Euklidisen avaruuden takapuolen nimitys. Euklidinen avaruus

Tule sellaiseen vektoriavaruuteen. Otan ensimmäisen uhvalin wih_dayn ts_y stattysta.

N (\ näyttötyyli n)-maailmallinen Euklidinen avaruus on tarkoitettu E n, (\ näyttötyyli \ mathbb (E) ^ (n),) se on myös usein vikorystovutsya merkitys (kontekstista on selvää, että euklidiselle rakenteelle on tilaa).

Tietosanakirja YouTube

1 / 5

✪ 04 - viivaalgebra. Euklidinen avaruus

✪ Ei-euklidinen geometria. Osa Pershaa.

✪ Ei-euklidinen geometria. Osa ystävää

✪ 01 - viivaalgebra. Viiva (vektori) avaruus

✪ 8. Euklidinen avaruus

Tekstitys

Muodollisesti

Euklidisen avaruuden merkityksessä on yksinkertaisempaa ottaa skalaari pääymmärrykseen. Euklidinen vektoriavaruus alkaa loppuvektoriavaruudena puhelukukentän yli, jonka vektoreille annetaan puhearvoinen funktio (⋅, ⋅), (\ displaystyle (\ cdot, \ cdot),) scho Volodya seuraavilla kolmella voimalla:

Butt Euklidinen avaruus - koordinaattiavaruus R n, (\ näyttötyyli \ mathbb (R) ^ (n),) kuinka pinota vahvistetut puhenumerot (x 1, x 2,…, x n), (\ näyttötyyli (x_ (1), x_ (2), \ ldots, x_ (n)),) skalaari tvir, josta arvo alkaa kaavalla (x, y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n. (\ näyttötyyli (x, y) = \ summa _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) y_ (i) = x_ (1) y_ (1) + x_ (2) y_ (2) + \ cdots + x_ (n) y_ (n).)

Dovjini ta kuti

Euklidiseen avaruuteen asetettu skalaariolento riittää estämään dozhini ta kutan geometrisen ymmärtämisen. Dovzhin vektori u (\ displaystyle u) aloita jakki (u, u) (\ displaystyle (\ sqrt ((u, u))))) Tiedän | u | ... (\ näyttötyyli | u |.) Skalaarin positiivinen arvo takaajalle on, että nollasta poikkeavan vektorin arvo on nollasta poikkeava ja skalaarin arvo on nollasta poikkeava. | a u | = | a | | u | , (\ displaystyle | au | = | a || u |,) niin, että jopa suhteelliset vektorit є verrannollisia.

Coot mіzh vektorit u (\ displaystyle u)і v (\ displaystyle v) aloita kaava φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |). (\ displaystyle \ varphi = \ arccos \ left ((\ frac ((x, y)) (| x || y |)) \ right).) Lausekosineja käytetään kaksiulotteiseen euklidiseen avaruuteen ( Euklidinen alue) annettu arvo kuta tulee zychanym. Ortogonaaliset vektorit, kuten triviaalitilassa, voit käyttää sitä vektorina, ortogonaalisia vektoreita π 2. (\ displaystyle (\ frac (\ pi) (2)).)

Koshi - Bunyakovsky - Schwartzin epäsäännöllisyys ja kolmipyörän epäsäännöllisyys

Monelle visnachenny kutalle on yksi raivaus: jotta arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) (\ näyttötyyli \ kaaret \ vasen ((\ frac ((x, y)) (| x || y |)) \ oikea)) Boolen määritetty, pakollinen | (x, y) | x | | y | | ⩽ 1. (\ näyttötyyli \ vasen | (\ frac ((x, y)) (| x || y |)) \ oikea | \ leqslant 1.) Se on kohtuuttomuutta näkemisen kyvystä melko euklidisessa avaruudessa, se on Koshi - Bunyakivsky - Schwartzin järjettömyyttä. Paljon hermoja, omasta paholaistaan, itkee kolmipyörän epäsäännöllisyyksiä: | u + v | ⩽ | u | + | v | ... (\ displaystyle | u + v | \ leqslant | u | + | v |.) Kolmipyörän epäluotettavuus samaan aikaan dozhinin ylivakuutetun tehon kanssa tarkoittaa, että vektori on normi euklidisessa vektoriavaruudessa, ja funktio d (x, y) = | x - y | (\ näyttötyyli d (x, y) = | x-y |) määrittää euklidiselle avaruudelle metriavaruuden rakenteen (tätä funktiota kutsutaan euklidiseksi metriikaksi). Zokrem, vіdstan mіzh elementit (pisteet) x (\ näyttötyyli x)і y (\ näyttötyyli y) koordinaattiavaruus R n (\ näyttötyyli \ mathbb (R) ^ (n)) asetettu kaavan mukaan d (x, y) = ‖ x - y ‖ = ∑ i = 1 n (x i - y i) 2. (\ displaystyle d (\ mathbf (x), \ mathbf (y)) = \ | \ mathbf (x) - \ mathbf (y) \ | = (\ sqrt (\ summa _ (i = 1) ^ (n)) (x_ (i) -y_ (i)) ^ (2))).)

Algebrallinen teho

Ortonormaalit pohjat

Reilusti tilaa operaattorille

Ole kuin vektori x (\ näyttötyyli x) Euklidinen avaruus asetetaan lineaarifunktiolla x ∗ (\ näyttötyyli x ^ (*)) koko tilassa, josta jakki alkaa x ∗ (y) = (x, y). (\ näyttötyyli x ^ (*) (y) = (x, y).) Installaation hinta on isomorfismi euklidisen avaruuden ja

Euklidinen avaruus

T.A. Volkova, T.P. Knish.

І NELIÖMUOTO

ЄVKLIDOVY TILA

Pietari

Arvostelija: teknisten tieteiden kandidaatti, apulaisprofessori Shkadova O.R.

Euklidinen avaruus ja neliömuoto: luentomuistiinpanot. - SPb .: SPGUVK, 2012 - s.

Luentomuistiinpanot opiskelijoille toisella kandidaatin tutkinnon kurssilla 010400.62 "Soveltava matematiikka ja tietojenkäsittely" kandidaatin tutkinnon ensimmäiselle kurssille 090900.62 "Tietoturvallisuus".

Pyydä kopio luentomuistiinpanoista tieteenalan "Geometria ja algebra" ohjaamiseen 010400.62 ja tieteenala "Algebra ja geometria" ohjaukseen 090900.62. Navchalny posibnik perustuen tieteenalojen työohjelmiin, erikoisalojen standardeihin, joita voidaan käyttää opiskelijoiden koulutukseen valmistautumisen ja voittojen tuloksena.

© Pietarin osavaltio

Vesiyhteisöjen yliopisto, 2012

Monet auktoriteetit perustuvat geometrioihin, jotka liittyvät selvästi mahdollisuuteen tehdä ero näiden kahden suoran välillä. Lineaarisessa avaruudessa on mahdotonta suorittaa tällaista ajanjaksoa, ulkomainen teoria Lineaariset laajennukset geometriaan ja useisiin muihin matemaattisiin tieteenaloihin voivat kuulostaa erittäin vahvoilta. Qia on kuitenkin kierretty, ehkä se on tavallista, kuinka tuodaan käsitys kahden vektorin skalaariluonnosta. Mutta hei, hei - linin-maailmallista avaruutta. Puttable muodossa ihopareja vektoreita, ei numeroa ja nimeä skalaarinen rahka vektorit, jos olet tyytyväinen seuraavaan:

1. (Kommutatiivinen laki).

3. mihin tahansa toimintaan.

4. jollekin nollasta poikkeavalle vektorille.

Skalaari TV kahden vektoriargumentin numeerinen funktio, Eli funktioita, jotka ovat numeroiden ydin. Voimme kuitenkin kutsua skalaarituloksi sellaista vektoriargumenttien numeerista funktiota, mikä tarkoittaa, mitkä toiminnot ovat mille tahansa argumenttien merkitykselle ja joille tyydytään yksi - 4.

Dyisno rivitila, jossa skalaari tvir on osoitettu, se on euclidovim minut tunnistetaan kautta.

Merkittävää on, että euklidisessa avaruudessa nollavektorin skalaarilisäys mihin tahansa vektoriin on nolla:. Todellakin,, і s vimogi 3. Vvazayuchi, otrimuєmo, scho. Zvidsi, zokrema,.

1. Nekhai - geometristen vektorien poikkeuksellisen triviaali avaruus selkärangan tähkästä pisteessä. Omistaa analyyttinen geometria Kahden tällaisen vektorin skalaariluomista kutsutaan sopivaksi luvuksi, de - kyyhkysvektorit ja - leikkaus vektorien väliin, ja tuodaan esiin, että luku tyydyttää kaikki 1 - 4.

Tällaisessa arvossa skalaariluomisen ymmärtämisen käyttöönotto on yleinen käsitys geometristen vektorien skalaariluomisesta.

2. Laajentuva avaruus - maailman rivit todellisista koordinaateista, jotka voidaan asettaa erilaisiin ihopareihin ja sellaiset vektorit-rivit annetussa määrässä

Se on helppo hämmentää, kokonaisluvulla he kaikki ovat tyytyväisiä 1-4:

ja vastaavia. uskallan

oskіlki pienempi kuin yksi numero, kun sitä kehotetaan nollasta.

Mi bachimo zvidsi, no, luku on skalaarivektori riveillä i, ja tila sille, koska otimme käyttöön sellaisen skalaari-tvirin, se on euklid.

3. Nekhai on työn linja - tilan maailma ja joogopohjainen työ. Oletetaan, että vektoreiden ihoparin tyyppi ei ole luku. Se on tarpeeksi tilaa kuvitettavaksi uudelleen euklidisella tavalla, jotta luku on vektorien skalaarinen luomus. Reilu:

Voit käyttää muita menetelmiä avaruuden luomiseen uudelleen Euklidiselle, esimerkiksi voisimme laittaa vektoriparin tiettyyn numeroon

ja se on helppo sekoittaa, sellaiselle numerolle kaikki 1 - 4 ovat tyytyväisiä, mutta luonnehtivat skalaaritviriä. Ale oskіlki täällä (paitsi, perusta) olemme määrittäneet іnsh numeerinen funktio, sitten siirry іnh euklidiseen avaruuteen іnіs "vimіryuvannya".

4. Nareshty, zvertajutsja ennen tilavuutta, numeerinen toiminto on havaittavissa, jakki varten, viznachatsya yhtä suuri. Funktio ei ole skalaari, fragmentit hajoavat 4: at, vektori on tie, a. Tim itse ei ole täällä mennäkseen euklidiseen avaruuteen.

Crimson vimogien 2 ja 3 kanssa, ennen skalaariin syöttämistä, on helppo lukea tämä kaava:

de - kaksi tehokasta järjestelmää ja vektoria. Zvidsi, zokrema, mene hyvällä pohjalla ja kaikkiin vetovektoreihin

de. Viraz ryvnostin oikealla puolella (1) bіlіnіynoy muodossa alkaen і (kozhen її jäsen є lininim, tobto ensimmäinen askel, yak schodo, i schodo). Bіlіnіyna muotoa kutsutaan symmetrinen, sekä iho її kofіtsієnta vikonutsya umova simmetriya. Sellaisessa arvossa, skalaari tvir hyvällä pohjalla pyöritä biline-symmetrisen muodon näkymässä vektorien koordinaateista , iznimi suorituskykyä... Ale tsyogo shte on vaiennut. Ja itse, vvazhayuchi, otrimumo innokkaasti (1), scho

Jopa kouluissa kaikki tutkijat tietävät "euklidisen geometrian" käsityksistä, joiden pääteesissä keskitytään useisiin aksioomeihin, kuten geometriset elementit kierteessä, kuten piste, tasaisuus, suora viiva, ruff. Kaikki sukupnosten haju on muovattu niiltä, ​​jotka on pitkään tunnettu termillä "euklidinen avaruus".

Euklidinen, joka perustuu oletuksiin vektorien skalaarikertoimesta, є rajoitamme viiva-avaruutta, kuten tyytyväisiä alhaisten vimogien määrään. Ensinnäkin vektoreiden skalaarisumma on ehdottoman symmetrinen, joten vektori koordinaatteineen (x; y) on sama vektori koordinaatteineen (y; x), joka on suoraan vastakkainen.

Toisin tavoin, jos vektori on skalaarisesti kierretty itsestään, niin prosessin tulos on positiivinen. Otetaan vipadokkien vinjetti, jos mukulakivi ja vektorin loppukoordinaatti ovat hyvät nollaan: ensinnäkin rivin yläreuna on nolla.

Kolmanneksi skalaarilla on vähän distributiivisuutta, joten mahdollisuus levittää yksi sen koordinaateista kahden arvon summaan, mutta ei aiheuta samoja muutoksia vektorien skalaarikertoimen tulokseen. Nareshty, neljänneksellä, useilla vektoreilla samalle skalaari-tvirille, sitä voidaan myös parantaa tyylillä ja kehityksellä.

Samaan aikaan, ikään kuin vikonuyutsya kaikki chotiri mielissä, voimme sanoa niin hyvin, että edessämme on Euklidinen laajuus.

Käytännön näkökulmasta euklidinen avaruus voidaan luonnehtia sellaisilla erityisillä päillä:

1. Yksinkertaisin tyyppi on voimattomien vektorien ja skalaariluomusten hinta, jotka perustuvat geometrian peruslakeihin.
2. Euklidinen avaruus nähdään samalla tavalla, ikään kuin mielen vektoreilla, haluaisin myös lisätä joukon käytettävissä olevia lukuja annetusta kaavasta, joka kuvaisi skalaarisummaa tai jopa TV:tä.
3. Rajataan euklidisen avaruuden laajuus nolla-avaruuden nimeen, joka on molempien vektorien skalaariavaruus nollaan.

Euklidinen avaruus on rajoitettu pieniin ominaistehoihin. Itse asiassa kaareihin voidaan syyttää skalaarikerrointa kuin ensimmäisestä, samoin kuin toisesta skalaarikertoimesta, jonka tulos ei ole ensimmäisellä kerralla ajateltavissa. Toisin sanoen skalaarin ensimmäisen alkion jakauman järjestys on yhtä suuri kuin toisen alkion jakauman järjestys. Lisäksi skalaarisummavektoreita lukuun ottamatta monien eri vektoreiden jakautuminen on mahdollista. Nareshty, tertє, vektorin skalaarikertoimella nollaan, tulos on myös kallis nollaan.

Sellaisessa arvossa euklidinen avaruus on sama kuin geometrinen ymmärrys, kuinka olla voittaja uuden rakennuksen tapauksessa toisiaan toistuvista vektoreista yhdessä ja ainoassa, luonnehtia ymmärryksen sijaisuuksia skalaariluomukseksi.

§3. Vektoriavaruuden koko ja kanta

Viivayhdistelmä vektoreita

Triviaali ja ei-triviaali riviyhdistelmä

Lineaariset kesanto- ja lineaariset riippumattomat vektorit

Vektoriavaruuden teho, sidottu vektoreiden linjaan

NS-maailmallinen vektoriavaruus

Vektoriavaruuden koko

Vektorin asettaminen perustan perusteella

§4. Siirtyminen uudelle perusviivalle

Matriisi siirtymisestä vanhasta perustasta uuteen

Vektorin koordinaatit uudessa kannassa

§5. Euklidinen avaruus

Skalaari tvir

Euklidinen avaruus

Dovzhina (normi) vektori

Tehokas dozhini vektori

Coot mіzh vektorit

Ortogonaaliset vektorit

Ortonormaation perusta

§ 3. Vektoriavaruuden koko ja kanta

Mikä tahansa näkyvä vektoriavaruus (V, M, ∘) kentän päällä R... Nekhai - deyaki-elementit monista V, tobto. vektori

Lineaarinen yhdistelmä vektoria kutsutaan vektoriksi, joka tuo näiden vektorien luomisen joihinkin kentän elementteihin R(tobto skalaareissa):

Jos kaikki skalaarit saavat nollan, niin tällaista riviyhdistelmää kutsutaan triviaali(yksinkertaisin), ts.

Haluaisin yhden skalaarimuutoksen nollasta, riviyhdistelmää kutsutaan ei-triviaali.

Vektoreita kutsutaan lineaarisesti riippumaton sekä triviaali viivayhdistelmä tien vektorien lukumäärästä:

Vektoreita kutsutaan lineaarinen kesanto jos vain on yksi ei-triviaalinen useiden vektorien viivayhdistelmä, rivna.

peppu... Selkeä, järjestämätön neljän rivin numerosarja - vektoriavaruus numerokentän päällä. Zavdannya: z'yasuvati, chi є vektori , і lineaarinen kesanto.

Päätös.

Näiden vektorien yhdistelmä on helppo rivittää: de - ei-käytettävissä olevat numerot. Vimagamo, tsya viivayhdistelmästä nollavektoriin:.

Voimme kirjoittaa vektorin muistiin sadan luvun näkökulmasta:

Jos tiedät tällaisia ​​lukuja, niille, joilla on näytettävä pariteetti, ja jos haluat yhden luvuista olevan yhtä kuin nolla, on olemassa ei-triviaali lineaarinen yhdistelmä ja lineaarisen kesannon vektori.

Vikonaєmo dії:

Tällaisella arvolla zavdannya nostetaan uusimpaan järjestelmään lіnіynykh rіvnyany:

Virishuchi її, otrimaєmo:

Ekvivalenttijärjestelmän laajennetun ja perusmatriisien rivit pienempi kuin numero Nevidomi, otzhe, järjestelmä voi olla ilman ongelmia.

Tule todi i.

Jo annetut vektorit ovat ei-triviaaleja viivayhdistelmiä, esimerkiksi kun vektori on rivissä nollavektorin kohdalle, niin cy-vektori on kaistavapaa.

Merkittävästi deyaki vektoriavaruuden teho, sidottu vektoreiden linjaan:

1. Jos vektorit viipyvät kesannolla, haluan yhden niistä lineaarisessa yhdistelmässä.

2. Vektorien keskiosa on nollavektori, cy-vektorit ovat lyno-kesantoa.

3. Koska osa vektoreista on viivan kesantoa, niin kaikki cy-vektorit ovat viivankestoja.

Vektoriavaruutta V kutsutaan NS-maailmallinen vektoriavaruus Tiedän, että tulet uuteen NS lineaarisesti riippumattomia vektoreita, ja olipa se joukko ( NS+ 1) vektorit є viivapudotettu.

Määrä NS kutsutaan vektoriavaruuden koko, tarkoitan himmeä (V) englanninkielisestä "dimension" - koko (koko, koko, koko).

Sukupnist NS lineaarisesti riippumattomia vektoreita NS-Maailman vektoriavaruutta kutsutaan perusta.

Kaava (*) kutsutaan vektorijakauma perusteella ja numerot – vektorin koordinaatit samalla pohjalla .

Vektoriavaruudessa voi olla useampi kuin yksi tai sillä voi olla yksinkertainen kanta. Skin new -pohjalla on sama eri koordinaattien matematiikan vektori.

§ 4. Siirtyminen uudelle perusviivalle

Lineaarisessa algebrassa se on usein vektorin tunnettujen koordinaattien määrittely uudessa, samoin kuin vanhassa kannassa.

Selkeä deyake NS-muuttujavektoriavaruus (V, +,) kentän päällä R... Tule laajasta tilasta, kahdesta pohjasta: vanha ja uusi .

Zavdannya: tiedä vektorin koordinaatit uudella pohjalla.

Käytetään uuden kannan vektoria vanhassa kannassa:

,

Matriisin vektorien koordinaatit eivät ole riveissä, kuten haju on kirjoitettu järjestelmään, vaan sataprosenttisesti:

Otriman-matriisia kutsutaan matriisisiirto vanhasta pohjasta uuteen.

Siirtymämatriisi linkittää minkä tahansa vektorin koordinaatit vanhassa ja uudessa perustassa suhteiden alkamista varten:

,

de - Vektorin Shukani-koordinaatit uudessa perustassa.

Tällaisessa arvojärjestyksessä vektorin koordinaattien tietämyksen muodostaminen uudessa perustassa nostetaan matriisin irrottamiseen, joka on yhtä suuri:, de NS- matriisi-sadan pisteen vektorikoordinaatit vanhassa kannassa, A- siirtymämatriisi vanhasta perustasta uuteen, NS* - Shukan-matriisi-sata-pilkku vektorin koordinaatteja uudessa perustassa. Matriisista rіvnyanynya otrimaєmo:

Otzhe, vektorin koordinaatit uusi perusta yliostettu hyvästä syystä:

.

peppu. Deyakom-perustalle annetaan vektoreiden jakauma:

Tunne vektorin koordinaatit kannassa.

Päätös.

1. Vipishemo matriisi cob uudelle perustalle, tobto. vektorien koordinaatit vanhassa kannassa voidaan kirjoittaa 100 %:lla:

2. Tunnemme matriisin A –1:

3. Viconaєmo kertolasku, vektorin koordinaatit:

Näytä: .

§ 5. Euklidinen avaruus

Selkeä deyake NS-muuttujavektoriavaruus (V, +,) mielivaltaisten lukujen kentän päällä R... Tule - lauluperusta valtavuudelle.

Esitetty koko vektoriavaruuteen metrinen, tobto. visuaalisesti, tapa vimiryuvannya dovzhin ja kutiv. Ensinnäkin on tärkeää ymmärtää skalaariluominen.