функція- це одне з найважливіших математичних понять. Функція - залежність змінної увід змінної x, Якщо кожному значенню хвідповідає єдине значення у. змінну хназивають незалежною змінною або аргументом. змінну уназивають залежною змінною. Всі значення незалежної змінної (змінної x) Утворюють область визначення функції. Всі значення, які приймає залежна змінна (змінна y), Утворюють область значень.
графіком функціїназивають безліч всіх точок координатної площини, Абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати - відповідним значенням функції, тобто по осі абсцис відкладаються значення змінної x, А по осі ординат відкладаються значення змінної y. Для побудови графіка функції необхідно знати властивості функції. Основні властивості функції будуть розглянуті далі!
Для побудови графіка функції радимо використовувати нашу програму - Побудова графіків функцій онлайн. Якщо при вивченні матеріалу на даній сторінці у Вас виникнуть питання, Ви завжди можете задати їх на нашому форумі. Також на форумі Вам допоможуть вирішити завдання з математики, хімії, геометрії, теорії ймовірності та багатьох інших предметів!
Основні властивості функцій.
1) Область визначення функції і область значень функції.
Область визначення функції - це множина всіх допустимих дійсних значень аргументу x(змінної x), При яких функція y = f (x)визначена.
Область значень функції - це множина всіх дійсних значень y, Які приймає функція.
У елементарної математики вивчаються функції тільки на множині дійсних чисел.
2) Нулі функції.
значення х, При яких y = 0, називається нулями функції. Це абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох.
3) Проміжки знакопостоянства функції.
Проміжки знакопостоянства функції - такі проміжки значень x, На яких значення функції yабо тільки позитивні, або тільки негативні, називаються проміжками знакопостоянства функції.
4) Монотонність функції.
Зростаюча функція (в деякому проміжку) - функція, у якій більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.
Спадна функція (в деякому проміжку) - функція, у якій більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає менше значення функції.
5) Парність (непарність) функції.
Парна функція - функція, у якій область визначення симетрична відносно початку координат і для будь-якого х f (-x) = f (x). Графік парної функції симетричний щодо осі ординат.
Непарна функція - функція, у якій область визначення симетрична відносно початку координат і для будь-якого хз області визначення справедливо рівність f (-x) = - f (x). Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.
парна функція
1) Область визначення симетрична відносно точки (0; 0), тобто якщо точка aналежить області визначення, то точка -aтакож належить області визначення.
2) Для будь-якого значення x f (-x) = f (x)
3) Графік парної функції симетричний щодо осі Оу.
непарна функціямає такі властивості:
1) Область визначення симетрична відносно точки (0; 0).
2) для будь-якого значення x, Що належить до сфери визначення, виконується рівність f (-x) = - f (x)
3) Графік непарної функції симетричний відносно початку координат (0; 0).
Не всяка функція є парною або непарною. функції загального вигляду не є ні парними, ні непарними.
6) Обмежена і необмежена функції.
Функція називається обмеженою, якщо існує таке позитивне число M, що | f (x) | ≤ M для всіх значень x. Якщо такого числа не існує, то функція - необмежена.
7) проводить періодичні перевірки функції.
Функція f (x) - періодична, якщо існує таке відмінне від нуля число T, що для будь-якого x з області визначення функції має місце: f (x + T) = f (x). таке найменше числоназивається періодом функції. Всі тригонометричні функції є періодичними. (Тригонометричні формули).
функція fназивається періодичної, якщо існує таке число, що при будь-якому xз області визначення виконується рівність f (x) = f (x-T) = f (x + T). T- це період функції.
Будь-яка періодична функція має нескінченну безліч періодів. На практиці зазвичай розглядають найменший позитивний період.
Значення періодичної функції через проміжок, що дорівнює періоду, повторюються. Це використовують при побудові графіків.
приховати Показати
Способи завдання функції
Нехай функція задається формулою: y = 2x ^ (2) -3. Призначаючи будь-які значення незалежної змінної x, можна обчислити, користуючись цією формулою відповідні значення залежної змінної y. Наприклад, якщо x = -0,5, то, користуючись формулою, отримуємо, що відповідне значення y одно y = 2 \ cdot (-0,5) ^ (2) -3 = -2,5.
Взявши будь-яке значення, яке приймається аргументом x в формулі y = 2x ^ (2) -3, можна обчислити тільки одне значення функції, яке йому відповідає. Функцію можна представити у вигляді таблиці:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Користуючись цією таблицею, можна розібрати, що для значення аргументу -1 відповідатиме значення функції -3; а значенням x = 2 буде відповідати y = 0 і т.д. Також важливо знати, що кожному значенню аргументу в таблиці відповідає лише одне значення функції.
Ще функції можна задати, використовуючи графіки. За допомогою графіка встановлюється яке значення функції співвідноситься з певним значенням x. Найбільш часто, це буде наближене значення функції.
Парна і непарна функція
функція є парною функцією, Коли f (-x) = f (x) для будь-якого x з області визначення. Така функція буде симетрична щодо осі Oy.
функція є непарною функцією, Коли f (-x) = - f (x) для будь-якого x з області визначення. Така функція буде симетрична щодо початку координат O (0; 0).
функція є ні парною, ні непарноюі називається функцією загального вигляду, Коли вона не має симетрію щодо осі або початку координат.
Досліджуємо на парність нижченаведену функцію:
f (x) = 3x ^ (3) -7x ^ (7)
D (f) = (- \ infty; + \ infty) із симетричною областю визначення щодо початку координат. f (-x) = 3 \ cdot (-x) ^ (3) -7 \ cdot (-x) ^ (7) = -3x ^ (3) + 7x ^ (7) = - (3x ^ (3) -7x ^ (7)) = -f (x).
Значить, функція f (x) = 3x ^ (3) -7x ^ (7) є непарною.
періодична функція
Функція y = f (x), в області визначення якої для будь-якого x виконується рівність f (x + T) = f (x-T) = f (x), називається періодичної функцієюз періодом T \ neq 0.
Повторення графіка функції на будь-якому відрізку осі абсцис, який має довжину T.
Проміжки, де функція позитивна, тобто f (x)> 0 - відрізки осі абсцис, які відповідають точкам графіка функції, що лежать вище осі абсцис.
f (x)> 0 на (X_ (1); x_ (2)) \ cup (x_ (3); + \ infty)
Проміжки, де функція негативна, тобто f (x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f (x)< 0 на (- \ infty; x_ (1)) \ cup (x_ (2); x_ (3))
обмеженість функції
обмеженою знизуприйнято називати функцію y = f (x), x \ in X тоді, коли існує таке число A, для якого виконується нерівність f (x) \ geq A для будь-якого x \ in X.
Приклад обмеженою знизу функції: y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) так як y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) \ geq 1 для будь-якого x.
обмеженої зверхуназивається функція y = f (x), x \ in X тоді, коли існує таке число B, для якого виконується нерівність f (x) \ neq B для будь-якого x \ in X.
Приклад обмеженою знизу функції: y = \ sqrt (1-x ^ (2)), x \ in [-1; 1]так як y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) \ neq 1 для будь-якого x \ in [-1; 1].
обмеженоюприйнято називати функцію y = f (x), x \ in X тоді, коли існує таке число K> 0, для якого виконується нерівність \ left | f (x) \ right | \ Neq K для будь-якого x \ in X.
Приклад обмеженою функції: y = \ sin x обмежена на всій числовій осі, так як \ Left | \ Sin x \ right | \ Neq 1.
Зростаюча і спадна функція
Про функції, що зростає на даному проміжку прийнято говорити як про зростаючої функціїтоді, коли більшому значенню x буде відповідати більше значення функції y = f (x). Звідси виходить, що взявши з розглянутого проміжку два довільних значення аргументу x_ (1) і x_ (2), причому x_ (1)> x_ (2), буде y (x_ (1))> y (x_ (2)).
Функція, що убуває на даному проміжку, називається спадною функцієютоді, коли більшому значенню x буде відповідати менше значення функції y (x). Звідси виходить, що взявши з розглянутого проміжку два довільних значень аргументу x_ (1) і x_ (2), причому x_ (1)> x_ (2), буде y (x_ (1))< y(x_{2}) .
корінням функціїприйнято називати точки, в яких функція F = y (x) перетинає вісь абсцис (вони виходять в результаті рішення рівняння y (x) = 0).
а) Якщо при x> 0 парна функція зростає, то зменшується вона при x< 0
б) Коли при x> 0 парна функція спадає, то зростає вона при x< 0
в) Коли при x> 0 непарна функція зростає, то зростає вона і при x< 0
г) Коли непарна функція буде спадати при x> 0, то вона буде спадати і при x< 0
екстремуми функції
Точкою мінімуму функції y = f (x) прийнято називати таку точку x = x_ (0), у якій її околиця буде мати інші точки (крім самої точки x = x_ (0)), і для них тоді буде виконуватися нерівність f (x)> f (x_ (0)). y_ (min) - позначення функції в точці min.
Точкою максимуму функції y = f (x) прийнято називати таку точку x = x_ (0), у якій її околиця буде мати інші точки (крім самої точки x = x_ (0)), і для них тоді буде виконується нерівність f (x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Необхідна умова
Згідно з теоремою Ферма: f "(x) = 0 тоді, коли у функції f (x), що диференціюється в точці x_ (0), з'явиться екстремум в цій точці.
достатня умова
- Коли у похідній знак змінюється з плюса на мінус, то x_ (0) буде точкою мінімуму;
- x_ (0) - буде точкою максимуму тільки тоді, коли у похідній змінюється знак з мінуса на плюс при переході через стаціонарну точку x_ (0).
Найбільше і найменше значення функції на проміжку
Кроки обчислень:
- Шукається похідна f "(x);
- Знаходяться стаціонарні і критичні точки функції і вибирають належать відрізку;
- Знаходяться значення функції f (x) в стаціонарних і критичних точках і кінцях відрізка. Менше з отриманих результатів буде найменшим значенням функції, А більше - найбільшим.
парної, Якщо при всіх \ (x \) з її області визначення вірно: \ (f (-x) = f (x) \).
Графік парної функції симетричний щодо осі \ (y \):
Приклад: функція \ (f (x) = x ^ 2 + \ cos x \) є парною, тому що \ (F (-x) = (- x) ^ 2 + \ cos ((- x)) = x ^ 2 + \ cos x = f (x) \).
\ (\ Blacktriangleright \) Функція \ (f (x) \) називається непарній, Якщо при всіх \ (x \) з її області визначення вірно: \ (f (-x) = - f (x) \).
Графік непарної функції симетричний відносно початку координат:
Приклад: функція \ (f (x) = x ^ 3 + x \) є непарною, тому що \ (F (-x) = (- x) ^ 3 + (- x) = - x ^ 3-x = - (x ^ 3 + x) = - f (x) \).
\ (\ Blacktriangleright \) Функції, які не є ні парними, ні непарними, називаються функціями загального вигляду. Таку функцію можна завжди єдиним чином представити у вигляді суми парної і непарної функції.
Наприклад, функція \ (f (x) = x ^ 2-x \) є сумою парної функції \ (f_1 = x ^ 2 \) і непарній \ (f_2 = -x \).
\ (\ Blacktriangleright \) Деякі властивості:
1) Добуток і частка двох функцій однаковою парності - парна функція.
2) Добуток і частка двох функцій різної парності - непарна функція.
3) Сума і різниця парних функцій - парна функція.
4) Сума і різниця непарних функцій - непарна функція.
5) Якщо \ (f (x) \) - парна функція, то рівняння \ (f (x) = c \ (c \ in \ mathbb (R) \)) має єдиний корінь тоді і тільки тоді, коли, коли \ (x = 0 \).
6) Якщо \ (f (x) \) - парна або непарна функція, і рівняння \ (f (x) = 0 \) має корінь \ (x = b \), то це рівняння обов'язково матиме другий корінь \ (x = -b \).
\ (\ Blacktriangleright \) Функція \ (f (x) \) називається періодичної на \ (X \), якщо для деякого числа \ (T \ ne 0 \) виконано \ (f (x) = f (x + T) \), де \ (x, x + T \ in X \). Найменша \ (T \), для якого виконано дане рівність, називається головним (основним) періодом функції.
У періодичної функції будь-яке число виду \ (nT \), де \ (n \ in \ mathbb (Z) \) також буде періодом.
Приклад: будь-яка тригонометрическая функціяє періодичною;
у функцій \ (f (x) = \ sin x \) і \ (f (x) = \ cos x \) головний період дорівнює \ (2 \ pi \), у функцій \ (f (x) = \ mathrm ( tg) \, x \) і \ (f (x) = \ mathrm (ctg) \, x \) головний період дорівнює \ (\ pi \).
Для того, щоб побудувати графік періодичної функції, можна побудувати її графік на будь-якому відрізку довжиною \ (T \) (головний період); тоді графік всієї функції добудовується зрушенням побудованої частини на ціле число періодів вправо і вліво:
\ (\ Blacktriangleright \) Область визначення \ (D (f) \) функції \ (f (x) \) - це безліч, що складається з усіх значень аргументу \ (x \), при яких функція має сенс (визначена).
Приклад: у функції \ (f (x) = \ sqrt x + 1 \) область визначення: \ (x \ in
Завдання 1 # 6364
Рівень завдання: Рівний ЄДІ
При яких значеннях параметра \ (a \) рівняння
має єдине рішення?
Зауважимо, що так як \ (x ^ 2 \) і \ (\ cos x \) - парні функції, то якщо рівняння матиме корінь \ (x_0 \), воно також буде мати і корінь \ (- x_0 \).
Дійсно, нехай \ (x_0 \) - корінь, тобто рівність \ (2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \)вірно. Підставами \ (- x_0 \): \ (2 (-x_0) ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos (-x_0)) + a ^ 2 = 2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \).
Таким чином, якщо \ (x_0 \ ne 0 \), то рівняння вже буде мати як мінімум два кореня. Отже, \ (x_0 = 0 \). тоді:
Ми отримали два значення параметра \ (a \). Зауважимо, що ми використовували те, що \ (x = 0 \) точно є коренем вихідного рівняння. Але ми ніде не використовували те, що він єдиний. Отже, потрібно підставити отримані значення параметра \ (a \) у вихідне рівняння і перевірити, за яких саме \ (a \) корінь \ (x = 0 \) дійсно буде єдиним.
1) Якщо \ (a = 0 \), то рівняння набуде вигляду \ (2x ^ 2 = 0 \). Очевидно, що це рівняння має лише один корінь \ (x = 0 \). Отже, значення \ (a = 0 \) нам підходить.
2) Якщо \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \), то рівняння набуде вигляду \ Перепишемо рівняння у вигляді \ Так як \ (- 1 \ leqslant \ cos x \ leqslant 1 \), то \ (- \ mathrm (tg) \, 1 \ leqslant \ mathrm (tg) \, (\ cos x) \ leqslant \ mathrm (tg) \, 1 \). Отже, значення правої частини рівняння (*) належать відрізку \ ([- \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1; \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1] \).
Так як \ (x ^ 2 \ geqslant 0 \), то ліва частина рівняння (*) більше або дорівнює \ (0 + \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \).
Таким чином, рівність (*) може виконуватися тільки тоді, коли обидві частини рівняння рівні \ (\ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \). А це означає, що \ [\ Begin (cases) 2x ^ 2 + \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \\ \ mathrm (tg) \, 1 \ cdot \ mathrm (tg) \ , (\ cos x) = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \ end (cases) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ begin (cases) x = 0 \\ \ mathrm (tg) \, (\ cos x) = \ mathrm (tg) \, 1 \ end (cases) \ quad \ Leftrightarrow \ quad x = 0 \]Отже, значення \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \) нам підходить.
відповідь:
\ (A \ in \ (- \ mathrm (tg) \, 1; 0 \) \)
Завдання 2 # 3923
Рівень завдання: Рівний ЄДІ
Знайдіть всі значення параметра \ (a \), при кожному з яких графік функції \
симетричний відносно початку координат.
Якщо графік функції симетричний відносно початку координат, то така функція є непарною, тобто виконано \ (f (-x) = - f (x) \) для будь-якого \ (x \) з області визначення функції. Таким чином, потрібно знайти ті значення параметра, при яких виконано \ (f (-x) = - f (x). \)
\ [\ Begin (aligned) & 3 \ mathrm (tg) \, \ left (- \ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ left (3 \ mathrm (tg) \, \ left (\ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ quad \ Rightarrow \ quad -3 \ mathrm (tg) \ , \ dfrac (ax) 5 + 2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ left (3 \ mathrm (tg) \, \ left (\ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ quad \ Rightarrow \\ \ Rightarrow \ quad & \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ sin \ dfrac (8 \ pi a- 3x) 4 = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad2 \ sin \ dfrac12 \ left (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ cdot \ cos \ dfrac12 \ left (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad \ sin (2 \ pi a) \ cdot \ cos \ frac34 x = 0 \ end (aligned) \]
Останнє рівняння має бути виконано для всіх \ (x \) з області визначення \ (f (x) \), отже, \ (\ Sin (2 \ pi a) = 0 \ Rightarrow a = \ dfrac n2, n \ in \ mathbb (Z) \).
відповідь:
\ (\ Dfrac n2, n \ in \ mathbb (Z) \)
Завдання 3 # 3069
Рівень завдання: Рівний ЄДІ
Знайдіть всі значення параметра \ (a \), при кожному з яких рівняння \ має 4 рішення, де \ (f \) - парна періодична з періодом \ (T = \ dfrac (16) 3 \) функція, певна на всій числовій прямій , причому \ (f (x) = ax ^ 2 \) при \ (0 \ leqslant x \ leqslant \ dfrac83. \)
(Завдання від передплатників)
Так як \ (f (x) \) - парна функція, то її графік симетричний відносно осі ординат, отже, при \ (- \ dfrac83 \ leqslant x \ leqslant 0 \)\ (F (x) = ax ^ 2 \). Таким чином, при \ (- \ dfrac83 \ leqslant x \ leqslant \ dfrac83 \), А це відрізок довжиною \ (\ dfrac (16) 3 \), функція \ (f (x) = ax ^ 2 \).
1) Нехай \ (a> 0 \). Тоді графік функції \ (f (x) \) буде виглядати наступним чином: 
Тоді для того, щоб рівняння мало 4 рішення, потрібно, щоб графік \ (g (x) = | a + 2 | \ cdot \ sqrtx \) проходив через точку \ (A \): 
отже, \ [\ Dfrac (64) 9a = | a + 2 | \ cdot \ sqrt8 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ begin (gathered) \ begin (aligned) & 9 (a + 2) = 32a \\ & 9 (a +2) = - 32a \ end (aligned) \ end (gathered) \ right. \ Quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ begin (gathered) \ begin (aligned) & a = \ dfrac (18) (23) \\ & a = - \ dfrac (18) (41) \ end (aligned) \ end ( gathered) \ right. \]Так як \ (a> 0 \), то підходить \ (a = \ dfrac (18) (23) \).
2) Нехай \ (a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Потрібно, щоб графік \ (g (x) \) пройшов через точку \ (B \): \ [\ Dfrac (64) 9a = | a + 2 | \ cdot \ sqrt (-8) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ begin (gathered) \ begin (aligned) & a = \ dfrac (18) (23 ) \\ & a = - \ dfrac (18) (41) \ end (aligned) \ end (gathered) \ right. \]Так як \ (a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Випадок, коли \ (a = 0 \), не підходить, так як тоді \ (f (x) = 0 \) при всіх \ (x \), \ (g (x) = 2 \ sqrtx \) і рівняння буде мати тільки 1 корінь.
відповідь:
\ (A \ in \ left \ (- \ dfrac (18) (41); \ dfrac (18) (23) \ right \) \)
Завдання 4 # 3072
Рівень завдання: Рівний ЄДІ
Знайдіть всі значення \ (a \), при кожному з яких рівняння \
має хоча б один корінь.
(Завдання від передплатників)
Перепишемо рівняння у вигляді \
і розглянемо дві функції: \ (g (x) = 7 \ sqrt (2x ^ 2 + 49) \) і \ (f (x) = 3 | x-7a | -6 | x | -a ^ 2 + 7a \ ).
Функція \ (g (x) \) є парною, має точку мінімуму \ (x = 0 \) (причому \ (g (0) = 49 \)).
Функція \ (f (x) \) при \ (x> 0 \) є спадною, а при \ (x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Дійсно, при \ (x> 0 \) другий модуль розкриється позитивно (\ (| x | = x \)), отже, незалежно від того, як розкриється перший модуль, \ (f (x) \) дорівнюватиме \ ( kx + A \), де \ (A \) - вираз від \ (a \), а \ (k \) одно або \ (- 9 \), або \ (- 3 \). При \ (x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Знайдемо значення \ (f \) в точці максимуму: \ 
Для того, щоб рівняння мало хоча б одне рішення, потрібно, щоб графіки функцій \ (f \) і \ (g \) мали хоча б одну точку перетину. Отже, потрібно: \ \\]
відповідь:
\ (A \ in \ (- 7 \) \ cup \)
Завдання 5 # 3912
Рівень завдання: Рівний ЄДІ
Знайдіть всі значення параметра \ (a \), при кожному з яких рівняння \
має шість різних рішень.
Зробимо заміну \ ((\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t \), \ (t> 0 \). Тоді рівняння набуде вигляду \
Будемо поступово виписувати умови, при яких вихідне рівняння матиме шість рішень.
Зауважимо, що квадратне рівняння \ ((*) \) може максимум мати два рішення. Будь-яке кубічне рівняння \ (Ax ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D = 0 \) може мати не більше трьох рішень. Отже, якщо рівняння \ ((*) \) має два різних рішення (позитивних !, так як \ (t \) має бути більше нуля) \ (t_1 \) і \ (t_2 \), то, зробивши зворотний заміну, ми отримаємо: \ [\ Left [\ begin (gathered) \ begin (aligned) & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t_1 \\ & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 +4) = t_2 \ end (aligned) \ end (gathered) \ right. \]Так як будь-яке позитивне число можна представити як \ (\ sqrt2 \) в якійсь мірі, наприклад, \ (T_1 = (\ sqrt2) ^ (\ log _ (\ sqrt2) t_1) \), То перше рівняння сукупності перепишеться у вигляді \
Як ми вже говорили, будь кубічне рівняння має не більше трьох рішень, отже, кожне рівняння із сукупності матиме не більше трьох рішень. А значить і вся сукупність матиме не більше шести рішень.
Значить, щоб вихідне рівняння мало шість рішень, квадратне рівняння \ ((*) \) повинно мати два різних рішення, а кожне отримане кубічне рівняння (із сукупності) повинно мати три різних рішення (причому жодне рішення одного рівняння не повинно збігатися з яким -або рішенням другого!)
Очевидно, що якщо квадратне рівняння \ ((*) \) буде мати одне рішення, то ми ніяк не отримаємо шість рішень у вихідного рівняння.
Таким чином, план рішення стає очевидним. Давайте по пунктах випишемо умови, які повинні виконуватися.
1) Щоб рівняння \ ((*) \) мало два різних рішення, його дискримінант повинен бути позитивним: \
2) Також потрібно, щоб обидва кореня були позитивними (так як \ (t> 0 \)). Якщо твір двох коренів позитивне і сума їх позитивна, то і самі корені будуть позитивними. Отже, потрібно: \ [\ Begin (cases) 12-a> 0 \\ - (a-10)> 0 \ end (cases) \ quad \ Leftrightarrow \ quad a<10\]
Таким чином, ми вже забезпечили собі два різних позитивних кореня \ (t_1 \) і \ (t_2 \).
3)
Давайте подивимося на таке рівняння \
За яких \ (t \) воно матиме три різних рішення? Таким чином, ми визначили, що обидва кореня рівняння \ ((*) \) повинні лежати в інтервалі \ ((1; 4) \). Як записати цю умову? мало чотири різних кореня, відмінних від нуля, що представляють разом з \ (x = 0 \) арифметичну прогресію. Зауважимо, що функція \ (y = 25x ^ 4 + 25 (a-1) x ^ 2-4 (a-7) \) є парною, значить, якщо \ (x_0 \) є коренем рівняння \ ((*) \ ), то і \ (- x_0 \) буде його коренем. Тоді необхідно, щоб корінням цього рівняння були впорядковані по зростанню числа: \ (- 2d, -d, d, 2d \) (тоді \ (d> 0 \)). Саме тоді дані п'ять чисел будуть утворювати арифметичну прогресію (з різницею \ (d \)). Щоб цими країнами були числа \ (- 2d, -d, d, 2d \), потрібно, щоб числа \ (d ^ (\, 2), 4d ^ (\, 2) \) були корінням рівняння \ (25t ^ 2 +25 (a-1) t-4 (a-7) = 0 \). Тоді по теоремі Вієта: Перепишемо рівняння у вигляді \
і розглянемо дві функції: \ (g (x) = 20a-a ^ 2-2 ^ (x ^ 2 + 2) \) і \ (f (x) = 13 | x | -2 | 5x + 12a | \) . Для того, щоб рівняння мало хоча б одне рішення, потрібно, щоб графіки функцій \ (f \) і \ (g \) мали хоча б одну точку перетину. Отже, потрібно: \
Вирішуючи дану сукупність систем, отримаємо відповідь: \\]
відповідь: \ (A \ in \ (- 2 \) \ cup \) Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно в ознайомлювальних цілях і може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію. цілі: устаткування:мультимедійна установка, інтерактивна дошка, роздатковий матеріал. Форми роботи:фронтальна і групова з елементами пошуково-дослідницької діяльності. Інформаційні джерела: ХІД УРОКУ 1. Організаційний момент Постановка цілей і завдань уроку. 2.
Перевірка домашнього завдання №10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович). а) у = f(х), f(х) = б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69; в) 1. D ( f) = [– 2; + ∞) (Ви використовували алгоритм дослідження функції?) Слайд.
2. Таблицю, яку вам задавалася, перевіримо по слайду. Область визначення нулі функції проміжки знакопостоянства х = -5, х € (-5; 3) U х € (-∞; -5) U х ∞ -5, х € (-5; 3) U х € (-∞; -5) U х ≠ -5, х € (-∞; -5) U х € (-5; 2) 3.
актуалізація знань - Дано функції. х ≠ 0 і не визна. 4. Новий матеріал - Виконуючи цю роботу, хлопці ми виявили ще одну властивість функції, незнайоме вам, але не менш важливе, ніж інші - це парність і непарність функції. Запишіть тему уроку: «Парні і непарні функції», наше завдання - навчитися визначати парність і непарність функції, з'ясувати значущість цієї властивості в дослідженні функцій і побудові графіків. Опр. 1функція у = f (х), Задана на безлічі Х називається парної, Якщо для будь-якого значення хЄ Х виконується рівність f (-х) = f (х). Наведіть приклади. Опр. 2функція у = f (х), Задана на безлічі Х називається непарної, Якщо для будь-якого значення хЄ Х виконується рівність f (-х) = -f (х). Наведіть приклади. Де ми зустрічалися з термінами «парні» та «непарні»? Вивчення питання про те, чи є функція парною або непарною називають дослідженням функції на парність.слайд У визначеннях 1 і 2 йшлося про значення функції при х і - х, тим самим передбачається, що функція визначена і при значенні х, і при - х. Опр 3.Якщо числове безліч разом з кожним своїм елементом х містить і протилежний елемент х, то безліч Хназивають симетричним безліччю. приклади: (-2; 2), [-5; 5]; (∞; ∞) - симетричні безлічі, а, [-5; 4] - несиметричні. - У парних функцій область визначення - симетричне безліч? У непарних? слайд
Алгоритм дослідження функції на парність 1. Установити, симетрична чи область визначення функції. Якщо немає, то функція не є ні парною, ні непарною. Якщо так, то перейти до кроку 2 алгоритму. 2. Скласти вираз для f(–х). 3. Порівняти f(–х) .і f(х): приклади:
Дослідити на парність функцію а) у= Х 5 +; б) у=; в) у= . Рішення. а) h (х) = х 5 +, 1) D (h) = (-∞; 0) U (0; + ∞), симетричне безліч. 2) h (- х) = (х) 5 + - х5 - = - (х 5 +), 3) h (- х) = - h (х) => функція h (х)= Х 5 + непарна. б) у =, у = f(х), D (f) = (-∞; -9)? (-9; + ∞), несиметричне безліч, це свідчить про те ні парна, ні непарна. в) f(х) =, У = f (х), 1) D ( f) = (-∞; 3] ≠; б) (∞; -2), (-4; 4]? Варіант 2 1. Чи є симетричним заданий безліч: а) [-2; 2]; б) (∞; 0], (0; 7)? а) у = х 2 · (2х - х 3), б) у = взаимопроверка по слайду. 6. Домашнє завдання: №11.11, 11.21,11.22; Доказ геометричного сенсу властивості парності. *** (Завдання варіанти ЄДІ). 1. Непарна функція у = f (х) визначена на всій числовій прямій. Для будь-якого невід'ємного значення змінної х значення цієї функції збігається зі значенням функції g ( х)
= х(х + 1)(х + 3)(х- 7). Знайдіть значення функції h ( х) = При х = 3. 7. Підведення підсумків нулі функції Нулі - це точки перетину графіка функції з віссю Ох.
парність функції непарність функції зростання функції спадання функції Знаходять проміжки монотонності за допомогою сервісу Інтервали зростання і спадання функції локальний максимум локальний мінімум періодичність функції проміжки знакопостоянства безперервність функції точки розриву приклад:Дослідити функцію і побудувати її графік: y = x 3 - 3x
Розглянемо функцію \ (f (x) = x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \).
Можна розкласти на множники: \
Отже, її нулі: \ (x = -1; 2 \).
Якщо знайти похідну \ (f "(x) = 3x ^ 2-6x \), то ми отримаємо дві точки екстремуму \ (x_ (max) = 0, x_ (min) = 2 \).
Отже, графік виглядає так: 
Ми бачимо, що будь-яка горизонтальна пряма \ (y = k \), де \ (0
Таким чином, потрібно: \ [\ Begin (cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Давайте також відразу зауважимо, що якщо числа \ (t_1 \) і \ (t_2 \) різні, то і числа \ (\ log _ (\ sqrt2) t_1 \) і \ (\ log _ (\ sqrt2) t_2 \) будуть різні, значить, і рівняння \ (X ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_1 \)і \ (X ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_2 \)матимуть незбіжні між собою коріння.
Систему \ ((**) \) можна переписати так: \ [\ Begin (cases) 1
В явному вигляді виписувати коріння ми не будемо.
Розглянемо функцію \ (g (t) = t ^ 2 + (a-10) t + 12-a \). Її графік - парабола з гілками вгору, яка має дві точки перетину з віссю абсцис (ця умова ми записали в пункті 1)). Як повинен виглядати її графік, щоб точки перетину з віссю абсцис були в інтервалі \ ((1; 4) \)? так: 
По-перше, значення \ (g (1) \) і \ (g (4) \) функції в точках \ (1 \) і \ (4 \) повинні бути позитивними, по-друге, вершина параболи \ (t_0 \ ) повинна також перебувати в інтервалі \ ((1; 4) \). Отже, можна записати систему: \ [\ Begin (cases) 1 + a-10 + 12-a> 0 \\ 4 ^ 2 + (a-10) \ cdot 4 + 12-a> 0 \\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
Функція \ (g (x) \) має точку максимуму \ (x = 0 \) (причому \ (G _ (\ text (верш)) = g (0) = - a ^ 2 + 20a-4 \)):
\ (G "(x) = - 2 ^ (x ^ 2 + 2) \ cdot \ ln 2 \ cdot 2x \). Нуль похідною: \ (x = 0 \). При \ (x<0\)
имеем: \(g">0 \), при \ (x> 0 \): \ (g "<0\)
.
Функція \ (f (x) \) при \ (x> 0 \) є зростаючою, а при \ (x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Дійсно, при \ (x> 0 \) перший модуль розкриється позитивно (\ (| x | = x \)), отже, незалежно від того, як розкриється другий модуль, \ (f (x) \) дорівнюватиме \ ( kx + A \), де \ (A \) - вираз від \ (a \), а \ (k \) одно або \ (13-10 = 3 \), або \ (13 + 10 = 23 \). При \ (x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Знайдемо значення \ (f \) в точці мінімуму: \
Назад вперед
1.Алгебра9класс А.Г Мордкович. Підручник.
2.Алгебра 9класс А.Г Мордкович. Задачник.
3.Алгебра 9 клас. Завдання для навчання і розвитку учнів. Бєлєнкова Є.Ю. Лебединцева Е.А
2. Е ( f) = [– 3; + ∞)
3. f(х) = 0 при х ~ 0,4
4. f(х)> 0 при х > 0,4 ; f(х)
< 0 при – 2 <
х <
0,4.
5. Функція зростає при х € [– 2; + ∞)
6. Функція обмежена знизу.
7. унаим = - 3, унаиб не існує
8. Функція неперервна.Заповніть таблицю
Координати точок перетину графіка з Оу
х = 2
U (2; ∞)
U (-3; 2)
х ≠ 2
U (2; ∞)
U (-3; 2)
х ≠ 2
U (2; ∞)
- Вказати область визначення для кожної функції.
- Порівняти значення кожної функції для кожної пари значення аргументу: 1 і - 1; 2 і - 2.
- Для яких з даних функцій в області визначення виконуються рівності f(– х)
= f(х), f(– х) = – f(х)? (отримані дані занести в таблицю) слайд
f(1) і f(– 1)
f(2) і f(– 2)
графіки
f(– х) = –f(х)
f(– х) = f(х)
1. f(х) =
2. f(х) = х 3
3. f(х) = | х |
4.f(х) = 2х – 3
5. f(х) =
6. f(х)=
х >
–1
Отже, знайдемо визначення в підручнику і прочитаємо (стор. 110) . слайд
Які з цих функцій будуть парними, як ви думаєте? Чому? Які непарними? Чому?
Для будь-якої функції виду у= х n, де n- ціле число можна стверджувати, що функція непарна при n- непарному і функція парна при n- парному.
- Функції виду у= і у = 2х- 3 не є ні парною, ні непарними, тому що не виконуються рівності f(– х) = – f(х), f(–
х) = f(х)
- Якщо ж D ( f) - несиметричне безліч, то функція яка?
- Таким чином, якщо функція у = f(х) - парна або непарна, то її область визначення D ( f) - симетричне безліч. А чи правильно зворотне твердження, якщо область визначення функції симетрична безліч, то вона парна, або непарна?
- Значить наявність симетричного безлічі області визначення - це необхідна умова, але недостатня.
- Так як же досліджувати функцію на парність? Давайте спробуємо скласти алгоритм.
а); б) у = х · (5 - х 2).2. Дослідіть на парність функцію:
3. На рис. побудований графік у = f(х), для всіх х, Що задовольняють умові х?
0.
Побудуйте графік функції у = f(х), Якщо у = f(х) - парна функція. 
3. На рис. побудований графік у = f(х), Для всіх х, що задовольняють умові х? 0.
Побудуйте графік функції у = f(х), Якщо у = f(х) - непарна функція. 
Нулем функції називається те значення х, При якому функція звертається в 0, тобто f (x) = 0.
Функція називається парною, якщо для будь-якого хз області визначення виконується рівність f (-x) = f (x) 
Парна функція симетрична щодо осі Оу
Функція називається непарної, якщо для будь-якого хз області визначення виконується рівність f (-x) = -f (x). 
Непарна функція симетрична щодо початку координат.
Функція яка не є ні парною, ні непарною називається функцією загального вигляду. 
Функція f (x) називається зростаючою, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, тобто x 2> x 1 → f (x 2)> f (x 1) 
Функція f (x) називається спадною, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, тобто x 2> x 1 → f (x 2) 
Проміжки, на яких функція або тільки убуває, або тільки зростає, називаються проміжками монотонності. Функція f (x) має 3 проміжку монотонності:
(-∞ x 1), (x 1, x 2), (x 3; + ∞) 
Крапка х 0називається точкою локального максимуму, якщо для будь-якого хз околиці точки х 0виконується нерівність: f (x 0)> f (x) 
Крапка х 0називається точкою локального мінімуму, якщо для будь-якого хз околиці точки х 0виконується нерівність: f (x 0)< f(x).
Точки локального максимуму і точки локального мінімуму називаються точками локального екстремуму. 
x 1, x 2 - точки локального екстремуму.
Функція f (x) називається періодичною, з періодом Т, Якщо для будь-якого хвиконується рівність f (x + T) = f (x). 
Проміжки, на яких функція або тільки позитивна, або тільки негативна, називаються проміжками знакопостоянства. 
f (x)> 0 при x∈ (x 1, x 2) ∪ (x 2, + ∞), f (x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)
Функція f (x) називається неперервною в точці x 0, якщо межа функції при x → x 0 дорівнює значенню функції в цій точці, тобто 
.
Точки, в яких порушено умова безперервності називаються точками розриву функції. 
x 0- точка розриву.Загальна схема для побудови графіків функцій
1. Знайти область визначення функції D (y).
2. Знайти точки перетину графіка функцій з осями координат.
3. Дослідити функцію на парність або непарність.
4. Дослідити функцію на періодичність.
5. Знайти проміжки монотонності і точки екстремуму функції.
6. Знайти проміжки опуклості і точки перегину функції.
7. Знайти асимптоти функції.
8. За результатами дослідження побудувати графік.
8) За результатами дослідження побудуємо графік функції: 
