Kirjanov D.V., Kirjanova E.N., Kozlov N.I., Kuznetsov V.I.
(D.V.Kiriyanov, E.N.Kiriyanova, N.I.Kozlov, V.I.Kuznetsov)

IPM im. M. V. Keldisha RAS

Moskova, 2005

abstrakti

Työssä tarkastellaan useita matemaattisia malleja ekologisen väestön ikivanhan koostumuksen virtauksesta sen kehitykseen. Mallintamisen suorittaa dynaamisen järjestelmän numeerisen ratkaisun asiantuntija erotustasot(Merkittävät ja yksityiset yhtäläisyydet), joka liittyy Volterra-järjestelmien luokkaan ja Leslie-matriisiin.

Abstrakti

Esitetään mallien katsaus ikärakenteen vaikutuksesta ekologiseen populaatiodynamiikkaan. Tarkastellaan useita dynaamisia tavallisten ja PDE-differentiaaliyhtälöiden järjestelmiä, jotka perustuvat klassiseen Volterra-malliin ja Leslie-matriisilähestymistapaan.

§ 1. Perusmalli

Käytännöllisimpiin tehtäviin jää jäljelle jäävä ekosysteemien kehityksen dynamiikan yhä pysähtynyt mallinnus differentiaali- ja integraalidifferentiaalitasojen perusteella. Tätä lähestymistapaa käytetään laajasti erilaisten biologisten yhdisteiden ja metsien mallintamiseen. Suurin vaikeus tässä suhteessa on kaksi seikkaa:

· tasojen oikea valinta, erityisesti niihin sisältyvät parametrit, jotka kuvaavat näiden ja muiden parametrien virran määrää ekosysteemin tietyn koealan kasveille;

· maallisten vaikutusten riittävä mallintaminen sekä heterogeenisten ekosysteemien alueellinen jakautuminen.

Tässä työssä voimme nähdä erilaisia ​​ikään liittyviä vaikutuksia metsäbiokenoosien primääri- ja differentiaali-differentiaalitasojen numeeriseen mallintamiseen perustuen sekä niiden yksityisissä kävelyissä. Ensinnäkin kahden lajin metsien kehityksestä on olemassa selkeästi yksinkertaistettu malli, joka kuvaa populaation kehitystä yhtenä kokonaisuutena, joka ei kärsi alueellisesta jakautumisesta eikä maallisista vaikutuksista. Tässä vaiheessa pohjimmiltaan globaalis-ekologiset hyödyt heijastuvat, on tarpeen arvioida riittävästi päävuorovaikutusten luonnetta.

Karakterisoidaan populaatiota biomassan tiheysvektorilla, i = l (lehdet), x (havupuut). Meitä ympäröi "resurssi - karja" -tyyppisten troofisten vuorovaikutusten pihajärjestelmä: maaperä - kahden lajin metsät, jotka kilpailevat keskenään. Maaperän kestävyyttä luonnehtii kolmas muutos - tuottavuuden normalisoitu indikaattori P (t). Dynaaminen järjestelmä, jota olemme käyttäneet kuvaamaan tätä rajoitettua mallia, näyttää tältä:

i = (x, l)(1)

· P - säännöllinen tuottavuuden indikaattori - resurssin vahvuus (kg / m 2 );

· u l - lehtien biomassan paksuus (kg/m 2 );

· u x - havupuiden biomassan paksuus (kg / m 2 );

· Ja i on i:nnen rodun rakhunok-piirityksen maaperän uudistumiskerroin (1 / rik);

· B - maaperän itseuudistumiskerroin (1 / rik);

· P 0 - tuottavuuden asymptoottinen arvo metsää kohti (kg/m 2 );

· V i - resurssien tuotto (trofinen funktio) (1 / rik);

· з i - kilpailua kuvaava korjauskerroin;

· k i - i:nnen rodun kasvukerroin;

· D i - puiden luonnollinen kuolleisuus (1 / rik);

· W - ulkoisten tekijöiden virtaus, usein suun kautta, negatiivinen merkki, (kg / (rik× m 2))

· t 0 - nuoren ketun (rik) kasvun keskitunti

Annettu järjestelmä, riippumatta siitä, perustuu klassiseen Volterra-malliin. Kerroin on yhdistelmä kokeellisesti määritellystä vakiosta (populaation alkukehitys normaalimielessä) ja jostain korjausfunktiosta. Kertoimien ilmeistä ilmenemistä keskustelimme robotissa ja sinne piirrettiin myös tyypilliset systeemiratkaisun kuvaajat (1).

Eräs ratkaisu, joka on samanlainen kuin metsän kehittyminen normaaleissa maaperässä (riittävässä kosteudessa), on esitetty kuvassa. 1. Vono kuvailee hyvässä uskossa lehtimetsän muutosta havumetsän myötä ja populaation kehitystä.

Kuva 1. Tyypillinen järjestelmäratkaisu (1).

On tärkeää heti huomata, että keskimääräinen malli (1) sallii vain karkeimman muodon maallisista vaikutuksista, koska saldo sisältää biomassan kokonaispaksuuden (ilman maallisen ryhmän alajakoa). Esimerkiksi kehitystunnin alla, joka on suunnattu kuvalle. Kuvassa 1 (lisäkorrelatiivisille funktioille) oletimme, että luonnollisen kuolleisuuden kertoimen D i tulisi olla väestön keski-iässä.

Kun nämä alustavat pohdinnat on saatu, voit siirtyä työn pääaiheisiin - erilaisiin metsäpopulaatiomalleihin, joilla on heterogeeninen kasvumalli.

§ 2. Leslien matriisimalli

Leslie ehdotti vuosisadan puolivälissä matriisilaskelmaa laskostettujen monilajipopulaatioiden kehityksen kuvaamiseksi (sata prosenttia keskimääräisistä malleista). Tähän asti ekologisia malleja on kehitetty differentiaalisten numeeristen menetelmien perusteella. Tämä sinänsä on laulaville naapureille. Kun siirrytään käytännön toimenpiteisiin, esimerkiksi demografisen taulukon dataan, täytyy keksiä diskreettejä arvoja. Esimerkiksi ihmisten väestötiedoissa käytetään pääsääntöisesti viiden päivän aikavälejä. Lisäksi suurten populaatioiden (mukaan lukien metsät) kehitys voi ilmetä selvästi kausiluonteisesti. Siksi populaation oikean kuvauksen ja käytännön kehityksen kannalta tärkeintä ei ole differentiaali- ja integraalilukujen menetelmät, vaan diskreetin matematiikan menetelmät (matriisi jne.).

Leslie käytti niin kutsuttua siirtymämatriisia kuvaamaan monimutkaista moni-ikäistä populaatiota

,(2)

joka kerrottuna eri ikäluokissa olevien yksilöiden vektorimäärällä (nollasta - vastasyntyneet yksilöt, k - suurimmat vanhat yksilöt), antaa yksilöiden lukumäärän ikäryhmissä tunnin välein (useimmiten joki). Siten Leslien siirtymämatriisissa p i on selviytymisen tulos (toisin sanoen todennäköisyys, että i:nnen luokan yksilö siirtyy hyökkäävälle joelle (i + 1) -luvulla),a i - yksilöiden keskimääräinen hedelmällisyys 1. vuosisadalla ryhmäläiset.

Siten siirtymämatriisi on neliömatriisi, jonka koko on (k + 1)´ (K + 1), ja ikäryhmien lukujen vektorijoukko - matriisi (k + 1)´ 1. Koska matriisin elementit ovat paikallaan eivätkä muutu ajan myötä, niin niiden positiivisuudesta seuraa, että matriisin suurin absoluuttinen luku on aktiivinen ja positiivinen. Jos enimmäismäärä on pienempi kuin yksi, väestö on tuomittu sukupuuttoon, jos se on suurempi, väestö väistämättä kasvaa. Primitiivisissä Leslie-matriiseissa vanhojen yksiköiden enimmäismäärä on voimassa. Tämä tarkoittaa, että väestö putoaa lopulta tiettyyn ikivanhaan jakoon, jonka määrää maksimiteholukua vastaava tehovektori, ja väestönkasvun nopeus määräytyy tämän teholuvun mukaan.

Dynaamista populaatiota luotaessa on ensin varmistettava kaikkien yksilöiden eheys ennen jalostusta. Tässä suhteessa on kolme ryhmää: pregeneratiiviset (nuoret, eivät vielä lisääntymisvalmiit), generatiiviset (ne syntyneet ennen lisääntymistä, mutta eivät välttämättä lisääntyy tällä hetkellä) ja postgeneratiiviset (vanhat, jo lisääntymiskyvyttömät). Riippuen tietyn lajin elinkaaren ominaisuuksista ja luotettavien diagnostisten merkkien löytämisestä, näiden suurten ryhmien iho jaetaan suurempiin luokkiin.

On ymmärrettävä, että populaation alajakauma ikäryhmässä näkyy selvästi näissä jaksoissa, jos tämän lajin eliöissä on merkkejä, joiden avulla yksilön ikä voidaan määrittää tarkasti. Malliemme mukaan eri metsäpopulaatioissa ympäröivän puun ikä voidaan tunnistaa tarkasti jokirenkaiden avulla.

Tarkastellaan nyt Leslie-matriisin lisäämistä vuonna esiteltyyn malliin§ 1. On selvää, että tämä perusmalli kuvasi metsäaluetta ikää säätämättä Kasvujen kestävyys kuivuudelle, soistumiselle, varjolle, ruuhkalle, tulipaloille, sairauksille ja muille tekijöille laskee merkittävästi vuosisatojen ajan.

Tästä lähtien jätämme indeksin pois, koska taulukoita ei säilytetä missään. Indeksi näkyy vain jäännöstuloksessa. On myös tarpeen luoda ikäryhmäjako itse ryhmän sisällä, koska ikäryhmien välit ovat paljon enemmän askel kerrallaan, niin on tarpeen luoda ikäjako itse ryhmän sisällä ryhmät voivat olla pieniä, esimerkiksi 4 ryhmää ihoa kohden tyypillinen ikäväli: nuori ikä Kyllä, lisääntymisikäiset metsät ja monivuotiset metsät (en välitä). Nämä ovat vain 12 ryhmää. Sitä ei kuitenkaan tiedetä ennen laskelmien alkua. Tämä on hyvin mahdollinen vaihtoehto, jos skin-pohjaisesti jako ryhmän keskellä selvitetään tunti kerrallaan esimerkiksi interpoloimalla ryhmämuuttujien arvojen mukaan tunti kerrallaan. Sitten ryhmävakiot jalostetaan. Valitsemme yksinkertaisemman reitin: työstämme oletusta iän mukaan jakamisesta a priori ja etsimme sitten ryhmävakiot. Itse asiassa "vakiot" voivat olla ryhmämuuttujien joukossa. Tämä takaa ryhmävakioiden korjauksen ryhmämuuttujien merkityksen mukaan.

Voit määrittää siirtymäkertoimen ryhmästä ryhmään käyttämällä diskreettiä piiriä (kuva 2). Anna ryhmän kytkeä Rlet päälle ja näemme vanhan tilan, jos ryhmän syöte on samat biomassaarvot.

123 4

Kuva 2. Kaavio, joka selittää Leslien mallin

Elämämme aikana meillä on seuraavat biomassatiheydet:

1 rik =, 2 rik =, 3 rik =, ... r rik =

Tässä on kerroin, joka osoittaa kuinka paljon biomassan alkutiheys kasvaa vuoden aikana. Tämä arvo on yleensä 0,1-0,18 ja se on ryhmän sisällä, biomassan paksuus, polttoainepitoisuus jne. Ryhmien välillä ioni muuttuu kuitenkin vähän. Jos otetaan ryhmiä 10 kiven luokkaan, niin ryhmän hyväksytty lineaarinen kasvulaki on täysin totta.

Osa ryhmän massan biomassasta, kuten toistenkin ryhmien, voidaan katsoa johtuvan suhteesta:

(3)

Tämä johtuu siitä, että biomassan uusi velvoite ryhmässä on kaikkien kohtalon mukaisten velvoitteiden summa:. Kun katsot sinua kunnioittavasti, voit kieltää sen

(4)

Yak Mi Bachimo, Evolutsіya funktio u I [j] kuvaa rivnyanni samankaltainen kuin järjestelmä (1), alle varajäsenen chufizyntiv c i0 і d i0 esitellään Masivi ibmrannya c i0 [j] і d i0 [j] vidpov .

Vuosisadan esiintyminen johtuu ilmeisesti ajasta, joka on käytetty huomioimalla nuorten ja vanhojen puiden eri iän kuivuuteen, suoisuuteen jne. Tätä tarkoitusta varten käytetään seuraavia korjaustoimintoja, analogisesti perusmallin (1) kanssa. Tässä tapauksessa on selvää, että itse haju, samoin kuin sen näkymätön tehtävät, muuttuvat vektoriaaliseksi, edustaen siten vuosisatoja vanhoja piirteitä suhteessa kuivuuteen, kastelemiseen, varjostukseen, tukkeutumiseen ja muihin tekijöihin. Ne esimerkiksi kärsivät eniten nuorten puiden veden puutteesta, kun taas aikuiset puut ovat vakaampia ja vähemmän alttiita vesille, koska niillä on syvempi juuristo. Mallin (4) yhtälöjärjestelmän kirjaamiseen käytämme tätä pikakirjoitustekniikkaa: uuden rakenteen luovassa funktiossa osoitamme ainoan oikeanpuoleisen tekijän: notaatioekvivalentin indeksit.

Erotusarvojen lukumäärä: . Ryhmälajeja on maksimimäärä, kaksi lisätasoa maaperän tuottavuudelle ja pallon kosteuspitoisuudelle). Vuosisadan vanhan kiviryhmän koko.

Esitetään nyt mallinnuksen tulokset, jotka leviävät tasojärjestelmään (4) metsäkannan ikivanhan kannan säätelyn kanssa. Ihoryhmän leveydeksi tuli 10 kiveä. Kuvassa 3 puun kehitystä yleismallissa: normaali lannoitus (stabiili muutos sekapuusta havupuuhun, kuten perusmallissa kuvassa 1). Biomassan paksuus on kuitenkin lisääntynyt, mikä liittyy keskiajan vaihteluihin (kuva 4.). Yleisesti ottaen voit huomata, että Leslie-matriisiin perustuva malli on realistisempi ja säilyttää samat perusvoimat kuin perusmalli.

Kuva 3. .Puukanta kehittyy tasaisesti

Kuva 4. Keskiajan Kolivannya

§ 3. Yksi-ikäinen istutusmalli

Tarkastellaan nyt toista mallia, joka kuvaa samanikäisten viisasten joukon kehitystä, ottaen huomioon taimien vuotuisen lisääntymisen, lisääntymisen ikärajan sekä lajin sisäisen kilpailun ja "ekologiset" pistokkaat (kutsutaan ns. ki camp massif), jotka säilyttävät autonomian.

Käytämme seuraavaa diskreettiä koordinaattijärjestelmää. Ordinaattien mukaan laitamme sivuun sukupolvinumeron. Laitamme tunnin abskissa-akselille Tallennuksen helpottamiseksi kunnioitamme taimien ikää nolla, sävy koordinaattitaso Kaiken alussa tulee olemaan uudet sukupolvet, joiden lisääntymiskynnys on asetettu, ja ilmestyessään ne alkavat liikkua "synkronisesti" ikääntyen.

Sitten voit kirjoittaa evoluution tasapainosi ihosukupolvelle:

,(5)

missä on sukupolven lukumäärä, sukupolven ikä tietyllä hetkellä t, sukupolven biomassan tiheys sekä luonnollisen kasvun ja luonnollisen kuolleisuuden kertoimien ero, joka on funktio, joka on ominaisuudessa tiheysvektorin generointi (vektorin viimeinen osa on silloin, kun tarkastelemme järjestelmäämme, Totto ei posіyna).

Tämä toiminto voi johtaa lajinsisäiseen kilpailuun:

, (6)

missä mreproduktiivinen ikä, t-m + 1 antaa ulomman sukupolvien lukumäärän hetkellä t, sukupolvien kilpailullisen vuorovaikutuksen kertoimen kj, eli nämä ovat neliöllisiä kilpailun termejä.

Ratkaisemme yhtälön sukupolvelle tunnin välein ottaen huomioon () ja muut sukupolven numeron funktiot. Sitten voidaan kirjoittaa:

(7)

Tässä merkinnässä uskoimme, että arvo on pieni verrattuna i:ään, joten on mahdollista laajentaa sarjaan, joka on rajoitettu laajennuksen ensimmäiseen termiin. Jos nyt otetaan käyttöön toisen tekijän arvo viimeiseen tuotteeseen:

,(8)

sitten voit johtaa käsittelykaavion siirtymiselle aikakerroksesta t-1 palloon t lisäämällä palloon t vasta luodun sukupolven päivittäisen arvon:

(9)

Mi bachimo, että merkittävä sukupolvi vain tietyllä aikapallolla syntyneistä saadaan sukupolven arvosta, on myös peritty t Kilpailun aikoina integraali on laskettava, vikoryst tiedot edellisestä aikapallosta .

Kuinka sovittaa tasa-arvojärjestelmä sukupolville asti dynaaminen järjestelmä, Sitten voit pohjustaa piirin approksimaatiota vakauden ja siten piirin lujuuden.

Koska ehdotettu vertaisjärjestelmä (ilman kilpailua ja valintaa) on lineaarinen, se käyttäytyy kuin logistinen malli ilman Volterran kilpailutermiä. Tämä tarkoittaa, että se on joko epävakaa tai on vain yksi vakaa asema, joka on yhtä suuri kuin nolla, laajeneminen (kuva 5) suurelle metsämassalle osoittaa, että kulutus on jopa hidasta huomattava kasvu Yleisen istutustiheyden lisääminen. Kaaviossa näkyy korvajakso oikein, jos ikäjaon profiilia ei ole vielä muodostettu.

Kuva 5.

(Populaatioille 100, 200 ja 300)

Saman ongelman numeeriset ratkaisut johtavat kilpailun lisäksi tuloksiin, kun kiinteän profiilin muodostuminen tapahtuu 120. maihinnousun olemassaolon vuodeksi. Mitä tulee biomassan absoluuttisiin arvoihin, haju ilmenee myöhemmin (lähes 200 roku).

Tällöin on mahdollista luoda uusi istutus, jotta yksi-ikäiset istutukset eivät jaa metsämassaa luonnostaan ​​iäkkäisiin ryhmiin. Lähitulevaisuudessa meillä voi olla siirtymäkausi, jota on käytännössä vältettävä.

Ajan näkökulmasta tehokkain tapa saavuttaa paikallaan pysyvä profiili on "ekologisesti ystävällinen" louhinta. 6 Saman järjestelmän kehittämisen tiedot toteutetaan ja kilpailun sijaan otetaan käyttöön puunkorjuu. Korjuu suoritetaan, kunnes jätebiomassa on laskenut kriittiseen arvoon. Joka vuosi tuhoutuu 40-45 puuta, joista 5 % tuhoutuu. Biomassan luonnollinen profiili ja asymptoottiset arvot selviävät huomattavasti nopeammin kuin kilpailussa.

Kuva 6. Yksi-ikäisen istutuksen ikivanhan kirjon kehitys

(populaatioille 150 ja 200): malli leikkurilla

§ 4 Jatkuva diffuusiomalli

Alla tarkastellaan jatkuvaa ikämallia, jonka avulla voimme kuvata lisääntymiskynnyksen vaikutusta. Biologisen muutoksen laadulla on tässä kahden muuttujan funktio: aika t ikä T. Tässä tapauksessa u (t, T) dT on iänmuutoksen aikavälein (T, T + dT) kertyneen biomassan määrä. ).

Ylläpidämme ikäryhmän tasapainoa välillä T, T + dT per tunti t:

· u (t, T) Vasemmasta päästä tulee sisään niin paljon biomassaa tunnissa (sama arvo lasketaan maalliseksi väliksi),

· u (t, T + dT) Tämä määrä biomassaa poistuu ryhmästä ryhmän oikeassa reunassa,

· u (t, T) biomassan muutos luonnollisten kuolleisuusprosessien nopeudelle, lajin sisäisen taistelun prosessien lisääntyminen:

Vasen reunaOikea reuna

Kuva 7.

Muissa vaiheissa se integroitiin eri lajien biomassaan.

Uskomme, että ryhmän dT biomassa on yhtä suuri kuin u (t, T) dT:

Siirtyessämme rajalle ja nopeasti tuotantoon löydämme uuden yhtälön:

(10)

rajaehto (11)

No, alkuperäinen kunto

Ikävälin vasemman reunan rajalla integraali lasketaan koko lisääntymisjaksolta. Funktio antaa kypsän biomassan tuottavuuden nykypäivänä.

Tässä on lisääntymisikä, lisääntymisiän rajan oikeudet.

Tärkeimpien vakauteen liittyvien ongelmien osalta vähennämme vertailun vertailuun myöhäisillä argumenteilla joidenkin hyvän hajoamisen ketjujen osalta. Tarkastellaan tätä tarkoitusta varten tarvittavan toiminnon korvaamista (kuva 8):

(12)

Kuva 8. Aamutuntiin asti

Korvaamalla alkuperäisen yhtälön loukkaavia korvauksia, voimme poistaa saman yhtälön v:lle (t, T), joka voidaan kirjoittaa kahdella vielä tuntemattomalla funktiolla:

(13)

Näiden kaavojen pätevyys voidaan tarkistaa suoraan. Jäljelle jää vain funktion käyttöönotto.

Pochatkova on sanomassa:

(14)

Näistä yhtälöistä voimme nyt saada u (t, T) t:lle

(15)

Jos haluat löytää ratkaisun, ole hyvä

(16)

Nämä lausekkeet voidaan eliminoida korvaamalla integraali u (t, T`) ottamalla käyttöön funktio. Otetaan nyt huomioon, että ensimmäisellä rivillä olevat arvot eivät ole mitään muuta, tähkäaivojen, lisääntymisjakson väliajoin tehtävien tehtävien seurauksena, sitten erottelun jälkeen poistetaan differentiaaliyhtälö myöhäinen argumentti, tosi vain, jos q(s)-argumentin riippuvuus on erityismuodossa - exp(s):

(17)

Tämä on tehtävä aikavälillä asetetun alkuperäisen pesun lisäksi. Tämän jälkeen yhtälö voidaan ratkaista peräkkäin.

Mi ei ole Budomo Virishuvati Tsi Rivnyannya, koska sellaiselle kärjelle - yhtä suuri kuin typpipitoisen vydeliinin bilsh, resoluutio on Polegin johtettujen kuitujen konteksti, vakauden vakauden vakaus vakauden vakaus. maaperää.

Yhtälöteorian perusteella ominaisuusyhtälö muodostetaan viivästetyllä argumentilla. Se on kuitenkin aiempia tunnusyhtälöitä lukuun ottamatta transsendenttinen yhtälö, jolla on äärettömän runsas määrä juuria. Tämän tyyppisten ominaisyhtälöiden ratkaisuun liittyen kehitetään yksityiskohtainen teoria. Tämä teoria viittaa siihen, että lineaarisille tapauksille on mahdollista muodostaa samanlainen lause kuin lineaaristen yhtälöiden lause ilman myöhäisiä argumentteja.

Olemme antaneet vastaavan kaavan joillekin samantyyppisille lineaarisille yhtälöille. Johtopäätöksellemme, kuten näemme tässä, voimme toistaa sen sanatarkasti: jos mustasukkaisuuden todelliset ydinominaisuudet ovat negatiivisia ja negatiivisen toiminnan osan kaikki monimutkaiset aspektit, niin La:n mukaisen asymptoottisen asenteen yhtälöt eri tavalla. , koska stabiilisuutta ei ole (juuri- tai reaaliosat ovat positiivisia) tai asymptoottista ei ole (yhtä kuin juuren nollareaaliosa).

Meidän tapauksessamme ei tarvitse mennä differentiaaliyhtälöihin, mikä kaventaa edelleen tehokkaiden tulosten ulottuvuutta myöhäisillä argumenteilla varustettujen yhtälöiden osalta Transsendenttisen ominaisyhtälön juuret ja noin toteutettavuus järjestävät ratkaisut sarjaan eksponentiaalien mukaan. Jos itse yhtälön poistamisessa on ongelmia, käytämme toista tekniikkaa. Ymmärrämme, että tulosyhtälön ratkaisu voidaan esittää ratkaisun superpositiona seuraavassa järjestyksessä: .

Kun tuomme tämän ilmaisun maissintähkään, tiedämme:

(18)

Tätä tekniikkaa käytetään laajalti matemaattisessa fysiikassa lineaarisiin ongelmiin.

Tunteaksemme tunnusomaiset yhtälöt meidän on laitettava ratkaisu mieleemme. Kun suhteen molemmat puolet on vähennetty ajan sisältävään funktioon, saadaan ominaisyhtälö:

(19)

Jäljelle jäävä yhtälö on karakteristinen yhtälö. On mielenkiintoista, että se voidaan piirtää suljetussa muodossa suurille funktioille, koska ensimmäisen kertaluvun lineaarinen yhtälö G (T) löytyy kvadratuureista. Juurien voima on kuitenkin edelleen merkittävä. Tässä emme viivyttele, koska monimutkaiset ilmiöt voidaan jäljittää numeerisesti.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa, kun funktiot eivät ole T:n alla, ominaisvertailulauseke näyttää erityisen yksinkertaiselta:

(20)

Tällaisia ​​yhtälöitä kutsutaan eksponentiaalisiksi polynomeiksi. Juurien juurtuminen tällaisella polynomilla on hyvin tehty. Jos käy ilmi, että yksi aktiivinen juuri on negatiivinen, kaikilla monimutkaisilla juurilla on negatiivisia aktiivisia osia. Tässä tapauksessa järjestelmän vakaus on diskreetti vaihtoehto, joka lisää kilpailukykyisen ohjauksen stabiloivan metsämassion johtimiin. Jos kilpailutaistelu käynnistettiin tunnin ajan, kilpailutaistelu voi vain vahvistaa tätä prosessia. Silloin epävakaassa tilassa kilpailutaistelun sisällyttäminen johtaa sisäiseen vakautukseen.

On tärkeää huomata, että on teoriassa mahdotonta tehdä stabiilisuustutkimuksia vain muutamilla kilpailevilla laitteilla (muilla epälineaarisilla järjestelmillä tilanne on kuitenkin samanlainen). Tämä osoittaa, että arvo analyyttinen

samalla ajalla ja kellonajalla valitsemalla nollapiste etuajan takaa:

(21)

Silmäluomen takana olevan rajakerroksen integraalin laskemiseen käytetään Simpsonin kaavaa. Yhtälön oikea puoli otetaan keskipisteestä.

Kaikki tallennetaan aika ajoin paloittain sileäfunktioina (alla olevissa laskelmissa viivanosat). Oikeus muutoksiin pidätetään, muutokset eivät vaikuta millään tavalla aikaisempiin ohjelmiin.

Ohjelmat on järjestetty siten, että tunnissa on mahdollista suorittaa useita vaiheita ja näyttää tulos kaaviona. Näin voit seurata profiilin asennusprosessia.

Kuva.

Kuvassa 10 on esitetty silmäluomien spektrin kehittymisen tulokset lineaarisen mallin mukaisesti. Silmäluomien jakautuminen U0 ja kolme jakautumista on esitetty tunnin viimeisellä hetkellä. Voimme tarkkailla perustamisprosessia, kun kilpailua ei ole (metsä on nuori) On selvää, että biomassan paksuus lisääntyy, mihin liittyy ikäspektrin profiilin siirtyminen oikealle. . Kuva 10.

Yksiikäisen väestön maallisen spektrin evoluutio

Kilpailua kehitettäessä sisällytämme kilpailun integraalin kokonaiskertoimeen. Se lasketaan ensiksi. On sanottava, että tällainen kirjanpidon järjestäminen on varsin luonnollista metsäalan kehityksen kannalta: muutoksia on aluksi odotettavissa, ja sitten ne vaikuttavat kilpailun ilmenemiseen.

Voidaan nähdä, että kilpailutilanteessa saavutetaan stationäärinen systeemi: nuori metsä muuttuu kypsäksi (kuva 11). Kuva 11.

Ikivanhan spektrin evoluutio

yksiikäinen väestö (kilpailun kanssa)

visnovok§ 2) - tämä on diskreetti malli, joka perustuu Leslie-matriisiin, joka tunnistaa väestön jakautumisen terminaalien ikäryhmien takana. Kaksi muuta mallia ovat keskeytymättömiä, ja ensimmäinen niistä (§ 3) nostetaan peruserotasoille, ja loput (§ 4) - eritasoille yksityisissä asioissa.

Lista viittauksista

Svirezhev Yu.M., Logofet D.O. Biologisten yhdisteiden vastustuskyky. M., Nauka, 1978.

Fedorov V.D., Gilmanov T.G. Ekologia.

M., toim. Moskovan valtionyliopisto, 1980.

Williamson M. Biologisten populaatioiden analyysi. M.: Mir, 1975.

Volterra V. Matemaattinen teoria elämätaistelusta. M.: Nauka, 1976.

V.I.Kuznetsov "Evoluutiometsän matemaattinen malli", väitöskirja fysiikan ja matemaattisten tieteiden kandidaatin tieteellisen tason kehittämisestä, M, 1998

Kozlov N.I., Kuznetsov V.I., Kirjanov D.V., Kirjanova E.N. Keskipitkän leveysasteen metsien kehityksen dynaamiset mallit. Preprint IAM RAS M., 2005.

Leslie P.H. Matriisien käytöstä tietyssä populaatiomatematiikassa. Biometrica, v. 33 (1945), N3, s. 183 Godunov S.K., Ryabenkiy V.S. Erosuunnitelmat.

"Tiede", M. 1973.

Bellmana R., Cook K.L. Differentiaalitaso. "Svit", M., 1967..

Godunov S.K. Primääridifferentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla Volume 1. View. NSU, ​​1994

Kalitkin M.M. Numeeriset menetelmät. "Mir", M., 1978.

UDC577.4: 517.9

LESLIN MALLIN HETEROGEENISUUDEN MUUTTAMINEN KANSALLISUUDEN NEGATIIVISTEN KERROINTYYPILLÄ

BALAKIREVA A.G.

että jokaisella kiinteällä ajanhetkellä (esim. t0) populaatio voidaan karakterisoida käyttämällä lisävektoriasemia

Analysoidaan heterogeenista Leslien mallia negatiivisilla kansallisuuskertoimilla. Tämän mallin perusteella määritetään ja ennustetaan professori- ja varastovaraston maallinen dynamiikka tietyn VNZ:n puitteissa.

1. Esittely

missä xi (tj) on i-luvun ryhmän numero hetkellä tj, i = 1, ..., n.

Vektori X (ti), joka luonnehtii populaatiota nykyhetkellä, esimerkiksi rik kautta, yhteydet vektoriin X (to) siirtymämatriisin L kautta:

Tämän työn metatiedot: osoittaa mahdollisuus pysähtyä Leslien heterogeeniseen malliin negatiivisten väestötiheyskertoimien esiintymisestä väestödynamiikan kehityksen ennustamiseksi.

2. Pobudova-malli väestödynamiikasta ikivanhan varaston säätelyllä (Leslie-malli)

Käytännön Leslie-mallia varten on välttämätöntä, että väestö jaetaan lopulliseen vuosisadan luokkiin (esimerkiksi n vuosisadan luokkaan) omalla trivaliteetillaan ja kaikkien luokkien lukumäärää on säädettävä diskreetissä tunnissa yhtenäinen ajanjakso (esimerkiksi 1 rik).

Keittojen nimellä ja mielellä, jotta ruokaresurssit eivät rajoitu, voit ansaita rahaa, 40

Näin ollen, kun tiedetään matriisin L rakenne ja väestönkasvunopeus (vektori X (t0)), on mahdollista ennustaa väestönkasvu kulloinkin:

X (t2) = L X (ti) = LL X (t0) = L * 2 X (t0),

X (tn) = LX (tn-i) = ... = LnX (t0). (1)

Matrix Leslie L:llä on tuleva näkymä:

^Ai a2. .. a n-1 a> u-n

0 Р 2... 0 0, (2)

v 0 0... P n-1 0 V

de a i - vuosisatoja vanhat populaatiokertoimet, jotka kuvaavat eri ryhmiin syntyneiden yksilöiden määrää; Pi - eloonjäämisluvut, yhtä suuri kuin todennäköisyys siirtyä ikäryhmästä i ryhmään i +1 nykyiseen aikaan (n.

pienempi ^ Pi voi olla suurempi kuin 1). i = 1

RI, 2011, nro 1

Matriisi L tarkoittaa lineaarista operaattoria n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa, jota kutsumme myös Leslie-operaattoriksi. Fragmentit arvosta x; (t) numeroiden tunto uhkaa, hajua ei tunneta, ja meidät tunnistetaan operaattoriksi Leslie rauhallisen avaruuden positiivisessa oktantissa Pn n. Koska kaikki matriisin elementit ovat näkymättömiä (jolloin matriisia itseään kutsutaan ei-negatiivisiksi), on selvää, että jos Leslie-operaattori ei näytä mitään positiivista oktanttivektoria minkään rajan ulkopuolella, liikerata X (t j) (j = 1,2, ..) häviää Pn:ssä. Leslien mallin kaikki muut voimat johtuvat L-matriisin näkymättömyydestä ja sen erityisestä rakenteesta.

Erotustasojen (1) asymptoottinen käyttäytyminen liittyy tiukasti matriisin L spektrisiin tehoihin, jotka pääosin vahvistetaan Peron-Frobenius-lauseella.

Viznachennya. Heterogeenistä Leslien mallia kutsutaan näkymämalliksi

X (tj + i) = L (j) X (to), L (j) = Li L2 ... Lj, j = 1,2, ...,

de Lj on j:nnen kroksin Leslie-matriisi.

Heterogeenisen mallin dynamiikka on vielä heikompi (on hyvin samanlainen kuin mallin (1) dynamiikka ja jopa hieman erilainen). Samalla tämä malli on epäilemättä realistisempi.

3. Operaattorin Leslien spektriteho

Seuraavat käsitteet otetaan huomioon - Leslie-matriisin epäprimatuuriindeksi.

Ei-taitettavaa matriisia L, jossa on näkymättömiä elementtejä, kutsutaan primitiiviksi, koska se sisältää täsmälleen yhden ominaisluvun, jolla on maksimimoduuli. Jos matriisi sisältää h> 1 ominaislukua maksimimoduulilla, sitä kutsutaan imprimitiiviseksi. Lukua h kutsutaan matriisin L läpäisemättömyysindeksiksi. Voidaan osoittaa, että Leslie-matriisin läpäisemättömyysindeksi on verrattavissa näiden vuosisatoja vanhojen ryhmien suurimpaan määrään lukuja, ihmisiä. nollasta. Zokrema, Leslie-matriisin primitiivisyydestä

dosit, niin että a 1> 0, tai muuten populaatio on pieni missä tahansa kahdessa seuraavassa ryhmässä, niin se olisi j, niin että a j Ф 0 i

Tarkasteltaessa sitä, mitä on sanottu, voidaan tarkastella vallan toimijoita Leslien matriisissa.

1. Matriisin L ominaispolynomi on vanha

An (P) = l1 ^ -L = рn - “gr.n 1

Helppo sprintti,

joka on helppo todistaa matemaattisen induktion menetelmällä.

2. Ominaisuusarvolla A n (p) = 0 on yksi positiivinen juuri p1 siten, että

jossa p on matriisin L toinen tehoarvo. Numerot p1 osoittavat matriisin L positiivisen tehovektorin X1.

2 potenssin vahvistus seuraa suoraan näkymättömiä matriiseja koskevista lauseista ja Descartesin lauseista.

3. Innokkuuden merkki kohdassa (3) voi tapahtua siinä vinyatkovu vipadka, Jos vain yksi kansalaisuuskertoimista pienennetään nollaan:

ja k> 0, ja j = 0, kun j = 1,2, ..., k - 1, k + 1, ..., n.

4. Arvo p1 ilmaisee populaation asymptoottisen käyttäytymisen. Populaatiokoko kasvaa tasaisesti I1> 1:ssä ja putoaa asymptoottisesti nollaan kohdassa I1< 1. При И1 =1 имеет место соотношение

X1 = [-І -----, - І ------, ..., - ^, 1] "

Р1р2 -Pn-1 P2 --- Pn-1 Pn-1

Matriisin L positiivinen tehovektori, joka lasketaan kertoimeen asti.

Näytön (4) hajoamattoman Leslie-matriisin tehon osoitin 4 on arvo

R = a1 + £ a iP1 ... Pi-1, i = 2

joka voidaan tulkita populaation lisääntymispotentiaaliksi (luomisen juoksevuuden määritelty parametri), eli jos R> 1, niin p1> 1 (populaatio kasvaa eksponentiaalisesti), jos R< 1, то И1 < 1 (экспоненциально убывает), если R = 1, то И1 = 1 (стремится к предельному распределению).

4. Leslien mallin muunnos negatiivisten kansallisuuskertoimien muodostamiseksi

Robotit näyttivät vain Leslien mallilta tuntemattomilla tekijöillä. Tällaisen valinnan perusteella oli kohtuullisten matemaattisten etujen lisäksi sellaisia, että sekä selviytymistodennäköisyys että väestön elinajan kertoimet eivät voi olla pohjimmiltaan negatiivisia. Kuitenkin jo parhaimmillaan varhaiset robotit luodun populaation mallien takana korostettiin Leslie-matriisin ensimmäisen rivin näennäisesti ei-positiivisilla kertoimilla olevien mallien kehittämisen merkitystä. Negatiiviset kertoimet ehdottavat kuitenkin malleja sellaisten biologisten populaatioiden luomiseksi, joilla on "lisääntymisen vastainen" käyttäytyminen yksilöissä.

RI, 2011, nro 1

kaikki ikäryhmät (köyhät munat ja nuoret yksilöt jne.). Kuinka pitkälle vastasyntyneiden ja muiden vuosisatoja vanhojen ryhmien edustajien välinen kilpailu resursseista voi mennä? Tämän ajankohtaisuuden yhteydessä käydään keskustelua niistä, jotka säilyttävät vuosittaisuuden voiman, erityisesti Leslien tuntemattomien kertoimien malleissa, laajemmassa demografisen potentiaalin luomismallien luokassa.

Tässä tulee teoreema sisään.

Lause (Demografisen potentiaalin luomismallin epävakaudesta).

Päästä irti demografisten mahdollisuuksien ja elävien ikivanha rakenne. Sitten on luku l = (r: | r |< рmin }, такой, что режим воспроизводства с указанными выше показателями обладает свойством эргодичности тогда и только тогда, когда истинный коэффициент воспроизводства не принадлежит этому кругу.

Tätä ympyrää kutsutaan epävakauden panoksiksi ja sen sädettä kutsutaan epävakauden säteeksi.

Kunnioitus 1. Lauseena on tärkeä seuraus riippumatta siitä, millainen demografisen potentiaalin rakenne olisi, todellisen tehonmuodostuskertoimen nykyisillä arvoilla jaksollisuus vältettäisiin. Ergodicisuuden vaikutus voi johtaa malleihin, joissa on negatiivisia elementtejä luomismatriisin ensimmäisellä rivillä, ja indusoida negatiivisia demografisten potentiaalien arvoja.

Kunnioitus 2. Lause osoittaa, että jos tehollinen kerroin on merkitsevä, luodulla mallilla on ergodisuusvoima, niin kertoimen teho on yhtä suuri kuin luominen.

5. VNZ-varaston maallisen dynamiikan mukauttaminen. numeerinen kokeilu

Katsotaanpa ennustetta lukujen ja jakojen dynamiikasta professori- ja akateemisen varaston vuosisadan ryhmittäin yhden Harkovin yliopiston tietojen perusteella. Standardi, kuten "stisla" kutsutaan, vuosisatoja vanha professori-kirjailijavaraston rakenne muodostuu tilastoista 5 vuosisatoja vanhojen kategorioiden muodossa. Taulukossa näkyy N ihon ikäluokkien lukumäärä kivien ja vuosisatojen mukaan, jotka tästä ikäluokasta tulee suhteessa ihmisten määrään.

Lisäämme matriisin siirtymään L j, joten

X (tj + i) = LjX (tj) (Lj (5 x 5)). (4)

Tätä varten on tarpeen laskea väestön ja eloonjäämisen kertoimet matriisimuodossa (2). Eloonjäämisluvut voidaan laskea menetelmällä

bezposrednya vyrіshennya rіvnyanya (4), vikorista tiedot taulukosta.

Professori-vikladatskin varaston rakenne

1 <40 322 38 242 38 236 36 273 40

2 40;49 117 14 88 14 95 15 90 14

3 50;59 234 27 163 26 160 25 156 24

4 60:65 88 10 68 11 79 12 69 11

5 65> 93 11 68 11 79 12 69 11

Yhdessä 854 629 649 657

Koska kansalaisuuskertoimista on pulaa, on tarpeen luoda lisäkorvauksia. Todettakoon, että professorien ja kouluttajien määrä kasvaa kymmenellä henkilöllä. Kansalaisuuskertoimen jäänteet; tulkitaan keskimääräiseksi hedelmällisyydeksi varsinkin i-th ikuisesti ryhmässä, voimme olettaa, että a1, a 5 = 0 ja a 2 = 7 ja 3 = 3. Tulostiedoissa on selvää, että a 4 on negatiivinen. Tämä mieli tulkitaan yliopiston erilaisten professorien ja akateemisen henkilökunnan jäsenten tuotokseksi. Sen perusteella, mitä on sanottu, on selvää, että matriisit L j näyttävät tältä:

0 0 in 3 0 0. (5)

Tarkastelemme vain lisääntymisluokkia. Tätä tarkoitusta varten on tarpeen muuttaa indusoidun matriisin tyyppiä (unohdamme jäljellä olevan nollasarakkeen). Ja lisääntymisen jälkeinen luokka on laskettavissa kappaleen 2 mukaisesti.

Tällä tavalla, kun tarkastellaan sanottua ja tulostietoja, voidaan tunnistaa kaksi matriisia:

Matriisi Li muodossa (5) kertoimilla а4 = 15, Р1 = 0,27, р2 = 1,39, р3 = 0,29;

Matriisi L2 muodossa (5) kertoimilla а 4 = 11, Р1 = 0,381, р2 = 1,64, р 3 = 0,43.

Matriisit L1 ja L2 vastaavat vuosien 2005-2006 ja 2007-2008 siirtymiä. Otetaan vektori X (t0) = T tähkäjaosta pitkin versoa.

Näillä matriiseilla on luomiskertoimet p1, mikä ei häviä asennusprosessissa. Tulokset osoittavat, että väestöllä on annetusta luomisjärjestelmästä johtuen ergodisuuden voima.

Pysähtynyt epähomogeeninen Leslie-malli annetusta tähkäjakaumasta päättelee, että alkaen n = 30:sta alkuperäisen numeron kohdalla mieli vähenee

RI, 2011, nro 1

stabilointi näyttää tältä: X (tj + 1) = ^ 1X (tj), j = 20, ..., de q = 1,64 - matriisin L 2 korkeimmat kosteusarvot.

Vakauttamisen jälkeen ikäluokkien prosenttiosuus näyttää tältä: ensimmäinen luokka - 39%, toinen - 14%, kolmas - 22%, neljäs - 12%, viides -13%.

Niin kauan kuin tehokkain luku on suurempi kuin yksi, mallimme on auki. Tässä yhteydessä ei tarkastella professori-toimistovaraston taustalukua, vaan tämän luvun kehitystä korkeimmalle tasolle

Matriisin L2 Vlasny-arvo:

L (j) X (t0) / cc, de j = 1,2, ....

Professori- ja koulutusvaraston maallisen rakenteen dynamiikka vuoteen 2015 asti esitetään yksityiskohtaisesti.

Prosentti

2004 2005 2007 2008 2013 2015

Vaihda usein vanhojen luokkien mukaan ajan myötä

Tämän pienen kuvan asteikko on 10-40, joten eri luokkien välinen korrelaatioprosentti on tällä alueella.

Ennustemallitiedot säilytetään yleensä Seuraan trendiä Yli 50-vuotiaiden osuus kasvaa, mikä tarkoittaa, että suuntaus VNZ:n "vanhaan" ikivanhaan varastoon säilyy. Todettiin, että kahta ensimmäistä luokkaa on korotettava vähintään 23 % ja muissa luokissa vastaavat muutokset tämän suuntauksen muuttamiseksi.

Tieteellinen uutuus piilee siinä, että Leslien heterogeenista mallia negatiivisten kansallisuuskertoimien laskusta tutkittiin ensin. Näin malliin voidaan sisällyttää populaation lisäksi myös pregeneratiivisella kaudella olevien yksilöiden kuolleisuus, mikä tekee mallista realistisemman. Negatiivisten kertoimien havaitseminen muuttaa perusteellisesti Leslie-mallin dynamiikan seurantamenetelmää, joka näyttää osoittavan pään verenpainearvon lokalisointialueen (Insta-liikkuvuuden ympärillä).

Käytännön merkitys: tämä malli mahdollistaa väestön koon ja ikärakenteen muutoksen ennustamisen sekä väestön että kuolleisuuden osalta ikäryhmissä. Zokrema, vikoryst ja todelliset tilastotiedot, jotka Kharkovin kaupungin VNZ kuluttavat, on uusi ennuste professorin ja varaston maallisen muutoksen dynamiikasta. Ennustetiedot korreloivat yleensä hyvin todellisten tietojen kanssa.

Kirjallisuus: 1. Leslie P.H. Matriisien käytöstä tietyssä väestömatematiikassa // Biometrica. 1945.V.33, N3. P.183212. 2. Zuber I.E., Kolker Yu.I., Poluektov R.A. Lukumäärän ja ikääntyvän väestön hallinta // Kybernetiikan ongelmat. VIP.25. P.129-138. 3. Riznichenko G.Yu, Rubin A.B. matemaattisia malleja biologiset tuotantoprosessit. M.: Kustantaja. Moskovan valtionyliopisto, 1993. 301 s. 4. Svirezhev Yu.M., Logofet D.O. Biologisten yhdisteiden vastustuskyky. M.: Nauka, 1978.352 s. 5. Gantmakher F. P. Matriisiteoria. M.: Nauka, 1967.548 s. 6. Logofet D.O., Belova I.M. Näkymättömät matriisit väestödynamiikan mallinnustyökaluna: klassiset mallit ja modernit // Fundamental and Applied Mathematics. 2007.T. 13. VIP. 4. P.145-164. 7. Kurosh A. G. Korkea algebran kurssi. M.: Nauka, 1965. 433 s.

Tiedätkö kuka Leslie Hornby on? On mahdollista, ettei ole tarpeeksi ihmisiä, joilla on oikeaa tietoa ravintoketjusta. Kuka on Twiggy? Tämän tietävät melkein kaikki, ja valokuvat nykyisestä mallista löytyvät helposti Internetistä. Kuka ihmetyisi kuullessaan, että nämä kaksi nimeä kuuluvat samalle henkilölle, supermallille, näyttelijälle, tv-juontajalle, muusikolle, vaatesuunnittelijalle.

Legendaarinen Twiggi tuli tunnetuksi viime vuosisadan 60-luvun puolivälissä mallina, vaikka hänen uransa tässä roolissa kesti vain 4 vuotta. її tunnustaminenKauniin tytön kuvaa, kuuluisaa meikkiä ja nykyään käytetään erikokoisten peilien kanssa. Vaughn käytti muodikkaasti kirkasta kangasta polven keskelle. On huomattava, että mallin korkeus on vain 165 cm, silloin se ei koskaan ylitä 50 kg. Tällaisista parametreista on tullut samanlaisia ​​kuin mallissa. Äskettäin he saattoivat jälleen esiintyä näytöillä tuomareina "America's Next Top Model" -ohjelmassa.

Ruokotytön lapsuus

Pikku Leslie syntyi vuonna 1949 Lontoossa. Vietin lapsuuteni NISD-alueella. Varhaiset valokuvat Twiggasta osoittavat, että hän oli jopa lapsuudessaan erittäin kaunis tyttö. Nykyinen supermalli varttui samassa taloudessa tarjoilijana. Tuolloin isän työ toi tarpeeksi tuloja kolmen tyttären synnyttämiseen. Todellisuudessa Zirkan elämäkerta ei selitä traagisia tarinoita. Tätä lapsuutta voidaan kutsua onnelliseksi.

Jo myöhään teini-iässä Lesley Hornby meni töihin assistenttina kauneussalonkiin, jossa hänen vanhempi sisarensa Viv oli jo työskennellyt. Näytti siltä, ​​että tyttö oli löytänyt paikkansa. Lesliellä oli epätavallinen ulkonäkö, mutta hänen kasvunsa ei ollut korkea, ja hänen arvonsa oli jopa merkityksetön. Nadmirna khudorba on aina halunnut liimata vieraantuneiden puolelta.

Jo tuohon aikaan
alkaa näkyä
ei-täydellinen Twiggy-tyyli

Töissä hän osoitti mielikuvituksensa tehdessään kampa-overeita ja meikkauksia asiakkaille. Olin iloinen, että naiset tai tytöt olivat valmiita maksamaan, kun he tulivat salonkiin. Vaughn pystyi helposti muotoilemaan sopivan kuvan häihin.

Ensimmäiset murut jakkimallissa

Itse kauneussalongissa Leslieä kunnioitti mallitoimiston edustaja, joka myös vahvisti menettelyn. Tytöstä tuli tuolloin vierailevan Lontoon perukar Leonardon salongin kasvot. Tämä kuva koristeli pelinappulan ikkunaa. Tämän kuvan ovat luoneet lahjakkaat stylistit. He eivät ole taipuneet mallin pieneen ikään, ja he hallitsevat täysin emättimeänsä.

Pojan hiustenleikkaus, Twiggyn legendaarinen meikki - kaikki näkyy mallin varhaisissa kuvissa. Ensimmäisen valokuvauksen teki kuuluisa valokuvaaja Barrie Lategan. Hän itse keksi salanimen Twiggi, joka käännöksessä tarkoittaa ohutta ruokoa. Tyttö lyhyessä kankaassa näytti kohteliaalta valokuvissa.

Pienelle tytölle ei yksinkertaisesti ollut hyvää nimeä, ja hänen kuvansa oli niin kevyt, taipuvainen ja melankolinen. 16 naisella heidän painonsa oli yli 40 kg ja keskipituus 165 cm Ennen puhumistaan ​​Twiggi oli arvioinut parametrit riittävästi. Hän tajusi, että hänen kasvunsa ei riittänyt tullakseen kiitotien malliksi. Kuva tytöstä ei muistuttanut sellaista robottia.

Ystävieni vuoksi päätin kokeilla itseäni tällä alalla. Tyttöä kuvattiin koko ajan yksinomaan mainosyritysten ja kiiltävien aikakauslehtien valokuviin. Ale vona ei yksinkertaisesti voinut olla muistamatta kuuluisat suunnittelijat. Hänen hiustyyliään, tyyliään ja meikkiään pidetään edelleen legendaarisina. Vaughn alkoi tehdä anonyymiä esityspyyntöä. Kirjaimellisesti joen toisella puolella Twiggi tuli näkyväksi kaikkialla maailmassa.

Ura

Twiggystä tuli suosittu laulaja, ja hän julkaisi yli 20 albumia, joilla on sama tyyli. Hän esiintyy elokuvissa ja näyttelee teatterissa. Nykyään legendaarinen malli isännöi keskusteluohjelmia ja osallistuu erilaisiin televisioprojekteihin. Twiggyn elämä on aina täynnä henkiä.

Kypsä nainen on jo yli 60-vuotias, ja näyttää siltä, ​​että hän voisi tappaa paljon nuoria tyttöjä. On vaikea uskoa, muuten sinulla on liikaa rahaa. Twiggin kohtalon myötä hän säilyttää hahmonsa, joka teki hänestä kuuluisan. Nämä valokuvat todistavat hänen upeasta fyysisestä muodostaan.

Isoäiti Leslie julkaisee kirjoja, joissa hän kertoo kuinka näyttää viehättävältä elämässä, kuinka sovittaa tyyliisi, miten muotoilla hiustyyliä, valita kampauksia, meikkaa, kuinka asettaa elämässä tavoitteita ja saavuttaa ne. Luomuksiamme pidetään naisten raamatuna. Ja Twiggan tyyliä pidetään heti muodikkaana ja relevanttina.

lahjakkuuksien seuraajia

tänään suosittu malli 60-luvulta lähtien on tullut yhä yleisempää katsoa Kate Mossia ylöspäin. He nukkuivat hyvät yöunet. Isosta-Britanniasta tuleva kaunahaju, joka ei kasva suurella kasvulla, on tullut sairauden vuoksi yhä näkyvämmäksi, ja molempien silmien hajukin pienenee pian. Nykyään tällaisia ​​parametreja pidetään mallien vakioina. Silmien meikki ja tyyli ovat usein samanlaisia.

Ehkä Twiggystä itsestään tuli Katelle erityinen motivaattori. Toinen heti tiedossa oleva ominaisuus otti supermallin nimen - Twiggy Ramirez. Marilyn Manson -yhtyeen kitaristi Jordie White otti kollegoidensa esimerkin mukaisesti salanimekseen 1900-luvun legendan Twiggyn ja sarjamurhaajan, hullun Richard Ramirezin lempinimen.

Osallistuminen "America's Next Top Model" -ohjelmaan

Valmistumishetkellä tuomaristossa tuolloin oli Janice Dickinson, ja hänen vaihdostaan ​​kuului uutisia. Loistava supermalli ei osoittanut suvaitsevaisuutta osallistujaa kohtaan, kaikki hänen kommentit olivat liian suoraviivaisia. Twiggy otti paikkansa tuomariston puheenjohtajana. Ylimielinen brittiläinen nainen, jolla on hallitseva tyyli, muutti esitystä.

Sen osallistujat olivat onnekkaita tapaamaan supermallin. Vaughnista tuli Maalaan sen perseelläni Lisäksi mallin ura voi viedä tytöt matalista korkeuksista uskomattomiin korkeuksiin. Twiggy osallistui ohjelmaan yhdeksänteen kauteen asti.

Erikoinen elämä

Supermalli Twiggylla oli hektinen elämä. Hänen tyttärensä meni virallisesti naimisiin ja synnytti tyttären. Nykyään hän on onnellisesti rakastunut näyttelijä Lem Lawsoniin. Haisee asua huoran kanssa vuodesta 1988.

Leslien mallin laajentamisessa todellisiin populaatioihin liittyy useita rajoitettuun malliin liittyviä vaikeuksia. Joten esimerkiksi erityisistä kokeellisista mielipiteistä ja varovaisuudesta johtuvista syistä ei useinkaan ole mahdollista tarkastella jäljellä olevaa, ikivanhaa jäljellä olevan lisääntymisiän yksilöiden ryhmää. Tässä kategoriassa kaikki iäkkäät yksilöt sisältyvät ryhmään, ja Leslie-matriisiin on lisätty elementti, joka voi havaita näiden ryhmässä olevien yksilöiden osuudet, jotka selviävät tunnin välein. Matriisia L muutetaan vastaavasti

Tämä malli tarkoittaa, että nollasta poikkeava osa väestöstä elää loputtomasti; Se, mikä on tämän systemaattisen lypsyn perintöä, ei ole suurempaa kuin summa

missä M on populaation yksilöiden suurin mahdollinen ikä.

Toinen vaikeus on se, että aika-tunti-asteikkoa ei pian voida valita siten, että tunnin viimeisimmät hetket osoittavat yksilöiden siirtymistä ikäryhmästä toiseen. Tässä tilanteessa käytetään seuraavaa tekniikkaa: järjestys ja suuruudet tuodaan näkyviin ja magnitudit tarkoittavat sitä osaa ryhmässä olevista yksilöistä, jotka nykyhetkeen t asti eivät ole vielä päässeet siirtymään seuraavaan luokkaan. Sitten matriisi L muunnetaan muotoon

Modifioidut matriisit (7.1) ja (7.2) säilyttävät klassisen Leslie-matriisin päävoiman - sen elementtien ei-negatiivisuuden, joten Peron-Frobenius-lause on edelleen voimassa ja primitiivisellä tavalla perusraja.

de - tehovektori, joka ilmaisee muunnetun matriisin suurimman ominaisluvun. Lisäksi matriisin elementtien fragmentit ovat tuntemattomia, ja suhde muodostuu

Tähdet huutavat

eli modifikaatio parantaa mallin stabiilisuutta linjassa lähtömatriisin L kanssa. On myös tarpeen varmistaa, että muokattu matriisi säilyttää lähtömatriisin liikeradan vakauden (in ), sitten on tarpeen muuttaa elementtejä matriisin L vastaavasti, niin että

Arvioitaessa kokonaiskuvaa Leslien mallin liikeradan käyttäytymisestä on tärkeää huomata, että se on tarpeen todellisten populaatioiden dynamiikan luomiseksi pitkiin sykliin liittyvän erittäin vakavan vuorovaikutuksen vuoksi. Suurille populaatioille tyypilliset populaatiosyklit voidaan jättää mallista pois, ellei niiden ajanjakso ylitä yhden yksilön elinkustannuksia; Matriisi on suunniteltava siten, että sen epäkypsyysindeksi jaetaan syklin jaksolla tai sen välttämisellä. Kaoottisten järjestelmien yleisyys osoittaa, että huolimatta monimutkaisemmasta (maallisten ryhmien käyttöönottoa varten) väestörakenteesta, vuorovaikutusmekanismien lineaarisuus kuulostaa selkeältä. Liikeradan intensiteetti vastaa homogeenisen populaation dynamiikkaa, joka on oma itsensä. -määrän rajoittaminen (§ 4).

Yksi yrityksistä sovittaa yhteen Leslien lineaarisen mallin analyyttinen yksinkertaisuus todellisten populaatioiden monimutkaisen dynamiikan kanssa oli niin kutsuttu "matriisin strippaus" -malli. Syklinen tai jopa syklinen populaatiodynamiikka mallinnetaan käyttämällä kahta Leslie-matriisia, jotka on jaettu yhdeksi selviytymisarvosarjaksi S; niin, että yhdellä niistä on suurin teholuku ja toisella suurin teho. Jos mallipopulaation kokonaismäärä on pienempi kuin esimerkiksi keskimääräinen (kiinteä) arvo N, populaatiota ohjataan matriisilla, joka antaa lukumäärän kasvun. Kun N liikkuu, populaatiota ohjaa matriisi, mikä johtaa lukujen vähenemiseen. Ilmeisesti ajatus syklisyydestä on upotettu jo mallin suunnitteluun, mutta tiukkoja analyyttisiä tuloksia, joita voidaan soveltaa "matriisiliuska" -mallin sykleihin, ei ole vielä poistettu. Mallin liikeradat on helppo syöttää vaalitarkkailuoperaatioon, ja ne tarjoavat laajan valikoiman "kvasisyklejä", eli lentoratoja, jotka piirretään pyöristämällä ryhmänumeroiden mitta-arvot kokonaislukuihin. Tällaiset "kvasisyklit" kuvaavat onnistuneesti todellisten populaatioiden, kuten villieläinten, dynamiikkaa kivisten vaihtelujaksojen kanssa.

Teoreettiselta kannalta on oikeutetumpaa ottaa huomioon lähestymistapa, joka perustuu siihen, että todellisissa tilanteissa ikääntyneiden ryhmien hedelmällisyys ja kuolleisuus ovat joko näiden ryhmien itse tai koko väestössä ja väestössä. kokonainen. Tällainen Leslien mallin formalisointi näkyy seuraavassa kappaleessa.

Hei x i(k) , De - yksilöiden lukumäärä populaatiossa i vuosisadan ryhmä erillisinä hetkinä k. Yksilöiden lisääntymis-, kuolema- ja siirtymisprosessit ikäryhmästä toiseen voidaan muotoilla tällä tavalla (Rosenberg, 1984). Alusta alkaen voimme selvittää, mikä väestön tila tällä hetkellä on k+ 1 makuulla tällä hetkellä k. Ensimmäisen ryhmän numero ( k= 1) on kaikkien muiden ryhmien uusien synnytysten lukumäärä yhden tunnin välein; On tärkeää, että tietyn ikäryhmän yksilöt värähtelevät kaloja suoraan suhteessa tämän ryhmän yksilöiden määrään:

de f i- kansalaisuuskerroin i-luvun ryhmä. Mitä tarkoitat d j<1 коэффициент выживаемости при переходе от возрастной группы j ryhmään j+1, niin voimme kirjoittaa n- 1 suhdetyyppi:

Tämän jälkeen voit kirjoittaa järjestelmän muistiin n vähittäiskaupan piirit, jotka edustavat diskreettiä mallia ikivanhasta väestörakenteesta. Matriisimuodossa on:

x(k + 1) = Lx(k),

de x(k) = {x i(k)) on eri ikäryhmien lukumäärän vektori ja

- väestö- ja eloonjäämiskertoimien matriisi

Kun olet kirjoittanut raportin, hylkäämme:

Vasemmanpuoleisin vektorisarake edustaa eri ikäryhmien yksilöiden lukumäärää kellonaikaan k+1, ja oikeanpuoleisin vektorikeitin on eri ikäryhmien yksilöiden lukumäärä kellonaikaan k. Kansalaisuus- ja eloonjäämiskertoimien matriisi on valtiosta toiseen siirtymisen matriisi.

Väestön ikivanhan kannan laskemiseksi milloin tahansa tarvitaan yksinkertainen suhde:

x(k + 1) = Lx(k)

x(k + 2) = Lx(k+1) =LLx(k) = L 2 x(k)

x(k+m) = L m x(k)

Näkymämalli on annettu Leslien mallina (Leslie, 1945).

neliömatriisi Lє ei-negatiivinen (kaikki elementit ovat näkymättömiä). Jotta Leslie-matriisi olisi hajoamaton (jotta rivien ja alisteisten sarakkeiden permutaatiota ei voitaisi pelkistää muotoon:

de Aі B- neliömatriisit), välttämätön ja riittävä, joten. Biologisesti tämä mieli tarkoittaa sitä, mitä jakissa on n Se ei ole yksilöiden kyvykkäin, vaan suurin lisääntymisikä.

Järjestelmän ominaistaso voi näyttää tältä:

de E- matriisi, jonka päädiagonaalissa on ykköset ja kaikki muut termit ovat nolla.

Koska Leslie-matriisi on ei-negatiivinen ja hajoamaton, Perron-Frobenius-lauseesta seuraa, että ominaisuus yhtä suuri on tehokas positiivinen ominaisluku (kaikkien muiden tunnuslukujen maksimi), joka on sen yhtälön yksinkertainen juuri. Lisäksi koska ryubnyanalla ei ole nollajuuria. Se houkuttelee monia mieliä, että asymptoottinen ratkaisu järjestelmän saavuttaa suuri k ilmaistaan ​​teholuvulla λ 1 (kaikkien maksimi) ja vastaavalla tehovektorilla b 1 Leslie-matriisi:

de h 1 - toiminta on vakaa, mikä sijaitsee cob-vektorin koordinaattien alla x(0).

Jos λ 1 > 1, niin väestö kasvaa ( x(k) Lisääntyy kasvun myötä k). Yakscho λ 1<1, то популяция гибнет. Наконец, если λ 1 =1, то общая численность популяции асимптотически стремиться к постоянной величине. P(1)<0 эквивалентно выражению λ 1 >1, sitten väestön kasvu (jakokaava 5), ​​samanlainen P(1)> 0 tarkoittaa kuolemaa ja P(1) = 0 - paikallaan pysyvä populaatiokoko. Siten matriisin näkökulmasta, ilman λ 1:n arvoa, on mahdollista työstää selkeästi mallinnetun perusjoukon luonnetta tunnissa.

Leslien mallin puutteet ovat samanlaisia ​​kuin Malthusin mallissa - yleistä väestönkasvua λ 1> 1:ssä ei ole, mikä osoittaa vain tiettyjen populaatioiden kasvun tähkävaiheita (Rosenberg, 1984).

Leslien mallia käytettiin kuvaamaan Shell-lammastenopopulaation maallista rakennetta ( Helictotrichon schellinum). Tämä on irtonainen pieni nurmiruoho maaperän niittyjen aroilla. A.N. Cheburaeva (1977) seurasi yksittäisten viljojen lukumäärän jakautumista iäkkäiden ryhmien kesken Penzan alueen Poperechenskaja-arolla vedenjakajatasangolla maanalainen aukio 50 m 2 eri kivissä (1970-1974). Lammasyksilöistä tehtiin perusteelliset tutkimukset 200 ruudulla, joiden koko oli 0,5 × 0,5 m. Tällainen korkea toistotaso ja varovaisuus mahdollistavat yksilöiden lukumäärän arvioinnin ihoryhmässä. Tutkija näki yhdeksän vuosisatoja vanhoja ryhmiä:

· itujaі mennä

Pregeneratiivinen yksilö ( nuorten-, kehittymätönі nuori kasvullinen)

· Generatiiviset yksilöt ( nuoret ihmiset, kypsäі vanha)

· Postgeneratiiviset yksilöt ( subseniiliі seniili)

Shell-lammasten (1972 joki - kuiva joki) populaation dynamiikkaan kohdistuvien säävaikutusten ottamiseksi huomioon on siirryttävä absoluuttisista numeerisista arvoista vuosittaisiin. Yhtäisin väliajoin ihosilmäryhmässä voi syntyä suhde x i + 1 (k + 1) < x minä ( k), Joten tällä hetkellä vanhemmassa ikäryhmässä pitäisi olla enemmän yksilöitä kuin nuoremmassa ryhmässä tällä hetkellä. A.N.:n seitsemän ensimmäisen vuosisadan yhteydessä Cheburaeva Bulya on ob'ednan. Kunkin mallin lähtötiedot näkyvät taulukossa. 1.

pöytä 1

Shell-lammasten yhteispopulaation absoluuttinen ja tietty numeerinen arvo eri ikäryhmille (A.N. Cheburaevan tietojen mukaan, 1977)

Muutoksesta huolimatta vuoden 1972 tiedot eroavat edelleen muista, joten Leslien malli ei anna tarkkaa ennustetta väestötiheydestä. Nostaakseen lisää tarkka ennuste, Matriisin kertoimet Leslie syyllistyvät siihen, että heidät on asetettu säämielten vankeustilaan.

Herätysmatriisiin L Vikoristin toimet noin mahdollisia merkityksiä Ei ole kertoimia. Näin ollen kansallisuuskertoimet f i siirryttäessä ensimmäisestä ryhmästä, joka sisältää kaikki generatiiviset kasvit, eteen, muuttumisesta vastuussa olevat kasvut. selviämisprosentti d i otettu suunnilleen yhtä suureksi (ensimmäisestä ryhmästä puolet yksilöistä liikkuu toistensa luo, toisesta hyökkäykseen - hieman vähemmän). Leslien matriisilla on kuitenkin seuraava ulkonäkö:

Leslien mallin ominaisyhtälö tässä tapauksessa on kolmannen asteen polynomi:

Se on helppo kaatua P(1) = 0,23> 0 P.:n teorian mukaan. Leslie osoittaa tietyn yhteispopulaation vanhan ja viimeaikaisen kehityksen tietyllä aikavälillä.

Tyypillisen mustasukkaisuuden juuret ovat lukuisat. Kenelle kiihtyy Cardanon kaavan mukaan. Katsotaanpa pystysuoran kuutiovertailun algoritmia:

Tehdään korvaava:

Kieltäydymme kateudesta:

On hyväksyttävää, että juuren arvo esiintyy kahden arvon summana y = α + β, Silloin mustasukkaisuus hyväksyy näkemyksen:

Tasapainotettu nollaan viraziin (3 αβ + p), Sitten tasolta voit siirtyä järjestelmään:

joka vastaa järjestelmää:

Olemme kehittäneet Vietin kaavat kahdelle juurelle neliön taso (α 3 - ensimmäinen juuri; β 3 - toinen juuri). Tähti:

- syrjivä tasa-arvo.

Jos D> 0, niin rivillä on kolme erilaista aktiivista juuria.

Jos D = 0, niin halutaan välttää kahta juuria: joko Nauhalla on alisteinen materiaalijuuri ja toisella, niille alistetulla ruokojuuri, tai kaikki kolme juuria yhdistetään, jolloin syntyy moninkertaisuuden kolme juuri.

laatikko D<0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно-сопряженных корней.

Siten kuutioroton juuri kanonisessa rave-muodossa:

de i= - selvä numero.

Tämä kaava on tarpeen muotoilla kuutiojuuren ihoarvolle (kuutiojuuri antaa aina kolme arvoa!) ja ottaa juuren merkitys niin, että mieli tiivistyy:

Vahvistaaksesi voit tarkistaa nykyisen suhteen:

de d≠ 0

de d≠ 0

jäännös:

Vipadkallemme: a = 1; b = –0,6; c = –0,15; d = –0,02;

D= – 0,03888, D<0. Уравнение имеет один вещественный и пару комплексно-сопряженных корней.

Lisäksi seuraavien kaavojen avulla voimme määrittää ominaistason pääarvot: λ 1 = 0,814; λ2 = -0,107 + 0,112 i; λ3 = -0,107 - 0,112 i, de i= - selvä numero. Tällä tavalla ominaisella riimillä on yksi aktiivinen ja kaksi monimutkaista juuria. λ 1 on sen arvon maksimijuuri, ja niin on myös λ 1<1, то вывод об увядании данной ценопопуляции остается без изменения.

Lisäksi on hyvä tietää Yu.M. Svirzhev ja D.O. Logofetu (1978) on annettu anteeksi ja antaa riittävän syyn perustaa ihmismäärän jaksoittaiset vaihtelut ilmaisuksi:

Tämän yhteydessä voidaan ymmärtää Shell-lammasten yhteispopulaatioiden lukumäärän jaksoittaisten muutosten olemassaolo, koska λ 1> max (0,5; 0,4).

Leslien mallin puitteissa A.N varoi selittämästä. Cheburaevan löydökset ovat lampaiden vanha koenopopulaatio ja todisteet kolivarianssista eri lajeissa eri ikäryhmissä useissa kivissä. Kuvassa Kuva 1 esittää yksilöiden lukumäärän dynamiikkaa iho- ja ikäryhmittäin. Jotta malli antaisi tyydyttävän ennusteen, on välttämätöntä, että matriisin kertoimet L olivat tasaisia, mutta laiskoja sään mielen mukaan. Kuinka täydentää Leslie Umovamin mallia hallussa olevan vektorin standardoinnista x(k+1) niin, että koko väestön kokonaisluku pysyy suojassa senhetkistä kokonaismäärää vastaan k+1, silloin me itse vahingossa vaarannamme säähän liittyvien mielien tulvan. Malli näyttää tässä tapauksessa tältä:

x(k+1) = Lx(k), ,

de X(k+1) - väestön absoluuttinen koko sillä hetkellä k+1 (muut merkinnät ovat samanlaisia ​​kuin Leslien malli). Tällä tavalla tiedetään tietyn yhteispopulaation yksilöiden määrä ajan kuluessa, mikä aiheutti Leslien matriisin yleisestä biologisesta rappeutumisesta ja otti katkeruuden. x(1) jakoi lampaiden yksilöt maallisiin ryhmiin vuonna 1970, on mahdollista uskottavasti uudistaa yksilöiden jako maallisiin ryhmiin muina aikoina.

Cenopopulaatioiden absoluuttisten lukumäärien kehitys Helictotrichon schellinum eri ikäryhmille eri kohtalot toteutetaan tällä tavalla. Otamme lähtötiedot vuodelta 1970 ja lisäämme ne matriisiin. Kerrottua matriisia käännetään seuraavien sääntöjen mukaisesti. Luomme uuden matriisin, joka perustuu eri vuosisadan ryhmien lukuarvoihin vuodelle 1971.

Tämä toistetaan joka kerta joka päivä. Tulokset syötetään taulukkoon, yksilöiden kokonaismäärä lasketaan Leslie-mallilla ja verrataan empiiriseen dataan. Seuraavaksi otetaan käyttöön korjauskerroin ja määritetään laajennuksen lopullinen numeerinen arvo mallin mukaan (taulukko 2).

Taulukko 2

Shell-lammasten yhteispopulaatioiden absoluuttiset määrät eri ikäryhmille Leslien mallin ja empiiristen tietojen perusteella