Tunnista kompleksiluvut trigonometrisesti. Kompleksiluvun trigonometrinen ja demonstratiivinen muoto

luento

Trigonometrinen muoto kompleksiluku

suunnitelma

1. Kompleksilukujen geometrinen esitys.

2. Kompleksilukujen trigonometrinen merkintä.

3. Toiminta kompleksiluvuilla trigonometrisessa muodossa.

Kompleksilukujen geometrinen esitys.

a) Kompleksiluvut esitetään tason pisteillä seuraavan säännön mukaisesti: a + bi = M ( a ; b ) (Kuva 1).

Malyunok 1

b) Kompleksiluku voidaan esittää vektorilla, joka on pisteen tähkäNoin Ja lopuksi tässä vaiheessa (kuva 2).

vauva 2

Esimerkki 7. Käytä pisteitä kompleksilukujen esittämiseen:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Kuva 3).

vauva 3

Trigonometrinen merkintä kompleksiluvuille.

kompleksilukuz = a + bi voit asettaa sädevektorin avuksi koordinaattien kanssa( a ; b ) (Kuva 4).

vauva 4

nimittäminen . dovzhina vektori , Joka edustaa kompleksilukuaz , Sitä kutsutaan tämän luvun moduuliksi ja se on nimetty tai muutenr .

Mille tahansa kompleksiluvullez joogo-moduulir = | z | on selvästi osoitettu kaavalla .

nimittäminen . Positiivisen suoran toiminnan akselin ja vektorin välisen arvon suuruus Kompleksilukua, joka edustaa, kutsutaan tämän kompleksiluvun argumentiksi ja nimetäänA rg z tai muutenφ .

Monimutkainen luku-argumenttiz = 0 ei merkityksiä. Monimutkainen luku-argumenttiz≠ 0 - arvo on runsaasti merkitsevä ja lasketaan summaustarkkuudella2πk (K = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , dearg z - argumentin kannalta merkityksellinen tahra, sijoitettu keskelle(-π; π] , sitten-π < arg z ≤ π (Vaihtoehtoisesti ota argumentin head-arvossa arvo, joka sallii välin .

Qiu kaavar =1 jota usein kutsutaan Moivren kaavaksi:

(Cos φ + i sin φ) n = Cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Esimerkki 11. Laske(1 + i ) 100 .

Kirjoitetaan kompleksiluku1 + i trigonometrisessa muodossa.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , Sin φ = , φ = .

(1 + i) 100 = [ (cos + Teen syntiä )] 100 = ( ) 100 (cos · 100 + i synti · 100) = = 2 50 (Cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (Cos π + i sin π) = -2 50 .

4) Vityag neliöjuuri z kompleksiluku.

Sillä hetkellä, jolloin kompleksiluvun neliöjuuri otetaana + bi Hyökkäyksiä on kahdenlaisia:

yakschob > noin , Tuo ;

Operaatiot algebralliseen muotoon kirjoitetuille kompleksiluvuille

Kompleksiluvun z = algebrallinen muoto(a,b) . Sitä kutsutaan algebrallisen lausekkeen muodoksi

z = a + bi.

Aritmeettiset operaatiot kompleksiluvuilla z 1 = a 1 +b 1 iі z 2 = a 2 +b 2 i, Algebrallisen muodon merkinnät tehdään tällä tavalla.

1. Kompleksilukujen summa (koko).

z 1 ± z 2 = (a 1 ±a 2) + (b 1 ± b 2)∙ minä,

silloin yhteenlasku (lisäys) noudattaa sääntöä, jossa polynomit lisätään annetuilla samanlaisilla termeillä.

2. Kompleksilukujen tyyppi

z 1 ∙ z 2 = (a 1 ∙ a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙ minä,

sitten kertolasku suoritetaan polynomien kertolaskua koskevan perussäännön mukaan niiden sääntöjen mukaan i 2 = 1.

3. Kahden kompleksiluvun jako noudattaa seuraavaa sääntöä:

, (z 2 ≠ 0),

Sitten jako kerrotaan jaolla ja jakaja jakajalle annetulla luvulla.

Nouseminen kompleksilukujen potenssiin ilmaistaan etenevällä arvolla:

On helppo näyttää mitä

soveltaa sitä.

1. Etsi kompleksilukujen summa z 1 = 2 – iі z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ minä)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Selvitä kompleksilukujen lukumäärä z 1 = 2 – 3iі z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3minä∙ 5minä = 7+22i.

3. Tiedä yksityisesti z näkymä jaosta z 1 = 3 - 2na z 2 = 3 – i.

z = .

4. Virishity yhtä suuri:, xі y Î R.

(2x+y) + (x+y)minä = 2 + 3i.

Kompleksilukujen yhtäläisyydestä johtuen meillä on:

tähdet x =–1 , y= 4.

5. Laske: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 ,i -2 .

6. Laske, yakscho.

7. Laske kääntöluvun numero z=3-i.

Kompleksiluvut trigonometrisessa muodossa

monimutkainen alue kutsutaan tasoksi, jolla on suorakulmaiset koordinaatit ( x, y), ihopisteenä koordinaatteineen ( a, b) Toimitetaan kompleksiluvun tyyppiin z = a + bi. Tässä tapauksessa kutsutaan koko abskisi aktiivinen koko ajan, Ja koko ordinaatta - ilmeinen. Todi-ihon kompleksiluku a+bi geometrisesti kuvattu tasossa pisteenä A (a, b) Tai vektori.

No, pisteen sijainti A(Minä myös kompleksiluku z) Voit määrittää vektorin | tuplauksen | = r ja missä j, Luodaan vektori | | toimintaakselin positiivisella suunnalla. Vektorin dovzhinaa kutsutaan kompleksiluvun moduuli ja on merkitty | z | = r, A kut j nimeltään kompleksiluvun argumentti ja on osoitettu j = arg z.

Näen, mitä | z| ³ 0 і | z | = 0 Û z = 0.

3 fig. 2 se on selvää.

Kompleksiluvun argumentti arvostetaan moniselitteisesti, mutta tarkkuudella 2 asti pk, kÎ Z.

3 fig. 2 on myös selvää, että se on z = a + biі j = arg z, Että

cos j =,synti j =, tg j =.

yakscho zÎRі z> 0 siis arg z = 0 +2pk;

yakscho z ОRі z< 0 siis arg z = p + 2pk;

yakscho z = 0,arg z ei merkityksiä.

Argumentin pääarvo on määritetty osioon 0 £ arg z£2 p,

tai muuten -s£ arg z £ s.

Käytä:

1. Tunne kompleksilukujen moduuli z 1 = 4 – 3iі z 2 = –2–2i.

2. Mieti alueen monimutkaista aluetta, jota mielet kysyvät:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 puntaa; 3) | z – (2+i) | 3 puntaa; 4) £6 | z – i| £7.

Ratkaisut ja muunnelmat:

1) | z| = 5 Û Û - tasopanos, jonka säde on 5 і koordinaattien keskipisteenä.

2) Ympyrä, jonka säde on 6 keskitetty koordinaatteihin.

3) Ympyrä, jonka säde 3 on keskitetty z 0 = 2 + i.

4) Ympyrä, jota ympäröivät panokset, joiden säteet 6 ja 7 ovat keskipisteessä z 0 = i.

3. Etsi lukujen moduuli ja argumentti: 1); 2).

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b =-2 Þ ,

Osoitus: kun pääargumentti on määritetty, käytä kompleksitasoa.

Tässä järjestyksessä: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 =, .

3) , r 3 = 1, j 3 =, .

4) , r 4 = 1, j 4 =, .

MOMPLEKSINUMEROT XI

§ 256. Kompleksilukujen trigonometrinen muoto

Osu kompleksilukua a + bi vahvistaa vektorin O.A.>3 koordinaattia ( a, b ) (jako kuva 332).

Merkittävästi dovzhin tämän vektorin kautta r , Ja millaista viiniä se kaikki tekee? X , kautta φ . Sinin ja kosinin arvoille:

a / r =cos φ , b / r = synti φ .

Tom A = r cos φ , b = r synti φ . Ale tässä muodossa ei ole kompleksiluku a + bi voidaan kirjoittaa muodossa:

a + bi = r cos φ + ir synti φ = r (cos φ + i synti φ ).

Ilmeisesti minkä tahansa vektorin neliö on suurempi kuin sen koordinaattien neliöiden summa. Tom r 2 = a 2 + b 2, tähdet r = √a 2 + b 2

Otje, olla kompleksiluku a + bi voidaan kuvitella yhdellä silmäyksellä :

a + bi = r (cos φ + i synti φ ), (1)

de r = √a 2 + b 2, mutta φ tulee mieleen:

Tätä kompleksilukujen kirjoitustapaa kutsutaan trigonometrinen.

määrä r kaavassa (1) kutsutaan moduuli, A kut φ - Perustelu, Kompleksinen numero a + bi .

Onko se kompleksiluku? a + bi ei ole nolla, niin sen moduuli on positiivinen; Entä a + bi = 0 siis a = b = 0 ja sitten r = 0.

Minkä tahansa kompleksiluvun moduuli määritetään yksiselitteisesti.

Onko se kompleksiluku? a + bi ei ole nolla, niin sen argumentti määritetään kaavoilla (2) ehdottomasti tarkkuudella kahdella jaolliseen pisteeseen π . Hyvin a + bi = 0 siis a = b = 0. Tässä tapauksessa r = 0. Kaavasta (1) on helppo ymmärtää, mitä argumentissa on φ tässä vipadkassa voit vibrati be-yak kut: aje with be-yak φ

0 (cos φ + i synti φ ) = 0.

Siksi argumentilla nolla ei ole arvoa.

Kompleksiluvun moduuli r Muut tarkoittavat | z |, Ja argumentti arg z . Katsotaanpa muutamia esimerkkejä kompleksiluvuista trigonometrisessa muodossa.

Butt. 1. 1 + i .

tiedämme moduulin r ja argumentti φ mikä numero.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Ozhe, synti φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, tähteä φ = π / 4 + 2nπ .

sellaisella tavalla

1 + i = √ 2 ,

de P - olkoon se kokonaisluku. Valitse kompleksiluvun argumentin arvojen lukumäärän perusteella arvot väliltä 0 ja 2 π . Tässä tapauksessa tällaiset arvot ovat π / 4. Tom

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i synti π / 4)

Peppu 2. Kirjoita kompleksiluku trigonometriseen muotoon √ 3 - i . äiti:

r = √ 3 + 1 = 2, cos φ = √ 3/2, sin φ = - 1 / 2

Se on tarkka kahdella jaolliseen pisteeseen π , φ = 11 / 6 π ; Noh,

√ 3 - i = 2 (cos 11/6 π + i synti 6.11 π ).

peppu 3 Kirjoita kompleksiluku trigonometriseen muotoon i.

kompleksiluku i vahvistaa vektorin O.A.>, joka päättyy akselin pisteeseen A klo ordinaatalla 1 (kuva 333). Tällaisen vektorin arvo on yhtä suuri kuin 1, ja se, joka täydentää koko abskiksen, on yhtä suuri kuin 1. π / 2. Tom

i =cos π / 2 + i synti π / 2 .

Peppu 4. Kirjoita kompleksiluku 3 trigonometriseen muotoon.

Kompleksilukua 3 edustaa vektori O.A. > X abskissa 3 (kuva 334).

Tällaisen vektorin arvo on suurempi kuin 3 ja sen vektorin arvo, joka täydentää koko abskiksen, on suurempi kuin 0. Siksi

3 = 3 (cos 0 + i synti 0),

Peppu 5. Kirjoita kompleksiluku -5 trigonometriseen muotoon.

Kompleksi, lukua -5 edustaa vektori O.A.>, joka päättyy akselin pisteeseen X abskissassa -5 (kuva 335). Tällaisen vektorin arvo on 5, ja aina kun se täyttää koko abskiksen, se on yhtä suuri π . Tom

5 = 5 (cos π + i synti π ).

oikein

2047. Kirjoita nämä kompleksiluvut trigonometriseen muotoon ja ilmoita niiden moduulit ja argumentit:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Merkitse tason persoonattomia pisteitä, jotka edustavat kompleksilukuja, moduuleja ja argumentteja, jotka tyydyttävät mielen:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Chi voi olla kompleksiluvun yhden tunnin buti-lukujen moduuli r і - r ?

2050. Chi voi olla kompleksiluvun argumentti yössä buti kuti φ і - φ ?

Nämä kompleksiluvut näytetään trigonometrisessa muodossa, mikä tarkoittaa niiden moduuleja ja argumentteja:

2051*. 1 + cos α + i synti α . 2054*. 2 (cos 20° - i sin 20°).

2052*. synti φ + i cos φ . 2055*. 3 (- cos 15° - i sin 15°).

Tarkastellaan kompleksilukua, joka on annettu ensisijaisessa (algebrallisessa) muodossa:

Kuva 3 esittää kompleksiluvun z. Koordinaatin numero suorakulmaisessa koordinaatistossa ( a, b). Jäljitä funktion sin ja cos arvosta, tapauksesta riippumatta:

Tämä ilmoittautumislomake on ns trigonometrinen kompleksiluvun kirjoittamisen muoto.

Rivi (2) on neliöity ja taitettu:

(4)

r-dovzhina kompleksiluvun sädevektori z kutsutaan kompleksiluvun moduuliksi ja on merkitty | z|. ilmeisesti | z| ≥0 ja | z| = 0 todi ja vain todi, jos z=0.

Pisteen napaleikkauksen arvo vastaa kompleksilukua z, Tobto kuta φ , Kutsutaan tämän luvun argumentiksi ja on nimetty arg z. Rakas sko arg z Voi olla vähemmän järkeä milloin z≠ 0. Kompleksiluvun 0 argumentti on merkityksetön.

Kompleksiluvun argumenttia ei ole määritelty yksiselitteisesti. yakscho φ kompleksiluvun argumentti siis φ +2πk, k= 0.1, ... on myös kompleksiluvun argumentti, joten cos ( φ +2πk) = Cos φ , Synti ( φ +2πk) = Synti φ .

Kompleksiluvun pelkistäminen algebrallisesta muodosta trigonometriseen muotoon

Esitetään kompleksiluku algebrallisessa muodossa: z=a+bi. Tämä luku on selvästi trigonometrisessa muodossa. Lasketaan kompleksiluvun moduuli: . laskettava argumentti φ monimutkainen määrä viruksia tai Poista arvo ja lisää se yhtälöön (3).

Esimerkki 1. Etsi kompleksiluku z= 1 trigonometrisessa muodossa.

Päätös. kompleksiluku z= 1 voidaan esittää näin: z=1+0i φ = 1/1. Maymo tähdet φ = 0. Korvaa moduuliarvot argumentille kohdassa (3), hylkää: z= 1 (cos0 + i sin0).

Vahvistus. z= 1 (cos0 + i sin0).

Esimerkki 2. Etsi kompleksiluku z = i trigonometrisessa muodossa.

Päätös. kompleksiluku z = i voidaan näyttää näin: z=0+1i. Tämän luvun moduuli on laskettavissa: . Tämän luvun argumentti on laskettavissa: cos φ = 0/1. Maymo tähdet φ =π / 2. Korvaa moduulin arvot ja argumentti kohdassa (3), hylkää: .

Vahvistus. .

Esimerkki 3. Etsi kompleksiluku z=4+3i trigonometrisessa muodossa.

Päätös. Tämän luvun moduuli on laskettavissa: . Tämän luvun argumentti on laskettavissa: cos φ = 4/5. Maymo tähdet φ = Arccos (4/5). Korvaamalla moduulin ja argumentin arvot kohdassa (3), hylkäämme:.

Vahvistus. , de φ = Arccos (4/5).

Kompleksilukujen kertolasku trigonometrisellä merkinnällä

z 1 =r 1 (cos φ 1 +i synti φ 1) i z 2 =r 2 (cos φ 2 +i synti φ 2). Kerro ci-luvut:

sitten kompleksilukujen luontimoduuli on moderni lisä kertojien moduuleille.

Vahvistus. .

Kompleksilukujen jako trigonometrisessa merkinnässä

Annetaan kompleksiluvut z 1 =r 1 (cos φ 1 +i synti φ 1) i z 2 =r 2 (cos φ 2 +i synti φ 2) ja anna minun mennä z 2 ≠ 0 siis r 2 ≠ 0. laskettavissa z 1 /z 2:

Vahvistus. .

Geometrinen kerto- ja jakolasku

Pikku kuvassa 4 esittää kompleksilukujen kertolaskua z 1 i z 2. W (6) ja (7) tikkuja, joten tee se saadaksesi sen pois z 1 z 2, pisteen vektori-säde vaaditaan z 1 käännös vuosipäivänuolta vasten φ 2 ja venytä | z 2 | kertaa (0z 2 |

Tarkastellaan nyt kompleksiluvun jakoa z 1 z 2 per z 1 (kuvio 4). Kaava (8) osoittaa, että tietyn luvun moduuli on sama kuin luvun moduulin jako z 1 z 2 per numeromoduuli z 1, ja argumentti on vanhempi: φ 2 =φ −φ 1. Tämän seurauksena luku vähennetään alajaksosta z 2 .

3.1. polaarikoordinaatit

Neliö pysähtyy usein napakoordinaattijärjestelmä . Vaughn on nimetty, koska piste O on annettu, jota kutsutaan napa, Ja jätä tangot (meille se on kaikki Ox) - kaikki on polaarista. Pisteen M sijainti on kiinteä kahdella numerolla: säde (tai sädevektori) sekä polariteetin ja vektorin välinen etäisyys. Kut φ kutsutaan napaharju; Se näkyy radiaaneina ja on kohdistettu vuosinuolta vastapäätä olevan napa-akselin kanssa.

Pisteen sijainti napakoordinaatistossa määritellään järjestetyllä numeroparilla (r; φ). Napalla r = 0, ja φ ei ole merkitsevä. Kaikille muille kohdille r> 0, ja φ lasketaan 2π:n kerrannaistarkkuudella. Tässä tapauksessa lukupareille (r; φ) ja (r 1; φ 1) annetaan sama piste.

Suoraviivaiselle koordinaattijärjestelmälle xOy Suorakulmaiset koordinaatit pisteet ilmaistaan helposti niiden napakoordinaateilla seuraavassa järjestyksessä:

3.2. Kompleksiluvun geometrinen tulkinta

Tarkastellaan suoraviivaista suoraviivaista koordinaattijärjestelmää tasossa xOy.

Mikä tahansa kompleksiluku z = (a, b) saa tasopisteen, jonka koordinaatit ( x, y), De koordinaatti x = a on kompleksiluvun aktiivinen osa ja koordinaatti y = bi on ilmeinen osa.

Alue, jonka pisteet ovat kompleksilukuja, on kompleksialue.

Pienelle kompleksiluvulle z = (a, b) piste osoittaa M(x,y).

Zavdannya.Kuva päällä koordinaattitaso kompleksiluvut:

3.3. Kompleksiluvun trigonometrinen muoto

Tason kompleksiluku on pisteen koordinaatit M(x;y). Tästä syystä:

Kompleksiluvun kirjoittaminen - kompleksiluvun trigonometrinen muoto.

Numeroa r kutsutaan moduuli kompleksiluku z ja on osoitettu. Modulus on tuntematon toimintanumero. varten .

Moduuli on yhtä hyvä kuin nolla ja vain jos z = 0, sitten a = b = 0.

Numeroa φ kutsutaan argumentti z ja on osoitettu. Argumentti z on määritelty moniselitteisesti, koska i on napakulma napakoordinaatistossa ja itse 2π:n lisäkerrannaisella tarkkuudella.

Joten hyväksymme: de φ on vähiten merkitsevä argumentti. Ilmeisesti