X парна і непарна функція. Парні і непарні функції

• У функцію підставте позитивні числові значення x (\ displaystyle x)і відповідні негативні числові значення. Наприклад, дана функція f (x) = 2 x 2 + 1 (\ displaystyle f (x) = 2x ^ (2) +1). Підставте в неї наступні значення x (\ displaystyle x):

Перевірте, симетричний чи графік функції щодо осі Y.Під симетрією мається на увазі дзеркальне відображення графіка відносно осі ординат. Якщо частина графіка праворуч від осі Y (позитивні значення незалежної змінної) збігається з частиною графіка зліва від осі Y (негативні значення незалежної змінної), графік симетричний відносно осі Y. Якщо функція симетрична щодо осі ординат, така функція парна.

Перевірте, симетричний чи графік функції щодо початку координат.Початок координат - це точка з координатами (0,0). Симетрія відносно початку координат означає, що позитивного значення y (\ displaystyle y)(при позитивному значенні x (\ displaystyle x)) Відповідає від'ємне значення y (\ displaystyle y)(При від'ємному значенні x (\ displaystyle x)), і навпаки. Непарні функції мають симетрією щодо початку координат.

визначення 1. Функціяназивается парної (непарній ), Якщо разом з кожним значенням змінної
значення - хтакож належить
і виконується рівність

Таким чином, функція може бути парній або непарній тільки тоді, коли її область визначення симетрична відносно початку координат на числовій прямій (числа хі - ходночасно належать
). Наприклад, функція
не є парній і непарній, так як її область визначення
не симетрична щодо початку координат.

функція
парна, так як
симетрична щодо початку координат і.

функція
непарна, так як
і
.

функція
не є парній і непарній, так як хоча
і симетрична щодо початку координат, рівності (11.1) не виконуються. Наприклад ,.

Графік парної функції симетричний щодо осі Оу, Так як якщо точка

теж належить графіку. Графік непарної функції симетричний відносно початку координат, так як якщо
належить графіку, то і точка
теж належить графіку.

При доказі парності або непарності функції бувають корисні наступні твердження.

теорема 1. а) Сума двох парних (непарних) функцій є функція парна (непарна).

б) Твір двох парних (непарних) функцій є функція парна.

в) Твір парній і непарній функцій є функція непарна.

г) Якщо f- парна функція на безлічі Х, А функція g визначена на безлічі
, То функція
- парна.

д) Якщо f- непарна функція на безлічі Х, А функція g визначена на безлічі
і парна (непарна), то функція
- парна (непарна).

Доведення. Доведемо, наприклад, б) і г).

б) Нехай
і
- парні функції. Тоді, тому. Аналогічно розглядається випадок непарних функцій
і
.

г) Нехай f - парна функція. Тоді.

Решта затвердження теореми доводяться аналогічно. Теорема доведена.

теорема 2. Будь-яку функцію
, Задану на множині Х, Симетричному щодо початку координат, можна представити у вигляді суми парної і непарної функцій.

Доведення. функцію
можна записати у вигляді

.

функція
- парна, так як
, А функція
- непарна, оскільки. Таким чином,
, де
- парна, а
- непарна функції. Теорема доведена.

визначення 2. Функція
називається періодичної , Якщо існує число
, Таке, що при будь-якому
числа
і
також належать області визначення
і виконуються рівності

таке число Tназивається періодом функції
.

З визначення 1 слід, що якщо Т- період функції
, То і число - Ттеж є періодом функції
(Так як при заміні Тна - Трівність зберігається). За допомогою методу математичної індукції можна показати, що якщо Т- період функції f, То і
, Теж є періодом. Звідси випливає, що якщо функція має період, то вона має нескінченно багато періодів.

визначення 3. Найменший з позитивних періодів функції називається її основним періодом.

теорема 3. Якщо Т- основний період функції f, То інші періоди кратні йому.

Доведення. Припустимо гидке, тобто що існує період функції f (> 0), що не кратний Т. Тоді, розділивши на Тіз залишком, отримаємо
, де
. Тому

тобто - період функції f, причому
, А це суперечить тому, що Т- основний період функції f. З отриманого протиріччя випливає твердження теореми. Теорема доведена.

Добре відомо, що тригонометричні функції є періодичними. основний період
і
дорівнює
,
і
. Знайдемо період функції
. нехай
- період цієї функції. тоді

(так як
.

ілііліілі
.

значення T, Яке визначається з першого рівності, не може бути періодом, так як залежить від х, Тобто є функцією від х, А не постійним числом. Період визначається з другого рівності:
. Періодів нескінченно багато, при
найменший позитивний період виходить при
:
. Це - основний період функції
.

Прикладом більш складної періодичної функції є функція Діріхле

Зауважимо, що якщо T- раціональне число, то
і
є раціональними числами при раціональному хі ірраціональними при ірраціональному х. Тому

при будь-якому раціональному числі T. Отже, будь-який раціональне число Tє періодом функції Дирихле. Ясно, що основного періоду у цій функції немає, так як є позитивні раціональні числа, як завгодно близькі до нуля (наприклад, раціональне чісломожно зробити вибором nяк завгодно близьким до нуля).

теорема 4. Якщо функція f задана на безлічі Хі має період Т, А функція g задана на безлічі
, То складна функція
теж має період Т.

Доведення. Маємо, тому

тобто твердження теореми доведено.

Наприклад, так як cos x має період
, То і функції
мають період
.

визначення 4. Функції, які не є періодичними, називаються непериодическими .

У липні 2020 року NASA запускає експедицію на Марс. Космічний апарат доставить на Марс електронний носій з іменами всіх зареєстрованих учасників експедиції.

Якщо цей пост вирішив вашу проблему або просто сподобався вам, поділіться посиланням на нього зі своїми друзями в соціальних мережах.

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-станиці, бажано між тегами іабо ж відразу після тега . За першим варіантом MathJax подгружается швидше і менше гальмує сторінку. Зате другий варіант автоматично відстежує і підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, то його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки будуть завантажуватися повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі управління сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант коду завантаження, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX і ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Черговий напередодні Нового Року ... морозна погода і сніжинки на віконному склі ... Все це спонукало мене знову написати про ... фракталах, і про те, що знає про це Вольфрам Альфа. З цього приводу є цікава стаття, в якій є приклади двовимірних фрактальних структур. Тут же ми розглянемо більш складні приклади тривимірних фракталів.

Фрактал можна наочно уявити (описати), як геометричну фігуру або тіло (маючи на увазі, що і те і інше є безліч, в даному випадку, безліч точок), деталі якої мають таку ж форму, як і сама вихідна фігура. Тобто, це самоподібна структура, розглядаючи деталі якої при збільшенні, ми будемо бачити ту ж саму форму, що й без збільшення. Тоді як у випадку звичайної геометричної фігури(Не фрактала), при збільшенні ми побачимо деталі, які мають більш просту форму, ніж сама вихідна фігура. Наприклад, при досить великому збільшенні частина еліпса виглядає, як відрізок прямої. З фракталами такого не відбувається: при будь-якому їх збільшенні ми знову побачимо ту ж саму складну форму, яка з кожним збільшенням буде повторюватися знову і знову.

Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки про фрактали, в своїй статті Фрактали і мистецтво в ім'я науки написав: "Фрактали - це геометричні форми, Які в рівній мірі складні в своїх деталях, як і в своїй загальній формі. Тобто, якщо частина фрактала буде збільшена до розміру цілого, вона буде виглядати, як ціле, або в точності, або, можливо, з невеликою деформацією ".

Функція називається парною (непарної), якщо для будь-якого виконується рівність

.

Графік парної функції симетричний щодо осі
.

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Приклад 6.2.Дослідити на парність чи непарність функції

1)
; 2)
; 3)
.

Рішення.

1) Функція визначена при
. знайдемо
.

Тобто
. Значить, ця функція є парною.

2) Функція визначена при

Тобто
. Таким чином, дана функція непарна.

3) функція визначена для, тобто для

,
. Тому функція не є ні парною, ні непарною. Назвемо її функцією загального вигляду.

3. Дослідження функції на монотонність.

функція
називається зростаючою (спадною) на деякому інтервалі, якщо в цьому інтервалі кожному більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції.

Функції зростаючі (спадні) на деякому інтервалі називаються монотонними.

якщо функція
дифференцируема на інтервалі
і має позитивну (негативну) похідну
, То функція
зростає (спадає) на цьому інтервалі.

приклад 6.3. Знайти інтервали монотонності функцій

1)
; 3)
.

Рішення.

1) Ця функція визначена на всій числовій осі. Знайдемо похідну.

Похідна дорівнює нулю, якщо
і
. Область визначення - числова вісь, розбивається точками
,
на інтервали. Визначимо знак похідної в кожному інтервалі.

В інтервалі
похідна негативна, функція на цьому інтервалі убуває.

В інтервалі
похідна позитивна, отже, функція на цьому інтервалі зростає.

2) Ця функція визначена, якщо
або

.

Визначаємо знак квадратного тричлена в кожному інтервалі.

Таким чином, область визначення функції

знайдемо похідну
,
, якщо
, Тобто
, але
. Визначимо знак похідної в інтервалах
.

В інтервалі
похідна негативна, отже, функція спадає на інтервалі
. В інтервалі
похідна позитивна, функція зростає на інтервалі
.

4. Дослідження функції на екстремум.

Крапка
називається точкою максимуму (мінімуму) функції
, Якщо існує така околиця точки , Що для всіх
з цієї околиці виконується нерівність

.

Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму.

якщо функція
в точці має екстремум, то похідна функції в цій точці дорівнює нулю або не існує (необхідна умова існування екстремуму).

Точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує називаються критичними.

5. Достатні умови існування екстремуму.

правило 1. Якщо при переході (зліва направо) через критичну точку похідна
змінює знак з «+» на «-», то в точці функція
має максимум; якщо з «-» на «+», то мінімум; якщо
не змінює знак, то екстремуму немає.

правило 2. Нехай в точці
перша похідна функції
дорівнює нулю
, А друга похідна існує і відмінна від нуля. якщо
, то - точка максимуму, якщо
, то - точка мінімуму функції.

приклад 6.4 . Дослідити на максимум і мінімум функції:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Рішення.

1) Функція визначена і неперервна на інтервалі
.

знайдемо похідну
і вирішимо рівняння
, Тобто
Звідси
- критичні точки.

Визначимо знак похідної в інтервалах,
.

При переході через точки
і
похідна змінює знак з «-» на «+», тому за правилом 1
- точки мінімуму.

При переході через точку
похідна змінює знак з «+» на «-», тому
- точка максимуму.

,
.

2) Функція визначена і неперервна в інтервалі
. знайдемо похідну
.

вирішивши рівняння
, знайдемо
і
- критичні точки. якщо знаменник
, Тобто
, То похідна не існує. Отже,
- третя критична точка. Визначимо знак похідної в інтервалах.

Отже, функція має мінімум в точці
, Максимум в точках
і
.

3) Функція визначена і неперервна, якщо
, Тобто при
.

знайдемо похідну

.

Знайдемо критичні точки:

околиці точок
не належать області визначення, тому вони не є т. екстремуму. Отже, досліджуємо критичні точки
і
.

4) Функція визначена і неперервна на інтервалі
. Використовуємо правило 2. Знайдемо похідну
.

Знайдемо критичні точки:

Знайдемо другу похідну
і визначимо її знак в точках

У точках
функція має мінімум.

У точках
функція має максимум.

парної, Якщо при всіх \ (x \) з її області визначення вірно: \ (f (-x) = f (x) \).

Графік парної функції симетричний щодо осі \ (y \):

Приклад: функція \ (f (x) = x ^ 2 + \ cos x \) є парною, тому що \ (F (-x) = (- x) ^ 2 + \ cos ((- x)) = x ^ 2 + \ cos x = f (x) \).

\ (\ Blacktriangleright \) Функція \ (f (x) \) називається непарній, Якщо при всіх \ (x \) з її області визначення вірно: \ (f (-x) = - f (x) \).

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат:

Приклад: функція \ (f (x) = x ^ 3 + x \) є непарною, тому що \ (F (-x) = (- x) ^ 3 + (- x) = - x ^ 3-x = - (x ^ 3 + x) = - f (x) \).

\ (\ Blacktriangleright \) Функції, які не є ні парними, ні непарними, називаються функціями загального вигляду. Таку функцію можна завжди єдиним чином представити у вигляді суми парної і непарної функції.

Наприклад, функція \ (f (x) = x ^ 2-x \) є сумою парної функції \ (f_1 = x ^ 2 \) і непарній \ (f_2 = -x \).

\ (\ Blacktriangleright \) Деякі властивості:

1) Добуток і частка двох функцій однаковою парності - парна функція.

2) Добуток і частка двох функцій різної парності - непарна функція.

3) Сума і різниця парних функцій - парна функція.

4) Сума і різниця непарних функцій - непарна функція.

5) Якщо \ (f (x) \) - парна функція, то рівняння \ (f (x) = c \ (c \ in \ mathbb (R) \)) має єдиний корінь тоді і тільки тоді, коли, коли \ (x = 0 \).

6) Якщо \ (f (x) \) - парна або непарна функція, і рівняння \ (f (x) = 0 \) має корінь \ (x = b \), то це рівняння обов'язково матиме другий корінь \ (x = -b \).

\ (\ Blacktriangleright \) Функція \ (f (x) \) називається періодичної на \ (X \), якщо для деякого числа \ (T \ ne 0 \) виконано \ (f (x) = f (x + T) \), де \ (x, x + T \ in X \). Найменша \ (T \), для якого виконано дане рівність, називається головним (основним) періодом функції.

У періодичної функції будь-яке число виду \ (nT \), де \ (n \ in \ mathbb (Z) \) також буде періодом.

Приклад: будь-яка тригонометрическая функціяє періодичною;
у функцій \ (f (x) = \ sin x \) і \ (f (x) = \ cos x \) головний період дорівнює \ (2 \ pi \), у функцій \ (f (x) = \ mathrm ( tg) \, x \) і \ (f (x) = \ mathrm (ctg) \, x \) головний період дорівнює \ (\ pi \).

Для того, щоб побудувати графік періодичної функції, можна побудувати її графік на будь-якому відрізку довжиною \ (T \) (головний період); тоді графік всієї функції добудовується зрушенням побудованої частини на ціле число періодів вправо і вліво:

\ (\ Blacktriangleright \) Область визначення \ (D (f) \) функції \ (f (x) \) - це безліч, що складається з усіх значень аргументу \ (x \), при яких функція має сенс (визначена).

Приклад: у функції \ (f (x) = \ sqrt x + 1 \) область визначення: \ (x \ in

Завдання 1 # 6364

Рівень завдання: Рівний ЄДІ

При яких значеннях параметра \ (a \) рівняння

має єдине рішення?

Зауважимо, що так як \ (x ^ 2 \) і \ (\ cos x \) - парні функції, то якщо рівняння матиме корінь \ (x_0 \), воно також буде мати і корінь \ (- x_0 \).
Дійсно, нехай \ (x_0 \) - корінь, тобто рівність \ (2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \)вірно. Підставами \ (- x_0 \): \ (2 (-x_0) ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos (-x_0)) + a ^ 2 = 2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \).

Таким чином, якщо \ (x_0 \ ne 0 \), то рівняння вже буде мати як мінімум два кореня. Отже, \ (x_0 = 0 \). тоді:

Ми отримали два значення параметра \ (a \). Зауважимо, що ми використовували те, що \ (x = 0 \) точно є коренем вихідного рівняння. Але ми ніде не використовували те, що він єдиний. Отже, потрібно підставити отримані значення параметра \ (a \) у вихідне рівняння і перевірити, за яких саме \ (a \) корінь \ (x = 0 \) дійсно буде єдиним.

1) Якщо \ (a = 0 \), то рівняння набуде вигляду \ (2x ^ 2 = 0 \). Очевидно, що це рівняння має лише один корінь \ (x = 0 \). Отже, значення \ (a = 0 \) нам підходить.

2) Якщо \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \), то рівняння набуде вигляду \ Перепишемо рівняння у вигляді \ Так як \ (- 1 \ leqslant \ cos x \ leqslant 1 \), то \ (- \ mathrm (tg) \, 1 \ leqslant \ mathrm (tg) \, (\ cos x) \ leqslant \ mathrm (tg) \, 1 \). Отже, значення правої частини рівняння (*) належать відрізку \ ([- \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1; \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1] \).

Так як \ (x ^ 2 \ geqslant 0 \), то ліва частина рівняння (*) більше або дорівнює \ (0 + \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \).

Таким чином, рівність (*) може виконуватися тільки тоді, коли обидві частини рівняння рівні \ (\ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \). А це означає, що \ [\ Begin (cases) 2x ^ 2 + \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \\ \ mathrm (tg) \, 1 \ cdot \ mathrm (tg) \ , (\ cos x) = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \ end (cases) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ begin (cases) x = 0 \\ \ mathrm (tg) \, (\ cos x) = \ mathrm (tg) \, 1 \ end (cases) \ quad \ Leftrightarrow \ quad x = 0 \]Отже, значення \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \) нам підходить.

відповідь:

\ (A \ in \ (- \ mathrm (tg) \, 1; 0 \) \)

Завдання 2 # 3923

Рівень завдання: Рівний ЄДІ

Знайдіть всі значення параметра \ (a \), при кожному з яких графік функції \

симетричний відносно початку координат.

Якщо графік функції симетричний відносно початку координат, то така функція є непарною, тобто виконано \ (f (-x) = - f (x) \) для будь-якого \ (x \) з області визначення функції. Таким чином, потрібно знайти ті значення параметра, при яких виконано \ (f (-x) = - f (x). \)

\ [\ Begin (aligned) & 3 \ mathrm (tg) \, \ left (- \ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ left (3 \ mathrm (tg) \, \ left (\ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ quad \ Rightarrow \ quad -3 \ mathrm (tg) \ , \ dfrac (ax) 5 + 2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ left (3 \ mathrm (tg) \, \ left (\ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ quad \ Rightarrow \\ \ Rightarrow \ quad & \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ sin \ dfrac (8 \ pi a- 3x) ​​4 = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad2 \ sin \ dfrac12 \ left (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ cdot \ cos \ dfrac12 \ left (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad \ sin (2 \ pi a) \ cdot \ cos \ frac34 x = 0 \ end (aligned) \]

Останнє рівняння має бути виконано для всіх \ (x \) з області визначення \ (f (x) \), отже, \ (\ Sin (2 \ pi a) = 0 \ Rightarrow a = \ dfrac n2, n \ in \ mathbb (Z) \).

відповідь:

\ (\ Dfrac n2, n \ in \ mathbb (Z) \)

Завдання 3 # 3069

Рівень завдання: Рівний ЄДІ

Знайдіть всі значення параметра \ (a \), при кожному з яких рівняння \ має 4 рішення, де \ (f \) - парна періодична з періодом \ (T = \ dfrac (16) 3 \) функція, певна на всій числовій прямій , причому \ (f (x) = ax ^ 2 \) при \ (0 \ leqslant x \ leqslant \ dfrac83. \)

(Завдання від передплатників)

Завдання 4 # 3072

Рівень завдання: Рівний ЄДІ

Знайдіть всі значення \ (a \), при кожному з яких рівняння \

має хоча б один корінь.

(Завдання від передплатників)

Перепишемо рівняння у вигляді \ і розглянемо дві функції: \ (g (x) = 7 \ sqrt (2x ^ 2 + 49) \) і \ (f (x) = 3 | x-7a | -6 | x | -a ^ 2 + 7a \ ).
Функція \ (g (x) \) є парною, має точку мінімуму \ (x = 0 \) (причому \ (g (0) = 49 \)).
Функція \ (f (x) \) при \ (x> 0 \) є спадною, а при \ (x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Дійсно, при \ (x> 0 \) другий модуль розкриється позитивно (\ (| x | = x \)), отже, незалежно від того, як розкриється перший модуль, \ (f (x) \) дорівнюватиме \ ( kx + A \), де \ (A \) - вираз від \ (a \), а \ (k \) одно або \ (- 9 \), або \ (- 3 \). При \ (x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Знайдемо значення \ (f \) в точці максимуму: \

Для того, щоб рівняння мало хоча б одне рішення, потрібно, щоб графіки функцій \ (f \) і \ (g \) мали хоча б одну точку перетину. Отже, потрібно: \ Вирішуючи дану сукупність систем, отримаємо відповідь: \\]

відповідь:

\ (A \ in \ (- 7 \) \ cup \)

Завдання 5 # 3912

Рівень завдання: Рівний ЄДІ

Знайдіть всі значення параметра \ (a \), при кожному з яких рівняння \

має шість різних рішень.

Зробимо заміну \ ((\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t \), \ (t> 0 \). Тоді рівняння набуде вигляду \ Будемо поступово виписувати умови, при яких вихідне рівняння матиме шість рішень.
Зауважимо, що квадратне рівняння\ ((*) \) Може максимум мати два рішення. Будь-яке кубічне рівняння \ (Ax ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D = 0 \) може мати не більше трьох рішень. Отже, якщо рівняння \ ((*) \) має два різних рішення (позитивних !, так як \ (t \) має бути більше нуля) \ (t_1 \) і \ (t_2 \), то, зробивши зворотний заміну, ми отримаємо: \ [\ Left [\ begin (gathered) \ begin (aligned) & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t_1 \\ & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 +4) = t_2 \ end (aligned) \ end (gathered) \ right. \]Так як будь-яке позитивне число можна представити як \ (\ sqrt2 \) в якійсь мірі, наприклад, \ (T_1 = (\ sqrt2) ^ (\ log _ (\ sqrt2) t_1) \), То перше рівняння сукупності перепишеться у вигляді \ Як ми вже говорили, будь кубічне рівняння має не більше трьох рішень, отже, кожне рівняння із сукупності матиме не більше трьох рішень. А значить і вся сукупність матиме не більше шести рішень.
Значить, щоб вихідне рівняння мало шість рішень, квадратне рівняння \ ((*) \) повинно мати два різних рішення, а кожне отримане кубічне рівняння (із сукупності) повинно мати три різних рішення (причому жодне рішення одного рівняння не повинно збігатися з яким -або рішенням другого!)
Очевидно, що якщо квадратне рівняння \ ((*) \) буде мати одне рішення, то ми ніяк не отримаємо шість рішень у вихідного рівняння.

Таким чином, план рішення стає очевидним. Давайте по пунктах випишемо умови, які повинні виконуватися.

1) Щоб рівняння \ ((*) \) мало два різних рішення, його дискримінант повинен бути позитивним: \

2) Також потрібно, щоб обидва кореня були позитивними (так як \ (t> 0 \)). Якщо твір двох коренів позитивне і сума їх позитивна, то і самі корені будуть позитивними. Отже, потрібно: \ [\ Begin (cases) 12-a> 0 \\ - (a-10)> 0 \ end (cases) \ quad \ Leftrightarrow \ quad a<10\]

Таким чином, ми вже забезпечили собі два різних позитивних кореня \ (t_1 \) і \ (t_2 \).

3) Давайте подивимося на таке рівняння \ За яких \ (t \) воно матиме три різних рішення?
Розглянемо функцію \ (f (x) = x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \).
Можна розкласти на множники: \ Отже, її нулі: \ (x = -1; 2 \).
Якщо знайти похідну \ (f "(x) = 3x ^ 2-6x \), то ми отримаємо дві точки екстремуму \ (x_ (max) = 0, x_ (min) = 2 \).
Отже, графік виглядає так:


Ми бачимо, що будь-яка горизонтальна пряма \ (y = k \), де \ (0 \ (X ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t \)мало три різних рішення, потрібно, щоб \ (0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Таким чином, потрібно: \ [\ Begin (cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Давайте також відразу зауважимо, що якщо числа \ (t_1 \) і \ (t_2 \) різні, то і числа \ (\ log _ (\ sqrt2) t_1 \) і \ (\ log _ (\ sqrt2) t_2 \) будуть різні, значить, і рівняння \ (X ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_1 \)і \ (X ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_2 \)матимуть незбіжні між собою коріння.
Систему \ ((**) \) можна переписати так: \ [\ Begin (cases) 1

Таким чином, ми визначили, що обидва кореня рівняння \ ((*) \) повинні лежати в інтервалі \ ((1; 4) \). Як записати цю умову?
В явному вигляді виписувати коріння ми не будемо.
Розглянемо функцію \ (g (t) = t ^ 2 + (a-10) t + 12-a \). Її графік - парабола з гілками вгору, яка має дві точки перетину з віссю абсцис (ця умова ми записали в пункті 1)). Як повинен виглядати її графік, щоб точки перетину з віссю абсцис були в інтервалі \ ((1; 4) \)? так:


По-перше, значення \ (g (1) \) і \ (g (4) \) функції в точках \ (1 \) і \ (4 \) повинні бути позитивними, по-друге, вершина параболи \ (t_0 \ ) повинна також перебувати в інтервалі \ ((1; 4) \). Отже, можна записати систему: \ [\ Begin (cases) 1 + a-10 + 12-a> 0 \\ 4 ^ 2 + (a-10) \ cdot 4 + 12-a> 0 \\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4

Таким чином, нам потрібно перетнути значення параметра \ (a \), знайдені в 1-му, 2-му і 3-му пунктах, і ми отримаємо відповідь: \ [\ Begin (cases) a \ in (- \ infty; 8-2 \ sqrt3) \ cup (8 + 2 \ sqrt3; + \ infty) \\ a<10\\ 4