”LUETOJA MERKITTÄVISTÄ EROVOITUKSISTA OSA 1. SUURIEN TEORIOJEN OSIA Alkuperäisessä oppikirjassa esitetään säännökset, jotka muodostavat perustan äärimmäisten differentiaalierojen teorialle: ...”

- [Tarina 1] -

A. E. Mamontov

LUENTO jakki aluksi

erotustasot

ZAGAL-TEORIOJEN ELEMENTIT

Ensimmäisessä käsikirjassa on ohjeet sen kokoamiseen

ensisijaisten eronäkökohtien teorian perusta: päätöksen ymmärtäminen, sen perusta, yhtenäisyys,

Parametrien riippuvuus. Myös (3 §:ssä) kunnioitetaan paljon tiettyjen hallitsijoiden "ilmeisiä" päätöksiä. Pos_bnik tehtävät pilalla vivchennya kurssi "Differentiaalinen matematiikka" opiskelijoilta, jotka aloittavat Novosibirskin valtion pedagogisen yliopiston matematiikan tiedekunnassa.

UDC 517.91 BBK V161.61 Peredmova Peruskäsikirja Novosibirskin valtion pedagogisen yliopiston matematiikan tiedekunnan opiskelijoille, jotka haluavat suorittaa pakollisen kurssin "Differential Levels" laajennetulla tavalla . Esittelemme lukijoiden hyödyksi peruskäsitteet ja tulokset, jotka muodostavat perusdifferentiaaliyhtälöiden teorian perustan: päätöksen käsite, lauseet niiden olemassaolosta, ykseys ja myös parametrit. Kuvausmateriaali on laadittu näennäisesti loogisessa jatkuvuudessa §§ 1, 2, 4, 5 tekstin kanssa. Myös (pykälässä 3, joka jää hieman sivuun ja katkaisee välittömästi kurssin päälangan) tärkeimmät vaatimukset "Explisiittisen" tekniikan avulla tarkastellaan lyhyesti Ratkaisun löytäminen eri luokkien riveissä. Kun luet kappaleen 3 ensimmäistä kertaa, voit ohittaa tekstin kurssin loogisen rakenteen vuoksi.

Oikeudella on tärkeä rooli, ja monet niistä sisältyvät tekstiin. Lukijaa suositellaan ratkaisemaan ne "kuumalla", mikä takaa materiaalin hallinnan ja toimii testinä. Lisäksi heillä on usein oikeus toistaa looginen rakenne, eli ilman heidän päätöksiään kaikkia määräyksiä ei panna tiukasti täytäntöön.

Neliövarret tekstin keskellä sisältävät huomautuksia, jotka toimivat kommentteina (laajennetut tai sivuselitykset). Leksisesti nämä fragmentit keskeyttävät päätekstin (eli konjunktiivista lukemista varten niitä on "ei merkitä"), mutta ne vaativat silti selitystä. Toisin sanoen nämä palaset täytyy imeytyä samalla tavalla kuin mikä tahansa pelloille tuotu haju.

Tekstiä terävöittävät rubriikit "kunnioitus kirjaa kohtaan" - ne voidaan jättää pois luettaessa luokkahuoneessa tai kirjasta, joka on vikoristi esimerkiksi luentoja luettaessa - ne auttavat ymmärtämään paremmin kirjan logiikkaa. kurssin ja osoittaa suoraan, mikä on mahdollista yksityiskohtaisesti (laajenna) kurssia . Tämä kunnioitus voidaan kuitenkin vasta alkaa hallita.

Samanlainen rooli on "lahjakupongilla" - haju erittäin vahvassa muodossa todistaa todellisista tarjouksista, joihin lukijalla on oikeus.

Yleisimmin käytettyjä (avain)termejä käytetään lyhenteiden muodossa, joiden lopussa on luettelo viittauksen helpottamiseksi. Siellä on myös luettelo matemaattisista käsitteistä, joita tekstissä korostetaan, mutta joita ei ole tuotu todellisiin tosiasioihin (ja joita ei ymmärretä selvästi kirjallisuudessa).

Symboli tarkoittaa todisteen loppua, lujuuden, kunnioituksen muotoilua jne. (Tämä on tarpeen sekaannusten välttämiseksi).

Kaavojen numerointi suoritetaan suoraan ihoosiossa. Kaavan osaa kirjoitettaessa käytetään indeksejä, esimerkiksi (2) 3 tarkoittaa kaavan (2) kolmatta osaa (kaavan osat sisältävät fragmentteja, jotka on erotettu typografisella tyhjennyksellä ja loogisista paikoista - konnektiivilla " i”).

Tämä käsikirja ei voi täysin korvata perusteellista aiheen opiskelua, joka edellyttää itsenäisiä oikeuksia ja lisäkirjallisuuden lukemista, esimerkiksi oppaan lopussa olevaa lähdeluetteloa. Kirjoittaja on kuitenkin kokeillut teorian pääkohdat hyvin yksinkertaisessa luentokurssille sopivassa muodossa. Huomioi tässä yhteydessä, että luentokurssia tästä oppikirjasta luennolla on tänä vuonna noin 10 luentoa.

Suunnitelmissa on julkaista vielä 2 osaa (nidettä), jotka jatkavat tätä apua ja täydentävät siten luentojen syklin aiheesta "ensisijaiset differentiaaliyhtälöt": osa 2 (lineaariset yhtälöt), osa 3 (lisäteoriaa) epälineaariset tasot, Rivnyannya ensimmäisen asteen yksityisissä asioissa).

§ 1. Differentiaalitasauksen (DE) käyttöönotto - tämä liittyy muotoon u1 u1 un, enemmän samankaltainen F y, u (y), ..., = 0, y1 y2 yk (1) de y = (y1) , ..., yk) Rk - riippumattomat muuttujat ja u = u (y) - näkymätön funktio1, u = (u1, ..., un). Siten kohdassa (1) on n tuntematonta, joten vaaditaan n riviä, eli F = (F1, ..., Fn), joten (1) є näennäisesti n-luokan järjestelmä. Jos on yksi tuntematon funktio (n = 1), niin taso (1) on skalaari (yksi taso).

No, funktio (i) F on annettu (i), ja u etsitään. Jos k = 1, niin (1) kutsutaan ODE:ksi, muuten PDE:ksi. Toinen numero on rahamarkkinarahaston erikoiskurssin aihe, joka on julkaistu samassa sarjassa alkuperäisiä oppikirjoja. Tähän kirjasarjaan (joka koostuu 3 osaosasta) lisäämme vain muutaman ODE:n jäljelle jäävän osan (osan) jäljelle jäävän kappaleen jälkeen, johon lisäämme vaiheet PDE-osion ympärillä.

2u u Appl. 2 = 0 - ce PDE.

y1 y Tuntemattomat suureet u voivat olla puhetta tai kompleksia, mikä ei pidä paikkaansa, koska tämä hetki voidaan tuoda vain säkeiden kirjoitusmuotoon: jos monimutkainen tietue voidaan muuttaa puheeksi vahvistamalla puhetta ja kuvitteellisia osia (vaikkakin tässä tapauksessa tietysti sub ivshi yhtäläisten ja tuntemattomien lukumäärä), ja muuten, joissakin tapauksissa, siirry manuaalisesti monimutkaiseen tietueeseen.

du d2v dv · 2 = uv; u3 = 2. Tämä järjestelmä on 2 ODE Appl.

dy dy dy kahdelle tuntemattomalle funktiolle riippumattomasta muuttujasta y.

Jos k = 1 (ODE), käytetään "suora"-kuvaketta d / dy.

u (y) du Appl. exp (sin z) dz - ce ODE, koska se voi olla voimassa. = U (u (y)), kun n = 1 - hinta ei ole kaukosäädin, vaan toiminnallinen differentiaaliyhtälö.

Tämä ei ole ohjausjärjestelmä, vaan integraali-differentiaaliyhtälö, emmekä käsittele tällaisia ​​yhtäläisyyksiä. Sillä välin itse yhtälö (2) voidaan helposti pelkistää ODE:ksi:

Oikein. Aseta (2) ODU:ksi.

Lisäksi integraaliyhtälöt ovat suurempi monimutkainen objekti (usein mukana funktionaalisen analyysin aikana), vaikka, kuten huomaamme, ne itse auttavat saamaan samat tulokset ODE:lle.

DE:t syntyvät sekä sisäisistä matemaattisista tarpeista (esimerkiksi differentiaaligeometriassa) että lisäyksistä (historiallisesti ensin ja nyt pääasiassa fysiikassa). Yksinkertaisin DE on "differentiaalilaskennan perusmääritelmä" funktion päivittämisestä samalla tavalla: = h (y). Kuten analyysistä näemme, ratkaisumme näyttää tältä u (y) = + h (s) ds. Suuremmat kaukosäätimet vaativat erityismenetelmiä päätöksentekoon. Kuitenkin, kuten olemme jo oppineet, käytännössä kaikki menetelmät lisätä ODE: tä "ilmeisellä tavalla" on olennaisesti pelkistetty määrätyksi triviaaliksi laskeumaksi.

Lisäksi ODE:t esiintyvät useimmiten kuvattaessa tunnin aikana kehittyviä prosesseja, joten riippumattoman muuttujan rooli on tunnissa t.

Siten anturi ODU tällaisissa lisätiedoissa sisällytetään säännöllisin väliajoin muuttuvien järjestelmän parametrien kuvaukseen. Siksi manuaalisesti herätessäsi kulissien takana olevia teorioita ODE on merkitty riippumattomalla muuttujalla t:n kautta (ja kutsutaan tunniksi, jossa on paljon periytymistä, mikä tarkoittaa terminologista periytymistä) ja tuntemattomalla (i)-funktiolla (II) x = (x1, ..., xn) . Sellaisella tavalla Zagalny Viglyad Hyökkäysten ODE (ODE-järjestelmät):

jossa F = (F1, ..., Fn) - eli tämä on järjestelmä, jossa on n ODE:tä n funktiolle x, ja jos n = 1, niin yksi ODE yhdelle funktiolle x.

Kun x = x (t), t R ja x näyttävät olevan kompleksiarvoisia (tämä on yksinkertaisuuden vuoksi, koska silloin järjestelmän toiminnot on kirjoitettu kompaktimmin).

Näyttää siltä, ​​että järjestelmä (3) on luokkaa m funktion xm suhteen.

Pokhodneja kutsutaan vanhimmiksi, ja reshta (mukaan lukien itsensä xm =) kutsutaan nuoriksi. Koska kaikki on m =, on helppo sanoa, että järjestelmän järjestys on vanha.

Totta, lukua m kutsutaan usein järjestelmän järjestykseksi, mikä on myös luonnollista, kuten on käynyt selväksi.

Keskustelu tarpeesta kehittää ODE:itä ja niiden ehtoja on tärkeä täydentämään muita tieteenaloja (differentiaaligeometria, matemaattinen analyysi, teoreettinen mekaniikka jne.), ja se tulee usein esiin käytännön tehtävien aikana (esimerkiksi ongelmakirjasta). Tällä kurssilla käsittelemme, kattavasti, muodon (3) järjestelmien matemaattista kehitystä, joka voidaan ottaa huomioon nykyaikaisessa ravitsemuksessa:

1. mitä "virishity" tarkoittaa (järjestelmä) (3);

2. jakkitserobiti;

3. Mitkä viranomaiset tekevät päätöksiä ja miten niitä noudatetaan.

Ravinto 1 ei ole niin ilmeinen kuin miltä se kuulostaa – hämmästyttävää. Dali. On tärkeää huomata, että mikä tahansa järjestelmä (3) voidaan pelkistää ensimmäisen asteen järjestelmäksi, joka osoittaa uusia ja tuntemattomia toimintoja. Tämä menettely on helpoin selittää esimerkillä:

5 tasolta viidelle tuntemattomalle henkilölle. On helppo ymmärtää, että (4) ja (5) ovat ekvivalentteja siinä mielessä, että yhden niistä kärki (asianmukaisen uudelleensuunnittelun jälkeen) irrottaa toisen. Tässä tapauksessa emme saa unohtaa ratkaisun sujuvuutta - jatkamme työtämme, jos yhdistämme korkeimman asteen ODE: hen (eli 1.).

Mutta nyt on selvää, että on tarpeen vaihtaa vain ensimmäisen järjestyksen ODE, ja muita voidaan tarvita enemmän luotettavuuden vuoksi (meillä on joskus tällainen tilanne).

Ja nyt hahmotellaan ensimmäisen tilauksen ODE:

dimx = dimF = n.

Vivchennya rіvnyannya (järjestelmät) (6) ei ole manuaalinen, koska se ei ole sallittua tehdä samanlaisia ​​dx / dt. Kuten analyysistä (implisiittistä funktiota koskevasta lauseesta) nähdään, hyvällä perustelulla F-tasolla (6) voidaan sallia dx / dt ja kirjoittaa se muotoon f: Rn + 1 Rn on annettu, ja x : R Rn on kohde. Näyttää siltä, ​​että (7) є ODU on sallittu tavalliseen tapaan (ODU on normaalin näköinen). Kun siirrytään kohdasta (6) kohtaan (7), voi luonnollisesti tapahtua taittumista:

Butt.

Arvoa exp (x) = 0 ei voida kirjoittaa muodossa (7), joten sillä ei ole ratkaisua, eli Exp:ssä ei ole nollia kompleksialueella.

Butt.

Yhtälö x 2 + x2 = 1 korkeimmalla kirjoitetaan kahden normaalin ODE:n muodossa x = ± 1 x2. Seuraa niitä ihollasi ja katso sitten tulos.

Kunnioittaminen.

Kun (3) pienennetään arvoon (6), taitettavuus voi menettää, koska (3) voi aiheuttaa 0-asteen mille tahansa funktiolle tai funktion osalle (eli tämä on funktionaalinen differentiaaliyhtälö). Tätä varten funktio on yhdistettävä implisiittistä funktiota koskevaan lauseeseen. Butt. x = y, xy = 1 x = 1/x. On tarpeen tietää x johdetusta ODE:stä ja sitten y funktionaalisesta yhtälöstä.

Joka tapauksessa siirtymäongelma kohdasta (6) kohtaan (7) tuodaan pikemminkin matemaattisen analyysin kuin ohjausjärjestelmän tasolle, emmekä käsittele sitä. Korkeimmalla ODE-muodolla (6) voi kuitenkin esiintyä ongelmia ODE-näkökulman kanssa, joten on parempi noudattaa oikeita ohjeita tärkeimmistä tehtävistä (kuten esimerkissä on kuvattu) ja se on helppoa katso § 3. tulemme olemaan äiti Oikealla ovat vain normaalit järjestelmät ja tasot. Katsotaanpa nyt ODE:tä (ODE-järjestelmä) (7). Kirjoitetaan se kerran muistiin komponenttimuodossa:

Ja jos haluan tietää ne ODE-luokat, joille on mahdollista "eksplisiittisesti" ratkaista ongelma, se on mahdollista (samalla tavalla kuin on mahdollista ymmärtää "ymmärtää integraalit", kun se on mahdollista, vaikka se on erittäin harvinainen), seuraavat termit ovat tyypillisiä niiden yhteydessä: "integroi ODE", "integroi ODE" (nykyaikaisten analogien vanhat "määritä ODE", "ratkaise ODE"), jotka edustavat monimutkaisia ​​käsitteitä. ratkaisuista. Arjen termien ymmärtäminen on meille heti selvää.

Tätä ravintoa käsitellään kohdassa 3 (ja perinteisesti häntä kunnioitetaan suuresti, kun hän painottaa suuresti käytännön asioita), mutta tämän lähestymistavan universaalisuutta ei ole tarpeen arvostaa. Pääsääntöisesti ymmärrämme päätöksen (7) aikana täysin erilaiset määräajat.

Selvitä, mitä funktiota x = x (t) voidaan kutsua ratkaisuissa (7).

Ensinnäkin on tärkeää, että päätöksen käsitteen selkeä muotoilu on mahdotonta ilman persoonattomuutta, jonka perusteella se on osoitettu, vaikka päätös olisi toiminto ja mikä tahansa toiminto (esimerkiksi koulutarkoitukset). on laki, niin jättää ihoelementin täysin persoonattomana (kutsutaan alueeksi, jolle funktio on määritetty) on toisen monikertaisuuden (funktion arvon) ensimmäinen elementti. Tällä tavalla funktioista puhuminen määrittelemättä niiden merkitysaluetta ei ole merkityksen kannalta absurdia. Analyyttiset toiminnot (laajemmin alkeisfunktiot) toimivat tässä "syyksinä" (johtaa harhaan) alla esitetyistä syistä (ja muista asioista), mutta joka tapauksessa sellaisia ​​vapauksia ei voida hyväksyä.

Ja lisäämättä kaikkien funktioon (7) osallistuvien funktioiden arvojen monikertoja. Kuten tästä eteenpäin kävi selväksi, päätöksen käsitettä on erittäin vaikea yhdistää sen merkityksen persoonattomuuteen ja kunnioittaa eri ihmisten päätöksiä, sillä niiden merkityksen persoonallisuus perustuu Monia päätöksiä vältetään.

Useimmiten tietyissä tilanteissa tämä tarkoittaa, että jos päätökset tehdään alkeisfunktioiden muodossa, niin että 2 päätöstä noudattaa "samaa kaavaa", on tarpeen selventää, mitä persoonallisuutta vältetään, mihin kaavoihin kirjoitetaan. Pitkään ruokavaliossaan virunut Plutanina opiskeli samalla kun nähtiin ratkaisuja alkeistoimintojen ilmenemiseen, sillä analyyttiset funktiot toimivat selvästi suuremmilla aikaväleillä.

Butt. x1 (t) = et at (0,2) і x2 (t) = et at (1,3) - erilaisia ​​päätöksiä

taso x = x.

Tässä tapauksessa persoonallisuuden yhteydessä on luonnollista, että mikä tahansa päätös tehdään suljettu aikaväli (ehkä ääretön), koska tämä persoonallisuus voi:

2. yhtenäinen, jotta päätös ei hajoa materiaalin epäjohdonmukaisuuden vuoksi (tässä tapauksessa on mukavampaa puhua päätöksistä) - div. Etuperä.

Siten ratkaisu (7) on pari (, (a, b)), jossa a b +, on asetettu kohtaan (a, b).

Kunnioitus vikladachia kohtaan. Joissakin käsikirjoissa on sallittua sisällyttää leikkauksen päät halutun ratkaisun alueelle, mutta tämä ei johdu kokonaan siitä, että se vain kokoaa asettelun, eikä anna todellista vahvistusta (Div § 4).

Jotta tulevan maailman ymmärtäminen olisi helpompaa, on parempi käyttää geometrista tulkintaa (7). Avaruudessa Rn + 1 = ((t, x)) ihopisteessä (t, x), jossa f on määritelty, näet vektorin f (t, x). Jos tässä avaruudessa graafi on pystysuora (7) (tätä kutsutaan järjestelmän (7) integraalikäyräksi), niin se muodostuu pisteessä muodossa (t, x (t)). Kun muutat arvoa t (a, b), tämä piste romahtaa ylösalaisin. ІК:n välisumma pisteessä (t, x (t)) näyttää tältä (1, x (t)) = (1, f (t, x (t)))). Siten ІК - kaikki nämä ja vain nämä käyrät avaruudessa Rn + 1, jotka jokaisessa pisteessä (t, x) ovat täsmälleen yhdensuuntaiset vektorin (1, f (t, x)) kanssa. Tästä ideasta impulsseista ns. isokliinimenetelmä lähikutsu-IR:lle, jota käytetään näyttämään kaavioita tiettyjen ODE:iden ratkaisuista (div.

esimerkiksi).

Esimerkiksi, kun n = 1, vastauksemme tarkoittaa hyökkäystä: ihopisteessä IK її on saavuttanut akselin t, teho tg = f (t, x). On luonnollista olettaa, että arvon f persoonattomuudesta otettuaan pisteen voimme piirtää IK:n sen läpi. Tästä ideasta keskustellaan tiukasti lisää. Vaikka emme näe ratkaisun sileyden ankaraa kaavaa, se jaetaan alemmaksi.

Nyt meidän on selvennettävä nimi B, jossa f on merkitty. Tämä on luonnollista, veli:

1. Vidkritim (Schob Ik voidaan pomppia okolitskyn pisteen laitamilla z b), 2. Zv'yazmovim (INAKSHA pystyy ruostamaan Ovremon kaikki samat IK (yhden shmatkan hölynpölyä jakkigrafiitti) toisessa, joten haku sillä ratkaisu ei näy unen voimakkuuden perusteella).

Tarkastellaan vain klassisia ratkaisuja (7), eli niitä, joissa x ja x ovat jatkuvia kohdassa (a, b). Todi luonnollisesti vimagati, joten f C (B). Tästä lähtien voit kunnioittaa meitä ikuisesti. No, Merkitys on vielä jäljellä. Olkoon B Rn + 1 - alue, f C (B).

Geometrisesti on selvää, että (7) ratkaisua on paljon (joka on helppo ymmärtää graafisesti), koska jos suoritamme IK:n, joka alkaa muodon pisteestä (t0, x0), jossa t0 on kiinteä, niin voimme määrittää erot IK:ssä. Lisäksi valitun ratkaisun välin muuttaminen antaa erilaisen ratkaisun asetuksiemme perusteella.

Butt.

x = 0. Ratkaisu: x = = const Rn. Jos kuitenkin valitset minkä tahansa t0:n ja kiinnität ratkaisun arvon x0 pisteeseen t0: x (t0) = x0, niin arvo määritetään yksiselitteisesti: = x0, eli ratkaisu on sama välin valintaan asti. (a, b) t0.

"Kasvottomien" persoonattomien ratkaisujen läsnäolo ei ole helppo työskennellä niiden kanssa2 - niitä on vaikeampi "numeroida" seuraavassa järjestyksessä: lisää enintään (7) ylimääräistä mieltä nähdäksesi yhden (yksinkertaisessa mielessä) ratkaisun , ja sitten lajitella läpi yuchi ci pesu, hoitaa iho liuokset ovat oikein (geometrisesti liuokset voivat olla yksi (IK), mutta kappaleita on paljon - monimutkaisuuden vuoksi ymmärrämme myöhemmin).

Viznachennya. Zavdannya for (7) - tse (7) lisämieleillä.

Olemme olennaisesti jo ratkaisseet yksinkertaisen tehtävän - tämä on Koshyn tieto: (7) mielessämme (Koshyn data, cob's data):

Lisänäkökulmasta tämä tehtävä on luonnollinen: esimerkiksi koska (7) kuvaa tiettyjen parametrien muutosta x vuosi t, niin (8) tarkoittaa, että alku (alku)hetkellä parametrien arvot ovat tiedossa. Muiden tehtävien suorittamiseen tulee tarve, joista kerromme myöhemmin, mutta nyt keskitytään Koshan tehtävään. Luonnollisesti tällä tehtävällä on merkitys (t0, x0) B. Ilmeisesti tehtävän (7), (8) päätöksiä kutsutaan päätökseksi (7) (merkityksen merkityksessä tämä paikka) niin, että t0 ( a, b) ja viconno (8). Välitön tehtävämme on tuoda ratkaisu Cauchyn ongelmaan (7), (8) ja lisäesimerkein - neliön mitta

, Parempi kirjoittaa x1 = ..., x2 = ..., alempi x = b / 2 ± ...

he ovat alistuvia f - ja tämän yhtenäisyyden laulavassa mielessä.

Kunnioittaminen.

Meidän on selvennettävä vektorin ja matriisin normin käsitettä (tarvitsemme vain matriiseja osassa 2). Koska suljetussa tilassa kaikki normit ovat samanarvoisia, tietyn normin valinta ei ole merkittävää, koska kyse on vain arvioista, emme tarkoista arvoista. Esimerkiksi vektoreille voit käyttää | x | p = (| xi | p) 1 / p, p - Peano (Picara) leikkaus. Katsotaan kartiota K = (| x x0 | F | t t0 |) ja sen katkaistua osaa K1 = K (t IP). On selvää, että se on vain K1 C.

Valmis. Asetetaan melko (0, T0] ja kutsutaan sitä Eulerin Lamaniksi krokilla, ja itse: koko Laman Rn + 1:ssä, joka skin lanka on projektio koko t dozhin, ensimmäinen lanka oikealla alkaa piste (t0, x0) i siten, että tällä kaistalla dx / dt = f (t0, x0) tämän kaistan oikea pää (t1, x1) toimii vasemmana päänä toiselle, jossa dx / dt = f (); t1, x1) jne., ja vastaavasti Lamanan johtaminen tarkoittaa palakohtaista lineaarifunktiota x = (t) ennen lausetta.

Totta, täällä, pisteitä lukuun ottamatta, paha alkaa, ja sitten (s) (t) = (z) dz, missä pahuuden kohdissa otetaan enemmän arvoja.

Tässä tapauksessa (törmäytyminen lamanian yli induktiolla) Zokrema, | (T) x0 | F | t t0 |.

Tim itse IP-toiminnosta:

2. yhtä keskeytyksettä, koska K. Lipshitsev:

Tässä lukijan tulee tarvittaessa päivittää tietonsa sellaisista käsitteistä ja tuloksista kuin: yhtäläinen jatkuvuus, yhtäläinen konvergenssi, Arcela-Ascoli-lause jne.

Arcela-Ascoli-lauseen mukaan on olemassa sekvenssi k 0, jossa k on IP:ssä de C (IP). Muuten, (t0) = x0, joten on mahdotonta varmistaa, mitä voimme todistaa s t:lle.

Oikein. Katso s t samalla tavalla.

Annettu 0 ja tiedämme 0 niin, että kaikille (t1, x1), (t2, x2) C on totta. Tämä voidaan selvittää tasaisella jatkuvuudella f kompaktilla C:llä. Tiedämme m N, joten Kiinteä t Int (IP) ja se voi olla kuten s Int (IP), kuten tst +. Todi kaikille z maєmo | k (z) k (t) | F, katso (4) | k (z) (t) | 2F.

Vastaavasti k (z) = k (z) = f (z, k (z)), missä z on Lamanoin vasemman pään abskissa, joka asettaa pisteen (z, k (z)). Al-piste (z, k (z)) menee sylinteriin parametreillä (, 2F), kutsuu pisteeseen (t, (t)) (itse asiassa menee katkaistuun kartioon - katso kuva, Al on merkityksetön), joten katsominen at (3) otrimuje | k (z) f (t, (t)) |. Lamanalle voimme, kuten edellä todettiin, kaavan Kun k on annettu (2).

Kunnioittaminen.

Tässä on tarpeen arvata, mikä analyyttinen funktio on. Älä sekoita funktiota, joka esitetään staattisena sarjana (vain paljastamalla analyyttinen funktio ilmeisesti alueen osissa ja sen merkitys)!

Kunnioittaminen.

Kun on annettu (t0, x0), on mahdollista T0 maksimoida vaihtelemalla T ja R. Tämä ei kuitenkaan pääsääntöisesti ole niin tärkeää, koska ratkaisun maksimivälin määrittämiseen käytetään erityisiä menetelmiä (kohta 4).

Peanon lause ei kerro mitään ratkaisun ykseydestä. Meidän järkevällä päätöksellämme se ei aina ole sama, koska jos päätös on olemassa, niin sen soiminen isommilla väliajoilla on muita päätöksiä. Katsomme tätä kohtaa myöhemmin (kohdassa 4), mutta toistaiseksi ymmärrämme minkä tahansa kahden päätöksen ratkaisun niiden merkityksen välein. Tässä mielessä Peanon lause ei sano mitään yhtenäisyydestä, mikä ei ole yllättävää, koska heidän mielestään yhtenäisyyttä ei voida taata.

Butt.

n = 1, f(x) = 2 | x |. Koshan tehtävässä on triviaali ratkaisu: x1 0, ja lisäksi x2 (t) = t | t |. Nämä kaksi ratkaisua voidaan yhdistää täydelliseksi 2-parametriiseksi ratkaisuperheeksi:

de + (loputtomat arvot tarkoittavat etureunan olemassaoloa). Jos otamme huomioon kaikkien näiden päätösten R koko merkityksen, ne ovat kaikki uskomattoman rikkaita. On merkittävää, että jos sisällytämme tähän vanhan Peanon lauseen todisteen Eulerin Lamanian kautta, syntyy vain nollaratkaisuja. Toisaalta, jos Eulerin lamaaneja suostutellaan sallimaan ihon lievä tuhoutuminen, tuhoamisparametrin asettamisen jälkeen nollaan kaikki päätökset menetetään. Siten Peanon lause ja Eulerin Lamania ovat luonnollisia ratkaisujen generointimenetelmiä ja liittyvät läheisesti numeerisiin menetelmiin. Sovelluksessa havaittu epäjohdonmukaisuus johtuu siitä, että funktio f ei ole tasainen x:ssä. Näkyy, kun laitat sen päälle

Lisäedut

f:n säännöllisyydellä x:llä voidaan varmistaa yhtenäisyys, ja tämä koko termi on pääasiallisessa merkityksessä välttämätön (jako alla).

Tärkeä käännekohta meille on tämä: riippumatta siitä, kuinka keskeytymätön toiminto kompaktilla on, sillä on oma keskeytymättömän toiminnan moduuli, eli se tyydyttää (5) toiminnan. Selvitetään tämä. On selvää, että koska g on kompakti ja g C (), niin g on tasaisesti jatkuva, ts.

= (): | X y | = | G (x) g (y) |. Näyttää siltä, ​​​​että se vastaa mielen (5) toimintaa. Itse asiassa, kuten käy ilmi, tarvitaan jatkuvuusmoduuli siten, että (()) ja sitten | x y | = = () Fragmentit (i) ovat riittäviä, silloin x ja y voivat olla mitä ne ovat.

Ja muuten, jos (5) on totta, sinun on tiedettävä, että (()) ja sitten | x y | = () Peruutettu Loogisten siirtymien menetetty esikäsittely:

Niille, jotka ovat yksitoikkoisia, on käytettävä porttitoimintoja, ja zagalny-jaksossa on tarpeen vikoristaa ns. vahvistetut porttitoiminnot. Niiden perusta vaatii vankan todistuksen, jota emme tarjoa, vaan sanotaanko vain ideaa (pienten on mukava seurata lukemista):

mille tahansa F:lle se on merkitsevä F (x) = min F (y), F (x) = max F (y) - nämä ovat monotonisia funktioita ja porttien hajuja. On helppo varmistaa, että x x F (F (x)), (F) 1 (F (x)) x, F ((F) 1 (x)) x.

Lyhin jatkuvuusmoduuli on lineaarinen (Umova Lipshytsya). Nämä toiminnot ovat "suuresti eriytyneitä". Antaaksemme voimakkaan tunteen muulle taivaanvahvuudelle meidän on laulettava zusillyaa, ja meitä ympäröi kaksi asiaa:

1. On selvää, että jokaista Lipschitzin funktiota ei eroteta, kuten esimerkki osoittaa g (x) = | x | R:lle;

2. Jäljen erotettavuuden lisäksi se on Lipschitz, koska se osoittaa kovettumisen alkamisen. Mikä tahansa g:n funktio, joka kantaa kaiken M:n pullottavassa persoonallisuudessa, miellyttää Lipshitsia hänen mielessään.

[Johdonmukaisuuden vuoksi katsotaan skalaarifunktioita g.] Todistus. Kaikille x, y on mahdollista. On selvää, että tämä väite pätee vektorifunktioille.

Kunnioittaminen.

Koska f = f (t, x) (näennäisesti, vektorifunktio), voimme ottaa käyttöön "Lipschitzin f:n x:n" käsitteen, eli | F (t, x) f (t, y) | C | xy |, joten on sanomattakin selvää, että jos D on kupera x:ssä kaikilla t:illä, niin f:n x:n konsistenssille riittää, että x:ssä on samanlainen f, joka on B:n vieressä. Arvioimme | g(x)g(y) | kautta | x y |. Kun n = 1, sinun tulee etsiä lisäkaava kineettisille parannuksille: g (x) g (y) = g (z) (xy) (koska g on vektorifunktio, niin z on oma ihokomponentille ). Kun n 1, voit käyttää manuaalisesti tämän kaavan loukkaavaa analogia:

Valmis. Jokaiselle kiinteälle t:lle Tverzhenyan todistuksen laskenta = D (t = t), g = fk on pysähtynyt. Vaadittu syöttö lähteestä A (t, x, y) = A on todella keskeytymätön.

Palataan ongelman ratkaisemisen ykseyteen (1).

Laitetaan potenssi näin: mikä on jatkuvuusmoduulin f funktio x:ssä, jolloin ratkaisu (1) on yhdistetty siinä mielessä, että vältetään 2 samaan väliin kirjoitettua ratkaisua? Todiste annetaan seuraavalla lauseella:

Lause. (Osgood). Olkoon Peanon teoreemalla mielessäsi jatkuvuuden f moduuli x:ssä B:ssä, eli epäjatkuvuuden funktio tyydyttää mielen (voit käyttää C:tä). Tämä tehtävä (1) ei voi tuottaa kahta eri ratkaisua, joiden arvot ovat samalla aikavälillä (t0 a, t0 + b).

Otetaan takapuoli suoraksi, osoitetaan se ylöspäin.

Lemma.

Jos z C 1 (,), niin ehdottomasti (,):

1. pisteissä, joissa z = 0, існє | z | ja || z | | | Z |;

2. kohdissa, joissa z = 0, esiintyy yksipuolisia liikkeitä | z | ±, ja || z | ± | = | Z | (Zokrema, jos z = 0, niin існє | z | = 0).

Butt.

n = 1, z(t) = t. Pisteessä t = 0 poistuminen | z | Sillä ei ole väliä, mutta se on yksipuolinen hyökkäys.

Valmis. (Lemi). Näissä pisteissä, joissa z = 0, імеz · z їм: існє | z | =, I || z | | | Z|. Näissä pisteissä t, joissa z (t) = 0, voimme:

Tapaus 1: z (t) = 0. Sitten eliminoidaan tarve | z | (T) = 0.

Pudotus 2: z (t) = 0. Todi +0 tai 0 ochz (t +) | | Z(t) | kaikenlainen moduuli | z(t) |.

Mielen takana F C 1 (0,), F 0, F, F (+0) = +. Olkoon z1,2 - kaksi päätöstä (1), kappaleet päällä (t0, t0 +). Merkittävästi z = z1 z2. äiti:

Oletetaan, että on olemassa t1 (arvon t1 t0 arvolle), jolloin z (t1) = 0. Epäpersoonallinen A = (t t1 | z (t) = 0) ei tyhjä (t0 A) ja pedon ympäröimä. Tämä tarkoittaa, että t1:n välillä on yläraja. Päivän ulkopuolella z = 0 kohdassa (, t1), ja keskeytyksettömyyden z kautta voimme saada z () = 0.

Lemmelle | z | C 1 (, t1), ja tällä välillä | z | | Z | (| Z |), joten integrointi yli (t, t1) (de t (, t1)) antaa F (| z (t) |) F (| z (t1) |) t1 t. Kun t + 0 on mahdotonta pyyhkiä.

Johtopäätös 1. Koska Peanon lauseessa f Lipschitz x:ssä B:ssä, niin tehtävällä (1) on yksi ratkaisu Osgoodin lauseessa kuvatussa merkityksessä, koska tässä tapauksessa () = C täyttää kohdan (7).

Valmis. Oletetaan, että on t1 IP sellainen, että (t, x (t)) C. Arvolle korkea t1 t0. Sitten on t2 (t0, t1] sellainen, että | x (t) x0 | = R. Osgoodin lauseen päätelmän tapaan voidaan todeta, että t2 on suurin tällainen piste, ja samalla (t, x ( t)) C , niin |. f (t, x (t)) |.

Valmis. (Peri 2). C on kompaktimpi monikerta, joten f on Lipschitz x:ssä C:ssä, missä kaikkien päätösten graafit perustuvat Lemyyn. Seuraus 1 on ehdottoman välttämätön.

Kunnioittaminen.

Umova (7) tarkoittaa, että f:n mielen huuli voi heiketä suuresti. Esimerkiksi Gelderin mieli z 1 ei enää sovellu. Sopii keskeytymättömille moduuleille, jotka ovat lähellä lineaarisia - näin siirrät "isompaa":

Oikein. (Aseta helpommin). Tuo joka täyttää (7), sitten on 1, joka täyttää (7) siten, että 1 / on nolla.

Ei ole pakollista käyttää samantyyppistä jatkuvuusmoduulia f x x yhtenäisyyden vuoksi - erilaiset erikoismuunnelmat ovat mahdollisia, esim.

Vahvistettu. Kuten Peanon lauseessa, on totta, että jos on 2 ratkaisua (1), kappaleita 3:lla (9), on selvää, että x C 1 (a, b), ja sitten differentiaatio (9) antaa (1) 1 ja (1) 2 ilmeisesti.

Kohdan (1) tapauksessa (9) on luonnollisesti ratkaisuja suljetussa osassa.

Picard vahvisti korkeimmalle (1) = (9) hyökkäävälle menetelmälle peräkkäisissä lähestymistavoissa. Merkittävästi x0 (t) x0, ja sitten induktiolauseella. (Koshi-Pikara). Peanon lauseen mielessä funktio f on Lipschitz x:ssä missä tahansa kompaktissa kompaktissa K alueella B, konveksi x:ssä, ts.

Joten be-mikä tahansa (t0, x0) B Cauchyn komennolla (1) (won (9)) on yksi ratkaisu Int:ssä (IP) ja xk x IP:ssä, missä xk on määritelty kohdassa (10).

Kunnioittaminen.

On selvää, että lause pysyy voimassa, jos ehto (11) korvataan C (B), koska tämä on selvä seuraus lauseesta (11).

Kunnioitus vikladachia kohtaan. Itse asiassa kaikkia pyöreitä tiivisteitä ei tarvita, vaan vain sylintereitä, mutta kaava on jaettu tällä tavalla, koska § 5:ssä tarvitaan lisää kompakteja, ja tälläkin koostumuksella se näyttää luonnollisesti Respectilta.

(C on kompakti kompakti, kupera x:ssä B:ssä, ja tällä tarkoitamme L (C)). Kun k = 0, estimaatti (t, x1 (t)) K1 on jo suoritettu. Koska (12) on tosi k: = k 1:lle, niin (10) voi olla tarpeen. Kuten tiedät, sarja on pääainestettu IP:ssä konvergentilla numeerisella sarjalla ja siksi (kutsutaan Weierstrassin lauseeksi) konvergoi IP:ssä tasaisesti mihin tahansa funktioon x C (IP). Ale ce i tarkoittaa xk x IP:ssä. Sitten kohdassa (10) IP:ään siirrytään rajaan ja vähennetään (9) IP:stä, mikä tarkoittaa (1) Int:hen (IP).

Ainutlaatuisuus voidaan välittömästi johtaa Osgoodin lauseen johtopäätöksestä 1, mutta se on mahdollista saavuttaa myös toisella tavalla, jolloin voidaan saavuttaa sama yhtälö (9). Olkoon Int:llä (IP) 2 päätöstä x1,2 tehtävää (1) (eli (9)). Koska tarkoitettiin enemmän, niin niiden graafien on oltava K1:ssä ja erityisesti C:ssä. Olkoon t I1 = (t0, t0 +), joka on positiivinen luku. Todi = 1/(2L (C)). Todi = 0. Tim itse, x1 = x2 I1:llä.

Kunnioitus vikladachia kohtaan. Toinen todiste Gronwallin Leman takana olevasta yhtenäisyydestä, mutta se on luonnollisempi, koska on tärkeää kulkea sen läpi globaalisti, mutta ei välttämättä manuaalisesti, koska on tärkeää käsitellä lineaarisia ODE:itä riittävästi.

Kunnioittaminen.

Jäljelle jäävä todiste yhtenäisyydestä on ensisijaisesti se, että se osoittaa jälleen kerran eri valossa, kuinka paikallinen yhtenäisyys voi johtaa globaaliin yhtenäisyyteen (mikä ei pidä paikkaansa todellisuudessa).

Oikein. Tuo verkon yhtenäisyys kaikille IP:ille, mitoitettuna samalla tavalla kuin Osgoodin lauseessa. kohtelias okremy vipadok

(1) - lineaariset ODE:t, eli ne, joissa arvo f (t, x) on lineaarinen x:ssä:

Tässä tapauksessa, tässä tapauksessa ytimessä B, tumma ilmestyy ja lipschitzin älykkyys (ja erottuvuuden suunta) x:ssä määritetään automaattisesti: kaikille t (a, b), x, y Rn Emo | f (t, x) f (t, y) | = | A (t) (x y) | | A(t) | · | (X y) |.

Jos näet nopeasti kompaktin (a, b), poistamme | f (t, x) f (t, y) | L | (x y) |, de L = max | A|.

Peanon ja Osgoodin sekä Cauchy-Picartin lauseista on selvää, että tehtävä (13) on erillinen millä tahansa välillä (Peano-Picard), joka on yhtä suuri kuin t0. Lisäksi päätös tällä aikavälillä on Picardin viimeisten lähestymisten välillä.

Oikein. Selvitä tämä intervalli.

Mutta käy ilmi, että tässä tapauksessa kaikki nämä tulokset voidaan raportoida globaalisti, eli kaikesta (a, b):

Valmis. Jälleen, kuten TK-P:ssä, ratkaisemme integraaliyhtälön (9) seuraavan kaavan (10) approksimoinnin avulla. Mutta nyt meidän ei tarvitse tarkistaa graafin henkistä sopivuutta kartioon ja sylinteriin, koska

f on voimassa kaikille x:ille niin kauan kuin t (a, b). On myös tarpeen varmistaa, että kaikki xk ovat yhtä suuria ja ei-neuvoteltavissa kohdissa (a, b), mikä on ilmeistä induktion avulla.

(12):n sijaan näytämme nyt samanlaisen estimaatin muodossa de N - sama luku, joka on valinnanvarainen. Tämän estimaatin ensimmäinen induktiotermi on erilainen (koska se ei liity K1:een): k = 0 | x1 (t) x0 | N jatkuvuus x1, ja tulevat päivämäärät ovat samanlaisia ​​(12).

On mahdollista olla kirjoittamatta tätä muistiin, koska On selvää, että on mahdollista merkitä xk x uudelleen ja x є ratkaisu lopulliseen (10) on. Ja sitten teimme kaikki päätökset (a, b), koska kompaktin valinta riittää. Ainutlaatuisuus juontaa juurensa Osgoodin ja Cauchy-Picartin teoreemoista (ja enemmän globaalista yhtenäisyydestä).

Kunnioittaminen.

Kuten edellä sanottiin, TK-P kunnioittaa muodollisesti Peanon ja Osgoodin lauseiden olemassaoloa, mutta se ei ole pätevä kolmesta syystä - se on:

1. voit yhdistää Cauchyn ongelman ODE:ille integraaliyhtälöillä;

2. ottaa käyttöön peräkkäisten lähestymistapojen rakentavan menetelmän;

3. avulla voit helposti luoda globaalin perustan lineaarisille ODE:ille.

[Vaikka se on edelleen mahdollista päätellä 4 §:n poistamisesta.] Seuraavaksi luotamme siihen useimmiten itse.

Butt.

x = x, x (0) = 1. Peräkkäiset approksimaatiot Tämä tarkoittaa, että x (t) = e on ratkaisu tulosongelmaan koko R:lle.

Useimmiten rivi ei toimi, muuten koko rakentavuus menetetään. Voit myös arvioida sieppauksen x xk (div.).

Kunnioittaminen.

Käyttämällä Peanon, Osgoodin ja Cauchy-Picardin lauseita on helppo johtaa samanlaisia ​​lauseita korkeamman asteen ODE:ille.

Oikein. Muotoile Cauchyn ongelman, järjestelmän ratkaisun ja Cauchyn ongelman käsitteet, kaikki lauseet korkeamman asteen ODE:ille, jotka on pelkistetty ensimmäisen asteen järjestelmiin, jotka on esitetty §:ssä 1.

1. Jaettu kohdassa b (x). On tärkeää, että f on jatkuva, jotta a C (,), b C (,), eli B:n akselilla on peräsuole (,) (,)(Ilmeisesti he alkoivat raivota ihoa poistamattomina). Persoonallisuudet (b (x) 0) ja (b (x) 0) ovat avoimia ja myös loppu- tai järjestysjoukkoja. Näiden välissä on pisteitä tai segmenttejä, joissa b = 0. Jos b (x0) = 0, niin Cauchyn ongelma voidaan ratkaista x x0. On mahdollista, että ratkaisu ei ole yhtenäinen, niin sen arvoalueella on intervalleja, joissa b (x (t)) = 0, mutta ne voidaan myös jakaa b:llä (x (t)). On huomionarvoista, että näillä aikaväleillä funktio B on monotoninen ja siksi voimme ottaa B 1:n. Koska b (x0) = 0, niin t0:n läheisyydessä tiedämme b (x (t)) = 0, ja menettely on laillinen. Tällä tavalla menettelyä kuvataan syylliseksi, näennäisesti pysähtyneeksi jaettaessa päätöksen alue osiin.

2. Vasemman ja oikean osan integrointi erilaisilla muutoksilla.

Menetelmä I. Kerro meille ongelman ratkaisu Koodi (t) shi (1) x = (t). Maєmo: = a (t) b ((t)), tähdet - he hyväksyivät tiukasti saman kaavan.

Menetelmä II. Rivnyannya - niin sitä kutsutaan. Lähtö ODE:n tallennus on symmetristä, eli ei ole määritelty, mikä muuttuja on riippumaton ja mikä riippumaton. Tämä muoto on järkevä aivan kuten olemme tarkastelleet ensimmäisen asteen vertailua ensimmäisen differentiaalin muodon invarianssia koskevien lauseiden kanssa.

Tässä käsitellään lyhyesti differentiaalin käsitteitä, jotka on kuvattu tason pinnalla ((t, x)), käyriä sillä, joihin vaikuttavat kytkennät, vapausasteet, käyrän parametrit.

Tällä tavalla yhtälö (2) yhdistää differentiaalit t ja x oikeaan IK:hen. Taajuuskorjauksen (2) integrointi aluksi esitetyllä tavalla on siis ehdottoman laillista - tämä tarkoittaa tietysti integrointia minkä tahansa muutoksen mukaan, itsenäisesti kehystettynä.

Menetelmässä I se osoitettiin valitsemalla riippumaton muutos t jakissa. Voimme näyttää tämän valitsemalla riippumattomasta muuttujasta parametrin s (koska tämä näyttää selvemmin t:n ja x:n yhtäläisyyden). Olkoon arvo s = s0 pisteitä (t0, x0).

Sitten voidaan: = a (t (s)) t (s) ds, joka antaa tämän jälkeen Tässä on syytä korostaa symmetrisen merkinnän universaalisuutta, mutta: saraketta ei kirjoiteta x (t) eikä t (x) ), mutta muodossa x(s), t(s).

Ennen URP:tä käsitellään muita ensimmäisen kertaluvun ODU:ita, jotka näkyvät korkeimmalla järjestyksessä (esim. tehtäväkirja).

Toinen tärkeä vaihe - lineaarinen ODE:

Menetelmä I. Variaatio on vakio.

Tämä on merkittävä käänne epämääräisempään lähestymistapaan, jota käsitellään osassa 2. Asia on siinä, että ratkaisun etsiminen erityisellä ilmeellä alentaa tasa-arvojärjestystä.

Virishimo svochatku niin ääni. sama taso:

Yksikön perusteella joko x 0 tai tässä x = 0. Jäännösosasta (olkoon x 0 merkitsevä) vähennetään (4), joka antaa kaikki ratkaisut (3) 0 (mukaan lukien nolla ja negatiiviset ykköset).

Kaavan (4) C1 on melko vakio.

Stacionaarisen variaation menetelmä on siinä, että ratkaisu (3) C1 (t) = C0 + On nähtävissä (kuten algebrallisissa lineaarisissa järjestelmissä) rakenne ORNU = CHRN + OROU (tästä raportista osassa 2).

Jos haluamme ratkaista Cauchyn ongelman x (t0) = x0, meidän on tiedettävä C0 Cauchyn tiedoista - voimme helposti päätellä C0 = x0.

Menetelmä II. Tiedämme IM, eli sellainen funktio v, meidän täytyy kertoa (3) (kirjoitettuna siten, että kaikki tuntemattomat kerätään vasemmalle puolelle: xa (t) x = b (t)), jotta vasemmalla puolella oleva toiminta tulee ulos manuaalisesta yhdistelmästä.

Sanotaan: vx vax = (vx), koska v = av, eli (Tällainen yhtälö on yhtä suuri, (3) vastaa tasoitusta, joka on jo helppo määrittää ja antaa (5). Jos Cauchien ongelma on pätevä, sitten kohdassa (6) se on helppoa Brotherly integraali lineaarisiin ODE:ihin (3) sisältää erilaisia ​​toimintoja, kuten edistyneestä tehtävästä voidaan nähdä (esimerkiksi ongelmakirjan mukaan).

Näiden tilanteiden epäkohdat päätellään niin sanotulla hyökkäyksellä. UPD. Katsotaanpa ensimmäisen asteen ODE:tä (n = 1) symmetrisessä muodossa:

Kuten jo todettiin, (7) määrittää ІК alueella (t, x) määrittelemättä kuinka muuttuja otetaan huomioon.

Jos kerrot (7) riittävällä funktiolla M (t, x), saat vastaavan muodon saman yhtälön kirjoittamiselle:

Näin ollen yhdellä ja samalla ODE:llä on useita symmetrisiä tietueita. Niistä erityinen rooli on ns. ylempien differentiaalien merkintöjen jälkeen UPD:n nimi ei ole kaukana, koska tämä potenssi ei ole sama, vaan sen sisääntulon muoto, eli sellainen, että vasen osa (7) on samanarvoinen dF:n (t, x) kanssa osa F.

On selvää, että (7) on UPD vain, jos A = Ft, B = Fx vaiheella F. Kuten analyysistä käy ilmi, muiden osalta on tarpeellista ja riittävää, ettei tiukasti teknisiä näkökohtia, kuten esimerkiksi prosessin sileyttä esitetä. kaikki toiminnot. Oikealla sillä on eri rooli - sitä ei tarvita kurssin muihin osiin, enkä haluaisi tuhlata ylimääräistä rahaa kiihkeään panokseeni.

Tällä tavalla, jos (9) on määritelty, tulee sellainen F (se on sama kuin additiivinen vakio), niin että (7) kirjoitetaan uudelleen muotoon dF (t, x) = 0 ( yksikkö ІК), ts.

F (t, x) = const vzdovzh ІК, eli ІК ovat funktion F rivit. On selvää, että UPD:n integrointi on triviaali tehtävä, koska Hae F:stä A:ta ja B:tä, mikä täyttää (9) muuttumatta vaikeaksi . Jos (9) ei ole kirjoitettu, seuraava asia, joka on tiedettävä, on ääni. IM M (t, x) on sellainen, että (8) є UPD, jolle on välttämätöntä ja riittävää muodostaa analogi (9), joka on muodossa:

Kuten ensimmäisen asteen PDE:iden teoriasta seuraa (kuten katsomme osassa 3), yhtälö (10) on aina päätetty, joten se toteutuu. Tällä tavalla, koska se on yhdenmukainen näkemyksen (7) kanssa, UPD-näkymässä on tietue ja tämä mahdollistaa "eksplisiittisen" integroinnin. Tämä ei kuitenkaan mahdollista rakentavaa menetelmää lopullisessa lähestymistavassa, koska onnistumisen (10) kannalta näyttää tarpeelliselta tietää ratkaisu (7), jota etsimme. Prote, on olemassa useita ajattelumenetelmiä IM, jotka ovat perinteisesti nähty käytännön toiminnassa (esimerkiksi div.).

Kunnioittavasti huomioidaan ennen kaikkea URP:n ja lineaaristen ODU:iden päätös ja sitä täydentää IM:n ideologia.

Itse asiassa URP dx / dt = a (t) b (x), joka on kirjoitettu symmetrisessä muodossa dx = a (t) b (x) dt, kerrotaan luvulla IM 1 / b (x), koska sanat ovat käänteisiä UPD:ssä dx / b (x) = a (t) dt, eli dB (x) = dA (t). Lineaarinen yhtälö dx / dt = a (t) x + b (t), kirjoitettu symmetriseen muotoon dx a (t) xdt b (t) dt, kerrottuna IM:llä, käytännössä kaikki menetelmät ODE:iden ratkaisemiseksi "eksplisiittisessä muodossa"

(Lineaarisiin järjestelmiin liittyvän suuren lohkon syyn takana) uskotaan, että erityisten järjestyksen pienentämis- ja vuorottelumenetelmien avulla tulokset pienennetään ensimmäisen asteen ODE:ksi, joka sitten pelkistetään UPD, ja tulokset todennäköisesti pysähtyvät differentiaaliluvun peruslause: dF = 0 F = const. Ravitsemus tilauksen alentamisesta on perinteisesti sisällytetty käytännön toimintoihin (esimerkiksi suk.).

Sanotaanpa muutama sana ensimmäisen asteen ODE:istä, jotka eivät ole sallittuja selkeästi:

Kuten kohdassa 1 sanottiin, voit oppia muuttamaan (11) x:llä ja poistamaan normaalimuodon, mutta ei kokonaan. Usein on helpompi sijoittaa (11) keskeltä.

Katsotaan avaruutta ((t, x, p)), jossa p = x nähdään välittömästi itsenäisenä muutoksena. Sitten (11) määrittää pinnan tässä avaruudessa (F (t, x, p) = 0), joka voidaan kirjoittaa parametrisesti:

On tärkeää arvata, mitä tämä tarkoittaa esimerkiksi R3:n pallon avun takana.

Ratkaisut ovat samanlaisia ​​kuin tämän pinnan käyrät: t = s, x = x (s), p = x (s) - yksi vapausaskel annetaan sille, joka perustuu ratkaisuihin dx = pdt. Kirjoitetaan tämä yhteys parametrein pintaan (12): gu du + gv dv = h (fudu + fv dv), ts.

Siten tehdyt päätökset vastaavat pinnalla olevia käyriä (12), joissa parametrit liittyvät käyriin (13). ODE pysyy symmetrisessä muodossa, jotta sitä voidaan säätää.

Pudotus I. Jos jollakin alueella (gu hfu) = 0, niin (12) niin t = f ((v), v), x = g ((v), v) antaa parametrisen tallennuksen alueen kaarevista käyristä ( (t , x)) (eli heijastamme tälle alueelle, koska emme tarvitse p).

Vipadok II. Vastaavasti, jos (gv hfv) = 0.

Vipadok III. Joissakin kohdissa samaan aikaan gu hfu = gv hfv = 0. Tässä tarvitaan yksityiskohtainen analyysi, joka viittaa siihen, että jotkut ratkaisut ovat välttämättömiä (joita kutsutaan myös erityisiksi).

Butt.

Rivnyannaya Klero x = tx + x 2. Maєmo:

x = tp + p2. Parametrisoidaan tämä pinta: t = u, p = v, x = uv + v 2. Taso (13) tulee heti näkyviin (u + 2v) dv = 0.

Episodi I. Chi ei ole toteutunut.

Vipadok II. u + 2v = 0, sitten dv = 0, eli v = C = vakio.

Tämä tarkoittaa, että t = u, x = Cu + C 2 - IK-merkintä on parametrinen.

Se on helppo kirjoittaa suoraan muodossa x = Ct + C 2.

Vipadok III. u + 2v = 0, eli v = u / 2. Tämä tarkoittaa, että t = u, x = u2 / 4 on "IC-ehdokkaan" parametrinen syöttö.

Varmistaaksemme, että IK on totta, kirjoitamme sen eksplisiittisessä muodossa x = t2 / 4. Kävi ilmi, että tämä (erityisesti) ratkaisu.

Oikein. Kerro meille, että on erityisen tärkeää huolehtia kaikista muista.

Tämä piilotettu tosiasia on, että minkä tahansa tietyn päätöksen kaavio seuraa kaikkien muiden päätösten perhettä. Mihin perustuu itse erityispäätöksen toinen merkitys ilmeisenä (jako).

Oikein. Kerro meille, että Clairaut'n muodollisemmalle lausekkeelle x = tx (x), jossa on kupera funktio, ratkaisu on erityisen selkeä: x = (t), de - luotu uudelleen Legendre vid, eli = () 1, tai ( t) = max (tv (v)). Vastaavasti tasolle x = tx + (x).

Kunnioittaminen.

Tarkempi ja tarkempi kappale 3 §:stä on sisällytetty käsikirjaan.

Kunnioitus vikladachia kohtaan. Kun luet luentokurssia, voit varovasti laajentaa § 3 ja antaa sille suuremman muodon.

Joillakin lisävaroinnilla f:ssä kokosimme sen, mikä tarkoittaa, että vältimme kaksi samalla aikavälillä laskettua ratkaisua. Jos f on lineaarinen x:ssä, on olemassa globaali kanta, eli joka välissä määritetään yhtälön (järjestelmän) vakiokertoimet. Kuitenkin, kuten teorian lineaarisen järjestelmän pysähtyneisyyden kokeilu osoittaa, Peano-Picart-väli näyttää olevan lyhyempi kuin se, jonka perusteella voidaan tehdä päätös. Luonnollinen voima tulee:

1. Miten määritetään enimmäisväli, jonka kuluessa päätös (1) voidaan vahvistaa?

2. Mikä intervalli lähestyy aina maksimia, mikä on osan (1) 1 oikea merkitys?

3. Kuinka muotoilla päätöksen yhtenäisyyden käsite tarkasti ilman, että sen päätöksen tuntivälistä huolehditaan?

Katso tämä esimerkki niistä, joiden vastauksella ravintoon 2 on näennäisesti negatiivinen reaktio (tai pikemminkin se vaatii suurta tarkkuutta). x = x2, x (0) = x0. Jos x0 = 0, niin x 0 - Osgoodin lauseen mukaan ei ole muita ratkaisuja. Jos x0 = 0, on todennäköistä, että vauva luodaan negatiivisella tavalla). Päätösväli ei voi olla suurempi kuin (, 1 / x0) tai (1 / x0, +) on varma x0 0:lle ja x0 0:lle (toinen hyperbolinen piste ei vie painoa huipulle! - tämä on tyypillinen armo opiskelijat). Ensi silmäyksellä mikään lopullisessa tehtävässä "ei viittannut sellaiseen tulokseen". Kohdassa 4 on selitys tälle ilmiölle.

Yhtälön x = t2 + x2 soveltamisessa ilmenee opiskelijoiden tyypillinen käsitys päätösvälistä. Tässä se tosiasia, että "kapina määräytyy kaikkialla", ei vaikuta ollenkaan päätöksen jatkamiseen kokonaisuudessaan. Tämä on selvää puhtaasti arkipäivän näkökulmasta esimerkiksi oikeuslakien ja niiden alaisuudessa kehittyvien prosessien yhteydessä: koska laki ei selkeästi määrää minkään yrityksen perustamista vuonna 2015, niin se ei tarkoita ollenkaan mitä tämä yritys on Älä mene ikuisesti rikki sisäisistä syistä (vaikka se olisi lain mukaista).

Jotta voidaan vastata ravitsemukseen 1-3 (ja muotoilla ne selkeästi), on välttämätöntä ymmärtää meneillään oleva päätös. Katsomme (kuten kotonakin) päätöstä (1) 1 vetona (, (tl (),), tr ())).

Viznachennya. Päätös (, (tl (), tr ())) є jatkoa päätökselle (, (tl (), tr ())), as (tl (), tr ()) (tl (), tr ()), і | (tl(), tr()) =.

Viznachennya. Resoluutio (, (tl (),), tr ())) - ei-jatkuva, koska sillä ei ole ei-triviaaleja (ts. huomionarvoisia) jatkoja. (Div. Butt more).

On selvää, että HP itsessään on erityisen arvokas, ja sen ehdoilla on välttämätöntä saavuttaa eheys ja yhtenäisyys. Luonnollinen voima on syyllinen - voidaanko tulevaisuudessa kehittää HP:tä joko paikallisen voiman tai ennalta määrätyn Cauchyn perusteella? Näyttää siltä. Tämän selventämiseksi esitellään konsepti:

Viznachennya. Päätösjoukko ((, (tl (),), tr ()))) ei ole tarpeeton, koska mitkä tahansa 2 päätöstä tästä joukosta täyttyvät niiden antamisen välien siirtymävaiheessa.

Viznachennya. Ei-superpätevää ratkaisujoukkoa kutsutaan maksimaaliseksi, koska ei ole mahdollista lisätä toista ratkaisua niin, että uusi joukko on ei-super-ymmärrettävä ja sijoittaa uusia pisteitä samoihin alueisiin ratkaisun luomiseksi.

On selvää, että INN-toiminto vastaa HP-toimintoa ja itse:

1. Jos se on NR, oli se sitten INN, voit poistaa sen, voit myös asettaa äänen.

Oikein. Tarkista se.

2. Jos INN on INN, NR (, (t, t +)) on seuraava:

laittaa (t) = (t), de - mikä tahansa INN:n elementti, tämän pisteen merkitys. Ilmeisesti tällainen funktio osoitetaan yksiselitteisesti kaikelle (t, t +) (yksiselitteisyys johtuu joukon ei-superperiodiudesta), ja se vältetään kaikissa kohdissa INN-elementeillä, jotka ovat merkityksellisiä siinä vaiheessa. Jokaiselle t:lle (t, t +) on kappale siinä ja siten sen ympäristössä, ja koska tässä ympäristössä on ratkaisu (1) 1, niin - sama. Siten kaikessa (t, t +) on päätös (1) 1. Se ei ole jatkuva, koska Toisessa tapauksessa ei-triviaali laajennus voitaisiin lisätä INN:ään sen maksimiarvon yli.

Pobudova MNN zadannya (1) zagalnom-muodossa (Peanon lauseen mielessä), jos paikallista yhtenäisyyttä ei ole, se on mahdollista (div.), mutta se on hankalaa - se perustuu Peanon lauseen Pokrokovsky-pysähdykseen. arvio intervallilaajennuksen Nya pohjalta. Tällä tavalla HP nukkuu aina. Olemme pohjimmiltaan vain ajoittain, jos on paikallinen yhtenäisyys, niin INN (ja siksi HP) on triviaali. Esimerkiksi merkityksellisyyden vuoksi toimimme TK-P:n puitteissa.

Lause. Älä unohda ratkaista mieltäsi TK-P alueella B Rn + 1. Joten mihin tahansa (t0, x0) B-komennolla (1) voi olla yksi HP.

Valmis. Katsotaanpa kaikkia ongelman (1) ratkaisuja (ei tyhjä TK-P:n mukaan). Tätä INN väittää - ei ylikriittistä paikallisen yhtenäisyyden vuoksi, mutta maksimissaan niiden kannalta, jotka ilman persoonallisuuksia ovat saaneet kaikki ratkaisemaan Cauchyn ongelman. Tämä tarkoittaa, että HP on unessa. Se on yhtenäinen paikallisen yhtenäisyyden vuoksi.

Jos on välttämätöntä olla NR, joka perustuu ilmeiseen paikalliseen hyveellisyyteen (1) 1 (eikä Cauchyn antama), niin tämä ongelma, riippuen paikallisen yhtenäisyyden ilmeisyydestä, tulee Cauchyn ongelmaan: on tarpeen valita jokin kohta ilmeisessä infrapuna- ja ulkonäössä Tämä on Cauchyn ongelma. Tämä tehtävä on jatkoa lopulliselle päätökselle yhtenäisyyden vuoksi. Koska yhtenäisyyttä ei ole, tietyn päätöksen jatkaminen tapahtuu edellä kuvatulla menettelyllä.

Kunnioittaminen.

HP:tä ei voida lisätä unen välin päihin (riippumatta yhtenäisyydestä), joten päätökset tehdään myös päätepisteissä. Rajoittaaksesi sinun on selvennettävä, mitä sinun on ymmärrettävä osion lopussa olevien ODE-ratkaisujen alla:

1. Lähestymistapa 1. Jatka päätöksiä (1) 1 osiossa on funktio tyydyttää yhtäläiset lopussa yksipuolisen lähestymistavan mielessä. Siksi mahdollisuus tehdä lisäpäätös esimerkiksi aloitusvälin oikeassa päässä (t, t +] tarkoittaa, että IR on loppupiste B:n ja C 1:n (t, t +] x(t+ ) = (t +) kohteelle (1) ja kun tiedämme ratkaisut, otamme pois t +:n oikean pään (pisteessä t + loukkaa yksipuolisia liikkeitä ja on yhtä kuin f (t). +, (t +)), mikä tarkoittaa, että se on erityisen kannattavaa) , eli bulo HP.

2. Lähestymistapa 2. Mitä tulee ratkaisuihin (1) 1 osassa on funktio, joka on jatkuva päissä, muuten IK:n päät ovat B:ssä (ei väliä, ei tarvitse kiinnittää huomiota іntsakhiin) - näet edelleen saman maailman, vain johdonmukaisen integraaliyhtälön (jakoraportti) suhteen.

Tällä tavalla välittämällä välittömästi vain avoimet välit valitun ratkaisun kerrannaisina, emme tuhonneet voimaa (ja vältyttiin vain tarpeettomilta liikkeiltä yksipuolisilla liikkeillä jne.).

Laukussa meille annettiin ruokaa 3, laitettiin tähkä päälle § 4: mielen yhtenäisyyden voitolla (esim. Osgood tai Cauchy-Picard) tapahtuu HP:n ratkaisun yhtenäisyys Cauchyn ongelmaan. Jos mielen yhtenäisyys hajoaa, Koshan tehtävään voi olla paljon HP:tä joka kerta, kun tarvitset unta. Voiko päätös (1) (tai yksinkertaisesti (1) 1) laajentaa koskemaan HP:tä.

Tehonsyöttöön 1.2 vastaamiseksi on tarpeen tutkia paitsi IK:n käyttäytymistä Rn + 1:n avaruudessa. Ruoka siitä, miten IK tapahtuu "lähellä päitä" osoittaa, että aikaväli Päivä voi päättyä, ja IK voi päättyä don’t mother (B:n IK:n loppu ei koskaan nuku - katso Respect tarkemmin, tai et ehkä nuku I:n loppua B:ssä - jako alla).

Muotoilemme sen paikallisen yhtenäisyyden mielessä, mutta ei pakollista - katso, siellä TPK on muotoiltu HP:n kriteeriksi.

TK-P:n mielessä minkä tahansa NR-tason (1) 1 graafista on poistettu kompakti K B, eli K B (t, t +): (t, (t)) K pisteessä t.

Butt.

K = ((t, x) B | ((t, x), B)).

Kunnioittaminen.

Siten ІК НР lähellä t ± lähestyy B:tä: ((t, (t)), B) 0 kohdassa t ± - päätöksen jatkamisen prosessi ei voi kääntyä tiukasti B:n keskellä.

Positiivisesti meillä on tässä oikeus osoittaa selkeästi ei-leikkautuvien suljettujen multiplisiteettien välisen alajaon positiivisuus, joista yksi on kompakti.

Valmis. Kiinteä K B. Oletetaan be-0 (0, (K, B)). Koska B = Rn + 1, niin (K, B) = + on tärkeä arvoille. Persoonaton K1 = ((t, x) | ((t, x), K) 0/2) on myös kompakti B:ssä, joten F = max | f|. Valitut numerot T ja R ovat tarpeeksi pieniä, jotta esimerkiksi mikä tahansa sylinteri voi ottaa T 2 + R2 2/4. Sama ongelma näyttää olevan TK-P:n mukaan ratkaistu aikaisemmalla aikavälillä (t T0, t + T0), missä T0 = min (T, R / F) kaikille (t, x) K:lle.

Nyt voit ottaa =. Itse asiassa meidän on osoitettava, että jos (t, (t)) K, niin t + T0 t t + T0. Osoittakaamme esimerkiksi ystävän hermostuneisuutta. Cauchyn tehtävän (2) ratkaisu x = (t) menee oikealle ainakin pisteeseen t + T0, muuten se ei ole sama, koska yksikössä on laajennus, sitten t + T0 t +.

Tällä tavalla HP-aikataulu saavuttaa ensin B:n, joten HP:n aktivointiväli on IK-geometrian sisällä.

esimerkiksi:

Vahvistettu. Olkoon B = (a, b) Rn (pääte- tai jatkuva väli), f tyydyttää B:n TK-P:n mielet, є HP-tehtävä (1) t0:lla (a, b). Todi tai t + = b, tai | (t) | + Kohdassa t t + (i on samanlainen t:lle).

Valmis. Voi kulta, olkoon t + b, sitten t + +.

Tarkastellaan kompaktia joukkoa K = B B. Jos TPK:lla on R +, saadaan (R) t + siten, että t:lle ((R), t +) piste (t, (t)) K. Jos fragmentteja on t t +, sitten hinta ehkä vain kuorelle | (t) | R. Ale ce i tarkoittaa | (t) | + Kohdassa t t +.

Tässä tapauksessa on tärkeää, että jos f on merkitty "kaikkiin x", niin HP-käynnistysväli voi olla pienempi kuin suurin mahdollinen (a, b) vain HP-sovelluksen mittakaavassa aina kun lähestytään väli (t, t +) (zagalny vipadkussa - kordoniin B asti).

Timille itselle annettiin ravinto 2 (por. Butt on the cob § 4): IK saavuttaa B, muuten projektio koko t:llä ei välttämättä saavuta B:n projektion päitä koko t:llä. Ravitsemus on riistetty 1 - mitkä ovat ne merkit, joiden perusteella nykyisen ODE:n lisäksi voidaan arvioida mahdollisuutta jatkaa ratkaisua "maksimilaajalle välille"? Tiedämme, että lineaarisille ODE:ille tämä laajennus on mahdollista, mutta pykälän 4 alun esimerkissä se on mahdotonta.

Katsotaanpa alkua URP:n äärimmäisen vaiheen havainnollistamiseksi, kun n = 1:

Ei-arvoisen integraalin h (s) ds arvo (ei-muuttuja tärkeä = + tai h:n ominaispiirteiden kautta pisteessä) ei ole valinnassa (,). Sitten kirjoitetaan yksinkertaisesti h (s) ds, jos puhumme sen integraalin konvergenssista tai erotuksesta.

Tämä olisi voitu selvittää Osgoodin lauseessa ja siihen liittyvissä väitteissä.

Vahvistettu. Olkoon a C (,), b C (, +), loukkaavat funktiot positiivisia aikaväleillään. Sovelletaan Cauchyn ongelmaa (de t0 (,), x0) HP x = x (t) -välillä (t, t +) (,). todi:

Tutkinta. Jos a = 1, = +, niin t + = + Todistus. (Tverzhennya). Rakas, x kasvaa yksitoikkoisesti.

Oikein. Anna tulla.

Siksi x (t +) = lim x (t) +. Maєmo Vipadok 1. t +, x (t +) + - TPK:n mukaan hankala, koska X є HP.

Epäkohdat yhdistettiin joko loputtomasti tai loputtomasti.

Oikein. Dorobiti todiste.

Pohjustettu vikladachille. On selvää, että ajassa 3: a (s) ds +, ja ajassa 4 (joka on aina toteutettu) sama.

Siten yksinkertaisimmille ODE:ille, joiden n = 1 muotoa x = f (x), ratkaisun jatkumisen määrää samankaltaisuus.

autonomiset alueet, katso osa 3.

Butt.

Kun f (x) = x, 1 (zocrema, lineaarinen pudotus = 1) ja f (x) = x ln x, (positiivisten) ratkaisujen jatkuminen +:aan voidaan taata. Kun f (x) = x и f (x) = x ln x on 1, päätös on "sääntö tunnin lopussa".

Äärimmäisessä tapauksessa tilanne on rikas ja ei ole niin yksinkertainen, mutta se on vailla "kasvunopeuden f x x" merkitystä. Kun n 1, on tärkeää muotoilla jatkuvuuden kriteerit ennen kuin sinulla on tarpeeksi älyä. Pääsääntöisesti haju pohjustetaan lisäapua varten. ennakkoarviot on ratkaistu.

Mutta käy ilmi, että AT:n läsnäolo takaa, että päätökset arvostetaan edelleen kaikessa (,) (ja siten täyttävät arviot koko aikavälillä), joten joka kerta, kun a priori -estimaatti muunnetaan jälkikäteen:

Lause. Olkoon Cauchyn ongelma (1) tyydyttävä TK-P:n mielet, ja sille ratkaisu on paikka AT intervallilla (,) toiminnolla h C (,), ja kaareva sylinteri (| x | h (t) ), t (,)) B . Todi HP (1) on määritetty kaikille (,) (mikä tarkoittaa, että se täyttää AT:n).

Valmis. Katsotaan, että t + (t on samanlainen). Oletetaan t+. Tarkastellaan kompaktia joukkoa K = (| x | h (t), t) B. TPK:lle kohdassa t t + kuvaajapiste (t, x (t)) poistaa K:n, mikä on mahdotonta AT:lla katsottuna.

Näin ollen päätöksen jatkuvuuden osoittamiseksi tietyllä aikavälillä on muodollisesti arvioitava päätös millä tahansa tarpeellisella aikavälillä.

Analogia: Lebesguen funktion validiteetti ja integraalin muodollinen estimaatti ovat yleensä integraalin todellinen perusta.

Katsotaanpa tilannetta, kun tämä logiikka toimii. Lopetetaan havainnollistamalla indusoitua teesiä "f:n lisäämisestä x:llä mahdollisimman suuressa määrin".

Vahvistettu. Olkoon B = (,) Rn, f tyydyttää TK-P:n mielet B:ssä, | f (t, x) | a (t) b (| x |), jossa a i b tyydyttää entisen Yrityksen mielet z = 0 ja = +. Sitten NR-asetus (1) alkaa arvosta (,) kaikille t0 (,), x0 Rn.

Lemma.

Jakshto i keskeytymätön, (t0) (t0); t t Todistus. Rakas, (t0, t0 +) läheisyydessä: jos (t0) (t0), niin se on heti selvää, mutta muuten (koska (t0) = (t0) = 0) on mahdollista (t0) = g ( t0, 0) (t0), mikä taas antaa tarpeen.

Nyt on hyväksyttävää, että on olemassa t1 t0 siten, että (t1). Ilmeisin keinoin voidaan tietää (t1) t2 (t0, t1] siten, että (t2) = (t2) ja on (t0, t2).

g be-yak, ja totuus tarvitsee enemmän, C, ja kaikkialla =, siellä. Älkäämme välittäkö siitä, katsokaamme sitä kuin Lemassa. Tässä on epätasa-arvoa, mutta sitten on epälineaarinen ODE, ja se myös kuulostaa siltä.

Kunnioitus vikladachia kohtaan. Lemassa tämän tyyppisiä epäyhtälöitä kutsutaan Chapligin-tyyppisiksi epäyhtälöiksi (NC). On helppo nähdä, että Lemassa ei tarvittu mielen yhtenäisyyttä, joten "suvore NP" on totta Peanon lauseen puitteissa. "Samanlaiset NP:t" ovat ilmeisesti vääriä ilman yhtenäisyyttä, koska mustasukkaisuus on ratkaisemattoman epätasa-arvon perimmäinen muoto. Nareshti, "Unreadable LF" mielen yhtenäisyyden puitteissa on oikein, mutta se on mahdollista tuoda esiin paikallisesti - lisätietoa varten.

Koshyn komento x (0) = 0 voi olla yksi HP x = 0 R:llä.

Huomattavasti tarpeeksi älykkyyttä f:llä, jolloin voidaan taata, että HP:n kanta R +:lla saavuttaa pienen x0 = x (0) koko ajan. Kenelle on hyväksyttävää, että (4):llä on tällainen ääni. Lyapunov-funktio, eli sellainen funktio V, joka:

1. VC1 (B (0, R));

2. sgnV (x) = sgn | x |;

Tarkastellaanpa mielen A ja B teoriaa:

A. Tarkastellaanpa Cauchyn ongelmaa | x1 | R / 2. Oletetaan, että sylinteri B = R B (0, R) on funktion f arvoalue, joka on rajattu luokalla C 1, niin että pää F = max | f|. TK-P:n takana on ratkaisu (5), joka on määritelty välille (t1 T0, t1 + T0), jossa T0 = min (T, R / (2F)). Valitsemalla suuren T:n voit saavuttaa T0 = R / (2F). On tärkeää, että T0 ei ole valinnassa (t1, x1) tai | x1 | R/2.

B. Niin kauan kuin liuos (5) on merkitty ja kadonnut soluun B (0, R), voimme suorittaa puhdistuksen alkamisen. äiti:

V (x (t)) = f (x (t)) V (x (t)) 0, eli V (x (t)) V (x1) M (r) = max V (y) . On selvää, että m ja M eivät muutu, eivät muutu | r tasot nollia, m (0) = M (0) = 0, ja nollahajujen sijainti on positiivinen. Siksi havaitaan, että Ro on myös yhtä suuri kuin M(R)m(R/2). Yakshcho | x1 | R, sitten V (x (t)) V (x1) M (R) m (R / 2), tähdet | x(t) | R / 2. Hyvä R R / 2.

Nyt voimme muotoilla lauseen kuten kappaleessa. A, B näyttää globaalin ratkaisun (4):

Lause. Koska (4):llä on Ljapunov-funktio B:ssä (0, R), niin kaikille x0 B (0, R) (jossa R on merkitty edellä) Cauchyn NP x (t0) = x0 järjestelmälle (4) (millä tahansa t0) on asetettu arvoon +.

Valmis. Kohdan A perusteella ratkaisu voidaan sijoittaa missä t1 = t0 + T0 / 2. Ratkaisu on B:ssä (0, R) ja kunnes kohtaa B sovelletaan edelleen, niin | x(t1) | R / 2. Hyväksy uudelleen hyväksytty kohta A ja päätös päätetään, missä t2 = t1 + T0 / 2, eli nyt päätöstä kehotetaan eteenpäin. Ennen tällaista päätöstä kohta B pysähtyy ja poistetaan | x(t2) | R / 2 jne. Jaksojen lukumäärän osalta ratkaisu on otettu kohdasta 5. ODE:n ratkaisemisen tärkeys kohdassa Katsotaanpa Cauchy de Rk -ongelmaa. Jos, jos t0 (), x0 () tämä Cauchyn ongelma on HP, niin se on x (t,). Ravitsemus on vikana: kuinka lasketaan varastointi x-tyyppi? Tämä ravitsemus on tärkeä useiden lisäysten vuoksi (ja erityisesti osassa 3), joista yksi (vaikkakaan ei ehkä tärkein) on ODE:n lähempi ratkaisu.

Butt.

Tarkastellaanpa Cauchyn HP:n ongelmaa ja se on yksi, kuten TK-P:stä seuraa, mutta sitä on mahdotonta määrittää alkeisfunktioissa. Kuinka voimme jäljittää tämän viranomaisen? Yksi tapa on tämä: kunnioittavasti, että (2) on "lähellä" tehtävää y = y, y (0) = 1, jonka ratkaisu on helppo löytää: y (t) = et. Voimme olettaa, että x (t) y (t) = et. Tämä ajatus voidaan muotoilla selkeästi seuraavasti: tarkastellaan ongelmaa At = 1/100 ce (2) ja at = 0 ce tehtävää y:lle. Kun olemme todenneet, että x = x (t,) on epäjatkuva (laulun merkityksessä), voimme kieltää sen, että x (t,) y (t) on 0, ja tämä tarkoittaa x (t, 1/) 100) y (t) = et.

On totta, että jää epäselväksi kuinka lähellä x on y:tä, mutta todiste x:n jatkuvuudesta y:ään on ensimmäinen välttämätön askel ilman, että sitä on mahdotonta viedä pidemmälle.

Sama pätee tähkätietojen parametrien pituuden seurantaan. Kuten me lisäksi, tämä syvyys voidaan helposti pienentää yhtälön oikean osan parametrin pituuteen, joten se on toistaiseksi rajoitettu annettuun muotoon Nehaj f C (D), jossa D on alue Rn + k + 1; f lipshitzev pitkin x:tä missä tahansa kuperassa x:tä pitkin kompakti D:n kanssa (esimerkiksi syöttäminen, lisäämällä C (D)). Kiinteä (t0, x0). Merkittävästi M = Rk | (T0, x0,) D - ei ole sallittuja (jolle tehtävä (4) on herkkä). Merkittävää on, että M on auki. Otetaan huomioon, että (t0, x0) valitaan siten, että M =. TK-P:lle kaikille M:lle on yksi HP-tehtävä (4) - funktio x = (t,), joka määritellään välille t (t (), t + ()).

Täysin ilmeistä, että muutoksen rikkauksien joukossa olevat palaset on kirjoitettava (4) näin:

de (5) 1 viconano persoonattomuudesta G = ((t,) | M, t (t (), t + ())). Merkkien d / dt ja / t käyttö on kuitenkin puhtaasti psykologista (niiden merkitys on samassa psykologisessa "kiinnityksen" käsitteessä). Näin ollen G:n puuttuminen on tärkeiden toimintojen luonnollinen maksimi, ja jatkuvuutta koskevaa ravintoa tulisi seurata itse G:stä.

Tarvitsemme lisätuloksen:

Lemma.

(Gronwall). Toiminto C, 0, täyttää kaikki t Todin arvioinnit kaikella laskentaa kunnioittaen. Kun luet luentoa, et voi muistaa tätä kaavaa etukäteen, vaan jättää sen paikoilleen ja kirjoittaa sen jälkeen, kun se on näytössä.

Ale sitten trimmaamme tätä kaavaa kunnioituksella, koska sitä vaaditaan Tonzissa.

Kunnioittaminen.

On mahdollista nostaa esiin tämä koko asia ja epämääräisillä olettamuksilla A:sta ja B:stä, mutta emme vielä tarvitse sitä, mutta se tullaan tarkentamaan UMF:n aikana (joten on selvää, että emme ole heikentäneet A:n ja B:n jatkuvuus jne.).

Nyt olemme valmiita muotoilemaan tuloksen selkeästi:

Lause. (ToNZ) Kun kyseessä on syväpata noin f i määrätyissä lisäyksissä, sitä on helpompi tiivistää niin, että G on auki ja C (G).

Kunnioittaminen.

On selvää, että persoonaton M on painunut näennäisesti, ei hyvin, joten I G ei ehkä ole koheesio.

Kunnioitus vikladachia kohtaan. Jos kuitenkin sisällyttäisimme (t0, x0) parametrien määrään, liitettävyys olisi b - eli jaettuna.

Valmis. Olkoon (t,) G. On välttämätöntä ilmaista, että:

Olkoon se tärkeä t t0. Oletetaan: M, joten (t,) on määritetty (t (), t + ()) t, t0, mikä tarkoittaa jokaisessa segmentissä, että t-piste (t, (t,),) kulkee kompaktin käyrän läpi D ( yhdensuuntainen hypertason kanssa (= 0)). Tämä tarkoittaa, että huomioimatta tärkeyden ulkonäköä, sinun on seisottava rauhallisesti silmiesi edessä!

Sama on kompakti D:ssä pienille a:lle ja b:lle (kupera x:ssä), joten funktio f on Lipschitz x:ssä:

[Tätä arviointia on harkittava huolellisesti silmiesi edessä! ] Ja tasaisesti keskeytyksettä kaikissa muutoksissa, ja vielä enemmän | f (t, x, 1) f (t, x, 2) | (| 12 |), (t, x, 1), (t, x, 2).

[Tätä arviointia on harkittava huolellisesti silmiesi edessä! ] Tarkastellaanpa tarkemmin yhtä asiaa, joka | 1 | bі vіdpovіdne rіshennya (t, 1). Epäpersoonallinen (= 1) on kompakti joukko D:ssä (= 1), ja kohdassa t = t0 piste (t, (t, 1), 1) = (t0, x0, 1) = (t0, (t0,) , 1) (= 1), ja TPK:n mukaan kohdassa t t + (1) piste (t, (t, 1), 1) on redundantti (= 1). Olkoon t2 t0 (t2 t + (1)) - merkittävin, kun pisteen oletetaan menevän.

Päivittäin t2 (t0, t1]. Näytämme pomoillemme, että t2 = t1 lisäkorvauksilla päällä. Otetaan nyt t3. Sanotaan (kaikille sellaisille t3:lle kaikki arvot lasketaan edelleen päivittäisistä arvoista):

(T3, 1) (t3,) = f (t, (t, 1), 1) f (t, (t,),) dt, Yritetään todistaa, että itseisarvo on pienempi kuin a.

Integraalifunktio arvioidaan seuraavasti:

± f (t, (t,),), eikä ± f (t, (t,),), koska Ero | (t, 1) (t,) | Vielä ei ole arvioita, joten (t, (t, 1),) on epäselvä, ja akseli | 1 | Tobto, i (t, (t,), 1) on näkyvissä.

Tällä tavalla tällä valinnalla 1, jos t3 = t2, kaikki | (t2, 1) (t2,) | a ja myös | 1 | b. Tämä tarkoittaa, että (t2, (t2, 1), 1) on mahdollinen vain, jos t2 = t1. Ale ce zocrema tarkoittaa, että (t, 1) on merkitty jokaiseen osaan, eli T1 t + (1), ja kaikki täplät muodossa (t, 1) G, muodossa t, | 1 | 1 (t1).

Eli jos haluat t + makuulle, muuten leikkaus on riistetty vasen t + () kun, lisää lähellä. Pikkuiselle Samoin kohdassa t t0 esitetään lukujen t4 t0 ja 2 (t4) kanta. Jos t t0, niin piste (t,) B (, 1) G, samoin t t0:lle, ja jos t = t0, tapahtuu loukkausten pysähtymistä, joten (t0,) B (, 3) G, missä 3 = min (12). On tärkeää, että kun (t,) on kiinteä, voit löytää t1 (t,) siten, että t1 t 0 (tai vastaavasti t4) ja 1 (t1) = 1 (t,) 0 (tai vaihtoehtoisesti 2), joten jotka valitsevat 0 = 0 (t,) kirkas (koska pois jätettyyn lieriömäiseen renkaaseen voidaan laittaa keppi).

Itse asiassa annetaan hienovaraisempaa tehoa: jos HP on määritetty tiettyyn osaan, niin uudessa arvossa kaikille HP:ille määritetään samanlaiset parametrit (ts.

kaikki pikku bureni NR). Tämä voima tulee kuitenkin avoimuudesta G, kuten alla esitetään, joten muotoilu on vastaava.

Tim itse suoritti kohdan 1.

Jos olemme määrätyssä sylinterissä avaruudessa, arvio on | 1 | 4(,t,). Samaan aikaan | (t3,) (t,) | klo | t3 t | 5 (, t,) ei-intervallin kautta t:ssä. Tämän seurauksena kohdassa (t3, 1) B ((t,),) meillä on | (t3, 1) (t,) |, de = min (4, 5). Tämä on kohta 2.

”Venäjän federaation liittovaltion liittovaltion budjettien koulutusministeriö korkeamman ammatillisen koulutuksen korkeamman koulutuksen johtamistieteen yliopiston tieteellisen pedagogisen ja tieteiden koulutuslaitoksen perustaminen Uuden henkilöstöohjelma pääsyongelmien ohjelma erityisissä tieteenalojen sosiologian hallinnassa Moskova - 2014 1.Organzation- Metodologiset ohjeet Viiteohjelma keskittyy koulutusrakennuksen pääsykokeeseen ennen tutkijakoulua vuonna ... »

"Amurski kansallinen yliopisto Psykologian ja pedagogiikan laitos ALKU- METODOLOGISET TIETOJEN KONSULTATIIVIPSYKOLOGIA Pääkoulutusohjelma suoraan kandidaatille 030300.62 Psykologia Blagoveshchensk 2012 UMKD Jakelut Tarkistettu suositellusti Protokollian ja Psdgogyologian laitoksen kokouksessa »

“Automobile State) Omsk - 2009 3 Liittovaltion koulutusvirasto State School of Higher Professional Education Siperian valtion auto- ja tieakatemia (SibADI) Insinööripedagogian laitos Metodiset ohjeet koulutustekniikan aiheesta erikoisalan opiskelijoille 050501 - Ammatillinen kehitys (autot) ja autoteollisuus..."

”Sarja Peruskirja G.S.Rosenberg, F.N.Ryansky TEORIA JA SOVELLETTAVA EKOLOGIA Peruskäsikirja Suositellaan klassisen yliopistotyön mukaisiin metodologisiin perusopinnot Venäjän federaatio vuonna yakostі ensiapulainen lukiolaisille alkuperäiset asuntolainat ympäristöalan erikoisaloilla, Nizhnevartovsk Pedagogical Instituten Nizhnevartovsk Branch 2. painos 2005 BBK 28.080.1ya73 R64 Arvostelijat: Biologian tohtori. Tieteet, professori V. I. Popchenko (ekologian instituutti ... »

"UKRAINAN OPETUS- JA TIETEEN MINISTERIÖ. Liittovaltion budjettikoulutus Korkea-asteen ammatillisen koulutuksen perustaminen Krasnojarskin valtion pedagoginen yliopisto nimetty. V.P. Astaf'eva E.M. Antipova SMALL PRACTICUM kasvitieteessä Elektroninen julkaisu KRASNOYARSK 2013 BBK 28.5 A 721 Arvostelijat: Vasilyev O.M., biologian tohtori, professori KDPU im. V.P. Astaf'eva; Yamskikh G.Yu., geologisten tieteiden tohtori, Siperian liittovaltion yliopiston professori Tretyakova I.N., biologisten tieteiden tohtori, professori, metsäinstituutin johtava asiantuntija ... "

"Venäjän federaation opetus- ja tiedeministeriö Liittovaltion valtion budjetti korkea-ammatillisen koulutuksen perustaminen Amurin osavaltion yliopisto Psykologian ja pedagogiikan laitos ALKUPERÄINEN METODOLOGISET KOMPLEKSIA PEDIATRIAN JA HYGIENIAN PERUSTEET Pääkoulutusohjelma suoran koulutuksen 062hchensk. 1 Häiriöiden UMCD Tarkistettu ja suositeltu psykologian laitoksen kokouksessa ja... »

"Tehtävän tarkistus sytytysjohdolla Valtion (podsumkova) sertifiointi sytytysvalaistuksen IX luokan valmistuneille (uudessa muodossa) 2013 r_k MAANTIETE Moskova 2013 Ohjaaja: Am Bartsumova E.M. Himmeävalaistusasennuksen 9. luokista valmistuneiden valtion (alapussi) -sertifioinnin tulosten objektiivisuuden lisääminen (vuonna ... »

"Käytännön suosituksia venäjän kielen Venäjän federaation suvereenikielenä julkaisemisen kehittämiseksi ja menetelmäsisällöksi. Käytännön suosituksia on osoitettu venäjänkielisille julkaisuille (myös ulkomaisille). Korvaaminen: Käytännön suosituksia ja menetelmäohjeita valikoimasta 1. Materiaalin korvaaminen aloittelijoille ja edistyneille opiskelijoille, omistettu venäjän kielen toimintaongelmiin suvereeni kieli...»

”E.V. MURYUKINA OPPISKELIJAN KRIITTISEN AJATTELUJEN JA MEDIAOSAAMISEN KEHITTÄMINEN LEHDISTÖN ANALYYSIPROSESSISSA Peruskäsikirja yliopistoille Taganrog 2008 2 Muryukina E.V. Opiskelijoiden kriittisen ajattelun ja mediaosaamisen kehittäminen lehdistöanalyysin prosessissa. Peruskäsikirja yliopistoille. Taganrog: NP Center for Development of Specialty, 2008. 298 s. Perusopiskelija tarkastelee opiskelijoiden kriittisen ajattelun ja mediaosaamisen kehittymistä mediakasvatusprosessissa. Tämän päivän lehdistön jäänteitä... »

"NOIN. P. Golovtšenko Tietoja IHMISTEN Fyysisen aktiivisuuden MUODOSTUMISTA Osa II P O D AG OGIK A TWO DAT Yelnya OH AKTI VN OSTI 3 Navchalne vidannya Oleg Petrovitš Golovtšenko IHMISTEN Fyysisen aktiivisuuden MUODOSTUMINEN Navchalnyn kylä *** Toimittaja N.I. Kosenkova Vikonaalin D.V. ja S.V. Potapova *** Allekirjoitettu 23.11. Muoto 60 x 90 / 1/16. Sanomalehtipaperi Kirjasintyyppi Times Toimintatapa ystävälle Mieli. p.l...."

"Kazanin osavaltion yliopiston IM:n korkea-asteen ammatillisen koulutuksen valtion valaistusasennus. V.I. ULYANOVA-LENINA Tieteellisten ja koulutusresurssien elektroniset kirjastot. Metodologinen perusopas Abrosimov A.G. Lazareva Yu.I. Kazan 2008 Tieteellisten ja koulutusresurssien elektroniset kirjastot. Metodologinen perusopas sähköisten tietoresurssien ohjaamiseen. - Kazan: KDU, 2008. Metodologinen peruskäsikirja on julkaistu ratkaisuille ... "

"UKRAINEN OPETUS- JA TIETEMINISTERIÖ Valtion korkean ammatillisen koulutuksen oppilaitos Orenburzin osavaltion Akbulakin yliopiston haara Pedagogian laitos V.A. TETSKOVIN MENETELMÄ VOITTAA mielikuvituksellista mystiikkaa KESKUSKOULUN KÄYTTÖLUOKISSA Metodiset lisäykset Ennen julkaisua Suvereenin toimitus- ja vierailijaneuvoston suosittelema kevyt asuntolaina Orenburzin osavaltion yliopisto edistyneeseen ammatilliseen koulutukseen... »

"UKRAINAN OPETUS- JA TIETEMINISTERIÖ Stavropolin ALUEEN OPETUSMINISTERIÖ Valtion valaistus korkean ammatillisen koulutuksen laitos Stavropolin valtion pedagoginen yliopisto N.I. Dzhegutanova MAAN LASTENKIRJALLISUUS Vivechayatsya MOVI ALKUPERÄINEN METODOLOGISET KOMPLEKSIA Stavropol 2010 1 Noudattaa UDC 82.0:n toimituksen päätöksiä BBK 83.3 (0) Valtion Oppilaitos Ammattikorkeakoulu Kunniakoulu Staversropol Valtiollinen ammatillinen koulutuslaitos Stavropol. »

”SÄÄNNÖKSET uudesta koulun sisäisen opetuksen laadun arviointijärjestelmän MBOU Kamishinsky ZOSH 1. Yleiset määräykset 1.1. Koulujen sisäisen valaistuksen laadun arviointijärjestelmän määräykset (jäljempänä säännökset) asettavat tiettyjä etuja koulun sisäisen valaistuksen laadun arviointijärjestelmän (jäljempänä SSOKO) toteuttamiselle kunnassa. kaupungin ulkopuolella sijaitsevan Kamishinsky-ylemmän koulun budjettivalorahasto (jäljempänä koulu). 1.2. SSOKO:n käytännöllisyys on yhdenmukainen... »

“UZBEKISTANIN TASAVALLAN TERVEYSMINISTERIÖ Tashkent MEDICAL ACADEMIA KLIINISEN ALLERGOLOGIAN YRITYKSEN GP:N LAITOS Vararehtori alkutyönä Prof. O.R. Teshaev _ 2012 SUOSITUKSET VALMISTETUT Menetelmätyön peruskehitys KÄYTÄNNÖN IHMISILLE YHDEN MENETELMÄJÄRJESTELMÄN OTTAMISEEN Metodiset muistiinpanot lääketieteen VNZ-opettajille Tashkent - 2012 TASAVALLAN TERVEYSMINISTERIÖ GLIKI UZBEKISTAN LÄÄKETIETEELLINEN KOULUTUSKESKUS ...

"Liittovaltion virasto Girnicho-Altain osavaltion yliopistosta A. P. Makosh POLIITTINEN MAANTIETE JA GEOPOLITIIKKA Metodologinen perusoppikirja Girnicho-Altaisk RIO of the Girnicho-Altai State University 200 6 Noudattaa Girnicho-Altain osavaltion yliopiston toimituksen ja akateemisen henkilöstön päätöksiä. POLITICNA MAANTIETE JA GEOPOLITIIKKA. Metodologinen perusoppikirja. - Girnicho-Altaysk: RIO GAGU, 2006.-103 s. Metodologinen perusopas on jaettu osiin aina perustietoihin asti ... »

"A.V. Novitska, L.I. Mikolaeva MAIBUTHIN KOULU SUCHASNA OCVITARY OHJELMA Elämän kokoontumiset 1. LUOKKA menetelmäkäsikirja ALKULUOKIEN OPETTAJILLE Moskova 2009 UDC 371 (075.8) BBK 74.00 N 68 Tekijänoikeudet on laillisesti varattu tekijälle zo kovo lähetetty Novitska O.V., Mikolaeva L.I. N 68 Suchasna valaistusohjelma Elämän kokoontumiset. - M.: Avvallon, 2009. - 176 s. ISBN 978 5 94989 141 4 Tämä esite on suunnattu ensisijaisesti opettajille, ja tietysti sen tiedot..."

"VENÄJÄN PIDPRIEMNITSKE LAIN alkumetodologinen kokonaisuus 030500 - Oikeustiede Moskova 2013 Kirjoittaja - siviilioikeuden tieteenalojen osaston päällikkö Arvioija - Johdatus-metodologinen pohdintoja ja kiitosta osaston kokouksessa Siviili- ja lakitieteen pöytäkirja nro. 3_2013_2. Venäjän yrityslaki: alkuperäinen ja menetelmällinen ... »

"A. A. Yamashkin V. V. Ruzhenkov Al. A. Yamashkin MORDOVAN TASAVALLAN MAANTIEDE Julkaisun päällikkö SARANSK VIDAVNITSTUVO MORDOVAN YLIOPISTO 2004 UDC 91 (075) (470.345) BBK D9 (2Р351-6Мо) Y549 Tärkeä Pedagogical University of Vodagicale Filosofian laitos; lääkäri maantieteelliset tieteet Professori A. M. Nosonov; koulukompleksin nro 39 opettaja Saransk A. V. Leontyev on sitoutunut alkumetodologisiin päätöksiin tiedekunnan vuoksi ylioppilaskoulutusta

RF:N KANSALLISEN KEHITTYNÄ YDINYLIOPISTO "MYTHI" T.I. Bukharova, V. L. Kaminin, A. B. Kostin, D. S. Tkachenko Luentokurssi perusdifferentiaaliyhtälöistä Oppilaitoksen "Ydinfysiikka ja -tekniikat" suosittelema perusoppikirjaksi jatko-opiskelijoille Moskova 2011 UDC 517.9 KaminL 517.9 V.916 BBK...2. , Kostin A.B., Tkachenko D.S. Differentiaaliyhtälöiden perusluentojen kurssi: Peruskäsikirja. - M.: NRNU MYFI, 2011. - 228 s. Ensimmäinen käsikirja syntyi luentokurssin pohjalta, jonka kirjoittajat lukevat jatkossa Moskovan tekniikan ja fysiikan instituutissa. Tarkoitettu kaikkien tiedekuntien NRNU MEPhI -opiskelijoille sekä korkeakouluopiskelijoille, joilla on edistynyt matemaattinen koulutus. Käsikirja on laadittu NRNU MIFI:n luomis- ja kehittämisohjelman puitteissa. Arvostelija: fysiikan ja matematiikan tohtori. Tieteet N.A. Kudrjašov. ISBN 978-5-7262-1400-9 © National Doslednitsky Nuclear University “MIFI”, 2011 Zmist Peredmova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I. Johdatus primääridifferentiaaliyhtälöiden teoriaan Peruskäsitteet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cauchyn ongelma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 11 II. Cauchyn ongelman perusta ja yhdistäminen ensimmäisen asteen ekvalisoinnille. Ensimmäisen kertaluvun yksikkölause. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ratkaisun olemassaolo Cauchyn ongelmaan ensimmäisen asteen ODE:lle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jatkoa ensimmäisen asteen ODU:n ratkaisulle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. Cauchyn ongelma n:nnen kertaluvun normaalille systeemille. . . . Cauchyn ongelman ratkaisun eheys normaalille järjestelmälle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . Ymmärrä metriavaruus. Vastaanota seuraavat näytöt. . . . . . Olemassaolo- ja yksikkölauseet Cauchyn ongelman ratkaisuun normaaleille järjestelmille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 23 34 38 38 43 44 48 IV. Ensisijaisten differentiaaliluokkien eri luokat, jotka ovat olemassa erotettavien muuttujien kanssa neliöidyssä. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen OÄU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sama taso. . . . . . . 116 VII. Korkealuokkaiset lineaariset ODE:t pelkistetään lineaaristen ODE:iden järjestelmäksi. Eksistenti- ja yksikkölause Cauchyn ongelman ratkaisuun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tasainen lineaarinen korkealuokkainen OÄU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Monimutkaisten ratkaisujen voima yhdelle korkealuokkaiselle lineaariselle OÄU:lle. Siirtyminen monimutkaisesta ESR:stä todelliseen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Epähomogeeniset lineaariset korkealuokkaiset ODA:t. Vakiovaihteluiden menetelmä. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tasaiset lineaariset korkealuokkaiset OÄU:t vakiokertoimilla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Epähomogeeninen lineaarinen korkealuokkainen OÄU vakiokertoimilla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 VIII. Resilienssiteoria Resilienssiin liittyvät peruskäsitteet ja merkitykset. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineaarisen järjestelmäratkaisun joustavuus. . . . . . Ljapunovin lause vakaudesta. . . . . . . . . . Kestävyys ensimmäisellä kerralla. . . . . . . Vaihereittien käyttäytyminen lähellä tyyntä pistettä 162. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 128 136 139 142 150 162 168 172 182 187 IX. ODE-järjestelmien ensimmäiset integraalit 198 Ensimmäiset integraalit ja keskellä..." alkudifferentiaaliyhtälöt198 OÄU:n ei-autonomiset järjestelmät. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 OÄU-järjestelmien tallennus on symmetristä. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 X. Rivnyany ensimmäisen asteen yksityisissä yhtäläisyyksissä Tasainen lineaarinen tasaus ensimmäisen kertaluvun yksityisissä yhtäläisyyksissä Cauchyn ongelma ensimmäisen asteen yksityisissä yhtäläisyyksissä. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvasilineaarinen mustasukkaisuus ensiluokkaisissa yksityisasioissa. . . . Cauchyn ongelma kvasilineaariselle yhtälölle ensimmäisen asteen yksityisissä yhtäläisyyksissä. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lista kirjallisuudesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -4- 210. . . . . 210. . . . . 212. . . . . 216. . . . . 223. . . . . 227 PEREDMOVA Kirjaa valmistellessaan kirjoittajat asettivat itselleen tehtävän kerätä yhteen paikkaan ja esittää helposti saatavilla olevassa muodossa tiivistelmän suurimmasta osasta äärimmäisen differentiaalisen tasa-arvon teoriaan liittyvää ravintoa. NRNU MIFHI:ssä (ja muissa yliopistoissa) luettavan erotusopintojen peruskurssin pakolliseen kieliohjelmaan sisältyvän aineiston lisäksi oppikirjaan on sisällytetty myös lisäravitsemus, joka pääsääntöisesti ei On luentojen aika, muuten tulee. Nämä ovat hyödyllisiä aiheen nopeaan ymmärtämiseen ja niistä on hyötyä nykyisille opiskelijoille heidän tulevassa ammatillisessa toiminnassaan. Kaikille ehdotetun tekstin väitteille on annettu matemaattisesti tiukat todisteet. Nämä todisteet eivät pääsääntöisesti ole alkuperäisiä, vaan kaikki on käsitelty MYFI:n matematiikan kurssien esitystavan mukaisesti. Monien tutkijoiden ja ajattelijoiden joukossa matemaattiset tieteenalat seuraavat uusia ja yksityiskohtaisia ​​todisteita, jotka muuttuvat yksinkertaisista monimutkaisiin. Tämän hakuteoksen kirjoittajat ajavat samoja ajatuksia. Kirjassa esitettyä teoreettista tietoa tukee riittävän määrän peppujen analyysi, mikä uskomme yksinkertaistavan aineiston luetun ymmärtämistä. Käsikirja on suunnattu korkeakouluopiskelijoille, joilla on pitkälle matemaattinen koulutus, ennen kaikkea NRNU MIFI:n opiskelijoille. Tässä tapauksessa se on loukkaavaa myös kaikille, jotka ovat kiinnostuneita differentiaaliyhtälöiden teoriasta ja tästä matematiikan haarasta työssään. -5- Luku I. Johdatus primääridifferentiaaliyhtälöiden teoriaan 1. 1. Peruskäsitteet Tässä käsikirjassa ha, bi:n kautta merkitään, onko kertojista (a, b), (a, b),, x0 2 Zx ln 4C + 3 u (t) v (t) dt5 Zx v (t) dt. ln C 6 x0 x0 Jäljellä olevan epätasaisuuden ja pysähtymisen (2.3) tehostamisen jälkeen meillä on 2 x 3 Zx Z u (x) 6 C + u (t) v (t) dt 6 C exp 4 v (t) dt5 x0 x0 kaikille x 2 [1, 1]. Arvioimme eron jf (x, y2) f (x, y1) j = sin x y1 y2 6 kaikille (x, y) 2 G:lle. Tällä tavalla f tyydyttää Lipshitsien mielen L = 1:n kanssa. L = sin 1 x y. Lähestymistapa fy0 pisteissä (x, 0) 6 = (0, 0) ei kuitenkaan toimi. Seuraava lause itsessään antaa meille mahdollisuuden suorittaa Cauchyn ongelman ratkaisu. Lause 2. 1 (Kahden ratkaisun välisen eron arvioinnista). Olkoon G alue 2 R:ssä ja f (x, y) 2 CG ja tyydyttää G:ssä Lipshitsien mielen y:n mukaan vakiolla L. Koska y1, y2 ovat kaksi ratkaisua, jotka ovat yhtä suuria kuin y 0 = f (x, y) per jakso, niin epäyhtälö on tosi (pisteet): jy2 (x) y1 (x) j 6 jy2 (x0) y1 (x0) j exp L (x x0) 6 y1 kaikille x 2. -19- y2 Prov. Ratkaisujen 2.2 arvoille poistetaan yhtälö (2.1), jolloin 8 x 2 pistettä x, y1 (x) ja x, y2 (x) 2 G. Kaikille t 2:lle voi olla oikea yhtälö y10 (t) = ft, y1 (t ) ja y20 (t) = ft, y2 (t), joten integroimme t:n yli osaan, jossa x 2. Integrointi on laillista, koska oikea ja vasen osa eivät ole jatkuva funktiossa. Eliminoimme mustasukkaisten järjestelmän Zx y1 (x) y1 (x0) = x0 Zx y2 (x) y2 (x0) = f t, y1 (t) dt, f t, y2 (t) dt. x0 Toisaalta voimme jy1 (x) y2 (x) j = y1 (x0) y2 (x0) + Zx hft, y1 (t) ift, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 (x0) + ft, y1 (t) ft, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 (x0) + L y1 (t) y2 (t) dt. x0 Merkittävästi C = y1 (x0) y2 (x0)> 0, v (t) = L> 0, u (t) = y1 (t) Tästä syystä Gronwall-Aellman-harhalle vähennetään estimaatti: jy2 (x) y1 (x) j 6 jy2 (x0) y1 (x0) j exp L (x x0) y2 (t)> 0. kaikille x 2. Lause on valmis. Lauseen seurauksena johdetaan yksikkölause Cauchyn ongelman (2.1), (2.2) ratkaisulle. Ñ ​​​​Vaje 1. Neshai-funktiot f (x, y) 2 c g ry ibony in g umovi lipshitsasta y:ssä ja funktio y1 (x) і y2 (x) kaksi rivnyannnya (2.1) yhdelle ja samalle, pappi X0 2. Jos y1 (x0) = y2 (x0), niin y1 (x) y2 (x) päällä. Valmis. Katsotaanpa kahta tyyppiä. -20- 1. Olkoon x> x0, sitten lauseesta 2. 1 jälki, joten h i sitten y1 (x) y1 (x) y2 (x) 6 0 exp L (x x0), y2 (x) kun x> x0 . 2. Olkoon x 6 x0, korvataan t = x, sitten yi (x) = yi (t) y ~ i (t), kun i = 1, 2. Jäännökset x 2:sta, sitten t 2:sta [x0, x1] ja viconno mustasukkaisuus y ~ 1 (x0) = y ~ 2 (x0). On selvää, millaiset mustasukkaiset ovat tyytyväisiä arvoon y ~ i (t). Kateuden lähestymistapa on oikea: d y ~ i (t) = dt d ~ yi (x) = dx f x, yi (x) = f (t, y ~ i (t)). Täällä olemme oppineet taittofunktion differentiaatiosäännöstä ja siitä, että yi (x) on tasauksen tavoite (2. 1).< x1 и z(x) = 0 , n o X2 = x x >autonomiset järjestelmät< x1 . По построению z(x) > 0 kaikille x 2:lle (α, x2] ja johtuen z (x)! 0 +:n jatkuvuudesta x! Α + 0. Se on toistettavissa johdettaessa (2.5), integroitaessa jakson yli [α + δ, x2 ], jossa x2 valittiin enemmän ja kiinteä, ja δ 2 (0, x2 α) - enemmän, epätasaisuus poistetaan: Zjz2 j Zx2 dx 6 α + δ d jzj2 6 2 jzjφ jzj jz (α + δ) j In Zx2 dx tämä tapaus 0 +, niin z (α + δ) = 0, з Zjz2 jzj2) j -22- Epäyhtälön Rx2 dx = x2 α 6 x2 α! jota ympäröi α + δ ääriarvolla, mikä tekee välittömästi mahdottomaksi todistaa Lauseen 2. 2. Ratkaisun olemassaolo ensimmäisen ODE:n Cauchyn ongelmaan, joten oletan, että Cauchyn (2.1) lakien mukaan. , (2.2) ymmärretään, että funktio y (x) on löydettävä uudelleen: 0 y = f (x, y), (x, y) 2 G, y (x0) = y0, (x0, y0 ) 2 G, jossa f (x, y) 2 CG і (x0, y0) 2 G on R2:n alue. 2. Olkoon f (x, y) 2 CG ) mikä tahansa ratkaisu φ (x) yhtälö (2.1) välille ha, bi, tyydyttää (2.2) x0 2 ha, bi, є ratkaisut ha:lle, bi integraaliyhtälö Zx y (x) = y0 + f τ, y ( τ) dτ ; (2.6) x0 2) jos φ (x) 2 C ha, bi on ratkaisu integraaliyhtälöön (2.6) ha, bi, 1 de x0 2 ha, bi, niin φ (x) 2 C ha, bi ja liuokset (2.1), (2.2). Valmis. 1. Ratkaiskoon φ (x) (2.1), (2.2) ha, bi. Myös kunnioituksesta 2.2 φ (x) 2 C ha, bi i 8 τ 2 ha, bi voimme olla mustasukkaisia ​​φ 0 (τ) = f τ, φ (τ), integroituminen x0:sta x:ään, poistetaan (jos x on olemassa 2 ha , bi) Rx φ (x) φ (x0) = f τ, φ (τ) dτ ja φ (x0) = y0, niin φ (x) on ratkaisu (2.6). x0 2. Olkoon y = φ (x) 2 C ha, bi - päätös (2.6). Koska f x, φ (x) on epäjatkuva ha, bi rajan takana, niin Zx φ (x) y0 + f τ, φ (τ) dτ 2 C 1 ha, bi x0 integraalina muuttujan ylärajasta ei-jatkuvana funktiona. Differentiaatio pysyy samana x:n suhteen, otetaan φ 0 (x) = f x, φ (x) 8 x 2 ha, bi ja ilmeisesti φ (x0) = y0, niin φ (x) on Cauchyn ratkaisu ongelma (2.1), (2.2). (Kuten ennenkin, osan lopussa ymmärretään, että on olemassa yksipuolinen lähestymistapa.) -23- Kunnioitus 2. 6. Lemmaa 2. 2 kutsutaan lemmaksi Cauchyn ongelman (2.1) ekvivalenssista. (2.2 ) integraalinen taso (2.6). Kun olemme osoittaneet, että yhtälön (2.6) ratkaisu on pätevä, voidaan eliminoida mahdollisuus ratkaista Cauchyn ongelma (2.1), (2.2). Tämä on toteutussuunnitelma tulevassa lauseessa. Lause 2. 3 (Lokaallause). Olkoon suorakulmio P = (x, y) 2 R2: jx x0 j 6 α, jy y0 j 6 β kokonaan arvotetun funktion f (x, y) G-alueella. Funktio f (x, y) 2 C G tyydyttää Lipshitzin mielen n y ov G:llä vakiolla L. Merkitään β M = max f (x, y), h = min α, M. Sitten osiossa P ratkaisemme Kosha-ongelman (2.1 ), (2.2). Valmis. Integraaliyhtälön (2.6) ratkaisu on asennettu tähän kappaleeseen. Joille tarkastellaan funktioiden sarjaa: Zx y0 (x) = y0, y1 (x) = y0 + f τ, y0 (τ) dτ, ... x0 Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ ) dτ jne. x0 1. Osoitetaan, että 8 n 2 N funktiota yn (viimeinen läheisyys) on määritelty, niin osoitetaan, että kohdassa 8 x 2 epäyhtälö yn (x) y0 6 β on tasattu kaikille n = 1, 2,. . . Kiihdytetty matemaattisen induktion (MMI) menetelmällä: a) induktioperuste: n = 1. Zx y1 (x) y0 = f τ, y0 (τ) dτ 6 M0 x x0 6 M h 6 β, x0 de M0 = max f(x, y0) arvolle jx x 0 j 6a, M06M; b) salametsästys ja induktiojakso. Olkoon se totta yn 1:lle (x), todistetaan se yn:lle (x): Zx yn (x) y0 = f τ, yn 1 (τ) dτ 6 M x x0 Joten, koska jx x0 j 6 h, sitten yn (x) y0 6 β 8 n 2 N. -24- x0 6 M h 6 β. Menetelmämme on todistaa lähimmän 1 kohteen seuraaja yk (x) k = 0, jolle on helppo visualisoida: yn = y0 + n X yk 1 (x) = y0 + y1 yk (x) y0 + y2 y1 +. . . + Yn yn 1, k = 1 on funktionaalisarjan osasummien sarja. 2. On arvioitu, että tämän sarjan jäsenet aiheuttivat epävakauden 8 n 2 N ja 8 x 2: x0 jn yn (x) yn 1 6 M0 L 6 M0 Ln n! Matemaattisen induktion menetelmä on yksinkertainen: jx n 1 + 1 hn. n! (2.7) a) induktioperuste: n = 1. y1 (x) x y 0 6 M0 x0 6 M0 h, laajennettu; b) salametsästys ja induktiojakso. Olkoon se totta n:lle, sanotaan joogo n:lle: Zx yn (x) yn 1 f τ, yn 1 (τ) = f τ, yn 2 (τ) 1, asti - dτ 6 x0 Zx i yn 6 mukaan Lipshitsjaan 6 L h yn 1 2 dτ 6 x0 h Zx i 6 oletetun induktion avulla 6 L n 2 M0 L jτ x0 jn 1 dτ = (n 1)! x0 M0 Ln 1 = (n 1)! Zx jτ n 1 x0 j M0 Ln 1 jx x0 jn M0 L n 6 dτ = (n 1)! n n! 1 x0 Rx Tässä havaittiin, että integraali I = jτ x0 x> x0 x:lle< x0 Rx I = (τ x0 Rx I = (x0 n 1 x0) τ)n 1 dτ = dτ = x0 (x (x0 x)n n Таким образом, неравенства (2.7) доказаны. -25- x0)n и n = jx x0 jn . n x0 jn 1 dτ : hn . 3. Рассмотрим тождество yn = y0 + ним функциональный ряд: y0 + 1 P n P yk (x) yk 1 (x) и связанный с k=1 yk 1 (x) . Частичные суммы это- yk (x) k=1 го ряда равны yn (x), поэтому, доказав его сходимость, получим сходимость 1 последовательности yk (x) k=0 . В силу неравенств (2.7) функциональный ряд мажорируется на отрезке k 1 P k 1 h числовым рядом M0 L . Этот числовой ряд сходится k! k=1 по признаку Даламбера, так как M0 Lk hk+1 k! ak+1 = ak (k + 1)! M0 L k 1 hk = h L ! 0, k+1 k ! 1. Тогда по признаку Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональный 1 P ряд y0 + yk (x) yk 1 (x) сходится абсолютно и равномерно на отрезk=1 ке , следовательно и функциональная последовательность 1 yk (x) k=0 сходится равномерно на отрезке к некоторой функ- ции ϕ(x), а так как yn (x) 2 C , то и ϕ(x) 2 C как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. 4. Рассмотрим определение yn (x): Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ) dτ (2.8) x0 – это верное равенство при всех n 2 N и x 2 . У левой части равенства (2.8) существует предел при n ! 1, так как yn (x) ⇒ ϕ(x) на , поэтому и у правой части (2.8) тоже существует Rx предел (тот же самый). Покажем, что он равен функции y0 + f τ, ϕ(τ) dτ , x0 используя для этого следующий критерий равномерной сходимости функциональной последовательности: X yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 () sup yn (x) y(x) ! 0 при n ! 1 . x2X X Напомним, что обозначение yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 принято использовать для равномерной на множестве X сходимости функциональной последователь 1 ности yk (x) k=0 к функции ϕ(x). -26- Покажем, что y0 + Rx X f τ, yn 1 (τ) dτ ⇒ y0 + x0 здесь X = . Для этого рассмотрим f τ, yn 1 (τ) f τ, ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 Zx h i yn 1 (τ) 6 по условию Липшица 6 sup L ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 6 L h sup yn 1 (τ) ϕ(τ) ! 0 при n ! 1 τ 2X X в силу равномерной при n ! 1 сходимости yn (x) ⇒ ϕ(x). Таким образом, переходя к пределу в (2.8), получим при всех x 2 верное равенство Zx ϕ(x) = y0 + f τ, ϕ(τ) dτ, x0 в котором ϕ(x) 2 C . По доказанной выше лемме 2. 2 ϕ(x) – решение задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Замечание 2. 7. В теореме 2. 3 установлено существование решения на отрезке . По следствию 1 из теоремы 2. 1 это решение единственно в том смысле, что любое другое решение задачи Коши (2.1), (2.2), определенное на совпадает с ним на этом отрезке. Замечание 2. 8. Представим прямоугольник P в виде объединения двух (пересекающихся) прямоугольников P = P [ P + , (рис. 2. 3) где n P = (x, y) n P = (x, y) + x 2 ; x 2 ; -27- jy jy o y0 j 6 β , o y0 j 6 β . Рис. 2. 3. Объединение прямоугольников Обозначим f (x, y . M − = max − f (x, y , M + = max + P P Повторяя,с очевидными изменениями, доказательство теоремы 2. 3 отдель но для P + или P − , получим существование (и единственность) решения на отрезке n o β + + , где h = min α, M + или, соответственно, на , n o β − . Отметим, что при этом, вообще говоря, h+ 6= h− , а h h = min α, M − из теоремы 2. 3 есть минимум из h+ и h− . Замечание 2. 9. Существование решения задачи (2.1), (2.2) теоремой 2. 3 гарантируется лишь на некотором отрезке . В таком случае говорят, что теорема является локальной. Возникает вопрос: не является ли локальный характер теоремы 2. 3 следствием примененного метода ее доказательства? Может быть, используя другой метод доказательства, можно установить существование решения на всем отрезке , т.е. глобально, как это было со свойством единственности решения задачи Коши (2.1), (2.2)? Следующий пример показывает, что локальный характер теоремы 2. 3 связан с «существом» задачи, а не с методом ее доказательства. Пример 2. 1. Рассмотрим задачу Коши 0 y = −y 2 , (2.9) y(0) = 1 n o в прямоугольнике P = (x, y) jxj 6 2, jy − 1j 6 1 . Функция f (x, y) = −y 2 непрерывна в P и fy0 = −2y 2 C P , поэтому все условия тео1 β , α = и ремы 2. 3 выполнены, а M = max f (x, y) = 4. Тогда h = min P P M 4 -28- теорема 2. 3 гарантирует существование решения на отрезке 1 1 . Решим − , 4 4 эту задачу Коши, используя «разделение переменных»: − dy = dx y2 () y(x) = 1 . x+C 1 – решение задачи Коши (2.9). x+1 График решения представлен на рис. (2.4), из которого видно, что решение 1 при x < x = − покидает прямоугольник P , а при x 6 −1 даже не 2 существует. Подставляя x = 0, найдем C = 1 и y(x) = Рис. 2. 4. Локальный характер разрешимости задачи Коши В связи с этим возникает вопрос об условиях, обеспечивающих существование решения на всем отрезке . На приведенном примере мы видим, что решение покидает прямоугольник P , пересекая его «верхнее» основание, поэтому можно попробовать вместо прямоугольника P в теореме 2. 3 взять полосу: o n 2 A 6 x 6 B − 1 < y < +1 , A, B 2 R. Q = (x, y) 2 R Оказывается, что при этом решение существует на всем отрезке A, B , если f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по переменной y в Q. А именно, имеет место следующая важная для приложений теорема. Теорема 2. 4. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y с константой L в полосе Q = (x, y) 2 R2: A 6 x 6 B, y 2 R , -29- где A, B 2 R. Òогда при любых начальных данных x0 2 , y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем . Доказательство. Áудем считать, что x0 2 (A, B). Проведем рассуждения по схеме теоремы 2. 3 отдельно для полосы o n + 2 x 2 y 2 R и Q = (x, y) 2 R n Q = (x, y) 2 R2 o x 2 y 2 R . + Если x0 = A или x0 = B, то один из этапов рассуждений (для Q или, соответственно, для Q) отсутствует. + Возьмем полосу Q и построим последовательные приближения yn+ (x), + как в теореме 2. 3. Поскольку Q не содержит ограничений на размер по y, то пункт 1) доказательства теоремы 2. 3 не проверяем. Далее, как в предыдущей теореме, от последовательности переходим к ряду с частичными суммами yn+ (x) = y0 + n X yk+ (x) yk+ 1 (x) , где x 2 . k=1 Повторяя рассуждения, доказываем оценку вида (2.7) x0 jn x0)n n 1 (B 6 M0 L 6 M0 L (2.10) n! n! при всех x 2 ; здесь M0 = max f (x, y0) при x 2 , откуда yn+ (x) yn+ 1 n 1 jx yn+ (x) как и выше в теореме 2. 3 получим, что ⇒ ϕ+ (x), n ! 1, причем ϕ+ (x) 2 C , ϕ+ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Возьмем полосу Q и построим последовательность yn (x). Действуя ана логично, получим, что 9 ϕ (x) 2 C , ϕ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Определим функцию ϕ(x) как «сшивку» по непрерывности ϕ+ и ϕ , т.е. + ϕ (x), при x 2 , ϕ(x) = ϕ (x), при x 2 . Отметим, что ϕ+ (x0) = ϕ (x0) = y0 и потому ϕ(x) 2 C . Функции ϕ (x) по построению удовлетворяют интегральному уравнению (2.6), т.е. Zx ϕ (x) = y0 + f τ, ϕ (τ) dτ, x0 -30- где x 2 для ϕ+ (x) и x 2 для ϕ (x), соответственно. Следовательно, при любом x 2 функция ϕ(x) удовлетворяет инте 1 гральному уравнению (2.6). Тогда по лемме 2. 2, ϕ(x) 2 C и является решением задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Из доказанной теоремы 2. 4 нетрудно получить следствие для интервала (A, B) (открытой полосы). Ñледствие. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна в открытой полосе Q = (x, y) 2 R2: x 2 (A, B), y 2 R , причем A и B 2 R могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что f (x, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(x) 2 C(A, B), такая, что 8 x 2 (A, B) и 8 y1 , y2 2 R выполняется неравенство f (x, y2) f (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j. Òогда при любых начальных данных x0 2 (A, B), y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем (A, B). Доказательство. Для любой полосы Q1 = (x, y) 2 R2: x 2 , y2R , где A1 >x2 і z (x) = 0. Vaikka yksi näistä kertoimista ei ole tyhjä, koska z (x0) = 0 і x0 62. Olkoon esimerkiksi X1 6 = ∅, pedon välillä on raja, niin 9 α = sup X1. Merkittävää on, että z (α) = 0, sitten α 2 X1, olettaen, että z (α)> 0, johtuen matematiikan keskeytymättömyydestä, z (x)> 0 millä tahansa välillä α δ1, α + δ1, eikä korvaa arvoa α = sup X1. Muista z (α) = 0 viply, joten α< B, лежащей строго внутри Q и содержащей (x0 , y0), справедлива теорема 2. 4, так как при доказательстве оценок вида (2.10), необходимых для обоснования равномерной на сходимости последовательности yn (x) , используются постоянные M0 = max f (x, y0) при x 2 и L = max L(x) x 2 . Эти постоянные не убывают при расширении (A, B). Возьмем последовательность расширяющихся отрезков , удовлетворяющих условиям B >A, B1< Ak+1 < Ak , 2) x0 2 при всех k 2 N; 3) Ak ! A, Bk ! B при k ! 1. Заметим сразу, что S = (A, B) и, более того, для любого x 2 (A, B) k найдется номер x 2 . N (x) 2 N, такой, что при всех -31- k >Bk + 1> Bk kaikille k 2 N:lle; 1) A< Ak < A + δ < x, 9 N2 (δ) 2 N: 8 k >N on pyöristetty Lisäämme lisäkarkaisua liitokseen A, B 2 R (sekä A että B ovat päitä; jos A = 1 tai B = + 1, niin sama). Otetaan x A B x, lisäksi x 2 (A, B) і δ (x) = min, δ (x)> 0. 2 2 numerolle δ z zbizhnosti Ak! A ja Bk! B eliminoidaan siten, että 9 N1 (δ) 2 N: 8 k> N1, A< B δ < Bk < B. Тогда для N = max N1 , N2 справедливо доказываемое свойство. Построим последовательность решений задачи Коши (2.1), (2.2) Yk (x), применяя теорему 2. 4 к соответствующему отрезку . Любые два из этих решений совпадают на общей области определения по следствию 1 из теоремы 2.1. Таким образом, два последовательных решения Yk (x) и Yk+1 (x) совпадают на , но Yk+1 (x) определено на более широком отрезке . Построим решение на всем (A, B). Возьмем и построим ϕ(x) – решение задачи (2.1), (2.2) на всем (по теореме 2. 4). Затем продолжим это решение на , . . . , . . . Получим, что решение ϕ(x) определено на всем (A, B). Докажем его единственность. Предположим, что существует решение ψ(x) задачи Коши (2.1), (2.2), также определенное на всем (A, B). Докажем, что ϕ(x) ψ(x) при любом x 2 (A, B). Пусть x – произвольная точка (A, B), найдется номер N (x) 2 N, такой, что x 2 при всех k >N. Zastosovuyuchi periytyvyys 1 p 2.1 (myös yksikkölause), kielletään, että φ (t) ψ (t) kaikille t 2 i:lle, myös t = x. Koska x on riittävä piste (A, B), niin sidonnaisuuden purkaminen on valmis ja samalla lopullinen johtopäätös. Kunnioitus 2. 10. Tutkimuksen tulosten myötä tutustuimme ensin ajatukseen päätöksen jatkamisesta suuremmassa mittakaavassa. Seuraavat kappaleet ovat paljon yksityiskohtaisempia. Tuodaan joukko peppuja. p Esimerkki 2. 2. Yhtälölle y 0 = ejxj x2 + y 2 ymmärrä, mikä on päätöksesi perusta kaikille (A, B) = (1, 1). Katsotaan yhtälöä ”smoothiessa” Q = R2, funktio p jxj f (x, y) = e x2 + y 2 ∂f y = ejxj p, fy0 6 ejxj = L (x). ∂y x2 + y 2 Lausekkeen 2.1 lauseiden 2. 1 jälkeen funktio f (x, y) tyydyttää Lipshitsien mielen suhteessa y:ään "vakiolla" L = L (x), x on kiinteä. Sitten kaikki seuraukset päätetään ja millä tahansa lähtötiedolla (x0, y0) 2 R2 Kosha-ongelman ratkaisu on edelleen sama kohdassa (1, 1). Merkittävää on, että yhtälö itsessään kvadratuurissa ei ole tärkeä, mutta numeerisesti lähestyvät päätökset voivat joutua kehotuksiin. on merkitsevä ja jatkuva Q:ssa, -32- Esimerkki 2. 3. Ymmärrä yhtälölle y 0 = ex y 2 päätöksesi perusteet, R:n kappaleet. Katsotaanpa uudelleen yhtälöä "smoothiessa" Q = R2, jossa funktiot ∂ ff (x, y) = ex y 2 on käytännössä merkityksetön, a = 2YEX, niin on mahdollista ruostua, ∂y kuutiot, mutta uros, ei sama aika funktioiden l ( x), ps (x, y2 ) f (x, y1) 6 L (x) jy2 y1 j kaikille y1, y2 2 R. tosi, f (x, y2) f (x, y1) = ex jy2 + y1 j jy2 y1 j ja viraz jy2 + y1 j eivät ole vaihdettavissa arvoilla y1, y2 2 R. Tällä tavalla tulos ei pysähdy. Pääperiaate on "taustamuutos", piiloratkaisu hylätään: "y (x) = 0, y (x) = 1. Ex + C Otetaan arvoksi x0 = 0, y0 2 R. Jos y0 = 0 , niin y (x ) 0 - Cauchyn ongelman ratkaisu R:llä. 1 - Cauchyn ongelman ratkaisu y0 2:lle [1, 0) ex määritetään kaikille x 2 R:lle ja y0 2:lle (1, 1) [/ x), ja jos x< 0 x e y0 y0 < 1 , то решение определено при x 2 (x , +1). В первом случае lim y(x) = +1, а во втором – lim y(x) = 1. Если y0 6= 0, то y(x) = x!x 0 y0 +1 y0 x!x +0 -33- Для наглядности нарисуем интегральные кривые при соответствующих значениях y0 (рис. 2. 5). Рис. 2. 5. Интегральные кривые уравнения y 0 = ex y 2 Таким образом, для задачи Коши 0 y = ex y 2 , y(0) = y0 имеем следующее: 1) если y0 2 [ 1, 0], то решение существует при всех x 2 R; y0 + 1 2) если y0 < 1, то решение существует лишь при x 2 ln ; +1 ; y0 y0 + 1 . 3) если y0 > 0, niin ratkaisu pätee vain x 2 1, ln y0 Tämä esimerkki osoittaa, että kasvavan funktion f (x, y) laajennus Lauseen 2 tuloksena olevassa seurauksessa. 4 on perusta ratkaisun laajentamiselle kokonaisuuteen. (A, B). Samanlaista on käyttää funktiota f (x, y) = f1 (x) y 1 + ε mille tahansa ε > 0:lle, sovelletussa esimerkissä otettiin ε = 1 laskennan selkeyden vuoksi. 2. 3. Jatkoa ratkaisulle ensimmäisen asteen ODE:lle, jonka arvo on 2. 5. Katsotaan yhtälöä y 0 = f (x, y) ja olkoon y (x) ha:n, bi:n ja Y:n ratkaisu (x) on ratkaisu hA , Bi ja ha, bi sijaitsee hA:ssa, Bi:ssä ja Y:ssä (x) = y (x) pisteillä ha, bi. Silloin Y (x) kutsutaan ratkaisun y (x) jatkeeksi arvoon hA, Bi, ja y (x) kohdalla sanotaan, että se on laajennettu hA, Bi:iin. -34- Kappaleessa 2.2 suoritimme paikallislauseen ja Cauchyn ongelman irrottamisen (2.1), (2.2). Millaisia ​​mielipiteitä varten päätös voidaan laajentaa laajemmalle? Kenen ruokaan ja omistautumiseen tämä kappale kuuluu. Tämän pääasiallinen tulos on hyökkäys. Lause 2.5 (ratkaisun jatkumisesta suljetulla alueella). Olkoon funktio f (x, y) 2 CG tyydyttää Lipshittien mielet R2:n y:n varrella, ja (x0, y0) on suljetun suljetun alueen G G sisäpiste. tasoitusratkaisun y 0 = f (x , y) kautta, joka ulottuu aina ∂G:hen asti alueen G kordoniin, niin se voidaan laajentaa sellaiseen segmenttiin, joka osoittaa a, y (a) ja b, y (b) makaa ∂G:llä. ∂f (x, y) on jatkuva rajoitetulla, suljetulla, y-kuperalla alueella G, jolloin funktio f (x, y) tyydyttää Lipshitsin mielen G:ssä muuttujan y suhteen. Div. Nasledok väitteestä 2. 1 ∂f lausekkeesta 2.1. Siksi lause annetaan, jos se on pätevä, koska se on ei-jaksoton ∂y G:ssä. Kunnioita 2. 11. Arvaa mitä, koska Todistus. Koska (x0, y0) on G:n sisäinen piste, niin on olemassa suljettu suoraviivainen no 2 P = (x, y) 2 R x x0 6 α, y y0 6 β, joka on kokonaan G:ssä. Sitten Lauseen 2 mukaan. 3 p . 2.2 on olemassa h> 0 siten, että ratkaisu y = φ (x) on yhtä kuin y 0 = f (x, y). Jatkamme ensin prosessia oikealle aina alueen G kordoniin saakka, murtaen todistuksen paloiksi. 1. Tarkastellaan neutraalia ER:tä: ei E = α> 0 ratkaisu y = φ (x) jatko pääratkaisulle y = φ1 (x) taso y 0 = f (x, y), mikä tyydyttää mielen Cauchyn φ1 ~ b = φ ~ b. Siten φ (x) ja φ1 (x) - yhden tason osuuden ~ b h1, ~ b päätöksen seurauksena, joka kohtaa pisteessä x = ~ b, sitten ne kohtaavat jokaisessa osassa ~ b h1, ~ b i, siis φ1 (x) є ratkaisun φ (x) jatko jaksosta ~ b h1, ~ b ~ b h1, ~ b + h1. Katsotaan funktiota ψ (x): φ (x), x 2 x0, ψ (x) = φ1 (x), x 2 ~ b ~ b, h1, ~ b + h1 ~ b h1, x0 + α0 + h1, joten Päätökset ovat yhtä kuin y 0 = f (x, y) ja tyydyttävät Koshan mielen ψ (x0) = y0. Joten luku α0 + h1 2 E, eikä arvo α0 = sup E. Joten laskeuma 2 on hankala. Samalla tavalla ratkaisu φ (x) siirtyy vasemmalle, sivulle, pisteeseen a, φ (a) 2 ∂G. Lause on täysin todistettu. -37- III luku. Cauchyn tehtävä n:nnen kertaluvun normaalille järjestelmälle 3. 1. Vektorifunktion lisäpotenssin peruskäsitteet ja toiminnot Tässä osiossa tarkastellaan n:nnen kertaluvun normaalia järjestelmää muotoa 8> t, y,. . . , Y y _ = f 1 n 1 1>,< y_ 2 = f2 t, y1 , . . . , yn , (3.1) . . . > >: Y_ = f t, y,. . . , Y, n n 1 n tuntemattomilla (hakuilla) funktioilla y1 (t),. . . , Yn (t), ja funktiot fi liittyvät, i = 1, n, funktion yläpuolella oleva piste osoittaa lähestymistä t:hen. Siirretään, että kaikki fi arvostetaan alueella G Rn + 1. Kirjoita järjestelmä (3.1) käsin vektorimuodossa: y_ = f (t, y), missä y (t) y1 (t). . . , Yn (t), f (t, y) f1 (t, y). . . , Fn (t, y); Emme kirjoita nuolia kirjoitustyyliä varten tarkoitettuihin vektoreihin. Tällaista merkintää merkitään myös (3.1). Olkoon piste t0, y10,. . . , Yn0 on G:ssä. Cauchyn oletus (3.1):lle on järjestelmän (3.1) tunnetussa ratkaisussa φ (t), joka tyydyttää mielen: φ1 (t0) = y10, φ2 (t0) = y20, ..., φn (t0 ) = yn0, (3.2) tai vektorimuodolle φ (t0) = y 0. Kuten luvussa 1 todettiin, järjestelmän (3.1) ratkaisuilla välille ha, bi tarkoitamme vektorifunktiota φ (t) = φ1 (t), . . . , Φn (t), mikä tyydyttää mielen: 1) 8 t 2 ha, bipiste t, φ (t) on G:ssä; 2) 8 t 2 ha, bi 9 d dt φ (t); 38 3) 8 t 2 ha, bi φ (t) tyydyttää (3.1). Koska ratkaisu tyydyttää lisäksi (3.2), jossa t0 2 ha, bi, niin sitä kutsutaan Cauchyn ongelman ratkaisuksi. Umovi (3.2) kutsutaan cob umovy tai umovy Cauchy, ja numerot t0, y10,. . . , Yn0 - Cauchy danimi (cob danimi). Lisäksi, jos vektorifunktio f (t, y) (n + 1) muuttuu y1:ksi,. . . , Yn on lineaarinen, joten se näyttää tältä: f (t, y) = A (t) y + g (t), missä A (t) = aij (t) - n n matriisi, järjestelmää (3.1) kutsutaan lineaariseksi. Meidän on käytettävä vektorifunktioiden tehoa, jotka meidän on lähetettävä tänne viittauksen helpottamiseksi. Lineaarialgebran kurssin vektorien luvun yhteen- ja kertomissäännöt, joissa pääoperaatiot koordinoidaan. n Voit syöttää R:ssä skalaarilausekkeen x, y = x1 y1 +. . . + Xn yn, silloin euklidinen avaruus eliminoituu, kuten myös Rn merkitään, vektorin jxj = x, x = x2k (tai euklidisen normin) kaksinkertaistumisella s q n P. Skalaarille k = 1 luoda ja dovzhin oikeudenmukaisuus on kaksi pääepäyhtälöä: 1) 8 x, y 2 Rn 2) 8 x, y 2 Rn skogo). x + y 6 x + y x, y 6 x (trikutulen epätasaisuus); y (Kosha Aunyakovin epätasaisuus - Toisen lukukauden matemaattisen analyysin perusteella on selvää, että pistejonojen (vektorien) konvergenssi euklidisessa avaruudessa (skined space) vastaa koordinaattijonojen konvergenssia Nämä vektorit näyttävät olevan yhtä suuria koordinaattien läheisyydessä. ylimääräinen siirtymä. Otetaan käyttöön tiettyjä vektorifunktioiden epäyhtälöitä, joista keskustellaan myöhemmin. 1. Mille tahansa vektorifunktiolle y (t) = y1 (t),. . . , Yn (t), integroituna (esim. keskeytyksettä) päälle, epäyhtälö Zb Zb y (t) dt 6 ay (t) dt a -39- (3.3) tai koordinaattimuodossa 0 Zb Zb y1 (t) dt , @ y2 (t) dt,. . . , A1Zb a Zbqyn(t)dt A6y12(t)+. . . yn2(t)dt. a Todistus. Kunnioittavasti ensinnäkin epätasaisuuden tapauksessa b-vaihe ei sammu< a, для этого случая в правой части присутствует знак внешнего модуля. По определению, интеграл от вектор-функции – это предел интегральn P ных сумм στ (y) = y(ξk) tk при характеристике («мелкости») разбиения k=1 λ(τ) = max tk стремящейся к нулю. По условию στ ! k=1, N Rb y(t) dt , а по a неравенству треугольника получим στ 6 n X Zb y(ξk) tk ! k=1 при λ(τ) ! 0 y(t) dt, a (здесь мы для определенности считаем a < b). По теореме о переходе к пределу в неравенстве получим доказываемое. Случай b < a сводится к изученному, Rb Ra так как = . a b Аналоги теорем Ролля и Лагранжа отсутствуют для вектор-функций, однако можно получить оценку, напоминающую теорему Лагранжа. 2. Для любой вектор-функции x(t), непрерывно дифференцируемой на , имеет место оценка ¾приращения¿: x(b) x(a) 6 max x 0 (t) b a. (3.4) Доказательство. Неравенство (3.4) сразу получается из (3.3) при y(t) = x 0 (t). При доказательстве теоремы разрешимости для линейных систем нам понадобятся оценки с n n матрицами, которые мы сейчас и рассмотрим. 3. Пусть A(t) = aij (t) n n матрица, обозначим произведение Ax через y. Как оценить y через матрицу A и x ? Оказывается, справедливо неравенство Ax 6 A -40- 2 x, (3.5) где x = p jx1 j2 + . . . + jxn j2 , A 2 = n P ! 12 a2ij , а элементы матрицы i,j=1 A и координаты вектора x могут быть комплексными. Доказательство. Для любого i = 1, n, ai – i-я строка матрицы A, тогда: 2 2 2 yi = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn = ai , x 6 h i 2 6 по неравенству Коши-Áуняковского 6 jai j2 x = ! ! n n X X 2 2 aik xl = , k=1 суммируя эти неравенства по i = 1, n, имеем: 0 1 n X 2 2 2 aik A x = A y [Sähköposti suojattu] 2 + 2 l = 1 2 x, k, i = 1 tähteä (3.5). Arvo 3. 1. Sanotaan, että vektorifunktio f (t, y) tyydyttää Lipshitsien mielen vektorimuuttujan y mukaan monille 1 G-muuttujien ryhmälle (t, y), koska 9 L> 0 siten, että mikä tahansa t , y , 2 t, y 2 G ft, y 2 ft, y 1 6 L y 2 y 1 epätasaisuus määräytyy y"-alueen G є yksityisten vierailijoiden yhteydestä. Damo on tarkempi. Merkitys 3. 2. Muuttujan (t, y) aluetta G kutsutaan kuperaksi 1 2:ksi y:tä pitkin, missä tahansa kahdessa G:ssä sijaitsevissa pisteissä t, y ja t, y ne menevät täysin päällekkäin ja osio, joka yhdistää kaksi pistettä, eli persoonaton n o t, y y = y 1 + τ y 2 y 1, de τ 2. Vahvistus 3. 1. Koska muuttujan (t, y) alue G pyöristetään y:tä pitkin ja ∂fi yksityinen on ei ole jatkuva ja sitä ympäröi G:ssä vakio l, kun ∂yj kaikista i:stä, j = 1, n, niin vektorifunktio ft, y tyydyttää Lipshitin mielen G:n suhteen y:n suhteen vakiolla L = n l. 1 2 Todistus. Katsotaan osion G:n ja 1 2:n lisäpisteitä t, y ja t, y, sitten ne yhdistetään, sitten t, y, missä y = y + τ y y1, t - ovat kiinteät ja τ 2. -41- Syötetään yhden skalaariargumentin vektorifunktio g (τ) = ft, y (τ), 2 1 sitten g (1) g (0) = ft, yft, y, ja toisella puolella - Z1 g (1) g (0) = dg (τ) dτ = dτ Z1 A (τ) dy (τ) dτ = dτ 0 0 h = johtuu y = y 1 + τ y 2 yi 1 Z1 = A (τ) ) y 2 y 1 dτ , 0 de A ( τ) on matriisi, jonka elementit ovat ∂fi, ja ∂yj y2 y 1 on osajoukko. Tässä olemme käyttäneet taittofunktion differentiaatiosääntöä, ja itse, kaikille i = 1, n, t - kiinteä, voimme: gi0 (τ) = ∂fi ∂y1 ∂fi ∂y2 ∂fi ∂yn d fi t, y (τ) = + + ... + = dτ ∂y1 ∂τ ∂y2 ∂τ ∂yn ∂τ ∂fi ∂fi, ..., y2 y1. = ∂y1 ∂yn Talletettuna matriisimuotoon, päätellään: 0 2- 1 g (τ) = A (τ) y y n n matriisilla A (τ) = aij (τ) ∂fi ∂yj. Vikoristinen estimaatti integraalille (3.3) ja epäyhtälölle (3.5), korvauksen jälkeen poistetaan: ft, y 2 ft, y 1 Z1 = g 0 (τ) dτ = 0 Z1 6 A (τ) y 2 Z1 y1 A (τ) ) y 2 0 Z1 dτ 6 0 A (τ) A (τ) dτ y2 y1 6 y2 y1 6 nl 0 6 max A (τ) fragmentteja 2 y 1 dτ 6 2 2 n P ∂fi = i, j = 1 yj 2 y2 y1, 2 6 n2 l2 klo 8 τ 2. Vahvistus suoritettu. -42- 3. 2. Cauchyn ongelman ratkaisun identiteetti normaalille järjestelmälle Lause 3. 1 (kahden ratkaisun välisen eron arvioinnista). Toimikoon G alueena Rn + 1, ja vektorifunktio f (x, y) on jatkuva G:ssä ja tyydyttää Lipshittien mielen kasvottoman G:n vektorimuuttujan y mukaan vakiolla L. Koska y 1, y 2 ovat kaksi normaalin järjestelmän (3.1) ratkaisua y_ = f (x, y) per osa, niin estimaatti y 2 (t) y 1 (t) 6 y 2 (t0) y 1 (t0) exp L (t t0) kaikille t 2 on voimassa. Todistus sanatarkasti, ilmeisellä uudelleennotaatiolla, toistaa lauseen 2.1 todistuksen lauseesta 2.1. 2 Tähkätiedoista on helppo johtaa ratkaisujen ykseyden ja stabiilisuuden lause. Seuraus 3.1. Olkoon vektorifunktio f (t, y) ei-jatkuva alueella G ja tyydyttää Lipshitzin mielen y:ssä, ja funktiot y 1 (t) ja y 2 (t) ovat kaksi normaalin järjestelmän (3.1) ratkaisua. sama osa, Lisäksi t0 2. Jos y 1 (t0) = y 2 (t0), niin y 1 (t) y 2 (t) on. Seuraus 3.2. (Tietoja keskeytymättömästä tallennustilasta alkutiedoissa). Olkoon vektorifunktio f (t, y) jatkuva alueella G ja tyydyttää Lipshitzin mielessä y:ssä vakiolla L> 0, ja vektorifunktiot y 1 (t) ja y 2 (t) ratkaisevat normaalijärjestelmän (3.1) , kappaleet päällä. Sitten hetkellä 8 t 2 epäyhtälö y 1 (t) on tosi, missä δ = y 1 (t0) y 2 (t0) ja l = t1 y 2 (t) 6 δ eL l, t0. Todistus perinnöstä sanatarkasti, ilmeisellä uudelleenmäärityksellä, toistaa kohtien 2.1 ja 2.2 perinnön todisteet. 2 Cauchyn ongelman (3.1), (3.2) ratkaisumahdollisuuksien tutkiminen, kuten yksiulotteisessa vaiheessa, rajoittuu integraaliyhtälön (vektorin) ratkaisemiseen. Lema 3. 1. Olkoon f (t, y) 2 C G; Rn 1. Kun seuraavat vaiheet häipyvät: 1) olla ratkaisu φ (t) taso (3.1) välille ha, bi, tyydyttävä (3.2) t0 2 ha, bi, є keskeytyksettä ratkaisuja ha, bi 1 kautta C G ; H:lla on tapana merkitä kaikkien ei-pysyvien funktioiden merkitys funktioiden alueella G arvoilla avaruudessa H. Esimerkiksi f (t, y) 2 C G; Rn-komponentit), arvotaan persoonattomalla G:llä. - kaikkien persoonallisten vektorifunktioiden persoonaton (jossa n -43- integraalitaso y (t) = y 0 + Zt f τ, y (τ) dτ; (3.6) t0 2) vektorifunktio φ (t) 2 C ha, bi on keskeytymätön ratkaisu integraaliyhtälöön (3.6) ha, bi, missä t0 2 ha, bi, niin φ (t) on keskeytymätön ratkaisu ha, bi ja liuokset (3.1), (3.2). Valmis. 1. Olkoon 8 τ 2 ha, bi tasaa innokkuus dφ (τ) = f τ, φ (τ). Sitten integroimalla t0:sta t:hen yhtälöllä (3.2), puoli dτ Rt 0 kuin φ (t) = y + f τ, φ (τ) dτ, sitten φ (t) täyttää yhtälön (3.6). t0 2. Olkoon jatkuvan vektorifunktion φ (t) mukainen yhtälö (3.6) pisteellä ha, bi, sitten ft, φ (t) on jatkuva pisteellä ha, bi taitettavan funktion jatkuvaa jatkuvuutta koskevalla lauseella, ja oikea osa (3.6) ( Ja sitten vasen osa) liikkuu jatkuvasti t:tä pitkin ha, bi. Kun t = t0 arvosta (3.6) φ (t0) = y 0, niin φ (t) on Cauchyn ongelman (3.1), (3.2) ratkaisu. Hyvä, kuten sanot, osan loppuun meneminen (kuten sen pitäisi olla) tarkoittaa yksisuuntaista toimintoa. Lema on valmis. Kunnioitus 3. 1. Yksiulotteisen laajennuksen (jako 2) ja tuloksena olevien väitteiden kanssa tehdyn analogian perusteella on mahdollista päätellä aihe Cauchyn ongelman perustamisesta ja jatkumisesta, mikä saa iteratiivisen sekvenssin lähentymään, kunnes integraalitason nousu (3.6) jokaisessa segmentissä t0 h , t0 + h. Tässä esitetään toinen todistus alkuperä- (ja yksikkö)ratkaisun lauseesta, joka pyörii puristusvärähtelyjen periaatteen ympärillä. On tärkeää perehdyttää lukija nykyaikaisempiin teorioiden menetelmiin, joita käsitellään myöhemmin integraaliyhtälöiden ja matemaattisen fysiikan kursseilla. Suunnitelmamme loppuun saattamiseksi tarvitsemme joukon uusia käsityksiä ja lisäperiaatteita, joita tarkastelemme nyt. 3. 3. Metrinen avaruuden ymmärtäminen. Puristavien värähtelyjen periaate Matematiikan tärkein rajojen käsite pyörii pisteiden ”läheisyyden” käsitteen ympärillä, jotta niiden välissä voidaan seisoa. Numeerisella akselilla suhde on kahden luvun välisen eron moduuli, tasossa euklidisen suhteen kaava on hyvä jne. Analyysin tosiasioiden runsaus ei ole ristiriidassa elementtien algebrallisten voimien kanssa, vaan pikemminkin pyörii niiden välisten ymmärrysten ympärillä. Tämän lähestymistavan kehittäminen on tuoda "totuuden" näkemys rajojen ymmärtämiseen, mikä johtaa metrisen avaruuden ymmärtämiseen. -44- Merkitys 3. 3. Olkoon X persoonaton tyytyväisyys, ja ρ (x, y) on kahden muuttujan x, y 2 X aktiivinen funktio, joka täyttää kolme aksioomaa: 1) ρ (x, y)> 0 8 x , y 2 X ja ρ (x, y) = 0 vielä enemmän, kun x = y; 2) ρ (x, y) = ρ (y, x) (symmetria-aksiooma); 3) ρ (x, z) 6 ρ (x, y) + ρ (y, z) (vihkon epätasaisuus). Tämän tyyppistä anonymiteettiä X tietyllä funktiolla ρ (x, y) kutsutaan metriavaruudeksi (MP), ja funktiota ρ (x, y): X X 7! R, joka täyttää kohdat 1) - 3), - metriikka tai substituutio. Katsotaanpa metristen avaruuksien sovelluksia. Esimerkki 3. 1. Olkoon X = R laajennuksesta ρ (x, y) = x y, otettu pois MP R:stä. n o n xi 2 R, i = 1, n є Esimerkki 3. 2. Olkoon X = R = x1, . . . , Xn n:n reaaliluvun järjestämätöntä joukkoa s n 2 P x = x1,. . . . R - ilman rajoja a, b funktioissa arvoilla Rn, sitten ilman rajoja vektorifunktioita, lausekkeella ρ (f, g) = max f (t) g (t), missä f = f (t) ) = f1 (t),. . . , Fn(t), t2sn2Pg = g(t)g1(t),. . . , Gn (t), f g = fk (t) gk (t). k = 1 Sovelluksille 3. 1 -3. MP:n 3 aksioomaa tarkistetaan ilman epäilystäkään, yli kaiken, kuten on oikein hämmentyneelle lukijalle. Koska ihon luonnollisen n tasaisuus on xn 2 X, näyttää siltä, ​​että pisteiden sarjalle xn MP X on annettu arvo 3. 4. Pisteiden sarjan xn MP X sanotaan konvergoivan pisteeseen x 2 X , mikä lim ρ xn, x = 0.n! 1 Arvo 3. 5. Jonoa xn kutsutaan perusarvoksi, koska mille tahansa ε> 0:lle on olemassa sellainen luonnollinen luku N (ε), että kaikille n> N ja m> N määritetään epäyhtälö ρ xn, xm< ε. Определение 3. 6. МП X называется полным (ПÌП), если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства. -45- Полнота пространств из примеров 3. 1 и 3. 2 доказана в курсе математиче ского анализа. Докажем полноту пространства X = C a, b ; Rn из примера 3. 3. Пусть последовательность вектор-функций fn (t) фундаментальна в X. Это означает, что 8 ε >0 9 N (ε) 2 N: 8m, n> N =) max fm (t) fn (t)< ε. Поэтому выполнены условия критерия Коши равномерной на a, b сходи мости функциональной последовательности, т.е. fn (t) ⇒ f (t) при n ! 1. Как известно, предел f (t) в этом случае – непрерывная функция. Докажем, что f (t) – это предел fn (t) в метрике пространства C a, b ; Rn . Из равномерной сходимости получим, что для любого ε >0 on sellainen luku N (ε), että kaikille n> N ja kaikille t 2 a, b epäyhtälö fn (t) f (t) vastaa< ε, а так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то и max fn (t) f (t) < ε. Это и есть сходимость в C a, b ; Rn , следовательно, полнота установлена. В заключение приведем пример МП, не являющегося полным. Пример 3. 4. Пусть X = Q – множество рациональных чисел, а расстояние ρ(x, y) = x y – модуль разностиpдвух чисел. Если взять последовательность десятичных приближений числа 2 , т.е. x1 = 1; x2 = 1, 4; x3 = 1, 41; . . ., p то, как известно, lim xn = 2 62 Q. При этом данная последовательность n!1 сходится в R, значит она фундаментальна в R, а следовательно, она фундаментальна и в Q. Итак, последовательность фундаментальна в Q, но предела, лежащего в Q, не имеет. Пространство не является полным. Определение 3. 7. Пусть X – метрическое пространство. Отображение A: X 7! X называется сжимающим отображением или сжатием, если 9 α < 1 такое, что для любых двух точек x, y 2 X выполняется неравенство: ρ Ax, Ay 6 α ρ(x, y). (3.7) Определение 3. 8. Точка x 2 X называется неподвижной точкой отображения A: X 7! X, если Ax = x . Замечание 3. 2. Всякое сжимающее отображение является непрерывным, т.е. любую сходящуюся последовательность xn ! x, n ! 1, переводит в сходящуюся последовательность Axn ! Ax, n ! 1, а предел последовательности – в предел ее образа. Действительно, если A – сжимающий оператор, то положив в (3.7) X X y = xn ! x, n ! 1, получим, что Axn ! Ax, n ! 1. Теорема 3. 2 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство этого фундаментального факта см. , . -46- Приведем обобщение теоремы 3. 2, часто встречающееся в приложениях. Теорема 3. 3 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X таково, что оператор B = Am с некоторым m 2 N является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство. При m = 1 получаем теорему 3. 2. Пусть m >1. Katsotaanpa B = Am, B: X 7! X, B - purista. Lauseen 3.2 mukaan operaattorilla B on yksi ei-pyörivä piste x. Koska A ja B ovat permutaatioita AB = BA ja koska Bx = x, voimme B Ax = A Bx = Ax, niin y = Ax on integraalipiste B, ja koska tämä piste on sama Lauseen 3. 2 mukaan, niin y = x tai Ax = x. Tähti x on operaattorin A katkeamaton piste. Todistetaan ykseys. On hyväksyttävää, että x ~ 2 X і A ~ x = x ~, sitten m m 1 B x ~ = A x ~ = A x ~ =. . . = X ~, niin x ~ on myös ei-rukhoma-piste B:lle, tähdille x ~ = x. Lause on todistettu. Kehystätään se metrisellä avaruudella ja lineaarisella normalisoidulla avaruudella. Tarkennetaan. Arvo 3. 9. Olkoon X lineaarinen avaruus (joko monimutkaisempi tai monimutkaisempi), jolle on osoitettu numeerinen funktio x, joka toimii X:stä R:ssä ja täyttää aksioomit: 1) 8 x 2 X, x> 0, ja x = 0 jopa kohdassa x = 0; 2) 8 x 2 X ja 8 λ 2 R (tai C) lisätään 3) 8 x, y 2 X lisätään toisiinsa). x + y 6 x + y λx = jλj x; (Kolmion epätasaisuutta - Todi X kutsutaan normalisoiduksi avaruudeksi, x: X 7! R, tyydyttääksesi 1) - 3), - normi. ja funktio Normalisoidussa avaruudessa alkioiden välinen etäisyys voidaan syöttää kaavalla ρ x, y = x y. MP-aksiooma voidaan todentaa helposti. Jos metriavaruus otetaan kokonaan pois, niin standardoitua avaruutta kutsutaan banaaniavaruudeksi. Usein samalla ja samalla lineaarinen avaruus Voit ottaa normin käyttöön eri tavoilla. Tämä yhteys johtuu tästä ymmärryksestä. Merkitys 3. 10. Olkoon X lineaarinen avaruus ja y kaksi uuteen 1 2 -normia. Normeja і kutsutaan ekvivalenteiksi 1 2 normeiksi, koska 9 C1> 0 і C2> 0: 8 x 2 X C1 x 1 6 x 2 6 C2 x 1. Kunnioitus 3. 3. і - kaksi vastaavaa normia X:llä, і 1 2 avaruus X on yhden niistä yläpuolella, silloin se on toisen normin yläpuolella. Tämä seuraa helposti siitä tosiasiasta, että xn X:n sekvenssi on perustavanlaatuinen, myös fundamentaalinen ja konvergoi saman alkion 1 2:een x 2 X. -47- Kunnioita 3. 4. Usein lause 3. 2 (tai 3. 3 ) zastosuєtsya jos yakostі täydessä n tilassa ottaa suljettu tila o Br (a) = x 2 X ρ x, a 6 r, de r> 0 i a 2 X kiinteä. On tärkeää, että suljettu kehys PMP:ssä on itse PMP, jolla on sama asema. Tämän tosiasian todistaminen vie lukijan oikeuden. Kunnioitus 3. 5. Lisää tilaa on perustettu n maailman kanssa 3. 3. Kunnioita, että lineaariseen avaruuteen X = C 0, T, R voit ottaa käyttöön normin kxk = max x (t) niin, että normalisoitu me tulee olemaan Banach. Avaruuden 0, T keskeytymättömyyden perusteella vektorifunktiota käyttämällä voidaan ottaa käyttöön ekvivalenttinormi kaavalla kxkα = max e αt x (t) mille tahansa α 2 R:lle. Jos α> 0, ekvivalenssi seuraa epäyhtälöistä e αT x (t) 6 e αt x (t) 6 x (t) kaikille t 2 0, T, tähdille e αT kxk 6 kxkα 6 kxk. Ekvivalenttien normien voimalla päästään nopeasti lauseeseen Cauchyn ongelman yksiselitteisestä ratkaisusta lineaarisille (normaali) järjestelmille. 3. 4. Cauchyn ongelman alkuperän ja ratkaisun lauseet normaaleille järjestelmille Tarkastellaan Cauchyn ongelmaa (3.1) - (3.2), jossa alkudata t0, y 0 2 G, G Rn + 1 on alue vektorifunktion f (t, y ) arvosta. Tässä osiossa oletetaan, että G voi olla muoto n muodossa G = a, b o, de alue Rn ja BR (y 0) = Voi paikkalause. y 2 Rn y y0 6 R ovat täysin sisällä. Lause 3. 4. Olkoon vektorifunktio f (t, y) 2 C G; Rn ja 9 M> 0 ja L> 0 niin, että mielet 1) 8 (t, y) 2 G = a, b f (t, y) 6 M; 2) 8 (t, y 1), (t, y 2) 2 G f t, y 2 f t, y 1 6 L y 2 y 1. Korjaa luku δ 2 (0, 1) ja olkoon t0 2 (a, b ). Kun R1 8 9 h = min; ; t0 a; b t0> 0 ML niin, että se on totta ja lisäksi Kosha-ongelmaan (3.1), (3.2) y (t) on yksi ratkaisu Jh = t0 h, t0 + h ja y (t) y 0 6 R kaikille t 2 Jh. -48- Todiste. Lemі 3. 1 Cauchyn tehtävälle (3.1), (3.2) vastaa integraaliyhtälöä (3.6) leikkauksessa ja sitten Jh:ssa, jossa h valitaan korkeammaksi. Tarkastellaan Banach-avaruutta X = C (Jh; Rn) - suljettu impersonaali alkio jaksolle Jh vektorifunktiolla x (t) normilla kxk = max x (t) ja tuodaan X:ään suljettu impersonaali elementti: t2Jh SR y 0 n 8 t 2 Jh = y (t) 2 X y (t) n = y (t) 2 X yy (t) o 0 6R = o 0 y 6R sulkemiset X:ssä. Operaattori A, arvot noudattavat sääntöä: Ay = y 0 + Zt f τ , y (τ) dτ, t 2 Jh, t0 kääntävät SR y 0:n itsestään, koska y 0 = max Ay Zt t2Jh f τ, y ( τ) dτ 6 h ​​​​M 6 R t0 mentaalin 1 lauseelle ja arvolle h. Osoitetaan, että A on SR:llä käyttämällä puristusoperaattoria. Ihan riittävästi 0 1 2 ja arvioitava arvo: ei y (t), y (t) 2 SR y Ay 2 Ay 1 = max Zt h t2Jh f τ, y 2 (τ) jos τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 Zt 6 max t2Jh f τ, y 2 (τ) f τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 6h L y2 y1 = q y2 y1, de q = h L 6 1 δ< 1 по условию теоремы. Отметим (см. замечание 3.4), что замкнутый шар SR y 0 в банаховом пространстве X является ПМП. Поэтому применим принцип сжимающих отображений (теорема 3. 2), по которому существует единственное решение y(t) 2 X интегрального уравнения (3.6) на отрезке Jh = t0 h, t0 + h . Теорема доказана. Замечание 3. 6. Если t0 = a или t0 = b, то утверждение теоремы сохраняется с небольшими изменениями в формуле для h и отрезка Jh . Приведем эти изменения для случая t0 = a. В этом случае число h > 0 valitaan R:n mukaan kaavasta h = min M; 1 L 8; b a, ja reiässä Jh kaikkialla täytyy ottaa -49- Jh = t0, t0 + h = a, a + h. Kaikkia muita mentaalisia lauseita ei muuteta, ja todistus uudelleenmäärittelyn kanssa säilyy. Tapauksessa t0 = b, samoin, h = min M; 1 L 8; b a ja Jh = b h, b. n Respect 3. 7. Lause 3. 4 Umov f (t, y) 2 C G; R, jossa G = a, b D, voidaan heikentää korvaamalla f (t, y) vakioimalla f (t, y) muuttamalla t iholla y 2, säästäen mielet 1 ja 2. Todistus tekee ei muuta. Kunnioitus 3. 8. Dosit, jotta ymmärrät 1 ja 2 lausetta 3. 4 konvoluutoituna 0 kaikille t, y 2 a, b BR y, joissa vakiot M ja L ovat, 0 näyttävät olevan näkyvissä y:ssä ja R. Voimakkaammin Sovellettaessa vektorifunktioon ft, y, kuten Lauseen 2.4, Cauchyn ongelman (3.1), (3.2) perustan ja ratkaisun ykseyden lause pätee kaikille osille a, b. n Lause 3. 5. Olkoon vektorifunktio fx, y 2 CG, R, de G = a, b Rn ja L> 0, niin että mieli 8 t, y 1, t, y 2 2 G ft , y 2 ft, y 1 6 L y 2 y 1. Sitten mille tahansa t0 2:lle ja y 0 2 Rn:lle kohdassa a, b on olemassa myös yksi ratkaisu Mosha-tehtävälle (3.1), (3.2). Valmis. Melko vähän enemmän t0 2 i y 0 2 Rn ja kiinteä ex. Persoonaton G = a, b Rn on esitettävissä muodossa: G = G [G +, de Rn, a G + = t0, b Rn, on tärkeää, että t0 2 a, b, muuten yksi G = a, t0 todistusvaiheista alkaen on päivittäin. Suoritamme varjostuksen tummalle iholle G+. Kohdassa t0, b Cauchyn yhtälö (3.1), (3.2) vastaa yhtälöä (3.6). Esitetään integraalioperaattori n A: X 7! X, de X = Ct0, b; R, kaavalla Ay = y 0 + Zt f τ, y (τ) dτ. t0 Tällöin integraaliyhtälö (3.6) voidaan kirjoittaa operaatioyhtälön Ay = y muotoon. (3.8) Koska osoitamme, että operaattoriyhtälö (3.8) voidaan ratkaista PMP X:ssä, niin mahdollisuus ratkaista Cauchyn ongelma kohdassa t0, b tai a, t0 G:lle on eliminoitu. silloin ekvivalenssin perusteella Cauchyn ongelman ratkaisu on sama. Esitetään kaksi todistetta yhtälöiden (3.8) välisestä yksiselitteisestä suhteesta. Todistus 1. Katsotaan lisää vektorifunktioita 1 2 n y, y 2 X = C t0, b; R, sitten reilut arviot kenelle tahansa -50- t 2 t0, b Ay 2: Ay 1 Zt hf τ, y 2 (τ) = 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 Zt y 2 (τ) 6L y 1 (τ) dτ 6 L t t0 max y 2 (τ) y 1 (τ) 6 τ 2 t0 6L t t0 y2 y1. On selvää, että X:n normi otetaan käyttöön seuraavasti: kxk = max x (τ). Epäyhtälön poistamisesta käytämme: 2 2 Ay 2 1 Ay Zt hf τ, Ay 2 (τ) = 1 i τ t0 dτ f τ, Ay (τ) dτ 6 t0 6 L2 Zt Ay 2 (τ) Ay 1 (τ ) dτ 6 L2 t0 Zt y2 y1 6 t0 6 L2 t t0 2! 2 y2 y1. Jatkamalla tätä prosessia, induktiolla on mahdollista saavuttaa 8 k 2 N Ak y 2 Ak y 1 6 L t t0 k! k y2 y1. Tähdet siis eliminoivat estimaatin Ak y 2 Ak y 1 = max Ak y 2 L b t0 Ak y 1 6 L b t0 k! k y2 y1. k Sirpaleet α (k) =! 0 k! 1, sitten on k0, k! mikä α (k0)< 1. Применим теорему 3. 3 с m = k0 , получим, что A имеет в X неподвижную точку, причем единственную. Доказательство 2. В банаховом пространстве X = C t0 , b ; Rn введем семейство эквивалентных норм, при α >0 (jako 3.5) kaavan mukaan: x α = max e αt x (t). -51- Osoitetaan, että on mahdollista valita α siten, että operaattori A avaruudessa X, jonka normi on α> L, puristuu. Toiminnallinen, α Ay 2 Ay 1 α Zt hf τ, y 2 (τ) αt = max e 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 6 max e αt Zt y 2 (τ) L y 1 (τ) dτ = t0 = L max e Zt αt e ατ y 2 (τ) eατ dτ 6 y 1 (τ) t0 6 L max e αt Zt eατ dτ max e ατ y 2 (τ) α y 2 (τ) α y 2 L max e αt Koska α> L, niin q = L α 1 1 αt e α e eαt0 L = α α b t0 y 2 y1 y 1 α = 1 e α b t0.< 1 и оператор A – сжимающий (например, с α = L). Таким образом, доказано, что существует и притом единственная вектор + функция ϕ (t) – решение Коши (3.1), (3.2) на t0 , b . задачи Rn задачу Коши сведем к предыдущей при Для полосы G = a, t0 помощи линейной замены τ = 2t0 t. В самом деле, для вектор-функция y(t) = y 2t0 τ = y~(t), задача Коши (3.1), (3.2) запишется в виде: y~(τ) = f (2t0 τ, y~(τ)) f~ (τ, y~(τ)) , y~(t0) = y 0 на отрезке τ 2 t0 , 2t0 a . Поэтому можно применить предыдущие рассуждения, взяв b = 2t0 a. Итак, существует и притом единственное решение задачи Коши y~(τ) на всем отрезке τ 2 t0 , 2t0 a и,следовательно, ϕ (t) = y~ 2t0 t – решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, t0 . Возьмем «сшивку» вектор-функций ϕ (t) и ϕ+ (t), т.е. вектор-функцию ϕ (t), при t 2 a, t0 ; ϕ(t) = ϕ+ (t), при t 2 t0 , b . d dτ Как при доказательстве теоремы 2.4, устанавливаем, что ϕ(t) – это решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, b . Единственность его следует из следствия 3.1. Теорема доказана. -52- Замечание 3.9. Утверждение 3. 1 дает достаточное условие того, что векторфункция f t, y в выпуклой по y области G удовлетворяет условию Лип∂fi шица. А именно, для этого достаточно, чтобы все частные производные ∂yj были непрерывны и ограничены некоторой константой в G. Аналогично следствию из теоремы 2.4 получаем такое утверждение для нормальных систем. Ñледствие 3.3. Пусть вектор-функция f (t, y) определена, непрерывна в открытой полосе o n n Q = (t, y) t 2 (A, B), y 2 R , причем A и B могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что вектор-функция f (t, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(t) 2 C(A, B) такая, что 8 t 2 (A, B) и 8 y 1 , y 2 2 Rn выполняется неравенство f t, y 2 f t, y 1 6 L(t) y 2 y 1 . Òогда при любых начальных данных t0 2 (A, B), y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.1), (3.2) на всем интервале (A, B). Доказательство проводится повторением соответствующих рассуждений из п. 2.2, оставляем его добросовестному читателю. В качестве других следствий из доказанной теоремы 3. 5 получим теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для линейной системы. Речь идет о задаче нахождения вектор-функции y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) из условий: d y(t) = A(t)y(t) + f 0 (t), t 2 a, b , (3.9) dt y(t0) = y 0 , (3.10) где A(t) = aij (t) – n n матрица, f 0 (t) – вектор-функция переменной t, t0 2 a, b , y 0 2 Rn – заданы. n 0 Теорема 3. 6. Пусть a (t) 2 C a, b , f (t) 2 C a, b ; R , ij t0 2 a, b , y 0 2 Rn заданы. Òогда существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всем отрезке a, b . Доказательство. Проверим, что для функции f t, y = A(t)y + f 0 (t) выполнены теоремы 3. 5. Во-первых, f t, y 2 C G; Rn , где условия G = a, b Rn , как сумма двух непрерывных функций. Во-вторых, (см. неравенство (3.5)): Ay 2 Ay 1 = A(t) y 2 y 1 6 A 2 y 2 y 1 6 L y 2 y 1 , -53- поскольку A n P 2 ! 21 aij (t) 2 – непрерывная на a, b функция. Тогда i,j=1 по теореме 3. 5 получим доказываемое утверждение. Теорема 3. 7. Пусть aij (t) 2 C (R), f 0 (t) 2 C (R; Rn) заданы. Òогда при любых начальных данных t0 2 R, y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всей числовой прямой. Доказательство. Проверим, что выполнены все условия следствия из теоре мы 3. 5 с A = 1, B = +1. Вектор-функция f t, y = A(t)y + f 0 (t) непрерывна в полосе Q = R Rn как функция (n + 1) переменной. Кроме того, L(t) y 2 y 1 , f t, y 2 f t, y 1 6 A(t) 2 y 2 y 1 где L(t) – непрерывная по условию теоремы на A, B = 1, +1 функция. Таким образом, все условия следствия выполнены, и теорема доказана. -54- Глава IV. Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах В ряде случаев дифференциальное уравнение может быть решено в квадратурах, т.е. для его решения может быть получена явная формула. В таких случаях методика решения, как правило, следующая. 1. Предполагая, что решение существует, находят формулу, по которой решение выражается. 2. Существование решения затем доказывается непосредственной проверкой, т.е. подстановкой найденной формулы в исходное уравнение. 3. Используя дополнительные данные, (например, задавая начальные данные Коши) выделяют конкретное решение. 4. 1. Уравнение с разделяющимися переменными В данном параграфе применим уже использовавшуюся выше методику для решения уравнений с разделяющимися переменными, т.е. уравнений вида y 0 (x) = f1 (x) f2 (y), Áудем предполагать, что f1 (x) 2 C (ha, bi) , x 2 ha, bi, f2 (y) 2 C (hc, di) , y 2 hc, di. (4.1) f2 (y) 6= 0 на hc, di а следовательно, в силу непрерывности функции f2 (y), она сохраняет знак на hc, di . Итак, предположим, что в окрестности U(x0) точки x0 2 ha, bi существует решение y = ϕ(x) уравнения (4.1). Тогда имеем тождество dy = f1 (x) f2 (y), dx y = ϕ(x), 55 x 2 U(x0). Но тогда равны дифференциалы dy = f1 (x) dx f2 (y) мы учли, что f2 (y) 6= 0 . Из равенства дифференциалов вытекает равенство первообразных с точностью до постоянного слагаемого: Z Z dy = f1 (x) dx + C. (4.2) f2 (y) После введения обозначений Z F2 (y) = Z dy , f2 (y) F1 (x) = f1 (x) dx, получаем равенство F2 (y) = F1 (x) + C. (4.3) Заметим, что F20 (y) = 1/f2 (y) 6= 0, поэтому к соотношению (4.3) можно применить теорему об paluutoiminto , Tämän yhtälön (4.3) ansiosta voimme sallia y:n ja poistaa kaavan y (x) = F2 1 F1 (x) + C, (4.4) pätee pisteen x0 ympärillä. Osoitetaan, että yhtälö (4.4) antaa ratkaisun yhtälöön (4.1) pisteen x0 ympärillä. Tehokas, vikorista lause differentiaalista paluufunktioista ja katsomalla suhdetta F10 (x) = f1 (x), poistetaan y 0 (x) = dF2 1 (z) dz z = F1 (x) + C F10 (x) = 1 F20 ( y) y = y (x) F10 (x) = f2 y (x) f1 (x), tähdet osoittavat, että funktio y (x) kohdasta (4.4) on yhtä suuri kuin ratkaisut (4.1). Tarkastellaan nyt yhtälön (4.1) Cauchyn ongelmaa tähkämielillä y (x0) = y0. (4.5) Kaava (4.2) voidaan kirjoittaa muodossa Zy dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx + C. x0 y0 Lisäämällä tähän Cob (4.5), tiedämme, että C = 0, sitten ratkaisu Cauchyn ongelma määräytyy spivvіdnoshenya Zy y0 dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx. x0 -56- (4.6) Ilmeisesti tämä arvo on ainutlaatuinen. Myös yhtälön (4.1) lopullinen ratkaisu saadaan kaavalla (4.4) ja Cauchyn ongelman (4.4), (4.5) ratkaisu löytyy kohdan (4.6) yhteydessä. Kunnioita 4. 1. Koska f2 (y) = 0 toiminnoille y = yj, (j = 1, 2,..., S), niin tietysti ratkaisut (4.1) ovat myös funktioita y (x) yj, j = 1, 2,. . . , S, joka saavutetaan näiden funktioiden ei-mediaanikorvauksella yhtälössä (4.1). Kunnioitus 4. 2. Iholle (4.1) täydellinen liuos määräytyy suhteella F2 (y) F1 (x) = C. (4.7) Siten suhteen (4.7) vasen osa on yhdenmukainen iholiuoksen nnya kanssa. (4.1). Tyypin (4.7) suhteet voidaan kirjoittaa korkeimpien muiden ODE:iden kanssa. Tällaisia ​​suhteita kutsutaan yleensä yhtenäisen ODE:n integraaleiksi (vaihtoehtoiset integraalit). Damo on tarkempi. Arvo 4. 1. Katsotaan arvoa y 0 (x) = f (x, y). (4.8) Vertailua (x, y) = C, (4.9) de (x, y) - luokan C 1 funktio, kutsutaan yhtäläiseksi integraaliksi (4.8), koska tämä relaatio ei vastaa samaa ratkaistua kilpailua ( 4.8). Tietyllä skin-arvolla C 2 R poistamme yksityisen integraalin. Integraaliratkaisu (4.8) tulee integraaliintegraalista (4.9) implisiittistä funktiota koskevien vicoristan-lauseiden kanssa. Sovellus 4. 1. Tarkastellaan tasoa x (4.10) y 0 (x) = y ja cob y (2) = 4. (4.11) Tehokkainta kuvausta varten (4.10) alimuuttujien menetelmä on parempi, voimme poistaa y dy = x dx , tiedämme yhtälön (4.10) y 2 x2 = C täydellisen integraalin. Yhtälön (4.10) alkuperäinen ratkaisu voidaan kirjoittaa kaavaksi py = C + x2, ja ratkaisu Cauchyn ongelmaan (4.10), (4.11) voidaan kirjoittaa muodossa py = 12 + x2 . -57- 4. 2. Ensimmäisen asteen lineaarista ODE:tä ensimmäisen kertaluvun lineaarista ODE:tä kutsutaan yhtä suureksi y 0 (x) + p (x) y (x) = q (x), Box q (x) 6 Box q (x) x 2 ha, bi. (4.12) 0, yhtälöä kutsutaan heterogeeniseksi. 0, niin yhtälöä kutsutaan homogeeniseksi: y 0 (x) + p (x) y (x) = 0. (4.120) Lause 4. 1. 1) Koska y1 (x), y2 (x) on ratkaisu homogeeninen yhtälö (4.120) , α, β ovat komplementaarisia lukuja, jolloin funktio y (x) αy1 (x) + βy2 (x) on myös ratkaisuja (4.120). 2) Heterogeenisen yhtälön (4.12) halal-ratkaisulle sopii kaava yоn = yоо + yчн; (4.13). Valmis. Lauseen ensimmäinen väite on suoritettava täydellisellä käänteisellä: maєmo y 0 αy10 + βy20 = αp (x) y1 βp (x) y2 = p (x) αy1 + βy2 = p (x) y. Välitetään tämä ystävälle. Olkoon y0 riittävä ratkaisu (4.120), niin y00 = p (x) y0. Toisaalta 0 ychn = p (x) ychn + q (x). No, 0 y0 + ychn = p (x) y0 + ychn + q (x), mikä tarkoittaa, että y y0 + ychn є ratkaisut ovat yhtä suuria (4.12). Siten kaava (4.13) antaa ratkaisun epähomogeeniseen yhtälöön (4.12). Osoitetaan, että tällä kaavalla voidaan päätellä kaikki yhtälöiden (4.12) ratkaisut. Se on hyvä, älä anna sen y ^ (x) - päätös (4.12). Laitetaan y ~ (x) = y ^ (x) ychn. Maєmo y ~ 0 (x) = y ^ 0 (x) 0 ychn (x) = p (x) ^ y (x) + q (x) + p (x) ychn (x) = p (x) y ^ (x) q (x) = ychn (x) = p (x) ~ y (x). Siten y ~ (x) on homogeenisen yhtälön (4.120) ratkaisu, ja meillä voi olla y ^ (x) = y ~ (x) + ychn, mikä on yhdenmukainen kaavan (4.13) kanssa. Lause on todistettu. -58- Alla tarkastellaan Cauchyn ongelmia riveille (4.12) ja (4.120), joiden tähkäaivot y (x0) = y0, x0 2 ha, bi. (4.14) (4.12) funktioille p (x) ja q (x) oletetaan, että p (x), q (x) 2 C (ha, bi). Kunnioita 4. 3. Laita F (x, y) = p (x) y + q (x). Sitten p (x) ja q (x) ajatusten päällekkäisyyden vuoksi voimme olettaa F (x, y), ∂F (x, y) 2 CG, ∂y G = ha, bi R1, ja siksi , Cauchyn ongelmalle ( 4.12), (4.14) lauseiden pätevyys ja ratkaisun ykseys, jotka on esitetty luvussa 2. Lauseiden 4.2, 4.3 alla olevissa todisteissa on eksplisiittiset kaavat yhtälöiden (4.120) ja ( 4.12) ja missä näytetään mikä ratkaisu on Näytä kaikkialla ha, bi. Katsotaanpa samaa asiaa (4.120). Lause 4. 2. Korkeus: Olkoon p (x) 2 C (ha, bi). Kun hyökkäys on oikeudenmukainen 1) onko päätös tehty (4.120), määrätään koko aikavälille ha, bi; 2) saman tason kulissien takana tehty päätös (4. 120) saadaan kaavalla y (x) = C e de C R p (x) dx, (4.15) riittävä vakio; 3) Mosha-tehtävän (4.120), (4.14) ratkaisu saadaan kaavalla Rx y (x) = y0 e x0 p (ξ) dξ. (4.16) Todistus. Johdetaan kaava (4.15) luvun alussa esitetyn menetelmän mukaisesti. Meille on ensiksi tärkeää, että funktio y 0 on yhtä kuin ratkaisut (4.120). Olkoon y (x) - päätös rivnyannya (4.120), ja y 6 0 ha, bi. Sitten 9 x1 2 ha, bi siten, että y (x1) = y0 6 = 0. Katsotaan tasoa (4.120) pisteen x1 läheisyydessä. Yhtälö perustuu muuttujiin, ja y (x) 6 = 0 pisteen x1 läheisyydessä. Sitten seuraamalla edellisen kappaleen tuloksia, johdetaan eksplisiittinen kaava ylimäärälle Z dy = p (x) dx, ln y = p (x) dx + C, y -59- tähdet R y (x) = C ep (x) dx, c 6 = 0, mikä on yhdenmukainen kaavan (4.15) kanssa. Lisäksi ratkaisu y 0 saadaan myös kaavalla (4.15), kun C = 0. Korvaamalla ratkaisu yhtälöön (4.120), muunnetaan funktio y (x), joka saadaan kaavalla (4.15) mille tahansa C:lle, φ shennyam rivnyannya ( 4.120), ja kaikin tavoin ha, bi. Osoitetaan, että kaava (4.15) määrittelee yhtälön (4.120) lopullisen yhteyden. Tehokas, olkoon y ^ (x) - riittävä ratkaisu (4.120). Jos y ^ (x) 6 = 0 ha, bi, niin toistamalla etuliitoksen, kielletään, että tämä funktio on annettu kaavalla (4.15) samalla C:llä itsellään, jos y ^ (x0) = y ^ 0 , sitten Rx p ( ξ) dξ. y ^ (x) = y ^ 0 e x0 Jos 9x1 2 ha, bi sellainen, että y ^ (x1) = 0, niin yhtälön (4.120) Cauchyn ongelmalla tähkäaivoilla y (x1) = 0 voi olla kaksi ratkaisua y ^ (x) ja y (x) 0. Kohdevoimalla 4. 3 Cauchyn ongelman ratkaisua ovat samat, joten y ^ (x) 0, ja siksi se saadaan kaavalla (4.15) kun C = 0. On myös selvää, että ratkaisu on monimutkaisempi taso (4.120) määritetään kaikille ha, bi ja annetaan kaavalla (4.15). Kaavaa (4.16) voidaan tietysti lyhentää lisäämällä kaava (4.15), koska se määrittelee funktion y (x) ja ratkaisut yhtä suuret kuin (4.120). Lisäksi x R0 p (ξ) dξ y (x0) = y0 e x0 = y0, joten kaava (4.16) määrittelee tehokkaasti Cauchyn ongelman (4.120), (4.14) ratkaisun. Lause 4.2 on suoritettu. Katsotaanpa nyt heterogeenista kilpailua (4.12). Lause 4. 3. Olkoon p (x), q (x) 2 C (ha, bi). Kun päätös on lainvoimainen: 1) onko päätös tehty (4.12), kerrotaan koko aikavälillä ha, bi; 2) epähomogeenisen yhtälön (4.12) lopullinen ratkaisu saadaan kaavalla Z R R R p (x) dx p (x) dx q (x) e p (x) dx dx, (4.17) y (x) = Ce + e de C on riittävä vakio; 3) Mosha-tehtävän (4.12), (4.14) ratkaisu saadaan kaavasta Rx y (x) = y0 e x0 Zx p (ξ) dξ + q (ξ) e x0 -60- Rx ξ p (θ ) dθ dξ. (4.18) Todistus. Tämän vahvistaa Lause 4. 1 ja kaava (4.13) yon = yоо + yчн on tarpeen tietää yhtälön (4.12) yksityinen ratkaisu. Tätä tarkoitusta varten ns. variaatiomenetelmä on olennaisesti sama. Tämän menetelmän ydin on seuraava: otetaan kaava (4.15), korvataan siinä oleva vakio C tuntemattomalla funktiolla C (x) ja löydetään yksityinen ratkaisu (4.12) muodossa ychn (x) = C (x) ) e R p (x) dx. (4.19) Korvataan yhtälö (x) arvosta (4.19) yhtälöön (4.12) ja selvitetään C (x) niin, että koko yhtälö täyttyy. Mamo R R 0 ychn (x) = C 0 (x) e p (x) dx + C (x) e p (x) dx p (x). Korvaamalla kohdan (4.12) poistamme C 0 (x) e R p (x) dx + C (x) e R p (x) dx p (x) + C (x) p (x) e R p (x) ) dx = q (x), tähdet RC 0 (x) = q (x) ep (x) dx. Integroimalla loput suhteet ja korvaamalla C (x) kaavaan (4.19), kiellämme sen, että Z R R p (x) dx ychn (x) = e q (x) e p (x) dx dx. Lisäksi Lauseen 4 nojalla. 2 R yоо = C e p (x) dx. Siksi Lauseen 4.1 Vikorist-kaavaa (4.13) käyttämällä voidaan poistaa, että ZRRRR p (x) dx p (x) dx y (x) = yоо + yчн = Ce + eq (x) ep (x) dx dx, joka vältetään kaavalla (4.17). On selvää, että kaava (4.17) määrittelee ratkaisun kullekin välille ha, bi. Lopuksi Cauchyn ongelman (4.12), (4.14) ratkaisu saadaan kaavasta Rx y (x) = y0 e Rx p (ξ) dξ x0 + e p (θ) dθ Zx Rξ p (θ) dθ q ( ξ) ex0 x0 dξ. (4.20) x0 On selvää, että kaavaa (4.20) voidaan lyhentää lisäämällä kaava (4.17), kun C = y0, joka määritetään yhtälöllä (4.12). Lisäksi x R0 y (x0) = y0 e x0 x R0 p (ξ) dξ + ep (θ) dθ Zx0 Rξ q (ξ) e x0 x0 x0 -61- p (θ) dθ dξ = y0, olemme tyytyväisiä tämän härän kunnianosoituksella (4.14). Siirretään kaava (4.20) muotoon (4.18). Oikeastaan ​​kohdasta (4.20) voimme Rx y (x) = y0 e Zx p (ξ) dξ + x0 Rξ q (ξ) exp (θ) dθ Rx dξ = y0 e Zx p (ξ) dξ + x0 x0 Rx q ( ξ) ep (θ) dθ dξ, ξ x0, joka voidaan välttää käyttämällä kaavaa (4.18). Lause 4.3 on suoritettu. Seuraus (Cauchyn ongelman ratkaisun arvioinnista lineaariselle järjestelmälle). x0 2 ha, bi, p (x), q (x) 2 C (ha, bi) ja p (x) 6 K, q (x) 6 M Hei 8 x 2 ha, bi. Tällöin seuraava arvio pätee Moshan maksimiongelmalle (4.12), (4.14) M Kjx x0 j Kjx x0 j y (x) 6 y0 e + e 1. K (4.21) Todistus. Päästä irti x> x0. Kohdan (4.18) perusteella meillä on Rx Zx K dξ y (x) 6 y0 ex0 Rx K dθ M eξ + dξ = y0 eK (x x0) Zx + M x0 = y0 e K (x x0) eK (x ξ ) dξ = x0 M + K e K (x ξ) ξ = x ξ = x0 = y0 e Kjx x0 j M Kjx + e K x0 j 1. Olkoon x nyt< x0 . Тогда, аналогично, получаем x R0 y(x) 6 y0 e x K dξ Zx0 + Rξ M ex K dθ dξ = y0 eK(x0 x) Zx0 +M x = y0 e K(x0 eK(ξ x) dξ = x M x) eK(ξ + K x) ξ=x0 ξ=x M h K(x0 x) = y0 e + e K M Kjx Kjx x0 j e = y0 e + K i 1 = K(x0 x) x0 j Таким образом, оценка (4.21) справедлива 8 x 2 ha, bi. Пример 4. 2. Решим уравнение y = x2 . x Решаем сначала однородное уравнение: y0 y0 y = 0, x dy dx = , y x ln jyj = ln jxj + C, -62- y = C x. 1 . Решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольной постоянной: y чн = C(x) x, Cx = x2 , x 0 C x+C 0 C = x, x2 C(x) = , 2 откуда x3 , 2 y чн = а общее решение исходного уравнения y =Cx+ x3 . 2 4. 3. Однородные уравнения Однородным уравнением называется уравнение вида y 0 y (x) = f , (x, y) 2 G, x (4.22) G – некоторая область в R2 . Áудем предполагать, что f (t) – непрерывная функция, x 6= 0 при (x, y) 2 G. Однородное уравнение заменой y = xz, где z(x) – новая искомая функция, сводится к уравнению с разделяющимися переменными. В силу данной замены имеем y 0 = xz 0 + z. Подставляя в уравнение (4.22), получим xz 0 + z = f (z), откуда z 0 (x) = 1 x f (z) z . (4.23) Уравнение (4.23) представляет собой частный случай уравнения с разделяющимися переменными, рассмотренного в п. 4.1. Пусть z = ϕ(x) – решение уравнения (4.23). Тогда функция y = xϕ(x) является решением исходного уравнения (4.22). Действительно, y 0 = xϕ 0 (x) + ϕ(x) = x 1 x f (ϕ(x)) ϕ(x) + ϕ(x) = xϕ(x) y(x) = f ϕ(x) = f =f . x x Пример 4. 3. Ðешим уравнение y0 = y x -63- ey/x . Положим y = zx. Тогда xz 0 + z = z откуда y(x) = 1 z e, x z0 = ez , dz dx = , e z = ln jzj + C, z e x z = ln ln Cx , c 6= 0, x ln ln Cx , c 6= 0. 4. 4. Уравнение Áернулли Уравнением Áернулли называется уравнение вида y 0 = a(x)y + b(x)y α , α 6= 0, α 6= 1 . x 2 ha, bi (4.24) При α = 0 или α = 1 получаем lineaarinen kohdistus , Tätä käsiteltiin kohdassa 4.2. Oletetaan, että a (x), b (x) 2 C (ha, bi). Kunnioita 4. 4. Jos α> 0, niin ilmeisesti funktio y (x) 0 on yhtä kuin ratkaisut (4.24). Bernoullin korkeimmalle tasolle (4.24) α 6 = 0, α 6 = 1 erotamme summan loukkaavat osat y α:lla. Kun α > 0, on arvo, joka 4. 4 funktion y (x) 0 suhteen on yhtä suuri kuin päätökset (4.24), jotka käytetään tällaisella jaolla. No, tulevaisuudessa tämä vaatimus annetaan maanalaisessa ratkaisussa. Tämän jälkeen määritetään suhde y α y 0 = a (x) y 1 α + b (x). Esittelemme uuden funktion z = y 1 α, sitten z 0 = (1 sitten, päästään tasolle z z 0 = (1 α) a (x) z + (1 α) y α) b (x). α y 0, ja (4.25) Yhtälö (4.25) on lineaarinen yhtälö. Tällaisia ​​yhtälöitä tarkastellaan osiossa 4.2, jossa palautetaan kirjaimellisen ratkaisun kaava, jonka johdosta ratkaisu z (x) kirjoitetaan yhtälö (4.25) muodossa z (x) = Ce R (α 1) a (x) ) dx + + (1 α ) e R (α 1) a (x) dx 1 Z b (x) e R (α 1) a (x) dx dx. (4.26) Sitten funktio y (x) = z 1 α (x), jossa z (x) on määritelty kohdassa (4.26), ja ratkaisut ovat yhtä kuin Bernoull (4.24). -64- Lisäksi, kuten edellä todettiin, α> 0 ratkaisuille sama funktio y (x) 0. Esimerkki 4. 4. Ratkaise yhtälö y 0 + 2y = y 2 ex. (4.27) Jaa taso (4.27) y 2:lla ja tee substituutio z = saadaan lineaarinen heterogeeninen taso 1 y. Tuloksena z 0 + 2z = esim. (4.28) Todennäköisimmin yhtälö on sama: z 0 + 2z = 0, dz = 2dx, z ln jzj = 2x + c, z = Ce2x, C 2 R1. Epähomogeenisen yhtälön (4.28) ratkaisu määritetään vakioarvon vaihtelumenetelmällä: zchn = C (x) e2x, C 0 e2x 2Ce2x + 2Ce2x = ex, C 0 = ex, C (x) = ex, merkit zchn = ex, ja lisäratkaisut Rivnyanya (4.28) z (x) = Ce2x + ex. Myös yhtälön (4.24) ratkaisu kirjoitetaan muodossa y (x) = 1. ex + Ce2x Lisäksi yhtälön (4.24) ratkaisu on myös y (x) funktio. Ratkaisut käytettiin, kun tämän r івняня jakaminen y:llä 2. 0. 4. 5. Tasoitus täydellisissä differentiaaleissa Tarkastellaan tasausta differentiaaleissa M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, (x, y) 2 G, (4.29) G on domeeni R2:ssa. Tätä yhtälöä kutsutaan yhtälöksi täydellisissä differentiaaleissa, koska pääfunktiota F (x, y) 2 C 1 (G) kutsutaan potentiaaliksi, jolloin dF (x, y) = M (x, y) dx + N ( x, y ) dy, (x, y) 2 G. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että M (x, y), N (x, y) 2 C 1 (G) ja alue G on yksiyhteydessä. Monissa oletuksissa matemaattisen analyysin aikana (esimerkiksi jako) päätellään, että tasauksen potentiaali F (x, y) (4.29) on totta (siis (4.29) on tasaus uusissa differentiaaleissa) ja vasta sitten , jos Oma (x, y) = Nx (x, y) -65- 8 (x, y) 2 G. Kun (x, Z y) F (x, y) = M (x, y) dx + N (x, y) dy, (4.30) (x0, y0) piste (x0, y0) - piste kiinteä з G , (x, y) on G:n tarkka piste, ja kaareva integraali otetaan mitä tahansa käyrää pitkin, joka yhdistää pisteet (x0, y0) ja (x, y) ja sijaitsee kokonaan alueella G. Se on yhtä suuri kuin ( 4.29) on yhtä suuri

Alexander Viktorovich Abrosimov Syntymäaika: 16 lehtien pudotus 1948 (1948 11 16) Syntymäpaikka: Kuibishev Kuolinpäivä ... Wikipedia

I Differentiaalikorjaus korvaamaan etsityt funktiot, niiden samanlaiset eri järjestykset ja itsenäiset muutokset. Teoria D.u. Vinikla 1600-luvun lopulla. mekaniikan ja muiden luonnontieteiden tarpeiden tulvan alla, ... ... Suuri Radyanska Encyclopedia

Alkudifferentiaaliyhtälöt (ODE) ovat differentiaaliyhtälöitä, joiden tyyppi on tuntematon funktio (mahdollisesti vektorifunktio, sitten pääsääntöisesti sama vektorifunktio, jolla on arvot avaruudessa ja ulottuvuudessa; wow... ... Wikipediassa

Wikipediassa on artikkeleita muista ihmisistä, joilla on tämä lempinimi, div. Yudovich. Viktor Yosipovich Yudovich Syntymäaika: 4. kesäkuuta 1934 (1934 10 04) Syntymäpaikka: Tbilisi, SRSR Kuolinpäivä ... Wikipedia

ero- (Differentiaali) Differentiaalin merkitys, differentiaalifunktio, differentiaalilukko Tietoja differentiaalin merkityksestä, differentiaalifunktio, differentiaalilukko st matemaattinen Epävirallinen kuvaus ... ... Encyclopedia of Investor

Yksi tärkeimmistä asioista, joka on ymmärrettävä teoriassa differentiaalista yhtäläisyydestä yksityisten erojen kanssa. X:n rooli ilmenee näiden tasojen todellisissa voimissa, kuten paikallisessa päätösvallassa, kyvyssä purkaa erilaisia ​​tilauksia, niiden oikeellisuudesta jne. Mennään...... matemaattinen tietosanakirja

Taajuus, aiemmin tuntematon funktio, on yksi itsenäinen muutos, ja arviointi sisältää paitsi itse tuntemattoman funktion, myös samanlaisia ​​eri luokkaa. Termin differentiaalitasaus loi G. ... ... matemaattinen tietosanakirja

Trenogin Vladilen Oleksandrovich V. A. Trenogin luennolla MISiS:ssä Syntymäaika ... Wikipedia

Trenogin, Vladilen Oleksandrovich Trenogin Vladilen Oleksandrovich V. A. Trenogin luennolla MISiS:ssä Syntymäaika: 1931 (1931) ... Wikipedia

Gaussin yhtälö, 2. kertaluvun lineaarinen primääridifferentiaaliyhtälö tai itseadjointeissa muodoissa muuttujat ja parametrit voivat ottaa minkä tahansa kompleksisen arvon. Korvauksen jälkeen, poistu, lomake luodaan... ... matemaattinen tietosanakirja

Tämä luentokurssi pidetään yli 10 vuoden ajan Far-Far State Universityn teoreettisen ja soveltavan matematiikan opiskelijoille. Täyttää II sukupolven standardia ja muita erikoisuuksia. Suosituksia matematiikan erikoisalojen opiskelijoille ja maisterille.

Cauchyn lause Cauchyn ongelman ratkaisun alkuperästä ja ykseydestä on ensiluokkainen.
Kenen kappaleisiin sijoitettuaan kappaleet oikeus osakkeeseen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, ratkaisun kanta ja ykseys tuodaan esiin, mikä osoitetaan karkealla datalla (x0, y0). Ensimmäinen todiste differentiaaliyhtälöiden päätöksen perustasta kuuluu Cauchylle; Alla olevan todisteen on antanut Picard; On tarpeen noudattaa peräkkäisten lähestymistapojen lisämenetelmää.

ZMIST
1. Kilpailun ensimmäinen kerta
1.0. Tulla sisään
1.1. Rivnyanya vesivahvisteisilla korvikkeilla
1.2. sama taso
1.3. Säännöllinen yhden vuoden ranking
1.4. Ensimmäisen kertaluvun lineaariset yhtälöt ja niihin pelkistetyt
1.5. Bernoullin maakunta
1.6. Rivne Riccati
1.7. Tasoitus uusissa tasauspyörästöissä
1.8. Integroiva kerroin. Yksinkertaisimmat tyypit integroitavan kertoimen löytämiseksi
1.9. Kilpaileminen ei ole sallittua ennen marssia
1.10. Cauchyn lause Cauchyn ongelman ratkaisun alkuperästä ja ykseydestä on ensiluokkainen
1.11. erityisiä pisteitä
1.12. erikoisratkaisuja
2. Korkeampien tilausten kilpailu
2.1. Peruskäsitteet ja merkitykset
2.2. N:nnen kertaluvun yhtäläisyydet, erimielisyydet kvadratuurissa
2.3. Väliintegraalit. Rivnyannya, joka mahdollistaa alhaisemman tilauksen
3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt toisessa järjestyksessä
3.1. Peruskonseptit
3.2. Lineaariset homogeeniset differentiaaliyhtälöt toisessa järjestyksessä
3.3. Lineaarisen homogeenisen kohdistuksen pieneneminen
3.4. Heterogeeniset lineaariset kohdistukset
3.5. Vähentävä järjestys lineaarisessa heterogeenisessä järjestyksessä
4. Lineaarinen vertailu vakiokertoimilla
4.1. Tasainen lineaarinen vertailu vakiokertoimilla
4.2. Heterogeeninen lineaarinen vertailu vakiokertoimilla
4.3. Lineaarinen kilpailu eri järjestyksessä piilotetuilla ratkaisuilla
4.4 Integrointi staattisen sarjan avulla
5. Lineaariset järjestelmät
5.1. Heterogeeniset ja homogeeniset järjestelmät. Vallan toimijat päättävät lineaarisista systeemeistä
5.2. Tarvittava ja riittävä tieto lineaarisesta riippumattomuudesta ennen lineaarisen homogeenisen järjestelmän ratkaisemista
5.3. Perusmatriisin perusta. Pobudovan ratkaisu lineaariseen homogeeniseen systeemiin
5.4 Pobudov kaikki lineaarisen homogeenisen järjestelmän perusmatriisit
5.5. Heterogeeniset järjestelmät. Pobudova zagalny ratkaisu lisäterästen variaatiomenetelmällä
5.6. Lineaariset yksiriviset järjestelmät vakiokertoimilla
5.7. Jotain tietoa matriisin funktioteoriasta
5.8 Pobudova lineaaristen homogeenisten tasojen järjestelmän perusmatriisista teräskertoimilla jäämuodossa
5.9. Peruslause ja lauseet toiminnallisesta tehosta ensimmäisen asteen differentiaalitasojen normaalijärjestelmien ratkaisuun
6. Resilienssiteorian elementit
6.1
6.2. Yksinkertaisin rauhantyyppi ja -piste
7. Rivne ykkösasioissa
7.1. Lineaarinen homogeeninen vertailu 1. asteen yksityisissä yhtäläisyyksissä
7.2. Epätasainen lineaarinen kohdistus ensimmäisen asteen yksityisissä samankaltaisuuksissa
7.3. Kaksitasoinen järjestelmä yksityisillä tileillä, joissa on yksi tuntematon toiminto
7.4 Pfaffin kilpailija
8. Ohjausvaihtoehdot
8.1. Robotin ohjaus №1
8.2. Robottiohjaus nro 2
8.3. Robottiohjaus nro 3
8.4 Robottiohjaus nro 4
8.5 Robottiohjaus nro 5
8.6. Robottiohjaus nro 6
8.7 Robottiohjaus nro 7
8.8 Robottiohjaus nro 8.

Lataa e-kirja helposti manuaalisessa muodossa, ihmettele ja lue:
Lataa kirja Kurssi luentoja perusdifferentiaaliyhtälöistä, Shepeleva R.P., 2006 - fileskachat.com, ruotsinkielinen ja ilmainen lataus.

lumoa pdf
Alta voit ostaa tämän kirjan osoitteessa korkeimmalla hinnalla alennuksella toimituksella koko Venäjälle.

Makarska E. V. Kirjassa: Opiskelijatieteen päivät. Kevät - 2011. M.: Moskovan valtion talous-, tilasto- ja informatiikkayliopisto, 2011. S. 135-139.

Kirjoittajat tarkastelevat lineaaristen differentiaaliyhtälöiden teorian käytännön soveltamista talousjärjestelmien tutkimiseen. Työssä analysoidaan Keynesin ja Samuelson-Hicksin dynaamisia malleja talousjärjestelmien yhtäläisten osien muutoksilla.

Ivanov A. I., Isakov I., Dyomin A. V. ja in. Osa 5. M.: Slovakia, 2012.

Assistentti tarkasteli useita menetelmiä ihmisen happamuuden seuraamiseksi tunnin aikana annosteltujen fyysisten harjoitusten avulla, jotka on julkaistu Venäjän federaation valtiontieteellisessä keskuksessa IMBP RAS. Hakukirja tutkijoille, fysiologeille ja lääkäreille, jotka työskentelevät ilmailun, vedenalaisen ja urheilulääketieteen alalla.

Mikheev A.V. SPb.: NDU HSE:n toimintatulostus - Pietari, 2012.

Tämä kokoelma sisältää työtä differentiaaliyhtälöiden kurssista, jonka kirjoittaja lukee NDU HSE:n taloustieteellisessä tiedekunnassa - Pietari. Aiheen pinnalla esitetään lyhyt yhteenveto tärkeimmistä teoreettisista faktoista ja tarkastellaan sovelluksia tyypillisten ongelmien ratkaisemiseksi. Opiskelijoille ja kuulolaitteiden ammatillisiin koulutusohjelmiin.

Konakov V.D. STI. WP BRP. Opikunskajan koulutus MDU:n mekaniikka-matematiikan tiedekunnan vuoksi, 2012. Nro 2012.

Tämä alkuperäinen oppikirja perustuu opiskelijan valitsemaan erityiskurssiin, jonka kirjoittaja lukee Moskovan duuman mekaniikka-matematiikan tiedekunnassa. M.V. Lomonosov vuosina 2010-2012 alkukivet. Lukijan tulee tutustua parametrix-menetelmään ja sen erilliseen analogiin, jota oppaan kirjoittaja ja hänen kirjoittajatoverinsa pyytävät anteeksi aivan viime hetkellä. Se kokoaa yhteen materiaalia, joka on aiemmin esiintynyt vain useissa aikakauslehtiartikkeleissa. Venyttämättä panosta sen maksimaaliseen monimutkaisuuteen, kirjoittaja pyrkii osoittamaan menetelmän toteutettavuuden paikallisten rajalauseiden todistamisessa Markovin Lantzugien konvergenssista diffuusioprosessiin ja Aronson-tyyppisten kaksipuolisten arvioiden johtamisessa johdannaisten fuusioille. .

Iss. 20. NY: Springer, 2012.

Tämä julkaisu on kokoelma muita artikkeleita "Third International Conference on the Dynamics of Information Systems" -konferenssista, joka pidettiin Floridan yliopistossa 16.-18.2011. Konferenssin meta oli ja kerätä kerralla useita insinöörejä teollisuudesta, tilaus- ja tiederyhmiä, jotta he voivat vaihtaa uusia havaintoja ja tuloksia, jotka liittyvät tietojärjestelmien dynamiikan teoriaan ja käytäntöön Tietojärjestelmien dynamiikka: matemaattinen tiede on ajankohtaista Tutkimus on tarkoitettu jatko- ja jatko-opiskelijoille, jotka ovat kiinnostuneita informaatioteorian ja dynaamisten järjestelmien menneisyydestä.

Palvelev R., Sergiev A. G. Pratsi matemaattisesta instituutista. V.A. Steklov RAS. 2012. T. 277. s. 199-214.

Hyperbolisissa Landau-Ginzburg-yhtälöissä on adiabaattinen raja. Ilmoitettujen rajojen ulkopuolella todetaan samankaltaisuus Ginzburg-Landau-yhtälöiden ratkaisujen ja adiabaattisten lentoratojen välillä staattisten ratkaisujen moduulien avaruudessa, joita kutsutaan pyörteiksi. Menton, levitettyään heuristista adiabaattista periaatetta, olettaa, että jos Ginzburg-Landau-yhtälön ratkaisu alhaisella kineettisellä energialla voidaan peruuttaa myrskyisenä adiabaattisena liikeradana. Suvore, ensimmäinen kirjoittaja löysi äskettäin todisteen tästä tosiasiasta

Annamme eksplisiittisen kaavan kvasi-isomorfismille operadien Hycomm (stabiilien suvun 0 käyrien moduuliavaruuden homologia) ja BV / Δ (BV-operaattorin käyttämän Batalin-Vilkovskyn homotoopiaosamäärä) välillä. Toisin sanoen johdetaan Hycomm-algebrojen ja BV-algebroiden ekvivalenssi, jota on tehostettu homotopialla, joka trivialisoi BV-operaattorin. Nämä kaavat on annettu Givental-kaavioiden avulla, ja ovat todistettu kahdella eri tavalla. Yksi todistus käyttää Givental-ryhmätoimintoa, ja toinen todistus käy läpi Hycommin ja BV:n päätöslauselmien eksplisiittisten kaavojen ketjun. Toinen lähestymistapa antaa erityisesti homologisen selityksen Givental-ryhmän toiminnasta Hycomm-algebroilla.

Ped Sei. Toimittaja: A. Mikhailov Vip. 14. M.: Moskovan valtionyliopiston sosiologian tiedekunta, 2012.

Tämän kokoelman artikkelit on kirjoitettu vuonna 2011 Moskovan valtionyliopiston sosiologian tiedekunnassa kerättyjen todisteiden perusteella. M.V. Lomonosov XIV:n tieteidenvälisen tieteellisen seminaarin "Sosiaalisten prosessien matemaattinen mallintaminen" kokouksessa. Sosialistipuolueen sankari, akateemikko A.A. Samarsky.

Tämä julkaisu on tarkoitettu tutkijoille, tutkijoille, yliopistojen ja Venäjän tiedeakatemian tiedelaitosten opiskelijoille, jotka ovat kiinnostuneita ongelmista, sosiaalisten prosessien matemaattisen mallintamisen metodologian kehittämisestä ja edistämisestä.