Схожа геометрична прогресія. Ряд, утворений геометричною прогресією

А ви знаєте дивовижну легенду про зерна на шахівниці?

Легенда про зерна на шахівниці

Коли творець шахів (давньоіндійський математик під назвою Сесса) показав свій винахід правителю країни, тому так сподобалася гра, що він дозволив винахіднику право вибрати нагороду. Мудрець попросив у короля за першу клітку шахівниці заплатити йому одне зерно пшениці, за друге - два, за третє - чотири і т. д., подвоюючи кількість зерен на кожній наступній клітці. Імператор, який не знався на математиці, швидко погодився, навіть трохи образившись на таку невисоку оцінку винаходу, і наказав скарбнику підрахувати і видати винахіднику потрібну кількість зерна. Однак, коли через тиждень скарбник все ще не зміг підрахувати, скільки потрібно зерен, правитель запитав, у чому причина такої затримки. Казначей показав йому розрахунки і сказав, що розплатитися неможливо. З подивом слухав цар словами старця.

Назви мені це жахливе число, – сказав він.

18 квінтильйонів 446 квадрильйонів 744 трильйони 73 більйони 709 мільйонів 551 тисяча 615, о повелителю!

Якщо прийняти, що одне зернятко пшениці має масу 0,065 грама, тоді загальна маса пшениці на шахівниці становитиме 1,200 трильйонів тонн, що перевищує весь обсяг урожаю пшениці, зібраний за всю історію людства!

Визначення

Геометрична прогресія- Послідовність чисел ( членів прогресії) , у якій кожне наступне число, починаючи з другого, виходить з попереднього множенням його на певне число ( знаменник прогресії):

Наприклад, послідовність 1, 2, 4, 8, 16, … – геометрична ()

Геометрична прогресія

Знаменник геометричної прогресії

Характеристична властивість геометричної прогресії

Для title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="15" width="48" style="vertical-align: -1px;">!}

Послідовність є геометричною і тоді, коли для будь-якого n > 1 виконується зазначене вище співвідношення.

Зокрема, для геометричної прогресії з позитивними членами, вірно:

Формула n-го члена геометричної прогресії

Сума n перших членів геометричної прогресії

(якщо ж , то )

Нескінченна спадна геометрична прогресія

При геометрична прогресія називається нескінченно спадаючою . Сумою нескінченно спадної геометричної прогресії називається число і

Приклади

Приклад 1.

Послідовність () - Геометрична прогресія.

Знайдіть , якщо ,

Рішення:

Відповідно до формули маємо:

Приметр 2.

Знайдіть знаменник геометричної прогресії (), в якій

Необхідна умова збіжності низки.

Гармонійний ряд

Теоремапро необхідну умову збіжності низки.

Якщо ряд сходиться, то межа послідовності загальних членів цього ряду дорівнює нулю:

. (1.11)

Інше формулювання.Для того щоб ряд сходився, необхідно (але недостатньо!), Щоб межа послідовності загальних членів ряду дорівнював нулю.

Зауваження.Іноді для стислості слово «послідовність» опускають і кажуть: «межа загального члена ряду дорівнює нулю». Те саме для послідовності часткових сум («межа часткової суми»).

Доказ теореми. Представимо загальний член ряду у вигляді (1.10):

.

За умовою ряд сходиться, отже, Очевидно, що і , т.к. пі п-1 прагнуть до нескінченності одночасно . Знайдемо межу послідовності спільних членів низки:

Зауваження.Зворотне твердження не так. Ряд, що відповідає умові (1.11), не обов'язково сходиться. Тому умова чи ознака (1.11) є необхідною, але не є достатньою ознакою збіжності ряду.

Приклад 1. Гармонійний ряд. Розглянемо ряд

(1.12)

Цей ряд називається гармонійним, т.к. кожен його член, починаючи з другого, є середнім гармонійним сусіднім з ним членом:

.

Наприклад:

Рис.1.3.1 Рис.1.3.2

Загальний член гармонійного ряду задовольняє необхідну умову збіжності ряду (1.11): (Рис.1.3.1). Однак надалі буде показано (за допомогою інтегральної ознаки Коші), що ця низка розходиться, тобто. його сума дорівнює нескінченності. На рис.1.3.2 показано, що часткові суми необмежено зростають зі збільшенням номера.

Слідство. З необхідної умови збіжності ряду випливає достатня ознака розбіжностіряду: якщо або немає, то ряд розходиться.

Доведення.Припустимо неприємне, тобто. (або немає), але ряд сходиться. Але згідно з теоремою про необхідну умову збіжності ряду межа загального члена повинна дорівнювати нулю: . Протиріччя.

приклад 2.Дослідити на збіжність ряд із загальним членом .

Цей ряд має вигляд:

Знайдемо межу загального члена ряду:

. Відповідно до слідства цей ряд розходиться.

Ряд, утворений геометричною прогресією

Розглянемо ряд, складений із членів геометричної прогресії. Нагадаємо, що геометричною прогресією називається числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число, не рівне нулю і зване знаменником цієї прогресії. Геометрична прогресія має вигляд:

а ряд, складений із її членів:

Такий ряд називається геометричним рядом, але іноді для стислості його називають просто геометричною прогресією. Назву «геометрична» прогресія отримала тому, що кожен її член, починаючи з другого, дорівнює середньому геометричномусусідніх із ним членів:

, або .

Теорема.Ряд, складений із членів геометричної прогресії

розходиться за і сходиться при , причому при сума ряду

Доведення.Загальний член ряду, як і загальний член геометричної прогресії, має вигляд: .

1) Якщо , то , т.к. у разі – нескінченно велика величина.

2) При ряд поводиться по-різному, т.к. набуває різних видів.

При ;

Т.к. межа константи дорівнює самій константі. Т.к. за умовою теореми , загальний член низки не прагне нуля.

При ; межі немає.

Таким чином, при не виконується необхідна умовазбіжності ряду:

.

Отже ряд (1.13) розходиться.

3) Якщо , то прогресія називається нескінченно спадаючою. Зі шкільного курсу відомо, що n-ю часткову суму ряду (1.13) можна подати у вигляді:

Знайдемо суму низки. Бо при (Безмежно мала величина), то

.

Таким чином, при ряд (1.13) сходиться і має суму, що дорівнює

. (1.16)

Це і є сума нескінченно спадної геометричної прогресії.

Приклад 1.

Оцінимо його суму, тобто. спробуємо визначити, чого прагне послідовність його часткових сум.

Видно, що послідовність часткових сум прагне до 2 (рис.1.4.1).

А тепер доведемо це. Скористаємося тим, що цей ряд - це ряд, складений із членів геометричної прогресії, де . Сума нескінченно спадної геометричної прогресії

.

Приклад 2.

.

Обчислюється аналогічно. Оскільки багато членів низки на відміну від попереднього прикладу мають знак мінус, то сума виявилася меншою.

Приклад 3.

Це геометричний ряд, де >1. Така низка розходиться.

Властивості рядів, що сходяться

Розглянемо два ряди, що сходяться:

, (1.17)

. (1.18)

1. Ряд, отриманий почленным складанням (відніманням) двох сходящих рядів, також сходиться, яке сума дорівнює алгебраїчної сумі вихідних рядів, тобто.

. (1.19)

Доведення.Складемо часткові суми рядів (1.17) та (1.18):

Т.к. за умовою ці ряди сходяться, існують межі цих часткових сум:

, .

Складемо часткову суму ряду (1.19) і знайдемо її межу:

приклад.

;

.

Зауваження.Зворотне твердження не так, тобто. зі збіжності ряду, що стоїть у лівій частині рівності (1.19), не випливає збіжність рядів і . Наприклад, ряд, розглянутий у прикладі 4, сходиться, та його сума дорівнює 1; загальний член цього ряду був перетворений на вигляд:

.

Отже, ряд можна записати у вигляді:

.

Розглянемо тепер окреморяди:

Ці ряди розходяться, оскільки гармонійними рядами. Таким чином, зі збіжності алгебраїчної суми рядів не випливає збіжність доданків.

2. Якщо всі члени ряду, що сходяться, з сумою Sпомножити на те саме число з, то отриманий ряд також сходитиметься і матиме суму cS:

. (1.20)

Доказ аналогічний першій властивості (довести самостійно).

приклад.с= 10000;

Обидва ряди сходяться, т.к. їхні суми є кінцевими.

Таким чином, ряди, що сходяться, можна почленно складати, віднімати і множити на постійний множник.

3. Теоремапро відкидання кількох перших членів низки.

Відкидання (або додавання) перших кількох членів ряду не впливає на збіжність або розбіжність цього ряду. Іншими словами, якщо сходиться ряд

то сходиться і ряд

. (1.22)

(але сума може бути іншою). І навпаки, якщо сходиться низка (1.22), то сходиться й низка (1.21).

Зауваження 1.У математиці термін «кілька» означає «кінцеве число», тобто. це може бути і 2, і 100, і 10 100 і більше.

Примітка 2.З цієї властивості випливає, що ряди із загальними членами та еквівалентні в сенсі збіжності. Наприклад, гармонійний ряд має спільний член , і ряди із загальними членами і - також гармонійні.

4. Залишок ряду. Його властивість.Якщо в ряду відкинути перші kчленів, то вийде новий ряд, званий залишком рядупісля k-го члена.

Визначення. k-м залишком ряду

називається ряд

(1.23),

отриманий відкиданням перших kчленів вихідного ряду.

Індекс kозначає, скільки перших членів низки відкинуто. Таким чином,

і т.д.

Залишок ряду можна визначити також як різницю між сумою ряду та його частковою сумою (рис.1.5.1):

. (1.24)

.

Тоді з (1.24) випливає:

Отримали, що залишок ряду, що сходить, є величина нескінченно мала при , тобто. коли число членів ряду, що відкидаються, прагне до нескінченності. Це видно з малюнків 1.5.1 і 1.5.2.

Зауваження.Теорему про відкидання кількох членів ряду можна сформулювати наступним чином: для того, щоб ряд сходився, необхідно і достатньо, щоб його залишок прагнув нуля.

§ 1.6. Знакопозитивні ряди

Розглянемо ряд із невід'ємними членами

Такі ряди називатимемо позитивними. Розглянемо послідовність часткових сум знакопозитивного ряду (1.26). Поведінка цієї послідовності особливо проста: вона монотонно зростає у разі зростання n, тобто. . (Бо до кожної наступної часткової суми додається невід'ємне число).

Відповідно до теореми Вейерштрасса будь-яка монотонна обмежена послідовність сходиться (див. I семестр I курсу). Виходячи з цього, сформулюємо загальний критерійзбіжності рядів із позитивними членами.

Теорема(Загальний критерій збіжності знакопозитивних рядів). Для того, щоб позитивний ряд сходився, необхідно і достатньо, щоб послідовність його часткових сум була обмежена.

Нагадаємо визначення обмеженості послідовності: послідовність називається обмеженою, якщо існує М>0 таке, що для (Рис.1.6.1). Для знакопозитивних рядів , І можна говорити про обмеженість зверху, т.к. знизу обмежена нулем.

Доведення. 1) Необхідність. Нехай ряд (1.26) сходиться послідовність часткових сум має межу, тобто. сходиться. За теоремою про обмеженість послідовності, що сходить, будь-яка послідовність обмежена Þ обмежена.

2) Достатність. Нехай послідовність часткових сум ряду (1.26) обмежена.

Т.к. , тобто. монотонна. За теоремою Вейєрштрасса про монотонні обмежені послідовності вона сходиться сходиться ряд (1.26).

ТЕМА 8. РЯДИ

ЧИСЛОВІ РЯДИ

1. Основні поняття числового ряду.

2. Ряд геометричної прогресії.

3. Основні властивості схожих рядів. Залишок ряду.

4. Необхідна ознака збіжності числового ряду.

5. Гармонійний ряд.

Ряди є одним із найважливіших інструментів математичного аналізу. За допомогою рядів знаходять наближені значення функцій, інтегралів та рішень диференціальних рівнянь. Усі таблиці, які ви зустрічаєте у додатках, складено за допомогою рядів.

Історична довідка

Теорія числових та функціональних рядів набула свого розвитку в 17-18 століттях. На той час ще були відсутні точні визначення основних понять математичного аналізу. З рядом, незалежно від його збіжності та розбіжності, вважали за можливе поводитися, як із простою сумою. Хоча ця сума вважалася «що складається з нескінченного числа членів», з нею оперували як із сумою, що складається з деякого (кінцевого) числа доданків. Це призводило часом до помилок у обчисленнях, незрозумілих за тогочасного стану математичної науки.

Підсумовування нескінченних геометричних прогресій зі знаменником меншим одиниці проводилося вже у давнину (архімед).

Розбіжність гармонійного ряду була встановлена ​​італійським ученим Менгом в 1650 році, а потім суворо братами Яковом і Миколою Бернуллі. Ступінні ряди з'явилися у Ньютона (1665 р.), який показав, що з їхньою допомогою можна уявити будь-яку функцію. Подальшій розробці теорії рядів багато сил віддавали Лейбніц, Ейлер, Лагранж, Гаусс, Больцано, Коші, Вейєрштрас, Ріман та багато інших видатних математиків.

До цих вчених, без сумніву, має бути віднесений і учень Ньютона - Тейлор, який опублікував у 1715 році свою основну працю «Метод прирощень, пряма та зворотна». У цій книзі Тейлор вперше дає виведення розкладання до ряду довільної аналітичної функції. Завдяки цьому статечний ряд став тим «мостом», який дозволив в галузі раціональних функцій перейти до вивчення трансцендентних функцій.

Проте фундаментальне значення цього внеску математику було усвідомлено не відразу. У 1742 році вийшов знаменитий «Трактат про флюксії» Коліна Маклорена, в якому Маклорен отримав новим способом ряд, що носить його ім'я, і ​​вказав, що цей ряд є в «Методі прирощень». Оскільки Маклорен показав великому числі функцій, застосування цього ряду незмірно спрощує завдання розкладання функцій, цей ряд, отже, і ряд Тейлора, стали користуватися великою популярністю.

Ще більше зросло значення ряду Тейлора, коли в 1772 Лагранж поклав його в основу всього диференціального обчислення. Він вважав, що теорія розкладання функцій до лав містить справжні принципи диференціального обчислення, звільнені від нескінченно малих меж.

Питання 1. Основні поняття числового ряду

Саме поняття нескінченного ряду сутнісно є принципово новим. Нескінченний ряд є лише своєрідною формою числової послідовності. Однак ця нова форма має деякі особливості, завдяки яким застосування рядів зручніше.

Нехай дана нескінченна послідовність чисел

a 1 , a 2 , …, a n ,…

О.1.1. Вираз виду

(1)

називається числовим рядомабо просто поряд.

Числа a 1 , a 2 , …, a n , … називаються членами ряду, а число a n із довільним номером n називається спільним членом ряду (1).

Ряд (1) вважається заданим, якщо відомий загальний член ряду a n виражений як функція його номера n:

a n = f(n), n=1,2,...

Приклад 1. Ряд із загальним членом має вигляд

О.1.2. Сума перших n членів ряду (1) називається n-й частковою сумою рядуі позначається через Sn, тобто.

S n = a 1 + a 2 + … + a n.

Розглянемо послідовність часткових сум ряду (1):

S 1 = a 1 , S 2 = a 1 + a 2 , ……., S n = a 1 + a 2 + … + a n , …… (2)

О.1.3. Ряд (1) називається схожимякщо існує кінцева межа S послідовності його часткових сум (2), тобто. . У цьому випадку число S називається сумою ряду (1).

Записується:

З визначення О.1.3 випливає, що сума низки обов'язково існує. У цьому полягає основна відмінність нескінченних рядів від кінцевих сум: у будь-якої кінцевої сукупності чисел обов'язково існує сума, «скласти ж безліч чисел виявляється далеко не завжди можливим».

Якщо не існує або то ряд (1) називається розбіжним. Така низка суми не має.

приклад 2.

1. Ряд сходиться та її сума S = 0.

2. Ряд розходиться, оскільки

Питання 2. Ряд геометричної прогресії

О.2.1.Ряд, складений із членів геометричної прогресії, тобто. ряд видів

, a ¹ 0, (3)