Тетраедърът има всички страни на ryvn. Ob'єm тетраедър

Теоремата на Менел допуска стереометрично zagalnennya tsikave.

Теорема на Менел за тетраедъра.

Район Якшо μ ребра AB, ND, CDі DAтетраедър ABCDв точки А 1, В 1, З 1, D 1, тогава (2).

Назад, якшо за точки chotiroh А 1, В 1, З 1, D 1да лежи като на ребрата AB, ND, CD, DAтетраедри, паритет по виконано (2), където точките лежат в една и съща област.

Доставено.

Хайде ч 1, ч 2, ч 3, ч 4- изглед на точки A, B, Z, Dспоред района μ tody; ; ; ...

Облачно умножете otrimanі stosunki.

За да го докажем с теореми, ще ни трябва площта A1, B1, C1. Nehay tsya площта на напречния поток на ръба DA в точка T.

ние ще донесем , и зад измиването до това (i от lemi) точки Tі D 1Потвърждението е съобщено.

§2. Теорема на Чеви

Теорема на Чеви за триколка.

Хайде петънца A 1, 1, Z 1легнете отстрани ND, ASі VAтрикутник ABC(Div. Снимка). С цел направата AA 1, BB 1, SS 1бяха прехвърлени в една точка, необходимо и достатъчно, и количеството прекарано време: (3) (от AA 1, BB 1, CC 1Някои се наричат ​​chevians).

Доставено.

Необходимост. Хайде АА 1 , BB 1, SS 1преобръщане в точки Мв средата на триколката ABC .

Значително през S 1, S 2, S 3зони за триколки AMS, SMV, AMVи след ч 1, ч 2- изглед на точки Аі Имайтедо прав MC... Тоди по същия начин ,. Умножавайки отрицателните пропорции, променяме валидността на теоремите.

Достатъчност. Хайде петънца A 1, B 1, Z 1легнете отстрани ND, CA, AC trikutnik, і viconano spіvvіdnoshennya (3), М- точката на преобръщане АА 1і BB 1, и видризок СМ overretinaê bik ABв точката В.Тоди, ще те информираме ,. Z lemi know viplyaє zbig krapok Q = C 1... Достатъчността е постигната.

Нека сега да преминем към широкообхватната неизвестност на теоремите на Чеви.

Теорема на Чеви за тетраедър.

Хайде М- точка в средата на тетраедъра ABCD,а А 1, 1, С 1 и D 1- точки на преливане на площи CMD , AMD, AMBі CMBс ребра АБ, Б ° С , CDі DAсъс сигурност. Тоди (4). Гръб: якшо за точки , след това площта ABC , ВСД 1і DAB 1преминете през една точка.

Доставено.

Необходимост от лесни за подрязване, също и за отбелязване, до точки А 1, 1, З 1, D 1лежат в същата област (областта минава през правата A 1 Z 1і 1 D 1, счо да се отмени в точки М) и поправете теоремата на Менелай. Това е страхотна теорема да бъде изведена по този начин и страхотна теорема на Менелай в открито пространство: необходимо е да се начертае квадрат през точките A 1, B 1, Z 1і донесете леми зад помощта, така че областта да прелива реброто DAв точката D 1 .

§3. Мощна медиана и бимедианна тетраедра

Медианата на тетраедъра се нарича видризок, където върхът на тетраедъра се намира в центъра на вагината на противоположната страна (точката на средното преливане).

Теорема (Стагнация от теоремите на Менел).

Медианата на тетраедъра е преплетена в една точка. Въпросът е да се разшири медианата на кожата до 3: 1, rakhuyuchi от върха.

Доставено.

Изпълнихме две медии: DD 1 і CC 1 тетраедър ABCD... Tsі medіani обръщане към точки Ф . CL- средно лице ABC , DL- средно лице ABD, а д 1 , ° С 1 - Центрове на тежки ръбове ABCі ABD... За теоремата на Менел: i. Записана теорема за триколка DLD 1 : ; => Доказателството ще бъде извършено по подобен начин на всеки среден залог.

Теорема (посочване на теореми на Чеви).

За кочан от damo viznachennya deyakie елементи на тетраедъра. От средата на ребрата на тетраедъра, до колапс, се нарича bmedian. Бизоти (по аналогия) се наричат ​​перпендикуляри на ребрата, които са захванати.

Теорема.

Биомедианният тетраедър се слива в същите точки като медианата на тетраедъра.

Доставено.

При трикотника LDCвидризки DCі LFобръщане към точка К... За теоремата на Чеви за триколка: , tobto. CK = KD, LK - bmediana.

Уважение 1.

FL = FK... Теорема на Менел за трикотник DLK : , , звезди LF = FK .

Бележка 2.

Спек Фе центърът на тежестта на тетраедъра. , , вън.

1.2 Rіznі vidi tetraedrіv

§1. Пифагоров тетраедри

Триколката се нарича пифагорейска, сякаш в нов кут прав, а представянето на всяка страна е рационално (за да се направи опция за изключване, е възможно да се приспадне трико с права ръка от няколко страни).

За аналогията с тетраедъра, те го наричат ​​пифагореален, тъй като равнината на разреза с един от върховете на правата линия и появата на двете ребра рационално (по други причини можете да направите тетраедъра с правите ребра и плоските върхове) с един

Ще се опитам да вивестя "Rivnyannya Pyfagorovykh tetraedryv", tobto. също рационално решение за три неизбежни ξ, η, ζ, но било то тетраедър на пифагорейците, рационално решение на питон и навпаки, да бъде рационално решение на питон.

Ще опиша всички питагорейски триколки по колекция от начини.

Малка триколка OAV- правоъгълна, дори ако краката са обозначени през аі б, а dina hypotenuzi - през Р... Числото (1) може да се нарече параметър на правоъгълната триколка OAV(по-точно чрез параметъра „cathetus а"). p 2 = a 2 + b 2, маймо:

Z tsikh rіvnyany bezposeredno otrimaêmo формули, как да завъртите страните на правоъгълната триколка чрез нейния параметър:

і (2).

Три формули (1) и (2) без средно изпаряване също са твърди: за да бъде една правоъгълна триколка пифагорова, е необходимо и достатъчно, ако ξ е плаващ. Наистина, ако триколката на пифагорите, тогава (1) е vipy, така че ξ е рационално. Обратно, ако ξ е рационално, тогава си струва (2) рационалното има две страни, така че това е триколесен питон.

Хайде сега OABS- тетраедър, в определена равнина при върховете относноправ. Довжини ръбове, как да минат от връх О, смислено през а, б, в, и дозини ребра, шо се промъкна p, q, r .

Виждат се параметри на три трикутника с прави крака OAV, OBC, OSA:

Съгласно формулите (2) е възможно да се трансформират двете страни на правоъгълните триколки чрез параметрите:

З (4) без чело, с параметри ξ, η, ζ , доволна от връзката (6). Tse і є zagalne rivnyannyaтетраедри на питон.

3 формули (3) - (5) без чело OABSс прави плоски кути по върховете на O buv pifagorovim, необходими и достатъчни, с параметри ξ, η, ζ (scho zadovolnyayut rivnyannya (6)) хулиган рационален.

Продължавайки аналогията на пифагоровата триколка с пифагоровия тетраедър, ще се опитаме да формулираме необятността на питагорейските теореми за правоъгълни тетраедри, което очевидно ще е вярно за пифагоровите тетраедри. Една обидна лема също е полезна за мъжа.

Лема 1.

Район Якшчо на богатокутник доривню С, след това площта на неговата проекция върху площта на пътя φ - Kut mіzh площ π і площ bagatokutnik.

Доставено.

Закалената леми є очевидна за триколката, едната страна на която е успоредна на линията на преливане на площта π с площта на багажокутника. Всъщност вечерята на цялото парти по време на проекцията не се променя, но вечерята на властта, пропусната от проекцията, се променя в cosφразвитие

Сега е ясно, че таралежът джудже може да се използва за триколка от определен вид.

Проведен едновременно през всички върхове на багажокутника направо, успоредно на линията на изпреварване на парцелите, багажокутникът се разпределя на собствен триплет и трапец. Да бъде твърде късно да се развие кожен трапец, за да бъде като диагонали.

Теорема 1(Огромната теорема на Питагор).

В правоъгълен тетраедър ABCDс плоски кути по върховете дсума от квадрати в областта на трите правоъгълни лица към квадрата на площта на лицата ABC .

Доставено.

Nehay α - кут между областите ABCі DVS, D "- Точкова проекция дна площада ABC... Тоди S ΔDBC = СosαS ΔАBCі S ΔD "BC = ° С osαS ΔDBC(от Lemi 1), че ° С osα = . С Δ д " пр.н.е = .

Подобно спокойствие е възможно и за триколки D "ABі D "AC... Склад их и враховючи, що сумата на квадратчетата от трикутници D "слънце , D "ACі D "ABзона на пътя за триколки ABCЩе приема необходимото.

Zavdannya.

Оставете ни плоски кути по върховете дправ; а , б , ° С- Довжини ребра, върви отгоре дна площада ABC... Тоди

Доставено.

Следвайки теоремата на Пифагор за правоъгълен тетраедър

Отстрани

1= ) => .

§2. Ортоцентрични тетраедри

На vidminu на триколката обаче има вероятност да се влее отново в една точка - ортоцентър, не всеки тетраедър има аналогична мощност. Тетраедърът, който от двете е преплетен в една точка, се нарича ортоцентричен. По някаква причина, въвеждането на ортоцентрични тетраедри с необходимите и достатъчни умове на ортоцентричност, кожата може да се сбърка със стойността на ортоцентричен тетраедър.

(1) Закачете тетраедъра в една точка.

(2) Основите на страните на тетраедъра са ортоцентрите на лицата.

(3) Кожата на двете изпъкнали ребра на тетраедъра са перпендикулярни.

(4) Сборът от квадратите на изпъкналите ребра на тетраедъра е готов.

(5) Огънете средата на изпъкналите ребра на тетраедъра, издърпайте го назад.

(6) Dobutki kutіv іvnі protolezhny dihedral kutіv.

(7) Сборът от квадратите на квадратите на лицата е четири пъти по-малък от сбора на квадратите на творенията на ребрата.

Deyakі от тях.

Доказателство (3).

Нека кожата има две противоположни ребра на перпендикуляра на тетраедъра.

Otzhe, височината на тетраедъра се усуква отново по двойки. Това е като пръска, която се изправя по двойки, воня лежи в същата област и преминава през една точка. В една област от височината на тетраедъра е невъзможно да се лъже, защото в същата област имаше шест върха, защото вонята се топи в една точка.

Очевидно височината на тетраедъра е била обърната в точката, необходимо е да се достигне перпендикулярността на двете двойки про-ребра. Доказателство за централното място на предложението без посредствена напитка от офанзивата.

Завдания 1.

Датски голям тетраедър ABCD... Давай го, шо.

Решение.

Хайде а = , b = , c =... Тоди , и складови цени, можем да приемем необходимите.

Хайде а = , b = i s =... Равенство 2 + 2 = 2 + 2 , що ти. (А, в) = 0... Алгоритъмът на zastosovuyu данни до втората двойка издатини на ребрата, очевидно, може да бъде разпознат от фирмата shukane.

Това е сигурен начин да се докаже качеството на (6).

За да докажем використичните теореми:

Синусова теорема. „Създаването на две изпъкнали ребра на тетраедъра, добавянето на синусите на двугранните жлебове с циховите ребра, еднакви и за трите двойки изпъкнали ребра на тетраедъра.“

Теорема на Бертшнайдер. „Якшо аі б- Довжини две страни се сблъскват на тетраедърни ребра, и - двустранно кути с чич ребра, тогава стойността не е в избора на ребра, а се сблъсква.

След като ускорихте теоремата за синусите за тетраедъра и теоремата на Бертшнайдер, е възможно да създадете косинуси в другите двустранни намотки от същия тип, ако квадратите на тетраедъра са равни (от справедливия център).

В края на параграфа за ортоцентричния тетраедър, виришимо килка зувдан по темата.

Завдания 2.

Информирайте, че в ортоцентричния тетраедър да видите ВІН 2 = 4R 2 -3d 2, де относно- Центърът на описаните сфери, Х- точка на преливане на височините, Р- радиус на сферичното описание, d-стойка между средните точки на ребрата.

Решение.

Хайде Предиі Л- средата на ребрата ABі CDсъс сигурност. Спек Хлегнете близо до площада, преминете CDперпендикулярно AB, и петънцето относно- близо до площада, през който се минава Предиперпендикулярно AB.

Централната област е симетрична на центъра на тетраедъра - средата на KL... Можем да видим такива зони за всички ребра, можем да ги видим, но точките Хі относносиметрично шодо М, и средно KLMO- Паралелограм. Квадратирайте двете страни на едно и също. Погледнете през перетина, преминете през точката Мпаралелно ABі CD, otrimmo scho AB 2 + CD 2 = 4d 2 .

Тук можете да добавите, прави, петна лежат върху яка О, Мі Х, Наречете правия ортоцентричен тетраедър на Ойлер.

Уважение.

Редът на правата линия на Ойлер може да се отдаде на дефиницията на сферите на Ойлер за ортоцентричния тераедър, около който се намира в началото на проекта.

Завдания 3.

Доведете, за ортоцентричен тетраедър на кол, 9 точки от лицето на кожата лежат на една сфера (сфера от 24 точки). Необходимо е да се изведе ума на офанзивното zavdannya на ново ниво на ангажираност.

Завдания 4.

Доведете средата на страните на триколката, основите на височините и средата на височините на върховете до точката на разпръсквача, да лежат на едно число - ако има 9 точки (Eiler).

Доставено.

Хайде ABC- Даний трикутник, Х- точката на преливане на йогийския висот, A 1, B 1, Z 1- по средата AN, VN, CH; АА 2- Чакай, А 3- среден ND... Vvazhatiemo за бързина, ABC- Гострокутни трикутник. Оскилки Y 1 A 1 Z 1 = BACі ΔВ 1 А 2 С 1 = ΔВ 1 HC 1, тогава B 1 A 2 W 1 = B 1 HC = 180 ° - U 1 A 1 Z 1, tobto. петна A 1, B 1, A 2, C 1лъжа на едно място. Толкова е лесно да се удари B 1 A 3 C 1 = B 1 HC = 180 ° - B 1 A 1 C 1, tobto. петна A 1, B 1, A 3, Z 1може да лежи на едно (и това означава на същото) число. Прилича на питие, има всичките 9 точки, за това как да бъдем в ума, да лъжем на едно преброяване. Випадок на тъпия трико ABCизглеждат подобни.

Удивително е, че обиколката на 9 точки е хомотетична на описаната кола с център H и ABCі A 1 B 1 Z 1). Отстрани около 9 точки са хомотетични на описаната яка с център в точката в центъра на медианата на триколката. ABCі kofіtsієntom (по същия начин roztashovanі trikutniks ABC и tricytnik с върхове в средата на тата страна).

Сега, ако залогът е 9 точки, можете да преминете към доказателството на задача 3.

Доставено.

Преобуването на ортоцентричния тетраедър, било то плоска област, успоредна на изпъкналите ребра, и минаваща през средните дължини от ребрата, е правата линия, диагоналите на всички ребра на тетраедъра. ребрата на ортоцентричния тетраедърът лежат на повърхността на сферата, чийто център лежи зад центъра на тежестта на този тетраедър, а диаметърът на външните ръбове е разположен между средата на изпъкналите ребра на тетраедъра.

Завдания 5.

За ортоцентричния тетраедър на центъра на вагината, че точката прелива от страните на лицата, а също и точките, как да се разшири кожната височина на тетраедъра от върха до точката, преливаща от върха до 2: 1, лежат върху една сфера (сфери от 12 точки).

Доставено.

Хайде петънца О, Мі Х- са посочени центърът на описанието, центърът на тежестта и ортоцентърът на ортоцентричния тетраедър; М- по средата ВІН(Div. Zavdannya 2). Центровете на тежестта на страните на тетраедъра служат като върхове на тетраедъра, хомотетични, с център на хомотетията в точката Мі kofіtsієntom в tsіy homothety точка относнопремести се на петънце Около 1, roztashovanu на vidrizka MNтака че уау , Около 1ще бъде центърът на сферите на лицата, така че преминете през центъра на wagi.

Отстрани точките, които простират височината на тетраедъра от върховете до ортоцентъра 2: 1, служат като върхове на тетраедъра, хомотетичен към даденото от центъра на хомотетията в Хі kofіtsієntom. С tsіy homotetya петънце относноЯк лесно bachiti, отидете на същата точка Около 1... В такъв ранг от дванадесет точки лежат на повърхността на сфера с център Около 1и по радиуса, които са още по-малки, под радиуса на сферата, описана от тетраедъра.

Доведено до вас, че точката на кръстосването между страните на кожата е да лежи върху повърхността на същите сфери.

Хайде O`, H`і М`- център на описания кол, точка на преливане на височината и център на тежестта, било то лице. О`і H`є проектирани точки относноі Хна квадрата на tsієї лица, и от М`раздавам Относно `N` schodo 1:2, rakhuyuchi vid О`(Привидно планиметричен факт). Сега е лесно да се обърне, така че прожекцията Около 1в областта на центъра на лицето - точка Около `1излезте от средата на пътя M`N`, tobto. Около 1ривновиддален от М`і H`добре було се изисква.

§3. Рамкови тетраедри

Тетраедърът се нарича скелет, за който е сфера, всичките шест ръба на тетраедъра могат да бъдат съединени. Не всеки скелетен тетраедър. Например, лесно е да се разбере, но не е възможно да имаш сфера, а да докоснеш всички ръбове на квадратен тетраедър, като описанията на паралелепипеда "довги".

Прекомерна мощност на рамковия тетраедър.

(1) Ядрото е сфера, която докосва всички ръбове на тетраедъра.

(2) Суми довжин ребра

(3) Суми от двустранен kutіv с изпъкнали ребра.

(4) Кола, вписана в границите, усукване по двойки.

(5) Описани са всички чатирикутници, които посещават тетраедъра.

(6) Перпендикуляри, подновени към ръбовете от центровете на вписаните в тях ключове, се преобръщат само в точки.

Привеждане на веригата на силата на рамковия тераедър.

Подтверждение (2).

Хайде относно- Центърът на сферата, където ребрата са разположени във вътрешните точки. приказно сега, какъв смисъл NSда похарчи малко XPі XQкъм сферата с център относно, след това точките Рі Всиметрична област, която върви направо NSи по средата PQи средна площ ROCі QОХгрим от района XPQ rіvnі kuti.

Начертаваме 4 области, преминаваме през точката Pro и ръбовете на тетраедъра, за да погледнем навън. Вонята разбива кожата от двустранните кути на две двустранни кути. Показано е Vishche bulo, scho подрязани двустранни kuti, огънати от едната страна на тетраедъра, dorishnuyut. Як в един, така и в торбичка двустранни разфасовки, как да гледам, въведете един по един, един разрез за кожната страна на тетраедъра. Осъществявайки аналогичен мир за другите двойки ребра, където те се сблъскват, се признава справедливостта на властта (2).

Zgadaimo действия на силата на описания chotirikutnik:

а) Плосък чотирикутник ще бъде описан само ако не е достатъчен, ако е готова само една от другите страни;

б) Ако има описания на чотирикутника, разделете диагонала на две триколки, след което вписаните в трикутниците на кола ще бъдат залепени

Vrahoyuchi ti власт, е лесно да се донесе ситото на силата на рамката тетраедър. Силата (3) на тетраедъра е без средата от степента (b), а степента (4) от степента (a) и степента (1) на тетраедъра. Мощност (5) от сила (3). Всъщност, дори ако колата е вписана в лицата на тетраедъра є със сферите на ръбовете му със сфера, но ръбовете се допират, звездите очевидно са перпендикулярни, нововъведенията в центровете, вписани в междукила, неизбежно ще се обърнат към центъра на сферата.

Завдания 1.

Сфера, докосваща ребра AB, ND, CDі DAтетраедър ABCDв точки L, M, N, K,є върховете на квадрата. За да покаже, че сферата докосва ребрата КАТО, тогава има ръбовете BD .

Решение.

Зад умовете KLMN- Квадрат. Начертан през петънцата К, Л, М, Нобластта, където се докосват сферите. Трептенията на всички области на областта са еднакво излекувани към областта KLMN, след което вонята се стопява в една точка Справ МИНИ 1, de е центърът на сферата и Около 1- Център на площада. Площта прелива повърхността на площада. KLMNпо квадрат TUVW, средните точки на страните на точката є К, Л, М, Н... При chotirigranny vugili STUVW с връх S равнините се изрязват, а точките К, Л, М, Нлежат върху симетралите на плоските намотки, освен това SK = SL = SM = SN... Отже,

SA = SCі SD = SB, и средно AK = AL = CM = CNі BL = BM = DN = DK... За измиване КАТОможе да е гладен за кули, това А ° С = AK + CN = 2AK... И oskіlki SK- ъглополовяща кута DSA, тогава DK: KA = DS: SA = DB: AC... Zeveness AC = 2AKсе плъзна сега, чо DB = 2DK... Хайде Р- по средата DBТоди Рлежи прав ТАКА... Трикутники DOKі DOPниво, защото DK = DPі DKO = DPO = 90 °.Том ИЛИ = ОК = R, де Ре радиусът на сферата, а също така, DBстава въпрос и за сфери.

§4. Еквивалентни тетраедри

Също така се нарича тетраедър, фасетите на rіvnі. Ще имате тетраедър на дълги разстояния, постоянно присъстващ триплет с хартия и ще бъдем освободени в средните редове. Тоди три върха влизат в една точка, а половините на страните се затварят, фиксирайки bіchnі ръбове на тетраедъра.

(0) Лица конгруэнтни.

(1) Ребра, които са закопчани, по двойки.

(2) Тригранни кути пивни.

(3) Protylezhnі dihedral kuti rіvnі.

(4) Две плоски кути, които спират на единия ръб, равни.

(5) Сума на плосък кутив при кората на върховете на пътя 180°.

(6) Розгортки тетраедри - трикутник или паралелограм.

(7) Описания на правоъгълен паралелепипед.

(8) Тетраедърът има три оси на симетрия.

(9) Перпендикуляри на главата на ребрата, където се пресичат, по двойки

перпендикулярно.

(10) Средните линии са по двойки перпендикулярни.

(11) Периметри на ръбовете на пивн.

(12) Площта на ръбовете.

(13) Окачете тетраедър от pivn.

(14) Vіdrіzki, как да съедините върховете с центровете на важност на противоположните ръбове, rіvnі.

(15) Радиус и описание на броя на ръбовете на кила.

(16) Центърът на тежестта на тетраедъра се образува от центъра на описаната сфера.

(17) Центърът на тежестта става център на вписаната сфера.

(18) Центърът на описаната сфера се образува от центъра на вписаното.

(19) Вписаната сфера е вписана върху ръбовете в центровете на описания в qix

ръбове на kіl.

(20) Сума от единични нормали на извикване (единични вектори,

перпендикулярно на ръбовете), което е нула.

(21) Сумата от всички двустранни разфасовки е нула.

На практика всички сили на моноедричния тетраедър са извлечени от йога

Поради това ще бъде невъзможно да направят каквото и да било.

Доказателство (16).

Защото тетраедър ABCDіvnogranny, тогава за качество (1) AB = CD... Хайде по въпроса Предивидризка AB, и петънцето Лпо средата DC, zvidsy vidrizok KLбимедийни тетраедри ABCD, звездите зад властите на средния тетраедър випливє, счо точка относно- по средата KL, є центърът на тежестта на тетраедъра ABCD .

Преди това медианата на тетраедъра беше изместена към центъра на тежестта, точка относно, и отидете в точка със скорост 3: 1, rakhuyuchi от върха. Dal, vrahoyuchi vyshchestvennost, че сила (14) на равен тетраедър, аз няма да мога да дойда рано или късно AT = BO = CO = DO, Z yakogo i viply, scho point относноє центърът описва сферите (за значението е описан отстрани на сферите).

Обратно. Хайде Предиі Л- средата на ребрата ABі CDкато цяло, точка относно- Центърът на описаните сфери на тетраедъра, tobto. по средата KL... Защото относно- центърът на описаните сфери на тетраедъра, след това трицитите AOBі COD- іvnobedrenі с равни bіchny страни andіvnymi medіans Добреі OL... Том ΔAOB =ΔCOD... И да означава AB = CD... По същия начин четността на двойките стърчащи ребра се довежда до четност, за което (1) равнофасетният тетраедър е последван от шукане.

Доказателство (17).

Ясно се вижда ъглополовящата на двугранния разрез с ребра AB, спечелете разпръснати іdrіzok DC до областта на ръбовете ABDі ABC .

Защото тетраедър ABCD vnogranny, тогава за качество (12) S ΔABD = S ΔABD => DL = LC viplivka звезди, що ъглополовяща ABLотмъсти на bmediana KL... Застояли аналогични светове на тези двустранни кутиви, и беручи, докато уважавате, но бисектрисата на тетраедъра ще бъде обърната само в точката, която е центърът на вписаната сфера, можем да разпознаем, че точката неизбежно ще бъде дадена от центъра на трудното.

Обратно. Освен това центърът на тежестта и центърът на вписаната сфера могат да бъдат създадени по следния начин: DL = LC => SABD = SADC... Нека изведем ранга на еднакъв размер на всички лица, застоялата сила (12) на равния тетраедър, ще разпознаем шукане.

Сега се доставя мощност (20). За много информация е необходимо да се представи една от степените на предтетраедър.

теорема за тетраедъра ученик

Лема 1.

Дори ако векторите са перпендикулярни на ръбовете на тетраедъра, те числено се движат към областите на външните ръбове, сумата от векторите към ръбовете е нула.

Доставено.

Хайде NS- точка в средата на тази страна на ръба, h i (i = 1,2,3,4)- отидете от нея в района и-та страна.

Razrіzhemo bagatogrannik на pіramіdi с върха NS, между другото на някоя е та страна. Ob'єm тетраедър V dorіvnyu sumi obsyagiv tsikh pіramіd, tobto. 3 V = ∑h i S i, де S и■ площ и-та страна. Хайде, n iе единичен вектор на последната нормала към i-тото лице, Mi е най-значимата точка от цялото лице. Тоди h i = (XM i, S i n i)към това 3V = ∑h i S i = ∑ (XM i, S i n i) = (XO, S i n i) + (OMI, S i n i) = (XO, ∑S i n i) + 3V, де относно- точката на тетраедъра е фиксирана, същата, ∑S i n i = 0 .

Очевидно е, че мощността (20) на едностранен тетраедър е we S 1 = S 2 = S 3 = S 4 => n 1 = n 2 = n 3 = n 4, и тъй като площта на ръбовете не се равнява на нула, ще приемем правилния паритет n 1 + n 2 + n 3 + n 4 = 0 .

В края на доклада за едностранния тетраедър ще ви преведем през книгата по темата.

Завдания 1.

Права, преминаваща през центъра на масовия тетраедър и центъра на описаната топка на сферата, преливаща ребрата ABі CD... Включете го AC = BDі AD = пр.н.е .

Решение.

Центърът на тетраедъра трябва да лежи на права линия, със средата на ребрата ABі CD .

Също така, центърът на описаната сфера на тетраедъра трябва да лежи на тата права линия, което означава, че е посочена права, перпендикулярна на ребрата ABі CD... Хайде Z`і D`- Точкова проекция ° Сі дна площада, преминете през правия ABпаралелно CD... Защото AC`BD`- паралелограм (за bydovuyu), тогава AC = BDі AD = ND .

Завдания 2.

Хайде з- Visota на моноедрален тетраедър, ч 1і ч 2- vіdrіzki, kudi един от височината на ръба се простира с точка, преобръщаща височината на целия ръб. Донеси, чо h 2 = 4h 1 h 2; донесете също основата на височината на тетраедъра и точката на преобръщане на височината на лицето, на яка височината е понижена, симетрична на центъра на кола, описаната линия на лицето.

Доставено.

Хайде ABCD- датски тетраедър, DH- Його висота, DA 1, DВ 1, DC 1- Висящи лица, изпуснати от върха дна страната BC, CA и AB .

Razrіzhemo над повърхността на тетраедър vdovzh ребра DA, DB, DC, і брутално врата. Очевидно Хє точка за пресичане на страните на трикутника D 1 D 2 D 3... Хайде Ф- точка на преминаване към височините на трикутника ABC, AK- Visota на триколка триколка, AF = h 1, FK = h 2... Тоди D 1 H = 2h 1, D 1 A 1 = h 1 -h 2 .

Otzhe, oskіlki з- Visota на нашия тетраедър, h 2 = DН 2 = DA 2 - НA 1 2 = (h 1+ h 2) 2 - (h 1 - h 2) 2 = 4h 1 h 2.Хайде сега М- центърът на тежестта на трикутник ABC(в същия център на тежестта на трикутник D 1 D 2 D 3), относно- Център за описание на нов кол. Vidomo scho Ф, Мі относнолежат на една права линия (правата на Ойлер), освен това М- mіzh Фі относно , FM =2 мес, отстрани, триколка D 1 D 2 D 3хомотетичен към трикут ABCцентрирано в Мче kofіtsієntom (-2), значение MH = 2FM... Отивай да тръгнеш ВІН = FO .

Завдания 3.

Доведете, в плосък тетраедър, основата на страните, средата на височината на точката, пресечната точка на страните, лежи върху повърхността на една сфера (сфери от 12 точки).

Доставено.

Завършихме задача 2, доведохме центъра на описанието на тетраедъра на сферата до скин-ръба в средата на сферичната, с върха на основата на висящия, спуснат до целия ръб и точката, преливаща височина на централния ръб. И изображенията се показват в центъра на описанието на тетраедъра на сферата до ръба на пътя з- височината на тетраедъра, центъра на описанието на сферичното разстояние от дадените точки до а- Станете център на описаната линия на ръба на залога.

§5. Центрични тетраедри

В резултат центърът на страните на тетраедъра с другите върхове (медианата на тетраедъра) трябва да бъде подравнен, а точката е центърът на тежестта на тетраедъра. При първа възможност заменете центъра на тежките ръбове с ортоцентричния на ръбовете, след което го представете отново върху новия ортоцентричен тетраедър. Освен това ги заменете с центровете, вписани в границите на ключовете, които се наричат ​​центрове, и ние разпознаваме новия клас тетраедри - центърът.

Знаците към класа на ексцентричните тетраедри също могат да бъдат завършени в tsikavi.

(1) Линиите, които свързват върховете на тетраедъра с центровете на килите, вписани в противоположните ръбове, се сливат в една точка.

(2) Бисектриси на два ръба, изтеглени до гръбначния ръб на ръбовете на ръбовете, лежат на гърба на основата.

(3) Добутки довжин на изпъкналите ребра на шарнира.

(4) Трикутник, направен с тези точки да пресича три ребра, да минава през един връх, да е сфера, да минава през три края на ребра, є едностранно.

Подтверждение (2).

За якистиу (1), якшо DF, BE, CF, AM- бисектриси на намотките на трицитите ABCі FBD, след това харесвам KSі LDаз ще бъда майка Ще мина към същността аз(Div. Снимка). Ами направо DKі CLне се преобръщат в точки Ф, тогава, очевидно, KSі DLне преобръщайте, което не можете (поради стойността на ексцентричния тетраедър).

Доказателство (3).

Силата на степента (2) е мощността на бисектрисата, която се разпознава като

; .

§6. Пропорционални тетраедри

Пропорционално наречен тетраедри, за някои

(1) Бивисоти Ривни.

(2) Проекцията на тетраедъра върху квадрата, перпендикулярна на бимадиана, е ромб.

(3) Границите на описания паралелепипед са равни на размера.

(4) 4a 2 a 1 2 - (b 2 + b 1 2 -c 2 -c 1 2) 2 = 4b 2 b 1 2 - (c 2 + c 1 2 -a 2 -a 1 2) 2 = 4c 2 c 1 2 - (a 2 + a 1 2 -b 2 -b 1 2) 2, де аі а 1 , бі б 1 , сі s 1- Довжини на протежните ребра.

За да докажете еквивалентността на стойността (1) - (4), отбележете колко тетраедри са равни на височината на успоредника, който е същата проекция, ако степента на с,път, а скаларната добавка се усуква през ръбовете на тетраедъра съгласно формула (4).

Dodamo има две пропорции:

(5) За дермално движение на протолежните ребра на тетраедъра на областта, изтеглено през едно от тях, че средата на другото, перпендикулярно.

(6) В описанията на паралелепипеда на пропорционалния тетраедър е възможно да се впише сфера.

§7. Правилни тетраедри

Точно както ребрата на тетраедъра са равни на себе си, равни едно на друго ще бъдат и триъгълно, и двугранно, и плоско изрязване. В такъв случай тетраедърът се нарича правилен. Удивително е също, че такъв тетраедър е ортоцентричен, і скелет, і равен, і центричен, і пропорционален.

Уважение 1.

Ако тетраедърът е прав и има до един от тези видове тетраедри: ортоцентрични, рамкови, ексцентрични, пропорционални, тогава ще бъде правилно.

Бележка 2.

Тетраедърът е правилен, ако има два вида тетраедри от повторно увлечени: ортоцентричен, рамков, ексцентричен, пропорционален, равен.

Силата на правилния тетраедър:

Кожата е горната част на три трикутника. Otzhe, сумата от плоски kut_v с пикове на кожата до 180º

(0) В правилен тетраедър е възможно да се впише октаедър, като чотирите (от осем) лица на октаедъра ще бъдат една от чотирмата по лицата на тетраедъра, всичките шест върха на октаедъра ще бъдат един от центровете на шестте ръба на тетраедъра.

(1) Правилен тетраедър се сгъва от един вписан октаедър (в центъра) и chotiroh тетраедър (по върховете), като ръбовете на тези тетраедри и октаедри са в средата на ръбовете на правилния тетраедър

(2) Правилен тетраедър може да бъде вписан в куб по два начина, преди върховете на тетраедъра да бъдат изведени от хотерма от върховете на куба.

(3) Правилният тетраедър може да бъде записан в икосаедрата, при което върховете на тетраедъра ще бъдат събрани от икосаедрата от върховете на икосаедрата.

Завдания 1.

Приведете ребрата на правилния тетраедър да се сблъскат, взаимно перпендикулярни.

решение:

Хайде DH -височината на правилния тетраедър, точка H е центърът на правилния Δ ABC ... Проекцията на AD върху основната площ на ABC ще бъде BH ... Защото BH AC , тогава теоремата за три перпендикуляра открадна BD AC .

Завдания 2.

Дания правилен тетраедър MAVSс ръб 1.знаят как да бъдат прави ALі МО, де Л- средата на реброто MC , относно- Центърът на лицето ABC.

решение:

1. Станете две къщи с две прави линии - линията на перпендикуляра, спусната от една права линия, към зоната, успоредни прави линии и отмъщение на другата права.

2. Ще има проекция АКвидризка ALна площада ABC... Ploshchina AKLперпендикулярно на площта ABC, успоредно на правата линия МОи директно отмъщение AL... Значи, довжина, що да се шегуваш, е перпендикулярът на довжина НАотпадна от точката Опреди АК .

3. Знаем С Δ KHA по два начина.

S Δ = .

Отстрани: С Δ KHA =

към това ρ.

Ние знаем НА : ρ= .

Завдания 3.

Пиратство трико ребро кожата PABCедин 1; BD- Висота на трикутник ABC... Равностранен трикутник BDEлежи до мегдана, ще оправя кута ϕ с разтриване AC, и точката Пі Ележат един по един от квадрата ABC... Познайте точката между точките Пі Е .

Решение. Oskіlki всички pіramіdi ребра PABC rіvnі, tse правилния тетраедър. Хайде М- център на основата ABC , н- ортогонална проекция на върха Еедностранен трикутник BDEна площада ABC ,К- среден BD ,Ф- Основата на перпендикуляра, изпусната от точката Едо горе PMтетраедър PABC... Така че як ЕК BD, тогава теоремата за три перпендикуляра НК BDкъм това EKN- Линеен кът от двустранен кът, покрит с квадрати ABCі BDE, И тъй като NK || AC, тогава EKN = ϕ ... Дали маймо:

BD = , MD = , KD = , BD = , PM = ,

КМ = KD - MD = - = , ЕК = BD · = , RU = ЕК грях ϕ = грях ϕ ,

NK = EK cos ϕ = cos ϕ , MN 2= NK 2+ КМ 2 = cos 2ϕ + ,

PE 2= EF 2+ PF 2= MN 2 + (PM - MF)2= MN 2 + (PM - EN)2 =

= cos 2ϕ + + ( - грях ϕ )2 = cos 2ϕ + + - грях ϕ + грях 2ϕ == + + - грях ϕ = - грях ϕ = - грях ϕ .

Отже,

PE = = .

Завдания 4.

Познайте kuti mіzh с преодоляването на страните на тетраедъра.

Решение.

Випадок номер 1.

Хайде BKі DF- Висящи лица ABCі BCD. BK, FD = α ... Показателно е ребрата на тетраедърния як а... Свършен FL || BKТоди α = DFL . , KL = LC.

Δ DLF :

; ; ; .

Випадок № 2

BKі CN- Висящи лица ABCі BCD... Свършен FP || CNі FL || BK . ; ... Ние знаем LP .НАПРАВЕТЕ- Visota на правилния тетраедър, НАПРАВЕТЕ = , В- Проекция Пна площада ABC , . ,

Можем да напишем косинусовата теорема за Δ LFP :

Така че yak kut mіzh направо за viznachennyam gostry

Роздил II. Тетраедър в курсовете по математика в средното училище

§1. Съответна характеристика на wiklad от тези "тетраедър" сред учениците

В училищния курс по геометрия се въвеждат основите на тези "тетраедри", за да завършите един час. Методическите проблеми за провеждане на цикъла от тези на практика не печелят, както е известно на учените, но и пиратство (включително трикутна), като пропедевтичен курс по редица скали на съвременната математика, както и живот... Правилният тетраедър се свързва с плосък аналог - правилната триколка и равенството на страните от равни ръбове на ръбовете.

Въпреки това, има проблеми за тези, които са образовани, за да ги разберат учените, а малките манипулатори стават все по-силни по нови начини (в реда на теоретичния материал е по-малко вероятно да работим). Ще дам кратко описание на разширените геометрии на тетраедрите.

Виклад тези "Тетраедр" в помагалото "Геометрия" за 10-11 клас Атанасян Л.С. та в.

Имайте основенна асистент "Геометрия" за 10-11 клас на СОУ Атанасян Л. С. та ин. Информация за тетраедъра може да се намери в 7 параграфа (12, 14, 28, 29, 32, 33, 69).

Авторът на наръчника е да започне отгоре тетраедърен як, който може да се съхранява от триколки chotiroh. От теоретичната база на наръчника за 10-ти клас е възможно да се коригират знанията за лицата, ръбовете и върховете на тетраедъра, за причината за повторно свързване на тетраедъра по площта, като се изчисли площта на повърхността на тетраедърът, вкл. и засилената (гл. III, § 2 "Пирамида").

Теоретичният материал на манипулатора е много компактен и стилистично еднакъв. Адекватен теоретичен материал за разглобяването в практическата част на манипулатора (доказателствата на теоремите се извършват при работодателите). Практическият материал на манипулатора е разделен на две равни гънки (є т.зв. "Установяване на напреднали трудности", обозначено със специален символ "*"). В допълнение, в наръчника на наръчника има книга с проблеми, поради високата степен на сгъване, тези, които струват тетраедър. Deyakі deyakі zavdannya pіdruchnik.

Virіshennya задачи.

Завдания 1 (No 300)... На правилната trikutny piramidі DABCпетна Е, Ф та П- средни страни пр.н.е , AB та АД... Погледнете гледката, която отменя и познава тази област, където страната на основата е по пътя а, обикновено един ръб б.

Решение.

Ще надхвърлям зоната, преминавайки през петънцата Е, Ж, П... Ще проведем средната линия на трикутника ABC , EF || AC ,

EF || AC,а А ° Слежи до мн.ч. д CA, да означава EF || мн.ч. DCA.Областта надхвърля ръба DCAправ PK.

Защото зоната прелива, за да премине през права линия EFуспоредно на областта DCAи препълваща зона DCA,след това линията pereretin PKуспоредна на права EF

Стойте на ръба ИАЛ vidrizok FP,но в лицето BDC - vidrizok ЕК.Чотирикутник EFOKі є shukaniy pererez. EF || AC, PK || EF || AC, , , да означава.

Защото PK || EF и PK = EF,тогава EFPK -паралелограм. В такъв ранг, EK || EP, EP -средна линия на триколка BCD, .

Kut mіzh с shreshuvalny прав DBі CAврата 90 °. Донесох ти це. Zbuduєmo visotu piramidi НАПРАВЕТЕ... Спек О- центъра на правилната триколка ABC... Удивителен видризок BOдокато се поръси от страната на zi ACв точката М... На правилната триколка ABC: BM- височина, медиана и бисектриса, от същото. Mahmo, scho, точно отвъд познатата перпендикулярност на правата тази област Тоди.

Защото , PK || CAі ЕК || BDтогава th EFPK- Праворез.

.

Завдания 2 (No 692).

Pіdstavoi pіramіdi е изправена триколка с крака аі б... Кожата на нейното бично ребро се заздравява до областта на основата под разреза. φ ... Знайте obsyag pіramіdi

решение:

ABCD -пирамида, кут ABC -правоъгълна , AC = b, BC = a,кути DAO, DBO, DCOнива. Ние знаем V DABC0.

1) ∆DAO = ∆ADC = ∆DBOот страната на гостром кут, знач AO = OC = OB = Rкола описва bіlya ∆ABC.От ... ∆ABC -правоъгълна, тогава .

2) З ∆ DOC : ; .

3) ; ; .

Виклад тези "Тетраедр" от манипулатора "Геометрия" за 7-11 клас Погорулова A.V.

О.В. Погорулова и в. Теоретичният материал в този свят може да се намери в параграфи 176-180, 186, 192, 199, 200.

В точка 180 "Правилни джанти" има значението на "правилния тетраедър" ("Тетраедърът е триъгълна пирамида, в която всички ребра на ривна"), доказващ действията на силата и теореми за парада, илюстриран от креслата на тетраедъра. Въпреки това, за целия новодошъл, акцентът върху vivchenny фигурки не е поставен и в целия смисъл на тази информация (стопроцентов тетраедър) може да се оцени като нисък. Практичен материал на манипулатора е да се отмъсти на гърба на редица сгради, така че да има пиратство, в основата на такъв дизайн на трикутник (който се основава на същността и тетраедъра). Да се ​​надяваме, че оставим razvyazannya deyaky zavdan.

Virіshennya задачи.

Zavdannya 1 (No 41 от т. "Polyhedra").

Основата на пирамиди - tricytnyk клинПри което основата е дълга 12 см, а страничната страна е 10 см. Двете страни са снабдени с основата на двустранната кути, която е поставена на 45°. Знайте височината на пиратството.

решение:

Начертайте перпендикулярно ТАКАкъм основната площ и перпендикулярно SK, SMі SNкъм страни ΔABC.Тоди за теоремата за три перпендикуляра Добре пр.н.е., ОМ AC и ON AB.

Тоди, SKO = SMO = SNO = 45 ° - yak lіnіynі kuti danih двустранен kutiv. Отже, правоъгълни триколки SKO, SMOіSNO rіvnі на крак и gostrom kut . Така че уау OK = OM = ON, tobto point относноє център на вписан в ΔABS.

Виразимо квадрата на ректума ABC:

Отстрани , . Така че уау ; OK = r = 3 div.Така че як на триколката с права коса SOK gostry kut dorivnyuє45 ° , тогава ΔSOKє Ривостегновим і SO = OK = 3 (см) .

Zavdannya 2 (№ 43 от т. "Obsyagi bagatogrannikiv").

Знайте за'єm piramidi,, две кути yakogo a ta β; радиус на описания кол Р.Бични ребра по ръба до областта на основата върху разреза γ.

Решение.

Трептенията на всички биши на ребрата се издигат към областта на основата от самия кут, след това височината на О 1 Опреминете през центъра на описаната основа на кола. Така че уау

При ΔABS.Тоди е лесен с теоремата за синусите

Така че уау , , =

=.

Зона за трико за мъже :

Тоди .

Виклад тези "Тетраедр" при асистент "Геометрия" за 10-11 клас Александрова А.Д.

Александров А.Д. че в. „Геометрия: водач за училище 11 клас. с нека погребем vivchennyamматематика". Okremikh параграфи, приписани на тетраедър в един манипулатор, не е протест е с оглед на фрагменти от тези параграфи.

По-горе тетраедърът е отгатнат в §21.3. В материала на параграфа е разгледана теоремата за триангулацията на багажогранника, както на дупето е показана триангулацията на непрозрачната пирамида. Самото разбиране на "багатогранник" се тълкува от манипулатора по два начина, другият начин е, че разбирането е обвързано с тетраедъра: "Полиедърът е тсе за пост, но до края на броя на тетраедрите ... ". Да знаете как да стигнете точно от дясната страна на аспектите на deyakie на симетрията на тетраедъра можете да намерите в §23.

Раздел 26.2 описва стазиса на теоремите на Ойлер („за правилните линии на подгъва“) за правилни многостени (включително за тетраедър), а §26.4 разглежда симетриите, характерни за фигурите на cich.

Също така, при манипулатора можете да знаете информация за средната линия на тетраедъра, центъра на масата (§35.5) и класа на тетраедрите с еднаква дължина. Рухите от I и II вид са показани в новините за тетраедъра.

Vіdmіnnna на ориз pіdruchnik - висока naukіst, тъй като авторите са били далеч от наличните moo и ясна структура на wiklade. Да се ​​надяваме, че оставим razvyazannya deyakim zavdan

Virіshennya задачи.

Завдания 1.

Wu qiu правилно trikutnu ще увелича моятаЗад ръба на a можете да поставите сфера, която да докосва всички ръбове, и сфера, която да докосва всички ръбове. Познайте страните на основите на пиратството.

Решение.

Можете да си представите на стол върху пиратство. Tsia piramida, - височината на "povnoi" piramida, - нейната част до горната основа на усилването. Завданието е изградено до планиметрично, освен това не изисква малко количество данни от сферите. Защото можете да напишете сфера в увеличената пирамида, така че всички ръбове да могат да бъдат включени, след това її bichnu ръбможете да въведете colo. Явно, (за лекотата на навпил) и за описания chotirikutnik otrimaєmo, scho, stars

От вписания кръг на випля, който е много ясен, изброен в трапеца (- апотема на "повнои" пирамиди), така че центърът да лежи в средата, и същият три странитрапец.

Центърът на охладителя, това е точката на усукване. Тоди ... Virazimo ti стойност чрез i. Z:. Z:. трапеция: ... Otrimuєmo Rivnyannya:

.(2)

След като разработихме системата от ривняни (1) и (2), можем да дадем да се разбере, че страните са готови да тръгват.

Завдания 2 .

Цялата среда на правилен тетраедър с ръб а roztashanі chotiri rіvnі сфери, така че дермалната сфера се присъединява към трите сфери и трите лица на тетраедъра. Познайте радиуса tsikh galuzei.

Решение .

Tsei тетраедър, - yogo visota, - център на сферите, - точка за пресичане направо през областта. Удивително е, че в центъра на селските сфери има много земя, в далечината от нея в селските райони х). Това означава, че областта е успоредна на това.

Ale yak е височината на правилен тетраедър с ръб; як висота на правилен тетраедър с ръб 2 х ; .

Висящ от поглед. Удивително е, че точката се намира в средата на триъгълния разрез и навън от страните до върха, а равнината на разреза на триъгълния разрез е готова за работа. Не е важно да отримат тези, що. Елате преди ryvnyannya:

прошката ще бъде призната.

Виклад тези "Тетраедр" към помагалото "Геометрия" за 10-11 клас Смирнов І.М.

Vikladennya от тези "Tetraedr" при водач за 10-11 клас от хуманитарния профил Смирнова І.М. задачи като заети: 18, 19, 21, 22, 28-30, 35.

Пишейки теоремите за тези, че "Skin opucleus cannabis може да се сгъне от пирамидата от горния връх, чиито основи са поставени на повърхността на сенника", теоремата на Ойлер може да се види за хората с такива тристранни теореми , тетраедър.

Pіdruchnik tsіkaviy tim, как в нов поглед върху топологията и топологично правилните джанти (тетраедър, октаедър, икоседър, куб, додекаедър), което е показано в новата теория да се огражда зад допълнителната теория

Krym tsyogo, при манипулатора, посетителят беше насочен към „правилната пирамида“; да разгледаме теоремите за вписаните и описани сфери на тетраедъра, действията на силата на симетрията, как може да се намери тетраедърът. Върху заетия затворник (35) се индуцира формулата за значението на tricte piramidi obsyagu.

За tsyogo новодошълхарактерен голям дебат върху илюстративен и исторически материал, както и малък дебат върху практически материал, приближаващ се от дясната страна. Водачът на Смирнов І.М. и за 10-11 клас природонаучен профил.

Виклад тези "Тетраедр" от манипулатор "Геометрия" за 10-11 клас на Смирнов І.М. че в.

От началото на началото на началото на книгата трябва да можете да съставите тези и повече сгъваемост на привържениците до датата на новата сграда. Vidminnoy специален viklada material є rozpodil yogo за "семестър", като приятел на chotiri. Тетраедърът се отгатва в първия параграф („Въведено в стереометрията“), разбирането за „пирамидата“ се появява в §3.

Як в предна ръка, практичен материал за допълване на тоягата с розетка от стереометрични фигури. В материала §26 може да се знае теоремата за сферата, вписана в тетраедъра. Теоретичният материал, който тетраедърът трябва да има, всъщност е изграден с материалите на манипулатора, характеризиращ се с вътрешностите.

Virіshennya задачи.

Завдания 1.

Познайте най-краткия път на повърхността на правилния тетраедър ABCD z'єнує точка Еі Ф roztashovani на височините на върховете на 7 cm от върховете на тетраедъра. Ръбът на тетраедъра е широк 20 см.

Решение.

Ясно се виждат три лица на тетраедъра. По най-малкия начин ще срещнете, Еі Ф... Yogo dozhina dorіvnyuє20 cm.

Завдания 2.

В основата на paramount е права триколка, единият крак е дълъг 3 см, а кошарата, която е склонна към новата, е 30 градуса. Закрепени ребра по ръба към областта на основата на 60 градуса. Знайте obsyag pirady.

Решение.

Триколка зона ABC dorіvnyuє. За височината може да се използва средата. Трикутник SAC - равностранен. .

Zvidsi, otzhe, obsyag pіramіdi dorіvnyu.

Висновок.

Ориз Vidminnoy от шепата на Atanasyan L.S. че в. е тези, които са готови да завършат рано тетраедъра, материала за целия курс и идеите в старите гънки. Помощник на О. В. Погорулов. Материалът на розетката е компактен, разбирането за "тетраедъра", подобно на разбирането на необятните фигури, е въведено в същността (например 10-ти клас), практически материал, изпълнения за манипулатор, малък обсяг. При асистент Смирнов И.М. че в. теоретичен материал, който е практически, аз не съм голяма работа, практическо развитие на ниско ниво на сгъване, манипулаторът знае много за материала от историята на математиката. При асистент Александров А.Д. че в. нивото на сгъваем материал е страхотно, самият материал е гъвкав, без практични сградиза да отмъсти за част от теорията на деяка, е екстремно завдание и завдание вгледади храна, което се вижда ярко и на най-малките.

§2. Testuvannya Rivnya развитие на просторна мисия в училищата на средното училище

Интелектът е приоритет до началото на деня, защото е привлечен от всички хора. Някои хора го мислят с по-голям свят, а други - с менша, протестират срещу кожата на човек с дълъг живот, здравето да може да се получи практически без промени. Самите умове на интелекта изграждат правилните деца и те идват в гробовете си.

Психологията на интелекта започва като изграждане на знания и използване в първите, принципно нови ситуации. В съзнанието на теста можете да видите много, ако можете успешно да адаптирате човек към безпрецедентни ситуации. Стойността на нивото на интелектуално развитие в viglyadі тесто - за да завърши важността и ума за часа на робота, в текста на робота vikoristovuvati има част от методологията за тестване на интелигентността, която предоставя информация за развитието на хранене за развитието. Обширността на целта е специфичен вид мисионерско изпълнение, но е много лесна за развитие на сградата, което ни позволява да се ориентираме в практическото и теоретичното пространство (както изглежда, така и изрично). В nairozvinenіyh форми на целта на погрешно тълкуване, в които има много сила и свобода. Опериране с външни образи, разработени на база на развитие, с цел запазване на техните възгледи, трансформиране и вкореняване на нови образи, възникващи видове изходящи.

Vikorisovuvaniy тест („Мини-тест за разработване на просторна цел“ от „Първи тест за ефективност в развитието на интелигентността“ от Ф. Картър, К. Ръсел) е универсален за всички порочни групи и взети назаем малки суми пари за един час. Текстът на теста на този ключ може да бъде намерен в "Додатка №1" преди дипломата.

В правилния тетраедър всички двугранни кути с ребра и триъгълни кути в върховете на pivn

Тетраедърът има 4 лица, 4 върха и 6 ръба.

Основните формули за правилния тетраедър на ориентиране в таблицата.

от:
S - Площ на повърхността на правилен тетраедър
V - обсяг
h - висота, спусната до основата
r - радиусът на кола, вписан в тетраедъра
R - радиус на описания кол
а - ръбът на реброто

Практично дупе

Решение.
Трептенията на всички ребра на трико пирамидата на ryvn са правилни. Площта на повърхността на правилното трико пиратство на пътя S = a 2 √3.
Тоди
S = 3√3

Преглед: 3√3

Zavdannya.
Разтегнете ребрата на правилния трико пирудин до дължина 4 см.

Решение.
Oskіlki в правилния trikutnіy pіramіdі vysota pіramіdi проект до центъра на основата, който едновременно е центърът на описания кол, след това

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3

По този начин височината на OM може да бъде намерена от правоъгълната триколка AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √ (32/3)
OM = 4√2 / √3

Знаем за формулата V = 1/3 Sh
За определена област основата е известна по формулата S = √3 / 4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2 / 3

Преглед: 16√2 / 3 см

Светлинният модел е два тетраедъра от светлина, които се събират.

Ще преминем към най-подходящия курс, но и към най-подходящия курс: модели на два подобни тетраедъра svitobudovi... Разкъсват ни онези, които са лишени от него, и дори за кратко, някои от победите на модела в общото общество на великия курс. Веднага описваме лишаването от основните речи, които са необходими за рационализиране на процесите при прехода от 7-ми ден на сътворението към 8-ми ден, по-нататък към 9-ия и 10-ия ден.

Модел на подобни тетраедри:

• метафизичен , най-мащабният модел на Будови свиту, който ще опише загален принциппредизвикват бъде-подобна реалност в нашите svitobudov;
• tsilova модел, който описва взаимодействието на всички елементиче основните принципи от външния вид на творението;
• универсален моделът, който е подобен на системата, е такъв: всичко е така управлявано - лудин, семейство от двойка, било то група и дух.

Съюз на Авраам

Qia модел Bula vicladena от Бог на прародителя Авраам преди потъването spіlki mіzh rozsіchenih елементи:

Казах ви: Аз съм Господ, шхо ви вивив от Ур Халдейского, за да ви дам земята за Володиня. Вин каза: Господи Владико! Защо трябва да знам, защо съм готов да й помогна? Господ ти каза: Вземи ми троица юница, троица коза, троица овен, гургулица онзи млад гълъб. Спечелете признаване на успеха, rozsik и navpil и от една част против; само ptahiv не rositnuv. Летях върху труповете на колибата на птиците; Але Аврам Видганав їх. Когато дойде сън, един сън нападна Аврам, и ос нападна нов жах и голяма тъмнина. Казах Господ пред Аврам: Знай, че твоята земя няма да бъде твои собствени ориентири в земята и няма да искаш да се чувстваш като теб, и ще ги изгониш от чотириста и аз ще съдя хората, които ще имат воня в робството. за смрадта излез от голямата алея и ще отидеш при бащите си при светеца и ще бъдеш похвален от добрия старец; четвъртият вид трябва да обърне смрадта тук: светът на беззаконието на аморейците все още не е напомнен. Ако дойде слънцето и дойде темрявата, оста на дим ниби от печката и половината огън минаваха през бръсначните същества. През целия ден Господ зависи от Аврам...
(Бутия 15: 7-18)

Такъв Синодален превод, а тук става дума за юницата, козата и овена (овена) се казва, че вонята е троица. Смисълът обаче е далеч от текста на иврит, сякаш поставя поколение на премествания в bezwihіd. На иврит се пише מְשֻׁלֶּשֶׁת ( проникване), буквално "трикутна" или "трикутник" (за юница, че коза, женско раждане) и מְשֻׁלָּשׁ ( мишулаш), "Trikutny" или "trikutnik" (за овен, cholovichy раждане). По принцип думите tsi могат да се пренаслояват, както и „разточителни“, „разточителни“, „три пъти“; в еврейските преводи на руския език е възможно да се създаде вариант на "три части". Alle, основното значение все още е свързано с триколка: tricytnyk, това е въпрос на правене на униформа.

Изглежда буквално текстът на Библията звучи така:

... вземи ми трико-юница(Прочети трикосова юница), триколка коза(abo трикратна коза), трикутник-рам(abo трико овен), гургулицата тази на младия гълъб.

Веднага след като текстът се види правилно, трябва да се предположи, че Авраам е станал вещицата на Шумер и шумерският математик може да достигне най-високото ниво. От страна на іnshogo, vіn buv е представител на културата на говедата. Такъв ранг, Авраам, на пръв поглед интелигентност, геометрични образи и терминологията на животните е близка до него.

Нека се чудим отново на формулата עֶגְלָה מְשֻׁלֶּשֶׁת, трико юница... Логично, тя може да се види не по един, а по два начина. Първото е тяло, подобно на трикутник, що макутну форма, тобто. nіsenіtnitsya. Друг начин - трико като юница... Прочетете повече от нашата информация, валидна е друга опция. Очевидно една гургулица, която синя е също инвентар от фигурки, подобни на този на син гълъб. Бог изглежда е:

... вземете трицитник, хитро за юница, трико за коза и трико за овен, а също и за гургулица - това за млад гълъб.

Защо бръмбарът трико може да изглежда като юница, коза или овен? Zagalom не е, с изключение на едно: размер... Юницата (кравата) - е още по-голяма, козата е осеяна с менша, овенът (овена) е по-малко от. А гургулицата е синя, редът им е още по-малък, на практика петънца. В този ред стигаме до идващия стол, както Бог показа на Авраам:

Сега необходимостта от интелигентност, което означава "rosіkti navpіl". Явно разпределението на триколката не е много важно, достатъчно е да се "разработи" по правилния начин. Например, visota разбива триколката на двама правоъгълна триколка... Елът, с много вино, неизбежно ще се привлече в неговата напълно справедлива форма. Ако обаче триколката не е като безкрайно тънка фигура, а като материална плоча, която е по-естествена (това е по-естествено за математически погрешно обозначение на тази епоха), тогава има друг начин за вдигане: разцепване на плочата... Как да разделим едностранно трикутну плоча в района, ми отримаем две равностранни триколки udvіchі menshoї tovshchini:

Нагледно от нашата информация, същото „решение“ е показано на Авраам.

... Vіn uzyav usіkh їх[три трицита и две точки] , росик їkh навпил[като раздели триколките на вдовж ихної площ] і изместване на една част срещу іnshoї; само точките не са roscik[и разпредели две точки до една от другата страна].

И oskіlki roztin vіdbuvavsya "общо", вдясно, перпендикулярно на зоната на триколката, тогава размерът на "navproti one one" е логично ochіkuvati в същото дясно. Идвам преди предстоящата конфигурация:

Обновете браузъра

Същият фотьойл, ръководен от нашата информация, Бог показа на Авраам, ако положи от него прочутото „съединение между различни части“. Две половини на "юницата" - цената на долната основа на долния тетраедър и горната основа на горния, половинките на "козата" и половинките на "овена" - целите 4 трицита, уловени в цикълът на тетраедъра, нареши, "гълъб" и "синьо" - горният і долният връх на горната розетка един срещу един.

Структурата на модела на два тетраедъра

Tse модел два тетраедъра, как да се сближат, ще опиша структурата на светлината и промените в процеса на промяна Дните на сътворението. Ако сте изумени отгоре, тогава горният тетраедър ще се появи завъртян на 180 ° спрямо долния и нека проектът ви отведе до правилния шестоход - хексаграма или окото на Давид (две точки - "птици" В центъра):

Обновете браузъра

Има модел на два тетраедъра svitobudovi skladnіsha, nіzh витае около фотьойла. Ако искате да промените модела, трябва да направим стола по-лесен:

• два тетраедъра разруха nazustr_ch едно към едно, които фиксират зоната на повторна циркулация;
• по ребрата на тетраедрите и отстрани на триплетите chotiroh 38 ключови точки или елементи;
• peretin два tetraedrіv одобряват обхвата на присъствието на Шехини.

Axis yak viglyadaє tsya конфигурация за 7-ия ден от сътворението (търсеща се удивен от конструкцията tsyu отпред и отгоре):

Обновете браузъра

Долната конфигурация се показва в цвета с допълнителни линии, за да могат да се намерят ключовите точки. В горната част на предната седалка, ето централната проекция на використана: изглежда, че е в центъра, между основите на тетраедрите, така че горната основа на горния тетраедър е над него, а долната основа на долният тетраедър е под него:

тетраедър
שמיים
(Шамаим)
небето

тетраедър
ארץ (Ерец)
Земята

יצר (Єcer):
ствол, творчество

אב ולב (Av ve Lev):
точка на индивидуална вибрация

שלום (Шалом):
баланс,
интегритет

דין (дин):
закон, идеал,
тези, които правят
ботуша

אמת (Емет):
истина,
реалност,
тези що є

נשמה (Нешама):
здраве
преди разбирането,
мисия

גוף (Guf):
материализация, ангажираност

עוז (Оз):
усилие, енергия

38 ключови точки(малката миризма на изображения на цветни чанти) всички основни категории, за елементите на плячката... Точка на кожата елементИмам собствен ум на иврит и собствен нетривиален магьосник. Mayut усеща линии, vdovzh от различни точки. петна- елементисъберете се модули, както можете да ударите малкия:

• прави линии, в които има още две точки - модули от първи ред;
• правилни триколки - модули от различен ред;
• Правилните тетраедри са модули от трети порядък (включително два големи тетраедъра).

Възможно е да се pidrahuvati: има редица тетраедри, модули от третия ред, 12, tobto. броят на колониите на Израел. Tse 2 големи тетраедри, 4 тях pіdtetrahedra, поставени от горните/долните върхове и трицити към rerіs, както и 3 малки тетраедри в "kuts" на големите тетраедри, определени от един от върховете на основата на тетраедра ( в долната страна на тетраедъра) в долния тетраедър на Червони) и в най-близкия връх на голямата триколка перерезис (в долния тетраедър на Помаранчев).

Всички модули, като точки-елементи, могат да бъдат много значими; stench описват основния принцип на взаимодействие на елементите. Жалко, изобщо не можем да го направим; същата тема за курса.

Разрешено е да се описва конфигурацията на Qia бъде своеобразен процесв светлината на статиката и в динамизма ще видя как Създателят мисли за това.

Значително кратко:

• горният тетраедър се нарича שמיים ( Шамаим), което означава "небе" от първия стих на Библия ( "Бог отвори небето и земята върху кочана", Бутя 1:1);
• долният тетраедър се нарича ארץ ( Ерец), tobto "земя" от същия стих;
• горният връх на долния тетраедър се нарича יצר ( Etser);
• долният връх на горния тетраедър се нарича אב ולב ( Av ve Lev).

Обозначените два върха ще бъдат важни за следващия уикенд. (В пророчеството на Авраам, tsé ti sami „не са израснали птици“.)

Показателно е също, че в цялата конфигурация има 6 хоризонтални зони, върху които има 6 хоризонтални триплета, които показват различните части на трите близнаци на Авраам: долната основа на долния тетраедър, горната основа на горния тетраедър . 6 зони разделят цялото пространство на 7 зони, или rivnivплощ на долната долна основа, 5 зони между областите и областта на горната основа. Има 7 области до необятността - не толкова іинше, як 7 ривнив свитобуди, описано в уводната статия "Менората, или седемте свята на света".

На снимките те написаха, за илюстрация, повече от 6 точки - върховете на горния и долния тетраедър. Най-долните три също са отчасти известни с тях. Нешама, Gufі Оз, върховете на долната основа, - трите поддържат всички тези Менори. Там вонята се нарича три стълба на светлината, а на фотьойла вонята е просто "подстригва сама" цялата конфигурация на светлинния модел. Nagadaєmo, scho qi три точки се описват с формулите "всичко е без ротация" ( Нешама), "Всички материали се правят" ( Guf) і "всичко расте" ( Оз).

На фотьойла има триколка е основата на долния тетраедър, чийто горен връх се нарича Єcer, Scho означава „стъблото на chogos, творчеството“. Tsei тетраедър за нас tezh znayomiy - tse Тетраедърът на Ной, описания при разпределението на урока "Ной, че синьо". Ноа, Або хармония, показани върхове Єcer- лишени от хармонията на подвижността, правилния процес на създаване. Шим, етика- це Нешамада се изгради до разбиране; Яфет, естетика- це Gufтака че формата да е свързана с материала, а Хам, енергетика- це Оз scho буквално означава бутане, енергия. Взаимовръзката е нетривиална и може да бъде по-смислена, но в същото време краят на курса. Нека се обърнем към описанието на тетраедрите като zalom.

Сфера на присъствието на ШехиниЩе ви покажа, че в някои елементи можете да видите и видите присъствието на Създателя. Чи сферата е предназначена за вътрешното пространство, спално пространство за два тетраедъра. На фотьойла тетрадката „влиза“ едно към едно с пеещия свят; Сфера, за да отмъсти на целия регион. Математически, сферата се подканя, като на диаметъра, на ръба, където има два тетраедъра Єcerі Av ve Lev; върху креслата на центъра на изображението в зелен цвят (нов браузър).

Взаимодействието на хората и Създателя в модела може да се опише с такива правила.

1. Лудин не може да се позира и да види присъствието на Създателя в ключовите точки - елементите на светлината, така че сферата на Шехин да лежи в позата.
2. Людин може, поради необходимостта, в резултат на усвоения избор и диалог със Създателя, да докосне и да види присъствието на Твореца в ключовите точки - елементите на светлината, които лежат на повърхността на сферата на Шехин.
3. Накарайте Людин да знае и да види присъствието на Създателя в ключовите точки - елементите на светлината, които се намират в средата на сферата на Шехин.

Забележително: взаимодействието със Създателя и изливането на свитобуда при 2-ра и 3-та изходка не е чудя се, Цената е нормална, абсолютно обикновен робот! чудо (на иврит נס, носени) - це виняткова ситуация, пряко участие на Бога, не заобиколен от ценова схема.

Модел на два тетраедъра в динамиката

Сега инструктирайте часа да обясни на кого моделът трябва да се нарича модел подобен tetraedrіv. Вдясно, в случай на преходи на кожата от 7-ия ден на сътворението към 8-ия ден, от 8-ия към 9-ия и от 9-ия до 10-ия два тетраеди да се ядосвам един към един: Ерец(Земя) та Шамаим(Небето) се приближава, все повече и повече се извива едно по едно. В същата точка Єcerі Av ve Levразпръскване, otzhe, zbіlshutsya obsyag Сфери на присъствието на Шехин .

Tetraedri svitobudovi: Ден 0

Беше лесно да се види как моделът се промени от два тетраедъра към ухото, от 1-вия ден на сътворението. И по-точно да навигирате не от 1-ви, а от 0-ти (Нулев ден). Це не е прошка. От нашата информация, първият стих от Библията не се носи до първия ден, а преди ситуацията преди седемте дни на сътворението като тази, до ден нула. Axis cei virsh:

На кочана Бог отвори небето и земята.

Вече имаме предвид потоците на времето (божествен вишдил "Кочан"), но "земя" и "небе", предназначени за целия свят, а не за нашата планета и небе. Ясно е, че Бог ни го е дал, за да въведем отново разбирането за „небе“ и „земя“, като му придаде значението: „Аз нарекох Бога“ звезда „небе...“ (Бутия 1:8), „Нарекох Бог сух земя земята ... ”(Бутия 1:10). небето(На иврит shamaim) че Земята (ерес) от един куплет - цената е същата. Mi stverdzhuєmo, ето, че започваме творчески два метафизични тетраедъра на светлината... Inakshe kazuchi, смисълът на 1-ви стих от книгата на Buttya ще започне:

На кочана (до 1-вия ден на сътворението) Бог е отворил тетраедъра на свитострои Шамаим и тетраедъра на свитобуди Ерец.

Axis ci tetrahedri - не използвайте и не връзвайте помежду си:

Обновяване на браузъра Обновяване на браузъра

Tse roztashuvannya vіdpovіdaє ситуации, ако проектДесет дни още не се е разлюляло, още не е излязло от вътрешния си ред; според предишната дата ПроектътЩе се превърна в хаос: " Земята и [тук] Була - сумятя и запустение, і темрява над лицето на без един, і Божията витає над лицето на водите ...(Бутя 1: 2, преведен от Фрими Гурфинкел).

Тетраедри свитобуди: Ден 1

В 1-вия ден на сътворението, на мястото на хаоса ще дойде ред:

Казах на Бог: Нека бъде светлина. Станах лек. И като дадох на Бога светлина, добре е, і като видях Бог светлина от темряви. Аз наричам Бог светлина ден, но темряв през нощта. 1-ва вечер, I Buv Ranok: един ден.
(Бутия 1:3-5; тук и в далечината се обръщаме към Синодалния превод на Библията)

Очевидно целият текст ще се яви на истинския, който е видим за нас. Е, сегашната ми космология може да се опише по следния начин: Великият Вибух беше създаден и новото поколение на Allworld започна да се развива в съответствие със законите на физиката. Увяхването, светлината (viprominuvannya) се виждаше от майката (малка част от света), а цялата светлина беше разпределена в светлите и тъмните области (първичните галактики и пространството между тях). Нашият етикет обаче не е физически, а метафизичен, интелигентността на библейското развитие, проблясъкът на метафизичните процеси, които се представят като космологични процеси и лъжливостта на еволюцията на нашата планета. Ще се концентрираме върху метафизичното хранене; тъй като храната вече е започнала в "Pochatok" razdіlі, интелигентността на Библията от физическа гледна точка е назначена без никакъв късмет на деня.

В модела на тетраедрите във всички подкатегории на метафизичните категории светлинаі темрявида се появят при този, че тетраедрите са заели строго пешеходен лагер един срещу друг, едно "згори" ( Шамаим, "Небе"), инший "отдолу" ( Ерец, "Земя"), освен това те са успоредни (и въртенето е едно към едно на 180 °), а долният връх на горния тетраедър лежи строго над горния връх на долния:

Обновете браузъра

Подил светлинаі темрявиотбеляза ухото Проектът, който ще обсъдим в края на курса: проектът на Десет дни на сътворението.

Тетраедри свитобуди: Ден 2

На 2-рия ден на сътворението има структура, в нова има нови:

И като каза Бог: Нека има крипта в средата на водата и да видя водата от водата. Бог отвори криптата и донесе вода в криптите, от водата, над криптите. Ето как стана. Аз наричам Бог криптата небе. 1. Buv Evening, I Buv Ranok: друг ден.
(Бутия 1: 6-8)

Моделът на тетраедъра има razdіlyayuchі зона, и двете едновременно с площите на долната и горната основа на тетраедрите, те добавят цялото пространство със 7 rivniv, или "над":

Обновете браузъра

Тетраедри свитобуди: Ден 3

На 3-тия ден на сътворението Бог побърза към свитобудов, въвеждайки нови елементи: земята, морето, росата, „дървото“ зад вида на вида:

Казах на Бога: Нека водата дойде на небето на едно място и нека се появи земята. Ето как стана. И наричам Бога сушата, а водите на водите наричам морета. И да бия Бог е добре. И като каза Бог: Нека позеленее земята, трева, че това е земята, и дървото за плода, който трябва да даде плод за семейството, за което хората са на земята. Ето как стана. И земята разля зеленина, трева, засявайки хората след семейството, и дървото, което можеше да дава плод, при което се раждаха хората след семейството. И да бия Бог е добре. 1-ви Був Вечер и Був Ранок: трети ден.
(Бутия 1: 9-13)

Моделът има 38 ключови точки-елементи, изглежда, всички се появяват аспектсвитобуди:

Обновете браузъра

Тетраедри свитобуди: Ден 4

Основната промяна на 4-тия ден на сътворението е „включването“ на един час към проекта, стартирането на всички процеси с пеещи ритми: смяната на деня, нощта, месеца и рока. Казаха ни, че в момента да оправим първия път Нефеш.

И като каза Бог: Нека бъде светлина върху небесната крипта за края на деня през нощта, за знаменията, и за часовете, за дните, за скалата; и не мирише вонята, бъди леки на небесната крипта и свети до земята. Ето как стана. И като разтворих Бог две големи светила: светлина повече, за керуване следобед, і светлина по-малко, за кериране през нощта, і блясък; И поставям техния Бог на криптата на небето, как да светне до земята, і управлява деня и нощта, и вижда светлината от темряви. И да бия Бог е добре. 1-ви Був Вечер, I Був Ранок: Ден на четвъртината.
(Бутия 1: 14-19)

Прехвърляне от 3-ти на 4-ти ден на сътворението - це Перше преместване на тетраедри... Мирише zsuvayutsya nazustrich едно към едно, і vinikє сфера peretinu. Централната част от 7-те "повърхности" на светлината, които са създадени на 2-рия ден - четвъртините на деня, какъвто е случаят със седемгодишната картина на светлината от диалога до часа.

Обновете браузъра

Тетраедри свитобуди: Ден 5

На 5-ия ден от създаването структурата на модела не се променя; име, стадо свидетели.

Казах на Бога: Да разбием водата на плазуните, аз живея душата си; и не позволявайте на птиците да летят над земята, над небесната крипта. Бог отвори ребрата на великите и всяка душа от създания, пласуни, които бяха породени от водата, за техния вид, и всяка птица за вид її. И да бия Бог е добре. Благослови Господи, кажи: да се плодиш и да се размножаваш, напомни за водите в моретата, не позволявай на птиците да се размножават на земята. 1-ви Був Вечер, I Бъв Ранок: почти е ден.
(Бутия 1: 20-23)

Тетраедрите имат 8 най-фундаментални елемента: 4 върха на горния и 4 върха на долния тетраедър. Tse ti sami 8 men, както са били изписани върху цветния образен модел на 7-мия ден. Не повтаряме името на върховете на фотьойлите, но червеникавите точки са оцветени:

Обновете браузъра

Tetraedri svitobudovi: Ден 6

На 6-ия ден от сътворението ще получите името, стадо свидетели, също и всички ключови точки.

И като каза Бог: Нека земята погуби душата, аз живея за рода, мършавостта, и копелетата, и земните зверове за рода. Ето как стана. И като направи Бог да отвори земните зверове за ichnіm вид, і слабина за вида йо, и всички богове на земята за їchnіm вид. И да бия Бог е добре. Аз казах Бог: Нека хората могат да следват Нашия образ по Наше подобие, Аз не надушвам смрад над ребрата на морето, над небесните птици, над тънкостта, над цялата земя, над нас, влечугите , които плуват на земята. І като отвори Бог на хората за Неговия образ, след като Божият образ ги отвори; мъж и жена са ги отворили. И като благослових Бог, и като му казах на Бога: за да бъдеш плодовит, умножи се, напомни на земята, и володи я, і пан над морски ребра, і над небесни птици, і над кожни създания, і като площад на земята. И Бог каза: Ос ти дадох кожа трева, така е по цялата земя и на всяко дърво, толкова далеч от селото, така е на земята. - Ще бъдете добре дошли; и на всички земни животни, и всички небесни птици, и всеки плазун на земята, в който душата е жива, давам аз всички зелени билки в таралежа. Ето как стана. И като разтърсих Бога с мустаци, и като го отворих, і оста е добра. 1-ви Був Вечер, I Бъв Ранок: Първи ден.
(Бутия 1: 24-31)

Фотьойл тетраедри до 6-ия ден от деня ще бъдат лишени от тези, които някога назовават всички върхове. Името им да излиза извън обхвата на дадения курс; очевидно променяме ситуацията, като разбихме всички ключови точки с цвят:

Обновете браузъра

Тетраедри свитобуди: Ден 7

На 7-ия ден от сътворението система от тетраедри на завършена вигляда и Бог „вижда“ от Своите рефери.

Така че небето и земята, и всички неща са съвършени. И като уби Бог в този Негов собствен ден, тъй като Уин е здрав, и като спи в деня на този ден, целият Негов, като здрав. И като благослови Бога на този ден, като го освети и в това, че той се погреба във всичките Си божествени, както Бог поправи и създаде.
(Бутия 2: 1-3)

Моделът на тетраедрите на деня има ключов елемент: обхвата на присъствието на Шехини... Председателят на 7-те дни вече беше напътстван и подреден в детайли. Повторете го отново без подробности:

Обновете браузъра

Тук няма елементи (ключови точки), а лежат в средата на сферата на Шехини. Всички елементи са разположени или извън границите, или на повърхността. (Зад креслата можете да получите 3 бели и 3 петна, лежащи в средата на сферите, или просто да отидете в проекцията: заради вонята лежете върху повърхността на сферите.)

В авраамските религии подобна ситуация се обръща около идеята, че Божественото присъствие е преследвано от хората: ако само един човек е извън контакт с Бог и те могат по някакъв начин да общуват с Него.

Тетраедри свитобуди: Ден 8

На 8-ия ден от началото на конфигурацията на тетраедъра те се сближават едно към едно, така че в една област се появяват малки триколки, а върховете Єcerі Av ve Lev; (зелени точки за актуализиране на браузъра) "почиват срещу" основата на други тетраедри:

Обновете браузъра

В резултат на сближаването на радиуса на тетраедъра на сферата на присъствието на Шехин, на 7-ия ден, в 4/3 ≈1,33 пъти, и її obsyag, което символизира "частта от присъствието на Бог" в нашия живот , в нашия живот.

Тук петънцата са по-упорити, но лежат в средата на сферата на Шехини. От категорията “да се сетиш” и станеш абсолютно естествен като чувство. Елементите не са част от постмодалната връзка със Създателя. В такъв ранг сега кожачовек ще бъде влюбен в Бога.

В същото време елементите на позата се превръщат в сфера, тъй като не лежат пред хората и не се променят в такъв диалог, например физическите закони на Алианса. В края на етапа, както се казваше в секцията „Завдания десет дни на съзидание“, ще се формира единен етичен народ.

Тетраедри свитобуди: Ден 9

На 9-ия ден от работата тетраедърът е по-„всмукан“ едно в едно:

Обновете браузъра

Радиусът на сферата на присъствието на Шехин нараства, на интервали от 7-ия ден, на 14/9 ≈1,56 пъти, а її obsyag - на (14/9) 3 ≈3,76 пъти.

Инфекцията вече е Повече ▼елементите лежат или в средата на сферите на Шехин, или на повърхността. Освен това има повече категории светлина и те не са в много части от отношенията между хората и Създателя. Липса на много основни за разбиране - три предположения в подкрепа на svitobudov Нешама, Gufі Ози три типа категории на горния тетраедър Шамаим- zalishayutsya nemіnnim: вонята на поза "с инжектирана сфера" на диалога между хората и Бог. Tse да предизвика, както вече беше казано в раздела "Zavdannya десет дни на сътворението", преди появата на хора от нов тип, като нашите умове "надзор" - levitiv svitobudovi.

Тетраедри свитобуди: Ден 10

Нарещи, на 10-ия ден от работата на тетраедрите се „засмуква“ едно към едно максимум. Хні център, за да се разберете и отидете до чудотворната конфигурация, от къщата като частта от октаедра:

Обновете браузъра

Така че, като обикновен симетричен ръб, очевидно е, че сферата на Шехини (подкана, като в диаметър, върху два противоположни върха) Єcerі Av ve Lev) є описван от сферата на широкия октаедър. Tse означава, сега вече абсолютно всичкикатегориите светлина ще се появят или на повърхността на сферата на Шехин (върхът на октаедъра), или в средата (всички точки). Понякога на 7-ия ден радиусът на сферата на Шехин ще нарасне 2 пъти, а обсягът - 8 пъти. За максималната откритост на Божественото присъствие, максимална r_venвзаимовръзка между хората и Бог, за които асимилацията е позволено да се влее атмосферата и диалогът с Бога върху фундаменталната основа на плячката. Tse фолк Хората-Създател на Десетия ден от сътворението.

Людин Създателят, Адам Боре, сградата на spіvpratsі с All-important create svіti, формоване на нови опции Ерец(Небето) та Шамаим(Земята) е установено, че е разбита за циховете на всички закони. Графично така: точки Єcerі Av ve Levотиде далеч извън границите на основите на "умните" тетраедри, върховете на тетраедрите "прорязват" основите на един и формулират два нови "малки" тетраедри - потенциала Шамаимі Ерецнова светлина:

Отново ръководен, тетраедърен стол за chotiroh Дни на работа 7, 8, 9 и 10, отново, тъй като ключовите елементи са премахнати от сферите на Shekhin:

• цветът на името на червея очевидно е елемент, който лежи в позицията на сферата на Шехини (в точките на човек е невъзможно да се мушне и да се види присъствието на Създателя);
• Живеейки в цвета, очевидно е елементът да лежи на повърхността на сферата на Шехин (тук, заради нужда, хората може да са се научили да избират и да водят диалог със Създателя, да помагат и виждат присъствието на Създателя);
• зеленият цвят очевидно е елементът, който се намира в средата на сферата на Шехини (в тези точки на хората може да се види и види присъствието на Създателя).

7-ми ден от сътворението:

Обновете браузъра

8-ми ден от сътворението:

Обновете браузъра

9-ти ден от сътворението:

Обновете браузъра

10-ти ден от сътворението:

Обновете браузъра

В края е показан видеоклип, който е последният път, когато тетраедърът е изведен на светлина и отварянето на сферата Шехини:

За тези тихо, които искат да разберат точно геометрията на модела, водени от математическия анализ.

Въведен е декартова координатна система z Av ve Levі Єcer, и площта xy zb_gatimetsya зад областта на долната основа на долния тетраедър. Значително зкожно тегло от tetraєrіv Ереці Шамаим... Тоди:

1. две точки елементвърху кожата от трите страни на долната основа на тетраедъра Ерец dіlat tsei bіk на три равни части; по такъв ранг всички по периметъра на веригата от лица има 9 точки (включително върховете);
2. петънце елементвърху кожата от трите страни на трикутника, уловена в повторението на тетраеда Ерецдолната от двете зони (една от двете половини на "розовия" пророк на Авраам), удължава целия бик на две равни части; наведнъж по периметъра на триколката има 6 точки (включително върховете);
3. долна област, scho peretina тетраедър Ереці триколка, която е поставена в вдлъбнатина с 6 елемента по периметъра (една от двете половини на "розовия гози" на пророка на Авраам), разположен на р. z= 1 / 3 з(Една трета от общата височина на тетраедъра);
4. друга област, scho peretinaє тетраедър Ереці триколка, която е поставена в рецесия с 3 елемента на върховете (една от двете половини на "овена" на пророка на Авраам), се намира на р. z= 1 / 2 з(Поведение на тетраедъра);
5. горен връх Єcerтетраедър Ерец(една от двете „птици без гризачи“ от пророчеството на Авраам) z=з(tse е просто височината на тетраедъра, а основата е приписана на височината 0);
6. две точки елементвърху дермалните ребра на тетраеда Ерецразделяне на страната tsyu на три неправилни части в съотношение 3: 1: 2.

3 точки бі ° ССлед това малките триколки, като bachimo в конфигурацията на долната станция в долната част на страничните ръбове на тетраедъра, са плоски.

Горен тетраедър Шамаимима таку ж будову и розетката е централно симетрична на тетраедъра Ерец. Вътрешната геометрия на тетраедъра на кожата е следживотна и не се променя през 7-ия, 8-ия, 9-ия и 10-ия ден от сътворението. За смяна на лагера по оста z... Водено його за 7-мия и 8-ия ден.

На 7-ия ден от сътворението:

1. долу горе Av ve Levгорен тетраедър Шамаимбъди в ефир z= 1 / 4 з;
2. същото, горната основа на горния тетраедър Шамаимбъди в ефир z= 5 / 4 з(Необходимо е да добавите височината на тетраедъра, rіvnu з) - станете основите на тетраедрите за пътища 5/4 з;
3. бични ребра на горния тетраедър пресичат страните на триколката, уловени в рецесията на тетраедъра Ерецдругата (горната) от две области (долната половина на "овена" на пророка на Авраам) и е подобна за ребрата на долния тетраедър и симетричния трик ("овена") при тетраедъра Шамаим;
4. при tsomu nagaduєmo връх Єcerдолен тетраедър Ерецбъди в ефир z=з;
5. също се показва между точките Єcerі Av ve Levедин 3/4 з;
6. същото, радиус на сферата Шехини доривню 3/8 з, A її obsyg warehouseє 9/128 π з 3 ;
7. центърът на правилния тетраедър, както се вижда от изгледа, да лежи настрани на 1/4 зот основата, а tse означава, че кожата е от два върха Av ve Levі Єcerлежат точно в центъра на протолежния тетраедър; такъв ранг, стават между центровете на тетраедри, а също и пътищата 3/4 з.

Параграф алогично може да се даде от артикула ° С, което е очевидно от стола. Dіysno, друга хоризонтална равнина Ерец 3-елементна триколка (долната половина на "овена" на пророка на Авраам), при кръста с горния тетраедър Шамаимодобрява средната триколка на предната триколка, долната, долната, долната. И фрагментите на самата триколка с 3 елемента са по-малки за основата на тетраедъра, тогава средният трицитник в 4 е най-малкият за основата, тоест горната част Av ve Levгорният тетраедър се намира на 1/4 от височината на тетраедъра по-долу зад новия, tobto. на височина 1/2 з− 1 / 4 з= 1 / 4 з.

На 8-ия ден от сътворението:

1. долу горе Av ve Levгорен тетраедър Шамаимбъди в ефир z= 0 - спечели "вмести" в основата на тетраедъра Ерец; подобно, тетраедър Ерецдостигат до върха му Єcerгорна основа на тетраедъра Шамаим;
2. очевидно горната основа на горния тетраедър Шамаимбъди в ефир z=з- Въведете основите на тетраедрите на вратата (tobto. з);
3. другият по-долу е зоната на надминаване, но да при изпреварване на тетраедъра Ерец 3-елементна триколка ("ram ram"), zbіgaєtsya зад друга горна зона за прехвърляне, така че да, има аналогичен tricytnik на пешеходната пътека с тетраедър Шамаим(другата половина на "овена") - миризмата на обида е отгоре z= 1 / 2 з(две половини от "овена" от пророчеството на Авраам за ядене);
4. в резултат на това две 3-елементни триколки припокриват долния и горния тетраедър един по един, създавайки 6-елементна хексаграма (звездата на Давид);
5. се вижда между точките Єcerі Av ve Levедно нещо з;
6. същото, радиус сфера Shekhini dorivnyu 1/2 з, И нейният obsyg става 1/6 π з 3 - така че "обсягът на Божественото Присъствие" да се коригира според 7-мия ден на 64/27 ≈2,37 пъти;
7. centri tetraedrіv лежат сега на височините z= 1 / 4 зі z= 3 / 4 з, а между тях има път 1/2 з- Лошо на 7-ия ден, бързо ускоряване на втория път (3/2).

Z фотьойл, насочен към разстоянието за 9-ия и 10-ия ден от сътворението, също е лесно да се разхождате, но се вижда между точки Єcerі Av ve Lev(Равна на диаметъра на сферата Шехини) врата 7/6 зна 9-ия ден и 3/2 з 10-ти ден. През 7-ия ден, според 7-ия ден, приблизително (14/9) 3 ≈3,76 и 2 3 = 8 пъти.

Посрещнат се от центрове на тетраедри, бързо, повърхностите се променят, някои от тях растат сред върховете Єcerі Av ve Lev, а старият е равен на 1/3 з(9-ти ден) и 0 (10-ти ден). Можете да видите как ставате между центрове по време на прехода от 7-ия ден към 8-ия и по време на прехода от 8-ия ден към 9-ия, ускорявате се веднага за първи път и с остатъчен тетраедър близо до нула на 10 дни.. . - "незадържаният" брой на развитие. Целият факт е малко важно наследство, но вонята излиза извън границите на външния вид.

Показано е, че на 7-ия ден от сътворението на повърхността на сферата Шехини крим Єcerі Av ve Lev(задайте диаметъра на сферата), има 6 върха на две "вътрешни" триколки, които показват половинките на "овена" на пророка на Авраам, както и 6 средни точки на страните на двете големи триколки. Очевидно всички точки надделяват над позата на сферата.

Як і в предния коментар, въведе декартова координатна система, de zминава отдолу нагоре по хълма през върховете на тетраедрите Av ve Levі Єcer а Ереці Шамаим з=(2 / 3) 0,5 а

Обновете браузъра

Хайде О- Център на сферата на Шехин, Дж Єcer ABC- Горна (малка) триколка pererezu. Плъзнахме към Переконатся, Шо да Станем | ОВ| врата до врата | ОА| (Очевидно, | ОА|=|OB|=|OC|).

Хайде д- Отиди до върха А ABC, іnakse, към оста z; Хей w- Изглед от точката Опреди центъра. Тоди | ОА| 2 = д 2 + w 2 .

Страна трико ABCврата а/ 2, така че д = а√3 / 6. Пред предните коментари знаем, че районът е ABC dilit височината на тетраедъра navpil, и vіdstan | ОВ| = 3 / 8 з(Радиус сфера). да означава, w = 1 / 8 з.

В такъв ранг,

|ОА| 2 = д 2 + w 2 = 3 / 36 а 2 + 1/64 2/3 а 2 = (1 / 12 + 1 / 96) а 2 = 3 / 32 а 2 .

От инсхи страна, | ОВ| 2 = 9/64 2/3 а 2 = 3 / 32 а 2. Отже, | ОА = |OB| = |OC| = |ОВ|.

Хайде Л, М, н- средата на страните на долната (голяма) триколесна колела, д "- Отидете от тях до центъра на триколката (същият център LMN), до ос z, Хей w "- Изглед от точката Одо центъра; тоди | OL| 2 = д " 2 + w " 2. Tsei trikutnik лежат 1/6 от височината по-ниско от горния, така че w " = w + 1 / 6 з= 7/3 8 з... Толкова е лесно да се знае д " = а√3 /9.

Пидраховуємо:

|OL| 2 = д " 2 + w " 2 = 1 / 27 а 2 + 49 / 3² 64 2/3 а 2 = (1/27 + 49/2732) а 2 = 81/2732 а 2 = 3 / 32 а 2 .

Viishlo тези същите, otzhe, | OL = |ОМ| = |НА| = |ОВ|.

Показано е, че на 8-ия ден от сътворението на повърхността на сферата Шехини крим Єcerі Av ve Lev(задайте диаметъра на сферата), има 6 върха на двете големи триколки през периода, показващи половинките на "розовата коза" на пророка на Авраам. Очевидно част от точките (на фотьойла под вонята на зелен цвят) припокриват средата на сферите, а частта - позата на сферата Шехини.

Yak i в предните коментари е въведена декартова координатна система, zминава отдолу нагоре по хълма през върховете на тетраедрите Av ve Levі Єcer(ако е посочено през центъра на офиса). Значително аповече кожни ребра от тетра Ереці Шамаим; todі їх visota dorívnuvatime з=(2 / 3) 0,5 а... Zoseredosya на долния тетраедър (за горната ситуация е точно аналогична).

Обновете браузъра

Кажи ми О- Център на сферата на Шехин, Дж- Горният връх на тетраедъра (точка Єcerда лежи върху сферите за стойността), ABC- долно (по-голямо) надминаване на триколка. Плъзнахме към Переконатся, Шо да Станем | ОВ| врата до врата | ОА|.

Хайде д- Отиди до върха Адо центъра на триколката pererezu ABC, іnakse, към оста z; Хей w- Изглед от точката Опреди центъра. Тоди | ОА| 2 = д 2 + w 2 .

Страна трико ABCврата 2/3 а, така че уау д = 2а√3 / 9. От предишните коментари знаем, че местността ABC Dilit височината на тетраедъра е 1: 3 и ще бъде | ОВ| = 1 / 2 з(Радиус сфера). да означава, w = 1 / 6 з.

В такъв ранг,

|ОА| 2 = д 2 + w 2 = 4 / 27 а 2 + 1/36 2/3 а 2 = (4 / 27 + 1 / 54) а 2 = 1 / 6 а 2 .

От инсхи страна, | ОВ| 2 = 1/4 2/3 а 2 = 1 / 6 а 2. Отже, | ОА = |OB| = |OC| = |ОВ|.

На 9-ия ден от сътворението на повърхността на сферата Шехини крим Єcerі Av ve Lev(задайте диаметъра на сферата), има 12 междинни точки от страните на основите на тетраедрите. Голям брой точки (на креслата, долната смрад е обозначена със зелен цвят), затрупват средните сфери и броят на върховете на основите на тетраедъра е лишен - позата на сферата на Шехини.

Обновете браузъра

Оста на седалката за долния тетраедър. Доказателството може да се извърши както е, за 7-ми и 8-мия ден, максималният диаметър на сферата Шехини, rivny 7/6 з... Nadaєmo tse chitachevі yak вдясно.

Ясно видими триколка ABC и точка D, но не лежат близо до зоната на триколката. От една точка до върха на триколката ABC. В резултата otrymaєmo trikutnikov ADC, CDB, ABD. Повърхността е заобиколена от чотирма с триколки ABC, ADC, CDB и ABD, която се нарича тетраедър и се нарича DABC.
Трикутники, които се сгъват в тетраедър, се наричат ​​його фасети.
Страните на триколките се наричат ​​ребра на тетраедъра. И върховете са върховете на тетраедъра

Тетраедър може 4 лица, 6 ребраі 4 върха.
Две ребра, които може да са най-външният връх, се наричат ​​прототипи.
Най-често се нарича една от страните на тетраедъра основа, и три лица, scho са станали засенчени, bichy лица.

В такъв ранг тетраедърът е най-простата рима с фасетите на є чотири трикутник.

Елът също е вирно и твърд, добре, било то триумфална пирамида е тетраедър. Тоди също е вярно, аз наричам тетраедъра pіramіdu, чиято основа е триколката.

Висящ тетраедърда се нарече видризок, който представлява единичен връх с връх, който е изпечен от противоположната страна и перпендикулярен на нея.
Медианю тетраедрида се нарече видризок, което е връх едно към едно от точката на преливане на медианата на противоположното лице.
Bіmedіanoyu тетраедрида се нарича видризок, който се намира в средата на ребрата на тетраедъра, да се закопчава.

Тъй като тетраедърът е пирмеда с триъгълна основа, тогава обемът на всеки тетраедър може да се развие за формулата

• С- Бъди като лице,
• Х- Visota, спусната до ръба qiu

Правилният тетраедър е частен тип тетраедър

Тетраедър, на който се наричат ​​всички страни на едностранната триколка правилно.
Силата на правилния тетраедър:

• Usi лица rіvnі.
• Равнината на втвърдяване на правилния тетраедър за покриване на 60 °
• И така, якът е горната част на кожата е горната част на три обикновени триколки, след това сборът от плоски кути в горната част на кожата 180 °
• Независимо дали е върхът на правилния тетраедър, който трябва да бъде проектиран до ортоцентъра на противоположната страна (в точката на пресечната точка на страните на трико).

Нека ни е даден правилен тетраедър ABCD с равни ръбове a. DH - його височина.
Zrobimo dodatkovі предизвикват BM - триколка ABC и DM - ACD tricyt.
Visota BM врата BM и врата
Триколката BDM de DH се вижда, но височината на тетраедъра е същата като височината на дадената триколка.
Висотата на триколката, спусната до велосипеда MB, може да бъде намерена чрез ускоряване с формулата

, де
BM =, DM =, BD = a,
p = 1/2 (BM + BD + DM) =
Очевидно стойността на формулата на visoti. Отримаме


Vinesemo 1 / 2a. Отримаме

Zastosuєmo формула за разликата на квадратите

Pislya малка перверзия otrimaєmo


Можете да отидете до тетраедър за формула
,
де ,

След като предоставихме стойностите, ще го направим

В такъв ранг формулата за обем за правилен тетраедър

де а- Роб тетраедър

Изчисляването на тетраедъра, където виждаме координатите на върховете

Нека ни бъдат дадени координатите на върховете на тетраедъра

Z върховете са начертани от вектор,,.
За познаването на координатите на кожата от cix векторите, от координатите на края на координатата на кочана. Отримаме

Също така се нарича тетраедър, фасетите на rіvnі. Ще имате тетраедър на дълги разстояния, постоянно присъстващ триплет с хартия и ще бъдем освободени в средните редове. Тоди три върха влизат в една точка, а половините на страните се затварят, фиксирайки bіchnі ръбове на тетраедъра.

(0) Лица конгруэнтни.

(1) Ребра, които са закопчани, по двойки.

(2) Тригранни кути пивни.

(3) Protylezhnі dihedral kuti rіvnі.

(4) Две плоски кути, които спират на единия ръб, равни.

(5) Сума на плосък кутив при кората на върховете на пътя 180°.

(6) Розгортки тетраедри - трикутник или паралелограм.

(7) Описания на правоъгълен паралелепипед.

(8) Тетраедърът има три оси на симетрия.

(9) Перпендикуляри на главата на ребрата, където се пресичат, по двойки

перпендикулярно.

(10) Средните линии са по двойки перпендикулярни.

(11) Периметри на ръбовете на пивн.

(12) Площта на ръбовете.

(13) Окачете тетраедър от pivn.

(14) Vіdrіzki, как да съедините върховете с центровете на важност на противоположните ръбове, rіvnі.

(15) Радиус и описание на броя на ръбовете на кила.

(16) Центърът на тежестта на тетраедъра се образува от центъра на описаната сфера.

(17) Центърът на тежестта става център на вписаната сфера.

(18) Центърът на описаната сфера се образува от центъра на вписаното.

(19) Вписаната сфера е вписана върху ръбовете в центровете на описания в qix

ръбове на kіl.

(20) Сума от единични нормали на извикване (единични вектори,

перпендикулярно на ръбовете), което е нула.

(21) Сумата от всички двустранни разфасовки е нула.

На практика всички сили на моноедричния тетраедър са извлечени от йога

Поради това ще бъде невъзможно да направят каквото и да било.

Доказателство (16).

Защото тетраедър ABCDіvnogranny, тогава за качество (1) AB = CD... Хайде по въпроса Предивидризка AB, и петънцето Лпо средата DC, zvidsy vidrizok KLбимедийни тетраедри ABCD, звездите зад властите на средния тетраедър випливє, счо точка относно- по средата KL, є центърът на тежестта на тетраедъра ABCD.

Преди това медианата на тетраедъра беше изместена към центъра на тежестта, точка относно, и отидете в точка със скорост 3: 1, rakhuyuchi от върха. Dal, vrahoyuchi vyshchestvennost, че сила (14) на равен тетраедър, аз няма да мога да дойда рано или късно AT = BO = CO = DO, Z yakogo i viply, scho point относноє центърът описва сферите (за значението е описан отстрани на сферите).

Обратно. Хайде Предиі Л- средата на ребрата ABі CDкато цяло, точка относно- Центърът на описаните сфери на тетраедъра, tobto. по средата KL... Защото относно- центърът на описаните сфери на тетраедъра, след това трицитите AOBі COD- іvnobedrenі с равни bіchny страни andіvnymi medіans Добреі OL... Том DAOB=DCOD... И да означава AB = CD... По същия начин четността на двойките стърчащи ребра се довежда до четност, за което (1) равнофасетният тетраедър е последван от шукане.

Доказателство (17).

Ясно се вижда ъглополовящата на двугранния разрез с ребра AB, спечелете разпръснати іdrіzok DC до областта на ръбовете ABDі ABC.

Защото тетраедър ABCD vnogranny, тогава за качество (12) С DABD = S DABD => DL = LC viplivka звезди, що ъглополовяща ABLотмъсти на bmediana KL... Застояли аналогични светове на тези двустранни кутиви, и беручи, докато уважавате, но бисектрисата на тетраедъра ще бъде обърната само в точката, която е центърът на вписаната сфера, можем да разпознаем, че точката неизбежно ще бъде дадена от центъра на трудното.

Обратно. Освен това центърът на тежестта и центърът на вписаната сфера могат да бъдат създадени по следния начин: DL = LC => SABD = SADC... Нека изведем ранга на еднакъв размер на всички лица, застоялата сила (12) на равния тетраедър, ще разпознаем шукане.

Сега се доставя мощност (20). За много информация е необходимо да се представи една от степените на предтетраедър.

теорема за тетраедъра ученик

Дори ако векторите са перпендикулярни на ръбовете на тетраедъра, те числено се движат към областите на външните ръбове, сумата от векторите към ръбовете е нула.

Доставено.

Хайде NS- точка в средата на тази страна на ръба, з и (i = 1,2,3,4)- отидете от нея в района и-та страна.

Razrіzhemo bagatogrannik на pіramіdi с върха NS, между другото на някоя е та страна. Ob'єm тетраедър V dorіvnyu sumi obsyagiv tsikh pіramіd, tobto. 3 V =? H и С и, де С и■ площ и-та страна. Хайде, н ие единичен вектор на последната нормала към i-тото лице, Mi е най-значимата точка от цялото лице. Тоди з и = (XM и , С и н и ) към това 3V =? H и С и =? (Xm и , С и н и ) = (XO, S и н и ) + (ОМ и , С и н и ) = (XO,? S и н и ) + 3V, де относно- точката на тетраедъра е фиксирана, същата, ? С и н и =0 .

Очевидно е, че мощността (20) на едностранен тетраедър е we С 1 = С 2 = С 3 = С 4 => n 1 = n 2 = n 3 = n 4 , и тъй като площта на ръбовете не се равнява на нула, ще приемем правилния паритет н 1 + n 2 + n 3 + n 4 =0 .

В края на доклада за едностранния тетраедър ще ви преведем през книгата по темата.

Права, преминаваща през центъра на масовия тетраедър и центъра на описаната топка на сферата, преливаща ребрата ABі CD... Включете го AC = BDі AD = пр.н.е.

Центърът на тетраедъра трябва да лежи на права линия, със средата на ребрата ABі CD.

Също така, центърът на описаната сфера на тетраедъра трябва да лежи на тата права линия, което означава, че е посочена права, перпендикулярна на ребрата ABі CD... Хайде Z`і D`- Точкова проекция ° Сі дна площада, преминете през правия ABпаралелно CD... Защото AC`BD`- паралелограм (за bydovuyu), тогава AC = BDі AD = ND.

Хайде з- Visota на моноедрален тетраедър, з 1 і з 2 - vіdrіzki, kudi един от височината на ръба се простира с точка, преобръщаща височината на целия ръб. Донеси, чо з 2 = 4ч 1 з 2 ; донесете също основата на височината на тетраедъра и точката на преобръщане на височината на лицето, на яка височината е понижена, симетрична на центъра на кола, описаната линия на лицето.

Доставено.

Хайде ABCD- датски тетраедър, DH- Його висота, DA 1 , DВ 1 , DC 1 - Висящи лица, изпуснати от върха дна страната BC, CA и AB.

Razrіzhemo над повърхността на тетраедър vdovzh ребра DA, DB, DC, і брутално врата. Очевидно Хє точка за пресичане на страните на трикутника д 1 д 2 д 3 ... Хайде Ф- точка на преминаване към височините на трикутника ABC, AK- Visota на триколка триколка, AF = h 1 , FК = h 2 ... Тоди д 1 Н = 2 часа 1 , Д 1 А 1 = h 1 -h 2 .

Otzhe, oskіlki з- Visota на нашия тетраедър, з 2 = DH 2 = DA 2 - НЕ 1 2 = (ч 1+ з 2 ) 2 - (ч 1 - ч 2 ) 2 = 4ч 1 з 2. Хайде сега М- центърът на тежестта на трикутник ABC(в същия център на тежестта на трикутник д 1 д 2 д 3 ), относно- Център за описание на нов кол. Vidomo scho Ф, Мі относнолежат на една права линия (правата на Ойлер), освен това М- mіzh Фі относно, FM=2 мес, отстрани, триколка д 1 д 2 д 3 хомотетичен към трикут ABCцентрирано в Мче kofіtsієntom (-2), значение MH = 2FM... Отивай да тръгнеш ВІН = FO.

Доведете, в плосък тетраедър, основата на страните, средата на височината на точката, пресечната точка на страните, лежи върху повърхността на една сфера (сфери от 12 точки).

Доставено.

Завършихме задача 2, доведохме центъра на описанието на тетраедъра на сферата до скин-ръба в средата на сферичната, с върха на основата на висящия, спуснат до целия ръб и точката, преливаща височина на централния ръб. И изображенията се показват в центъра на описанието на тетраедъра на сферата до ръба на пътя, де з- височината на тетраедъра, центъра на описанието на сферичното разстояние от дадените точки до а- Станете център на описаната линия на ръба на залога.