При розподілі показники ступенів віднімаються приклад. Властивості ступенів: формулювання, докази, приклади

Нагадуємо, що в даному уроці розуміються властивості ступенівз натуральними показниками та нулем. Ступені з раціональними показниками та їх властивості будуть розглянуті в уроках для 8 класів.

Ступінь з натуральним показником має кілька важливих властивостей, які дозволяють спрощувати обчислення в прикладах зі ступенями.

Властивість №1
Добуток ступенів

Запам'ятайте!

При множенні ступенів з однаковими основами основа залишається без змін, а показники ступенів складаються.

a m · a n = a m + n , де "a" - будь-яке число, а "m", "n" - будь-які натуральні числа.

Ця властивість ступенів також діє на твір трьох і більше ступенів.

• Спростити вираз.
  b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Подати у вигляді ступеня.
  6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
• Подати у вигляді ступеня.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Важливо!

Зверніть увагу, що у зазначеній властивості йшлося тільки про множення ступенів однаковими підставами . Воно не відноситься до їх складання.

Не можна замінювати суму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Це зрозуміло, якщо
порахувати (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, а 3 5 = 243

Властивість №2
Приватне ступенів

Запам'ятайте!

При розподілі ступенів з однаковими основами основа залишається без змін, а з показника діленого ступеня віднімають показник ступеня дільника.

Користуючись властивостями № 1 і № 2, можна легко спрощувати вирази та проводити обчислення.

• приклад. Спростити вираз.
  4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• приклад. Знайти значення виразу, використовуючи властивості ступеня.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Важливо!

  Зверніть увагу, що у властивості 2 йшлося лише про поділ ступенів з однаковими основами.

  Не можна замінювати різницю (4 3 −4 2) на 4 1 . Це зрозуміло, якщо порахувати (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 а 4 1 = 4

  Будьте уважні!

  Властивість №3
  Зведення ступеня до ступеня

  Запам'ятайте!

  При зведенні ступеня ступінь ступеня залишається без зміни, а показники ступенів перемножуються.

  (a n) m = a n · m , де "a" - будь-яке число, а "m", "n" - будь-які натуральні числа.

  
  

  Властивості 4
  Ступінь твору

  Запам'ятайте!

  При зведенні у ступінь твору кожен із множників зводиться у ступінь. Потім одержані результати перемножуються.

  (a · b) n = a n · b n , де "a", "b" - будь-які раціональні числа; "n" - будь-яке натуральне число.

  • приклад 1.
    (6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
    
  • приклад 2.
    (−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6

  Важливо!

  Зверніть увагу, що властивість № 4, як і інші властивості ступенів, застосовують у зворотному порядку.

  (a n · b n) = (a · b) n

  Тобто, щоб перемножити ступені з однаковими показниками, можна перемножити підстави, а показник ступеня залишити незмінним.

  • приклад. Обчислити.
    2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • приклад. Обчислити.
    0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1

  У більш складних прикладах можуть зустрітися випадки, коли множення та розподіл треба виконати над ступенями з різними основами та різними показниками. У цьому випадку радимо чинити так.

  Наприклад, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216
  

  Приклад зведення у ступінь десяткового дробу.

  4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

  Властивості 5
  Ступінь приватного (дробі)

  Запам'ятайте!

  Щоб звести в ступінь приватне, можна звести в цей ступінь окремо поділений і дільник, і перший результат розділити на другий.

  (a: b) n = a n: b n , де "a", "b" - будь-які раціональні числа, b ≠ 0, n - будь-яке натуральне число.

  • приклад. Подати вираз у вигляді приватного ступенів.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Нагадуємо, що приватне можна подати у вигляді дробу. Тому на темі зведення дробу до ступеня ми зупинимося докладніше на наступній сторінці.

Розглянемо тему перетворення виразів зі ступенями, але спочатку зупинимося на ряді перетворень, які можна проводити з будь-якими виразами, у тому числі зі статечними. Ми навчимося розкривати дужки, наводити подібні доданки, працювати з основою та показником ступеня, використовувати властивості ступенів.

Що являють собою статечні вирази?

У шкільному курсі мало хто використовує словосполучення «статеві висловлювання», натомість цей термін постійно зустрічається у збірниках для підготовки до ЄДІ. Найчастіше словосполученням позначаються висловлювання, які у своїх записах ступеня. Це ми й відобразимо у нашому визначенні.

Визначення 1

Ступінь вираз- Це вираз, який містить ступеня.

Наведемо кілька прикладів статечних виразів, починаючи зі ступеня з натуральним показником і закінчуючи ступенем із дійсним показником.

Найпростішими статечними виразами можна вважати ступеня числа з натуральним показником: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 · a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . А також ступеня з нульовим показником: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . І ступеня з цілими негативними ступенями: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2 .

Трохи складніше працювати зі ступенем, що має раціональний та ірраціональний показники: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Як показник може виступати змінна 3 x - 54 - 7 · 3 x - 58 або логарифм x 2 · l g x − 5 · x l g x.

З питанням про те, що таке статечні вирази, ми розібралися. Тепер займемося їх перетворенням.

Основні види перетворень статечних виразів

Насамперед ми розглянемо основні тотожні перетворення виразів, які можна виконувати зі статечними виразами.

Приклад 1

Обчисліть значення статечного виразу 2 3 · (4 2 − 12).

Рішення

Всі перетворення ми проводитимемо з дотриманням порядку виконання дій. У цьому випадку почнемо ми з виконання дій у дужках: замінимо ступінь на цифрове значення та обчислимо різницю двох чисел. Маємо 2 3 · (4 2 − 12) = 2 3 · (16 − 12) = 2 3 · 4.

Нам залишається замінити ступінь 2 3 її значенням 8 та обчислити твір 8 · 4 = 32. Ось наша відповідь.

Відповідь: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Приклад 2

Спростіть вираз зі ступенями 3 · a 4 · b - 7 - 1 + 2 · a 4 · b - 7.

Рішення

Дане нам за умови завдання вираз містить подібні доданки, які ми можемо навести: 3 · a 4 · b - 7 - 1 + 2 · a 4 · b - 7 = 5 · a 4 · b - 7 - 1.

Відповідь: 3 · a 4 · b - 7 - 1 + 2 · a 4 · b - 7 = 5 · a 4 · b - 7 - 1 .

Приклад 3

Подайте вираз зі ступенями 9 - b 3 · π - 1 2 у вигляді твору.

Рішення

Уявимо число 9 як ступінь 3 2 і застосуємо формулу скороченого множення:

9 - b 3 · π - 1 2 = 3 2 - b 3 · π - 1 2 = = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1

Відповідь: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

А тепер перейдемо до розбору тотожних перетворень, які можуть застосовуватися саме щодо статечних виразів.

Робота з основою та показником ступеня

Ступінь у підставі чи показнику може мати і числа, і змінні, і деякі вирази. Наприклад, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7і . Працювати із такими записами складно. Набагато простіше замінити вираз у підставі ступеня чи вираз у показнику тотожно рівним виразом.

Проводяться перетворення ступеня та показника за відомими нам правилами окремо один від одного. Найголовніше, щоб у результаті перетворень вийшло вираз, тотожний вихідному.

Мета перетворень – спростити вихідний вираз чи отримати розв'язання задачі. Наприклад, у прикладі, який ми навели вище, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7 можна виконати дії для переходу до ступеня 4 , 1 1 , 3 . Розкривши дужки, ми можемо навести подібні доданки в основі ступеня (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)і отримати статечне вираз простішого виду a 2 · (x + 1).

Використання властивостей ступенів

Властивості ступенів, записані у вигляді рівностей, є одним із головних інструментів перетворення виразів зі ступенями. Наведемо тут основні їх, враховуючи, що aі b- це будь-які позитивні числа, а rі s- довільні дійсні числа:

Визначення 2

• a r · a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s;
• (a · b) r = a r · b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r · s.

У тих випадках, коли ми маємо справу з натуральними, цілими, позитивними показниками ступеня, обмеження числа a і b можуть бути набагато менш строгими. Так, наприклад, якщо розглянути рівність a m · a n = a m + n, де mі n– натуральні числа, воно буде вірним для будь-яких значень a , як позитивних, і негативних, і навіть для a = 0.

Застосовувати властивості ступенів без обмежень можна у тих випадках, коли підстави ступенів позитивні або містять змінні, область допустимих значень яких така, що на ній підстави приймають лише позитивні значення. Фактично, у межах шкільної програми з математики завданням учня є вибір відповідного властивості і його застосування.

При підготовці до вступу до ВНЗ можуть зустрічатися завдання, в яких неакуратне застосування властивостей призводитиме до звуження ОДЗ та інших складнощів з рішенням. У цьому розділі ми розберемо лише два такі випадки. Більше інформації з питання можна знайти у темі «Перетворення виразів із використанням властивостей ступенів».

Приклад 4

Уявіть вираз a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5у вигляді ступеня з основою a.

Рішення

Для початку використовуємо властивість зведення в ступінь і перетворюємо по ньому другий множник (a 2) − 3. Потім використовуємо властивості множення та поділу ступенів з однаковою основою:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a2.

Відповідь: a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Перетворення статечних виразів згідно з властивістю ступенів може проводитися як зліва направо, так і у зворотному напрямку.

Приклад 5

Знайти значення статечного виразу 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Рішення

Якщо ми застосуємо рівність (a · b) r = a r · b r, Праворуч наліво, то отримаємо твір виду 3 · 7 1 3 · 21 2 3 і далі 21 1 3 · 21 2 3 . Складемо показники при множенні ступенів з однаковими основами: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .

Є ще один спосіб провести перетворення:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

Відповідь: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

Приклад 6

Дано статечний вираз a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, введіть нову змінну t = a 0,5.

Рішення

Уявимо ступінь a 1 , 5як a 0 , 5 · 3. Використовуємо властивість ступеня до ступеня (a r) s = a r · sправоруч наліво і отримаємо (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 . В отриманий вираз можна без проблем вводити нову змінну t = a 0,5: отримуємо t 3 − t − 6.

Відповідь: t 3 − t − 6 .

Перетворення дробів, що містять ступеня

Зазвичай ми маємо справу з двома варіантами статечних виразів з дробами: вираз є дріб зі ступенем або містить такий дріб. До таких виразів застосовуються всі основні перетворення дробів без обмежень. Їх можна скорочувати, приводити до нового знаменника, працювати окремо з чисельником та знаменником. Проілюструємо це прикладами.

Приклад 7

Спростити статечний вираз 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Рішення

Ми маємо справу з дробом, тому проведемо перетворення і в чисельнику, і у знаменнику:

3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 = 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 3 · 5 2 3 · 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 · 5 2 3 + 1 3 - 3 · 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 · 5 1 - 3 · 5 0 - 2 - x 2

Помістимо мінус перед дробом для того, щоб змінити знак знаменника: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Відповідь: 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 = - 12 2 + x 2

Дроби, що містять ступеня, приводяться до нового знаменника так само, як і раціональні дроби. Для цього необхідно знайти додатковий множник та помножити на нього чисельник та знаменник дробу. Підбирати додатковий множник необхідно таким чином, щоб він не звертався в нуль за жодних значень змінних з ОДЗ змінних для вихідного виразу.

Приклад 8

Наведіть дроби до нового знаменника: а) a + 1 a 0 , 7 до знаменника aб) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 до знаменника x + 8 · y 1 2 .

Рішення

а) Підберемо множник, який дозволить нам привести до нового знаменника. a 0, 7 · a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,отже, як додатковий множник ми візьмемо a 0 , 3. Область допустимих значень змінної а включає множину всіх позитивних дійсних чисел. У цій галузі ступінь a 0 , 3не перетворюється на нуль.

Виконаємо множення чисельника та знаменника дробу на a 0 , 3:

a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a 0 , 7 · a 0 , 3 = a + 1 · a 0 , 3 a

б) Звернімо увагу на знаменник:

x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 · 2 · y 1 6 + 2 · y 1 6 2

Помножимо цей вираз на x 1 3 + 2 · y 1 6 отримаємо суму кубів x 1 3 і 2 · y 1 6 , тобто. x + 8 · y 1 2 . Це наш новий знаменник, до якого нам треба привести вихідний дріб.

Так ми знайшли додатковий множник x 1 3 + 2 · y 1 6 . На області допустимих значень змінних xі yвираз x 1 3 + 2 · y 1 6 не звертається в нуль, тому ми можемо помножити на нього чисельник і знаменник дробу:
1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2

Відповідь:а) a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a , б) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Приклад 9

Скоротіть дріб: а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 .

Рішення

а) Використовуємо найбільший загальний знаменник (НОД), який можна скоротити чисельник і знаменник. Для чисел 30 та 45 це 15 . Також ми можемо зробити скорочення на x 0 , 5 + 1та на x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Отримуємо:

30 · x 3 · (x 0, 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0, 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1)

б) Тут наявність однакових множників є очевидною. Доведеться виконати деякі перетворення для того, щоб отримати однакові множники у чисельнику та знаменнику. Для цього розкладемо знаменник, використовуючи формулу різниці квадратів:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 · a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Відповідь:а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0, 5 + 1), б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

До основних дій з дробами відноситься приведення до нового знаменника і скорочення дробів. Обидві дії виконують із дотриманням низки правил. При складанні та відніманні дробів спочатку дроби приводяться до спільного знаменника, після чого проводяться дії (складання або віднімання) з чисельниками. Знаменник залишається тим самим. Результатом наших дій є новий дріб, чисельник якого є твором чисельників, а знаменник є витвір знаменників.

Приклад 10

Виконайте дії x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Рішення

Почнемо з віднімання дробів, які розташовуються у дужках. Наведемо їх до спільного знаменника:

x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1

Віднімемо чисельники:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 · x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 - 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2

Тепер множимо дроби:

4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2

Зробимо скорочення на ступінь x 1 2отримаємо 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Додатково можна спростити статечне вираз у знаменнику, використовуючи формулу різниці квадратів: квадратів: 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Відповідь: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = 4 x - 1

Приклад 11

Спростіть статечний вираз x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 .
Рішення

Ми можемо зробити скорочення дробу на (x 2, 7 + 1) 2. Отримуємо дріб x 3 4 x - 5 8 · x 2, 7 + 1 .

Продовжимо перетворення ступенів іксу x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 . Тепер можна використовувати властивість поділу ступенів з однаковими основами: x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 1 1 8 · 1 x 2 7 + 1 .

Переходимо від останнього добутку до дробу x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Відповідь: x 3 4 · x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 · x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Множники з негативними показниками ступеня здебільшого зручніше переносити з чисельника у знаменник і назад, змінюючи знак показника. Ця дія дозволяє спростити подальше рішення. Наведемо приклад: статечний вираз (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 можна замінити на x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Перетворення виразів з корінням та ступенями

У завданнях зустрічаються статечні висловлювання, які містять як ступеня з дробовими показниками, а й коріння. Такі вирази бажано привести тільки до коріння або лише до ступенів. Перехід до ступенів краще, оскільки з ними простіше працювати. Такий перехід є особливо доцільним, коли ОДЗ змінних для вихідного виразу дозволяє замінити коріння ступенями без необхідності звертатися до модуля або розбивати ОДЗ на кілька проміжків.

Приклад 12

Подайте вираз x 1 9 · x · x 3 6 у вигляді ступеня.

Рішення

Область допустимих значень змінної xвизначається двома нерівностями x ≥ 0і x · x 3 ≥ 0 які задають безліч [ 0 , + ∞) .

На цій множині ми маємо право перейти від коріння до ступенів:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Використовуючи властивості ступенів, спростимо отриманий статечний вираз.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 · x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Відповідь: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Перетворення ступенів зі змінними у показнику

Дані перетворення досить легко зробити, якщо грамотно використовувати властивості ступеня. Наприклад, 5 2 · x + 1 - 3 · 5 x · 7 x - 14 · 7 2 · x - 1 = 0.

Ми можемо замінити твором ступеня, у показниках яких перебуває сума певної змінної та числа. У лівій частині це можна зробити з першим і останнім складовими лівої частини виразу:

5 2 · x · 5 1 - 3 · 5 x · 7 x - 14 · 7 2 · x · 7 - 1 = 0,5 · 5 2 · x - 3 · 5 x · 7 x - 2 · 7 2 · x = 0.

Тепер поділимо обидві частини рівності на 7 2 · x. Цей вираз на ОДЗ змінної x набуває лише позитивних значень:

5 · 5 - 3 · 5 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 7 2 · x , 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 2 · x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0, 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0

Скоротимо дроби зі ступенями, отримаємо: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0 .

Нарешті, відношення ступенів з однаковими показниками замінюється ступенями відносин, що призводить до рівняння 5 · 5 7 2 · x - 3 · 5 7 x - 2 = 0, яке дорівнює 5 · 5 7 x 2 - 3 · 5 7 x - 2 = 0 .

Введемо нову змінну t = 5 7 x , що зводить рішення вихідного показового рівняння до рішення квадратного рівняння 5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0 .

Перетворення виразів зі ступенями та логарифмами

Вирази, що містять із запису ступеня та логарифми, також зустрічаються в задачах. Прикладом таких виразів можуть бути: 1 4 1 - 5 · log 2 3 або log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3 . Перетворення подібних виразів проводиться з використанням розібраних вище підходів та властивостей логарифмів, які докладно розібрали у темі «Перетворення логарифмічних виразів».

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Якщо вам потрібно звести якесь конкретне число на ступінь, можете скористатися . А зараз ми докладніше зупинимося на властивості ступенів.

Експонентні числавідкривають великі можливості, вони дозволяють нам перетворити множення на додавання, а складати набагато легше, ніж множити.

Наприклад, нам треба помножити 16 на 64. Добуток від множення цих двох чисел дорівнює 1024. Але 16 – це 4х4, а 64 – це 4х4х4. Тобто 16 на 64 = 4x4x4x4x4, що також дорівнює 1024.

Число 16 можна також у вигляді 2х2х2х2, а 64 як 2х2х2х2х2х2, і якщо зробити множення, ми знову отримаємо 1024.

А тепер використовуємо правило. 16=4 2 , чи 2 4 , 64=4 3 , чи 2 6 , до того ж час 1024=6 4 =4 5 , чи 2 10 .

Отже, наше завдання можна записати по-іншому: 4 2 х4 3 =4 5 або 2 4 х2 6 =2 10 і щоразу ми отримуємо 1024.

Ми можемо вирішити ряд аналогічних прикладів і побачимо, що множення чисел зі ступенями зводиться до складання показників ступеня, або експонент, зрозуміло, за умови, що підстави співмножників рівні.

Отже, ми можемо, не виробляючи множення, відразу сказати, що 2 4 х2 2 х2 14 =2 20 .

Це правило справедливе також і при розподілі чисел зі ступенями, але в цьому випадку е кспонента дільника віднімається з експоненти діленого. Отже, 2 5:2 3 =2 2 , що у звичайних числах дорівнює 32:8=4, тобто 2 2 . Підведемо підсумки:

a m x a n = a m+n , a m: a n = a m-n де m і n — цілі числа.

З першого погляду може здатися, що таке множення та розподіл чисел зі ступенямине дуже зручно, адже спочатку треба уявити число в експоненційній формі. Неважко уявити в такій формі числа 8 і 16, тобто 23 і 24, але як це зробити з числами 7 і 17? Або як чинити в тих випадках, коли число можна подати в експоненційній формі, але підстави експоненційних виразів чисел сильно різняться. Наприклад, 8×9 – це 2 3 х3 2 і в цьому випадку ми не можемо підсумовувати експоненти. Ні 2 5 і ні 3 5 не є відповіддю, відповідь також не лежить в інтервалі між цими двома числами.

Тоді чи варто взагалі возитися із цим методом? Безперечно стоїть. Він дає величезні переваги, особливо при складних та трудомістких обчисленнях.

У попередній статті ми розповіли, що собою представляють одночлени. У цьому матеріалі розберемо, як вирішувати приклади та завдання, у яких вони застосовуються. Тут будуть розглянуті такі дії, як віднімання, додавання, множення, поділ одночленів та зведення їх у ступінь з натуральним показником. Ми покажемо, як визначаються такі операції, позначимо основні правила їх виконання та те, що має вийде. Усі теоретичні положення, як завжди, будуть проілюстровані прикладами завдань з описами рішень.

Найзручніше працювати зі стандартним записом одночленів, тому всі вирази, які будуть використані у статті, ми наводимо у стандартному вигляді. Якщо вони спочатку задані інакше, рекомендується спочатку привести їх до загальноприйнятої форми.

Правила складання та віднімання одночленів

Найбільш прості дії, які можна проводити з одночленами – це віднімання та додавання. У випадку результатом цих дій буде многочлен (одночлен можливий у окремих випадках).

Коли ми складаємо або віднімаємо одночлени, спочатку записуємо в загальноприйнятій формі відповідну суму і різницю, після чого спрощуємо вираз, що вийшов. Якщо є подібні доданки, їх треба навести, дужки – розкрити. Пояснимо на прикладі.

Приклад 1

Умова:виконайте складання одночленів − 3 · x та 2, 72 · x 3 · y 5 · z .

Рішення

Запишемо суму вихідних виразів. Додамо дужки та поставимо між ними плюс. У нас вийде таке:

(− 3 · x) + (2 , 72 · x 3 · y 5 · z)

Коли ми виконаємо розкриття дужок, вийде - 3 · x + 2, 72 · x 3 · y 5 · z. Це багаточлен, записаний у стандартній формі, який буде результатом складання даних одночленів.

Відповідь:(− 3 · x) + (2, 72 · x 3 · y 5 · z) = − 3 · x + 2, 72 · x 3 · y 5 · z .

Якщо в нас задано три, чотири і більше доданків, ми здійснюємо цю дію так само.

Приклад 2

Умова:проведіть у правильному порядку зазначені дії з багаточленами

3 · a 2 - (- 4 · a · c) + a 2 - 7 · a 2 + 4 9 - 2 2 3 · a · c

Рішення

Почнемо з розкриття дужок.

3 · a 2 + 4 · a · c + a 2 - 7 · a 2 + 4 9 - 2 2 3 · a · c

Ми бачимо, що отриманий вираз можна спростити шляхом приведення таких доданків:

3 · a 2 + 4 · a · c + a 2 - 7 · a 2 + 4 9 - 2 2 3 · a · c = = (3 · a 2 + a 2 - 7 · a 2) + 4 · a · c - 2 2 3 · a · c + 4 9 = = - 3 · a 2 + 1 1 3 · a · c + 4 9

У нас вийшов багаточлен, який і буде результатом цієї дії.

Відповідь: 3 · a 2 - (- 4 · a · c) + a 2 - 7 · a 2 + 4 9 - 2 2 3 · a · c = - 3 · a 2 + 1 1 3 · a · c + 4 9

У принципі, ми можемо виконати додавання та віднімання двох одночленів з деякими обмеженнями так, щоб отримати в результаті одночлен. Для цього потрібно дотриматись деяких умов, що стосуються доданків і віднімаються одночленів. Про те, як це робиться, ми розповімо в окремій статті.

Правила множення одночленів

Дія множення не накладає жодних обмежень на множники. Одночлени, що множаться, не повинні відповідати жодним додатковим умовам, щоб в результаті вийде одночлен.

Щоб виконати множення одночленів, потрібно виконати такі кроки:

1. Правильно записати твір.
2. Розкрити дужки в отриманому виразі.
3. Згрупувати по можливості множники з однаковими змінними та числові множники окремо.
4. Виконати необхідні дії з числами і застосувати до множників, що залишилися, властивість множення ступенів з однаковими основами.

Подивимося, як це робиться на практиці.

Приклад 3

Умова:виконайте множення одночленів 2 · x 4 · y · z і - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Рішення

Почнемо зі складання твору.

Розкриваємо в ньому дужки та отримуємо наступне:

2 · x 4 · y · z · - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11

2 · - 7 16 · t 2 · x 4 · x 2 · y · z 3 · z 11

Все, що нам залишилося зробити, - це помножити числа в перших дужках і застосувати властивість ступенів для других. У результаті отримаємо таке:

2 · - 7 16 · t 2 · x 4 · x 2 · y · z 3 · z 11 = - 7 8 · t 2 · x 4 + 2 · y · z 3 + 11 = = - 7 8 · t 2 · x 6 · y · z 14

Відповідь: 2 · x 4 · y · z · - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 = - 7 8 · t 2 · x 6 · y · z 14 .

Якщо у нас в умові стоять три багаточлени і більше, ми множимо їх за таким самим алгоритмом. Докладніше питання множення одночленів ми розглянемо у межах окремого матеріалу.

Правила зведення одночлена до ступеня

Ми знаємо, що ступенем із натуральним показником називають добуток деякого числа однакових множників. На їх кількість вказує число у показнику. Відповідно до цього визначення, зведення одночлена в ступінь рівнозначне множенню вказаної кількості однакових одночленів. Подивимося, як це робиться.

Приклад 4

Умова:виконайте зведення одночлена − 2 · a · b 4 у ступінь 3 .

Рішення

Ми можемо замінити зведення в ступінь на множення 3 одночленів − 2 · a · b 4 . Запишемо і отримаємо відповідь:

(−2 · a · b 4) 3 = (−2 · a · b 4) · (−2 · a · b 4) · (−2 · a · b 4) = = ((−2) · (− 2) · (−2)) · (a · a · a) · (b 4 · b 4 · b 4) = − 8 · a 3 · b 12

Відповідь:(− 2 · a · b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

А як бути в тому випадку, коли рівень має великий показник? Записувати велику кількість множників незручно. Тоді для вирішення такого завдання нам треба застосувати властивості ступеня, а саме властивість ступеня добутку та властивість ступеня у ступеня.

Вирішимо завдання, яке ми навели вище, вказаним способом.

Приклад 5

Умова:виконайте зведення − 2 · a · b 4 у третій ступінь.

Рішення

Знаючи властивість ступеня, ми можемо перейти до виразу наступного виду:

(−2 · a · b 4) 3 = (−2) 3 · a 3 · (b 4) 3 .

Після цього ми зводимо в ступінь - 2 і застосовуємо властивість ступеня:

(−2) 3 · (a) 3 · (b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 4 · 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

Відповідь:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Зведенню одночлена в міру ми також присвятили окрему статтю.

Правила поділу одночленів

Остання дія з одночленами, яку ми розберемо в даному матеріалі, – розподіл одночлена на одночлен. В результаті ми повинні отримати раціональний (алгебраїчний) дріб (у деяких випадках можливе одержання одночлена). Відразу уточнимо, що поділ на нульовий одночлен не визначається, оскільки не визначається поділ на 0.

Для виконання поділу нам потрібно записати зазначені одночлени у формі дробу та скоротити його, якщо є така можливість.

Приклад 6

Умова:виконайте поділ одночлена − 9 · x 4 · y 3 · z 7 на − 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 .

Рішення

Почнемо із запису одночленів у формі дробу.

9 · x 4 · y 3 · z 7 - 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2

Цей дріб можна скоротити. Після виконання цієї дії отримаємо:

3 · x 2 · y · z 7 2 · p 3 · t 5

Відповідь:- 9 · x 4 · y 3 · z 7 - 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 = 3 · x 2 · y · z 7 2 · p 3 · t 5 .

Умови, за яких в результаті розподілу одночленів ми отримаємо одночлен, наводяться в окремій статті.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Якщо не зважати на восьмий ступінь, що ми тут бачимо? Згадуємо програму 7 класу. Отже, згадали? Це формула скороченого множення, а саме – різниця квадратів! Отримуємо:

Уважно дивимось на знаменник. Він дуже схожий на один із множників чисельника, але що не так? Не той порядок доданків. Якби їх поміняти місцями можна було б застосувати правило.

Але як це зробити? Виявляється дуже легко: тут нам допомагає парний ступінь знаменника.

Магічним чином доданки змінилися місцями. Це «явище» застосовується для будь-якого виразу парною мірою: ми можемо безперешкодно змінювати знаки в дужках.

Але важливо запам'ятати: змінюються усі знаки одночасно!

Повернемося, наприклад:

І знову формула:

Цілимими називаємо натуральні числа, протилежні їм (тобто узяті зі знаком «») та число.

ціле позитивне число, а воно нічим не відрізняється від натурального, все виглядає в точності як у попередньому розділі.

А тепер розглянемо нові випадки. Почнемо з показника, що дорівнює.

Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці:

Як завжди, запитаємо себе: чому це так?

Розглянемо якийсь ступінь із основою. Візьмемо, наприклад, і домножимо на:

Отже, ми помножили число на, і отримали те, що було - . А на яку кількість треба помножити, щоб нічого не змінилося? Правильно, на. Значить.

Можемо зробити те саме вже з довільним числом:

Повторимо правило:

Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці.

Але з багатьох правил є винятки. І тут воно теж є - це число (як основа).

З одного боку, будь-якою мірою повинен дорівнювати - скільки нуль сам на себе не помножуй, все-одно отримаєш нуль, це ясно. Але з іншого боку, як і будь-яке число в нульовому ступені, має дорівнювати. То що з цього правда? Математики вирішили не зв'язуватися і відмовилися зводити нуль у нульовий ступінь. Тобто тепер нам не можна не лише ділити на нуль, а й зводити його на нульовий ступінь.

Поїхали далі. Крім натуральних чисел та числа до цілих відносяться негативні числа. Щоб зрозуміти, що таке негативний ступінь, дійдемо як минулого разу: домножимо якесь нормальне число на таке ж негативне:

Звідси вже нескладно висловити:

Тепер поширимо отримане правило на довільний ступінь:

Отже, сформулюємо правило:

Число негативною мірою назад такому ж числу позитивно. Але при цьому основа не може бути нульовою:(Бо на ділити не можна).

Підведемо підсумки:

I. Вираз не визначено у разі. Якщо то.

ІІ. Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці: .

ІІІ. Число, не рівне нулю, негативною мірою назад такому ж числу позитивно: .

Завдання для самостійного вирішення:

Ну і, як завжди, приклади для самостійного вирішення:

Розбір завдань для самостійного розв'язання:

Знаю-знаю, числа страшні, але на ЄДІ треба бути готовим до всього! Виріш ці приклади або розбери їх рішення, якщо не зміг вирішити і ти навчишся легко справлятися з ними на іспиті!

Продовжимо розширювати коло чисел, «придатних» як показник ступеня.

Тепер розглянемо раціональні числа.Які числа називаються раціональними?

Відповідь: всі, які можна подати у вигляді дробу, де і - цілі числа, причому.

Щоб зрозуміти, що таке «дрібний ступінь», розглянемо дріб:

Зведемо обидві частини рівняння до ступеня:

Тепер згадаємо правило про «ступінь ступеня»:

Яке число треба звести до ступеня, щоб отримати?

Це формулювання - визначення кореня ступеня.

Нагадаю: коренем -ого ступеня числа () називається число, яке при зведенні до ступеня дорівнює.

Тобто, корінь ступеня - це операція, зворотна зведенню в ступінь: .

Виходить що. Очевидно, цей окремий випадокможна розширити: .

Тепер додаємо чисельник: що таке? Відповідь легко отримати за допомогою правила «ступінь ступеня»:

Але чи може бути підстава будь-яким числом? Адже корінь можна отримувати не з усіх чисел.

Жодне!

Згадуємо правило: будь-яке число, зведене парний ступінь - число позитивне. Тобто витягувати коріння парного ступеня з негативних чисел не можна!

А це означає, що не можна такі числа зводити в дрібний ступінь з парним знаменником, тобто вираз не має сенсу.

А що щодо висловлювання?

Але тут постає проблема.

Число можна представити у вигляді інших, скоротливих дробів, наприклад, або.

І виходить, що існує, але не існує, адже це просто два різні записи одного і того ж числа.

Або інший приклад: раз, то можна записати. Але варто нам по-іншому записати показник, і знову отримаємо неприємність: (тобто отримали зовсім інший результат!).

Щоб уникнути подібних парадоксів, розглядаємо тільки позитивна основа ступеня з дробовим показником.

Отже, якщо:

• - натуральне число;
• - ціле число;

Приклади:

Ступені з раціональним показником дуже корисні для перетворення виразів з корінням, наприклад:

5 прикладів для тренування

Розбір 5 прикладів для тренування

1. Не забуваємо про звичайні властивості ступенів:

2. . Тут згадуємо, що забули вивчити таблицю ступенів:

адже - це чи. Рішення перебуває автоматично: .

Ну а тепер – найскладніше. Зараз ми розберемо ступінь з ірраціональним показником.

Всі правила і властивості ступенів тут такі самі, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком

Адже за визначенням ірраціональні числа - це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і - цілі числа (тобто ірраціональні числа - це все дійсні числа, крім раціональних).

При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь «образ», «аналогію», або опис більш звичних термінах.

Наприклад, ступінь із натуральним показником - це число, кілька разів помножене саме на себе;

...число в нульовому ступені- це хіба що число, помножене саме він раз, тобто його ще почали множити, отже, саме число ще навіть з'явилося - тому результатом є лише якась «заготівля числа», саме число;

...ступінь із цілим негативним показником- це ніби стався якийсь « зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.

Між іншим, у науці часто використовується ступінь із комплексним показником, тобто показник – це навіть не дійсне число.

Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.

КУДИ МИ ВПЕВНЕНІ ТИ ПОСТУПИШ! (якщо навчишся вирішувати такі приклади:))

Наприклад:

Виріши самостійно:

Розбір рішень:

1. Почнемо з вже звичайного нам правила зведення ступеня в ступінь:

Тепер подивися на показник. Нічого він не нагадує тобі? Згадуємо формулу скороченого множення різниця квадратів:

В даному випадку,

Виходить що:

Відповідь: .

2. Наводимо дроби у показниках ступенів до однакового виду: або обидві десяткові, або обидві звичайні. Отримаємо, наприклад:

Відповідь: 16

3. Нічого особливого, застосовуємо звичайні властивості ступенів:

ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ

Визначення ступеня

Ступенем називається вираз виду: , де:

• — основа ступеня;
• - показник ступеня.

Ступінь із натуральним показником (n = 1, 2, 3,...)

Звести число в натуральний ступінь n - значить помножити число саме на себе:

Ступінь із цілим показником (0, ±1, ±2,...)

Якщо показником ступеня є ціле позитивнечисло:

Зведення у нульовий ступінь:

Вислів невизначений, тому що, з одного боку, будь-якою мірою - це, а з іншого - будь-яке число в -ой ступені - це.

Якщо показником ступеня є ціле негативнечисло:

(Бо на ділити не можна).

Ще раз про нулі: вираз не визначений у випадку. Якщо то.

Приклади:

Ступінь із раціональним показником

• - натуральне число;
• - ціле число;

Приклади:

Властивості ступенів

Щоб простіше було вирішувати завдання, спробуємо зрозуміти: звідки ці властивості взялися? Доведемо їх.

Подивимося: що таке та?

За визначенням:

Отже, у правій частині цього виразу виходить такий твір:

Але за визначенням це ступінь числа з показником, тобто:

Що і потрібно було довести.

приклад : Спростіть вираз

Рішення : .

приклад : Спростіть вираз

Рішення : Важливо помітити, що у нашому правилі обов'язковомають бути однакові підстави. Тому ступеня з основою ми поєднуємо, а залишається окремим множником:

Ще одне важливе зауваження: це правило - тільки для добутку ступенів!

У жодному разі не можна написати, що.

Так само, як і з попередньою властивістю, звернемося до визначення ступеня:

Перегрупуємо цей твір так:

Виходить, що вираз множиться сам на себе раз, тобто, згідно з визначенням, це і є ступінь числа:

По суті, це можна назвати «винесенням показника за дужки». Але ніколи не можна цього робити у сумі: !

Згадаймо формули скороченого множення: скільки разів нам хотілося написати? Але це не так, адже.

Ступінь із негативною основою.

До цього моменту ми обговорювали лише те, яким має бути показникступеня. Але якою має бути підстава? У ступенях з натуральним показником основа може бути будь-яким числом .

І справді, адже ми можемо множити один на одного будь-які числа, будь вони позитивні, негативні, або навіть. Давайте подумаємо, які знаки (« » або « ») матимуть ступеня позитивних та негативних чисел?

Наприклад, позитивним чи негативним буде число? А? ?

З першим усе зрозуміло: скільки позитивних чисел ми один на одного не множили, результат буде позитивним.

Але з негативними трохи цікавіше. Адже ми пам'ятаємо просте правило з 6 класу: «мінус на мінус дає плюс». Тобто, або. Але якщо ми помножимо (), вийде - .

І так нескінченно: при кожному наступному множенні знак змінюватиметься. Можна сформулювати такі прості правила:

1. парнуступінь - число позитивне.
2. Негативне число, зведене в непарнуступінь - число негативне.
3. Позитивне число будь-якої міри - число позитивне.
4. Нуль будь-якою мірою дорівнює нулю.

Визнач самостійно, який знак матимуть такі вирази:

Впорався? Ось відповіді:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

У перших чотирьох прикладах, сподіваюся, все зрозуміло? Просто дивимося на основу та показник ступеня, і застосовуємо відповідне правило.

У прикладі 5) все теж не так страшно, як здається: адже неважливо, чому рівна підстава - ступінь парний, а значить, результат завжди буде позитивним. Ну, за винятком випадку, коли основа дорівнює нулю. Адже підстава не рівна? Очевидно ні, тому що (бо).

Приклад 6) вже не такий простий. Тут треба дізнатися, що менше: чи? Якщо згадати, що, стає ясно, що, отже, підстава менша за нуль. Тобто застосовуємо правило 2: результат буде негативним.

І знову використовуємо визначення ступеня:

Все як завжди - записуємо визначення ступенів і, ділимо їх один на одного, розбиваємо на пари і отримуємо:

Перш ніж розібрати останнє правило, розв'яжемо кілька прикладів.

Обчисли значення виразів:

Рішення :

Якщо не зважати на восьмий ступінь, що ми тут бачимо? Згадуємо програму 7 класу. Отже, згадали? Це формула скороченого множення, а саме – різниця квадратів!

Отримуємо:

Уважно дивимось на знаменник. Він дуже схожий на один із множників чисельника, але що не так? Не той порядок доданків. Якби їх поміняти місцями можна було б застосувати правило 3. Але як це зробити? Виявляється дуже легко: тут нам допомагає парний ступінь знаменника.

Якщо примножити його на, нічого не зміниться, чи не так? Але тепер виходить таке:

Магічним чином доданки змінилися місцями. Це «явище» застосовується для будь-якого виразу парною мірою: ми можемо безперешкодно змінювати знаки в дужках. Але важливо запам'ятати: змінюються усі знаки одночасно!Не можна замінити, змінивши тільки один неугодний нам мінус!

Повернемося, наприклад:

І знову формула:

Отже, тепер останнє правило:

Як доводитимемо? Звичайно, як завжди: розкриємо поняття ступеня і спростимо:

Ну а тепер розкриємо дужки. Скільки всього вийде букв? раз по множниках - що це нагадує? Це не що інше, як визначення операції множення: всього там виявилося множників Тобто це, за визначенням, ступінь числа з показником:

Приклад:

Ступінь з ірраціональним показником

На додаток до інформації про ступені для середнього рівня розберемо ступінь з ірраціональним показником. Всі правила та властивості ступенів тут точно такі ж, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком – адже за визначенням ірраціональні числа – це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і – цілі числа (тобто, ірраціональні числа – це усі дійсні числа, крім раціональних).

При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь «образ», «аналогію», або опис більш звичних термінах. Наприклад, ступінь із натуральним показником - це число, кілька разів помножене саме на себе; число в нульовому ступені - це ніби число, помножене саме на себе раз, тобто його ще не почали множити, значить, саме число ще навіть не з'явилося - тому результатом є лише якась «заготівля числа», а саме число; ступінь із цілим негативним показником - це ніби стався якийсь «зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.

Уявити ступінь з ірраціональним показником дуже складно (так само, як складно уявити 4-мірний простір). Це швидше чисто математичний об'єкт, який математики створили, щоб розширити поняття ступеня на весь простір чисел.

Між іншим, у науці часто використовується ступінь із комплексним показником, тобто показник – це навіть не дійсне число. Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.

Отже, що ми робимо, якщо бачимо ірраціональний показник ступеня? Усіми силами намагаємося його позбутися!:)

Наприклад:

Виріши самостійно:

Відповіді:

1. Згадуємо формулу різниця квадратів. Відповідь: .
2. Наводимо дроби до однакового вигляду: або обидві десяткові або обидві звичайні. Отримаємо, наприклад: .
3. Нічого особливого, застосовуємо звичайні властивості ступенів:

КОРОТКИЙ ВИКЛАД РОЗДІЛУ ТА ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

ступенемназивається вираз виду: , де:

Ступінь із цілим показником

ступінь, показник якого - натуральне число (тобто ціле і позитивне).

Ступінь із раціональним показником

ступінь, показник якого - негативні та дробові числа.

Ступінь з ірраціональним показником

ступінь, показник якого - нескінченна десятковий дрібчи корінь.

Властивості ступенів

Особливості ступенів.

• Негативне число, зведене в парнуступінь - число позитивне.
• Негативне число, зведене в непарнуступінь - число негативне.
• Позитивне число будь-якої міри - число позитивне.
• Нуль у будь-якій мірі дорівнює.
• Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює.

ТЕПЕР ТЕБЕ СЛОВО...

Як тобі стаття? Напиши внизу у коментарях сподобалася чи ні.

Розкажи про свій досвід використання властивостей ступенів.

Можливо, у тебе є питання. Або пропозиції.

Напиши коментарі.

І удачі на іспитах!