3 у періоді як записати. Періодичний дріб

, iiryna і deadvom у піцерії і мені чомусь спало на думку питання, яке я пізніше задавав у :

Чи рівні числа 0, (9) та 1?

Питання це, напевно, дещо дивне і багатьох, особливо нематематиків, може здивувати і відповіді на нього не буде.
Мені тут хочеться трохи прояснити свої і не лише свої міркування із цього приводу. Почну здалеку.

Як знаємо, число - це одне з основних понять математики, світ чисел постійно поповнювався протягом розвитку людства. У першому класі ми вивчали перші числа: 1, 2, 3... Ці числа називаються натуральними, та їх безліч позначається буквою N. У цих чисел можна добре виконувати операції складання і множення. Якщо ж ми захочемо застосовувати віднімання, то з підсвідомості випливає фраза на кшталт "З 2 яблук не можна відняти 4" або щось у цьому дусі. Таким чином, ми отримуємо якісь обмеження, які розширюються запровадженням негативних чисел. Безліч всіх негативних і позитивних чисел називається безліччю цілихчисел і позначається буквою Z. У цих чисел заперечення вже виконується без жодних проблем (2 - 4 = -2).

Наступною загальновідомою арифметичною операцією є поділ. Якщо поділити 1 на 2, то вийде число нез множини цілих чисел. Таким чином, знову доведеться розширювати відомі числа, щоб вмістити результати цієї операції. Числа які є у вигляді приватного, тобто дробу m/n(m – чисельник, n – знаменник) – називаються раціональнимичислами (множина Q). За своєю суттю, дроби - це і є раціональні числа, тобто звичайна дріб є приватне, а результат поділу чисельника на знаменник і є раціональне число. Знову ж таки, згадаємо школу і на думку приходять завдання типу "скласти третину яблука з половиною яблука" і деякі проблеми, що виникають при складанні дробів. Проблема полягала в тому, що їх треба було призводити до спільного знаменника (тобто 1/3+1/2=3/6+2/6=5/6), оскільки складати без проблем можна було лише дроби з однаковим знаменником. Відповідно, для того, щоб цих проблем позбутися, і через те, що у нас прийнято десяткову систему числення, було введено десяткові дроби. Тобто такі дроби, у яких знаменник – якийсь ступінь 10, тобто 3/10, 12/100, 13/1000 тощо. Записують їх або з комою як у нас – (2,34), або з точкою, як прийнято на Заході (2.34).

Виникає питання: "а як перевести звичайні дроби до десяткових?". Згадуючи поділ куточком, можна накидати щось таке:

Якщо говорити формально - то завдання переведення зі звичайного дробу до десяткового є завданням знаходження такого найменшого ступеня десятки, яке буде ділитися на знаменник заданого звичайного дробу. Тобто наприклад для перекладу дробу 3/8: беремо знаменник 8 і перебираємо ступеня 10 доти, доки якийсь ступінь 10 не буде ділитися на 8: 10 не ділиться, 100 не ділиться, а ось 1000 ділиться (1000/8 = 125), отже 3/8 = 375/1000 = 0,375.
Однак, що робити, якщо такого ступеня не знаходиться або у разі розподілу куточком – процес не закінчується? Наприклад, спробуємо поділити 1 на 3:

Як ми бачимо - процес через деякий час зациклюється - тобто повторюються ті самі залишки, і ми точно знаємо, що наступні цифри повторюватимуть попередні.
Таким чином маємо, що:
1/3 = 0.333333...
Терпіння, ми вже близькі до відповіді питання:) Для того, щоб відобразити той факт, що трійка в десятковому записі числа 1/3 повторюється і не писати три крапки - було введено спеціальне позначення 0,(3). Частина у дужках називається "періодом" дробу, тобто нескінченно періодично повторюваною частиною дробу, а сам дріб - періодичним. Таким чином, запис дробу з періодом є лише іншою формою запису звичайного раціонального числа, що виникає при переході до конкретної системи числення (у нашому випадку десяткового) і період з'являється, якщо в розкладанні на прості множники знаменника вже скороченого дробу присутні співмножники, на які не ділиться основа системи числення (наприклад 6 = 2 * 3, 10 не ділиться на 3, тому у дробу 1/6 є період десятковій системічислення). Крім того, можна показати, що будь-якаперіодичний дріб є раціональним числом (тобто числом виду m/n), всього лише представленим у альтернативному вигляді.

Таким чином можна сміливо записати що 0,(3) = 1/3 , оскільки це те саме число, записане по-різному. Відповідно, помноживши на 3 кожну з частин рівняння, ми отримуємо, що 0,(9) = 1. Такий доказ трохи нагадує магію, проте вся справа в тому, що по суті не існує чисел, розділивши стовпчиком які ми могли б отримати число 0,(9) так, як ми отримали 0,(3) розділивши 1 і 3. Так що можна і засумніватися у праві на існування цього числа. Однак було б нецілісно і математично неструйно відмовлятися від періодичної форми запису в тому випадку, якщо число в періоді - 9, тобто 0(9) або 1(9) і т.д.
Тому число 0,(9) на даний момент цілком визнано і є лише альтернативною, незручною та непотрібною формою запису числа 1.

Як бачимо, визначення періодичних дробів немає ніякого відношення до рядів, аналізу нескінченно малих величин, межам тощо, які викладаються у вищій школі.
Резюмуючи, можна сказати, що дана форма запису є лише артефактом, викликаним застосуванням конкретних систем числення (у нашому випадку десяткової системи). Наскільки мені відомо, деякі математики (яких цитував в одній зі своїх статей дуже відомий Д. Кнут) борються за скасування таких двозначних та спірних уявлень чисел як 0, 9 та деяких інших.

Випуску 2013 від щирого серця

Зрештою, коло нескінченно
великого кола і пряма лінія — те саме.
Галілео Галілей

Слово «період» викликає цілком певну асоціацію в головах у громадян, стомлених суворою дійсністю. А саме – «час». Тобто вони, ці громадяни, питанням «З чим асоціюється слово “період”», як заведені кажуть: «час». Розраховувати на фантазію загалом не доводиться.

Як же змусити працювати зледане у зв'язку з прогресом, що прискорюється, праву півкулю? І тут поспішає на допомогу велика та жахлива МАТЕМАТИКА! Так-так, слово напускає страху на незміцнілу психіку не менш жваво, ніж сама математичка з трикутником у руці.

Але слід зазначити, що саме ця поважна дама (або шановний джентльмен) свого часу відчайдушно намагалася збагатити ваш словниковий запас, пояснюючи, що словом «період» можна назвати не тільки проміжок часу, але й групу цифр, що «нескінченно повторюється» після коми в записі десяткового дробу. І такі дроби називаються періодичними.

Виснажені середньою освітою громадяни, швидше за все, знають, що будь-який звичайний дріб можна записати у вигляді десяткового — кінцевого чи нескінченного. При цьому в останньому випадку відбувається чудесне явище періоду.

Наприклад, якщо довго ділити «стовпчиком» два на три, то вийде таке:

2/3 = 2: 3 = 0,666… = 0,(6).

Зворотний процес не менш цікавий. Якщо виникає непереборне бажання перевести періодичний дріб у звичайний, то варто зробити такі дії:

Уклін. Оплески. Завіса. Усі в захваті збираються розходитись. І тут - єхидний голос училки:

— А переведіть мені, дорогі мої діточки, 0(9) у звичайний дріб.

Та простіше пареної ріпи! На зразок працювати — антресолі заповнювати не треба:

нехай x= 0, (9), тоді 10 x= 9, (9). Віднімемо з другого рівняння перше:

10x - x= 9,(9) - 0,(9), тобто 9 x= 9. Звідки x= 1. Отже, 0, (9) = 1.

У цьому місці, як правило, виникає когнітивний дисонанс у головах юнаків, які досі сумно дивляться на дошку. Бо серед іншого вони бачать:

0,(9) = 1.

Хтось сумно подумав, що він так і знав, що вчителям вірити не можна. Хтось заплакав та вибіг. Деякі щасливці не слухали, тому зберегли свій мозок у незайманій чистоті і продовжують перебувати в невіданні щодо катастрофи, що вибухнула, в головах колег.

- Не вірите мені? АХАХАХАХА А я вам зараз за допомогою суми нескінченно спадаючою геометричній прогресіїдоведу.

І на дошці виникає приблизно таке:

Як страшно жити! Якщо вчитель при цьому надумав згадати про те, що можна довести цю рівність, використовуючи поняття межі, то він садист. Якщо ще прослизнуло щось на кшталт «а це — нескінченно мале», то взагалі монстр.

Залишаючи російській освіті радість розбиратися з мучителями дітей, необхідно зробити висновок щодо вищеописаних результатів.

Якщо у вашій звичайній повсякденному життівам потрібно виконати якусь цікаву, але, швидше за все, дивну роботу, оскільки ви маніпулюватимете з 0,(9), то пам'ятайте, що це — 1.

Дякую всім! Всі вільні!

Операція поділу передбачає участь у ній кількох основних компонентів. Перший - так зване ділене, тобто число, яке піддається процедурі поділу. Другий - дільник, тобто число, яке виробляється поділ. Третій - приватний, тобто результат операції розподілу діленого на дільник.

Результат поділу

Однак існують інші варіанти, коли здійснити операцію поділу без залишку неможливо. У цьому випадку приватним стає неціле число, яке можна записати у вигляді комбінації цілої та дробової частин. Наприклад, при розподілі 5 на 2 частка складе 2,5.

Число в періоді

Для того щоб позначити результат такого поділу, був винайдений спеціальний спосіб запису чисел у періоді: таке число позначається приміщенням цифри, що повторюється, в дужки. Наприклад, результат розподілу 2 на 3 буде записуватися з використанням цього способу як 0(6). Зазначений варіант запису застосуємо також у разі, якщо повторюваної є лише частина числа, що вийшла в результаті розподілу.

Наприклад, при розподілі 5 на 6 результатом буде періодичне число, що має вигляд 0,8 (3). Використання цього способу, по-перше, є найбільш ефективним у порівнянні зі спробою записати всі або частину цифр числа в періоді, по-друге, має більшу точність у порівнянні з іншим способом передачі таких чисел - округленням, а крім того, дозволяє відрізнити числа в період від точного десяткового дробу з відповідним значенням при зіставленні величини цих чисел. Приміром, очевидно, що 0,(6) - значно більше, ніж 0,6.

Пам'ятаєте, як у самому першому уроці про десяткові дроби я казав, що існують числові дроби, які не представлені у вигляді десяткових дробів (див. урок «Десятичні дроби»)? Ми ще вчилися розкладати знаменники дробів на множники, щоб перевірити, чи немає там чисел відмінних від 2 і 5.

Так ось: я набрехав. І сьогодні ми навчимося переводити абсолютно будь-який числовий дріб у десятковий. Заодно познайомимося з цілим класом дробів із нескінченною значущою частиною.

Періодичний десятковий дріб - це будь-який десятковий дріб, у якого:

1. Значна частина складається з безлічі цифр;
2. Через певні інтервали цифри у значній частині повторюються.

Набір цифр, що повторюються, з яких складається значна частина, називається періодичною частиною дробу, а кількість цифр в цьому наборі - періодом дробу. Решта відрізку значущої частини, який не повторюється, називається неперіодичною частиною.

Оскільки визначень багато, варто докладно розглянути такі дроби:

Цей дріб зустрічається в завданнях найчастіше. Неперіодична частина: 0; періодична частина: 3; Довжина періоду: 1.

Неперіодична частина: 0,58; періодична частина: 3; Довжина періоду: знову 1.

Неперіодична частина: 1; періодична частина: 54; Довжина періоду: 2.

Неперіодична частина: 0; періодична частина: 641025; довжина періоду: 6. Для зручності частини, що повторюються, відокремлені один від одного пробілом - у цьому рішенні так робити не обов'язково.

Неперіодична частина: 3066; періодична частина: 6; Довжина періоду: 1.

Як бачите, визначення періодичного дробу засноване на понятті значній частині числа. Тому якщо ви забули, що це таке, рекомендую повторити - див. урок « ».

Перехід до періодичного десяткового дробу

Розглянемо звичайний дріб виду a/b. Розкладемо її знаменник на прості множники. Можливі два варіанти:

1. У розкладанні присутні лише множники 2 та 5. Ці дроби легко наводяться до десяткових – див. урок «Десятичні дроби». Такі нас не цікавлять;
2. У розкладанні є щось ще, крім 2 і 5. У цьому випадку дріб непредставний у вигляді десяткового, зате з нього можна зробити періодичний десятковий дріб.

Щоб задати періодичний десятковий дріб, треба знайти його періодичну та неперіодичну частину. Як? Переведіть дріб у неправильний, а потім розділіть чисельник на знаменник куточком.

При цьому відбуватиметься таке:

1. Спочатку розділиться ціла частина якщо вона є;
2. Можливо, буде кілька чисел після десяткової точки;
3. Через деякий час цифри почнуть повторюватися.

От і все! Повторювані цифри після десяткової точки позначаємо періодичною частиною, а те, що стоїть попереду – неперіодичною.

Завдання. Перекладіть звичайні дроби в періодичні десяткові:

Всі дроби без цілої частини, тому просто ділимо чисельник на знаменник «куточком»:

Як бачимо, залишки повторюються. Запишемо дріб у «правильному» вигляді: 1,733...=1,7(3).

Через війну виходить дріб: 0,5833 ... = 0,58(3).

Записуємо у нормальному вигляді: 4,0909...=4,(09).

Отримуємо дріб: 0,4141...=0,(41).

Перехід від періодичного десяткового дробу до звичайного

Розглянемо періодичний десятковий дріб X = abc (a 1 b 1 c 1). Потрібно перевести її в класичну «двоповерхову». Для цього виконаємо чотири прості кроки:

1. Знайдіть період дробу, тобто. підрахуйте, скільки цифр знаходиться у періодичній частині. Нехай це буде число k;
2. Знайдіть значення виразу X · 10 k. Це рівносильно зрушенню десяткової точки на повний період праворуч - див. урок «Множення та розподіл десяткових дробів»;
3. З отриманого числа треба відняти вихідний вираз. При цьому періодична частина «спалюється» і залишається звичайний дріб;
4. В отриманому рівнянні знайти X. Усі десяткові дроби переводимо у прості.

Завдання. Приведіть до звичайного неправильного дробу числа:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Працюємо з першим дробом: X = 9, (6) = 9,666.

У дужках міститься лише одна цифра, тому період k = 1. Далі множимо цей дріб на 10 k = 10 1 = 10. Маємо:

10X = 10 · 9,6666 ... = 96,666 ...

Віднімаємо вихідний дріб і розв'язуємо рівняння:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Тепер розберемося з другим дробом. Отже, X = 32, (39) = 32,393939.

Період k = 2, тому множимо все на 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Знову віднімаємо вихідний дріб і вирішуємо рівняння:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Приступаємо до третього дробу: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Схема та сама, тому я просто наведу викладки:

Період k = 1 ⇒ множимо все на 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 · 0,30555 ... = 3,05555 ...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Нарешті, останній дріб: X = 0, (2475) = 0,2475 2475 ... Знову ж таки, для зручності періодичні частини відокремлені один від одного пробілами. Маємо:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10000X = 10000 · 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Періодичний дріб

нескінченний десятковий дріб, в якому, починаючи з деякого місця, стоїть лише певна група цифр, що періодично повторюється. Наприклад, 1,3181818...; коротше цей дріб записують так: 1,3(18), тобто поміщають період у дужки (і кажуть: «18 у періоді»). П. д. називається чистою, якщо період починається відразу після коми, наприклад 2(71) = 2,7171..., і змішаною, якщо після коми є цифри, що передують періоду, наприклад 1,3(18). Роль П. д. в арифметиці обумовлена ​​тим, що при поданні раціональних чисел, тобто звичайних (простих) дробів, десятковими дробами, завжди виходять або кінцеві або періодичні дроби. Точніше: кінцевий десятковий дріб виходить у тому випадку, коли знаменник нескоротного простого дробу не містить інших простих множників, крім 2 і 5; у всіх інших випадках виходить П. д., і до того ж чиста, якщо знаменник даного нескоротного дробу зовсім не містить множників 2 і 5, і змішана, якщо хоча б один із цих множників міститься у знаменнику. Будь-яка П. д. може бути звернена в простий дріб (тобто вона дорівнює деякому раціональному числу). Чиста П. д. дорівнює простому дробу, чисельником якого служить період, а знаменник зображується цифрою 9, написаної стільки разів, скільки цифр у періоді; при зверненні в простий дріб змішаної П. д. чисельником служить різниця між числом, що зображується цифрами, що передують другому періоду, і числом, що зображуються цифрами, що передують першому періоду; для складання знаменника треба написати цифру 9 стільки разів, скільки цифр у періоді, та приписати праворуч стільки нулів, скільки цифр до періоду. Ці правила припускають, що ця П. д. правильна, тобто не містить цілих одиниць; інакше ціла частина враховується особливо.

Відомі також правила визначення довжини періоду П. д., що відповідає даному звичайному дробу. Наприклад, для дробу a/p, де р -просте число та 1 ≤ a ≤ p - 1, довжина періоду є дільником р - 1. Так, для відомих наближень до числа (див. Пі) 22/7 та 355/113 період дорівнює 6 та 112 відповідно.

Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитись що таке "Періодична дріб" в інших словниках:

Нескінченний десятковий дріб, у якому, починаючи з деякого місця, періодично повторюється певна група цифр (період), напр. 0,373737... чисто періодичний дріб або 0,253737... змішаний періодичний дріб … Великий Енциклопедичний словник

Дріб, нескінченний дріб Словник російських синонімів. періодичний дріб істот., кількість синонімів: 2 нескінченна дріб (2) … Словник синонімів

Десятковий дріб, ряд цифр якого повторюється в тому самому порядку. Наприклад, 0,135135135… є п. д., якій період 135 і яка дорівнює простому дробу 135/999 = 5/37. Словник іншомовних слів, що увійшли до складу російської мови. Павленков Ф... Словник іноземних слів російської мови

Десятичне дріб дріб зі знаменником 10n, де n натуральне число. Має особливу форму запису: ціла частина в десятковій системі числення, потім кома і потім дробова частина в десятковій системі числення, причому кількість цифр дробової частини … Вікіпедія

Нескінченний десятковий дріб, у якому, починаючи з деякого місця, періодично повторюється певна група цифр (період); наприклад, 0,373737... чисто періодичний дріб або 0,253737... змішаний періодичний дріб. * * * ПЕРІОДИЧНА… … Енциклопедичний словник

Нескінченний десятковий дріб, у який, починаючи з деякого місця, періодично повторюється визнач. група цифр (період); напр., 0,373737... чисто П. д. або 0,253737... змішана П. д. Природознавство. Енциклопедичний словник

словник російських синонімів і подібних за змістом висловів. під. ред. Н. Абрамова, М.: Російські словники, 1999. дріб дрібниця, частина; дунст, кулька, шрот, картеч; дробове число Словник російських синонімів. Словник синонімів

періодичний десятковий дріб- - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНИИС, 2003.] Тематики інформаційні технології загалом EN circulating decimalrecurring decimalperioding decimalperiodic decimalperiodical decimal … Довідник технічного перекладача

Якщо ділиться якесь ціле число а на інше ціле число b, тобто. ,… … Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

Дроб, знаменник якого є цілий ступінь числа 10. Д. д. пишуть без знаменника, відокремлюючи в чисельнику праворуч коми стільки цифр, скільки нулів міститься в знаменнику. Наприклад, У такому записі частина, що стоїть ліворуч… Велика Радянська Енциклопедія