендикуляри ребер, що схрещуються.

Теорема.

Бімедіани тетраедра перетинаються в тій же точці, що і медіани тетраедра.

Доведення.

У трикутнику LDCвідрізки DCі LFперетнуться в точці K. За теоремою Чеви для цього трикутника: , тобто. CK = KD, LK - бімедіана.

Зауваження 1.

FL = FK. Теорема Менела для трикутника DLK : , , звідси LF = FK .

Примітка 2.

Крапка Fє центром тяжкості тетраедра. , , отже.

1.2 Різні види тетраедрів

§1. Піфагорові тетраедри

Трикутник називається піфагоровим, якщо в нього один кут прямої, а відношення будь-яких сторін раціонально (тобто застосовуючи подібність, можна з нього отримати прямокутний трикутник із цілими довжинами сторін).

За аналогією з цим тетраедр називають піфагоровим, якщо його плоскі кути при одній з вершин прямі, а відношення будь-яких двох ребер раціонально (з нього за допомогою подібності можна отримати тетраедр з прямими плоскими кутами при одній з вершин і цілими довжинами ребер).

Спробуємо вивести "Рівняння піфагорових тетраедрів", тобто. таке рівняння з трьома невідомими ξ, η, ζ, що будь-який тетраедр піфагорів дає раціональне рішення цього рівняння, і навпаки, будь-яке раціональне рішення рівняння дає піфагорів тетраедр.

Спочатку дамо спосіб опису всіх піфагорових трикутників.

На малюнку трикутник ОАВ- прямокутний, довжини його катетів позначені через аі b, а діна гіпотенузи - через р. Число (1) умовимося називати параметром прямокутного трикутника ОАВ(або точніше, параметром "щодо катета а"). Використовуючи співвідношення р 2 = а 2 + b 2, маємо:

З цих рівнянь безпосередньо отримаємо формули, що виражають відносини сторін прямокутного трикутника через його параметр:

і (2).

З формул (1) і (2) безпосередньо випливає таке твердження: для того, щоб прямокутний трикутник був піфагоровим, необхідно і достатньо, щоб ξ було раціональним. Справді, якщо трикутник піфагорів, то (1) випливає, що ξ раціонально. Назад, якщо ξ раціонально, то згідно (2) відносини сторін раціональні, тобто трикутник піфагорів.

Нехай тепер ОАВС- тетраедр, у якого плоскі кути при вершині Пропрямі. Довжини ребер, що виходять з вершини О, позначимо через a, b, с, а довжини ребер, що залишилися через р, q, r .

Розглянемо параметри трьох прямокутних трикутників ОАВ, ОВС, ОСА:

Тоді за формулами (2) можна виразити відносини сторін цих прямокутних трикутників через їх параметри:

З (4) безпосередньо випливає, що параметри ξ, η, ζ , задовольняють співвідношення (6). Це і є загальне рівнянняпіфагорових тетраедрів.

З формул (3) - (5) безпосередньо випливає таке твердження: для того, щоб тетраедр ОАВСз прямими плоскими кутами при вершині О був піфагоровим, необхідно і достатньо, щоб параметри ξ, η, ζ (що задовольняють рівняння (6)) були раціональними.

Продовжуючи аналогію піфагорового трикутника з піфагоровим тетраедром, спробуємо сформулювати та довести просторове узагальнення теореми Піфагора для прямокутних тетраедрів, яка, очевидно, буде вірною і для піфагорових тетраедрів. У цьому допоможе наступна лема.

Лемма 1.

Якщо площа багатокутника дорівнює S, то площа його проекції на площину π дорівнює де φ - Кут між площиною π і площиною багатокутника.

Доведення.

Затвердження леми є очевидним для трикутника, одна сторона якого паралельна лінії перетину площини π з площиною багатокутника. Справді, довжина цієї сторони при проекції не змінюється, а довжина висоти, опущеної її у проекції, змінюється в cosφразів.

Доведемо тепер, що будь-який багатогранник можна поділити на трикутники цього виду.

Проведемо при цьому через всі вершини багатокутника прямі, паралельні лінії перетину площин, багатокутник розріжеться у своїй на трикутники і трапеції. Залишається розрізати кожну трапецію за будь-якою з її діагоналей.

Теорема 1(Просторова теорема Піфагора).

У прямокутному тетраедрі АВСDз плоскими кутами при вершині Dсума квадратів площ трьох його прямокутних граней дорівнює квадрату площі грані АВС .

Доведення.

Нехай α - кут між площинами АВСі DВС, D"- Проекція точки Dна площину АВС. Тоді S ΔDBC = СоsαS ΔАBCі S ΔD"BC = c оsαS ΔDBC(по лемі 1), тому c оsα = . S Δ D " BC = .

Аналогічні рівності можна здобути і для трикутників D"АВі D"АС. Складаючи їх та враховуючи, що сума площ трикутників D"ВС , D"АСі D"АВдорівнює площі трикутника АВСотримуємо необхідне.

Завдання.

Нехай усі плоскі кути при вершині Dпрямі; a , b , c- Довжини ребер, що виходять з вершини Dна площину ABC. Тоді

Доведення.

За теоремою Піфагора для прямокутного тетраедра

З іншого боку

1= ) => .

§2. Ортоцентричні тетраедри

На відміну від трикутника, висоти якого завжди перетинаються в одній точці - ортоцентрі, не всякий тетраедр має аналогічну властивість. Тетраедр, висоти якого перетинаються в одній точці, називається ортоцентричним. ми почнемо вивчення ортоцентричних тетраедрів з необхідних та достатніх умов ортоцентричності, кожну з яких можна прийняти за визначення ортоцентричного тетраедра.

(1) Висоти тетраедра перетинаються в одній точці.

(2) Основи висот тетраедра є ортоцентрами граней.

(3) Кожні два протилежні ребра тетраедра перпендикулярні.

(4) Суми квадратів протилежних ребер тетраедра дорівнюють.

(5) Відрізки, що з'єднують середини протилежних ребер тетраедра, дорівнюють.

(6) Добутки косінусів протилежних двогранних кутів рівні.

(7) Сума квадратів площ граней вчетверо менша від суми квадратів творів протилежних ребер.

Доведемо деякі з них.

Доказ (3).

Нехай кожні два протилежні ребра тетраедра перпендикулярні.

Отже, висоти тетраедра попарно перетинаються. Якщо кілька прямих попарно перетинаються, вони лежать у одній площині чи проходять через одну точку. В одній площині висоти тетраедра лежати не можуть, тому що інакше в одній площині лежали б і його вершини, тому вони перетинаються в одній точці.

Взагалі кажучи, щоб висоти тетраедра перетиналися лише у точці, потрібно й досить вимагати перпендикулярність лише двох пар протилежних ребер. Доказ цієї пропозиції безпосередньо випливає з наступного завдання.

Завдання 1.

Даний довільний тетраедр ABCD. Доведіть, що .

Рішення.

Нехай а= , b= , с=. Тоді , і складаючи ці рівності, отримуємо необхідне.

Нехай а= , b = і з =. Рівність 2 + 2 = 2 + 2 , що ті. (А,с) = 0. Застосовуючи даний алгоритм до інших пар протилежних ребер, очевидно, отримаємо шукане твердження.

Наведемо доказ якості (6).

Для доказу використовуємо такі теореми:

Теорема синусів. «Твор довжин двох протилежних ребер тетраедра, поділений на добуток синусів двогранних кутів при цих ребрах, те саме для всіх трьох пар протилежних ребер тетраедра».

Теорема Бертшнейдер. «Якщо aі b- Довжини двох схрещуються ребер тетраедра, а - двогранні кути при цих ребрах, то величина не залежить від вибору пари ребер, що схрещуються.

Скориставшись теоремою синусів для тетраедра і теоремою Бертшнейдера, отримуємо, що твори косінусів протилежних двогранних кутів рівні тоді й лише тоді, коли рівні суми квадратів протилежних ребер, з чого й випливає справедливість якості (6) ортоцентричного тетраедра.

На закінчення пункту про ортоцентричний тетраедр вирішимо кілька завдань на цю тему.

Завдання 2.

Доведіть, що в ортоцентричному тетраедрі виконується співвідношення ВІН 2 = 4R 2 -3d 2, де Про- Центр описаної сфери, H- точка перетину висот, R- радіус описаної сфери, d-відстань між серединами протилежних ребер.

Рішення.

Нехай Доі L- середини ребер АВі СDвідповідно. Крапка Нлежить у площині, що проходить через СDперепендикулярно АВ, а крапка Про- у площині, що проходить черех Доперпендикулярно АВ.

Ці площини симетричні щодо центру мас тетраедра – середини відрізка KL. Розглядаючи такі площини для всіх ребер, отримуємо, що точки Ні Просиметричні щодо М, а значить КLМО- Паралелограм. Квадрати його сторін рівні і тому. Розглядаючи перетин, що проходить через точку Мпаралельно АВі СD, отримуємо що АВ 2 +CD 2 = 4d 2 .

Тут можна додати, що пряму, на якій лежать крапки О, Мі Н, Називають прямий Ейлера ортоцентричного тетраедра.

Зауваження.

Поряд із прямою Ейлера можна відзначити існування сфер Ейлера для ортоцентричного тераедра, про які і йтиметься у наступних завданнях.

Завдання 3.

Довести, що для ортоцентричного тетраедра кола 9 точок кожної грані належать до однієї сфери (сфери 24 точок). Для вирішення цього завдання необхідно довести умову наступного завдання.

Завдання 4.

Довести, що середини сторін трикутника, основи висот та середини відрізків висот від вершин до точки їх перетину лежать на одному колі – колі 9 точок (Ейлер).

Доведення.

Нехай АВС- даний трикутник, Н- точка перетину його висот, А 1, В 1, З 1- середини відрізків АН, ВН, СН; АА 2- Висоти, А 3- середина НД. Вважатимемо для зручності, що АВС- Гострокутний трикутник. Оскільки У 1 А 1 З 1 =ВАСі ΔВ 1 А 2 С 1 =ΔВ 1 НС 1, то В 1 А 2 З 1 = В 1 НС = 180 ° - У 1 А 1 З 1, тобто. крапки А 1, В 1, А 2, С 1лежать на одному колі. Також легко побачити, що В 1 А 3 С 1 = В 1 НС = 180 ° - В 1 А 1 С 1, тобто. крапки А 1, В 1, А 3, З 1теж лежать на одному (а значить на тому ж) колі. Звідси випливає, що всі 9 точок, про які йдеться в умові, лежать на одному колі. Випадок тупокутного трикутника АВСрозглядається аналогічно.

Зауважимо, що окружність 9 точок гомотетична описаного кола з центром Н і коефіцієнтом (саме так розташовані трикутники АВСі А 1 В 1 З 1). З іншого боку, коло 9 точок гомотетична описаного кола з центром у точці перетину медіан трикутника. АВСі коефіцієнтом (саме так розташовані трикутники АВС та трикутник з вершинами в серединах його сторін).

Тепер, після визначення кола 9 точок, можна перейти до доказу умови задачі 3.

Доведення.

Перетин ортоцентричного тетраедра будь-якою площиною, паралельною протилежним ребрам і проходить на рівній відстані від цих ребер, є прямокутник, діагоналі якого рівні відстані між серединами протилежних ребер тетраедра (усі ці відстані рівні між собою, див. необхідну і достатню умову ортоцентр. середини всіх ребер ортоцентричного тетраедра лежать на поверхні сфери, центр якої збігається з центром тяжкості даного тетраедра, а діаметр дорівнює відстані між серединами протилежних ребер тетраедра.

Завдання 5.

Довести, що для ортоцентричного тетраедра центри ваги та точки перетину висот граней, а також точки, що ділять відрізки кожної висоти тетраедра від вершини до точки перетину висот щодо 2:1, лежать на одній сфері (сфері 12 точок).

Доведення.

Нехай крапки О, Мі Н- відповідно центр описаної кулі, ценетр тяжкості та ортоцентр ортоцентричного тетраедра; М- середина відрізка ВІН(Див. Завдання 2). Центри тяжкості граней тетраедра служать вершинами тетраедра, гомотетичного, з центром гомотетіії в точці Мі коефіцієнтом при цій гомотетії точка Проперейде в крапку Про 1, розташовану на відрізку МНтак що , Про 1буде центром сфери граней, що проходить через центри ваги.

З іншого боку, точки, що ділять відрізки висот тетраедра від вершин до ортоцентру щодо 2:1, служать вершинами тетраедра, гомотетичного даному з центром гомотетії в Ні коефіцієнтом. При цій гомотетії крапка ПроЯк легко бачити, перейде в ту ж точку Про 1. Таким чином, вісім з дванадцяти точок лежать на поверхні сфери з центром Про 1і радіусом, втричі меншим, ніж радіус сфери, описаної біля тетраедра.

Доведемо, що точки перетину висот кожної грані лежать лежить на поверхні тієї ж сфери.

Нехай О`, Н`і М`- центр описаного кола, точка перетину висот і центр тяжкості будь-якої грані. О`і Н`є проекціями точок Проі Нна площину цієї грані, а відрізок М`ділить відрізок Про `Н`щодо 1:2, рахуючи від О`(Відомий планиметричний факт). Тепер легко переконатися, що проекція Про 1на площину цієї грані - точка Про `1збігається з серединою відрізка М`Н`, тобто. Про 1рівновіддалена від М`і Н`що було потрібно.

§3. Каркасні тетраедри

Каркасним називається тетраедр, для якого існує сфера, що стосується всіх шести ребер тетраедра. Не всякий каркасний тетраедр. Наприклад, легко зрозуміти, що не можна побудувати сферу, що стосується всіх ребер рівногранного тетраедра, якщо описаний паралелепіпед "довгий".

Перерахуємо властивості каркасного тетраедра.

(1) Існує сфера, що стосується всіх ребер тетраедра.

(2) Суми довжин ребер, що схрещуються, рівні.

(3) Суми двогранних кутів при протилежних ребрах дорівнюють.

(4) Кола, вписані в межі, попарно торкаються.

(5) Всі чотирикутники, що виходять на розгортці тетраедра, описані.

(6) Перпендикуляри, відновлені до граней із центрів вписаних у них кіл, перетинаються лише у точці.

Доведемо кілька властивостей каркасного тераедра.

Підтвердження (2).

Нехай Про- Центр сфери, що стосується чотирьох ребер у внутрішніх точках. зауважимо тепер, що якщо з точки Хпровести дотичні ХРі ХQдо сфери з центром Про, то точки Рі Qсиметричні щодо площини, що проходить пряму ХОі середину відрізка PQ, а значить площині РОХі QОХутворюють із площиною ХРQрівні кути.

Проведемо 4 площини, що проходять через точку Про і ребра тетраедра, що розглядаються. Вони розбивають кожен із розглянутих двогранних кутів на два двогранні кути. Вище було показано, що отримані двогранні кути, що прилягають до однієї грані тетраедра, дорівнюють. Як в одну, так і в іншу суму двогранних кутів, що розглядається, входить по одному отриманому куту для кожної грані тетраедра. Проводячи аналогічні міркування для інших пар ребер, що схрещуються, отримаємо справедливість властивості (2).

Згадаймо деякі властивості описаного чотирикутника:

a) Плоский чотирикутник буде описаним тоді і лише тоді, коли суми його протилежних сторін дорівнюють;

b) Якщо описаний чотирикутник розбити діагоналлю на два трикутники, то вписані в трикутники кола стосуються

Враховуючи ці властивості, легко довести решту властивостей каркасного тетраедра. Властивість (3) тетраедра безпосередньо випливає із властивості (b), а властивість (4) із властивості (a) та властивості (1) тетраедра. Властивість (5) із якості (3). Справді, адже кола вписані в грані тетраедра є перетинами його граней зі сферою, що стосується ребер, звідки очевидно, що перпендикуляри, відновлені в центрах вписаних у межі кіл неминуче перетнуться в центрі цієї сфери.

Завдання 1.

Сфера стосується ребер АВ, НД, СDі DAтетраедра АВСDу точках L, M, N, K,є вершинами квадрата. Доведіть, що якщо ця сфера стосується ребра АС, то вона стосується і ребра BD .

Рішення.

За умовами КLMN- Квадрат. Проведемо через крапки К, L, M, Nплощини, що стосуються сфери. Оскільки всі ці площини однаково нахилені до площини КLMN, то вони перетинаються в одній точці S, розташованої на прямій ГО 1, де - центр сфери, а Про 1- Центр квадрата. Ці площини перетинають поверхню квадрата. KLMNпо квадрату TUVW, серединами сторін якого є точки К, L, M, N. У чотиригранному вугіллі STUVW з вершиною S усі плоскі кути рівні, а точки К, L, M, Nлежать на бісектрисах його плоских кутів, причому SK=SL=SM=SN. Отже,

SA=SCі SD=SB, а значить АК=АL=CM=CNі ВL=BM=DN=DK. За умовою АСтеж стосується кулі, тому А C =АК+CN=2АК. А оскільки SK- бісектриса кута DSA, то DK:КА=DS:SA=DВ:АС. З рівності АС = 2АКслід тепер, що DВ=2DK. Нехай Р- середина відрізка DВтоді Рлежить на прямій SO. Трикутники DOKі DOPрівні, т.к. DK=DPі DКО = DPO = 90 ° .Тому ОР=ОК=R, де R- радіус сфери, а отже, DBтакож стосується сфери.

§4. Рівногранні тетраедри

Рівногранним називається тетраедр, усі грані якого рівні. Щоб уявити собі рівногранний тетраедр, візьмемо довільний трикутник з паперу, і будемо згинати його по середніх лініях. Тоді три вершини зійдуться в одну точку, а половинки сторін зімкнуться, утворюючи бічні ребра тетраедра.

(0) Грані конгруентні.

(1) Ребра, що схрещуються, попарно рівні.

(2) Тригранні кути рівні.

(3) Протилежні двогранні кути рівні.

(4) Два плоскі кути, що спираються на одне ребро, рівні.

(5) Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180°.

(6) Розгортка тетраедра – трикутник або паралелограм.

(7) Описаний паралелепіпед прямокутний.

(8) Тетраедр має три осі симетрії.

(9) Загальні перпендикуляри ребер, що схрещуються, попарно

перпендикулярні.

(10) Середні лінії попарно перпендикулярні.

(11) Периметри граней рівні.

(12) Площі граней рівні.

(13) Висоти тетраедра рівні.

(14) Відрізки, що з'єднують вершини з центрами важкості протилежних граней, рівні.

(15) Радіуси описаних біля граней кіл рівні.

(16) Центр тяжкості тетраедра збігається із центром описаної сфери.

(17) Центр тяжкості збігається із центром вписаної сфери.

(18) Центр описаної сфери збігається із центром вписаної.

(19) Вписана сфера стосується граней у центрах описаних у цих

граней кіл.

(20) Сума зовнішніх одиничних нормалей (поодиноких векторів,

перпендикулярних до граней), що дорівнює нулю.

(21) Сума всіх двогранних кутів дорівнює нулю.

Практично всі властивості рівногранного тетраедра випливають із його

визначення, тому доведемо лише деякі з них.

Доказ (16).

Т.к. тетраедр ABCDрівногранний, то за якістю (1) AB=CD. Нехай точка Довідрізка АВ, а крапка Lсередина відрізка DC, звідси відрізок KLбімедіана тетраедра ABCD, звідки за властивостями медіан тетраедра випливає, що точка Про- середина відрізка KL, є центром тяжкості тетраедра ABCD .

До того ж медіани тетраедра перетинаються в центрі тяжкості, точці Про, і діляться цією точкою щодо 3:1, рахуючи від вершини. Далі, враховуючи вищесказане та властивість (14) рівногранного тетраедра, отримуємо наступну рівність відрізків АТ = ВО = СО = DО, З якого і випливає, що точка Проє центром описаної сфери (за визначенням описаної у багатогранника сфери).

Назад. Нехай Доі L- середини ребер АВі СDвідповідно, точка Про- Центр описаної сфери тетраедра, тобто. середина відрізка KL. Т.к. Про- центр описаної сфери тетраедра, то трикутники AOBі COD- рівнобедрені з рівними бічними сторонами та рівними медіанами OKі OL. Тому ΔAOB =ΔCOD. А значить AB=CD. Аналогічно доводиться рівність інших пар протилежних ребер, з чого за якістю (1) рівногранного тетраедра і слідуватиме шукане.

Доказ (17).

Розглянемо бісектор двогранного кута при ребрі AB, він розділить відрізок DC щодо площ граней ABDі ABC .

Т.к. тетраедр ABCDрівногранний, то за якістю (12) S ΔABD =S ΔABD =>DL=LСзвідки випливає, що біссектор ABLмістить бімедіану KL. Застосовуючи аналогічні міркування інших двогранних кутів, і беручи до уваги те що, що біссектори тетраедра перетинаються лише у точці, що є центром вписаної сфери, отримуємо, що ця точка неминуче буде центром тяжкості даного рівногранного тетраедра.

Назад. З того, що центр тяжкості та центр вписаної сфери збігаються маємо таке: DL=LC=>SABD=SADC. Доводячи подібним чином рівновеликість всіх граней і, застосовуючи властивість (12) рівногранного тетраедра, отримуємо шукане.

Тепер доведемо властивість (20). Для цього спочатку потрібно довести одну з властивостей довільного тетраедра.

тетраедр теорема шкільний підручник

Лемма 1.

Якщо довжини векторів перпендикулярних до граней тетраедра чисельно дорівнюють площам відповідних граней, сума цих векторів дорівнює нулю.

Доведення.

Нехай Х- точка всередину та багатогранника, h i (i=1,2,3,4)- відстань від неї до площини i-ой грані.

Розріжемо багатогранник на піраміди з вершиною Х, підставами яких є його грані. Об'єм тетраедра Vдорівнює сумі обсягів цих пірамід, тобто. 3 V=∑h i S i, де S iплоща i-ой грані. Нехай далі, n i- одиничний вектор зовнішньої нормалі до i-ої грані, Mi - довільна точка цієї грані. Тоді h i = (ХM i , S i n i)тому 3V=∑h i S i =∑(ХM i , S i n i)=(ХО, S i n i)+(ОМI , S i n i)=(ХО, ∑S i n i)+3V, де Про- деяка фіксована точка тетраедра, отже, ∑S i n i =0 .

Далі очевидно, що властивість (20) рівногранного тетраедра є окремим випадком вищезазначеної леми, де S 1 =S 2 =S 3 =S 4 =>n 1 =n 2 =n 3 =n 4, і так як площі граней не дорівнюють нулю, отримуємо правильну рівність n 1 +n 2 +n 3 +n 4 =0 .

На закінчення розповіді про рівногранному тетраедрі наведемо кілька завдань на цю тему.

Завдання 1.

Пряма, що проходить через центр мас тетраедра та центр описаної біля нього сфери, перетинає ребра ABі CD. Доведіть, що AC=BDі AD=BC .

Рішення.

Центр мас тетраедра лежить на прямій, що з'єднує середини ребер АВі СD .

Отже, на цій прямій лежить центр описаної сфери тетраедра, а значить, вказана пряма перпендикулярна ребрам АВі СD. Нехай З`і D`- Проекції точок Cі Dна площину, що проходить через пряму АВпаралельно СD. Т.к. AC`BD`- паралелограм (за побудовою), то АС = ВDі АD = НД .

Завдання 2.

Нехай h- Висота рівногранного тетраедра, h 1і h 2- відрізки, куди одна з висот грані ділиться точкою перетину висот цієї грані. Довести, що h 2 = 4h 1 h 2; довести також, що основа висоти тетраедра і точка перетину висот грані, на яку ця висота опущена, симетричні щодо центру кола, описаного біля цієї грані.

Доведення.

Нехай АВСD- даний тетраедр, DH- Його висота, DA 1, DВ 1, DС 1- Висоти граней, опущені з вершини Dна сторони ВС, СА та АВ .

Розріжемо поверхню тетраедра вздовж ребер DA, DB, DC, і зробимо розгортку. Очевидно, що Нє точка перетину висот трикутника D 1 D 2 D 3. Нехай F- точка перетину висот трикутника ABC, АК- Висота цього трикутника, АF=h 1 , FК=h 2. Тоді D 1 Н=2h 1 , D 1 A 1 =h 1 -h 2 .

Отже, оскільки h- Висота нашого тетраедра, h 2 =DН 2 =DA 2 - НA 1 2 = (h 1+ h 2) 2 - (h 1 - h 2) 2 =4h 1 h 2.Нехай тепер М- центр тяжкості трикутника ABC(він же центр тяжкості трикутника D 1 D 2 D 3), Про- Центр описаної біля нього кола. Відомо що F, Мі Пролежать на одній прямій (пряма Ейлера), причому М- між Fі Про , FM =2МО, з іншого боку, трикутник D 1 D 2 D 3гомотетичний трикутнику АВСз центром у Мта коефіцієнтом (-2), значить МН = 2FM. З цього виходить що ВІН = FO .

Завдання 3.

Довести, що в рівногранному тетраедрі основи висот, середини висот та точки перетину висот граней лежать на поверхні однієї сфери (сфери 12 точок).

Доведення.

Вирішуючи задачу 2, ми довели, що центр описаної біля тетраедра сфери проектується на кожну грань у середину відрізка, кінцями якого є основа висоти, опущеної на цю грань, і точка перетину висот цієї грані. А оскільки відстань від центру описаної біля тетраедра сфери до грані дорівнює де h- висота тетраедра, центр описаної сфери віддалений від даних точок на відстань , де а- Відстань між точкою перетину висот і центром описаного біля грані кола.

§5. Інцентричні тетраедри

Відрізки, що з'єднують центри ваги граней тетраедра з протилежними вершинами (медіани тетраедра), завжди перетинаються лише у точці, ця точка - центр тяжкості тетраедра. Якщо в цій умові замінити центри тяжіння граней на ортоцентри граней, воно перетвориться на нове визначення ортоцентричного тетраедра. Якщо ж замінити їх на центри вписаних у межі кіл, які іноді називають інцентрами, ми отримаємо визначення нового класу тетраедрів - інцентричних.

Ознаки класу інцентричних тетраедрів також досить цікаві.

(1) Відрізки, що з'єднують вершини тетраедра з центрами кіл, вписаних у протилежні грані, перетинаються в одній точці.

(2) Бісектриси кутів двох граней, проведеного до спільного ребра цих граней, мають загальну основу.

(3) Добутки довжин протилежних ребер рівні.

(4) Трикутник, утворений іншими точками перетину трьох ребер, що виходять з однієї вершини, з будь-якою сферою, що проходить через три кінці цих ребер, є рівностороннім.

Підтвердження (2).

За якістю (1), якщо DF, BE, CF, AM- бісектриси відповідних кутів у трикутниках АВСі FBD, то відрізки КСі LDбуду мати загальну точку I(Див. рис). Якщо ж прямі DKі СLне перетинаються в точці F, то, очевидно, КСі DLне перетинаються, чого не може (за визначенням інцентричного тетраедра).

Доказ (3).

Враховуючи властивість (2) та властивість бісектриси, отримуємо співвідношення:

; .

§6. Пропорційні тетраедри

Пропорційними називаються тетраедри, у яких

(1) Бивисоти рівні.

(2) Проекція тетраедра на площину, перпендикулярну до будь-якої бімедіани, є ромб.

(3) Грані описаного паралелепіпеда рівновеликі.

(4) 4а 2 а 1 2 - (b 2 +b 1 2 -c 2 -c 1 2) 2 =4b 2 b 1 2 - (c 2 +c 1 2 -a 2 -a 1 2) 2 =4c 2 c 1 2 - (a 2 +a 1 2 -b 2 -b 1 2) 2, де аі а 1 , bі b 1 , зі з 1- Довжини протилежних ребер.

Для доказу еквівалентності визначень (1) - (4) досить помітити, що бівисоти тетраедра рівні висот паралелограма, що є його проекцією, згадуваної у властивості (2), і висот описаного паралелепіпеда, і що квадрат площі паралелепіпеда, що містить, скажімо с,дорівнює , а скалярний добуток виражається через ребра тетраедра за формулою (4).

Додамо сюди ще дві умови пропорційності:

(5) Для кожної пари протилежних ребер тетраедра площини, проведені через одне з них та середину другого, перпендикулярні.

(6) В описаний паралелепіпед пропорційного тетраедра можна вписати сферу.

§7. Правильні тетраедри

Якщо ребра тетраедра рівні між собою, рівні між собою будуть і тригранні, і двогранні, і плоскі кути. У такому разі тетраедр називається правильним. Зауважимо також, що такий тетраедр є ортоцентричним, і каркасним, і рівногранним, і інцентричним, і пропорційним.

Зауваження 1.

Якщо тетраедр є рівногранним і належить до одного з таких видів тетраедрів: ортоцентричний, каркасний, інцентричний, пропорційний, то він буде правильним.

Примітка 2.

Тетраедр є правильним, якщо він належить до двох будь-яких видів тетраедрів із перерахованих: ортоцентричний, каркасний, інцентричний, пропорційний, рівногранний.

Властивості правильного тетраедра:

Кожна його вершина є вершиною трьох трикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнюватиме 180º

(0) У правильний тетраедр можна вписати октаедр, причому чотири (з восьми) грані октаедра будуть поєднані з чотирма гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть поєднані з центрами шести ребер тетраедра.

(1) Правильний тетраедр складається з одного вписаного октаедра (в центрі) і чотирьох тетраедрів (по вершинах), причому ребра цих тетраедрів і октаедра вдвічі менші за ребер правильного тетраедру

(2) Правильний тетраедр можна вписати в куб двома способами, до того ж чотири вершини тетраедра будуть поєднані з чотирма вершинами куба.

(3) Правильний тетраедр можна вписати в ікосаедр, причому чотири вершини тетраедра будуть поєднані з чотирма вершинами ікосаедра.

Завдання 1.

Довести, що ребра правильного тетраедра, що схрещуються, взаємно перпендикулярні.

Рішення:

Нехай DH –висота правильного тетраедра, точка H – центр правильного Δ ABC . Тоді проекцією відрізка AD на площину основи ABC буде відрізок BH . Т.к. BH AC , то за теоремою про три перпендикуляри похила BD AC .

Завдання 2.

Даний правильний тетраедр МАВСз ребром 1. знайдіть відстань між прямими ALі МО, де L-середина ребра МС , Про-Центр грані АВС.

Рішення:

1. Відстань між двома схрещувальними прямими - це довжина перпендикуляра, опущеного з однієї прямої, до площини, паралельної цій прямій і містить другу пряму.

2. Будуємо проекцію AKвідрізка ALна площину ABC. Площина AKLперпендикулярна до площини ABC, паралельна прямий MOі містить пряму AL. Значить, довжина, що шукається, - це довжина перпендикуляра ON, опущеного з точки Oдо AK .

3. Знайдемо S Δ KHA двома способами.

S Δ = .

З іншого боку: S Δ KHA =

тому ρ.

Знайдемо ON : ρ= .

Завдання 3.

Кожне ребро трикутної піраміди PABCодно 1; BD- Висота трикутника ABC. Рівносторонній трикутник BDEлежить у площині, що утворює кут ϕ з рубом AC, причому точки Pі Eлежать по один бік від площини ABC. Знайдіть відстань між точками Pі E .

Рішення.Оскільки всі ребра піраміди PABCрівні, це правильний тетраедр. Нехай M– центр основи ABC , N- ортогональна проекція вершини Eрівностороннього трикутника BDEна площину ABC ,K– середина BD ,F- Основа перпендикуляра, опущеного з точки Eна висоту PMтетраедра PABC. Так як EK BD, то за теоремою про три перпендикуляри NK BDтому EKN- Лінійний кут двогранного кута, утвореного площинами ABCі BDE, А т.к. NK || AC, то EKN = ϕ . Далі маємо:

BD = , MD = , KD = , BD = , PM = ,

KM = KD - MD = - = , EK = BD · = , EN = EK sin ϕ = sin ϕ ,

NK = EK cos ϕ = cos ϕ , MN 2= NK 2+ KM 2 = cos 2ϕ + ,

PE 2= EF 2+ PF 2= MN 2 + (PM - MF)2= MN 2 + (PM - EN)2 =

= cos 2ϕ + + ( - sin ϕ )2 = cos 2ϕ + + - sin ϕ + sin 2ϕ == + + - sin ϕ = - sin ϕ = - sin ϕ .

Отже,

PE = = .

Завдання 4.

Знайди кути між схрещеними висотами сусідніх граней тетраедра.

Рішення.

Випадок №1.

Нехай BKі DF- Висоти граней ABCі BCD. BK, FD = α . Позначимо довжину ребра тетраедра як a. Проведемо FL || BKтоді α = DFL . , KL = LC.

Δ DLF :

; ; ; .

Випадок №2 (висота розташована інакше).

BKі CN- Висоти граней ABCі BCD. Проведемо FP || CNі FL || BK . ; . Знайдемо LP .DO- Висота правильного тетраедра, DO = , Q- Проекція Pна площину ABC , . ,

Запишемо теорему косінусів для Δ LFP :

Так як кут між прямими за визначенням гострий

Розділ II. Тетраедр в курсі математики середньої школи

§1. Порівняльна характеристика викладу теми «тетраедр» у шкільних підручниках

У шкільному курсі геометрії вивчення основ теми «Тетраэдр» відводиться досить багато часу. Методичних проблем проведення цієї теми практично не виникає, тому що учні знають, що таке піраміда (в т.ч. і трикутна), як з пропедевтичних курсів колишніх років навчання математики, так і життєвого досвіду. Правильний тетраедр асоціюється з його плоским аналогом - правильним трикутником, а рівність сторін із рівністю ребер чи граней.

Однак проблеми у вивченні теми для учнів існують, і різні підручники намагаються вирішити їх у різний спосіб (порядком викладу теоретичного матеріалу, рівнем складності завдань тощо). Дамо коротку характеристику поширених підручників геометрії щодо вивчення тетраедра.

Виклад теми «Тетраедр» у підручнику «Геометрія» для 10-11 класів Атанасяна Л. С. та ін.

У базовомупідручнику «Геометрія» для 10-11 класів середньої школи Атанасяна Л. С. та ін. інформацію про тетраедр можна знайти в 7 параграфах (12, 14, 28, 29, 32, 33, 69).

Автори підручника визначають тетраедр як поверхню, що складається з чотирьох трикутників. З теоретичної бази підручника для 10 класу можна отримати знання про грані, ребра і вершини тетраедра, про побудову перерізів тетраедра площиною, обчислення площі повної поверхні тетраедра, в т.ч. і усіченого (глава III, § 2 «Піраміда»).

Теоретичний матеріал підручника викладено компактно та стилістично однаково. Деякий теоретичний матеріал розташований у практичній частині підручника (докази деяких теорем проводиться у завданнях). Практичний матеріал підручника поділено на два рівні складності (є т.зв. «завдання підвищеної труднощі», відзначені спеціальним символом «*»). Крім того, в кінці підручника є задачник із завданнями високої складності, деякі з яких стосуються тетраедра. Розглянемо деякі завдання підручника.

Вирішення задач.

Завдання 1 (№300). У правильній трикутній піраміді DABCкрапки E, F та P- середини сторін BC , AB та AD. Визначте вид перерізу та знайдіть його площу, якщо сторона основи піраміди дорівнює a, бічне ребро одно b.

Рішення.

Будуємо переріз площиною, що проходить через крапки E, F, P. Проведемо середню лінію трикутника ABC , EF || AC ,

EF || AC,а A Cлежить у пл. D CA, значить EF || пл. DCA.Площина перерізу перетне грань DCAпо прямій PK.

Т.к. площина перерізу проходить через пряму EFпаралельну площині DCAі перетинає площину DCA,то лінія перетину PKпаралельна прямий EF.

Побудуємо в грані BDAвідрізок FP,а в грані BDC -відрізок EK.Чотирикутник EFOKі є шуканий переріз. EF || AC, PK || EF || AC, , , значить.

Т.к. PK || EF та PK = EF,то EFPK -паралелограм. Таким чином, EK || EP, EP -середня лінія трикутника BCD, .

Кут між схрещувальними прямими DBі CAдорівнює 90 °. Доведемо це. Збудуємо висоту піраміди DO. Крапка O- центр правильного трикутника ABC. Продовжимо відрізок BOдо перетину зі стороною ACу точці M. У правильному трикутнику ABC: BM- висота, медіана та бісектриса, отже. Маємо, що , тоді за ознакою перпендикулярності прямої та площини тоді.

Т.к. , PK || CAі EK || BD, то й EFPK- Прямокутник.

.

Завдання 2 (№692).

Підставою піраміди є прямокутний трикутник із катетами aі b. Кожне її бічне ребро нахилено до площини основи під кутом. φ . Знайдіть обсяг піраміди

Рішення:

ABCD -піраміда, кут ABC -прямокутний , AC = b, BC = a,кути DAO, DBO, DCOрівні. Знайдемо V DABC0.

1) ∆DAO=∆ADC=∆DBOпо катету та гострому куту, значить AO=OC=OB=Rкола, описаного біля ∆ABC.Т.к . ∆ABC -прямокутний, то .

2) З ∆ DOC : ; .

3) ; ; .

Виклад теми "Тетраедр" у підручнику "Геометрія" для 7-11 класів Погорєлова А.В.

В іншому базовому підручнику О.В. Погорєлова та ін. Теоретичний матеріал тією чи іншою мірою стосується теми «Тетраедр» міститься в пунктах 176-180, 186, 192, 199, 200.

У пункті 180 «Правильні багатогранники» міститься визначення поняття «правильний тетраедр» («Тетраедр є трикутною пірамідою, у якої всі ребра рівні»), доказ деяких властивостей і теорем про піраміду проілюстровано кресленнями тетраедра. Однак у цьому навчальному посібнику акцент на вивченні фігури не ставиться, і в цьому сенсі його інформативність (стосовно тетраедра) можна оцінити як низьку. Практичний матеріал підручника містить задовільну кількість завдань, що стосуються піраміди, в основі якої розташований трикутник (що по суті і є тетраедр). Наведемо приклади розв'язання деяких завдань.

Вирішення задач.

Завдання 1 (№ 41 із пункту «Многогранники»).

Основа піраміди - рівнобедрений трикутник, У якого основа дорівнює 12 см, а бічна сторона - 10 см. Бічні грані утворюють з основою рівні двогранні кути, що містять по 45 °. Знайдіть висоту піраміди.

Рішення:

Проведемо перпендикуляр SOдо площини основи та перпендикуляри SK, SMі SNдо сторін ΔABС.Тоді за теоремою про три перпендикуляри OK BC, ОМ АС та ON AB.

Тоді, SKO = SMO = SNO = 45 ° -як лінійні кути даних двогранних кутів. Отже, прямокутні трикутники SKO, SMOіSNO рівні по катету та гострому куту . Так що OK = OM = ON,тобто точка Проє центром кола, вписаного в ΔАВС.

Виразимо площу прямокутника АВС:

З іншого боку , . Так що ; ОК = r = 3 див.Так як у прямокутному трикутнику SOKгострий кут дорівнює45° , то ΔSOKє рівностегновим і SO=OK= 3(см) .

Завдання 2 (№ 43 з пункту "Обсяги багатогранників").

Знайдіть об'єм піраміди, що має основою трикутник, два кути якого a та β; радіус описаного кола R.Бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під кутом γ.

Рішення.

Оскільки всі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під тим самим кутом, то висота піраміди O 1 Oпроходить через центр описаного біля основи кола. Так що

У ΔАВС.Тоді згідно з теоремою синусів

Так що , , =

=.

Площа трикутника :

Тоді .

Виклад теми "Тетраедр" у підручнику "Геометрія" для 10-11 класів Александрова А.Д.

Розглянемо навчальний посібник Олександрова А.Д. та ін. «Геометрія: підручник для учнів 11 кл. з поглибленим вивченнямматематики». Окремих параграфів, присвячених тетраедру в цьому підручнику немає, проте тема є у вигляді фрагментів інших параграфів.

Вперше тетраедр згадується у §21.3. У матеріалі параграфа розглядається теорема про тріангуляцію багатогранника, як приклад виконують тріангуляцію опуклої піраміди. Саме поняття «багатогранник» у підручнику трактується двома способами, друге визначення поняття безпосередньо пов'язане з тетраедром: «Многогранник – це постать, що є об'єднанням кінцевого числа тетраедрів…». Пізнання, що стосуються правильної піраміди та деяких аспектів симетрії тетраедра можна знайти у §23.

У §26.2 описано застосування теореми Ейлера («про правильні мережі») для правильних багатогранників (в т.ч. для тетраедра), а §26.4 розглядаються види симетрій, характерні для цих фігур.

Також, у підручнику можна знайти інформацію про середню лінію тетраедру, центр мас (§35.5) та клас рівногранних тетраедрів. Рухи І та ІІ роду демонструються в ході вирішення завдань про тетраедр.

Відмінна риса підручника - висока науковість, яку авторам вдалося поєднати з доступною мовою та чіткою структурою викладу. Наведемо приклади розв'язання деяких завдань.

Вирішення задач.

Завдання 1.

У цю правильну трикутну усічену пірамідуз бічним ребром a можна помістити сферу, що стосується всіх граней, і сферу, що стосується всіх ребер. Знайдіть сторони основ піраміди.

Рішення.

Зобразимо на кресленні повну піраміду. Ця піраміда, - висота «повної» піраміди, - її частина до верхньої основи усіченої. Завдання зводиться до планиметричної, причому не треба малювати жодної з даних сфер. Т.к. в усічену піраміду можна вписати сферу, що стосується всіх ребер, то її бічну граньможна вписати коло. Позначимо , (для зручності поділу навпіл) і для описаного чотирикутника отримаємо, що , звідки

З існування вписаної кулі випливає, що існує півколо, розташована в трапеції ( - апофема «повної» піраміди) так, що її центр лежить у середині , а сама вона стосується інших трьох сторінтрапеції.

Центр кулі, та - точки торкання. Тоді . Виразимо ці величину через і . З: . З: . З трапеції: . Отримуємо рівняння:

.(2)

Розв'язавши систему рівнянь (1) і (2), отримаємо, що сторони підстав рівні .

Завдання 2 .

Всередині правильного тетраедра з ребром aрозташовані чотири рівні сфери так, що кожна сфера стосується трьох інших сфер і трьох граней тетраедра. Знайти радіус цих галузей.

Рішення .

Цей тетраедр, - його висота, - центри сфер, - точка перетину прямої з площиною. Зауважимо, що центри рівних сфер, що стосуються площини, віддалені від неї на рівні відстані, кожна з яких дорівнює радіусу кулі (позначенням його як x). Значить площини паралельні, тому .

Але як висота правильного тетраедра з ребром; як висота правильного тетраедра з ребром 2 x ; .

Залишилося висловити. Зауважимо, що точка знаходиться всередині тригранного кута і віддалена від його граней на відстань, а плоскі кути тригранного кута дорівнюють. Не важко отримати те, що . Приходимо до рівняння:

звідки після спрощень отримуємо.

Виклад теми "Тетраедр" у підручнику "Геометрія" для 10-11 класів Смирнової І.М.

Викладення теми «Тетраедр» у підручнику для 10-11 класів гуманітарного профілю Смирнової І.М. присвячені такі заняття: 18, 19, 21, 22, 28-30, 35.

Після вивчення теореми про те, що «Кожен опуклий багатогранник може бути складений з пірамід із загальною вершиною, основи яких утворюють поверхню багатогранника» розглядається теорема Ейлера для деяких таких багатогранників, зокрема виконання умов теореми розглянуто і для трикутної піраміди, яка, по суті і є тетраедр.

Підручник цікавий тим, що в ньому розглядається топологія та топологічно правильні багатогранники (тетраедр, октаедр, ікосаедр, куб, додекаедр), чиє існування обґрунтовується за допомогою тієї ж теореми Ейлера.

Крім цього, у підручнику наведено визначення поняття «правильна піраміда»; розглядаються теореми про існування вписаної та описаної сфер тетраедра, деякі властивості симетрії, що стосуються тетраедра. На заключному занятті (35) наводиться формула знаходження обсягу трикутної піраміди.

Для цього навчального посібникахарактерний великий обсяг ілюстративного та історичного матеріалу, а також невеликий обсяг практичного матеріалу, зумовлений спрямованістю підручника. Розглянемо також підручник Смирнової І.М. та ін для 10-11 класів природничо-наукового профілю.

Виклад теми "Тетраедр" у підручнику "Геометрія" для 10-11 класів Смирнової І.М. та ін.

Від попереднього навчального посібника це відрізняється компонуванням тем і рівнем складності запропонованих до вирішення завдань. Відмінною особливістювикладу матеріалу є розподіл його на «семестри», яких у підручнику чотири. Тетраедр згадується у першому параграфі («Введення в стереометрію») , поняття «піраміда» визначається §3.

Як і в попередньому підручнику, практичний матеріал доповнений завданнями з розгорткою стереометричних фігур. У матеріалі §26 можна знайти теорему про сферу, вписану в тетраедр. Решта теоретичного матеріалу, що стосується тетраедра, фактично збігається з матеріалами підручника, охарактеризованого вище.

Вирішення задач.

Завдання 1.

Знайдіть найкоротший шлях по поверхні правильного тетраедра ABCDз'єднує точки Eі Fрозташовані на висотах бічних граней в 7 см від відповідних вершин тетраедра. Ребро тетраедра дорівнює 20 см.

Рішення.

Розглянемо розгорнення трьох граней тетраедра. Найкоротшим шляхом буде відрізок, що з'єднує точки Eі F. Його довжина дорівнює20 см.

Завдання 2.

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник, один з катетів якого дорівнює 3 см, а гострий кут, що прилягає до нього, дорівнює 30 градусам. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом 60 градусів. Знайдіть обсяг піраміди.

Рішення.

Площа трикутника ABC дорівнює. Підставою висоти служить середина. Трикутник SAC – рівносторонній. .

Звідси й, отже, обсяг піраміди дорівнює .

Висновок.

Відмінною рисою підручника Атанасяна Л.С. та ін. є те, що вивчення тетраедра починається досить рано, матеріал розкиданий по всьому курсу та представлений у різних рівнях складності. У підручнику Погорєлова О.В. матеріал розташований компактно, поняття «тетраедр», як і поняття інших просторових фігур, вводиться досить пізно (наприкінці 10 класу), практичний матеріал, представлений у підручнику, невеликого обсягу. У підручнику Смирнова І.М. та ін. теоретичний матеріал, як і практичний, має невеликий обсяг, практичний завдання низького рівня складності, підручник відрізняється великим обсягом матеріалу з історії математики. У підручнику Александрова А.Д. та ін. рівень складності матеріалу вищий, сам матеріал різноманітніший, безліч практичних завданьмістить деяку частину теорії, є екстремальні завдання та завдання у вигляді питань, що вигідно виділяє його на тлі інших.

§2. Тестування рівня розвитку просторового мислення в учнів середньої школи

Інтелект – це здатність до навчання чи розуміння, яка притаманна всім людям. Одні люди мають нею більшою мірою, інші - меншою, проте у кожної людини протягом життя ця здатність зберігається практично без змін. Саме завдяки інтелекту ми здатні правильно діяти та навчатися на своїх помилках.

У психології інтелект визначається, як здатність сприймати знання та використовувати їх в інших, принципово нових ситуаціях. В умовах тестування можна визначити, наскільки успішно адаптується людина до незвичайних ситуацій. Визначення рівня загального інтелектуального розвитку у вигляді тесту – досить важка і ємна за часом робота, у тексті цієї роботи використовуватиметься частина методики тестування інтелекту, відповідальна питання про рівень розвитку просторового мислення. Просторове мислення – це специфічний вид мисленнєвої діяльності, що має місце у розв'язанні завдань, що вимагають орієнтації в практичному та теоретичному просторі (як видимому, так і уявному). У найрозвиненіших формах це мислення зразками, у яких фіксуються просторові властивості і відносини. Оперуючи вихідними образами, створеними на різній наочній основі, мислення забезпечує їх видозміну, трансформацію та створення нових образів, відмінних від вихідних.

Використовуваний тест ("Міні-тест рівня розвитку просторового мислення" з "Першого тесту на коефіцієнт розвитку інтелекту" Ф. Картера, К. Рассела) універсальний для всіх вікових груп і займає малий обсяг часу (30 хвилин). Текст тесту та його ключі можна знайти у «Додатку №1» до диплома.

У правильного тетраедра всі двогранні кути при ребрах і тригранні кути при вершинах рівні

У тетраедра 4 грані, 4 вершини та 6 ребер.

Основні формули для правильного тетраедра наведені у таблиці.

Де:
S - Площа поверхні правильного тетраедра
V - обсяг
h - висота, опущена на основу
r - радіус вписаного в тетраедр кола
R - радіус описаного кола
a - довжина ребра

Практичні приклади

Рішення.
Оскільки всі ребра трикутної піраміди рівні – вона є правильною. Площа поверхні правильної трикутної піраміди дорівнює S = a 2 √3.
Тоді
S = 3√3

Відповідь: 3√3

Завдання.
Усі ребра правильної трикутної піраміди дорівнюють 4 см. Знайдіть об'єм піраміди

Рішення.
Оскільки у правильній трикутній піраміді висота піраміди проектується в центр основи, який одночасно є центром описаного кола, то

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3/3

Таким чином, висота піраміди OM може бути знайдена з прямокутного трикутника AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3/3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Об'єм піраміди знайдемо за формулою V = 1/3 Sh
При цьому площу основи знайдемо за формулою S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2/3

Відповідь: 16√2 / 3 см

Модель світу - два тетраедра світобудови, що сходяться.

Ми приступаємо до найскладнішої і, мабуть, найважливішої теми курсу: моделі двох схожих тетраедрів світобудови. Ми торкнемося цієї теми лише частково і дуже коротко, оскільки виклад цієї моделі в повному обсязі вимагає окремого великого курсу. Тут же ми опишемо лише базові речі, необхідні для розуміння процесів переходу з 7-го Дня творіння на 8-й День, далі на 9-й День і 10-й День.

Модель схожих тетраедрів:

• метафізична , максимально великомасштабна модель будови світу, що описує загальні принципипобудови будь-якої реальності у нашому світобудові;
• цільова модель, що описує взаємодію всіх елементівта фундаментальних принципів з погляду мети творіння;
• універсальна модель, що діє за системою подоб: так влаштовано все - людина, сімейна пара, будь-яка група чи спільнота.

Союз Авраама

Ця модель була викладена Богом предку Аврааму перед ув'язненням спілки між розсічених елементів:

І сказав йому: Я Господь, що вивів тебе з Ура Халдейського, щоб дати тобі землю цю на володіння. Він сказав: Владико Господи! чому мені дізнатися, що я володітиму нею? Господь сказав йому: Візьми Мені трирічну телицю, трирічну козу, трирічного барана, горлицю та молодого голуба. Він узяв усіх їх, розсік їх навпіл і поклав одну частину проти іншої; тільки птахів не розітнув. І налетіли на трупи хижі птахи; але Аврам відганяв їх. При заході сонця міцний сон напав на Аврама, і ось напав на нього жах і морок великий. І сказав Господь до Аврама: Знай, що нащадки твої будуть прибульцями в землі не своїй, і поневолять їх, і будуть пригнічувати їх чотириста літ, але Я вчиню суд над народом, у якого вони будуть у рабстві. після цього вони вийдуть із великим майном, а ти відійдеш до батьків твоїх у світі і будеш похований у старості доброї; у четвертому роді повернуться вони сюди: бо міра беззаконь Аморреїв досі ще не наповнилася. Коли зайшло сонце і настала темрява, ось дим ніби з печі та полум'я вогню пройшли між розсіченими тваринами. Цього дня уклав Господь завіт із Аврамом...
(Буття 15:7-18)

Такий Синодальний переклад, і тут про телицю, козу та барана (барана) сказано, що вони трирічні. Однак це визначення далеке від тексту івриту, який ставив у безвихідь покоління перекладачів. В івриті написано מְשֻׁלֶּשֶׁת ( заважає), дослівно «трикутна» або «трикутник» (про телицю та козу, жіночий рід) і מְשֻׁלָּשׁ ( мішулаш), «трикутний» або «трикутник» (про овна, чоловічий рід). У принципі, ці слова можна перекласти також як «потрійний», «потрійний», «триразовий»; у єврейських перекладах російською мовою можна зустріти варіант «трійчастий». Але основне значення все ж таки пов'язане з трикутником: це трикутник або щось, що має трикутну форму.

Інакше кажучи, буквально текст Біблії звучить так:

...візьми Мені трикутник-телицю(рівноцінне прочитання трикутну телицю), трикутник-козу(або трикутну козу), трикутник-овна(або трикутного барана), горлицю та молодого голуба.

Щоб правильно зрозуміти цей текст, слід згадати, що Авраам був вихідцем із Шумера, а Шумері математика була досить високому рівні. З іншого боку, він був представником скотарської культури. Таким чином, Авраам цілком міг зрозуміти геометричні образи, причому йому була близька термінологія скотарів.

Подивимося ще раз на формулювання עֶגְלָה מְשֻׁלֶּשֶׁת, трикутник-телиця. Логічно її можна зрозуміти не одним, а двома способами. Перший - теля, схожа на трикутник, що має трикутну форму, тобто. нісенітниця. Другий спосіб - трикутник, схожий на телицю. Згідно з нашою інформацією, другий варіант є вірним. Відповідно, горлиця та голуб — теж описи фігур, схожих на горлицю та голуба. Бог каже:

...візьми трикутник, подібний до телиці, трикутник, подібний до кози, і трикутник, подібний до барана, а також [щось на зразок] горлиці та молодого голуба.

У чому трикутник може бути схожим на телицю, козу та барана? Загалом нічим, крім одного: розміру. Телиця (корова) - дуже велика, коза помітно менша, овен (баран) ще менше. А горлиця та голуб поряд з ними дуже малі, практично крапки. Таким чином ми приходимо до наступного креслення, яке Бог показав Аврааму:

Тепер треба зрозуміти, що означає «розсікти навпіл». Звичайно, розділити навпіл трикутник неважко, достатньо «розрізати» його вздовж деякої прямої. Наприклад, висота розбиває трикутник на два менші прямокутний трикутник. Але при цьому він неминуче втрачає свою досконалу рівнобічну форму. Однак якщо уявити трикутник не як нескінченно тонку фігуру, а як матеріальну пластинку, що має деяку товщину (що набагато природніше для математичного мислення тієї епохи), то з'являється ще один спосіб розтину: розщеплення платівки. Якщо розщепити рівносторонню трикутну пластинку вздовж її площини, ми отримаємо два рівносторонні трикутникиудвічі меншої товщини:

Згідно з нашою інформацією, саме таке «розсічення» було показано Аврааму.

...Він узяв усіх їх[три трикутники та дві точки] , розсік їх навпіл[розщепив трикутники вздовж їхньої площини] і розмістив одну частину проти іншої; тільки точки не розсік[а розмістив дві точки одну навпроти іншої].

А оскільки розтин відбувався «в обсязі», у напрямку, перпендикулярному площині трикутника, то й розміщення «навпроти один одного» логічно очікувати в тому ж напрямку. І ми приходимо до наступної конфігурації:

Оновіть браузер

Саме таке креслення, згідно з нашою інформацією, Бог показав Аврааму, коли укладав із ним знаменитий «союз між розсіченими частинами». Дві половинки "телиці" - це нижня основа нижнього тетраедра і верхня основа верхнього, половинки "кози" і половинки "овна" - це 4 трикутники, одержувані в перерізі цих тетраедрів, нарешті, "горлиця" і "голуб" - верхня вершина нижнього тетраедра і нижня вершина верхнього розташовані один проти одного.

Структура моделі двох тетраедрів

Це модель двох тетраедрів, що сходяться, що описує структуру світобудови та її зміни у процесі зміни Днів творіння Трохи пізніше ми зрозуміємо, чому тетраедри «збігаються», а поки що зауважимо, що конфігурація симетрична, тільки це не дзеркальна симетрія, а центральна. Якщо дивитися зверху, то верхній тетраедр виявиться повернутим на 180° щодо нижнього, а їх підстави проектуватимуться у правильний зірчастий шестикутник — гексаграму, або зірку Давида (дві точки-«птахи» опиняться в її центрі):

Оновіть браузер

Повна модель двох тетраедрів світобудови складніша, ніж наведене вище креслення. Щоб побачити модель повністю, ми повинні ускладнити креслення:

• два тетраедра зрушуютьсяназустріч один одному та утворюють область перетину (перекриття);
• на ребрах тетраедрів та на сторонах чотирьох трикутників перерізу додаються 38 ключових точок, або елементів;
• перетин двох тетраедрів утворює сферу присутності Шехіни.

Ось як виглядає ця конфігурація для 7-го Дня творіння (глядач дивиться на цю конструкцію спереду та трохи зверху):

Оновіть браузер

Нижче ця конфігурація відображається у кольорі з додатковими лініями, що з'єднують ключові точки. На відміну від попереднього креслення, тут використана центральна проекція: глядач знаходиться в центрі, між основами тетраедрів, так що верхня основа верхнього тетраедра знаходиться над ним, а нижня основа нижнього тетраедра - під ним:

Тетраедр
שמיים
(Шамаїм)
Небо

Тетраедр
ארץ (Ерець)
Земля

יצר (Єцер):
створення, творчість

אב ולב (Ав ве Лев):
точка індивідуального вибору

שלום (Шалом):
баланс,
цілісність

דין (Дін):
закон, ідеал,
те, що має
бути

אמת (Емет):
істина,
реальність,
те що є

נשמה (Нешама):
здатність
до осмислення,
місія

גוף (Гуф):
матеріалізація, втілення

עוז (Оз):
потужність, енергія

38 ключових точок(на малюнку вони зображені кольоровими кульками) відповідають всім основним категоріям, або елементам буття. Кожна точка- елементмає своє ім'я на івриті та свій нетривіальний зміст. Мають сенс лінії, вздовж яких розташовані точки. Крапки- елементиоб'єднуються в модулі, які можна побачити на малюнку:

• прямі лінії, у яких лежать дві чи більше точок — модулі першого порядку;
• правильні трикутники - модулі другого порядку;
• правильні тетраедри — модулі третього порядку (включаючи вихідні два великі тетраедри).

Можна підрахувати: загальна кількість тетраедрів, модулів третього порядку, 12, тобто. числу колін Ізраїлю. Це 2 великих тетраедра, 4 їх підтетраедра, утворені верхньою/нижньою вершинами і трикутниками перерізу, а також по 3 малих тетраедра в «кутах» великих тетраерів, утворених однією з вершин основи тетраедра (у нижньому тетраедрі червоні), двома суміжними точками на стороні (у нижньому тетраедрі червоні) та найближчою вершиною більшого трикутника перерізу (у нижньому тетраедрі помаранчева).

Всі ці модулі, як і точки-елементи, мають глибоке значення; вони описують фундаментальні принципи взаємодії елементів. На жаль, ми не можемо в це заглиблюватись; це тема окремого курсу.

Ця конфігурація дозволяє описати будь-який процес чи явищеу світобудові як у статиці, і у динаміці, з погляду задуму Творця.

Зазначимо коротко:

• верхній тетраедр називається שמיים ( Шамаім), що означає «небо» з першого вірша Біблії ( «На початку створив Бог небо та землю», Буття 1:1);
• нижній тетраедр називається ארץ ( Ерець), тобто "земля" з того ж вірша;
• верхня вершина нижнього тетраедра називається יצר ( Єецер);
• нижня вершина верхнього тетраедра називається אב ולב ( Ав ве Лев).

Зазначені дві вершини будуть важливими для подальшого викладу. (У пророцтві Авраама це ті самі «не розсічені птахи».)

Також відзначимо, що в цій конфігурації є 6 горизонтальних площин, на яких лежать 6 горизонтальних трикутників, що відповідають розсіченим частинам трьох тварин Авраама: нижня основа нижнього тетраедра, верхня основа верхнього тетраедра та 4 трикутники перерізу. Ці 6 площин поділяють весь простір на 7 областей, або рівнівобласть нижче нижньої основи, 5 областей між площинами і область вище верхньої основи. Ці 7 областей простору – не що інше, як 7 рівнів світобудови, описані у вступній статті "Менора, або семирівнева картина світу".

На картинці ми підписали, заради ілюстрації, ще 6 точок - вершини верхнього та нижнього тетраедра. З нижніми трьома ми вже частково знайомі з ними. Нешама, Гуфі Оз, вершини нижньої основи, - це три опори все тієї ж Менори. Там вони названі трьома опорами світобудови, і на кресленні вони справді «тримають на собі» всю конфігурацію модель світу. Нагадаємо, що ці три точки описуються формулами «все невипадково» ( Нешама), «все матеріалізується» ( Гуф) і «все розвивається» ( Оз).

На кресленні цей трикутник є основою нижнього тетраедра, верхня вершина якого називається Єцер, Що означає «створення чогось, творчість». Цей тетраедр нам теж знайомий — це тетраедр Ноаха, описаний у розділі цього уроку «Ноах та сини». Ноах, або гармонія, відповідає вершині Єцер— лише гармонії можливий правильний процес творіння. Шим, етика- це Нешаматобто здатність до осмислення; Яфет, естетика- це Гуфтобто втілення форми в чомусь матеріальному, а Хам, енергетика- це Озщо буквально і означає потужність, енергію. Ці взаємозв'язки нетривіальні і мають глибоке значення, але на цьому ми змушені закінчити цей екскурс. Повернемося до опису тетраедрів загалом.

Сфера присутності Шехінипоказує, в яких елементах світобудови і як людина може побачити і відчути присутність Творця. Ця сфера відповідає внутрішньому простору, спільному для двох тетраедрів. На кресленні вище тетраеди «входять» один до одного певною мірою; сфера містить всю їхню загальну область. Математично це сфера, побудована, як на діаметрі, на відрізку, що з'єднує вершини двох тетраедрів Єцері Ав ве Лев; на кресленнях ці вершини зображені зеленим кольором (оновіть браузер).

Взаємодія людини і Творця у цій моделі можна описати такими загальними правилами.

1. Людина не може побачити і відчути присутність Творця у ключових точках — елементах світобудови, що лежать поза сферою Шехіни.
2. Людина може за необхідності, у результаті усвідомленого вибору та діалогу з Творцем, побачити та відчути присутність Творця у ключових точках — елементах світобудови, що лежать на поверхні сфери Шехіни.
3. Людина завжди бачить і відчуває присутність Творця у ключових точках – елементах світобудови, що лежать усередині сфери Шехіни.

Зауважимо: взаємодія з Творцем і вплив на світобудову у 2-му та 3-му випадках не є дивом, Це нормальна, абсолютно штатна робота! Чудо (на івриті נס, нес) - це виняткова ситуація, пряме втручання Бога, не обмежене цією схемою.

Модель двох тетраедрів у динаміці

Тепер настав час пояснити, чому модель називається моделлю схожихтетраедрів. Справа в тому, що при кожному з переходів з 7-го Дня творіння в 8-й День, з 8-го в 9-й і з 9-го в 10-й два тетраеди зрушуються назустріч один одному: Ерець(Земля) та Шамаїм(Небо) зближуються, все сильніше перекриваючись один з одним. При цьому точки Єцері Ав ве Леврозходяться, отже, збільшується обсяг сфери присутності Шехіни .

Тетраедри світобудови: День 0

Ми розглянемо, як змінювалася модель двох тетраедрів світобудови від початку, з 1-го Дня творіння. А точніше, навіть не з 1-го, а з 0-го (Нульового Дня). Це не помилка. Згідно з нашою інформацією, перший вірш Біблії відноситься не до першого Дня, а до ситуації, що передує семи Дням творіння як таким, тобто до Нульового Дня. Ось цей вірш:

На початку Бог створив небо і землю.

Ми вже зазначали в розповіді про тимчасові потоки (див. вище розділ «Початок»), що «земля» та «небо», зазначені у цьому вірші, не є нашою планетою та її небесами. Це ясно хоча б з того, що трохи далі Бог заново вводить поняття «небо» та «земля», даючи їм визначення: «І назвав Бог „звід“ небом...» (Буття 1:8), „І назвав Бог сушу землею...» (Буття 1:10). Небо(На івриті шамаїм) та земля (ерець) з одного вірша - це щось інше. Ми стверджуємо, що тут йдеться про творенні двох метафізичних тетраедрів світобудови. Інакше кажучи, сенс 1-го вірша книги Буття наступне:

На початку (ще до 1-го Дня творіння) Бог створив тетраедр світобудови Шамаїм і тетраедр світобудови Ерець.

Ось ці тетраедри - поки що ніяк не орієнтовані і не пов'язані між собою:

Оновіть браузер Оновіть броузер

Це розташування відповідає ситуації, коли проектДесяти днів ще не розпочався, ще не виявився його внутрішній порядок; по відношенню до проектуце стану хаосу: « Земля ж [ерець] була — сум'яття і безлюдство, і темрява над ликом безодні, і подих Божий витає над ликом вод...»(Буття 1:2, переклад Фріми Гурфінкель).

Тетраедри світобудови: День 1

У 1-му Дні творіння на місце хаосу приходить впорядкованість:

І сказав Бог: Нехай буде світло. І стало світло. І побачив Бог світло, що воно добре, і відокремив Бог світло від темряви. І назвав Бог світло вдень, а темряву вночі. І був вечір, і був ранок: один день.
(Буття 1:3-5; тут і далі ми повертаємось до Синодального перекладу Біблії)

Звичайно, цей текст відповідає подіям у реальному, відомому нам Всесвіті. Ймовірно, мовою сучасної космології це можна було б описати так: стався Великий вибух, і новонароджений Всесвіт почав розвиватися згідно з відомими законами фізики. Зокрема, світло (випромінювання) відокремилося від матерії (часток, що мають масу), а Всесвіт розділився на світлі та темні області (первинні галактики та простір між ними). Однак нашою метою є не фізичне, а метафізичне розуміння біблійної розповіді, ті глибинні метафізичні процеси, відображенням яких є космологічні процеси та подальша еволюція нашої планети. Ми сконцентруємося на метафізичному боці питання; як уже зазначалося вище у розділі «Початок», розуміння Біблії з фізичної точки зору присвячено безліч сучасних досліджень.

У моделі тетраедрів всесвіту поділ метафізичних категорій світлаі темрявивиявляється у тому, що тетраедри зайняли строго певне становище друг проти друга, один «згори» ( Шамаїм, «небо»), інший «знизу» ( Ерець, «Земля»), причому їх підстави паралельні (і повернені по відношенню один до одного на 180 °), а нижня вершина верхнього тетраедра лежить строго над верхньою вершиною нижнього:

Оновіть браузер

Поділ світлаі темрявиознаменувало початок проекту, який ми обговорюємо у цьому курсі: проекту Десяти Днів творіння.

Тетраедри світобудови: День 2

У 2-му Дні творіння світобудова структурується, в ньому з'являються різні рівні:

І сказав Бог: Нехай буде склепіння серед води, і нехай він відокремлює воду від води. І створив Бог склепіння, і відділив воду, що під склепінням, від води, що над склепінням. І сталося так. І назвав Бог склепіння небом. І був вечір, і був ранок: другий день.
(Буття 1:6-8)

У моделі тетраедрів з'являються розділяючі площини, які разом з площинами нижньої та верхньої основ тетраедрів поділяють весь простір на 7 рівнів, або «поверхів»:

Оновіть браузер

Тетраедри світобудови: День 3

На 3-й День творіння Бог ускладнює світобудову, вводячи нові елементи: сушу та море, рослини, «дерева» за родом та видом:

І сказав Бог: Нехай збереться вода, що під небом, на одне місце, і нехай з'явиться суша. І сталося так. І назвав Бог сушу землею, а збори вод назвав морями. І побачив Бог, що це добре. І сказав Бог: Нехай виросте земля зелень, траву, що сіяє насіння, і дерево плодове, що приносить за родом своїм плід, у якому насіння його на землі. І сталося так. І зробила земля зелень, траву, що сіяла насіння за родом її, і дерево, що приносить плід, у якому насіння його за родом його. І побачив Бог, що це добре. І був вечір і був ранок: день третій.
(Буття 1:9-13)

У моделі світобудови з'являються 38 ключових точок-елементів, інакше кажучи, виявляються всі аспектисвітобудови:

Оновіть браузер

Тетраедри світобудови: День 4

Головна зміна 4-го Дня творіння — це «включення» часу проекту, запуск усіх процесів згідно з певними ритмами: зміна дня та ночі, місяців та років. Вище ми говорили, що в цей момент починається перший потік часу Нефеш.

І сказав Бог: Нехай будуть світила на склепінні небесному для відокремлення дня від ночі, і для знамень, і часів, і днів, і років; і нехай вони будуть світильниками на склепінні небесному, щоб світити на землю. І сталося так. І створив Бог два світила великі: світило більше, для керування днем, і світило менше, для керування вночі, і зірки; І поставив їх Бог на склепінні небесному, щоб світити на землю, і управляти вдень і вночі, і відокремлювати світло від темряви. І побачив Бог, що це добре. І був вечір, і був ранок: четвертий день.
(Буття 1:14-19)

Перехід від 3-го до 4-го Дня творіння - це перше переміщення тетраедрів. Вони зсуваються назустріч один одному, і виникає сфера перетину. Це центральний із 7 «поверхів» світобудови, збудованих у 2-му Дні — четвертий рівень, який у семирівневій картині світу відповідає діалогу та часу.

Оновіть браузер

Тетраедри світобудови: День 5

У 5-му Дні творіння структура моделі не змінюється, проте частина елементів, або аспектів світобудови отримують імена, стаючи поняттями.

І сказав Бог: Нехай зробить вода плазунів, душу живу; і птахи нехай полетять над землею, по склепенню небесному. І створив Бог риб великих і всяку душу тварин плазунів, яких породила вода, за їхнім родом, і всякий птах пернатий за родом її. І побачив Бог, що це добре. І благословив їх Бог, говорячи: плодіться та розмножуйтесь, і наповнюйте води в морях, і птахи нехай розмножуються на землі. І був вечір, і був ранок: п'ятий день.
(Буття 1:20-23)

У тетраедрах світобудови отримують свої імена 8 найбільш фундаментальних елементів: 4 вершини верхнього та 4 вершини нижнього тетраедра. Це ті самі 8 імен, які були підписані на кольоровому зображенні моделі 7-го Дня. Ми не повторюватимемо назви вершин на кресленні, але зробимо відповідні точки кольоровими:

Оновіть браузер

Тетраедри світобудови: День 6

У 6-му Дні творіння отримують імена, стаючи поняттями, вже всі ключові точки.

І сказав Бог: Нехай земля зробить душу живу за родом її, худоби, і гадів, і звірів земних за їхнім родом. І сталося так. І створив Бог звірів земних за їхнім родом, і худобу за родом його, і всіх гадів земних за їхнім родом. І побачив Бог, що це добре. І сказав Бог: Створимо людину за образом Нашим за подобою Нашою, і нехай вони панують над рибами морськими, і над птахами небесними, і над худобою, і над всією землею, і над усіма гадами, що плазують по землі. І створив Бог людину за образом Своїм, за образом Божим створив його; чоловіка і жінку створив їх. І благословив їх Бог, і сказав їм Бог: плодіться та розмножуйтесь, і наповнюйте землю, і володійте нею, і пануйте над рибами морськими, і над птахами небесними, і над кожною твариною, що плазуна по землі. І сказав Бог: Ось Я дав вам кожну траву, що сіяє насіння, що є на всій землі, і всяке дерево, що має плід деревний, що сіяє насіння. - Вам це буде в їжу; а всім звірам земним, і всім птахам небесним, і всякому плазуну по землі, в якому душа жива, дав Я всю зелень травну в їжу. І сталося так. І побачив Бог усе, що Він створив, і ось добре дуже. І був вечір, і був ранок: день шостий.
(Буття 1:24-31)

Креслення тетраедрів всесвіту 6-го Дня відрізняється лише тим, що цього разу всі вершини мають назви. Їхні назви виходять за рамки даного курсу; ми відзначимо зміну ситуації, зробивши кольоровими всі ключові точки:

Оновіть браузер

Тетраедри світобудови: День 7

У 7-му Дні творіння система тетраедрів набуває завершеного вигляду, і Бог «відпочиває» від Своїх справ.

Так досконалі небо і земля, і все їхнє військо. І зробив Бог на сьомий день діла Свої, які Він робив, і спочив у день сьомий від усіх діл Своїх, які робив. І благословив Бог сьомого дня, і освятив його, бо в той спочив від усіх діл Своїх, які Бог чинив і творив.
(Буття 2:1-3)

У моделі тетраедрів світобудови цього дня з'являється останній ключовий елемент: сфера присутності Шехіни. Креслення 7-го Дня ми вже наводили і детально розбирали. Повторимо його ще раз без деталей:

Оновіть браузер

Тут поки що немає елементів (ключових точок), що лежать усередині сфери Шехіни. Всі елементи знаходяться або за її межами або на її поверхні. (За кресленням може здатися, що 3 блакитних і 3 жовті крапки лежать усередині сфери, але так виходить тільки в проекції: насправді вони лежать на поверхні сфери.)

В авраамічних релігіях така ситуація виражається ідеєю, що Божественна присутність прихована від людини: лише одиниці перебувають у контакті з Богом і можуть свідомо співпрацювати з Ним.

Тетраедри світобудови: День 8

У 8-му Дні створення конфігурація тетраедри сходяться назустріч один одному так, що малі трикутники перерізу виявляються в одній площині, а вершини Єцері Ав ве Лев; (зелені точки оновіть броузер) «упираються» в основи протилежних тетраедрів:

Оновіть браузер

Внаслідок зближення тетраедрів радіус сфери присутності Шехіни збільшується, порівняно з 7-м Днем, у 4/3 ≈1.33 рази, а її обсяг, що символізує «кількість присутності Бога» в нашому житті, — у 64/27 ≈2.37 разу.

Тут уперше з'являються крапки, що лежать усередині сфери Шехіни. Відповідні категорії «йдуть на підсвідомість» і стають абсолютно природними як дихання. Ці елементи є невід'ємною частиною постійної взаємодії з Творцем. Таким чином, тепер коженлюдина завжди перебуває у діалозі та співпраці з Богом.

При цьому залишаються елементи поза сферою, які не залежать від людини і не підлягають зміні внаслідок такого діалогу, наприклад, фізичні закони Всесвіту. На цьому етапі, як говорилося вище в розділі «Завдання Десяти Днів творіння», формується єдине етичне людство.

Тетраедри світобудови: День 9

У 9-му Дні творіння тетраедри ще більше «всуваються» один в одного:

Оновіть браузер

Радіус сфери присутності Шехіни збільшується, порівняно з 7-м Днем, у 14/9 ≈1.56 раза, а її обсяг – у (14/9) 3 ≈3.76 раза.

Зараз вже більшістьелементів лежать або всередині сфери Шехіни, або її поверности. Інакше висловлюючись, більшість категорій світобудови стають невід'ємною частиною взаємодії людини і Творця. Лише шість найбільш фундаментальних понять — три згадані вище опори світобудови Нешама, Гуфі Озі три відповідні категорії верхнього тетраедра Шамаїм— залишаються незмінними: вони поза «сферою впливу» діалогу людини і Бога. Це наводить, як уже було сказано в розділі «Завдання Десяти Днів творіння», до появи людей нового типу, які мають у нашому розумінні «надздібності» — левітів світобудови.

Тетраедри світобудови: День 10

Нарешті, у 10-му Дні творіння тетраедри «всуваються» один до одного максимально. Їхні центри поєднуються, і виходить чудова конфігурація, відома як зірчастий октаедр:

Оновіть браузер

Так як це правильний симетричний багатогранник, то очевидно, що сфера Шехіни (побудована, як на діаметрі, на двох протилежних вершинах) Єцері Ав ве Лев) є описаною сферою зірчастого октаедра. Це означає, що тепер уже абсолютно всікатегорії світобудови виявляються або на поверхні сфери Шехіни (вершини октаедра), або всередині (всі інші точки). Порівняно з 7-м Днем, радіус сфери Шехіни збільшується у 2 рази, а обсяг – у 8 разів. Це максимальне розкриття Божественної присутності, максимальний рівеньвзаємодії Людини і Бога, за якої усвідомлений вибір і діалог з Богом дозволяє впливати навіть на фундаментальні основи буття. Це народження Людини-Творця десятого Дня творіння.

Людина-Творець, Адам Боре́, здатний у співпраці з Всевишнім творити світи, формуючи нові варіанти Ерець(Неба) та Шамаїм(Землі) відповідно до усвідомлено розроблених для цих Всесвітів законів. Графічно це так: точки Єцері Ав ве Леввийшли далеко за межі основ «зустрічних» тетраедрів, вершини тетраедрів «прорізали» основи один одного і сформували два нові «малі» тетраедри — потенційні Шамаїмі Ерецьнового світу:

Наведемо ще раз креслення тетраедрів для чотирьох Днів творіння 7, 8, 9 і 10, але цього разу вкажемо, як розташовані ключові елементи стосовно сфери Шехіни:

• червоним кольором відзначимо елементи, що лежать поза сферою Шехіни (у цих точках людина не може побачити та відчути присутність Творця);
• жовтим кольором відзначимо елементи, що лежать на поверхні сфери Шехіни (тут людина може за необхідності, внаслідок усвідомленого вибору та діалогу з Творцем, побачити та відчути присутність Творця);
• зеленим кольором відзначимо елементи, що лежать усередині сфери Шехіни (у цих точках людина завжди бачить і відчуває присутність Творця).

7-й День Творіння:

Оновіть браузер

8-й День Творіння:

Оновіть браузер

9-й День Творіння:

Оновіть браузер

10-й День Творіння:

Оновіть браузер

На закінчення наведемо відеоролик, що ілюструє послідовне зближення тетраедрів світобудови та розкриття сфери Шехіни:

Для тих, хто хотів би точно уявити геометрію моделі, наведемо відповідні математичні співвідношення.

Введемо декартову систему координат, у якій вісь z Ав ве Леві Єцер, а площина xyзбігатиметься з площиною нижньої основи нижнього тетраедра. Позначимо hвисоту кожного з тетраєрів Ерецьі Шамаїм. Тоді:

1. дві точки- елементана кожній із трьох сторін нижньої основи тетраедра Ерецьділять цей бік на три рівні частини; таким чином, всього на периметрі цієї грані розміщується 9 точок (включаючи вершини);
2. крапка- елементна кожній із трьох сторін трикутника, одержуваного в перерізі тетраеду Ерецьнижній із двох площин (одна з двох половинок «розсіченої кози» пророцтва Авраама), ділить цей бік на дві рівні частини; разом на периметрі трикутника знаходиться 6 точок (включаючи вершини);
3. нижня площина, що перетинає тетраедр Ерецьі трикутник, що утворює в перерізі з 6 елементами по периметру (одна з двох половинок «розсіченої кози» пророцтва Авраама), знаходиться на рівні z= 1 / 3 h(Одна третина повної висоти тетраедра);
4. друга площина, що перетинає тетраедр Ерецьі трикутник, що утворює в перерізі з 3 елементами на вершинах (одна з двох половинок «розсіченого барана» пророцтва Авраама), знаходиться на рівні z= 1 / 2 h(Повина повної висоти тетраедра);
5. верхня вершина Єцертетраедра Ерець(одна з двох «не розсічених птахів» пророцтва Авраама) знаходиться на рівні z=h(це просто висота тетраедра, адже його основи ми приписали висоту 0);
6. дві точки- елементана кожному з бічних ребер тетраеду Ерецьділять цю сторону на три нерівні частини у пропорції 3:1:2.

З пунктів bі cслід, що малі трикутники, які ми бачимо в конфігурації на нижній підставі та в нижній частині бічних граней тетраедра, – рівносторонні.

Верхній тетраедр Шамаїммає таку ж будову і розташований центрально-симетрично щодо тетраедра Ерець. Внутрішня геометрія кожного тетраедра постійна і не змінюється протягом 7-го, 8-го, 9-го та 10-го Днів творіння. Змінюється їхнє взаємне становище по осі z. Наведемо його для 7-го та 8-го Днів.

У 7-му Дні творіння:

1. нижня вершина Ав ве Левверхнього тетраедра Шамаїмзнаходиться на висоті z= 1 / 4 h;
2. отже, верхня основа верхнього тетраедра Шамаїмзнаходиться на висоті z= 5 / 4 h(Потрібно додати висоту тетраедра, рівну h) - відстань між основами тетраедрів дорівнює 5 / 4 h;
3. бічні ребра верхнього тетраедра перетинають сторони триелементного трикутника, одержуваного в перерізі тетраеду Ерецьдругий (верхній) з двох площин (нижня половинка «розсіченого барана» пророцтва Авраама), і аналогічно для бічних ребер нижнього тетраедра та симетричного трикутника («розсіченого барана») у тетраедрі Шамаїм;
4. при цьому нагадуємо верхня вершина Єцернижнього тетраедра Ерецьзнаходиться на висоті z=h;
5. отже, відстань між точками Єцері Ав ве Леводно 3 / 4 h;
6. отже, радіус сфери Шехіни дорівнює 3/8 h, А її обсяг складає 9 / 128 π h 3 ;
7. центр правильного тетраедра, як відомо, лежить на його висоті на відстані 1/4 hвід основи, а це означає, що кожна з двох вершин Ав ве Леві Єцерлежить точно в центрі протилежного тетраедра; таким чином, відстань між центрами тетраедрів теж дорівнює 3/4 h.

Пункт aможна логічно вивести із пункту c, який очевидний із креслення. Дійсно, друга горизонтальна площина, що дає у перерізі тетраедра Ерець 3-елементний трикутник (нижня половинка «розсіченого барана» пророцтва Авраама), у перетині з верхнім тетраедром Шамаїмутворює серединний трикутник попереднього трикутника, отже, вдвічі менший, ніж він. А оскільки 3-елементний трикутник сам удвічі менший за основу тетраедра, то серединний трикутник у 4 рази менший за основу, значить, вершина Ав ве Левверхнього тетраедра знаходиться нижче за нього на 1/4 висоти тетраедра, тобто. на висоті 1/2 h− 1 / 4 h= 1 / 4 h.

У 8-му Дні творіння:

1. нижня вершина Ав ве Левверхнього тетраедра Шамаїмзнаходиться на висоті z=0 - вона «впирається» в основу тетраедра Ерець; аналогічно, тетраедр Ерецьдосягає своєю вершиною Єцерверхньої основи тетраедра Шамаїм;
2. відповідно, верхня основа верхнього тетраедра Шамаїмзнаходиться на висоті z=h— відстань між основами тетраедрів дорівнює їх висоті (тобто. h);
3. друга знизу площина перерізу, що дає у перетині з тетраедром Ерець 3-елементний трикутник («розсічений овен»), збігається з другою зверху площиною перерізу, що дає аналогічний трикутник у перетині з тетраедром Шамаїм(друга половинка "розсіченого барана") - вони обидві знаходяться на висоті z= 1 / 2 h(дві половинки «розсіченого барана» пророцтва Авраама поєднуються);
4. в результаті два 3-елементні трикутники перерізу нижнього і верхнього тетраедрів накладаються один на одного, утворюючи 6-елементну гексаграму (зірку Давида);
5. відстань між точками Єцері Ав ве Леводно h;
6. отже, радіус сфери Шехіни дорівнює 1/2 h, А її обсяг становить 1 / 6 π h 3 — тобто «обсяг Божественної присутності» порівняно з 7-м Днем збільшується у 64/27 ≈2.37 раза;
7. центри тетраедрів лежать тепер на висотах z= 1 / 4 hі z= 3 / 4 h, а відстань між ними дорівнює 1/2 h- Порівняно з 7-м Днем воно скорочується в півтора рази (3/2).

З креслень, наведених далі для 9-го та 10-го Днів творіння, легко також побачити, що відстань між точками Єцері Ав ве Лев(Рівне діаметру сфери Шехіни) дорівнює 7 / 6 hу 9-му Дні та 3/2 h 10-го Дня. Відповідне збільшення обсягу сфери порівняно з 7-м Днем становить, відповідно, (14/9) 3 ≈3.76 та 2 3 =8 разів.

Відстань між центрами тетраедрів, звичайно, зменшується настільки ж, наскільки збільшується відстань між вершинами Єцері Ав ве Лев, і стає рівним 1/3 h(9-й День) та 0 (10-й День). Можна відмітити, що відстань між центрами при переході від 7-го дня до 8-го і при переході від 8-го дня до 9-го скорочується рівно у півтора рази, а при остаточному зближенні тетраедрів у 10-му дні стрибкоподібно зменшується до нуля. — у «нескінченну» кількість разів. Цей факт має важливі наслідки, але вони виходять за межі цього розгляду.

Покажемо, що у 7-му Дні творіння на поверхні сфери Шехіни, крім Єцері Ав ве Лев(утворюють діаметр сфери), знаходяться 6 вершин двох «внутрішніх» трикутників, що відповідають половинкам «розсіченого барана» пророцтва Авраама, а також 6 середин сторін двох великих трикутників перерізу, відповідних половинкам «розсіченої кози». Відповідно, всі інші точки перебувають поза сфери.

Як і в попередньому коментарі, введемо декартову систему координат, де вісь zпроходитиме знизу вгору через вершини тетраедрів Ав ве Леві Єцер a Ерецьі Шамаїм h=(2 / 3) 0,5 a

Оновіть браузер

Нехай O- Центр сфери Шехіни, J Єцер ABC- Верхній (менший) трикутник перерізу. Нам слід переконатися, що відстань | OJ| дорівнює відстані | OA| (Очевидно, | OA|=|OB|=|OC|).

Нехай d- Відстань від вершини A ABC, інакше кажучи, до осі z; нехай w- Відстань від точки Oдо того ж центру. Тоді | OA| 2 = d 2 + w 2 .

Сторона трикутника ABCдорівнює a/2, так що d = a√3 /6. З попереднього коментаря ми знаємо, що площина ABCділить висоту тетраедра навпіл, а відстань | OJ| = 3 / 8 h(Радіус сфери). Значить, w = 1 / 8 h.

Таким чином,

|OA| 2 = d 2 + w 2 = 3 / 36 a 2+1/64 · 2/3 a 2 = (1 / 12 + 1 / 96) a 2 = 3 / 32 a 2 .

З іншого боку, | OJ| 2 = 9/64 · 2/3 a 2 = 3 / 32 a 2 . Отже, | OA = |OB| = |OC| = |OJ|.

Нехай L, M, N- середини сторін нижнього (більшого) трикутника перерізу, d"- Відстань від будь-якої з них до центру цього трикутника (він же центр LMN), тобто до осі z, нехай w"- Відстань від точки Oдо цього ж центру; тоді | OL| 2 = d" 2 + w" 2 . Цей трикутник лежить на 1/6 висоти нижче верхнього, так що w" = w + 1 / 6 h= 7 / 3 · 8 h. Легко також знайти d" = a√3 /9.

Підраховуємо:

|OL| 2 = d" 2 + w" 2 = 1 / 27 a 2 + 49 / 3² · 64 · 2 / 3 a 2 = (1 / 27 + 49 / 27 · 32) a 2 = 81 / 27 · 32 a 2 = 3 / 32 a 2 .

Вийшло те саме, отже, | OL = |OM| = |ON| = |OJ|.

Покажемо, що у 8-му Дні творіння на поверхні сфери Шехіни, крім Єцері Ав ве Лев(утворюють діаметр сфери), знаходяться 6 вершин двох великих трикутників перерізу, що відповідають половинкам «розсіченої кози» пророцтва Авраама. Відповідно, частина точок (на кресленні нижче вони позначені зеленим кольором) перебувають усередині сфери, а частина — поза сфери Шехіни.

Як і в попередніх коментарях, введемо декартову систему координат, де вісь zпроходитиме знизу вгору через вершини тетраедрів Ав ве Леві Єцер(і відповідно через центри їх підстав). Позначимо aдовжину ребра кожного з тетраєрів Ерецьі Шамаїм; тоді їх висота дорівнюватиме h=(2 / 3) 0,5 a. Зосередимося на нижньому тетраедрі (для верхнього ситуація точно аналогічна).

Оновіть браузер

Нехай знову O- Центр сфери Шехіни, J- Верхня вершина тетраедра (точка Єцер, що лежить на сфері за визначенням), ABC- нижній (більший) трикутник перерізу. Нам слід переконатися, що відстань | OJ| дорівнює відстані | OA|.

Нехай d- Відстань від вершини Aдо центру трикутника перерізу ABC, інакше кажучи, до осі z; нехай w- Відстань від точки Oдо того ж центру. Тоді | OA| 2 = d 2 + w 2 .

Сторона трикутника ABCдорівнює 2/3 a, так що d = 2a√3/9. З попередніх коментарів ми знаємо, що площина ABCділить висоту тетраедра щодо 1:3, а відстань | OJ| = 1 / 2 h(Радіус сфери). Значить, w = 1 / 6 h.

Таким чином,

|OA| 2 = d 2 + w 2 = 4 / 27 a 2+1/36 · 2/3 a 2 = (4 / 27 + 1 / 54) a 2 = 1 / 6 a 2 .

З іншого боку, | OJ| 2 = 1/4 · 2/3 a 2 = 1 / 6 a 2 . Отже, | OA = |OB| = |OC| = |OJ|.

У 9-му Дні творіння на поверхні сфери Шехіни, крім Єцері Ав ве Лев(утворюють діаметр сфери), знаходяться 12 проміжних точок на сторонах основ тетраедрів. Більшість точок (на кресленні нижче вони позначені зеленим кольором) перебувають усередині сфери, і лише шість вершин основ тетраедрів — поза сфери Шехіни.

Оновіть браузер

Ось креслення для нижнього тетраедра. Доказ можна провести так само, як і для 7-го та 8-го Днів, враховуючи новий діаметр сфери Шехіни, рівний 7 / 6 h. Надаємо це читачеві як вправу.

Розглянемо довільний трикутник ABC і точку D, що не лежить у площині цього трикутника. З'єднаємо відрізками цю точку з вершинами трикутника ABC. В результаті отримаємо трикутники ADC, CDB, ABD. Поверхня обмежена чотирма трикутниками ABC, ADC, CDB та ABD називається тетраедром і позначається DABC.
Трикутники, з яких складається тетраедр, називаються його гранями.
Сторони цих трикутників називають ребрами тетраедра. А їхні вершини – вершинами тетраедра

Тетраедр має 4 грані, 6 ребері 4 вершини.
Два ребра, які мають загальної вершини, називаються протилежними.
Найчастіше для зручності одну з граней тетраедра називають основою, а три грані, що залишилися, бічними гранями.

Таким чином, тетраедр – це найпростіший багатогранник, гранями якого є чотири трикутники.

Але також вірно і твердження, що будь-яка довільна трикутна піраміда є тетраедром. Тоді також вірно, що тетраедром називають піраміду, в основі якої лежить трикутник.

Висотою тетраедраназивається відрізок, який з'єднує вершину з точкою, розташованою на протилежній грані та перпендикулярний до неї.
Медіаною тетраедраназивається відрізок, який з'єднує вершину з точкою перетину медіан протилежної грані.
Бімедіаною тетраедраназивається відрізок, який з'єднує середини ребер тетраедра, що схрещуються.

Так як тетраедр - це піраміда з трикутною основою, то об'єм будь-якого тетраедра можна розрахувати за формулою

• S- Площа будь-якої грані,
• H- Висота, опущена на цю грань

Правильний тетраедр – приватний вид тетраедра

Тетраедр, у якого всі грані рівносторонні трикутник називається правильним.
Властивості правильного тетраедра:

• Усі грані рівні.
• Усі плоскі кути правильного тетраедра дорівнюють 60°
• Так як кожна вершина є вершиною трьох правильних трикутників, то сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180 °
• Будь-яка вершина правильного тетраедра проектується до ортоцентру протилежної грані (у точку перетину висот трикутника).

Нехай нам дано правильний тетраедр ABCD з рівними ребрами a . DH – його висота.
Зробимо додаткові побудови BM – висоту трикутника ABC та DM – висоту трикутника ACD.
Висота BM дорівнює BM і дорівнює
Розглянемо трикутник BDM де DH , що є висотою тетраедра також і висота даного трикутника.
Висоту трикутника, опущену на бік MB, можна знайти, скориставшись формулою

, де
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Підставимо ці значення у формулу висоти. Отримаємо


Винесемо 1/2a. Отримаємо

Застосуємо формулу різниця квадратів

Після невеликих перетворень отримаємо


Обсяг будь-якого тетраедра можна розрахувати за формулою
,
де ,

Підставивши ці значення, отримаємо

Таким чином формула об'єму для правильного тетраедра

де a-Ребро тетраедра

Обчислення обсягу тетраедра, якщо відомі координати його вершин

Нехай нам дано координати вершин тетраедра

З вершини проведемо вектори , , .
Для знаходження координат кожного з цих векторів віднімемо з координати кінця відповідну координату початку. Отримаємо

Рівногранним називається тетраедр, усі грані якого рівні. Щоб уявити собі рівногранний тетраедр, візьмемо довільний трикутник з паперу, і будемо згинати його по середніх лініях. Тоді три вершини зійдуться в одну точку, а половинки сторін зімкнуться, утворюючи бічні ребра тетраедра.

(0) Грані конгруентні.

(1) Ребра, що схрещуються, попарно рівні.

(2) Тригранні кути рівні.

(3) Протилежні двогранні кути рівні.

(4) Два плоскі кути, що спираються на одне ребро, рівні.

(5) Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180°.

(6) Розгортка тетраедра – трикутник або паралелограм.

(7) Описаний паралелепіпед прямокутний.

(8) Тетраедр має три осі симетрії.

(9) Загальні перпендикуляри ребер, що схрещуються, попарно

перпендикулярні.

(10) Середні лінії попарно перпендикулярні.

(11) Периметри граней рівні.

(12) Площі граней рівні.

(13) Висоти тетраедра рівні.

(14) Відрізки, що з'єднують вершини з центрами важкості протилежних граней, рівні.

(15) Радіуси описаних біля граней кіл рівні.

(16) Центр тяжкості тетраедра збігається із центром описаної сфери.

(17) Центр тяжкості збігається із центром вписаної сфери.

(18) Центр описаної сфери збігається із центром вписаної.

(19) Вписана сфера стосується граней у центрах описаних у цих

граней кіл.

(20) Сума зовнішніх одиничних нормалей (поодиноких векторів,

перпендикулярних до граней), що дорівнює нулю.

(21) Сума всіх двогранних кутів дорівнює нулю.

Практично всі властивості рівногранного тетраедра випливають із його

визначення, тому доведемо лише деякі з них.

Доказ (16).

Т.к. тетраедр ABCDрівногранний, то за якістю (1) AB=CD. Нехай точка Довідрізка АВ, а крапка Lсередина відрізка DC, звідси відрізок KLбімедіана тетраедра ABCD, звідки за властивостями медіан тетраедра випливає, що точка Про- середина відрізка KL, є центром тяжкості тетраедра ABCD.

До того ж медіани тетраедра перетинаються в центрі тяжкості, точці Про, і діляться цією точкою щодо 3:1, рахуючи від вершини. Далі, враховуючи вищесказане та властивість (14) рівногранного тетраедра, отримуємо наступну рівність відрізків АТ = ВО = СО = DО, З якого і випливає, що точка Проє центром описаної сфери (за визначенням описаної у багатогранника сфери).

Назад. Нехай Доі L- середини ребер АВі СDвідповідно, точка Про- Центр описаної сфери тетраедра, тобто. середина відрізка KL. Т.к. Про- центр описаної сфери тетраедра, то трикутники AOBі COD- рівнобедрені з рівними бічними сторонами та рівними медіанами OKі OL. Тому ДAOB=ДCOD. А значить AB=CD. Аналогічно доводиться рівність інших пар протилежних ребер, з чого за якістю (1) рівногранного тетраедра і слідуватиме шукане.

Доказ (17).

Розглянемо бісектор двогранного кута при ребрі AB, він розділить відрізок DC щодо площ граней ABDі ABC.

Т.к. тетраедр ABCDрівногранний, то за якістю (12) S ДABD =S ДABD =>DL=LСзвідки випливає, що біссектор ABLмістить бімедіану KL. Застосовуючи аналогічні міркування інших двогранних кутів, і беручи до уваги те що, що біссектори тетраедра перетинаються лише у точці, що є центром вписаної сфери, отримуємо, що ця точка неминуче буде центром тяжкості даного рівногранного тетраедра.

Назад. З того, що центр тяжкості та центр вписаної сфери збігаються маємо таке: DL=LC=>SABD=SADC. Доводячи подібним чином рівновеликість всіх граней і, застосовуючи властивість (12) рівногранного тетраедра, отримуємо шукане.

Тепер доведемо властивість (20). Для цього спочатку потрібно довести одну з властивостей довільного тетраедра.

тетраедр теорема шкільний підручник

Якщо довжини векторів перпендикулярних до граней тетраедра чисельно дорівнюють площам відповідних граней, сума цих векторів дорівнює нулю.

Доведення.

Нехай Х- точка всередину та багатогранника, h i (i=1,2,3,4)- відстань від неї до площини i-ой грані.

Розріжемо багатогранник на піраміди з вершиною Х, підставами яких є його грані. Об'єм тетраедра Vдорівнює сумі обсягів цих пірамід, тобто. 3 V=?h i S i, де S iплоща i-ой грані. Нехай далі, n i- одиничний вектор зовнішньої нормалі до i-ої грані, Mi - довільна точка цієї грані. Тоді h i =(ХM i , S i n i ) тому 3V=?h i S i =? (ХM i , S i n i )=(ХО, S i n i )+(ОМ i , S i n i )=(ХО, ?S i n i )+3V, де Про- деяка фіксована точка тетраедра, отже, ?S i n i =0 .

Далі очевидно, що властивість (20) рівногранного тетраедра є окремим випадком вищезазначеної леми, де S 1 = S 2 = S 3 = S 4 =>n 1 =n 2 =n 3 =n 4 , і так як площі граней не дорівнюють нулю, отримуємо правильну рівність n 1 +n 2 +n 3 +n 4 =0 .

На закінчення розповіді про рівногранному тетраедрі наведемо кілька завдань на цю тему.

Пряма, що проходить через центр мас тетраедра та центр описаної біля нього сфери, перетинає ребра ABі CD. Доведіть, що AC=BDі AD=BC.

Центр мас тетраедра лежить на прямій, що з'єднує середини ребер АВі СD.

Отже, на цій прямій лежить центр описаної сфери тетраедра, а значить, вказана пряма перпендикулярна ребрам АВі СD. Нехай З`і D`- Проекції точок Cі Dна площину, що проходить через пряму АВпаралельно СD. Т.к. AC`BD`- паралелограм (за побудовою), то АС = ВDі АD = НД.

Нехай h- Висота рівногранного тетраедра, h 1 і h 2 - відрізки, куди одна з висот грані ділиться точкою перетину висот цієї грані. Довести, що h 2 =4h 1 h 2 ; довести також, що основа висоти тетраедра і точка перетину висот грані, на яку ця висота опущена, симетричні щодо центру кола, описаного біля цієї грані.

Доведення.

Нехай АВСD- даний тетраедр, DH- Його висота, DA 1 , DВ 1 , DС 1 - Висоти граней, опущені з вершини Dна сторони ВС, СА та АВ.

Розріжемо поверхню тетраедра вздовж ребер DA, DB, DC, і зробимо розгортку. Очевидно, що Нє точка перетину висот трикутника D 1 D 2 D 3 . Нехай F- точка перетину висот трикутника ABC, АК- Висота цього трикутника, АF=h 1 , FК = h 2 . Тоді D 1 Н=2h 1 , D 1 A 1 =h 1 -h 2 .

Отже, оскільки h- Висота нашого тетраедра, h 2 =DН 2 =DA 2 - НA 1 2 = (h 1+ h 2 ) 2 - (h 1 - h 2 ) 2 =4h 1 h 2. Нехай тепер М- центр тяжкості трикутника ABC(він же центр тяжкості трикутника D 1 D 2 D 3 ), Про- Центр описаної біля нього кола. Відомо що F, Мі Пролежать на одній прямій (пряма Ейлера), причому М- між Fі Про, FM=2МО, з іншого боку, трикутник D 1 D 2 D 3 гомотетичний трикутнику АВСз центром у Мта коефіцієнтом (-2), значить МН = 2FM. З цього виходить що ВІН = FO.

Довести, що в рівногранному тетраедрі основи висот, середини висот та точки перетину висот граней лежать на поверхні однієї сфери (сфери 12 точок).

Доведення.

Вирішуючи задачу 2, ми довели, що центр описаної біля тетраедра сфери проектується на кожну грань у середину відрізка, кінцями якого є основа висоти, опущеної на цю грань, і точка перетину висот цієї грані. А оскільки відстань від центру описаної біля тетраедра сфери до грані дорівнює, де h- висота тетраедра, центр описаної сфери віддалений від даних точок на відстань, де а- Відстань між точкою перетину висот і центром описаного біля грані кола.